2020一诊数学试题(答案)(2)
∴ DFA FAB
又 ∵ AF 平分 DAB
∴ DAF FAB
∴ DAF DFA
AD DF 5 在 △ ADE 中， AE 3 ， DE 4 ， AD 5 ∴ AE 2 DE 2 AD 2 ∴ AED 90
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ABF AED 90 在 Rt△ ABF 中， AB AE BE 8 ， BF 4
∴在 Rt△CEG 中， tan CFG
CG
10 5
8 ……………………………………
FG
9 10
9
5
28．（本小题满分 12 分）
解：（ 1） ∵ 抛物线对称轴
x
3 ，点 A(4 ， 0)
2
所以 B( 1， 0)
10 分
设抛物线的解析式为 y a( x 1)(x 4)
将点 C(0 ， 2) 代入解析式可得点 a 1 2
(x 3)(x 2) 0 x 3 0或 x 2 0
x1 3 x2 2 ……………………………………………………………………………
6分
16．（本小题满分 6 分）
解：（ 1） 12
（人） 6 0 3 5
（人）．
所以，参与调查的学生中，喜爱排球运动的学生有
21 人．……………………………… 1 分
补全条形图如下：
将 x＝ 2 代入 y
1 得： y
1 ，
x
2
∴ F（ 2， 1 ）， ……………………………………………………………………………… 2
设直线 EF 的解析式为 y kx b
1分 2分
把 E 、 F 的坐标代入 y kx b 解得
1
3
k= ， b=
2
2
∴直线 EF 的解析式为 y
13 x ；…………………………………………………………
∴ AH HC
AB CG
2x 3
x
4 ………………………………………………………………………
3
6分
2
（ 3）连接 OC 交 BD 于 G
∵ DAC EAC
∴
OC BD， BG DG
又 ∵ AO DO ， OC //AB
∴ OG
1 AB ，
BAH
2
又∵ AH HC ， BHA
∴ △BHA △GHC ( ASA)
3分
22
（ 2）由题意可得：
S 四边形 BEOF＝ S 矩形 OABC﹣ S△AOE﹣ S△COF
＝ 2× 1﹣ × 1× 1﹣ ×2×
＝ 1； …………………………………………………………………………………
6分
（ 3）点 P 的坐标为（ 0， 2）、（ 0， 2 ）、（ 0， 2 ）或（ 0， 1） ……………………… 10 分
18. （本小题满分 8 分）． （ 1）证明： ∵四边形 ABCD 是平行四边形
∴ DC //AB ， DC =AB
又∵ AE CF
∴ DF //BE ， DF =BE
∴ 四边形 DEBF 是平行四边形；…………………………………………………
3分
（ 2）解： ∵ 四边形 DEBF 是平行四边形 ∴ DF =BE 5 ， BF =DE 4 ， BF //DE ， DF //AB
BD AD 2 AB2 62 22 4 2
∴ S△ EBD
1
1
EB BD
2
2
2 82
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又 △ ACD △ ACE ， ∴ EC CD
1
1
∴ S△ BEC
S△ EBD
2
2
2 4 2 ………………………………………………………
10 分
B 卷（ 50 分）
一、填空题（共 5 个小题，每小题 4 分，满分 20 分）
女2）、 ( 女1，男1）、 ( 女1，男2）、 ( 女1，女 2）、( 女 2，男1）、( 女 2，男2）、( 女 2，女1），其中， 1 名男
生和 1 名女生有 8 种．……………………………………………………………………………
所以，抽到 1 名男生和 1 名女生的概率 P= 8 = 2 ． ……………………………………… 12 3
8分 12 分
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又 ∵ BEP GEF
∴ GEF BPE
∵ ABP 90 ∴ BAP BPE 90
∵ MN AP ∴ GFE 90 ∴ EGF GEF 90
∴ BAP BGN …………………………………………………………………
3分
（ 2）在矩形 ABCD 中， BAD 90 ∴在 Rt△ ABD 中， AB 6 ， AD 8 ∴ BD 10
15（每小题 6 分，满分 12 分）
（ 1）计算： (
1 )
1
3
8 6sin 45 3
2．
解：原式 = 3 2 2 6 2 3 2 ………………………………………………………………
4分
2
=6
…………………………………………………………………
6分
（ 2）解方程： x( x 3) 2x 6 0 ．
解： x( x 3) 2(x 3) 0
∴ AF AB2 BF 2 82 42 4 5 ………………………………………… 8 分
19.（本小题满分 10 分）
解：（ 1）∵ B（ 2，1）， BA y 轴， BC x 轴，
∴将 y＝ 1 代入 y
1 得： x＝ 2，
x
∴ E（ 1， 1）， ………………………………………………………………………………
17．（本小题满分 8 分） 解：过点 P 作 PD AB 于点 D
5分 6分
由题意可知，在 Rt△PBD 中， BPD 45 ， PB 50 2
所以， PD 50 …………………………………………………………………………………
3分
在 Rt△PCD 中， CPD 30 ， PD 50
所以， PC
100 3，
22
设点 P ， Q 的横坐标分别为 x1 ， x2
则 x1 ， x2 是方程 1 x2 (k 3 ) x 1 0 的两个根，
2
2
所以 x1 x2 3 2k ， x1 x2 2
所以 x1 x2
( x1 x2 )2 4x1x2
(3 2k )2 8
所以 △CPQ 的面积 = 1 CE 2
x1
x2
17 2
21． 2 5
4 22．
3
23． 4
24． 4 2 或 4 2 4
二、解答题（共 3 个小题，满分 30 分）
25． 10 2 2 10
26.（本小题满分 8 分）
解：（ 1） y 140(0 x 4, x为整数 ) ………………………………………………………………
1分
y 10x 100(4 x 12, x为整数 ) ………………………………………………………
20 2
1 (x
10)2
200 ，
2
1
因为 a
2 0 ，所以当 x 10 时， W最大值 =200 万元；……………………………………
7分
203 200
所以，综上所述，该饲养场一月份的利润最大，最大利润是
203 万元．………………… 8 分
27．（本小题满分 10 分）
（ 1）证明： ∵ BP BE ， 所以 BEP BPE
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又∵ 在矩形 ABCD 中， AD //BC
∴ DAE BPE
GEF ∴ DAE
BPE AED
∴ DE AD 8
∴ BP BE BD DE 2
∵ AD //BC 所以 △DAE ∽△ BPE
∴ PE BP 1 AE AD 4 1
PE AP 5
∵ MN 垂直平分 AP
∴ PF
1 AP
EF
3 AP
2
10
1
∴ PE
AP 5
2 ………………………………………………………………………
6分
EF
3 AP
3
10
（3）连接 CG
在 Rt△ ABP 中， AB 6 ， BP 2
∴ AP 2 10
∴ EF
3 10 AE
8 10
5
5
在 Rt△GEF 中， EF tan FGE tan BAP BP 1
PCD
60 ……………………………………………………………
5分
3
又∵ PAC 90 60 30
所以 APC PCD PAC 60 0 0
所以 APC PAC
所以 AC PC 100 3 ≈57.7 （海里） 3
即被拦截时，可疑船只距海岛 A 还有 57.7 海里．……………………………………………
8分
（ 2）∵ BE
3 ， ∴ 设 BE
3x ， AB
2x ，则 AD
AE
AB
BE 5x
AB 2
连接 OC 交 BD 于 G
∵ DAC ∴
EAC
OC BD， BG DG
又 ∵ AO DO
∴ OG
1 AB
x ， OC
OA
1 AD
5 x ， CG
OC OG
3 x ， OC //AB
2
2
2
2
∴ △ ABH ∽△CGH
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1 (3
2k)2
8
17
2
2
所以 k1 3 k2 0 (舍)
x1 = 3 2 17 ， x2
3 17 2
P( 3 17 , 7 3 17 ) ，Q( 3 17 , 7 3 17 ) …………………………………………
2020年四川省绵阳市南山中学高考数学一诊试卷(理科)(含解析)
2020年四川省绵阳市南山中学高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．）1.设集合M＝{−1, 0, 1}，N＝{x|x−1<0}，则M∩N＝（）A.{0}B.{1}C.{0, 1}D.{−1, 0}2.若sinα=13，则cos2α()A.−79B.−29C.29D.793.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S7＝28，则a4＝（）A.4B.7C.8D.144.若a，b均为不等于1的正实数，则“a>b>1”是“log b2>log a2”的（）A.既不充分也不必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.充分必要条件5.函数f(x)＝sin(ωx−π3)在区间[0, 2π]上至少存在5个不同的零点，则正整数ω的最小值为（）A.2B.3C.4D.56.已知函数f(x)＝x3+(a−5)x2+(b+4)x，若函数f(x)是奇函数，且曲线y＝f(x)在点（3, f(3)）的切线与直线y=16x+3垂直，则a+b＝（）A.−32B.−20C.25D.427.设实数x，y满足3|x|+2|y|≤6，则7x+3y−1的最小值为（）A.−13B.−15C.−17D.−198.已知定义在R上的函数f(x)＝a−22−x与函数g(x)＝2x−2+|x−2|的图象有唯一公共点，则实数a的值为（）A.−1B.0C.1D.29.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n −2，若存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝64，则1m +9n 的最小值为（ ） A.145 B.114C.83D.10310.设函数f(x)＝ae x −2sinx ，x ∈[0, π]有且仅有一个零点，则实数a 的值为（ ） A.√2e π4B.√2e−π4C.√2e π2D.√2e−π211.定义在[0, +∞)上的函数f(x)满足：当0≤x <2时，f(x)=2x −x 2：当x ≥2时，f(x)=3f(x −2)．记函数f(x)的极大值点从小到大依次记为a 1，a 2，⋯，a n ，⋯，并记相应的极大值为b 1，b 2，⋯，b n ，⋯，则a 1b 1+a 2b 2+⋯+a 20b 20的值为()A.19×320+1B.19×319+1C.20×319+1D.20×320+112.已知函数f(x)={|log 2x|,0<x <2sin(π4x),2≤x ≤10 ，若存在实数x 1，x 2，x 3，x 4，满足x 1<x 2<x 3<x 4，且f(x 1)＝f(x 2)＝f(x 3)＝f(x 4)，则(x 3−2)(x 4−2)x 1x 2的取值范围是（ ） A.(0, 12) B.(0, 16) C.(9, 21) D.(15, 25)二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的横线上13.已知向量a →=(−2,−1)，b →=(1,λ)，若(a →+2b →) // (2a →−b →)，则实数λ＝________．14.函数f(x)＝Asin(ωx +φ)，其中ω>0，|φ|<π2的图象如图所示，为了得到g(x)＝sin3x 的图象，只需将f(x)的图象向右平移________个单位．15.在△ABC 中，AB ＝4，O 为三角形的外接圆的圆心，若AO →=xAB →+yAC →(x, y ∈R)，且x +2y ＝1，则△ABC 的面积的最大值为________．16.已知恰有两条不同的直线与曲线y ＝e x−2和x 2＝2py 都相切，则实数p 的取值范围是________．三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知asin A+C 2=bsinA ．(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．18.函数f(x)＝Asin 2(ωx +φ)(A >0, ω>0, 0<φ<π2)，且y ＝f(x)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点(1, 2)． （1）求φ；（2）计算f(1)+f(2)+...f(2019)．19.设{a n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为S n (n ∈N ∗)，{b n }是等差数列．已知a 1=1，a 3=a 2+2，a 4=b 3+b 5，a 5=b 4+2b 6． （1）求{a n }和{b n }的通项公式；（2）设数列{S n }的前n 项和为T n (n ∈N ∗)， ①求T n ；②证明∑(T k +b k+2)b k(k+1)(k+2)n k=1=2n+2n+2−2(n ∈N ∗)．20.已知函数f(x)=lnx x．(1)求函数f(x)的单调区间与极值；(2)若不等式f(x)≤kx 对任意x >0恒成立，求实数k 的取值范围．21.已知函数f(x)＝alnx(a ≠0)，g(x)＝x −1x ． （1）当a ＝2时，比较f(x)与g(x)的大小，并证明；（2）令函数F(x)＝[f(√x)]2−[g(√x)]2，若x ＝1是函数F(x)的极大值点，求a 的取值范围．22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =3ty =−√3t（t 为参数），曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosθy =2sinθ （θ为参数），以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2√3cosθ−2sinθ．(Ⅰ)分别求曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的直角坐标方程；(Ⅱ)设直线l 交曲线C 1于O ，A 两点，交曲线C 2于O ，B 两点，求|AB|的长．23.已知函数f(x)=|2x −1|−|x −a|，a ≤0． (1)当a =0时，求不等式f(x)<1的解集；(2)若f(x)的图象与x 轴围成的三角形面积大于32，求a 的取值范围．24.设函数f(x)＝|x +3|+|x −1|，x ∈R ，不等式f(x)≤6的解集为M ， （1）求M ；（2）当x ∈M 时，f(x)≥a|x −1|恒成立，求正数a 的取值范围．2020年四川省绵阳市南山中学高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．）1.设集合M ＝{−1, 0, 1}，N ＝{x|x −1<0}，则M ∩N ＝（ ） A.{0} B.{1} C.{0, 1} D.{−1, 0}【解答】由题得N ＝{x|x <1}，所以M ∩N ＝{−1, 0}． 2.若sinα=13，则cos2α() A.−79 B.−29C.29D.79【解答】 ∵sinα=13，∴cos2α=1−2sin 2α=1−2×(13)2=79．3.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 7＝28，则a 4＝（ ） A.4 B.7 C.8 D.14【解答】因为数列{a n }是等差数列，S 7＝28=a 1+a 72×7=2a 42×7=7a 4，所以a 4＝4．4.若a ，b 均为不等于1的正实数，则“a >b >1”是“log b 2>log a 2”的（ ） A.既不充分也不必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.充分必要条件【解答】a ，b 均为不等于1的正实数，当若“a >b >1”时，由对数函数的性质可得：log 2a >log 2b >0， 可得log b 2>log a 2成立． 当若：“log b 2>log a 2”有①若a ，b 均大于1，由log b 2>log a 2，知log 2a >log 2b >0，必有a >b >1； ②若a ，b 均大于0小于1，依题意，0>log 2a >log 2b ，必有0<b <a <1； ③若log a 2<0<log b 2，则必有0<a <1<b ； 故：“log b 2>log a 2”不能推出a >b >1；综上所述由充要条件的定义知，a>b>1”是“log b2>log a2”的充分不必要条件．5.函数f(x)＝sin(ωx−π3)在区间[0, 2π]上至少存在5个不同的零点，则正整数ω的最小值为（）A.2B.3C.4D.5【解答】函数f(x)＝sin(ωx−π3)在区间[0, 2π]上至少存在5个不同的零点，则：2T+3T4<2π，整理得：114⋅2πω<2π，解得：ω>114，6.已知函数f(x)＝x3+(a−5)x2+(b+4)x，若函数f(x)是奇函数，且曲线y＝f(x)在点（3, f(3)）的切线与直线y=16x+3垂直，则a+b＝（）A.−32 B.−20 C.25 D.42【解答】因为函数f(x)是奇函数，所以f(−x)＝−f(x)，所以a＝5．由题得f′(x)＝3x2+(b+4)，∴k＝f′(3)＝b+31，因为切线与直线y=16x+3垂直，所以b+31＝−6，所以b＝−37．所以a+b＝−32．7.设实数x，y满足3|x|+2|y|≤6，则7x+3y−1的最小值为（）A.−13B.−15C.−17D.−19【解答】先根据实数x，y满足3|x|+2|y|≤6，画出可行域，A(0, 3)，B(2, 0)，C(0, −3)，D(−2, 0)，当直线z＝7x+3y−1过点D时，目标函数取得最小值，7x+3y−1最小是：−15，8.已知定义在R上的函数f(x)＝a−22−x与函数g(x)＝2x−2+|x−2|的图象有唯一公共点，则实数a的值为（）A.−1B.0C.1D.2【解答】由函数f(x)＝a−22−x与函数g(x)＝2x−2+|x−2|的图象有唯一公共点，可得方程a−22−x＝2x−2+|x−2|有且只有1个解，方程a＝2x−2+22−x+|x−2|有且只有1个解，即直线y＝a与y＝2x−2+22−x+|x−2|的图象只有一个交点，设ℎ(x)＝2x−2+22−x+|x−2|，由ℎ(x)＝ℎ(4−x)，可得函数ℎ(x)关于直线x＝2对称，若a＝2x−2+22−x+|x−2|有且只有1个解，则a＝ℎ(2)＝2，9.已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝2a n−2，若存在两项a m，a n，使得a m a n＝64，则1m +9n的最小值为（）A.145B.114C.83D.103【解答】S n＝2a n−2，可得a1＝S1＝2a1−2，即a1＝2，n≥2时，S n−1＝2a n−1−2，又S n＝2a n−2，相减可得a n＝S n−S n−1＝2a n−2a n−1，即a n＝2a n−1，{a n}是首项为2，公比为2的等比数列．所以a n＝2n．a m a n＝64，即2m⋅2n＝64，得m+n＝6，所以1m +9n=16(m+n)(1m+9n)=16(10+nm+9mn)≥16(10+2√9)=83，当且仅当nm =9mn时取等号，即为m=32，n=92．因为m、n取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则1m +9n>83，验证可得，当m＝2，n＝4时，1m +9n取得最小值为114．10.设函数f(x)＝ae x−2sinx，x∈[0, π]有且仅有一个零点，则实数a的值为（）A.√2e π4 B.√2e−π4 C.√2eπ2 D.√2e−π2【解答】函数f(x)＝ae x−2sinx，x∈[0, π]有且仅有一个零点等价于a=2sinxe x，x∈[0, π]有且仅有一个解，即直线y＝a与g(x)=2sinxe x，x∈[0, π]的图象只有一个交点，设g(x)=2sinxe，x∈[0, π]，则g′(x)=2√2cos(x+π4)e x，当0≤x<π4时，g′(x)>0，当π4<x≤π时，g′(x)<0，即g(x)在[0, π4)为增函数, 在(π4, π]为减函数，又g(0)＝0，g(π)＝0，g(π4)=√2e−π4，则可得实数a的值为√2e−π4，11.定义在[0, +∞)上的函数f(x)满足：当0≤x<2时，f(x)=2x−x2：当x≥2时，f(x)=3f(x−2)．记函数f(x)的极大值点从小到大依次记为a1，a2，⋯，a n，⋯，并记相应的极大值为b1，b2，⋯，b n，⋯，则a1b1+a2b2+⋯+a20b20的值为()A.19×320+1B.19×319+1C.20×319+1D.20×320+1【解答】解：当0≤x<2时，f(x)=2x−x2=1−(x−1)2，可得f(x)的极大值点a1=1，b1=1，当2≤x<4，即有0≤x−2<2，可得f(x)=3f(x−2)=3[1−(x−3)2]，可得a2=3，b2=3，当4≤x<6，即有0≤x−4<2，可得f(x)=9f(x−4)=9[1−(x−5)2]，可得a3=5，b3=9，⋯即有a20=39，b3=319，则S20=a1b1+a2b2+⋯+a20b20=1×1+3×3+5×9+⋯+39×319，3S20=1×3+3×9+5×27+⋯+39×320，相减可得−2S20=1+2(3+9+27+⋯+319)−39×320=1+2×3(1−319)1−3−39×320，化简可得S20=1+19×320.故选A.12.已知函数f(x)={|log 2x|,0<x <2sin(π4x),2≤x ≤10 ，若存在实数x 1，x 2，x 3，x 4，满足x 1<x 2<x 3<x 4，且f(x 1)＝f(x 2)＝f(x 3)＝f(x 4)，则(x 3−2)(x 4−2)x 1x 2的取值范围是（ ） A.(0, 12) B.(0, 16) C.(9, 21) D.(15, 25)【解答】作出函数f(x)={|log 2x|,0<x <2sin(π4x),2≤x ≤10 的图象， 存在实数x 1，x 2，x 3，x 4，满足x 1<x 2<x 3<x 4， 且f(x 1)＝f(x 2)＝f(x 3)＝f(x 4)， 可得−log 2x 1＝log 2x 2，即有x 1x 2＝1，且x 3+x 4＝2×6＝12，即为x 4＝12−x 3，2<x 3<4， 则(x 3−2)(x 4−2)x 1x 2=(x 3−2)(x 4−2)＝(x 3−2)(10−x 3)＝−(x 3−6)2+36， 可得在(2, 4)递增， 即所求范围为(0, 12)．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的横线上已知向量a →=(−2,−1)，b →=(1,λ)，若(a →+2b →) // (2a →−b →)，则实数λ＝________． 【解答】向量a →=(−2,−1)，b →=(1,λ)， 则a →+2b →=(0, 2λ−1)， 2a →−b →=(−5, −λ−1)， 又(a →+2b →) // (2a →−b →)，所以0×(−λ−1)−(−5)×(2λ−1)＝0， 解得实数λ=12．函数f(x)＝Asin(ωx +φ)，其中ω>0，|φ|<π2的图象如图所示，为了得到g(x)＝sin3x 的图象，只需将f(x)的图象向右平移________个单位．【解答】根据函数的图象：A ＝1， 由于T4=5π12−π4=π6，整理得T =2π3，所以ω=2π2π3=3，当x =π4时，3⋅π4+φ＝kπ(k ∈Z)，解得φ＝kπ−3π4(k ∈Z)，由于|ϕ|<π2，当k ＝1时φ=π4． 所以f(x)＝sin(3x +π4)，所以为了得到g(x)＝sin3x 的图象，只需将f(x)的图象向右平移π12个单位即可．在△ABC 中，AB ＝4，O 为三角形的外接圆的圆心，若AO →=xAB →+yAC →(x, y ∈R)，且x +2y ＝1，则△ABC 的面积的最大值为________． 【解答】取AC 的中点D ，因为AO →=xAB →+yAC →(x, y ∈R)， 所以AO →=xAB →+2YAD →， 又因为x +2y ＝1， 所以B ，O ，D 三点共线， 因为O 是三角形的外接圆的圆心，所以BD⊥AC，设AD＝DC＝m，则BD=2所以S△ABC=12⋅2m⋅√16−m2=√m2(16−m2)≤√(m2+16−m22)2=8，当且仅当m＝2√2时取等号．已知恰有两条不同的直线与曲线y＝e x−2和x2＝2py都相切，则实数p的取值范围是________．【解答】恰有两条不同的直线与曲线y＝e x−2和x2＝2py都相切，可得y＝e x−2和x2＝2py在第一象限有两个不同的交点，即为2p=x 2e x−2，设f(x)=x2e x−2，f′(x)=x(2−x)e x−2，可得0<x<2时，f(x)递减；x>2或x<0时，f(x)递增，即有f(x)的极小值为f(0)＝0，极大值为f(2)＝4，则0<2p<4，可得0<p<2．三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知asin A+C2=bsinA．(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．【解答】解：(1)由题设及正弦定理得，sinAsin A+C2=sinBsinA,因为sinA≠0，所以sin A+C2=sinB,由A+B+C=180∘，可得sin A+C2=cos B2,故cos B2=2sin B2cos B2，因为cos B2≠0，故sin B2=12，因此B=60∘；(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC=√34a，由正弦定理得，a=csinAsinC =sin(120∘−C)sinC=√32tanC+12，由于△ABC为锐角三角形，故0∘<A<90∘，0∘<C<90∘，由(1)知A+C=120∘,所以30∘<C<90∘，故12<a<2，从而√38<S△ABC<√32，因此，△ABC的面积的取值范围是(√38, √3 2).函数f(x)＝Asin2(ωx+φ)(A>0, ω>0, 0<φ<π2)，且y＝f(x)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点(1, 2)．（1）求φ；（2）计算f(1)+f(2)+...f(2019)．【解答】函数f(x)＝Asin2(ωx+φ)=A2−A2cos(2ωx+2φ)，由y＝f(x)的最大值为2，则A>0，且A2+A2=2，解得A＝2；又f(x)图象相邻两对称轴间的距离为2，且ω>0，所以12⋅2π2ω=2，解得ω=π4；所以f(x)＝1−cos(π2x+2φ)，又y＝f(x)过(1, 2)点，所以1−cos(π2+2φ)＝2，求得cos(π2+2φ)＝−1，所以sin2φ＝1，解得2φ＝2kπ+π2，k∈Z；所以φ=kπ+π4，k ∈Z ， 又0<φ<π2，所以φ=π4；由φ=π4，所以y ＝f(x)＝1−cos(π2x +π2)＝1+sin π2x ； 所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)＝2+1+0+1＝4， 又y ＝f(x)的周期为4，且2019÷4＝504...3， 所以f(1)+f(2)+...+f(2019)＝504×4+3＝2019．设{a n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为S n (n ∈N ∗)，{b n }是等差数列．已知a 1=1，a 3=a 2+2，a 4=b 3+b 5，a 5=b 4+2b 6． （1）求{a n }和{b n }的通项公式；（2）设数列{S n }的前n 项和为T n (n ∈N ∗)， ①求T n ；②证明∑(T k +b k+2)b k(k+1)(k+2)n k=1=2n+2n+2−2(n ∈N ∗)．【解答】（1）解：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1=1，a 3=a 2+2，可得q 2−q −2=0．∵q >0，可得q =2． 故a n =2n−1．设等差数列{b n }的公差为d ，由a 4=b 3+b 5，得b 1+3d =4， 由a 5=b 4+2b 6，得3b 1+13d =16， ∴b 1=d =1． 故b n =n ．所以数列{a n }的通项公式为a n =2n−1，数列{b n }的通项公式为b n =n ． （2）①解：由(1)，有S n =1−2n 1−2=2n −1，故T n =∑(n k=12k −1)=∑2k n k=1−n =2×(1−2n )1−2−n =2n+1−n −2．②证明：因为(T k +b k+2)b k(k+1)(k+2)=(2k+1−k−2+k+2)k(k+1)(k+2)=k⋅2k+1(k+1)(k+2)=2k+2k+2−2k+1k+1， 所以∑(T k +b k+2)b k (k+1)(k+2)n k=1=(233−222)+(244−233)+⋯+(2n+2n+2−2n+1n+1)=2n+2n+2−2．已知函数f(x)=lnx x．(1)求函数f(x)的单调区间与极值；(2)若不等式f(x)≤kx 对任意x >0恒成立，求实数k 的取值范围．【解答】解：(1)定义域为(0, +∞)，f′(x)=1−lnxx2，令f′(x)=1−lnxx2=0，得x=e．f(x)的单调递增区间为(0, e)，单调递减区间为(e, +∞)．f(x)的极大值为f(e)=lnee =1e，无极小值．(2)∵x>0，lnxx≤kx，∴k≥lnxx2，令ℎ(x)=lnxx2，又ℎ′(x)=1−2lnxx3，令ℎ′(x)=0，解得x=√e，ℎ(x)的单调递增区间为(0,√e)，单调递减区间为(√e,+∞)．当x=√e时函数ℎ(x)有最大值，且最大值为12e，所以k≥12e．已知函数f(x)＝alnx(a≠0)，g(x)＝x−1x．（1）当a＝2时，比较f(x)与g(x)的大小，并证明；（2）令函数F(x)＝[f(√x)]2−[g(√x)]2，若x＝1是函数F(x)的极大值点，求a的取值范围．【解答】a＝2时，设G(x)＝2xlnx−x2+1，G(1)＝0．则x>0，G′(x)＝2(1+lnx−x)，令u(x)＝1+lnx−x，u′(x)=1x −1=−(x−1)x，可得x＝1时，函数u(x)取得极大值，∴u(x)≤u(1)＝0．∴G′(x)＝2(1+lnx−x)≤0，∴G(x)是(0, +∞)上的减函数，∴0<x<1，G(x)<0，即2xlnx<x2−1，∴2lnx<x−1x．x＝1时，可得2lnx＝x−1x．x>1时，2lnx>x−1x．函数F(x)＝[f(√x)]2−[g(√x)]2=[aln√x]2−(√x−√x )2=14a2ln2x−x−1x+2．F′(x)=12a2lnxx−1+1x．∵1是函数F(x)的极大值点，∴x>1时，F′(x)=12a2lnxx−1+1x<0.0<x<1时，F′(x)=12a2lnxx−1+1x2>0．①x>1时，F′(x)=12a2lnxx−1+1x2<0．化为：12a2<x2−1xlnx，令ℎ(x)=x 2−1xlnx，x>1．ℎ′(x)=x2lnx+lnx−x2+1(xlnx)2，令u(x)＝x2lnx+lnx−x2+1，u′(x)＝2xlnx−x+1x=v(x)，v′(x)＝2lnx+1−1x2>0．∴u′(x)>v(1)＝0．∴u(x)>u(1)＝0．∴ℎ′(x)>0．∴ℎ(x)在x∈(1, +∞)上单调递增．∴x→1时，x 2−1xlnx →2xlnx+1=2，∴12a2≤2，可得a2≤4．②0<x<1时，F′(x)=12a2lnxx−1+1x2≥0．同理可得：a2≤4综上可得：a2≤4，解得−2≤a≤2．∴a的取值范围是[−2, 2]．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=3ty=−√3t（t为参数），曲线C1的参数方程为{x=2+2cosθy=2sinθ（θ为参数），以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ= 2√3cosθ−2sinθ．(Ⅰ)分别求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；(Ⅱ)设直线l 交曲线C 1于O ，A 两点，交曲线C 2于O ，B 两点，求|AB|的长． 【解答】（1）直线l 的参数方程为{x =3ty =−√3t （t 为参数），转换为直角坐标方程为：yx =−√33， 所以直线的倾斜角为5π6． 所以：θ=5π6，曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosθy =2sinθ （θ为参数），转换为直角坐标方程为：(x −2)2+y 2＝4． 转换为极坐标方程为：ρ＝4cosθ，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2√3cosθ−2sinθ， 转换为直角坐标的方程为：x 2+y 2=2√3x −2y ， 整理得：x 2+y 2−2√3x +2y =0， 线l 交曲线C 1于O ，A 两点， 则：{θ=5π6ρ=4cosθ，解得：A(−2√3, 5π6)， 直线θ=5π6和曲线C 2于O ，B 两点 则：{θ=5π6ρ=2√3cosθ−2sinθ，解得：B(−4, 5π6)，所以：|AB|＝|ρ1−ρ2|＝4−2√3．已知函数f(x)=|2x −1|−|x −a|，a ≤0． (1)当a =0时，求不等式f(x)<1的解集；(2)若f(x)的图象与x 轴围成的三角形面积大于32，求a 的取值范围． 【解答】解：(1)当a =0时，f(x)<1化为|2x −1|−|x|−1<0． 当x ≤0时，不等式化为x >0，无解；当0<x ≤12时，不等式化为x >0， 解得0<x ≤12；当x >12时，不等式化为x <2， 解得12<x <2；综上，f(x)<1的解集为{x|0<x <2}． (2)由题设可得f(x)={ −x +1−a ，x <a,−3x +1+a ，a ≤x ≤12,x −1+a ，x >12,所以f(x)的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为, (a+13, 0)，(1−a, 0)，(12，a −12)，该三角形的面积为12×[(1−a)−(a+13)]×|a −12|=(1−2a)26．由题设(1−2a)26>32，且a <0，解得a <−1．所以a 的取值范围是(−∞, −1)．设函数f(x)＝|x +3|+|x −1|，x ∈R ，不等式f(x)≤6的解集为M ， （1）求M ；（2）当x ∈M 时，f(x)≥a|x −1|恒成立，求正数a 的取值范围． 【解答】函数f(x)＝|x +3|+|x −1|，当x ≤−3时，f(x)＝(3−x)−(x +1)＝−2−2x ，不等式f(x)≤6化为−2−2x ≤6，解得x ≥−4，此时，−4≤x ≤−3； 当−3<x <1时，f(x)＝3−x +x +1＝4<6，恒成立；当x ≥1时，f(x)＝x −3+x +1＝2x +2，不等式f(x)≤6化为2x +2≤6，解得x ≤2．综上所述，不等式f(x)≤6的解集为[−4, 2]，即M ＝[−4, 2]；当−4≤x ≤−3时，f(x)＝−2x −2，不等式f(x)≥a|x −1|化为−2x −2≥−a(x −1)， 即a ≤2x+2x−1，∴a ≤2+4x−1，求得a ≤1； 当−3<x <1时，f(x)＝4，不等式f(x)≥a|x −1|化为4≥−a(x −1)，即a ≤4−(x−1)，求得0<a ≤1；当x ＝1时，f(x)＝4，不等式f(x)≥a|x −1|化为4≥0，恒成立，此时a >0；当1<x ≤2时，f(x)＝2x +2，不等式f(x)≥a|x −1|化为2x +2≥a(x −1)， 即a ≤2x+2x−1，∴a ≤2+4x−1，求得0<a ≤6． 综上所述，a 的取值范围是(0, 1]．。
2020年甘肃省兰州市中考数学一诊试卷
2020年甘肃省兰州市中考数学一诊试卷一、选择题（本题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（4分）3-的相反数是( )A ．3-B ．3-C ．3±D ．32．（4分）如图所示的几何体的主视图是( )A ．B ．C ．D ．3．（4分）2019年1月3日，我国“嫦娥四号”月球探测器在月球背面软着陆，实现人类有史以来首次成功登陆月球背面．已知月球与地球之间的平均距离约为384000km ，把384000km 用科学记数法可以表示为( )A ．438.410km ⨯B ．53.8410km ⨯C ．60.38410km ⨯D ．63.8410km ⨯4．（4分）下列运算正确的是( )A ．22(2)4a a -=-B ．222()a b a b +=+C ．527()a a =D ．2(2)(2)4a a a -+--=-5．（4分）如图，线段AB 经过O e 的圆心，AC ，BD 分别与O e 相切于点C ，D ．若4AC BD ==，45A ∠=︒，则¶CD的长度为( )A ．πB ．2πC ．22πD ．4π 6．（4分）若函数k y x=与2y ax bx c =++的图象如图所示，则函数y kx b =+的大致图象为()A ．B ．C ．D ．7．（4分）如图，将线段AB 先向右平移5个单位，再将所得线段绕原点按顺时针方向旋转90︒，得到线段A B ''，则点B 的对应点B '的坐标是( )A ．(4,1)-B ．(1,2)-C ．(4,1)-D ．(1,2)-8．（4分）不等式组523(1)131722x x x x +>-⎧⎪⎨--⎪⎩…的所有非负整数解的和是( ) A ．10 B ．7 C ．6 D ．09．（4分）如图，BD 是ABC ∆的角平分线，AE BD ⊥，垂足为F ．若35ABC ∠=︒，50C ∠=︒，则CDE ∠的度数为( )A．35︒B．40︒C．45︒D．50︒10．（4分）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺，现设绳长x尺，木长y尺，则可列二元一次方程组为()A．4.5112y xy x-=⎧⎪⎨-=⎪⎩B．4.5112x yy x-=⎧⎪⎨-=⎪⎩C．4.5112x yx y-=⎧⎪⎨-=⎪⎩D．4.5112y xx y-=⎧⎪⎨-=⎪⎩11．（4分）甲、乙是两个不透明的纸箱，甲中有三张标有数字14，12，1的卡片，乙中有三张标有数字1，2，3的卡片，卡片除所标数字外无其他差别，现制定一个游戏规则：从甲中任取一张卡片，将其数字记为a，从乙中任取一张卡片，将其数字记为b．若a，b能使关于x的一元二次方程210ax bx++=有两个不相等的实数根，则甲获胜；否则乙获胜．则乙获胜的概率为()A．23B．59C．49D．1312．（4分）如图，正方形ABCD，点F在边AB上，且:1:2AF FB=，CE DF⊥，垂足为M，且交AD于点E，AC与DF交于点N，延长CB至G，使12BG BC=，连接GM．有如下结论：①DE AF=；②2AN AB=；③ADF GMF∠=∠；④:1:8ANF CNFBS S∆=四边形．上述结论中，所有正确结论的序号是()A ．①②B ．①③C ．①②③D ．②③④二、填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分，只要求填写最后结果）13．（4分）方程631(1)(1)1x x x -=+--的解为 ． 14．（4分）如图，CD 为O e 的直径，弦AB CD ⊥，垂足为E ，¶¶AB BF=，1CE =，6AB =，则弦AF 的长度为 ．15．（4分）如图，一个正方体由27个大小相同的小立方块搭成，现从中取走若干个小立方块，得到一个新的几何体．若新几何体与原正方体的表面积相等，则最多可以取走 个小立方块．16．（4分）如图，点1A 、3A 、5A ⋯在反比例函数(0)k y x x=>的图象上，点2A 、4A 、6A ⋯⋯在反比例函数(0)k y x x=->的图象上，1212323460OA A A A A A A A α∠=∠=∠=⋯=∠=︒，且12OA =，则(n A n 为正整数）的纵坐标为 ．（用含n 的式子表示）三、解答题（本题共10个小题，共68分，解答题应写出文字说明，证明过程或推演步骤）17．（4分）先化简，再求值：2222421121x x x x x x x ++-÷+--+，其中8x =．18．（4分）解分式方程：31133x x-=--． 19．（4分）已知：α∠，直线l 及l 上两点A ，B ．求作：Rt ABC ∆，使点C 在直线l 的上方，且90ABC ∠=︒，BAC α∠=∠．20．（4分）一幢楼的楼顶端挂着一幅长10米的宣传条幅AB ，某数学兴趣小组在一次活动中，准备测量该楼的高度，但被建筑物FGHM 挡住，不能直接到达楼的底部，他们在点D 处测得条幅顶端A 的仰角45CDA ∠=︒，向后退8米到E 点，测得条幅底端B 的仰角30CEB ∠=︒（点C ，D ，E 在同一直线上，)EC AC ⊥．请你根据以上数据，帮助该兴趣小组计算楼高AC （结果精确到0.01米，参考数据：3 1.732≈，2 1.414)≈．21．（6分）甲、乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.5倍，两人各加工600个这种零件，甲比乙少用5天．（1）求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件？（2）已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是150元和120元，现有3000个这种零件的加工任务，甲单独加工一段时间后另有安排，剩余任务由乙单独完成．如果总加工费不超过7800元，那么甲至少加工了多少天？22．（8分）为了解某市市民“绿色出行”方式的情况，某校数学兴趣小组以问卷调查的形式，随机调查了某市部分出行市民的主要出行方式（参与问卷调查的市民都只从以下五个种类中选择一类），并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．种类A B C D E 出行方式 共享单车 步行 公交车的士 私家车根据以上信息，回答下列问题：（1）参与本次问卷调查的市民共有 人，其中选择B 类的人数有 人；（2）在扇形统计图中，求A 类对应扇形圆心角α的度数，并补全条形统计图；（3）该市约有12万人出行，若将A ，B ，C 这三类出行方式均视为“绿色出行”方式，请估计该市“绿色出行”方式的人数．23．（8分）如图，在ABCD Y 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E ，F 分别为OB ，OD 的中点，延长AE 至G ，使EG AE =，连接CG ．（1）求证：ABE CDF ∆≅∆；（2）当AB 与AC 满足什么数量关系时，四边形EGCF 是矩形？请说明理由．24．（8分）在Rt ABC ∆中，9BC =，12CA =，ABC ∠的平分线BD 交AC 与点D ，DE DB⊥交AB 于点E ．（1）设O e 是BDE ∆的外接圆，求证：AC 是O e 的切线；（2）设O e 交BC 于点F ，连接EF ，求EF AC的值．25．（10分）已知直线y kx b =+经过点(0,2)A ，(4,0)B -和抛物线2y x =．（1）求直线的解析式；（2）将抛物线2y x =沿着x 轴向右平移，平移后的抛物线对称轴左侧部分与y 轴交于点C ，对称轴右侧部分抛物线与直线y kx b =+交于点D ，连接CD ，当//CD x 轴时，求平移后得到的抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，平移后得到的抛物线的对称轴与x 轴交于点E ，P 为该抛物线上一动点，过点P 作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q ，是否存在这样的点P ，使以点E ，P ，Q 为顶点的三角形与AOB ∆相似？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．26．（10分）在ABC ∆中，ABC ∠为锐角，点M 为射线AB 上一动点，连接CM ，以点C 为直角顶点，以CM 为直角边在CM 右侧作等腰直角三角形CMN ，连接NB ．（1）如图1，图2，若ABC ∆为等腰直角三角形，问题初现：①当点M 为线段AB 上不与点A 重合的一个动点，则线段BN ，AM 之间的位置关系是 ，数量关系是 ；深入探究：②当点M 在线段AB 的延长线上时，判断线段BN ，AM 之间的位置关系和数量关系，并说明理由；类比拓展：（2）如图3，90ACB ∠≠︒，若当点M 为线段AB 上不与点A 重合的一个动点，MP CM ⊥交线段BN 于点P ，且45CBA ∠=︒，42BC =，当BM = 时，BP 的最大值为 ．2020年甘肃省兰州市中考数学一诊试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（4分）3-的相反数是( )A ．3-B ．3-C ．3±D ．3【解答】解：根据相反数、绝对值的性质可知：3-的相反数是3．故选：D ．2．（4分）如图所示的几何体的主视图是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：主视图就是从正面看到的图形，能看见的轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线，因此选项B 的图形符合题意，故选：B ．3．（4分）2019年1月3日，我国“嫦娥四号”月球探测器在月球背面软着陆，实现人类有史以来首次成功登陆月球背面．已知月球与地球之间的平均距离约为384000km ，把384000km 用科学记数法可以表示为( )A ．438.410km ⨯B ．53.8410km ⨯C ．60.38410km ⨯D ．63.8410km ⨯【解答】解： 科学记数法表示：384 5000 3.8410km =⨯故选：B ．4．（4分）下列运算正确的是( )A ．22(2)4a a -=-B ．222()a b a b +=+C ．527()a a =D ．2(2)(2)4a a a -+--=-【解答】解：22(2)4a a -=，故选项A 不合题意；222()2a b a ab b +=++，故选项B 不合题意；5210()a a =，故选项C 不合题意；2(2)(2)4a a a -+--=-，故选项D 符合题意．故选：D ．5．（4分）如图，线段AB 经过O e 的圆心，AC ，BD 分别与O e 相切于点C ，D ．若4AC BD ==，45A ∠=︒，则¶CD的长度为( )A ．πB ．2πC ．22πD ．4π【解答】解：连接OC 、OD ，AC Q ，BD 分别与O e 相切于点C ，D ．OC AC ∴⊥，OD BD ⊥，45A ∠=︒Q ，45AOC ∴∠=︒，4AC OC ∴==，4AC BD ==Q ，4OC OD ==，OD BD ∴=，45BOD ∴∠=︒，180454590COD ∴∠=︒-︒-︒=︒，∴¶CD 的长度为：9042180ππ⨯=， 故选：B ．6．（4分）若函数kyx=与2y ax bx c=++的图象如图所示，则函数y kx b=+的大致图象为()A．B．C．D．【解答】解：根据反比例函数的图象位于二、四象限知0k<，根据二次函数的图象确知0a>，0b<，∴函数y kx b=+的大致图象经过二、三、四象限，故选：C．7．（4分）如图，将线段AB先向右平移5个单位，再将所得线段绕原点按顺时针方向旋转90︒，得到线段A B''，则点B的对应点B'的坐标是()A ．(4,1)-B ．(1,2)-C ．(4,1)-D ．(1,2)-【解答】解：将线段AB 先向右平移5个单位，点(2,1)B ，连接OB ，顺时针旋转90︒，则B '对应坐标为(1,2)-， 故选：D ．8．（4分）不等式组523(1)131722x x x x +>-⎧⎪⎨--⎪⎩…的所有非负整数解的和是( )A ．10B ．7C ．6D ．0【解答】解：()5231131722x x x x +>-⎧⎪⎨--⎪⎩①②…， 解不等式①得： 2.5x >-， 解不等式②得：4x …，∴不等式组的解集为： 2.54x -<…，∴不等式组的所有非负整数解是：0，1，2，3，4， ∴不等式组的所有非负整数解的和是0123410++++=，故选：A ．9．（4分）如图，BD 是ABC ∆的角平分线，AE BD ⊥，垂足为F ．若35ABC ∠=︒，50C ∠=︒，则CDE ∠的度数为( )A ．35︒B ．40︒C ．45︒D ．50︒【解答】解：BD Q 是ABC ∆的角平分线，AE BD ⊥， 13522ABD EBD ABC ︒∴∠=∠=∠=，90AFB EFB ∠=∠=︒， 9017.5BAF BEF ∴∠=∠=︒-︒，AB BE ∴=， AF EF ∴=， AD ED ∴=， DAF DEF ∴∠=∠，18095BAC ABC C ∠=︒-∠-∠=︒Q ， 95BED BAD ∴∠=∠=︒， 955045CDE ∴∠=︒-︒=︒，故选：C ．10．（4分）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺，现设绳长x 尺，木长y 尺，则可列二元一次方程组为( ) A ． 4.5112y x y x -=⎧⎪⎨-=⎪⎩ B ． 4.5112x y y x -=⎧⎪⎨-=⎪⎩ C ． 4.5112x y x y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩D ． 4.5112y x x y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩【解答】解：设绳长x 尺，木长为y 尺， 依题意得 4.5112x y y x -=⎧⎪⎨-=⎪⎩， 故选：B ．11．（4分）甲、乙是两个不透明的纸箱，甲中有三张标有数字14，12，1的卡片，乙中有三张标有数字1，2，3的卡片，卡片除所标数字外无其他差别，现制定一个游戏规则：从甲中任取一张卡片，将其数字记为a，从乙中任取一张卡片，将其数字记为b．若a，b能使关于x的一元二次方程210ax bx++=有两个不相等的实数根，则甲获胜；否则乙获胜．则乙获胜的概率为()A．23B．59C．49D．13【解答】解：画树状图如下：由图可知，共有9种等可能的结果，其中能使乙获胜的有4种结果数，∴乙获胜的概率为49，故选：C．12．（4分）如图，正方形ABCD，点F在边AB上，且:1:2AF FB=，CE DF⊥，垂足为M，且交AD于点E，AC与DF交于点N，延长CB至G，使12BG BC=，连接GM．有如下结论：①DE AF=；②24AN AB=；③ADF GMF∠=∠；④:1:8ANF CNFBS S∆=四边形．上述结论中，所有正确结论的序号是()A．①②B．①③C．①②③D．②③④【解答】解：Q四边形ABCD是正方形，AD AB CD BC∴===，90CDE DAF∠=∠=︒，CE DF⊥Q，90DCE CDF ADF CDF∴∠+∠=∠+∠=︒，ADF DCE∴∠=∠，在ADF∆与DCE∆中，90DAF CDE AD CDADF DCE ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()ADF DCE ASA ∴∆≅∆，DE AF ∴=；故①正确；//AB CD Q ， ∴AF ANCD CN=， :1:2AF FB =Q ，::1:3AF AB AF CD ∴==， ∴13AN CN =， ∴14AN AC =，AC =Q ，∴14=，AN AB ∴=；故②正确； 作GH CE ⊥于H ，设AF DE a ==，2BF a =，则3AB CD BC a ===，EC =， 由CMD CDE ∆∆∽，可得CM =， 由GHC CDE ∆∆∽，可得CH =， 12CH MH CM ∴==，GH CM ⊥Q ， GM GC ∴=， GMH GCH ∴∠=∠，90FMG GMH ∠+∠=︒Q ，90DCE GCM ∠+∠=︒， FEG DCE ∴∠=∠， ADF DCE ∠=∠Q ，ADF GMF ∴∠=∠；故③正确，设ANF ∆的面积为m ， //AF CD Q ，∴13AF FN CD DN ==，AFN CDN ∆∆∽， ADN ∴∆的面积为3m ，DCN ∆的面积为9m ， ADC ∴∆的面积ABC =∆的面积12m =，:1:11ANF CNFB S S ∆∴=四边形，故④错误，故选：C ．二、填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分，只要求填写最后结果） 13．（4分）方程631(1)(1)1x x x -=+--的解为 4x =- ．【解答】解：631(1)(1)1x x x -=+--，63(1)1(1)(1)(1)(1)x x x x x +-=+--+，331(1)(1)xx x -=+-，311x -=+， 13x +=-， 4x =-，经检验4x =-是原方程的根； 故答案为4x =-；14．（4分）如图，CD 为O e 的直径，弦AB CD ⊥，垂足为E ，¶¶AB BF =，1CE =，6AB =，则弦AF 的长度为485．【解答】解：连接OA 、OB ，OB 交AF 于G ，如图， AB CD ⊥Q ，132AE BE AB ∴===， 设O e 的半径为r ，则1OE r =-，OA r =， 在Rt OAE ∆中，2223(1)r r +-=，解得5r =，Q ¶¶AB BF=， OB AF ∴⊥，AG FG =，在Rt OAG ∆中，2225AG OG +=，① 在Rt ABG ∆中，222(5)6AG OG +-=，② 解由①②组成的方程组得到245AG =， 4825AF AG ∴==． 故答案为485．15．（4分）如图，一个正方体由27个大小相同的小立方块搭成，现从中取走若干个小立方块，得到一个新的几何体．若新几何体与原正方体的表面积相等，则最多可以取走 16 个小立方块．【解答】解：若新几何体与原正方体的表面积相等，最多可以取走16个小正方体，只需留11个，分别是正中心的3个和四角上各2个，如图所示：故答案为：1616．（4分）如图，点1A 、3A 、5A ⋯在反比例函数(0)ky x x =>的图象上，点2A 、4A 、6A ⋯⋯在反比例函数(0)ky x x=->的图象上，1212323460OA A A A A A A A α∠=∠=∠=⋯=∠=︒，且12OA =，则(n A n 为正整数）的纵坐标为 1(1)3(1)n n n +--- ．（用含n 的式子表示）【解答】解：过1A 作11A D x ⊥轴于1D ， 12OA =Q ，1260OA A α∠=∠=︒， ∴△1OA E 是等边三角形，13)A ∴， 3k ∴3y ∴=和3y =，过2A 作22A D x ⊥轴于2D ， 212360A EF A A A ∠=∠=︒Q ， ∴△2A EF 是等边三角形，设23(,A x ，则223A D =Rt △22EA D 中，2230EA D ∠=︒，21ED x∴=， 212OD x x=+=Q ，解得：11x =（舍)，21x =+21)2EF x ∴=====，221)A D ==，即2A 的纵坐标为1)； 过3A 作33A D x ⊥轴于3D ， 同理得：△3A FG 是等边三角形，设3(A x ，则33A D =， Rt △33FA D 中，3330FA D ∠=︒，31FD x∴=，3122OD x x=++=Q ，解得：1x =（舍)，2x =2GF x ∴====33A D =，即3A ；⋯(n A n ∴为正整数）的纵坐标为：(1)n +-；故答案为：(1)n +-；三、解答题（本题共10个小题，共68分，解答题应写出文字说明，证明过程或推演步骤） 17．（4分）先化简，再求值：2222421121x x x x x x x ++-÷+--+，其中8x =． 【解答】解：原式222(2)(1)1(1)(1)2x x x x x x x +-=-++-+g22211x x x x -=-++ 21x =+ 当8x =时， 原式29=18．（4分）解分式方程：31133x x-=--． 【解答】解：原方程可整理得：31133x x --=--， 去分母得：3(3)1x --=-， 去括号得：331x -+=-， 移项得：133x -=---， 合并同类项得：7x -=-， 系数化为1得：7x =， 经检验7x =是分式方程的解．19．（4分）已知：α∠，直线l 及l 上两点A ，B ．求作：Rt ABC ∆，使点C 在直线l 的上方，且90ABC ∠=︒，BAC α∠=∠．【解答】解：如图所示，Rt ABC ∆即为所求．20．（4分）一幢楼的楼顶端挂着一幅长10米的宣传条幅AB ，某数学兴趣小组在一次活动中，准备测量该楼的高度，但被建筑物FGHM 挡住，不能直接到达楼的底部，他们在点D 处测得条幅顶端A 的仰角45CDA ∠=︒，向后退8米到E 点，测得条幅底端B 的仰角30CEB ∠=︒（点C ，D ，E 在同一直线上，)EC AC ⊥．请你根据以上数据，帮助该兴趣小组计算楼高AC （结果精确到0.01米，参考数据：3 1.732≈，2 1.414)≈．【解答】解：设AC x =米，则(10)BC x =-米， 在Rt ACD ∆中，45CDA CAD ∠=∠=︒， 所以CD AC x ==，在Rt ECB ∆中，8CE CD DE x =+=+． 所以tan BCCEB CE∠=，即103tan308x x -=︒=+ 解得，810334.5931x +=≈-．答：楼高AC 约为34.59米．21．（6分）甲、乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.5倍，两人各加工600个这种零件，甲比乙少用5天． （1）求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件？（2）已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是150元和120元，现有3000个这种零件的加工任务，甲单独加工一段时间后另有安排，剩余任务由乙单独完成．如果总加工费不超过7800元，那么甲至少加工了多少天？【解答】解：（1）设乙每天加工x 个零件，则甲每天加工1.5x 个零件，由题意得：60060051.5x x=+化简得600 1.56005 1.5x ⨯=+⨯ 解得40x = 1.560x ∴=经检验，40x =是分式方程的解且符合实际意义． 答：甲每天加工60个零件，乙每天加工，40个零件． （2）设甲加工了x 天，乙加工了y 天，则由题意得 604030001501207800x y x y +=⎧⎨+⎩①②… 由①得75 1.5y x =-③将③代入②得150120(75 1.5)7800x x +-… 解得40x …，当40x =时，15y =，符合问题的实际意义． 答：甲至少加工了40天．22．（8分）为了解某市市民“绿色出行”方式的情况，某校数学兴趣小组以问卷调查的形式，随机调查了某市部分出行市民的主要出行方式（参与问卷调查的市民都只从以下五个种类中选择一类），并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．根据以上信息，回答下列问题：（1）参与本次问卷调查的市民共有800人，其中选择B类的人数有人；（2）在扇形统计图中，求A类对应扇形圆心角α的度数，并补全条形统计图；（3）该市约有12万人出行，若将A，B，C这三类出行方式均视为“绿色出行”方式，请估计该市“绿色出行”方式的人数．【解答】解：（1）本次调查的市民有20025%800÷=（人)，B∴类别的人数为80030%240⨯=（人)，故答案为：800，240；-+++=，（2）AQ类人数所占百分比为1(30%25%14%6%)25%∴类对应扇形圆心角α的度数为36025%90A⨯=（人)，︒⨯=︒，A类的人数为80025%200补全条形图如下：⨯++=（万人），（3）12(25%30%25%)9.6答：估计该市“绿色出行”方式的人数约为9.6万人．23．（8分）如图，在ABCDY中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD 的中点，延长AE至G，使EG AE=，连接CG．（1）求证：ABE CDF∆≅∆；（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．【解答】（1）证明：Q 四边形ABCD 是平行四边形， AB CD ∴=，//AB CD ，OB OD =，OA OC =， ABE CDF ∴∠=∠，Q 点E ，F 分别为OB ，OD 的中点，12BE OB ∴=，12DF OD =，BE DF ∴=，在ABE ∆和CDF ∆中，AB CDABE CDF BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE CDF SAS ∴∆≅∆；（2）解：当2AC AB =时，四边形EGCF 是矩形；理由如下： 2AC OA =Q ，2AC AB =， AB OA ∴=，E Q 是OB 的中点，AG OB ∴⊥， 90OEG ∴∠=︒，同理：CF OD ⊥， //AG CF ∴， //EG CF ∴，由（1）得：ABE CDF ∆≅∆， AE CF ∴=， EG AE =Q ， EG CF ∴=，∴四边形EGCF 是平行四边形，90OEG ∠=︒Q ，∴四边形EGCF 是矩形．24．（8分）在Rt ABC ∆中，9BC =，12CA =，ABC ∠的平分线BD 交AC 与点D ，DE DB ⊥交AB 于点E ．（1）设O e 是BDE ∆的外接圆，求证：AC 是O e 的切线； （2）设O e 交BC 于点F ，连接EF ，求EFAC的值．【解答】（1）证明：DE DB ⊥Q ，O e 是Rt BDE ∆的外接圆BE ∴是O e 的直径，点O 是BE 的中点，连接OD （1分）90C ∠=︒Q90DBC BDC ∴∠+∠=︒又BD Q 为ABC ∠的平分线 ABD DBC ∴∠=∠ OB OD =Q ABD ODB ∴∠=∠ 90ODB BDC ∴∠+∠=︒ 90ODC ∴∠=︒（4分）又OD Q 是O e 的半径 AC ∴是O e 的切线（5分）（2）解：设O e 的半径为r ，在Rt ABC ∆中，22222912225AB BC CA =+=+= 15AB ∴=（7分）A A ∠=∠Q ，90ADO C ∠=∠=︒ADO ACB ∴∆∆∽． ∴AO ODAB BC=∴15159r r-= ∴458r =4524BE r ∴==，（10分） 又BE Q 是O e 的直径 90BFE ∴∠=︒ BEF BAC ∴∆∆∽∴4534154EF BE AC BA ===（12分）25．（10分）已知直线y kx b =+经过点(0,2)A ，(4,0)B -和抛物线2y x =． （1）求直线的解析式；（2）将抛物线2y x =沿着x 轴向右平移，平移后的抛物线对称轴左侧部分与y 轴交于点C ，对称轴右侧部分抛物线与直线y kx b =+交于点D ，连接CD ，当//CD x 轴时，求平移后得到的抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，平移后得到的抛物线的对称轴与x 轴交于点E ，P 为该抛物线上一动点，过点P 作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q ，是否存在这样的点P ，使以点E ，P ，Q 为顶点的三角形与AOB ∆相似？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将(0,2)A ，(4,0)B -代入y kx b =+，得：240b k b =⎧⎨-+=⎩，解得：122k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴直线AB 的解析式为122y x =+． （2）如图1，设平移后抛物线的解析式为2()(0)y x m m =->，则平移后抛物线的对称轴为直线x m =，点C 的坐标为2(0,)m ． //CD x Q 轴，∴点C ，D 关于直线x m =对称，∴点D 的坐标为2(2,)m m ．Q 点D 在直线122y x =+上， 21222m m ∴=⨯+，解得：11m =-（舍去），22m =，∴平移后抛物线的解析式为2(2)y x =-，即244y x x =-+．（3）存在这样的点P ，使以点E ，P ，Q 为顶点的三角形与AOB ∆相似． 设点P 的坐标为2(,44)a a a -+，则|2|PQ a =-，244EQ a a =-+．90PQE ∠=︒Q ，∴分两种情况考虑，如图2所示．①当EQP AOB ∆∆∽时，PQ EQ BO AO=，即2|2|4442a a a --+=， 化简，得：1|2|2a -=，解得：132a =，252a =，∴点P 的坐标为3(2，1)4或5(2，1)4；②当PQE AOB ∆∆∽时，PQ EQAO BO =，即2|2|4424a a a --+=， 化简，得：|2|2a -=， 解得：10a =，24a =， ∴点P 的坐标为(0,4)或(4,4)．综上所述：存在这样的点P，使以点E，P，Q为顶点的三角形与AOB∆相似，点P的坐标为3(2，1)4，5(2，1)4，(0,4)或(4,4)．26．（10分）在ABC∆中，ABC∠为锐角，点M为射线AB上一动点，连接CM，以点C为直角顶点，以CM为直角边在CM右侧作等腰直角三角形CMN，连接NB．（1）如图1，图2，若ABC∆为等腰直角三角形，问题初现：①当点M为线段AB上不与点A重合的一个动点，则线段BN，AM之间的位置关系是AM BN⊥，数量关系是；深入探究：②当点M在线段AB的延长线上时，判断线段BN，AM之间的位置关系和数量关系，并说明理由；类比拓展：（2）如图3，90ACB∠≠︒，若当点M为线段AB上不与点A重合的一个动点，MP CM⊥交线段BN于点P，且45CBA∠=︒，42BC=BM=时，BP的最大值为．【解答】解：问题初现：（1）①AM与BN位置关系是AM BN=．⊥，数量关系是AM BN理由：如图1，ABC∆∆为等腰直角三角形，Q，CMNCAB CBA=，CM CN∠=∠=︒=，4590ACB MCN∴∠=∠=︒，AC BC=，=，CM CNACM BCN∴∠=∠，且AC BCSASACM BCN∴∆≅∆()=．∴∠=∠=︒，AM BNCAM CBN45∠=∠=︒Q，CAB CBA45∴∠=︒+︒=︒，即AM BN⊥ABN454590故答案为：AM BN=⊥；AM BN深入探究：②当点M在线段AB的延长线上时，AM与BN位置关系是AM BN⊥，数量关系是AM BN=．理由如下：如图，Q，CMN∆为等腰直角三角形，∆ABC=，45CAB CBA=，CM CN∠=∠=︒∴∠=∠=︒，AC BC90ACB MCN=，=，CM CN∴∠=∠，且AC BCACM BCNSASACM BCN∴∆≅∆()45CAM CBN∴∠=∠=︒，AM BN=．45CAB CBA∠=∠=︒Q，454590ABN∴∠=︒+︒=︒，即AM BN⊥类比拓展：（2）如图，过点C作CE AB⊥于点E，过点N作NF CE⊥于点F，则//FN ABMCN∆Q是等腰直角三角形CM CN∴=，90MCN∠=︒90ECM FCN∴∠+∠=︒，且90ECM CME∠+∠=︒FCN CME∴∠=∠，且CM CN=，90F CEM∠=∠=︒()CNF CME AAS∴∆≅∆FN EC∴=，EM CF=42BC=Q，CE AB⊥，45CBA∠=︒4CE BE∴==，FN BE CE∴==，且//FN BA∴四边形FNBE是平行四边形，且90F∠=︒∴四边形FNBE是矩形90CEM ABN∴∠=∠=︒90PMB MPB∴∠+∠=︒CM MP⊥Q90CME PMB∴∠+∠=︒CME MPB∴∠=∠，且90CEM ABN∠=∠=︒CEM MBP∴∆∆∽∴BP MB EM CE=第31页（共31页） 2(4)1(2)144BM BM BP BM -∴==--+ ∴当2BM =时，BP 有最大值为1． 故答案为：2，1。
2020年四川省宜宾市高考数学一诊试卷(理科)试题及答案(解析版)
∴ 时，g（x）取得最小值 ，
解 得，a≥4，显然a＜4和a＞4时，都不满足f（x）在（0，2）上是减函数，只有a＝4时满足f（x）在（0，2）上是减函数，
∴满足条件的a的集合是{4}．
故答案为：{4}．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分.
2020年四川省宜宾市高考数学一诊试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，4}，则∁UA＝（ ）
A．{5，6}B．{1，2，3，4}C．{2，5，6}D．{2，3，4，5，6}
（1）讨论f（x）在其定义域内的单调性；
（2）若a＝1，且f（x1）＝f（x2），其中0＜x1＜x2，求证：x1+x2+x1x2＞3．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．如图所示，“8”是在极坐标系Ox中分别以 和 为圆心，外切于点O的两个圆．过O作两条夹角为 的射线分别交⊙C1于O、A两点，交⊙C2于O、B两点．
∴cos∠AOB＝ ，即∠AOB＝60°．
（1）若λ＞0，μ＞0，
设 ＝2 ， ＝2 ，则 ＝ + ，
∵|λ|+|μ|＝λ+μ≤2，故当λ+μ＝2时，E，F，P三点共线，
故点P表示的区域为△OEF，
2020级绵阳一诊文科数学参考答案
绵阳市高中2020级第一次诊断性考试文科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
BADAB CDACB DD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．5 14．31 15．(2)(1)，，-∞-+∞ 16．10.5三、解答题：本大题共6小题，共70分。
17．解：（1）2()2cos f x x x =-cos2122x x +=-1sin(2)62x π=--………4分 令3222262≤≤k x k πππππ+-+(k ∈Z )，……………………………………………6分 解得536≤≤k x k ππππ++(k ∈Z )， ∴函数f (x )的单调递减区间为5[]36，k k ππππ++(k ∈Z )．…………………………8分 （2）由()1f x =-，得1sin(2)62x π-=-， ∵[0]，x π∈，∴112[]666，x πππ-∈-．………………………………………………9分 ∴71126666，，x ππππ-=-，……………………………………………………………11分 解得203x ππ=，，． …………………………………………………………………12分 18．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ．∵123894154，，a a a a a a ++=+= ∴1113315215412a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩，， ………………………………………………………………3分 解得132.a d =⎧⎨=⎩， ……………………………………………………………………………4分 ∴32121n a (n )n =+-=+．……………………………………………………………6分 （2）∵1111()(21)(23)22123n c n n n n ==-++++， …………………………………8分 ∴12111n c c c +++1111111()235572123n n =-+-++-++…………………………10分 111()2323n =-+． ………………………………………………12分19．解：（1）∵cos (1cos )a B b A ⋅=+，由正弦定理，得sin cos sin (1cos )A B B A ⋅=+，………………………………………2分即sin cos cos sin sin A B A B B ⋅-⋅=，∴sin sin A B B -=（）， …………………………………………………………………4分 ∴A B B -=或A B B π-+=（）（舍），即2A B =．…………………………………6分（2）由锐角△ABC ，可得02B π<<，022A B π<=<，032C B ππ<=-<． 即64B ππ<<，cos B <<．………………………………………………9分 ∵cos (1cos )a B b A =+∴cos 2(1cos2)a B B =+． …………………………………………………………10分 ∴4cos a B =．………………………………………………………………………11分∴a ∈． …………………………………………………………………12分20．解：（1）由题意得2()(4)4(4)()f x x k x k x x k '=-++=--． ……………………1分当1k =时，由()0f x '>，得1x <或4x >．由()0f x '<，得14x <<． ……………………………………………………………3分∴函数()f x 在(1，4)上单调递减，在(-∞，1)和(4，+∞)上单调递增． ……………5分∴函数()f x 的极大值为(1)0f =，极小值为9(4)2f =-．……………………………6分 （2）当k ≤0或k ≥3时，函数()f x 在(0，3)上为单调函数，最多只有一个零点． 当03k <<时，函数()f x 在(0，k )上单调递增，在(k ，3)上单调递减． …………9分 要使函数()f x 在(0，3)上有两个零点，则需满足：03k <<且()0(0)0(3)0f k f f >⎧⎪<⎨⎪<⎩，，， 解得1319k <<．……………………………………………12分 21．解：（1）由题意得1()22f x x m x '=+-，∴122x x +≥． …………………………………………………………2分 ①当m ≤2时，不等式()0f x '≥恒成立，∴函数f (x )在区间(0)+∞，上单调递增． …………………………………………3分②当m >2时，由()0f x '>，解得0<x 或x ．函数f (x )的单调增区间为(0，)+∞，单调减区间为．………………………………………5分 综上，当m ≤2时，函数f (x )的增区间为(0)+∞，，无递减区间；当m >2时，函数f (x )的增区间为(0，)+∞．函数f (x )的减区间为． ……………………………6分 （2）当1[)2x ∈+∞，时，由f (1)=0，要使得()0f x ≥恒成立， ∴(1)0f '=． 又1()22f x x m x'=+-， ∴1(1)2+02f m '=-=，解得52m =． ……………………………………………8分 下证：当52m =时，()0f x ≥恒成立，此时2153()ln 222f x x x x =+-+． 215451(41)(1)()2=2222x x x x f x x x x x-+--'=+-=． ………………………………9分 ∵1[)2x ∈+∞，， ∴由()0f x '>，解得x >1．由()0f x '<解得0<x <1．∴()(1)0f x f =≥． …………………………………………………………………11分 综上，52m =． ……………………………………………………………………12分 22．解：（1）由题意得圆C 的普通方程为22(3)9x y -+=．直线l 60y -+=．…………………………………………………4分∵圆心C 到直线l 的距离3d =>， ∴直线l 和圆C 相离．…………………………………………………………………5分（2）设[)33cos 3sin )(02)（，，P θθθπ+∈．=，∴|2cos()26πθ++=cos()16πθ+=-．………………………………7分 ∴6πθ+=π，则56πθ=， …………………………………………………………8分 ∴3(3)2，P ， …………………………………………………………………9分∴CA CP ⋅=． ……………………………………………………………10分 23．解：（1）11()222f x x x x =+++++ ≥11(2)()22x x x +-+++=3122x ++ ………………………………3分 ≥32．(当且仅当12x =-时，取等) ……………………………………4分 ∴函数f (x )的最小值为32． …………………………………………………………5分 （2）∵f (a )＋f (b )＋f (c )＝18，∴3a b c ++=．………………………………………………………………………6分由111()()a b c a b c ++++111a a b b c c b c a c a b=++++++++ ()()()3a b c a c b b a a c b c=++++++≥9， 得1113a b c++≥． ……………………………………………………………………8分 ∵2()a b c ++222222a b c ab bc ac =+++++2223()≤a b c ++，∴2233a b c ++≥． …………………………………………………………………9分 ∴22111()()9≥a b c a b c ， ∴2221119≥a b c a b c++++． ………………………………………………………10分。
四川省成都市2020届高考一诊试卷数学(理科)(含答案)
四川省成都市2020届高考一诊模拟试卷数学（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x∈N|x＞1}，B={x|x＜5}，则A∩B=（）A. {x|1＜x＜5}B. {x|x＞1}C. {2，3，4}D. {1，2，3，4，5}2.已知复数z满足iz=1+i，则z的共轭复数=（）A. 1+iB. 1-iC.D. -1-i3.若等边△ABC的边长为4，则•=（）A. 8B. -8C.D. -84.在（2x-1）（x-y）6的展开式中x3y3的系数为（）A. 50B. 20C. 15D. -205.若等比数列{a n}满足：a1=1，a5=4a3，a1+a2+a3=7，则该数列的公比为（）A. -2B. 2C. ±2D.6.若实数a，b满足|a|＞|b|，则（）A. e a＞e bB. sin a＞sin bC.D.7.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=4，AB=2，点E，F分别为棱BB1，CC1上两点，且BE=BB1，CF=CC1，则（）A. D1E≠AF，且直线D1E，AF异面B. D1E≠AF，且直线D1E，AF相交C. D1E=AF，且直线D1E，AF异面D. D1E=AF，且直线D1E，AF相交8.设函数，若f（x）在点（3，f（3））的切线与x轴平行，且在区间[m-1，m+1]上单调递减，则实数m的取值范围是（）A. m≤2B. m≥4C. 1＜m≤2D. 0＜m≤39.国际羽毛球比赛规则从2006年5月开始，正式决定实行21分的比赛规则和每球得分制，并且每次得分者发球，所有单项的每局获胜分至少是21分，最高不超过30分，即先到21分的获胜一方赢得该局比赛，如果双方比分为20：20时，获胜的一方需超过对方2分才算取胜，直至双方比分打成29：29时，那么先到第30分的一方获胜．在一局比赛中，甲发球赢球的概率为，甲接发球赢球的概率为，则在比分为20：20，且甲发球的情况下，甲以23：21赢下比赛的概率为（）A. B. C. D.10.函数f（x）=的图象大致为（）A. B.C. D.11.设圆C：x2+y2-2x-3=0，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则线段PC长度的最大值为（）A. B. 2 C. 4 D.12.设函数f（x）=cos|2x|+|sin x|，下述四个结论：①f（x）是偶函数；②f（x）的最小正周期为π；③f（x）的最小值为0；④f（x）在[0，2π]上有3个零点．其中所有正确结论的编号是（）A. ①②B. ①②③C. ①③④D. ②③④二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若等差数列{a n}满足：a1=1，a2+a3=5，则a n=______．14.今年由于猪肉涨价太多，更多市民选择购买鸡肉、鸭肉、鱼肉等其它肉类．某天在市场中随机抽出100名市民调查，其中不买猪肉的人有30位，买了肉的人有90位，买猪肉且买其它肉的人共30位，则这一天该市只买猪肉的人数与全市人数的比值的估计值为______．15.已知双曲线C：x2-=1的左，右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l分别与两条渐进线交于A，B两点，若•=0，=λ，则λ=______．16.若函数f（x）=恰有2个零点，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，消费次第第1次第2次第3次第4次≥5次收费比例10.950.900.850.80该公司从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据如表：消费次第第1次第2次第3次第4次第5次频数60201055假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题：（1）估计该公司一位会员至少消费两次的概率；（2）某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；（3）以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，设该公司为一位会员服务的平均利润为X元，求X 的分布列和数学期望E（X）．18.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．（Ⅰ）求sin B；（Ⅱ）若△ABC的周长为8，求△ABC的面积的取值范围．19.如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的菱形，且∠ADC=60°，，．（Ⅰ）证明：平面CDD1⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角D1-AD-C的余弦值．20.设椭圆，过点A（2，1）的直线AP，AQ分别交C于不同的两点P，Q，直线PQ恒过点B（4，0）．（Ⅰ）证明：直线AP，AQ的斜率之和为定值；（Ⅱ）直线AP，AQ分别与x轴相交于M，N两点，在x轴上是否存在定点G，使得|GM|•|GN|为定值？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由．21.设函数，，．（Ⅰ）证明：f（x）≤0；（Ⅱ）当时，不等式恒成立，求m的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，直线l：（t为参数）与曲线C：（m为参数）相交于不同的两点A，B．（Ⅰ）当α=时，求直线l与曲线C的普通方程；（Ⅱ）若|MA||MB|=2||MA|-|MB||，其中M（，0），求直线l的倾斜角．23.已知函数f（x）=|x+1|+|ax-1|．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≤4的解集；（Ⅱ）当x≥1时，不等式f（x）≤3x+b成立，证明：a+b≥0．答案和解析1.【答案】C2.【答案】A3.【答案】A4.【答案】B5.【答案】B6.【答案】C7.【答案】A8.【答案】C9.【答案】B10.【答案】D11.【答案】C12.【答案】B13.【答案】n14.【答案】0.415.【答案】116.【答案】[，1）∪{2}∪[e，+∞）17.【答案】解：（1）100位会员中，至少消费两次的会员有40人，∴估计一位会员至少消费两次的概率为．（2）该会员第一次消费时，公司获得利润为200-150=50（元），第2次消费时，公司获得利润为200×0.95-150=40（元），∴公司这两次服务的平均利润为（元）．（3）由（2）知，一位会员消费次数可能为1次，2次，3次，4次，5次，当会员仅消费1次时，利润为50元，当会员仅消费2次时，平均利润为45元，当会员仅消费3次时，平均利润为40元，当会员仅消费4次时，平均利润为35元，当会员仅消费5次时，平均利润为30元，故X的所有可能取值为50，45，40，35，30，X的分布列为：X5045403530P0.60.20.10.050.05X数学期望为E（X）=50×0.6+45×0.2+40×0.1+35×0.05+30×0.05=46.25（元）．【解析】（1）100位会员中，至少消费两次的会员有40人，即可得出估计一位会员至少消费两次的概率．（2）该会员第一次消费时，公司获得利润为200-150=50（元），第2次消费时，公司获得利润为200×0.95-150=40（元），即可得出公司这两次服务的平均利润．（3）由（2）知，一位会员消费次数可能为1次，2次，3次，4次，5次，当会员仅消费1次时，利润为50元，当会员仅消费2次时，平均利润为45元，当会员仅消费3次时，平均利润为40元，当会员仅消费4次时，平均利润为35元，当会员仅消费5次时，平均利润为30元，故X的所有可能取值为50，45，40，35，30，即可得出X的分布列．本题考查了频率与概率的关系、随机变量的分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（1）∵且sin（A+C）=sin B∴，又∵∴，∴，∴，∴，∴．（2）由题意知：a+b+c=8，故b=8-（a+c）∴，∴∴，，∴∴，或（舍），即∴（当a=c时等号成立）综上，△ABC的面积的取值范围为．【解析】（1）直接利用三角函数关系式的变换的应用和倍角公式的应用求出结果．（2）利用余弦定理和不等式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．19.【答案】（1）证明：令CD的中点为O，连接OA，OD1，AC，∵，∴D1O⊥DC且又∵底面ABCD为边长为2的菱形，且∠ADC=60°，∴AO=，又∵，∴，∴D1O⊥OA，又∵OA，DC⊆平面ABCD，OA∩DC=O，又∵D1O⊆平面CDD1，∴平面CDD1⊥平面ABCD．（2）过O作直线OH⊥AD于H，连接D1H，∵D1O⊥平面ABCD，∴D1O⊥AD，∴AD⊥平面OHD1，∴AD⊥HD1，∴∠D1HO为二面角D1-AD-C所成的平面角，又∵OD=1，∠ODA=60°，∴，∴，∴．【解析】（1）令CD的中点为O，连接OA，OD1，AC，证明D1O⊥DC，D1O⊥OA，然后证明平面CDD1⊥平面ABCD．（2）过O作直线OH⊥AD于H，连接D1H，说明∠D1HO为二面角D1-AD-C所成的平面角，通过求解三角形，求解即可．本题考查平面与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线PQ、AP、AQ的斜率分别为k，k1，k2，由得（1+4k2）x2-32k2x+64k2-8=0，△＞0，可得：，，，==；（Ⅱ）设M（x3，0），N（x4，0），由y-1=k1（x-2），令y=0，得x3=2-，即M（2-，0），同理，即N（2-，0），设x轴上存在定点G（x0，0），=|（x0-2）2+（x0-2）（）+|=，要使|GM|•|GN|为定值，即x0-2=1，x0=3，故x轴上存在定点G（3，0）使|GM|•|GN|为定值，该定值为1．【解析】（Ⅰ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线y=k（x-4）和椭圆方程，运用韦达定理，直线PQ、AP、AQ的斜率分别为k，k1，k2，运用直线的斜率公式，化简整理即可得到得证；（Ⅱ）设M（x3，0），N（x4，0），由y-1=k1（x-2），令y=0，求得M的坐标，同理可得N的坐标，再由两点的距离公式，化简整理可得所求乘积．本题考查椭圆的方程和运用，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查直线的斜率公式，以及存在性问题的解法，考查化简运算能力，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=-cos x在x∈[0，]上单调递增，f′（x）∈[-1，]，所以存在唯一x0∈（0，），f′（x0）=0．当x∈（0，x0），f′（x）＜0，f（x）递减；当x∈（x0，），f′（x）＞0，f（x）递增．所以f（x）max=max=0，∴f（x）≤0，0≤x≤；（Ⅱ）g′（x）=-sin x+m（x-），g″（x）=-cos x+m，当m≥0时，g′（x）≤0，则g（x）在[0，]上单调递减，所以g（x）min=g（）=，满足题意．当-＜m＜0时，g″（x）在x上单调递增．g''（0）=+m＞0，所以存在唯一x1∈（0，），g″（x1）=0．当x∈（0，x1），g″（x）＜0，则g′（x）递减；当x∈（x1，），g″（x）＞0，则g′（x）递增．而g′（0）=-m＞0，g′（）=0，所以存在唯一x2，g′（x2）=0，当x∈（0，x2），g′（x）＞0，则g（x）递增；x，g′（x）＜0，则g（x）递减．要使g（x）≥恒成立，即，解得m≥，所以≤m＜0，当m≤-时，g″（x）≤0，当x∈[0，]，g′（x）递减，又，g′（x）≥0，所以g（x）在递增．则g（x）≤g（）=与题意矛盾．综上：m的取值范围为[，+∞）．【解析】（Ⅰ）利用f（x）的导数可先判断出其单调区间，比较可求出函数的最大值，即可证；（Ⅱ）对g（x）二次求导判断出m≥0时，可求出g（x）min=g（）=，当-＜m＜0时，与题意矛盾，综合可求出m的取值范围．本题考查利用导数求函数单调区间，求函数最值问题，还涉及函数恒成立问题，属于中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）当α=时，直线l：（t为参数）化为，消去参数t，可得直线l的普通方程为y=x-；由曲线C：（m为参数），消去参数m，可得曲线C的普通方程为y2=2x；（Ⅱ）将直线l：（t为参数）代入y2=2x，得．，．由|MA||MB|=2||MA|-|MB||，得|t1t2|=2|t1+t2|，即，解得|cosα|=．∴直线l的倾斜角为或．【解析】（Ⅰ）当α=时，直线l：（t为参数）化为，消去参数t，可得直线l的普通方程；直接把曲线C的参数方程消去参数m，可得曲线C的普通方程；（Ⅱ）将直线l：（t为参数）代入y2=2x，化为关于t的一元二次方程，利用根与系数的关系结合已知等式列式求得|cosα|=，则直线l的倾斜角可求．本题考查参数方程化普通方程，关键是直线参数方程中参数t的几何意义的应用，是中档题．23.【答案】（Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=|x+1|+|x-1|=．∵f（x）≤4，∴或-1≤x≤1或，∴1＜x≤2或-1≤x≤1或-2≤x＜-1，∴-2≤x≤2，∴不等式的解集为{x|-2≤x≤2}．（Ⅱ）证明：当x≥1时，不等式f（x）≤3x+b成立，则x+1+|ax-1|≤3x+b，∴|ax-1|≤2x+b-1，∴-2x-b+1≤ax-1≤2x+b-1，∴，∵x≥1，∴，∴，∴a+b≥0．【解析】（Ⅰ）将a=1代入f（x）中，然后将f（x）写出分段函数的形式，再根据f（x）≤4分别解不等式即可；（Ⅱ）根据当x≥1时，不等式f（x）≤3x+b成立，可得|ax-1|≤2x+b-1，然后解不等式，进一步得到a+b≥0．本题考查了绝对值不等式的解法和利用综合法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。
2020年中考数学一模试卷【答案+解析】
2020年中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1．（3分）4的算术平方根是（）A．4B．2C．±2D．±42．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）PM2.5是指大气中直径不大于0.0000025米的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（）A．2.5×105B．2.5×106C．2.5×10﹣5D．2.5×10﹣64．（3分）方程x2﹣3x+2＝0的解是（）A．x1＝1，x2＝2B．x1＝﹣1，x2＝﹣2C．x1＝1，x2＝﹣2D．x1＝﹣1，x2＝25．（3分）下列计算正确的是（）A．x3+x2＝x5B．x3•x2＝x5C．x6÷x2＝x3D．（x3）2＝x5 6．（3分）如图是由几个相同的小正方体组成的一个几何体，若该几何体的俯视图的面积为5，则这个几何体的主视图的面积为（）A．3B．4C．5D．67．（3分）已知点A（2，m），B（﹣1，6）在反比例函数y＝的图象上，则m的值为（）A．﹣3B．﹣6C．3D．68．（3分）将二次函数y＝x2的图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的二次函数的表达式为（）A．y＝2x2+3B．y＝﹣2x2﹣3C．y＝（x﹣2）2﹣3D．y＝（x+2）2+3 9．（3分）如图，在周长为12cm的▱ABCD中，AB＜AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm10．（3分）如图，⊙O的半径为5，OC垂直弦AB于点C，OC＝3，则弦AB的长为（）A．4B．5C．6D．8二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）11．（4分）分式方程＝的解为．12．（4分）已知点P1（﹣2，y1），P2（2，y2）在二次函数y＝（x+1）2﹣2的图象上，则y1y2．（填“＞”，“＜”或“＝”）13．（4分）如图，正方形ABCD的边长为2，BE平分∠DBC交CD于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCF，延长BE交DF于G，则BF的长为．14．（4分）如图，BC是⊙O的直径，AB、AD是⊙O的切线，若∠C＝40°，则∠A的度数为．三、解答题（本大题共6个小题，共54分）15．（12分）（1）计算：2cos45°﹣|﹣|+（）0﹣（﹣2）2；（2）解不等式组：．16．（6分）计算：（+）÷．17．（8分）数学活动课上，老师和学生一起去测量学校升旗台上旗杆AB的高度．如图，老师测得升旗台前斜坡AC的坡度为1：10（即AE：CE＝1：10），学生小明站在离升旗台水平距离为35m（即CE＝35m）处的C点，测得旗杆顶端B的仰角α＝30°，已知小明身高CD＝1.6m，求旗杆AB的高度．（参考数据：tan30°≈0.58，结果保留整数）18．（8分）为了解今年初四学生的数学学习情况，某校在第一轮模拟测试后，对初四全体同学的数学成绩作了统计分析，绘制如下图表：请结合图表所给出的信息解答系列问题：成绩频数频率优秀45b良好a0.3合格1050.35不合格60c （1）该校初四学生共有多少人？（2）求表中a，b，c的值，并补全条形统计图．（3）初四（一）班数学老师准备从成绩优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学做学习经验介绍，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．19．（10分）如图，一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象与反比例函数y＝的图象都经过点A （a，4），一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点C（3，0），且与两坐标轴围成的三角形的面积为3．（1）求这两个函数的表达式；（2）将直线AB向下平移5个单位长度后与第四象限内的反比例函数图象交于点D，连接AD、BD，求△ADB的面积．20．（10分）如图，AB为⊙O的直径，P为BA延长线上一点，点C在⊙O上，连接PC，D为半径OA上一点，PD＝PC，连接CD并延长交⊙O于点E，且E是的中点．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）求证：CD•DE＝2OD•PD；（3）若AB＝8，CD•DE＝15，求P A的长．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）21．（4分）已知直线y＝ax+b经过点（﹣1，2），则a﹣b的值为．22．（4分）有四张正面分别标有数字﹣2，﹣6，2，6的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中抽取一张，将该卡片上的数字记为a；不放回，再从中抽取一张，将该卡片上的数字记为b，则使关于x的不等式组的解集中有且只有3个非负整数解的概率为．23．（4分）在平面直角坐标系中，若点P（a，b）的坐标满足a＝b≠0，则称点P为“对等点”．已知二次函数y＝x2+mx﹣m的图象上存在两个不同的“对等点”，且这两个“对等点”关于原点对称，则m的值为．24．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝2，E是边CD上一点，将△ADE沿直线AE折叠得到△AFE，BF的延长线交边CD于点G，则DG的最大值为．25．（4分）如图，直线y＝﹣x+b与x、y轴的正半轴交于点A，B，与双曲线y＝﹣交于点C（点C在第二象限内），点D，过点C作CE⊥x轴于点E，记四边形OBCE的面积为S1，△OBD的面积为S2，若＝，则b的值为．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）26．（8分）某商场打算在年前用30000元购进一批彩灯进行销售，由于进货厂家促销，实际可以以8折的价格购进这批彩灯，结果可以比计划多购进了100盏彩灯．（1）该商场购进这种彩灯的实际进价为多少元？（2）该商场打算在实际进价的基础上，每盏灯加价50%的销售，但可能会面临滞销，因此将有20%的彩灯需要降价，以5折出售，该商场要想获利不低于15000元，应至少在购进这种彩灯多少盏？27．（10分）如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，连接AE，将△ABE绕点E 顺时针旋转得到△A1B1E，点B1在正方形ABCD内，连接AA1、BB1；（1）求证：△AA1E∽△BB1E；（2）延长BB1分别交线段AA1，DC于点F、G，求证：AF＝A1F；（3）在（2）的条件下，若AB＝4，BE＝1，G是DC的中点，求AF的长．28．（12分）如图，已知二次函数y＝ax2﹣8ax+6（a＞0）的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，点D在抛物线的对称轴上，且四边形ABDC为平行四边形．（1）求此抛物线的对称轴，并确定此二次函数的表达式；（2）点E为x轴下方抛物线上一点，若△ODE的面积为12，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为M，点P是抛物线的对称轴上一动点，连接PE、EM，过点P作PE的垂线交抛物线于点Q，当∠PQE＝∠EMP时，求点Q到抛物线的对称轴的距离．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1．（3分）4的算术平方根是（）A．4B．2C．±2D．±4【分析】如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，由此即可求出结果．【解答】解：∵22＝4，∴4算术平方根为2．故选：B．2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：C．3．（3分）PM2.5是指大气中直径不大于0.0000025米的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（）A．2.5×105B．2.5×106C．2.5×10﹣5D．2.5×10﹣6【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.0000025＝2.5×10﹣6，故选：D．4．（3分）方程x2﹣3x+2＝0的解是（）A．x1＝1，x2＝2B．x1＝﹣1，x2＝﹣2C．x1＝1，x2＝﹣2D．x1＝﹣1，x2＝2【分析】把方程的左边的式子进行分解，得出两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．【解答】解：原方程可化为：（x﹣1）（x﹣2）＝0∴x1＝1，x2＝2．故选：A．5．（3分）下列计算正确的是（）A．x3+x2＝x5B．x3•x2＝x5C．x6÷x2＝x3D．（x3）2＝x5【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘除法，幂的乘方，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、x3与x2不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；B、x3•x2＝x5，原计算正确，故此选项符合题意；C、x6÷x2＝x4，原计算错误，故此选项不符合题意；D、（x3）2＝x6，原计算错误，故此选项不符合题意．故选：B．6．（3分）如图是由几个相同的小正方体组成的一个几何体，若该几何体的俯视图的面积为5，则这个几何体的主视图的面积为（）A．3B．4C．5D．6【分析】根据从正面看所得到的图形，即可得出这个几何体的主视图的面积．【解答】解：根据该几何体的俯视图的面积为5，可知每个小正方体的棱长为1，从正面看有两层，底层是三个正方形，上层是一个正方形，所以这个几何体的主视图的面积为4．故选：B．7．（3分）已知点A（2，m），B（﹣1，6）在反比例函数y＝的图象上，则m的值为（）A．﹣3B．﹣6C．3D．6【分析】将点A、B的坐标分别代入函数解析式，列出方程组，通过解方程组求得k、m 的值即可．【解答】解：把点A（2，m），B（﹣1，6）分别代入，得．解得k＝﹣6，m＝﹣3．故选：A．8．（3分）将二次函数y＝x2的图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的二次函数的表达式为（）A．y＝2x2+3B．y＝﹣2x2﹣3C．y＝（x﹣2）2﹣3D．y＝（x+2）2+3【分析】抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的顶点坐标为（﹣2，3），根据顶点式可确定所得抛物线解析式．【解答】解：依题意可知，原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（﹣2，3），又因为平移不改变二次项系数，所以所得抛物线解析式为：y＝（x+2）2+3．故选：D．9．（3分）如图，在周长为12cm的▱ABCD中，AB＜AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD 交AD于E，则△ABE的周长为（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm【分析】根据平行四边形的性质得出OB＝OD，进而利用线段垂直平分线得出BE＝ED，进而解答即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，∵OE⊥BD，∴OE是BD的线段垂直平分线，∴BE＝ED，∵△ABE的周长＝AB+AE+BE＝AB+AE+ED＝AB+AD＝6cm．故选：C．10．（3分）如图，⊙O的半径为5，OC垂直弦AB于点C，OC＝3，则弦AB的长为（）A．4B．5C．6D．8【分析】连接OA，由垂径定理得：AC＝BC，根据勾股定理，可以求出AC的长，从而得AB的长．【解答】解：如图，连接OA，∵OC⊥AB于点C，∴AC＝BC，∵⊙O的半径是5，∴OA＝5，又OC＝3，所以在Rt△AOC中，AC＝＝＝4，所以AB＝2AC＝8．故选：D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）11．（4分）分式方程＝的解为x＝2．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：5x＝6x﹣2，解得：x＝2，经检验x＝2是分式方程的解．故答案为：x＝2．12．（4分）已知点P1（﹣2，y1），P2（2，y2）在二次函数y＝（x+1）2﹣2的图象上，则y1＜y2．（填“＞”，“＜”或“＝”）【分析】根据点P1、P2的横坐标结合二次函数图象上点的坐标特征，即可得出y1、y2的值，比较后即可得出结论．【解答】解：当x＝﹣2时，y1＝（﹣2+1）2﹣2＝﹣1；当x＝2时，y2＝（2+1）2﹣2＝7．∵﹣1＜7，∴y1＜y2．故答案为＜．13．（4分）如图，正方形ABCD的边长为2，BE平分∠DBC交CD于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCF，延长BE交DF于G，则BF的长为6﹣2．【分析】过点E作EM⊥BD于点M，则△DEM为等腰直角三角形，根据角平分线以及等腰直角三角形的性质即可得出ME的长度，再根据正方形以及旋转的性质即可得出线段BF的长．【解答】解：过点E作EM⊥BD于点M，如图所示．∵四边形ABCD为正方形，∴∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∴△DEM为等腰直角三角形．∴EM＝DE，∵BE平分∠DBC，EM⊥BD，∴EM＝EC，设EM＝EC＝x，∵CD＝2，∴DE＝2﹣x，∴x＝（2﹣x），解得x＝4﹣2，∴CM＝4﹣2，由旋转的性质可知：CF＝CE＝4﹣2，∴BF＝BC+CF＝2+4﹣2＝6﹣2．故答案为：6﹣2．14．（4分）如图，BC是⊙O的直径，AB、AD是⊙O的切线，若∠C＝40°，则∠A的度数为100°．【分析】连接OD，根据圆周角定理求出∠BOD，根据切线的性质得到∠ABO＝90°，∠ADO＝90°，根据四边形内角和等于360°计算即可．【解答】解：连接OD，由圆周角定理得，∠BOD＝2∠C＝80°，∵BC是⊙O的直径，AB、AD是⊙O的切线，∴OB⊥AB，OD⊥AD，∴∠ABO＝90°，∠ADO＝90°，∴∠A＝180°﹣∠BOD＝100°，故答案为：100°．三、解答题（本大题共6个小题，共54分）15．（12分）（1）计算：2cos45°﹣|﹣|+（）0﹣（﹣2）2；（2）解不等式组：．【分析】（1）本题涉及零指数幂、平方、特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式化简5个知识点．在计算时，需要针对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．（2）先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可得解．【解答】解：（1）2cos45°﹣|﹣|+（）0﹣（﹣2）2＝2×﹣+1﹣4＝﹣+1﹣4＝﹣3；（2），解不等式①得x＞1.5；解不等式②得x≤3．故不等式组的解集为1.5＜x≤3．16．（6分）计算：（+）÷．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．【解答】解：原式＝•＝•＝．17．（8分）数学活动课上，老师和学生一起去测量学校升旗台上旗杆AB的高度．如图，老师测得升旗台前斜坡AC的坡度为1：10（即AE：CE＝1：10），学生小明站在离升旗台水平距离为35m（即CE＝35m）处的C点，测得旗杆顶端B的仰角α＝30°，已知小明身高CD＝1.6m，求旗杆AB的高度．（参考数据：tan30°≈0.58，结果保留整数）【分析】首先根据题意分析图形，本题涉及到两个直角三角形，进而求得BE、AE的大小，再利用AB＝BE﹣AE可求出答案．【解答】解：作DG⊥AE于G，则∠BDG＝α，则四边形DCEG为矩形．∴DG＝CE＝35m，EG＝DC＝1.6m在直角三角形BDG中，BG＝DG•×tanα＝35×0.58＝20.3m，∴BE＝20.3+1.6＝21.9m．∵斜坡AC的坡比为i AC＝1：10，CE＝35m，∴EA＝35×＝3.5，∴AB＝BE﹣AE＝21.9﹣3.5≈18m．答：旗杆AB的高度为18m．18．（8分）为了解今年初四学生的数学学习情况，某校在第一轮模拟测试后，对初四全体同学的数学成绩作了统计分析，绘制如下图表：请结合图表所给出的信息解答系列问题：成绩频数频率优秀45b良好a0.3合格1050.35不合格60c（1）该校初四学生共有多少人？（2）求表中a，b，c的值，并补全条形统计图．（3）初四（一）班数学老师准备从成绩优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学做学习经验介绍，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．【分析】（1）利用合格的人数除以该组频率进而得出该校初四学生总数；（2）利用（1）中所求，结合频数÷总数＝频率，进而求出答案；（3）根据题意画出树状图，然后求得全部情况的总数与符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：（1）由题意可得：该校初四学生共有：105÷0.35＝300（人），答：该校初四学生共有300人；（2）由（1）得：a＝300×0.3＝90（人），b＝＝0.15，c＝＝0.2；如图所示；（3）画树形图得：∴一共有12种情况，抽取到甲和乙的有2种，∴P（抽到甲和乙）＝＝．19．（10分）如图，一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象与反比例函数y＝的图象都经过点A （a，4），一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点C（3，0），且与两坐标轴围成的三角形的面积为3．（1）求这两个函数的表达式；（2）将直线AB向下平移5个单位长度后与第四象限内的反比例函数图象交于点D，连接AD、BD，求△ADB的面积．【分析】（1）先由一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点C（3，0），得出3k+b＝0①，由于一次函数y＝kx+b的图象与y轴的交点是（0，b），根据三角形的面积公式可求得b 的值，然后利用待定系数法即可求得函数解析式；（2）将直线AB向下平移5个单位后得到直线ED的解析式为y＝﹣x﹣3，得到E（﹣，0），解方程组得到B（6，﹣2），连接AE，BE，根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点C（3，0），∴3k+b＝0①，点C到y轴的距离是3，∵k＜0，∴b＞0，∵一次函数y＝kx+b的图象与y轴的交点是（0，b），∴×3×b＝3，解得：b＝2．把b＝2代入①，解得：k＝﹣，则函数的解析式是y＝﹣x+2．故这个函数的解析式为y＝﹣x+2；把点A（a，4）代入y＝﹣x+2得，4＝﹣a+2，解得：a＝﹣3，∴A（﹣3，4），∴m＝﹣12，∴反比例函数的解析式为y＝﹣；（2）∵将直线AB向下平移5个单位后得到直线ED的解析式为y＝﹣x﹣3，当y＝0时，即0＝﹣x﹣3，解得：x＝﹣，∴E（﹣，0），解得，，，∴B（6，﹣2），连接AE，BE，∵AB∥DE，∴S△ADB＝S△AEB＝（3+）×4+（3+）×2＝．20．（10分）如图，AB为⊙O的直径，P为BA延长线上一点，点C在⊙O上，连接PC，D为半径OA上一点，PD＝PC，连接CD并延长交⊙O于点E，且E是的中点．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）求证：CD•DE＝2OD•PD；（3）若AB＝8，CD•DE＝15，求P A的长．【分析】（1）连接OC，OE，根据等腰三角形的性质得到∠E＝∠OCE，求得∠E+∠ODE ＝90°，得到∠PCD＝∠ODE，得到OC⊥PC，于是得到结论；（2）连接AC，BE，BC，根据相似三角形的性质得到＝，推出CD•DE＝AO2﹣OD2；由△ACP∽△CBP，得到，得到PD2＝PD2+2PD•OD+OD2﹣OA2，于是得到结论；（3）由（2）知，CD•DE＝AO2﹣OD2；把已知条件代入得到OD＝1（负值舍去），求得AD＝3，由（2）知，CD•DE＝2OD•PD，于是得到结论．【解答】（1）证明：连接OC，OE，∵OC＝OE，∴∠E＝∠OCE，∵E是的中点，∴＝，∴∠AOE＝∠BOE＝90°，∴∠E+∠ODE＝90°，∵PC＝PD，∴∠PCD＝∠PDC，∵∠PDC＝∠ODE，∴∠PCD＝∠ODE，∴∠PCD+∠OCD＝∠ODE+∠E＝90°，∴PC是⊙O的切线；（2）证明：连接AC，BE，BC，∵∠ACD＝∠DBE，∠CAD＝∠DEB，∴△ACD∽△EBD，∴＝，∴CD•DE＝AD•BD＝（AO﹣OD）（AO+OD）＝AO2﹣OD2；∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠PCO＝90°，∴∠ACP+∠ACO＝∠ACO+∠BCO＝90°，∴∠ACP＝∠BCO，∵∠BCO＝∠CBO，∴∠ACP＝∠PBC，∵∠P＝∠P，∴△ACP∽△CBP，∴，∴PC2＝PB•P A＝（PD+DB）（PD﹣AD）＝（PD+OD+OA）（PD+OD﹣OA）＝（PD+OD）2﹣OA2＝PD2+2PD•OD+OD2﹣OA2，∵PC＝PD，∴PD2＝PD2+2PD•OD+OD2﹣OA2，∴OA2﹣OD2＝2OD•PD，∴CD•DE＝2OD•PD；（3）解：∵AB＝8，∴OA＝4，由（2）知，CD•DE＝AO2﹣OD2；∵CD•DE＝15，∴15＝42﹣OD2，∴OD＝1（负值舍去），由（2）知，CD•DE＝2OD•PD，∴PD＝＝，∴P A＝PD﹣AD＝．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）21．（4分）已知直线y＝ax+b经过点（﹣1，2），则a﹣b的值为﹣2．【分析】由点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出a﹣b的值，此题得解．【解答】解：∵直线y＝ax+b经过点（﹣1，2），∴2＝﹣a+b，∴a﹣b＝﹣2．故答案为：﹣2．22．（4分）有四张正面分别标有数字﹣2，﹣6，2，6的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中抽取一张，将该卡片上的数字记为a；不放回，再从中抽取一张，将该卡片上的数字记为b，则使关于x的不等式组的解集中有且只有3个非负整数解的概率为．【分析】首先根据题意可求得，所有可能结果，然后解不等式组求得不等式组的解集得出符合要求的点的坐标，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：根据题意列出树状图得：则（a，b）的等可能结果有：（﹣2，﹣6），（﹣2，2），（﹣2，6），（﹣6，﹣2），（﹣6，2），（﹣6，6），（2，﹣2），（2，6），（2，﹣6），（6，﹣2），（6，2），（6，﹣6）共12种；，解①得：x＜7，当a＞0，解②得：x＞，根据不等式组的解集中有且只有3个非负整数解，则3＜x＜7时符合要求，故＝3，即b＝6，a＝2符合要求，当a＜0，解②得：x＜，根据不等式组的解集中有且只有3个非负整数解，则x＜3时符合要求，故＝3，即b＝﹣6，a＝﹣2符合要求，故所有组合中只有2种情况符合要求，故使关于x的不等式组的解集中有且只有3个非负整数解的概率为：＝．故答案为：．23．（4分）在平面直角坐标系中，若点P（a，b）的坐标满足a＝b≠0，则称点P为“对等点”．已知二次函数y＝x2+mx﹣m的图象上存在两个不同的“对等点”，且这两个“对等点”关于原点对称，则m的值为1．【分析】设这两个“对等点”的坐标为（a．a）和（﹣a，﹣a），代入抛物线的解析式，两式相减，计算即可求得．【解答】解：设这两个“对等点”的坐标为（a．a）和（﹣a，﹣a），代入y＝x2+mx﹣m得，①﹣②得2a＝2am，解得m＝1，故答案为1．24．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝2，E是边CD上一点，将△ADE沿直线AE折叠得到△AFE，BF的延长线交边CD于点G，则DG的最大值为2．【分析】如图，以点A为圆心，AD长为半径画弧，过点B作弧的切线交CD于点G，切点为F，此时点E和点G重合，DG的最大值即为DE的长．再根据矩形性质和勾股定理即可求出DG的长．【解答】解：如图，以点A为圆心，AD长为半径画弧，过点B作弧的切线交CD于点G，切点为F，此时点E和点G重合，DG的最大值即为DE的长．∵BC＝AD＝2，AB＝CD＝6，根据翻折可知：DE＝EF＝x，AF＝AD＝2，则CE＝CD﹣DE＝6﹣x，在Rt△ABF中，根据勾股定理，得BF＝＝4，则BE＝BF+EF＝4+x，在Rt△BEC中，根据勾股定理，得（4+x）2＝（6﹣x）2+（2）2，解得x＝2．则DG的最大值为2．故答案为：2．25．（4分）如图，直线y＝﹣x+b与x、y轴的正半轴交于点A，B，与双曲线y＝﹣交于点C（点C在第二象限内），点D，过点C作CE⊥x轴于点E，记四边形OBCE的面积为S1，△OBD的面积为S2，若＝，则b的值为3．【分析】根据双曲线的对称性得到BC＝AD，设BC＝AD＝a，用a表示出点C和得D的坐标，根据梯形面积公式、三角形面积公式求出a、b的关系，根据反比例函数图象上点的坐标特征列出方程，解方程求出b．【解答】解：由题意点B的坐标为（0，b），点A的坐标为（b，0），∴OA＝OB＝b，∵直线y＝﹣x+b关于直线y＝x对称，反比例函数y＝﹣关于y＝x对称，∴BC＝AD，设BC＝AD＝a，则C（﹣a，b+a），D（b+a，﹣a），∵＝，∴＝，整理得，12a2+17ab﹣14b2＝0，解得，a1＝b，a2＝﹣b（舍去），则D（b，﹣b），∴b×（﹣b）＝﹣4，解得，b1＝3，b2＝﹣3（舍去），∴b＝3，故答案为：3．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）26．（8分）某商场打算在年前用30000元购进一批彩灯进行销售，由于进货厂家促销，实际可以以8折的价格购进这批彩灯，结果可以比计划多购进了100盏彩灯．（1）该商场购进这种彩灯的实际进价为多少元？（2）该商场打算在实际进价的基础上，每盏灯加价50%的销售，但可能会面临滞销，因此将有20%的彩灯需要降价，以5折出售，该商场要想获利不低于15000元，应至少在购进这种彩灯多少盏？【分析】（1）设该商场实际购进每盏彩灯为x元，则实际进价为0.8x元，根据实际比计划多购进100盏彩灯，列方程求解；（2）设再购进彩灯a盏，根据利润＝售价﹣进价和货栈要想获得利润不低于15000元列出不等式并解答．【解答】解：（1）设该商场实际购进每盏彩灯为x元，则实际进价为0.8x元，依题意得：＝+100，解得x＝75，经检验x＝75是所列方程的根，则0.8x＝0.8×75＝60（元）．答：该货栈实际购进每盏彩灯为60元；（2）设再购进彩灯a盏，由（1）知，实际购进30000÷60＝500（盏），依题意得：（500+a）（1﹣20%）×60×50%+（500+a）×20%×[60×（1+50%）×0.5﹣60]≥15000，解得a≥．因为a取正整数，所以a＝215．答：至少再购进彩灯215盏．27．（10分）如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，连接AE，将△ABE绕点E 顺时针旋转得到△A1B1E，点B1在正方形ABCD内，连接AA1、BB1；（1）求证：△AA1E∽△BB1E；（2）延长BB1分别交线段AA1，DC于点F、G，求证：AF＝A1F；（3）在（2）的条件下，若AB＝4，BE＝1，G是DC的中点，求AF的长．【分析】（1）由EB＝EB1，EA＝EA1，可得∠EBB1＝∠EB1B，∠EAA1＝∠EA1A，由∠BEB1＝∠AEA1，可得∠EBB1＝∠EB1B＝∠EAA1＝∠EA1A，由此即可证明；（2）连接BF，延长EB1交AA1于M．由△MFB1∽△MEA1，推出△MEF∽△MA1B1，推出∠MFE＝∠MB1A1＝90°，即EF⊥AA1，由EA＝EA1，可得AF＝F A1；（3）首先求出AE，由cos∠GBC＝cos∠EAF＝＝＝，在Rt△AEF中，根据AF＝AE•cos∠EAF，计算即可；【解答】（1）证明：如图∵EB＝EB1，EA＝EA1，∴∠EBB1＝∠EB1B，∠EAA1＝∠EA1A，∵∠BEB1＝∠AEA1，∴∠EBB1＝∠EB1B＝∠EAA1＝∠EA1A，∴△AA1E∽△BB1E．（2）证明：连接BF，延长EB1交AA1于M．∵∠BB1B＝∠FB1M＝∠MA1E，∠FMB1＝∠EMA1，∴△MFB1∽△MEA1，∴＝，∴＝，∵∠EMF＝∠A1MB1，∴△MEF∽△MA1B1，∴∠MFE＝∠MB1A1＝90°，∴EF⊥AA1，∵EA＝EA1，∴AF＝F A1．（3）解：在Rt△ABE中，∵AB＝4，BE＝1，∴AE＝＝，∵DG＝GC，∴cos∠GBC＝cos∠EAF＝＝＝，在Rt△AEF中，AF＝AE•cos∠EAF＝•＝．28．（12分）如图，已知二次函数y＝ax2﹣8ax+6（a＞0）的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，点D在抛物线的对称轴上，且四边形ABDC为平行四边形．（1）求此抛物线的对称轴，并确定此二次函数的表达式；（2）点E为x轴下方抛物线上一点，若△ODE的面积为12，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为M，点P是抛物线的对称轴上一动点，连接PE、EM，过点P作PE的垂线交抛物线于点Q，当∠PQE＝∠EMP时，求点Q到抛物线的对称轴的距离．【分析】（1）先求出对称轴为x＝4，进而求出AB＝4，进而求出点A，B坐标，即可得出结论；（2）利用面积的和差建立方程求解，即可得出结论；（3）Ⅰ、当点Q在对称轴右侧时，先判断出点E，M，Q，P四点共圆，得出∠EMQ＝90°，利用同角的余角相等判断出∠EMF＝∠HGM，得出tan∠EMF＝＝2，得出HG ＝HM＝1，进而求出Q（8，6），得出结论；Ⅱ、当点Q在对称轴左侧时，先判断出△PDQ∽△EFP，得出，进而判断出DP＝，PF＝2QD，即可得出结论．【解答】解：（1）对称轴为直线x＝﹣＝4，则CD＝4，∵四边形ABDC为平行四边形，∴DC∥AB，DC＝AB，∴DC＝AB＝4，∴A（2，0），B（6，0），把点A（2，0）代入得y＝ax2﹣8ax+12得4a﹣16a+6＝0，解得a＝，∴二次函数解析式为y＝x2﹣4x+6；（2）如图1，设E（m，m2﹣4m+6），其中2＜m＜6，作EN⊥y轴于N，如图2，∵S梯形CDEN﹣S△OCD﹣S△OEN＝S△ODE，∴（4+m）（6﹣m2+4m﹣6）﹣×4×6﹣m（﹣m2+4m﹣6）＝12，化简得：m2﹣11m+24＝0，解得m1＝3，m2＝8（舍），∴点E的坐标为（3，﹣）；（3）Ⅰ、当点Q在对称轴右侧时，如图2，过点E作EF⊥PM于F，MQ交x轴于G，∵∠PQE＝∠PME，∴点E，M，Q，P四点共圆，∵PE⊥PQ，∴∠EPQ＝90°，∴∠EMQ＝90°，∴∠EMF+∠HMG＝90°，∵∠HMG+∠HGM＝90°，∴∠EMF＝∠HGM，在Rt△EFM中，EF＝1，FM＝，tan∠EMF＝＝2，∴tan∠HGM＝2，∴，∴HG＝HM＝1，∴点G（5，0），∵M（4，﹣2），∴直线MG的解析式为y＝2x﹣10①，∵二次函数解析式为y＝x2﹣4x+6②，联立①②解得，（舍）或，∴Q（8，6），∴点Q到对称轴的距离为8﹣4＝4；Ⅱ、当点Q在对称轴左侧时，如图3，过点E作EF⊥PM于F，过点Q作QD⊥PM于D，∴∠DQP+∠QPD＝90°，∵∠EPQ＝90°，∴∠DPQ+∠FPE＝90°，∴∠DQP＝∠FPE，∵∠PDQ＝∠EFP，∴△PDQ∽△EFP，∴，由Ⅰ知，tan∠PQE＝＝2，∵EF＝1，∴＝，∴DP＝，PF＝2QD，设Q（n，n2﹣4n+6），∴DQ＝4﹣n，DH＝n2﹣4n+6，∴PF＝DH+FH﹣DP＝n2﹣4n+6+﹣＝n2﹣4n+7，∴n2﹣4n+7＝2（4﹣n），∴n＝2+（舍）或n＝2﹣，∴DQ＝4﹣n＝2+，即点Q到对称轴的距离为4或2+．。
2020届四川省成都市一诊数学(文科)试卷及答案
三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12 分）在 ABC 中，角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ， c ，且 b2 c2 a2 4 2 bc ．
3 （Ⅰ）求 sin A 的值；
（Ⅱ）若 ABC 的面积为 2 ，且 2 sin B 3sin C ，求 ABC 的周长
18．（12 分）某公司有 1000 名员工，其中男性员工 400 名，采用分层抽样的方法随机抽取 100 名员工进行 5G 手机购买意向的调查，将计划在今年购买 5G 手机的员工称为“追光族”， 计划在明年及明年以后才购买 5G 手机的员工称为“观望者”调查结果发现抽取的这 100 名 员工中属于“追光族”的女性员工和男性员工各有 20 人． （Ⅰ）完成下列 2 2 列联表，并判断是否有 95% 的把握认为该公司员工属于“追光族”与 “性别”有关；
值为 ( )
A． 1 或 0
B．0 或 1
C． 1 或 2
D．1 或 2
【解答】解：集合 A {1，0， m}， B {1 ， 2} ， A B {1 ，0，1， 2} ，
因为 A ， B 本身含有元素 1 ，0，1，2，所以根据元素的互异性， m 1，0 即可， 故 m 1或 2， 故选： D ．
y2 b2
1(a 0,b 0) 相交于不同的两点
A ，B
，F
为双曲线 C 的左焦点，且满足 | AF | 3 | BF | ， | OA | b(O 为坐标原点），则双曲线 C 的离心
率为 ( )
A． 2
B． 3
C．2
D． 5
12．（5 分）已知定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (2 x) f (2 x) ，当 x2 时， f (x) xex ．若
2020年度中考初三数学一模试卷(含答案解析)
2020年初三数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．－3的绝对值是 A ．－13B ．－3C ．13D ．32．函数中y ＝x2－x 自变量x 的取值范围是A ．x ≥2B ．x ≤2C ．x ≠2D ．x ＞23．在下列四个图形中，是中心对称图形的是A ．B ．C ．D ．4．下列运算正确的是 A ．2a 2＋a 2＝3a 4B ．(－2a 2)3＝8a 6C ．a 3÷a 2＝aD ．(a －b )2＝a 2－b 25．某校有25名同学参加某比赛，预赛成绩各不相同，取前13名参加决赛，其中一名同学已经知道自己的成绩，能否进入决赛，只需要再知道这25名同学成绩的 A ．最高分B ．方差C ．中位数D ．平均数6．下列图形中，主视图为①的是A ．BC ．D ．7．已知a －b ＝2，则a 2－b 2－4b 的值为 A ．2B ．4C ．6D ．88．下列判断错误的是A ．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形B ．对角线互相垂直平分的四边形是菱形C ．对角线相等的四边形是矩形D ．对角线互相平分的四边形是平行四边形9．如图，平面直角坐标系中，A （－8，0），B （－8，4），C （0，4），反比例函数y ＝k x的图象分别与线段AB ，BC 交于点D ，E ，连接DE ．若点B 关于DE 的对称点恰好在OA 上，则k ＝ A ．－20B ．－16C ．－12D ．－810．如图，等边三角形ABC 边长是定值，点O 是它的外心，过点O 任意作一条直线分别交AB ，BC 于点D ，E ．将△BDE 沿直线DE 折叠，得到△B ′DE ，若B ′D ，B ′E 分别交AC 于点F ，G ，连接OF ，OG ，则下列判断错误的是 A ．△ADF ≌△CGEB ．△B ′FG 的周长是一个定值C ．四边形FOEC 的面积是一个定值D ．四边形OGB ′F 的面积是一个定值二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 11．16的平方根是 ．12．某人近期加强了锻炼，用“微信运动”记录下了一天的行走步数为12400，将12400用科学记数法表示应为 ． 13．若3m ＝5，3n ＝8，则32m ＋n＝ ．14．用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ． 15．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，OC ∥AD ，∠DAB ＝60°，∠ADC ＝106°，则∠OCB ＝ ． 16．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，AB ＝5，D 为BC 边的中点，以AD 上一点O 为圆心的O 和AB ，BC 均相切，则⊙O 的半径为 ．（第16题图）（第15题图）ABCDFGB′O（第10题图）（第9题图）（第6题图①）17．如图，二次函数y ＝(x ＋2)2＋m 的图象与y 轴交于点C ，与x 轴的一个交点为A （－1，0），点B在抛物线上，且与点C 关于抛物线的对称轴对称．已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过A ，B 两点，根据图象，则满足不等式(x ＋2)2＋m ≤kx ＋b 的x 的取值范围是 ．18．如图，正方形ABCD 和Rt △AEF ，AB ＝5，AE ＝AF ＝4，连接BF ，DE ．若△AEF 绕点A 旋转，当∠ABF 最大时，S △ADE ＝ ．三、解答题（共84分） 19．（本题满分8分）（1）计算：(π－3)0＋2sin45°－⎝ ⎛⎭⎪⎫18－1 （2）解不等式组：⎩⎨⎧1－2x ＜3x ＋13＜220．（本题满分8分）解方程： （1）x 2－8x ＋1＝0 （2）3x －2－1－x2－x＝121．（本题满分8分）如图，□ABCD 中，E 为AD 的中点，直线BE ，CD 相交于点F ．连接AF ，BD ． （1）求证：AB ＝DF ；（2）若AB ＝BD ，求证：四边形ABDF 是菱形．ABCDEF（第18题图）（第17题图）22．（本题满分8分）某校为了深入学习社会主义核心价值观，对本校学生进行了一次相关知识的测试，随机抽取了部分学生的测试成绩进行统计（根据成绩分为A ，B ，C ，D ，E 五个组，x 表示测试成绩，A 组：90≤x ≤100；B 组：80≤x ＜90；C 组：70≤x ＜80；D 组：60≤x ＜70；E 组：x ＜60），通过对测试成绩的分析，得到如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答以下问题：（1）抽取的学生共有________人，请将两幅统计图补充完整； （2）抽取的测试成绩的中位数落在________组内；（3）本次测试成绩在80分以上（含80分）为优秀，若该校初三学生共有1200人，请估计该校初三测试成绩为优秀的学生有多少人？调查测试成绩扇形统计图ADFEBC23．（本题满分8分）有甲，乙两把不同的锁和A，B，C三把不同的钥匙．其中两把钥匙分别能打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁．随机取出两把钥匙开这两把锁，求恰好能都打开的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法给出分析过程）24．（本题满分8分）如图，△ABC中，⊙O经过A，B两点，且交AC于点D，连接BD，∠DBC＝∠BAC．（1）证明BC与⊙O相切；（2）若⊙O的半径为6，∠BAC＝30°，求图中阴影部分的面积．25．（本题满分8分）某水果商店以12.5元/千克的价格购进一批水果进行销售，运输过程中质量损耗5%，运输费用是0.8元/千克（运输费用按照进货质量计算），假设不计其他费用．（1）商店要把水果售完至少定价为多少元才不会亏本？（2）在销售过程中，商店发现每天水果的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示，那么当销售单价定为多少时，每天获得的利润w最大？最大利润是多少？（3）该商店决定每销售1千克水果就捐赠p元利润（p≥1）给希望工程，通过销售记录发现，销售价格大于每千克22元时，扣除捐赠后每天的利润随x增大而减小，直接写出p的取值范围．y/千克）26．（本题满分8分）如图，线段OB 放置在正方形网格中，现请你分别在图1，图2，图3添画（工具只能用直尺）射线OA ，使tan ∠AOB 的值分别为1，2，3．27．（本题满分10分）已知，二次函数y ＝ax 2＋2ax －3a （a ＞0）图象的顶点为C ，与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），点C ，B 关于过点A 的直线l 对称，直线l 与y 轴交于D ． （1）求A ，B 两点坐标及直线l 的解析式； （2）求二次函数解析式；（3）在第三象限抛物线上有一个动点E ，连接OE 交直线l 于点F ，求EFOF的最大值．BO图3B O图2B O图128．（本题满分10分）如图，矩形ABCD ，AB ＝2，BC ＝10，点E 为AD 上一点，且AE ＝AB ，点F 从点E 出发，向终点D 运动，速度为1 cm/s ，以BF 为斜边在BF 上方作等腰Rt △BFG ，以BG ，BF 为邻边作□BFHG ，连接AG ．设点F 的运动时间为t 秒，（1）试说明：△ABG ∽△EBF ；（2）当点H 落在直线CD 上时，求t 的值；（3）点F 从E 运动到D 的过程中，直接写出HC 的最小值．图2AB CDE图1ABC DFEG H9．如图，平面直角坐标系中，A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），反比例函数y＝的图象分别与线段AB，BC交于点D，E，连接DE．若点B关于DE的对称点恰好在OA上，则k＝（）A．﹣20 B．﹣16 C．﹣12 D．﹣8【分析】根据A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），可得矩形的长和宽，易知点D的横坐标，E的纵坐标，由反比例函数的关系式，可用含有k的代数式表示出点D的纵坐标和点E的横坐标，由三角形相似和对称，可求出AF的长，然后把问题转化到三角形ADF中，由勾股定理建立方程求出k的值．【解答】解：过点E作EG⊥OA，垂足为G，设点B关于DE的对称点为F，连接DF、EF、BF，如图所示：则△BDE≌△FDE，∴BD＝FD，BE＝FE，∠DFE＝∠DBE＝90°易证△ADF∽△GFE∴，∴AF：EG＝BD：BE，∵A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），∴AB＝OC＝EG＝4，OA＝BC＝8，∵D、E在反比例函数y＝的图象上，∴E（，4）、D（﹣8，）∴OG＝EC＝，AD＝﹣，∴BD＝4+，BE＝8+∴，∴AF＝，在Rt△ADF中，由勾股定理：AD2+AF2＝DF2即：（﹣）2+22＝（4+）2解得：k＝﹣12故选：C．10．如图，等边三角形ABC边长是定值，点O是它的外心，过点O任意作一条直线分别交AB，BC于点D，E．将△BDE沿直线DE折叠，得到△B′DE，若B′D，B′E分别交AC于点F，G，连接OF，OG，则下列判断错误的是（）A．△ADF≌△CGEB．△B′FG的周长是一个定值C．四边形FOEC的面积是一个定值D．四边形OGB'F的面积是一个定值【分析】A、根据等边三角形ABC的内心的性质可知：AO平分∠BAC，根据角平分线的定理和逆定理得：FO平分∠DFG，由外角的性质可证明∠DOF＝60°，同理可得∠EOG＝60°，∠FOG＝60°＝∠DOF ＝∠EOG，可证明△DOF≌△GOF≌△GOE，△OAD≌△OCG，△OAF≌△OCE，可得AD＝CG，AF＝CE，从而得△ADF≌△CGE；B、根据△DOF≌△GOF≌△GOE，得DF＝GF＝GE，所以△ADF≌△B'GF≌△CGE，可得结论；C、根据S四边形FOEC＝S△OCF+S△OCE，依次换成面积相等的三角形，可得结论为：S△AOC＝（定值），可作判断；D、方法同C，将S四边形OGB'F＝S△OAC﹣S△OFG，根据S△OFG＝•FG•OH，FG变化，故△OFG的面积变化，从而四边形OGB'F的面积也变化，可作判断．【解答】解：A、连接OA、OC，∵点O是等边三角形ABC的内心，∴AO平分∠BAC，∴点O到AB、AC的距离相等，由折叠得：DO平分∠BDB'，∴点O到AB、DB'的距离相等，∴点O到DB'、AC的距离相等，∴FO平分∠DFG，∠DFO＝∠OFG＝（∠FAD+∠ADF），由折叠得：∠BDE＝∠ODF＝（∠DAF+∠AFD），∴∠OFD+∠ODF＝（∠FAD+∠ADF+∠DAF+∠AFD）＝120°，∴∠DOF＝60°，同理可得∠EOG＝60°，∴∠FOG＝60°＝∠DOF＝∠EOG，∴△DOF≌△GOF≌△GOE，∴OD＝OG，OE＝OF，∠OGF＝∠ODF＝∠ODB，∠OFG＝∠OEG＝∠OEB，∴△OAD≌△OCG，△OAF≌△OCE，∴AD＝CG，AF＝CE，∴△ADF≌△CGE，故选项A正确；B、∵△DOF≌△GOF≌△GOE，∴DF＝GF＝GE，∴△ADF≌△B'GF≌△CGE，∴B'G＝AD，∴△B'FG的周长＝FG+B'F+B'G＝FG+AF+CG＝AC（定值），故选项B正确；C、S四边形FOEC＝S△OCF+S△OCE＝S△OCF+S△OAF＝S△AOC＝（定值），故选项C正确；D、S四边形OGB'F＝S△OFG+S△B'GF＝S△OFD+S△ADF＝S四边形OFAD＝S△OAD+S△OAF＝S△OCG+S△OAF＝S△OAC ﹣S△OFG，过O作OH⊥AC于H，∴S△OFG＝•FG•OH，由于OH是定值，FG变化，故△OFG的面积变化，从而四边形OGB'F的面积也变化，故选项D不一定正确；故选：D．16．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为．【分析】过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F．根据切线的性质，知OE、OF是⊙O的半径；然后由三角形的面积间的关系（S△ABO+S△BOD＝S△ABD＝S△ACD）列出关于圆的半径的等式，求得圆的半径即可．【解答】解：过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F．∵AB、BC是⊙O的切线，∴点E、F是切点，∴OE、OF是⊙O的半径；∴OE＝OF；在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，∴由勾股定理，得BC＝4；又∵D是BC边的中点，∴S△ABD＝S△ACD，又∵S△ABD＝S△ABO+S△BOD，∴AB•OE+BD•OF＝CD•AC，即5×OE+2×OE＝2×3，解得OE＝，∴⊙O的半径是．故答案为：．17．如图，二次函数y＝（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），点B 在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称．已知一次函数y＝kx+b的图象经过A，B两点，根据图象，则满足不等式（x+2）2+m≤kx+b的x的取值范围是﹣4≤x≤﹣1 ．【分析】将点A代入抛物线中可求m＝﹣1，则可求抛物线的解析式为y＝x2+4x+3，对称轴为x＝﹣2，则满足（x+2）2+m≤kx+b的x的取值范围为﹣4≤x≤﹣1．【解答】解：抛物线y＝（x+2）2+m经过点A（﹣1，0），∴m＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝x2+4x+3，∴点C坐标（0，3），∴对称轴为x＝﹣2，∵B与C关于对称轴对称，点B坐标（﹣4，3），∴满足（x+2）2+m≤kx+b的x的取值范围为﹣4≤x≤﹣1，故答案为﹣4≤x≤﹣1．18．如图，正方形ABCD和Rt△AEF，AB＝5，AE＝AF＝4，连接BF，DE．若△AEF绕点A旋转，当∠ABF最大时，S△ADE＝ 6 ．【分析】作DH⊥AE于H，如图，由于AF＝4，则△AEF绕点A旋转时，点F在以A为圆心，4为半径的圆上，当BF为此圆的切线时，∠ABF最大，即BF⊥AF，利用勾股定理计算出BF＝3，接着证明△ADH≌△ABF得到DH＝BF＝3，然后根据三角形面积公式求解．【解答】解：作DH⊥AE于H，如图，∵AF＝4，当△AEF绕点A旋转时，点F在以A为圆心，4为半径的圆上，∴当BF为此圆的切线时，∠ABF最大，即BF⊥AF，在Rt△ABF中，BF＝＝3，∵∠EAF＝90°，∴∠BAF+∠BAH＝90°，∵∠DAH+∠BAH＝90°，∴∠DAH＝∠BAF，在△ADH和△ABF中，∴△ADH≌△ABF（AAS），∴DH＝BF＝3，∴S△ADE＝AE•DH＝×3×4＝6．故答案为6．22．某校为了深入学习社会主义核心价值观，对本校学生进行了一次相关知识的测试，随机抽取了部分学生的测试成绩进行统计（根据成绩分为A、B、C、D、E五个组，x表示测试成绩，A组：90≤x≤100；B组：80≤x＜90；C组：70≤x＜80；D组：60≤x＜70；E组：x＜60），通过对测试成绩的分析，得到如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答以下问题：（1）抽取的学生共有400 人，请将两幅统计图补充完整；（2）抽取的测试成绩的中位数落在B组内；（3）本次测试成绩在80分以上（含80分）为优秀，若该校初三学生共有1200人，请估计该校初三测试成绩为优秀的学生有多少人？【分析】（1）根据E组的人数和所占的百分比可以求得本次调查的人数，再根据条形统计图中的数据可以求得B组和C组所占的百分比．根据本次调查的总人数和B组所占的百分比可以求得B组的人数；（2）根据扇形统计图中的数据可以得到中位数落在哪一组；（3）根据统计图中的数据可以计算出该校初三测试成绩为优秀的学生有多少人．【解答】解：（1）本次抽取的学生共有：40÷10%＝400（人），故答案为：400；A所占的百分比为：100÷400×100%＝25%，C所占的百分比为：80÷400×100%＝20%，B组的人数为：400×30%＝120，补全的统计图如下图所示；（2）由扇形统计图可知，抽取的测试成绩的中位数落在B组内，故答案为：B；（3）1200×（25%+30%）＝660（人），答：该校初三测试成绩为优秀的学生有660人．【点评】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．23．有甲、乙两把不同的锁和三把不同的钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁．随机取出两把钥匙开这两把锁，求恰好都能打开的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法给出分析过程）【分析】首先根据题意列表，得所有等可能的结果，可求得打开一把锁的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：画树状图：可能出现的等可能性结果有6种，分别是（A，B），（A，C），（B，A），（B，C），（C，A），（C，B），只有1种情况（有先后顺序）恰好打开这两把锁P（恰好打开这两把锁）＝．【点评】此题主要考查了利用树状图法求概率，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝是解题关键．24．如图，△ABC中，⊙O经过A、B两点，且交AC于点D，连接BD，∠DBC＝∠BAC．（1）证明BC与⊙O相切；（2）若⊙O的半径为6，∠BAC＝30°，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）连接BO并延长交⊙O于点E，连接DE．由圆周角定理得出∠BDE＝90°，再求出∠EBD+∠DBC＝90°，根据切线的判定定理即可得出BC是⊙O的切线；（2）分别求出等边三角形DOB的面积和扇形DOB的面积，即可求出答案．【解答】证明：（1）连接BO并延长交⊙O于点E，连接DE．∵BE是⊙O的直径，∴∠BDE＝90°，∴∠EBD+∠E＝90°，∵∠DBC＝∠DAB，∠DAB＝∠E，∴∠EBD+∠DBC＝90°，即OB⊥BC，又∵点B在⊙O上，∴BC是⊙O的切线；（2）连接OD，∵∠BOD＝2∠A＝60°，OB＝OD，∴△BOD是边长为6的等边三角形，∴S△BOD＝×62＝9，∵S扇形DOB＝＝6π，∴S阴影＝S扇形DOB﹣S△BOD＝6π﹣9．【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，扇形面积，等边三角形的性质和判定的应用，关键是求出∠EBD+∠DBC＝90°和分别求出扇形DOB和三角形DOB的面积．25．某水果商店以12.5元/千克的价格购进一批水果进行销售，运输过程中质量损耗5%，运输费用是0.8元/千克（运输费用按照进货质量计算），假设不计其他费用．（1）商店要把水果售完至少定价为多少元才不会亏本？（2）在销售过程中，商店发现每天水果的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示，那么当销售单价定为多少时，每天获得的利润w最大？最大利润是多少？（3）该商店决定每销售1千克水果就捐赠p元利润（p≥1）给希望工程，通过销售记录发现，销售价格大于每千克22元时，扣除捐赠后每天的利润随x增大而减小，直接写出p的取值范围．【分析】本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题．（1）设购进水果a千克，水果售价定为m元/千克，水果商才不会亏本，则有a•m（1﹣5%）≥（12.5+0.8）a，解得m即可（2）可先求出y与销售单价x之间的函数关系为：y＝﹣5x+130，再根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出销售利润w与销售价x之间的函数关系式，即可求最大利润（3）设扣除捐赠后利润为s，则s＝﹣5x2+（5p+200）x﹣130（p+14），再根据对称轴的位置及增减性进行判断即可．【解答】解：（1）设购进水果a千克，水果售价定为m元/千克，水果商才不会亏本，则有a•m（1﹣5%）≥（12.5+0.8）a则a＞0可解得：m≥14∴水果商要把水果售价至少定为14元/千克才不会亏本（2）由（1）可知，每千克水果的平均成本为14元得y与销售单价x之间的函数关系为：y＝﹣5x+130由题意得：w＝（x﹣14）y＝（x﹣14）（﹣5x+130）＝﹣5x2+200x﹣1820整理得w＝﹣5（x﹣20）2+180∴当x＝20时，w有最大值∴当销售单价定为20元时，每天获得的利润w最大，最大利润是180元．（3）设扣除捐赠后利润为s则s＝（x﹣14﹣p）（﹣5x+130）＝﹣5x2+（5p+200）x﹣130（p+14）∵抛物线的开口向下∴对称轴为直线x＝＝∵销售价格大于每千克22元时，扣除捐赠后每天的利润s随x的增大而减小∴≤22解得p≤4故1≤p≤4【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．根据每天的利润＝一件的利润×销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．26．如图，线段OB放置在正方形网格中，现请你分别在图1、图2、图3添画（工具只能用直尺）射线OA，使tan∠AOB的值分别为1、2、3．【分析】根据勾股定理以及正切值对应边关系得出答案即可．【解答】解：如图1所示：tan∠AOB＝＝＝1，如图2所示：tan∠AOB＝＝＝2，如图3所示：tan∠AOB＝＝＝3，故tan∠AOB的值分别为1、2、3．．【点评】此题主要考查了应用与设计作图以及锐角三角函数关系、勾股定理等知识，正确构造直角三角形是解题关键．27．已知，如图，二次函数y＝ax2+2ax﹣3a（a＞0）图象的顶点为C与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），点C、B关于过点A的直线l：y＝kx﹣对称．（1）求A、B两点坐标及直线l的解析式；（2）求二次函数解析式；（3）如图2，过点B作直线BD∥AC交直线l于D点，M、N分别为直线AC和直线l上的两动点，连接CN，NM、MD，求D的坐标并直接写出CN+NM+MD的最小值．【分析】（1）令二次函数解析式y＝0，解方程即求得点A、B坐标；把点A坐标代入直线l解析式即求得直线l．（2）把二次函数解析式配方得顶点C（﹣1，﹣4a），由B、C关于直线l对称可知AB＝AC，用a表示AC的长即能列得关于的方程．求得a有两个互为相反数的解，由二次函数图象开口向上可知a＞0，舍去负值．（3）①用待定系数法求直线AC解析式，由BD∥AC可知直线BD解析式的k与AC的k相同，再代入点B坐标即求得直线BD解析式．把直线l与直线BD解析式联立方程组，求得的解即为点D坐标．②由点B、C关于直线l对称，连接BN即有B、N、M在同一直线上时，CN+MN＝BN+MN＝BM最小；作点D关于直线AC的对称点Q，连接DQ交直线AC于点E，可证B、M、Q在同一直线上时，BM+MD＝BM+MQ＝BQ最小，CN+NM+MD最小值＝BM+MD最小值＝BQ．由直线AC垂直平分DQ且AC∥BD可得BD⊥DQ，即∠BDQ＝90°．由B、D坐标易求BD的长；由B、C关于直线l 对称可得l平分∠BAC，作DF⊥x轴于F则有DF＝DE，所以DQ＝2DE＝2DF＝4；利用勾股定理即求得BQ的长．【解答】解：（1）当y＝0时，ax2+2ax﹣3a＝0解得：x1＝﹣3，x2＝1∴点A坐标为（﹣3，0），点B坐标为（1，0）∵直线l：y＝kx﹣经过点A∴﹣3k﹣＝0 解得：k＝﹣∴直线l的解析式为y＝﹣x﹣（2）∵y＝ax2+2ax﹣3a＝a（x+1）2﹣4a∴点C坐标为（﹣1，﹣4a）∵C、B关于直线l对称，A在直线l上∴AC＝AB，即AC2＝AB2∴（﹣1+3）2+（﹣4a）2＝（1+3）2解得：a＝±（舍去负值），即a＝∴二次函数解析式为：y＝x2+x﹣（3）∵A（﹣3，0），C（﹣1，﹣2），设直线AC解析式为y＝kx+b∴解得：∴直线AC解析式为y＝﹣x﹣3∵BD∥AC∴设直线BD解析式为y＝﹣x+c把点B（1，0）代入得：﹣+c＝0 解得：c＝∴直线BD解析式为y＝﹣x+∵解得：∴点D坐标为（3，﹣2）如图，连接BN，过点D作DF⊥x轴于点F，作D关于直线AC的对称点点Q，连接DQ交AC于点E，连接BQ，MQ．∵点B、C关于直线l对称，点N在直线l上∴BN＝CN∴当B、N、M在同一直线上时，CN+MN＝BN+MN＝BM，即CN+MN的最小值为BM∵点D、Q关于直线AC对称，点M在直线AC上∴MQ＝MD，DQ⊥AC，DE＝QE∴当B、M、Q在同一直线上时，BM+MD＝BM+MQ＝BQ，即BM+MD的最小值为BQ∴此时，CN+NM+MD＝BM+MD＝BQ，即CN+NM+MD的最小值为BQ∵点B、C关于直线l对称∴AD平分∠BAC∵DF⊥AB，DE⊥AC∴DE＝DF＝|y D|＝2∴DQ＝2DE＝4∵B（1，0），D（3，﹣2）∴BD2＝（3﹣1）2+（﹣2）2＝16∵BD∥AC∴∠BDQ＝∠AEQ＝90°∴BQ＝∴CN+NM+MD的最小值为8．28．如图，矩形ABCD，AB＝2，BC＝10，点E为AD上一点，且AE＝AB，点F从点E出发，向终点D 运动，速度为1cm/s，以BF为斜边在BF上方作等腰直角△BFG，以BG，BF为邻边作▱BFHG，连接AG．设点F的运动时间为t秒．（1）试说明：△ABG∽△EBF；（2）当点H落在直线CD上时，求t的值；（3）点F从E运动到D的过程中，直接写出HC的最小值．【分析】（1）根据两边成比例夹角相等即可证明两三角形相似；（2）如图构建如图平面直角坐标系，作HM⊥AD于M，GN⊥AD于N．设AM交BG于K．首先证明△GFN≌△FHM，想办法求出点H的坐标，构建方程即可解决问题；（3）由（2）可知H（2+t，4+t），令x＝2+t，y＝4+t，消去t得到y＝x+．推出点H 在直线y＝x+上运动，根据垂线段最短即可解决问题；【解答】（1）证明：如图1中，∵△ABE，△BGF都是等腰直角三角形，∴＝＝，∵∠ABE＝∠GBF＝45°，∴∠ABG＝∠EBF，∴△ABG∽△EBF．（2）解：如图构建如图平面直角坐标系，作HM⊥AD于M，GN⊥AD于N．设AM交BG于K．∵△GFH是等腰直角三角形，∴FG＝FH，∠GNF＝∠GFH＝∠HMF＝90°，∴∠GFN+∠HFM＝90°，∠HFM+∠FHM＝90°，∴∠GFN＝∠FHM，∴△GFN≌△FHM，∴GN＝FM，FN＝HM，∵△ABG∽△EBF，∴＝＝，∠AGB＝∠EFB，∵∠AKG＝∠BKF，∴∠GAN＝∠KBF＝45°，∵EF＝t，∴AG＝t，∴AN＝GN＝FM＝t，∴AM＝2+t，HM＝FN＝2+t，∴H（2+t，4+t），当点H在直线CD上时，2+t＝10，解得t＝．（3）由（2）可知H（2+t，4+t），令x＝2+t，y＝4+t，消去t得到y＝x+．∴点H在直线y＝x+上运动，如图，作CH垂直直线y＝x+垂足为H．根据垂线段最短可知，此时CH的长最小，易知直线CH的解析式为y＝﹣3x+30，由，解得，∴H（8，6），∵C（10，0），∴CH＝＝2，∴HC最小值是2．。
2020届初三中考数学一诊联考试卷含参考答案 (江苏)
2020届**市初三中考一诊联考试卷数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证填写在答题卡上。
2.回答客观题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑。
如需改正，必须用橡皮擦擦涂干净，回答非客观题，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。
4.考试时间：120分钟。
一、单选题（共10题，每题3分，共30分，四个选项中只有一项符合题目要求）1．如图，⊙O以AB为直径，PB切⊙O于B，近接AP，交⊙O于C，若∠PBC ＝50°，∠ABC＝（）A．30°B．40°C．50°D．60°2．休闲广场的边缘是一个坡度为i＝1：2.5的缓坡CD，靠近广场边缘有一架秋千．秋千静止时，底端A到地面的距离AB＝0.5m，B到缓坡底端C的距离BC ＝0.7m．若秋千的长OA＝2m，则当秋千摆动到与静止位置成37°时，底端A′到坡面的竖直方向的距离A′E约为（）（参考数据：sin37°＝0.60，cos37°＝0.80，tan37°＝0.75）A．0.4m B．0.5m C．0.6m D．0.7mx+1分别交x轴、y轴于点A、C，点B是点A关于y的3．如图，直线y＝3对称点，点D是线段BC上一点，把△ABD沿AD翻折使AB落在射线AC上，得△AB'D，则△ABC与△AB'D重叠部分的面积为（）A B C．3D4．体育运动学校准备从甲、乙、丙、丁四人中选出一人参加比赛，各人的平时成绩的平均数(单位：分)及方差s2如表所示：如果要选出一个成绩较好且状态稳定的人去参赛，那么应选的是( ) A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁5．下列图形中，即是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图是一组有规律的图案，第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有7个三角形，第③个图案中有10个三角形……依此规律，第⑦个图案中有（ ）个三角形.A ．19B ．21C ．22D ．257．关于x 的方程13x x --＝2+3k x -有增根，则k 的值为（ ） A ．±3 B ．3 C ．﹣3 D ．28．用A ，B 两个机器人搬运化工原料，A 机器人比B 机器人每小时多搬运30kg ，A 机器人搬运900kg 所用时间与B 机器人搬运600kg 所用时间相等，设A 机器人每小时搬运xkg 化工原料，那么可列方程（ ）A ．900x ＝6003x -B ．9003x +＝600xC ．60030x +＝900xD ．9003x -＝600x9．如图是由4个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．10．估计(的值应在（ ）A ．3和4之间B ．4和5之间C ．5和6之间D ．6和7之间 二、填空题（共4题，每题4分，共16分）11．如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，且BC=6，AB=3，AD 是∠BAC 的平分线，与BC 相交于点E ，点G 是BC 上一点，E 为线段BG 的中点，DG ⊥BC 于点G ，交AC 于点F ，则FG 的长为_____.12．如图，在△AOB 中，∠AOB=90°，点A 的坐标为（2，1），例函数y=k x的图象经过点B ，则k 的值为 ．13．已知关于x 的一元二次方程x 2+mx +n =0的两个实数根分别为x 1=-2，x 2=4，则m +n =______．14．如图，正比例函数y 1＝k 1x 的图象与反比例函数y 2＝2k x（x ＞0）的图象相交于点A B 是反比例函数图象上一点，它的横坐标是3，连接OB ，AB ，则△AOB 的面积是_____．三、解答题（共6题，总分54分）15．如图，矩形ABCD 中，对角线AC 的垂直平分线MN 与AD 相交于点M ，与BC 相交于点N ，连接AN ，CM ．求证：四边形AMCN 是菱形．16．“低碳生活，绿色出行”是我们倡导的一种生活方式，某校为了解学生对共享单车的使用情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，并将这次调查的结果绘制了以下两幅不完整的统计图．根据所给信息，解答下列问题：（1）m ＝ ；（2）补全条形统计图；（3）这次调查结果的众数是 ；（4）已知全校共3000名学生，请估计“经常使用”共享单车的学生大约有多少名？17．如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC=0.60米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB=75°，支架AF的长为2.50米米，篮板顶端F 点到篮框D的距离FD=1.35米，篮板底部支架HF与支架AF所成的角∠FHE=60°，求篮框D到地面的距离（精确到0.01米）.（参考数据：cos75°≈0.2588， sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，1.732≈ 1.414≈）18．近年来，共享单车服务的推出（如图1），极大的方便了城市公民绿色出行，图2是某品牌某型号单车的车架新投放时的示意图（车轮半径约为30cm），其中BC∥直线l，∠BCE=71°，CE=54cm．（1）求单车车座E到地面的高度；（结果精确到1cm）。
2020年四川省成都市武侯区中考数学一诊试卷(含解析)
2020年四川省成都市武侯区中考数学一诊试卷一、选择题（本大題共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）1．（3分）在如下放置的立体图形中，其主视图与左视图不相同的是（ ）A．圆锥B．正方体C．圆柱D．球2．（3分）已知点P（3，2）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，则下列各点中在此反比例函数图象上的是（ ）A．（﹣3，﹣2）B．（3，﹣2）C．（﹣2，3）D．（2，﹣3）3．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，4），那么cosα的值是（ ）A．B．C．D．4．（3分）若关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣2x﹣1＝0有实数根，则实数k的取值范围是（ ）A．k＞3B．k≥﹣3C．k＞﹣3且k≠﹣2D．k≥﹣3且k≠﹣2 5．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，且DE∥BC，若AE＝1，CE ＝AD＝2，则AB的长是（ ）A．6B．5C．4D．26．（3分）下列说法正确的是（ ）A．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形B．坡面的水平宽度与铅直高度的比称为坡度C．两个相似图形也是位似图形D．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧7．（3分）如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠BAC＝55°，则∠OBC的度数为（ ）A．25°B．35°C．55°D．70°8．（3分）在一个不透明的袋子里装有20个红球和若干个蓝球，这些球除颜色外都相同将袋子中的球搅拌均匀，每次从袋子里随机摸出一个球，记录下它的颜色后再放回袋子中，不断重复这一过程，发现摸到蓝球的频率稳定在0.6左右，请你估计袋子中装有蓝球的个数是（ ）A．12个B．20个C．30个D．35个9．（3分）在2020年元旦期间，某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，调查发现：当销售价为2900元时，平均毎天能销售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？设每台冰箱定价x元，根据题意，可列方程为（ ）A．（x﹣2500）（8+4×）＝5000B．（x﹣2500）（8+4×）＝5000C．（2900﹣x﹣2500）（8+4×）＝5000D．（2900﹣x）（8+4×）＝500010．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（其中a，b，c为常数）的图象如图所示，有以下结论：①abc＞0；②a+b+c＝0；③2a﹣b＝0；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．其中正确结论的番号是（ ）A．①②④B．①③④C．①④D．③④二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）11．（4分）已知＝，则的值为 ．12．（4分）如图，在△ABC中，P为边AB上一点，且∠ACP＝∠B，若AP＝6，BP＝4，则AC的长为 ．13．（4分）已知关于x的元二次方程x2﹣2kx﹣8＝0的一个根是2，则此方程的另一个根是 ．14．（4分）如图，现将四根木条钉成的矩形框ABCD变形为平行四边形木框A'BCD′，且A′D′与CD相交于CD边的中点E，若AB＝4，则△ECD′的面积是 ．三、解答題（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）15．（12分）（1）计算：﹣22+（π﹣3.14）0﹣|﹣4|﹣4sin60°（2）解方程：4x2+4x﹣3＝016．（6分）2019年9月10日是我国第35个教师节，某中学德育处发起了感恩小学恩师的活动，德育处要求每位同学从以下三种方式中选择一种方式表达感恩：A．信件感恩，B．信息感恩，C．当面感恩．为了解同学们选择以上三种感恩方式的情况，德育处随机对本校部分学生进行了调查，并根据调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图．根据图中信息解答下列问题：（1）扇形统计图中C部分所对应的扇形圆心角的度数为 ，并补全条形统计图；（2）本次调查在选择A方式的学生中有两名男生和两名女生来自于同一所小学，德育处打算从他们四个人中选择两位在主题升旗仪式上发言，请用画树状图或列表的方法求恰好选到一男一女的概率．17．（8分）2019年10月1日，中华人民共和国成立70周年，成都市天府广场举行了盛大的升旗仪式，我市部分学生有幸见证了这一激动人心的时刻，并在现场作了如下测量工作：身高1.8米的某同学（图中AE部分）在护旗手开始走正步的点A处测得旗杆顶部D 的仰角为22°，在护旗手结束走正步的点B处测得旗杆顶部D的仰角为45°，又测量得到A，B两点间的距离是30米，求旗杆DC的高度．（结果精确到0.1米；参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40．）18．（8分）如图，在正方形ABCD中，点E，F在对角线BD上，AE∥CF，连接AF，CE．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由．19．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+5的图象与反比例函数y＝（k＞0）的图象相交于A，B两点，与x轴相交于点C，连接OB，且△BOC的面积为．（1）求反比例函数的表达式；（2）将直线AB向下平移，若平移后的直线与反比例函数的图象只有一个交点，试说明直线AB向下平移了几个单位长度？20．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，在△ABC外侧作∠CAD＝∠CAB，过点C作CD⊥AD于点D，交AB延长线于点P．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若tan∠BCP＝，AD•BC＝4m2（m＞0），求⊙O的半径；（用含m的代数式表示）（3）如图2，在（2）的条件下，作弦CF平分∠ACB，交AB于点E，连接BF，且BF＝5，求线段PE的长．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上B卷（共50分）21．（4分）已知方程x2﹣x﹣7＝0的两个实数根分别为m，n，则m2+n的值为 ．22．（4分）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长”．（1尺＝10寸）则CD＝ ．23．（4分）我们知道黄金比例是，利用这个比例，我们规定一种“黄金算法”即：a b＝a+b，比如12＝1+×2＝．若x（24）＝5，则x的值为 ．24．（4分）如图，点P为双曲线y＝（x＜0）上一动点，连接OP并延长到点A，使PA＝PO，过点A作x轴的垂线，垂足为B，交双曲线于点C．当AC＝AP时，连接PC，将△APC沿直线PC进行翻折，则翻折后的△A′PC与四边形BOPC的重叠部分（图中阴影部分）的面积是 ．25．（4分）如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是边BC上一动点（点P 不与点B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，连接MP，作∠MPC的角平分线交边CD于点N．则线段MN的最小值为 ．二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）26．（8分）据报道，从2018年8月以来，“非洲猪瘟”给生猪养殖户带来了不可估量的损失．某养殖户为了预防“非洲猪瘟”的侵袭，每天对猪场进行药熏消毒，已知一瓶药物释放过程中，一个圈舍内每立方米空气中含药量y（毫克）与时间x（分钟）之间满足正比例函数关系；药物释放完后，y与x之间满足反比例函数关系，如图所示，结合图中提供的信息解答下列问题：（1）分别求当0≤x≤10和x＞10时，y与x之间满足的函数关系式；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量不低于6毫克时，消毒才有效，那么这次熏药的有效消毒时间是多少分钟．27．（10分）如图，已知AC为正方形ABCD的对角线，点P是平面内不与点A，B重合的任意一点，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，连接AE，BP，CE．（1）求证：△APE∽△ABC；（2）当线段BP与CE相交时，设交点为M，求的值以及∠BMC的度数；（3）若正方形ABCD的边长为3，AP＝1，当点P，C，E在同一直线上时，求线段BP 的长．28．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，经过B，C两点的直线为y＝．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P为抛物线上的动点，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点M，连接PC，若△PCM为直角三角形，求点P的坐标；（3）当P满足（2）的条件，且点P在直线BC上方的抛物线上时，如图2，将抛物线沿射线BC方向平移，平移后B，P两点的对应点分别为B′，P′，取AB的中点E，连接EB′，EP′，试探究EB'+EP'是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．2020年四川省成都市武侯区中考数学一诊试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大題共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）1．（3分）在如下放置的立体图形中，其主视图与左视图不相同的是（ ）A．圆锥B．正方体C．圆柱D．球【解答】解：A、圆锥的主视图和左视图均为全等的等腰三角形，不符合题意；B、正方体的主视图和左视图均为全等的正方形，不符合题意；C、主视图是长方形，左视图是圆，符合题意；D、球的主视图和左视图均为圆，不符合题意；故选：C．2．（3分）已知点P（3，2）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，则下列各点中在此反比例函数图象上的是（ ）A．（﹣3，﹣2）B．（3，﹣2）C．（﹣2，3）D．（2，﹣3）【解答】解：∵点P（3，2）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，∴k＝3×2＝6，A、∵﹣3×（﹣2）＝6，∴此点在该函数图象上，故本选项正确；B、∵3×（﹣2）＝﹣6，∴此点不在该函数图象上，故本选项错误；C、∵﹣2×3＝﹣6，∴此点不在该函数图象上，故本选项错误；D、∵2×（﹣3）＝﹣6，∴此点不在该函数图象上，故本选项错误．故选：A．3．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，4），那么cosα的值是（ ）A．B．C．D．【解答】解：作AB⊥x轴于B，如图，∵点A的坐标为（3，4），∴OB＝3，AB＝4，∴OA＝＝5，在Rt△AOB中，cosα＝＝．故选：C．4．（3分）若关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣2x﹣1＝0有实数根，则实数k的取值范围是（ ）A．k＞3B．k≥﹣3C．k＞﹣3且k≠﹣2D．k≥﹣3且k≠﹣2【解答】解：由题意可知：△＝4+4（k+2）≥0，∴解得：k≥﹣3，∵k+2≠0，∴k≥﹣3且k≠﹣2，故选：D．5．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，且DE∥BC，若AE＝1，CE ＝AD＝2，则AB的长是（ ）A．6B．5C．4D．2【解答】解：∵DE∥BC，∴＝，∴＝，∴AB＝6，故选：A．6．（3分）下列说法正确的是（ ）A．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形B．坡面的水平宽度与铅直高度的比称为坡度C．两个相似图形也是位似图形D．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧【解答】解：A、对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故此选项错误；B、坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度，故此选项错误；C、两个相似图形不一定位似图形，故此选项错误；D、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，正确．故选：D．7．（3分）如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠BAC＝55°，则∠OBC的度数为（ ）A．25°B．35°C．55°D．70°【解答】解：∵⊙O为△ABC的外接圆，∠BAC＝55°，∴∠BOC＝2∠BAC＝2×55°＝110°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝＝＝35°．故选：B．8．（3分）在一个不透明的袋子里装有20个红球和若干个蓝球，这些球除颜色外都相同将袋子中的球搅拌均匀，每次从袋子里随机摸出一个球，记录下它的颜色后再放回袋子中，不断重复这一过程，发现摸到蓝球的频率稳定在0.6左右，请你估计袋子中装有蓝球的个数是（ ）A．12个B．20个C．30个D．35个【解答】解：设袋中蓝球有x个，根据题意得：＝0.6，解得：x＝30，经检验：x＝30是分式方程的解，故袋中蓝球有30个．故选：C．9．（3分）在2020年元旦期间，某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，调查发现：当销售价为2900元时，平均毎天能销售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？设每台冰箱定价x元，根据题意，可列方程为（ ）A．（x﹣2500）（8+4×）＝5000B．（x﹣2500）（8+4×）＝5000C．（2900﹣x﹣2500）（8+4×）＝5000D．（2900﹣x）（8+4×）＝5000【解答】解：设每台冰箱定价x元时，种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，由题意得：（x﹣2500）（8+4×）＝5000，故选：B．10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（其中a，b，c为常数）的图象如图所示，有以下结论：①abc＞0；②a+b+c＝0；③2a﹣b＝0；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．其中正确结论的番号是（ ）A．①②④B．①③④C．①④D．③④【解答】解：抛物线开口向上，a＞0，对称轴在y轴的右侧，a、b异号，因此b＜0，与y轴的交点在负半轴，因此c＜0，所以abc＞0，故结论①正确；当x＝1时，y＝a+b+c＜0，因此选项②是不正确的；对称轴为x＝1，即﹣＝1，也就是2a+b＝0，因此选项③不正确；抛物线与x轴有两个不同的交点，因此方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．选项④正确；故选：C．二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）11．（4分）已知＝，则的值为 ．【解答】解：＝，则＝，故答案为：．12．（4分）如图，在△ABC中，P为边AB上一点，且∠ACP＝∠B，若AP＝6，BP＝4，则AC的长为 2 ．【解答】解：∵AP＝6，BP＝4，∴AB＝10，∵∠A＝∠A，∠ACP＝∠B，∴△ACP∽△ABC，∴，∴AC2＝6×10，∴AC＝2，故答案为：2．13．（4分）已知关于x的元二次方程x2﹣2kx﹣8＝0的一个根是2，则此方程的另一个根是 ﹣4 ．【解答】解：设该方程的另外一个根为x，由根与系数的关系可知：2x＝﹣8，∴x＝﹣4，故答案为：﹣414．（4分）如图，现将四根木条钉成的矩形框ABCD变形为平行四边形木框A'BCD′，且A′D′与CD相交于CD边的中点E，若AB＝4，则△ECD′的面积是 2 ．【解答】解：作A'F⊥BC于F，如图所示：则∠A'FB＝90°，根据题意得：平行四边形A′BCD′的面积＝BC•A'F＝BC•AB，∴A'F＝AB＝2，∴∠D'＝∠A'BC＝30°，∴BF＝A'F＝2，∵四边形ABCD是矩形，四边形A′BCD′是平行四边形，∴BC＝AD＝A'D'，A'D'∥AD∥BC，CD⊥BC，∴CD⊥A'D'，∴A'F∥CD，∴四边形A'ECF是矩形，∴CE＝A'F＝2，A'E＝CF，∴DE＝BF＝2，∴△ECD的面积＝DE×CE＝×2×2＝2；故答案为2．三、解答題（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）15．（12分）（1）计算：﹣22+（π﹣3.14）0﹣|﹣4|﹣4sin60°（2）解方程：4x2+4x﹣3＝0【解答】解：（1）原式＝﹣4+1﹣（4﹣2）﹣4×＝﹣3﹣4+2﹣2＝﹣7；（2）∵4x2+4x﹣3＝0，∴（2x+3）（2x﹣1）＝0，则2x+3＝0或2x﹣1＝0，解得x＝﹣或x＝．16．（6分）2019年9月10日是我国第35个教师节，某中学德育处发起了感恩小学恩师的活动，德育处要求每位同学从以下三种方式中选择一种方式表达感恩：A．信件感恩，B．信息感恩，C．当面感恩．为了解同学们选择以上三种感恩方式的情况，德育处随机对本校部分学生进行了调查，并根据调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图．根据图中信息解答下列问题：（1）扇形统计图中C部分所对应的扇形圆心角的度数为 120° ，并补全条形统计图；（2）本次调查在选择A方式的学生中有两名男生和两名女生来自于同一所小学，德育处打算从他们四个人中选择两位在主题升旗仪式上发言，请用画树状图或列表的方法求恰好选到一男一女的概率．【解答】解：（1）被调查的总人数为15÷25%＝60（人），C类的总人数＝60﹣25﹣15＝20（人）所以扇形统计图中C部分所对应的扇形圆心角的度数为360°×＝120°，补全条形统计图如图所示：故答案为：120°；（2）画树状图如下：共有12种可能的结果，恰好选到一男一女的结果有8个，∴P（选到一男一女）＝＝．17．（8分）2019年10月1日，中华人民共和国成立70周年，成都市天府广场举行了盛大的升旗仪式，我市部分学生有幸见证了这一激动人心的时刻，并在现场作了如下测量工作：身高1.8米的某同学（图中AE部分）在护旗手开始走正步的点A处测得旗杆顶部D 的仰角为22°，在护旗手结束走正步的点B处测得旗杆顶部D的仰角为45°，又测量得到A，B两点间的距离是30米，求旗杆DC的高度．（结果精确到0.1米；参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40．）【解答】解：延长EF交CD于G，∵∠DEF＝22°，∠DFG＝45°，∴在Rt△DGF中，DG＝GF，在Rt△DGE中，tan22°＝，即EG＝≈2.5DG，∵2.5DG﹣DG＝30，解得DG＝20，则DC＝DG+CG＝20+1.8＝21.8（米）．答：旗杆DC的高度大约是21.8米．18．（8分）如图，在正方形ABCD中，点E，F在对角线BD上，AE∥CF，连接AF，CE．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由．【解答】解：（1）证明：∵在正方形ABCD中，AB＝CD，∠ABE＝∠CDF＝45°，又∵AE∥CF，∴∠AEF＝∠CFE（两直线平行，内错角相等），∴∠AEB＝∠CFD（等角的补角相等），∴△ABE≌△CDF（AAS）；（2）四边形AECF是菱形．理由如下：如图，连接AC，与BD交于点O，∵△ABE≌△CDF，∴BE＝DF，又∵OB＝OD，∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，又∵AC⊥EF，OA＝OC，∴四边形AECF是菱形．19．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+5的图象与反比例函数y＝（k＞0）的图象相交于A，B两点，与x轴相交于点C，连接OB，且△BOC的面积为．（1）求反比例函数的表达式；（2）将直线AB向下平移，若平移后的直线与反比例函数的图象只有一个交点，试说明直线AB向下平移了几个单位长度？【解答】解：（1）一次函数y＝﹣x+5中，令y＝0，解得x＝5，∴C（5，0），∴OC＝5，作BD⊥OC于D，∵△BOC的面积为，∴OC•BD＝，即BD＝，∴BD＝1，∴点B的纵坐标为1，代入y＝﹣x+5中，求得x＝4，∴B（4，1），∵反比例函数y＝（k＞0）的图象经过B点，∴k＝4×1＝4，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度得直线解析式为y＝﹣x+5﹣m，∵直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度后与反比例函数的图象只有一个公共交点，∴＝﹣x+5﹣m，整理得x2+（m﹣5）x+4＝0，△＝（m﹣5）2﹣4×1×4＝0，解得m＝9或m＝1，即m的值为1或9．20．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，在△ABC外侧作∠CAD＝∠CAB，过点C作CD⊥AD于点D，交AB延长线于点P．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若tan∠BCP＝，AD•BC＝4m2（m＞0），求⊙O的半径；（用含m的代数式表示）（3）如图2，在（2）的条件下，作弦CF平分∠ACB，交AB于点E，连接BF，且BF＝5，求线段PE的长．【解答】解：（1）如图1，连接OC，则OA＝OC，则∠OAC＝∠OCA＝α，而∠CAD＝∠CAB＝α，故∠DAC＝∠OCA＝α，∴AD∥CO，而CD⊥AD，∴CO⊥PD，故PC是⊙O的切线；（2）PC是⊙O的切线，则∠BCP＝∠CAB＝α，即tan，则sin，cos，∵∠DAC＝∠CAB＝α，∴△ADC∽△ABC，设圆的半径为R，则AC＝AB cosα＝2R×＝，CD＝AC sinα＝，故AD•BC＝AC•CD＝＝4m2，故R＝m；（3）连接OF、OC，CF平分∠ACB，则FO⊥AB，∵∠ECP＝90°﹣∠OCE，∠CEP＝90°﹣∠OFC，而∠OCE＝∠OFC，∴∠ECP＝∠CEP，∴PC＝PE，BF＝5＝R，则R＝5，AD＝AC cosα＝×＝8，同理CD＝4，∵CO∥AD，∴，即，解得：PC＝＝PE．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上B卷（共50分）21．（4分）已知方程x2﹣x﹣7＝0的两个实数根分别为m，n，则m2+n的值为 8 ．【解答】解：由题意可知：m2﹣m﹣7＝0，∴m2＝m+7，∵m+n＝1，∴原式＝m+7+n＝8，故答案为：8．22．（4分）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长”．（1尺＝10寸）则CD＝ 26寸 ．【解答】解：连接OA，如图所示，设直径CD的长为2x寸，则半径OC＝x寸，∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，AB＝10寸，∴AE＝BE＝AB＝×10＝5寸，连接OA，则OA＝x寸，根据勾股定理得x2＝52+（x﹣1）2，解得x＝13，CD＝2x＝2×13＝26（寸）．故答案为：26寸．23．（4分）我们知道黄金比例是，利用这个比例，我们规定一种“黄金算法”即：a b＝a+b，比如12＝1+×2＝．若x（24）＝5，则x的值为 ．【解答】解：∵24＝2+×4＝2，∴x2＝x+×2＝x+5﹣∴x+5﹣＝5，∴x＝．故答案为．24．（4分）如图，点P为双曲线y＝（x＜0）上一动点，连接OP并延长到点A，使PA＝PO，过点A作x轴的垂线，垂足为B，交双曲线于点C．当AC＝AP时，连接PC，将△APC沿直线PC进行翻折，则翻折后的△A′PC与四边形BOPC的重叠部分（图中阴影部分）的面积是 ．【解答】解：连接OC，BP，则，∴，∵AP＝AC，将△APC沿直线PC进行翻折得△A′PC，∴AP＝AC＝A'C＝A'P，∴四边形ACA'P为菱形，∴PA'∥AB，A'C∥OA，∵AB⊥x轴，∴PA'⊥x轴，∴＝4，∴，∴OB•BC＝OD•PD，∵AP＝OP，PD∥AB，∴OD＝BD，∴PD＝，OD＝OB，∵CE∥OA，∴∠CEB＝∠POD，∵∠CBE＝∠PDO＝90°，∴△BCE∽△DPO，∴，∵OB•BC＝OD•PD，OD＝OB，∴BC＝PD＝AB，∴，，∴，∴，∵DP∥AB，∴△OPD∽△OAB，∴，∴，∵OP＝AP，∴，∴，∴．25．（4分）如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是边BC上一动点（点P 不与点B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，连接MP，作∠MPC的角平分线交边CD于点N．则线段MN的最小值为 ．【解答】解：连接AM、AN，如图所示：∵点B关于直线AP的对称点M，∴AM＝AB＝3，∵MN≥AN﹣AM，当A、M、N三点共线时，MN取最小值，此时，MN＝AN﹣AM＝AN﹣3，∴当AN取最小值时，MN最小，∵AN＝，AD＝BC＝4，是定值，∴当DN最小时，AN最小，∵点B关于直线AP的对称点M，∴∠APB＝∠APM，∵PN平分∠MPC，∴∠MPN＝∠CPN，∴∠APN＝（∠BPM+∠CPM）＝×180°＝90°，∵∠ABP＝∠PCN＝90°，∴∠APB+∠NPC＝∠APB+∠BAP，∴∠NPC＝∠BAP，∴△ABP∽△PCN，∴＝，设BP＝x，PC＝4﹣x，∴＝，∴CN＝﹣（x2﹣4x）＝﹣（x﹣2）2+，∴当x＝2时，CN最大为：，∴DN最小值为：CD﹣CN＝3﹣＝，∴AN最小值＝＝＝，∴线段MN的最小值为：﹣3＝，故答案为：．二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）26．（8分）据报道，从2018年8月以来，“非洲猪瘟”给生猪养殖户带来了不可估量的损失．某养殖户为了预防“非洲猪瘟”的侵袭，每天对猪场进行药熏消毒，已知一瓶药物释放过程中，一个圈舍内每立方米空气中含药量y（毫克）与时间x（分钟）之间满足正比例函数关系；药物释放完后，y与x之间满足反比例函数关系，如图所示，结合图中提供的信息解答下列问题：（1）分别求当0≤x≤10和x＞10时，y与x之间满足的函数关系式；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量不低于6毫克时，消毒才有效，那么这次熏药的有效消毒时间是多少分钟．【解答】解：（1）当0≤x≤10，设y与x之间满足的函数关系式为y＝kx，∵过点（10，30），∴30＝10k，解得：k＝3，∴y＝3x（0≤x≤10），x＞10时，设y与x之间满足的函数关系式为y＝，∵过点（10，30），∴30＝，k＝300，∴y＝（x＞10）；（2）y＝3x（0≤x≤10）中，当y≥6时，x≥2，y＝（x＞10）中，当y≥6时，x≤50，∴2≤x≤50，∴这次熏药的有效消毒时间是：50﹣2＝48（分钟）答：这次熏药的有效消毒时间是48分钟．27．（10分）如图，已知AC为正方形ABCD的对角线，点P是平面内不与点A，B重合的任意一点，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，连接AE，BP，CE．（1）求证：△APE∽△ABC；（2）当线段BP与CE相交时，设交点为M，求的值以及∠BMC的度数；（3）若正方形ABCD的边长为3，AP＝1，当点P，C，E在同一直线上时，求线段BP 的长．【解答】解：（1）∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠ABC＝90°，∠BAC＝∠BCA＝45°，由旋转知，PA＝PE，∠APE＝90°＝∠ABC，∴∠PAE＝∠PEA＝45°＝∠BAC，∴△APE∽△ABC；（2）在Rt△ABC中，AB＝CB，∴AC＝AB，由（1）知，△APE∽△ABC，∴，∵∠BAC＝∠PAE＝45°，∴∠PAB＝∠EAC，∴△PAB∽△EAC，∴＝＝，∵△PAB∽△EAC，∴∠ABP＝∠ACE，∴∠BCE+∠CBM＝∠BCE+∠ABP+∠ABC＝∠BCE+∠ACE+∠ABC＝∠ACB+∠ABC＝45°+90°＝135°，∴∠BMC＝180°﹣（∠BCE+∠CBM）＝45°；（3）如图，在Rt△ABC中，AB＝BC＝3，∴AC＝3，∵点P，C，E在同一条线上，且∠APE＝90°，∴CP＝＝，∴CE＝CP﹣PE＝﹣1或CE'＝CP'+P'E＝+1，由（2）知，＝，∴BP＝CE＝（﹣1）＝或BP'＝CE'＝；即：BP的长为或．28．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，经过B，C两点的直线为y＝．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P为抛物线上的动点，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点M，连接PC，若△PCM为直角三角形，求点P的坐标；（3）当P满足（2）的条件，且点P在直线BC上方的抛物线上时，如图2，将抛物线沿射线BC方向平移，平移后B，P两点的对应点分别为B′，P′，取AB的中点E，连接EB′，EP′，试探究EB'+EP'是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）y＝，过点B，C，则点B、C的坐标分别为：（3，0）、（0，），则c＝，将点B的坐标代入抛物线表达式并解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+；（2）①当∠PCM＝90°时，由点A、B、C的坐标知，△ABC为直角三角形，故AC⊥BC，当△PCM为直角三角形时，点P与点A重合，∴点P（﹣1，0）；②当∠CPM＝90°时，则点C、P关于函数对称轴对称，此时点P（2，），故点P的坐标为（﹣1，0）或（2，）；（3）存在，理由：点P（2，），设图象沿BC方向向左平移3m个单位，则向上平移m个单位，则平移后点B′、P′的坐标分别为：（3﹣3m，m）、（2﹣3m，m+），点E（1，0），分别过点A、E作直线BC的平行线n、m，过点B′作直线m的对称点B″，则EB′＝EB″，当B″、E、P′三点共线时，EB'+EP'＝EB″+EP′＝B″P′最小；点E是AB的中点，则直线m与直线n、直线m与直线BC等距离，则点B″在直线n上，直线BC的倾斜角为30°，则直线B′B″的倾斜角为60°，则设直线B′B″的表达式为：y＝x+b，将点B′的坐标代入上式并解得：直线B′B″表达式为：y＝x+（4m﹣3）…①，第31页（共31页）设过点A 的直线n 的表达式为：y ＝﹣x +b ′，将点A 的坐标代入上式并解得：直线n 的表达式为：y ＝﹣（x +1）…②，联立①②并解得：x ＝2﹣3m ，故点B ″（2﹣3m ，m ﹣），而P ′（2﹣3m ，m +），故EB '+EP '的最小值B ″P ′＝2．。