圆柱的体积等积变形
圆柱表面积公式和体积公式转换
圆柱表面积公式和体积公式转换
我们要探讨圆柱的表面积和体积公式之间的关系。
首先，我们需要知道圆柱的表面积和体积的公式是什么。
圆柱的表面积公式为：2πr(h + r)，其中 r 是圆柱的底面半径，h 是圆柱的高。
圆柱的体积公式为：πr^2h。
我们的目标是找到一个关系，使得我们可以从一个公式推导出另一个公式。
通过解方程，我们得到 h = 2r/(r - 2)。
这意味着，如果我们知道圆柱的底面半径 r 和体积 V，我们可以使用这个关系来找到高 h。
反之，如果我们知道 r 和 h，我们也可以使用这个关系来找到体积 V。
所以，我们可以说圆柱的表面积和体积公式之间存在以下关系：
表面积= 2πr(h + r)
体积= πr^2h
并且h = V/2πr^2 当体积给定时，或者V = πr^2h 当高给定时。
完整版)初一数学列方程解应用题归类含答案
完整版)初一数学列方程解应用题归类含答案一、等积变形问题常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形状变化，但体积不变。
①圆柱体的体积公式为V=底面积×高=S·h=πrh②长方体的体积为V=长×宽×高=abc1.一段铁丝围成长方形，发现长比宽多2cm；围成正方形时，边长刚好为4cm。
求所围成的长方形的长和宽各是多少？解：设长方形的长为x，宽为x-2，则有x+x-2+4=4x，解得x=6，所以长方形的长为6cm，宽为4cm。
2.用一个底面半径为40mm，高为120mm的圆柱形玻璃杯向一个底面半径为100mm的大圆柱形玻璃杯中倒水，倒了满满10杯水后，大玻璃杯的液面离杯口还有10mm，大玻璃杯的高度是多少？解：由于10杯水的体积为10×40×40×π×120=π mm³，而大玻璃杯的底面积为100×100×π=π mm²，所以大玻璃杯的高度为π/π-10=22mm。
3.一个长方形养鸡场的长边靠墙，墙长14米，其他三边用竹篱笆围成。
现有长为35米的竹篱笆，小王打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多5米；小赵也打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多2米。
你认为谁的设计符合实际？按照他的设计，鸡场的面积是多少？解：设鸡场的长为x，宽为y，则有x+y=35，x-14=y+5或x-14=y+2，解得x=24，y=11或x=21，y=14.所以小王的设计符合实际，鸡场的面积为24×11=264平方米。
4.将一个装满水的内部长、宽、高分别为300毫米，300毫米和80毫米的长方体铁盒中的水，倒入一个内径为200毫米的圆柱形水桶中，正好倒满，求圆柱形水桶的高（精确到0.1毫米，π≈3.14）。
解：长方体铁盒中的水的体积为300×300×80=xxxxxxxmm³，而圆柱形水桶的体积为π×100×100×h=πh，所以h=xxxxxxx/(π)=229.18mm。
体积等积变形法计算公式
体积等积变形法计算公式体积等积变形法是一种用于计算物体体积的方法，它基于物体在变形过程中体积不变的原理。
这种方法在工程学、物理学和数学中都有广泛的应用，可以帮助人们更准确地计算物体的体积，从而在设计和制造过程中提高效率和质量。
体积等积变形法的基本原理是，当一个物体经历形状的变化时，其体积保持不变。
这意味着无论物体变成什么形状，其体积都是相同的。
利用这一原理，我们可以通过计算物体在不同形状下的体积来得到最终的体积。
下面我们将介绍一些常见的体积等积变形法的计算公式。
1. 圆柱体的体积计算公式。
圆柱体是一个常见的几何体，其体积可以通过体积等积变形法来计算。
圆柱体的体积公式为V=πr²h，其中V表示体积，π表示圆周率，r表示圆柱体的半径，h表示圆柱体的高。
2. 球体的体积计算公式。
球体是一个完全圆形的几何体，其体积也可以通过体积等积变形法来计算。
球体的体积公式为V=4/3πr³，其中V表示体积，π表示圆周率，r表示球体的半径。
3. 锥体的体积计算公式。
锥体是一个圆锥形的几何体，其体积同样可以通过体积等积变形法来计算。
锥体的体积公式为V=1/3πr²h，其中V表示体积，π表示圆周率，r表示锥体的底面半径，h表示锥体的高。
4. 直角三棱柱的体积计算公式。
直角三棱柱是一个底面为直角三角形的几何体，其体积也可以通过体积等积变形法来计算。
直角三棱柱的体积公式为V=1/2abH，其中V表示体积，a和b表示直角三角形的两条直角边的长度，H表示直角三棱柱的高。
5. 平行四边形棱柱的体积计算公式。
平行四边形棱柱是一个底面为平行四边形的几何体，其体积同样可以通过体积等积变形法来计算。
平行四边形棱柱的体积公式为V=Ah，其中V表示体积，A表示平行四边形的面积，h表示平行四边形棱柱的高。
以上是一些常见的几何体的体积计算公式，它们都可以通过体积等积变形法来计算。
在实际应用中，我们可以根据物体的形状和特点选择合适的计算公式，从而更准确地计算物体的体积。
等积变形的原理
等积变形的原理嘿，朋友！你有没有想过，一个东西的形状变了，可它占的地方大小却能不变呢？这就是等积变形的奇妙之处啦。
我记得小时候，我和小伙伴小明一起玩泥巴。
我们把一团泥巴捏成各种形状。
有时候捏成一个圆球，有时候又把它拍成一个扁扁的饼状。
我就好奇地问小明：“你说这泥巴一会儿圆一会儿扁的，它占的地儿是不是不一样啦？”小明挠挠头说：“我觉得好像不一样呢，圆的看起来小，扁的看起来大。
”其实啊，我们那时候不知道，这团泥巴不管变成啥形状，它的体积是不变的。
这就像是水在不同的容器里，不管是装在高高的瓶子里，还是矮矮的碗里，水的量，也就是体积，是不会变的。
那等积变形到底是咋回事呢？从数学的角度来讲，等积变形是基于一些基本的几何原理的。
比如说，对于一个长方体，它的体积公式是长×宽×高。
如果我们把这个长方体压一压，让它变矮了，但是同时它可能就会变长或者变宽，这样一调整，长×宽×高的结果，也就是体积，还是原来那个数。
这就好比是一群小动物住在房子里，房子的空间大小是固定的，要是把房间的高度降低一点，那房间的长度或者宽度就得变一变，好让小动物们住的地方还是那么大。
再看看圆柱和圆锥。
圆柱的体积是底面积×高，圆锥的体积是1/3×底面积×高。
要是我们把一个圆柱的材料用来做圆锥，你会发现这个圆锥肯定要比圆柱高很多，而且底面积也会有变化。
这就像把一堆沙子，原本堆成一个像圆柱那样的小沙堆，现在要把它重新堆成一个圆锥形状的沙堆，那这个圆锥沙堆肯定要比原来的圆柱沙堆高很多，而且底面的大小也不一样了，但是沙子的总体积是不变的呀。
我还有个朋友小红，她在做手工的时候也碰到了等积变形的事儿。
她用一些彩色的卡纸做立体图形。
她先做了一个正方体的小盒子，然后又想把这个正方体盒子改造成一个三棱柱的盒子。
她就很担心，这纸就这么多，能做成三棱柱吗？我就跟她说：“你放心吧，只要你在做的过程中没有多剪纸也没有少剪纸，那这个三棱柱的体积就和正方体的体积是一样的。
六年级数学下册典型例题系列之第三单元：圆柱体积的等积转化问题专项练习(解析版)
2021-2022学年六年级数学下册典型例题系列之第三单元：圆柱体积的等积转化问题专项练习（解析版）1．如图，一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈）。
已知瓶内有240ml 酒精。
当瓶子正放时，瓶内酒精的液面高6cm；当瓶子倒放时，空余部分高3cm。
这个酒精瓶的容积是( )ml。
【解析】240÷6＝40（平方厘米）40×3＝120（立方厘米）240＋120＝360（立方厘米）＝360（毫升）2．一块长31.4cm、宽10cm、高2cm的长方体钢材，熔铸成一个底面积为15.7cm²的圆柱体钢锭，这块钢锭的高为( )dm。
【解析】31.4×10×2÷15.7＝314×2÷15.7＝628÷15.7＝40（厘米）40厘米＝4分米3．把一个底面半径为2厘米，高为10厘米的圆柱形容器装满水，再把它里面的水倒入一个底面半径为1厘米的圆柱形容器中，那么，这个容器内的水高为( )。
【解析】水的体积：3.14×22×10＝3.14×4×10＝125.6（立方厘米）水的高度：125.6÷3.14÷12＝40÷1＝40（厘米）答：圆柱形容积内水的高度是40厘米。
4．把一个棱长为6厘米的正方体容器装满水，倒入一个深8厘米的圆柱体容器内，刚好倒满，这个圆柱体的底面积是( )平方厘米。
（容器厚度不计）【解析】6×6×6÷8＝216÷8＝27（平方厘米）答：这个圆柱体的底面积是27平方厘米。
5．一个装满水的圆柱形容器的底面积为24平方分米，高为6分米，容器中水的体积是________升；如果将这些水倒入一个底面长为9分米、宽为4分米，高为8分米的长方体容器中，水深为________分米．（容器的厚度忽略不计）【解析】体积：24×6=144（升）；水深：144÷（9×4）=4（分米）6．如图，甲圆柱形容器是空的，乙长方体容器水深6.28厘米，若将容器乙中的水全部倒入甲容器，这时水深________厘米．【解析】87．一个圆柱形量杯底面周长是25.12厘米，高是10厘米，把它装满水后，再倒入一个长10厘米，宽8厘米的长方体容器中，水面高多少厘米？【解析】3.14×（25.12÷3.14÷2）2×10÷（10×8）=3.14×42×10÷80=3.14×16×10÷80=502.4÷80=6.28（厘米）答：水面高6.28厘米。
人教版数学六年级下册体积的等积变形
人教版数学六年级下册第三单元《圆柱与圆锥》“等积变形”教学预案永川区望城路小学何开莲教材分析数学六年级下册第三单元《圆柱与圆锥》是整个小学阶段最后一个“几何与图形”的内容。
包括圆柱圆锥的认识、圆柱的表面积、圆柱的体积和圆锥体积。
圆柱、圆锥是人们在生产、生活中经常遇到的几何形体。
教学这一部分内容，有利于发展学生的空间观念，为进一步应用几何知识解决实际问题打下基础。
几何知识一向是小学生学习的难点。
特别是圆柱的表面积、圆柱圆锥体积的应用问题更是让学生忘而却步。
造成这种现象的原因除了计算复杂繁琐外，就是学生对立体图形的空间思维能力差。
不能根据文字叙述想象立体图形的样子，找不到解题的关键。
我的思考本次教研主题是“提高立体图形空间思维能力”。
围绕这个主题，我确定从“等积变形”思想方法来落实。
“等积变形”是小学阶段要渗透落实的重要思想方法之一。
生活中大量存在其身影。
在实际生活中有些物质如金属、橡皮泥、或装在容器里的液体等，可以通过熔铸、锻造、重塑或更换容器等改变原来的形状，在这个变换的过程中物体的形状发生了变化，体积不变，这就是形体的“等积变形”。
围绕“等积变形”，我设计“面积变形”和“体积变形（重点）”两个内容。
“面积变形”是为了使计算简便。
“体积变形”设计为稍复杂的体积变形：不规则物体体积计算（看图计算）和未完全浸没（解决问题）。
利用“化曲为直”、“动画重现”“割补剪拼”、“移花接木”“数形结合”等方式，让学生体会转化思想在数学中的广泛应用，提高学生的立体图形空间观念。
教学目标1.优化圆柱体表面积计算公式，能够解决稍复杂的体积的“等积变形”问题。
2.在不同情境中，找准“形变”与“体积不变”的关系，在变化中找不变的量，抓住解决问题的关键，从而正确解决实际问题。
3.发展空间观念，提高学生立体图形空间思维能力。
体会转化的思想价值。
教学重、难点重点：运用多种方法通过“等积变形”解决实际问题。
难点：在不同题目情境中，找准不变的量，抓住“等积”这一解题关键。
圆柱与圆锥的等积变形(课件)北师大版六年级下册数学
度。
S底=3.14×52=78.5(cm2)
V圆锥=13×3.14×62h×=130 76.8÷78.5
= 37.68×10 =4.8(cm)
=376.8(cm3)
答:圆柱内水面的高度为4.8厘米。
变式1： 在一个底面直径是8厘米，高10厘米的圆柱 形量杯内放入一些水，水面高是8厘米。把 一个小球浸没在量杯里，水满后还溢出 12.56克。求小球的体积。（每立方厘米水 重1克）
分析:放入小球前水的高度是8cm，还没达到量 杯的高度，放入小球后，水满溢出，水不仅升高 了10-8=2（cm）,还有水溢出，
溢出水的体积：12.56÷1=12.56（cm³）
3.14×（8÷2）²×（10-8）+12.56
=100.48+12.56 =113.04（cm³）
答：小球的体积是113.04cm³。
1250 20 100（0 毫升)
5 厘米
20 5
答：瓶内有饮料1000毫升。
20
厘 米
8、把一个正方体木块削成一个最大的圆 锥。正方体木块的棱长是6 dm，被削 去部分的体积是多少立方分米？
63－
1 3
×3.14×(6÷2)2×6＝159.48(dm3)
答：被削去部分的体积是159.48 dm3。
半径:15.7÷3.14÷2=2.5（dm） 体积：3.14×2.5²×2=39.25（dm³） 高：39.25×3÷10=11.775（dm）
答：圆锥的高是11.775 分米。
3、把一个体积是282.6立方厘米的铁块熔
铸成一个底面半径是6厘米的圆锥形机器零
件，求圆锥零件的高。
282.6÷（3.14×62× 1 ）
3-2.4= 0.6（分米）
(完整版)初一数学列方程解应用题归类含答案
应用题提高练习训练一、等积变形问题常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变．①圆柱体的体积公式 V=底面积×高＝S·h＝πr2h②长方体的体积 V＝长×宽×高＝abc1．把一段铁丝围成长方形，发现长比宽多2cm；围成正方形时，边长刚好为4cm．求所围成的长方形的长和宽各是多少？2．用一个底面半径为40mm，高为120mm的圆柱形玻璃杯向一个底面半径为100mm的大圆柱形玻璃杯中倒水，倒了满满10杯水后，大玻璃杯的液面离杯口还有10mm，大玻璃杯的高度是多少？3．一个长方形养鸡场的长边靠墙，墙长14米，其他三边用竹篱笆围成．现有长为35米的竹篱笆，小王打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多5米；小赵也打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多2米．你认为谁的设计符合实际？按照他的设计，鸡场的面积是多少？4．将一个装满水的内部长、宽、高分别为300毫米，300毫米和80•毫米的长方体铁盒中的水，倒入一个内径为200毫米的圆柱形水桶中，正好倒满，求圆柱形水桶的高（精确到0.1毫米，π≈3.14）．5．在一个底面直径为5cm，高为18cm的圆柱形瓶内装满水，再将瓶内的水倒入一个底面直径是6cm、高是10cm的圆柱形玻璃杯中，能否完全装下？若装不下，那么瓶内水还剩多高？若未能装满，求杯内水面离杯口的距离．二、打折销售问题（1）商品利润＝商品售价－商品成本价（2）商品利润率＝商品利润×100%商品成本价（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量(4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量（5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如打8折出售，即按原标价的80%出售．1．随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格大幅度下降，某品牌电脑今年每台售出价格为4200元，比去年降低了30%，问去年该品牌电脑每台售出价为多少元？2、东方商场把进价为1890元的某商品按标价的8折出售，仍获利10%，则该商品的标价为多少？3、某种商品的进价是1000元，售价为1500元，由于销售情况不好，商店决定降价出售，但又要保证利润不低于5%，那么商店最多降多少元出售此商品。
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提示：
V石块 = V水上升
6、一根圆柱形木料底面周长是12.56分米，高是4米。 （1）它的表面积是多少平方米？ （2）它的体积是多少立方分米？ （3）如果把它截成三段小圆柱，表面积增加多少 平方分米？
一根圆柱形木料，长3米，把它锯成两段后， 表面积增加了4平方米。这根圆柱形木料的体 积是多少？
基本练习：
2、侧面积相等的两个圆柱，它们的体积一定相等。 3、等底等高的正方体、长方体和圆柱，它们的体积 4、一个圆柱的底面半径扩大到原来的3倍，高缩小 5、体积相等的两个圆柱不一定是等底等高。（√ ）
都相等。（ √ ）
到原来的1/3,体积不变。（ × ）
一个圆柱形容器的底面直径是10厘米,把一块 铁块放入这个容器后,水面上升2厘米。这块铁 的体积是多少？
+
｛
一根方钢长50厘米，底面是边长 12厘米的正方形。如果把它锻造成底 面面积是90平方厘米的圆柱形钢材， 这根钢材长多少厘米？
长方体的体积=圆柱体的体积
12×12×50=7200（立方厘米） 7200 ÷90=80（厘米） 答：这根钢材长80厘米。
一个底面半径为3分米，高为8分米圆柱形 水槽，把一块石块完全浸入这个水槽，水 面上升了2分米，这块石块的体积是多少？
面将上升几厘米？
一个皮球掉进盛有水的圆柱形玻璃缸 内，玻璃缸的底面直径是20cm，皮球 有4/5的体积浸入水中，若把皮球从水 中取出，缸内水面下降2cm，求皮球 的体积？
将一个棱长为6分米的正方体钢材熔 铸成底面半径为3分米的圆柱体,这 个圆柱有多长?
变形
提示： V正 = V圆柱
把一个长、宽、高分别是9cm、7cm、3cm 的长方体铁块和一个棱长是5cm的正方体 铁块，熔铸成一个圆柱体。这个圆柱体的 底面直径是20cm，高是多少厘米？
一个圆柱形容器的底面直径是8厘米,把一块铁 从这个容器的水中取出后,水面下降3厘米。这 块铁的体积是多少？
一个圆柱形鱼缸的底面直径是20
厘米,把一块珊瑚放入这个鱼缸后,水面
由35厘米上升到37厘米。这块珊瑚的
体积是多少？
一个圆柱形水槽里盛有10cm深的水， 水槽的底面积是300平方厘米。将一个 棱长6cm的正方体铁块放入水中，水
将一个圆柱体沿着底面直径切成两个半圆柱, 表面积增加了40平方厘米,圆柱的底面直径 为4厘米,这个圆柱的体积是多少立方厘米?
一个圆柱形水桶的容积是24升，底面积是7.5平
方分米，装了 3 桶水。水面高多少分米？
4
?分米
一个装满稻谷的圆柱形粮囤，底面面积为2米2 高为80厘米。每立方米稻谷约重600千克， 这个粮囤存放的稻谷约重多少千克？
圆柱的体积
1. 口答。
（1）底面面积是8平方厘米，高是5厘米。求体积
（2）底面周长是25,底面积是15.7平方米, 求高. (4)体积是282.6立方厘米,高是10厘米,底面积是 多少厘米?
1、圆柱的体积比表面积大。（ ×） （ ×）
3、一根长2米的圆钢，横截面直径是6厘米，每立方 厘米钢重7.8千克。这根圆金钢的重是多少千克？ （得数保留整千克）
5、一个圆柱形容器的底面直径是10厘米，把一块铁块 放入这个容器后，水面上升2厘米，这块铁块的体积是 多少？