3.3 垂径定理(第2课时)浙江嘉兴市南溪中学 房桂平
M
C
D
A
B
A
B
.
O
O.
E AC
DB
.O
小结:
N
解决有关弦的问题，经常是过圆心作
弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半 径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.
• 相信自己能独立 完成解答.
判断
（1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧.
（2）平分弦的直线，必定过圆心.
（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这
条直线垂直这条弦.
A
C
C
C
OD
(1) B
•O
A
B
(2) D
•O
A
B
(3) D
（4）弦的垂直平分线一定是圆的直径.
（5）平分弧的直线，平分这条弧所对的弦. （6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分.
试一试
挑战自我填一填
• 1.判断：
• ⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两
条弧.
（ ）
• ⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的
另一条弧.
（√ ）
• ⑶圆内两条非直径的弦不能互相平分（ ）
• ⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （ ）
• ⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （√ ）
3.3 垂径定理 （第2课时）
知识回顾
• 定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分
•
弦所对的两条弧.
C
A M└ ●O
如图∵ CD是直径,
B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
CD⊥AB,
∴AM=BM,
A⌒C=B⌒C,
⌒⌒
AD=BD.
D
CD为直径 条件
CD⊥AB
CD平分弦AB 结论 CD平分弧ACB
CD平分弧ADB
规律探索
• AB是⊙O的一条弦,且AM=BM. 过点M作直径CD.
例题
赵州石拱桥
• 1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱 是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.2 m,拱高 (弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.23m,求桥拱的 半径(精确到0.01m).
你是第一 个告诉同 学们解题 方法和结 果的吗？
船能过拱桥吗
• 如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶 高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并 高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这 座拱桥吗？
C
CD过圆心 CD⊥AB
CD平分弦AB
CD平分弧ACB
CD平分弧ADB
O
A
B
D
推论（1）
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所 对的两条弧
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分 弦，并且平分弦所对和的另一条弧
推论（2）
圆的两条平行弦所夹的弧相等
②③ ②④ ②⑤
①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.
①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且 ①③④ 平分弦和所对的另一条弧.
③④ ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 ③⑤ ①②④ 弦,并且平分弦所对的另一条弧.
④⑤ ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
命题（1）：平分弦（不是直径）的直径垂 直于弦，并且平分弦所对的两条弧
.C O
已知：CD是直径，AB是弦，并且CD平分AB
求证：CD⊥AB，A⌒D=B⌒D，A⌒C=B⌒C
A
E B
命题（2）：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对D
的两条弧
已知：AB是弦，CD平分AB，CD⊥AB， 求证：CD是直径，A⌒D=B⌒D，A⌒C=B⌒C. 命题（3）：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且 平分弦所对的另一条弧
试一试
挑战自我画一画
• 2.已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,
直径MN⊥AB,垂足为点E,交弦CD于点F.
图中相等的线段有 : AE=BE,CF=FD,OM=ON.
图中相等的劣弧有: AE = BE，AC = BD，CM = DM.，
CN = DN，AN = BN，AD = BC
B M
已知：CD是直径，AB是弦，并且A⌒D=B⌒D （A⌒C=B⌒C） 求证：CD平分AB，A⌒C=B⌒C（A⌒D=B⌒D），CD⊥AB
注意
定理的逆定理
• 如图,根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直 线来说，如果在下列五个条件中:
①⑤A⌒CDD=是B⌒直D.径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ④A⌒C=B⌒C,
下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
• 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说
C
说你的想法和理由.
A
┗●
B 小明发现图中有:
M
●O
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
可推得
②CD⊥AB,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
平分弦（D不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
讨论 （1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平 分弦所对优弧 （5）平分弦所对的劣弧
•O ACB
(4)
B
•O D
C
A
(5)
C
•O
A
EB
D (6)
挑战自我定理的推论
• 如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相 等吗?
• 老师提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况: 1.两条弦在圆心的同侧 2.两条弦在圆心的两侧
A
●O
B
A
B
●O
C
D
C
D
垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等.
只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
C
A M└
B
●O
你可以写出相应的命题吗? 相信自己是最棒的!
D
定理及逆定理
C
A M└
B
●O
条件 结论
定理及逆定理
①② ③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. D
①③ ②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
①④ ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 ①⑤ ②③④ 另一条弧.
（3） （1）
（2） （4） （5）
（2） （3）
（1） （1）
（4） （4）
（5）
（3） （2） （5）
（1） （5）
（3） （4） （2）
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且 平分弦所对的两条弧
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对 的两条弧
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦， 并且平分弦所对的另一条弧
E D
A OF
C N
试一试
挑战自我画一画
• 3.如图,圆O与矩形ABCD交于点E、F、G、 H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.
A
H
G
D
BE
·
F
C
O
课堂小结
1、圆是轴对称图形，其对称轴是每一条直径所在的直线或 经过圆心的每一条直线.
2、垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
浙教版九年级数学上册 3.3《垂径定理》(共20张PPT)
D
O
4、已知：如图在⊙O中，弦AB//CD。 求证：A⌒C=⌒BD
O
A
B
C
D
5.过已知⊙O内的一点A作弦,使A是该弦的中点, 然后作出弦所对的两条弧的中点
E
BC就是所要求的弦 点D,E就是所要求的弦 所对的两条弧的中点.
O
C
A
B
D
１．本节课主要内容：（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理． 2．垂径定理的应用：（1）作图；（2）计算和证明． 3．解题的主要方法：
（1）画弦心距和半径是圆中常见的辅助线； （2）半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形 是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系： 弦长 AB2 r2d2.
1．若将一等腰三角形沿着底边上的高对折， 将会发生什么?
２．如果以这个等腰三角形的顶点为圆心， 腰长为半径作圆，得到的圆是否是轴对称图 形呢？
由垂径定理得:
AC=BC=1/2AB=0.5×16=8
10
由勾股定理得:
C
88
O C O B 2 B C 21 0 2 8 2 6
答:截面圆心O到水面的距离为6.
D
圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.
例如,上图中,OC的长就是弦AB的弦心距.
1、已知⊙O的半径为13cm，一条弦的弦心距为5cm， 求
C
AD
B
O
已知：如图，⊙O 的半径为2， AB为 弦，
OC ⊥AB OC交AB 于D ，AB = 3 ，求
CD.
C
AD
B
O
已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，OC ⊥AB
OC交AB 于D ，AB = 6 ，CD = 1. 求⊙O 的半
《垂径定理》PPT课件(湘教版)
AD 与 BD 分别相等吗？
C
O
点击打开
E
A
B
D
因为圆是轴对称图形， 将 ⊙O 沿直 径CD对折，AE 与 BE 重合，AC ， AD 分别与 BC , BD 重合， 即 AE = BE ，AC BC , AD BD .
你能试着证明这个结论吗？
C
O
E AB
D
连接 OA，OB. ∵ OA = OB， ∴ △OAB 是等腰三角形. ∵ OE ⊥ AB， ∴ AE = BE， ∠AOD =∠BOD. 从而∠AOC =∠BOC. ∴ AC BC ，AD BD
由勾股定理，得：BC=6cm； 故BD= 1 BC=3cm．
2
1. 如图,☉O 的直径为 10 , 弦 AB 的长为 6 , M 是弦 AB 上 的一动点, 则线段 OM 的取值范围是（ B ） A. 3 ≤ OM ≤ 5 B. 4 ≤ OM ≤ 5 C. 3＜OM ＜5 D. 4＜ OM ＜ 5
由垂径定理得 AE AB 4cm.
2
在 Rt△AEO 中， 由勾股定理得 OA2 ＝ OE2 + AE2. 即 r2 ＝ （r-2）2 + 42. 解得 r ＝ 5 . ∴ CD = 2r = 10 （cm）.
证明：圆的两条平行弦所夹的弧相等． 已知：如图， 在⊙O 中，弦 AB 与弦 CD 平行． 求证：AC BD 【教材P59页】 证明： 作直径 EF⊥ AB，∴ AE BE . 又∵AB∥CD， EF ⊥ AB ， ∴ EF ⊥ CD. ∴ CE DE . 因此 AE CE BE DE . 即 AC BD .
2. 一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示,
其中有水部分水面宽 0.8 m、水深 0.2 m, 则此输水
浙江省苍南县龙港镇第四中学浙教版九年级数学上册教学案(无答案)：33垂径定理(第2课时)
课题 3.3垂径定理（第2课时）教学目的知识点1．掌握垂径定理及其逆定理．2．学会应用垂径定理及其逆定理，解决有关弦、弧、弦心距以及半径之间关系的证明和计算，解决一些生产实际问题．能力点进一步培养学生分析问题和解决问题的能力．德育点用生活和生产中的实例激发学生学习兴趣从而唤起学生尊重知识尊重科学，更加热爱生活重点应用定理解决生产实际问题．难点例3的教学．教法先学后导教学法学法自学、讨论、归纳、巩固教具把例题写在幻灯片上．教学设计进程教师活动学生活动设计意图达到效果一复习引入二新课讲述1.叙述垂径定理2.练习(1)两同心圆中，弦AB＝4，AB交小圆于点C、D，CD＝2，且弦心距等于1，那么大圆和小圆的半径之比是（）(2)平分已知AB；在已知AB上画一点C,使AC：BC＝1:3（一）板书课题、揭示目标本节课我们一起继续学习“3.2圆的轴对称性(2)”（板书），教学目标是掌握垂径定理及其逆定理，学会应用垂径定理及其逆定理，解决有关弦、弧、弦心距以及半径之间关系的证明和计算，解决一些生产实际问题．（二）自学例题前指导1、明确自学内容、要求和方法怎样运用垂径定理及其逆定理进行画图、计算或证明呢？下面请大家看书本79页的内容，注意书写格式，每步的依据，5分钟后要能够做出与例题类似的题目。
2、垂径定理的逆定理(1)问：把已知CD⊥AB，改成CD平分AB，能得到什么结论?(2) 学生概括定理时，一般会遗忘“不是直径”．教师启发学生思考：学生回答正确（1）5 ： 2学生看书归纳（口答）：学生阅读掌握旧知并唤起对垂径定理的兴趣板书课题、揭示目标明确自学内容、方法、要求通过阅读探究比较激发学习垂径定理及其逆定理应用的。
浙教版初中数学九年级上册3.3《垂径定理(2)》导学案
浙教版初中数学重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！浙教版初中数学和你一起共同进步学业有成！3.3 垂径定理（2）我预学1.什么是逆命题？原命题是真命题，则其逆命题一定是真命题吗？判断下列命题的逆命题的真假：①三角形的外角中至少有2个钝角；②对角钱垂直且相等的四边形是菱形；③矩形既是中心对称图形又是轴对称图形；④两个全等三角形的面积相等.2. 试写出垂径定理“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧”的条件与结论，并写出其逆命题.3. 阅读教材中的本节内容后回答：（1）为什么的定理1要有“不是直径”这个前提条件？你能举出反例吗？（2）本节的两课时内容涉及到①直径（经过圆心）；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧，你怎么理解这五者之间的关系？这些结论主要可用于证明或求什么？【我求助】预习后，你或许有些疑问，请写在下面的空白处：我梳理平分 .【我反思】通过本节课的学习，你一定有很多感想和收获，请写在下面的空白处：我达标1.下列命题中，正确的是（ ） A. 过弦的中点的直线必过圆心B. 过弦的中点的直线平分弦所对的弧C. 弦的垂线平分弦所对的弧D. 弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦，且过圆心2.如图，⊙O 的直径CD 与弦AB 交于点M ，添加条件.（写出两个）就可得M 是AB 的中点3.如图，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ⊥BC ，AB =2cm ，CD =4cm.以BC 上一点O 为圆心的圆经过A 、D 两点，且∠AOD =90°，则圆心O 到弦AD 的距离是.4.△ABC 是直径为10cm 的⊙O 的内接等腰三角形，如果此等腰三角形的底边BC =8cm ，则该△ABC 的面积为 .D5.用工件槽可以检测一种铁球的大小是否符合要求，已知工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图（单位：cm）.将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有如图所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求.求这种铁球的直径标准.6.有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如下图所示，正常水位时水面宽AB=60米，水面到拱顶距离CD=18米，当洪水泛滥，水面宽MN=32米时是否需要采取紧急措施？请说明理由（当水面距拱顶3米以内时需采取紧急措施）.相信自己，就能走向成功的第一步教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。
【最新浙教版精选】浙教初中数学九上《3.3 垂径定理》word教案 (1).doc
3.3垂径定理 教学目标 １．使学生理解圆的轴对称性．２．掌握垂径定理．３．学会运用垂径定理解决有关弦、弧、弦心距以及半径之间的证明和计算问题． 教学重点垂径定理是圆的轴对称性的重要体现，是今后解决有关计算、证明和作图问题的重要依据，它有着广泛的应用，因此，本节课的教学重点是：垂径定理及其应用．教学难点 垂径定理的推导利用了圆的轴对称性，它是一种运动变换，这种证明方法学生不常用到，与严格的逻辑推理比较，在证明的表述上学生会发生困难，因此垂径定理的推导是本节课的难点．教学关键理解圆的轴对称性．教学环节的设计这节课我通过七个环节来完成本节课的教学目标，它们是：复习提问，创设情境；引入新课，揭示课题；讲解新课，探求新知；应用新知，体验成功； 目标训练，及时反馈；总结回顾，反思内化；布置作业，巩固新知．一、复习提问，创设情境1．教师演示：将一等腰三角形沿着底边上的高对折，启发学生共同回忆等腰三角形是轴对称图形，同时复习轴对称图形的概念；２．提出问题：如果以这个等腰三角形的顶点为圆心，腰长为半径作圆，得到的圆是否是轴对称图形呢？（教师用教具演示，学生自己操作） 二、引入新课，揭示课题1．在第一个环节的基础上，引导学生归纳得出结论：圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴．强调：（1）对称轴是直线，不能说每一条直径都是它的对称轴； （2）圆的对称轴有无数条．判断：任意一条直径都是圆的对称轴（ ）设计意图：让学生更好的理解圆的轴对称轴新性，为下一环节探究新知作好准备．三、讲解新课，探求新知先按课本进行合作学习1．任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD ；2．作一条和直径CD 的垂线的弦，AB 与CD 相交于点E ．提出问题：把圆沿着直径CD 所在的直线对折，你发现哪些点、线段、圆弧重合？ 在学生探索的基础上，得出结论：（先介绍弧相等的概念） ①EA=EB ；② AC=BC ，AD=BD ．理由如下：∵∠OEA=∠OEB=Rt ∠，根据圆的轴轴对称性，可得射线EA 与EB 重合， ∴点A 与点B 重合，弧AC 和弧BC 重合，弧AD 和弧BD 重合．∴ EA=EB ， AC=BC，AD=BD ． 思考：你能利用等腰三角形的性质，说明OA 平分CD 吗？（课内练习1） 注：老教材这个内容放在圆心角、圆周角之后，垂径定理完全可以不用圆的轴对称性来证，可用等腰三角形的性质来证明，现在只能证前面一个（略）． AB C D O E ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ A⌒ ⌒ ⌒ ⌒然后把此结论归纳成命题的形式：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．垂径定理的几何语言∵CD 为直径，CD ⊥AB （OC ⊥AB ） ∴ EA=EB ， AC=BC ，AD=BD ． 四、应用新知，体验成功 例1 已知AB ，如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点．(先介绍弧中点概念)作法：⒈连结AB.⒉作AB 的垂直平分线 CD ， 交弧AB 于点E.点E 就是所求弧AB 的中点．变式一： 求弧AB 的四等分点．思路：先将弧AB 平分，再用同样方法将弧AE 、弧BE 平分．（图略）有一位同学这样画，错在哪里？1．作AB 的垂直平分线CD2．作AT 、BT 的垂直平分线EF 、GH （图略）教师强调：等分弧时一定要作弧所对的弦的垂直平分线．变式二：你能确定弧AB 的圆心吗？ 方法：只要在圆弧上任意取三点，得到三条弦，画其中两条弦的垂直平分线，交点即为圆弧的圆心．例2 一条排水管的截面如图所示．排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，求截面圆心O 到水面的距离OC ．思路：先作出圆心O 到水面的距离OC ，即画 OC ⊥AB ，∴AC=BC=8，在Rt △OCB中，68102222=-=-=BC OB OC ∴圆心O 到水面的距离OC 为6．例3 已知：如图，线段AB 与⊙O 交于C 、D 两点，且OA=OB ．求证：AC=BD ．思路：作OM ⊥AB ，垂足为M ， ∴CM=DM∵OA=OB ， ∴AM=BM ， ∴AC=BD ．概念：圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距．小结：1．画弦心距是圆中常见的辅助线；2．半径（r ）、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：弦长222d r AB -=．注：弦长、半径、弦心距三个量中已知两个，就可以求出第三个．五、目标训练,及时反馈1．已知⊙0的半径为13，一条弦的AB 的弦心距为5，则这条弦的弦长等于 ．⌒ ⌒ ⌒ ⌒O A B C ⌒ ⌒ ⌒答案：242．如图，AB 是⊙0的中直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于E ，则下列结论中不一定成立的是（ ）A ．∠COE=∠DOEB ．CE=DEC ．OE=BED ．BD=BC答案：C3．过⊙O 内一点M 的最长弦长为10cm ，最短弦长为8cm ，那么OM 长为（ ）A ．3B ．6cmC ． cmD ．9cm答案：A注：圆内过定点M 的弦中，最长的弦是过定点M 的直径，最短的弦是过定点M 与OM 垂直的弦，此结论最好让学生记住，课本作业题也有类似的题目．4．如图，⊙O 的直径为10，弦AB 长为8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长的取值范围是（ ）A ．3≤OM ≤5B ．4≤OM ≤5C ．3<OM<5D ．4<OM<5答案：A5． 已知⊙O 的半径为10，弦AB ∥CD ，AB=12，CD=16，则AB 和CD 的距离为 ． 答案：2或24 注：要分两种情况讨论：（1）弦AB 、CD 在圆心O 的两侧；（2）弦AB 、CD 在圆心O 的同侧．6．如图，已知AB 、AC 为弦，OM ⊥AB 于点M ， ON ⊥AC 于点N ，BC=4，求MN 的长． 思路：由垂径定理可得M 、N 分别是AB 、AC 的中点，所以MN=21BC=2． 六、总结回顾，反思内化师生共同总结：１．本节课主要内容：（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理．2．垂径定理的应用：（1）作图；（2）计算和证明．3．解题的主要方法：（1）画弦心距是圆中常见的辅助线；（2）半径（r ）、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：弦长222d r AB -=．七、布置作业， 巩固新知P75作业题1~6，第7题选做．⌒ ⌒。
九年级数学上册(浙教版)课件 3.3 垂径定理 第2课时 垂
︵ 7．如图，⊙O 的直径 AB 平分CAD，AB 交 CD 于 E，AE 与 BE 的 长度之比为 5∶1，CD＝16 cm，则⊙O 的半径为__2_4__5__cm.
5
8．如图，AB是半圆的直径，点O是圆心，点C是半圆上一点，点 E是弧AC的中点，OE交弦AC于点D，若AC＝8 cm，DE＝2 cm， 则OD的长为__3__cm.
9．如图，AB 为⊙O 的直径，从圆上一点 C 作弦 CD⊥AB，∠OCD ︵︵
的平分线交⊙O 于 P，求证：AP＝BP.
解：连结 OP，∵OC＝OP，∴∠OCP＝∠P，又 ∠DCP＝∠OCP，∴∠DCP＝∠P，∴CD∥OP，
︵︵ ∵CD⊥AB，∴OP⊥AB，∴AP＝BP
10．在半径为5 cm的⊙O中，弦AB的长为6 cm，当弦AB的两个端点A， B在⊙O上滑动时，AB的中点在滑动过程中所经过的路线为( )C A．正方形 B．直线 C．圆 D．多边形
第3章 圆的基本性质
3．3 垂径定理
第2课时 垂径定理的推论
垂直
平分
1．定理1：平分弦(不是直径)的直径_______于弦，并且_______弦所
对的弧．
2．定理2：平分弧的直径__垂__直__平__分____弧所对的__弦__．
知识点一：垂径定理的推论 1．已知⊙O 的半径为 2 cm，弦 AB 长 2 3 cm，则这条弦的中点 到弦所对劣弧的中点的距离为( A ) A．1 cm B．3 cm C．1 cm 或 3 cm D. 3 cm 或 3 cm
15．某居民小区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新 管道，如图，污水水面宽度为60厘米，水面至管道顶部距离为10厘 米，问修理人员应准备内径多大的管道？
解：100厘米
九年级数学上册33垂径定理2导学案
班级姓名 教学目标：1、经历探索垂径定理的逆定理的过程；2、掌握定理“平分弦〔不是直径〕的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧〞及定理 “平分弧的直径平分弧所对的弦〞。
3、会运用垂径定理的逆定理解决一些简单的几何问题。
教学重难点：重点：垂径定理的逆定理。
难点：例3的问题情境较为复杂是难点 一、学法指导1、 通过画图操作，学习垂径定理的逆定理，并加以理解2、 通过例3的学习，加强对垂径定理的理解、应用。
二、课前学习1、如图⊙O 的半径为2，AB 为⊙O 的一条弦，弦心距为1， 求弦AB 的长。
2、如图，⊙O 的半径为2，AB 为⊙O 的一条弦，且AB=32，P 为AB 的中点，求OP 的长。
三、探索新知师：(1)假设CD 为直径，EB EA =是否能推出AB CD ⊥，AC=BC，AD=BD (2)假设CD 为直径， AC=BC ，AD=BD 是否能推出AB CD ⊥，EB EA =下面就〔1〕给出证明：如图，⊙O 的直径交弦AB 〔不是直径〕于点P ，AP=BP 。
求证：AB CD ⊥，AC=BC ，AD=BD 。
第〔2〕题的证明，留给同学们自己去证明 2、得出定理1： 定理2：强调：AB CD ⊥的前提条件下，其余三个条件有一个成立，都能得到其余两个条件。
四、范例讲解 例3〔题略〕 ☆例题解析：〔1〕学生仔细阅读题目，理解什么是跨径、拱高，并画出草图。
〔2〕要想求得桥拱半径，关键在于〔构造直角三角形〕 〔3〕对造草图，有哪些线段的长是的〔4〕在OAD RT ∆中，AD 的长是多少为什么OD 的长应怎样用关于R 的代数式表示 〔5〕怎样利用勾股定理列出关于未知数R 的方程 五、自学检测完成书本67页课内练习和书本68页作业题 六、当堂检测1.给出以下命题： (l )垂直于弦的直线平分弦； (2 )平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； (3 )平分弦的直线必过圆心； (4 )弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦。
浙教版初中数学九上 3.3 垂径定理与解题 课件
垂径定理与解题
①② ③④⑤
①③ ②④⑤
① ② ③ ④ ⑤
①④
②③⑤
一、利用垂径得到平分弦所对的弧
例1. 如图，AB是⊙O的直径，AE为弦，OC⊥AE, 过C作CD⊥AB,D为垂足，交AE于点F. 求证：CF=AF.
O
例1. 如图，AB是⊙O的直径，AE为弦，OC⊥AE, 过C作CD⊥AB,D为垂足，交AE于点F.
R2 -1=（ 2 3）2 -（R – 1）2
E
解得R=3，CE= 2 2
∴AC= 4 2
垂径定理与解题
① ② ③ ④ ⑤
于P，AB=8，OP= 15 ，求CD的长.
解：如图添加辅助线，由垂径定理得
AE=BE=4，而OB= 2 5
得OE=2
又∵OP= 15
E
∴OF= 11
F
DF=3
∴CF=DF=3
CD=6
四、利用垂径过所对弧的中点，构造 直角三角形
例4. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是
的中点，CD= 2 3 ，O到AC的距离为1，
例2. 如图，AB是⊙O的直径，AE⊥CD于E， BF⊥CD于F，求证：CE=DF.
CH=DH , EH=FH H
例2. 如图，AB是⊙O的直径，AE⊥CD于E， BF⊥CD于F，求证：CE=DF.
证明：过O作OH⊥CD, H为垂足. ∴CH=DH
又∵
∴ EH=FH
H
∴ DF
三、利用垂径垂直平分弦，求得弦长
求AC的长.
例4. 如图6，⊙O是△ABC的外接圆，D是
的中点，CD= 2 3 ，O到AC的距离为1，
求AC的长.
G
AE=CE
垂径定理的课件讲义.doc
2、内容提要：圆的轴对称性：过圆心的任一条直线（直径所在的直线）都是它的对称轴。
垂径定理⎩⎨⎧平分弦所对的两条弧。
）的直径垂直于弦，且推论：平分弦（非直径对的两条弧；平分弦，并且平分弦所定理：垂直于弦的直径推论：平行的两弦之间所夹的两弧相等。
相关概念：弦心距：圆心到弦的距离（垂线段OE）。
应用链接：垂径定理常和勾股定理联系在一起综合应用解题（利用弦心距、半径、半弦构造Rt△OAE）。
3、垂径定理常见的五种基本图形4、垂径定理的两种变形图基本题型一、求半径例1.高速公路的隧道和桥梁最多．图1是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB=10米，净高CD=7米，则此圆的半径OA=（（A）5 （B）7 （C）375（D）377图1练习1、已知：在⊙O 中，弦cm 12=AB ，O 点到AB 的距离等于AB 的一半，求圆的半径.练习2、如图，在⊙O 中，AB 是弦，C 为的中点，若32=BC ，O 到AB 的距离为1.求⊙O 的半径.练习3、如图，一个圆弧形桥拱，其跨度AB 为10米，拱高CD 为1米.求桥拱的半径.二、求弦长例2.工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是10mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm ，如图2所示，则这个小孔的直径AB mm ．练习2、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm ，那么油面宽度AB 是 cm.图3BA8mm图2三、求弦心距例 3.如图，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥于F .（1）求证：四边形OEHF 是正方形. （2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离.练习3.如图4，O 的半径为5，弦8AB =，OC AB ⊥于C ，则OC 的长等于 ．四、求拱高例4.兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图5所示，已知AB，高度CD 为_____m ．五、求角度例5.如图6，在⊙O 中，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠AOC=60º，则∠B = ．六、探究线段的最小值例6.如图7，⊙O 的半径OA =10cm ，弦AB =16cm ，P为AB 上一动点，则点P 到圆心O 的最短距离为 cm ．七、其他题型例7、如图，已知⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=6cm ，EB=2cm ，∠BED=30°，求CD 的长.BAO图5B图6图7例8、在直径为50cm 的⊙O 中，弦AB=40cm ，弦CD=48cm ，且AB ∥CD ，求：AB 与CD 之间的距离.例9、如图所示，P 为弦AB 上一点，CP ⊥OP 交⊙O 于点C ，AB ＝8，AP:PB ＝1:3，求PC 的长。
33垂径定理—知识讲解(基础)
垂径定理一知识讲解（基础）【学习目标】1. 理解圆的对称性；2. 掌握垂径定理及其推论；3. 利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明【要点梳理】知识点一、垂径定理1. 垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 .2. 推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧要点诠释：（1）垂径定理是由两个条件推出两个结论，即（2）这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释： 在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧， 在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 【典型例题】 类型一、应用垂径定理进行计算与证明1.如图，AB 是O O 的弦，半径 Od AB 于点D,且AB= 6 cm , OD= 4 cm ，贝U DC 的长为（ A . 5 cm B .2.5 cm C . 2 cm D . 1 cm直径 垂直于弦J 平分弦 〔平分弦所对的弧所以在 Rt △ AOD 中, AO J ODAD 2 J 42 325 (cm ). 所以 DC = OC- ODt OA — ODt 5 — 4= 1 (cm).主要是解由半径、弦的一半和弦心距(圆心到弦的垂线段的长度)构成的直角三角形。
举一反三:【变式】如图，O O 中，弦AB 丄弦CD 于 E ,且AE=3cm BE=5cm 求圆心 O 到弦CD 距离。
E■ 0【答案与解析】解：•/ E 为弧AC 的中点,••• OE 丄AC ,•• AD=-^C=4cm ,•/ OD=OE - DE= ( OE - 2) cm , OA=OE ,•••在 Rt △ OAD 中，OA 2=OD 2+AD 2 即 OA 2= ( OE - 2) 2+42, 又知OA=OE ，解得：OE=5 ,•• OD=OE - DE=3cm .【点评】主要是解由半径、弦的一半和弦心距(圆心到弦的垂线段的长度)构成的直角三角形 举一反三：【变式】已知：如图，害熾AC 与圆O 交于点BC,割线AD 过圆心O.若圆O 的半径是5,且 DAC 30,【思路点拨】欲求CD 的长，只要求出OD ；O 的半径 r 即可，可以连结 OA 在Rt △ AOD 中，由勾股定理求出 OA. 【答案】 【解析】 连OA 由垂径定理知 AD3cm ,【点评】AD=13.求弦BC的长.【答案】6.1，某公园的一座石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为24m,拱的半径为13m,则拱高为()5m B . 8m C . 7m D . 51/3 m【思路点拨】解决此题的关键是将这样的实际问题转化为数学问题, 题转化为数学问题中的已知条件和问题.B；【答案】即能够把题目中的已知条件和要求的问【解析】如图2，A B表示桥拱，弦AB的长表示桥的跨度, C为A B的中点,CDIAB于D, CD表示拱高，0为A B的圆心，根据垂径定理的推论可知,【点评】C D 0三点共线，且0C平分AB.在Rt△ A0D中, 0A= 13, AD= 12,贝U 0C5= 0A —AD= 132- 122= 25 . ••• 0D = 5,CD = 0C- 0D= 13—5= 8，即拱高为8m在解答有关弓形问题时，首先应找弓形的弧所在圆的圆心，然后构造直角三角形, 理(推论)及勾股定理求解.运用垂径定4. (2015?蓬溪县校级模拟)如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为0, 弦CD是水位线，CD // AB，且AB=26m , OE丄CD于点E.水位正常时测得0E:(1 )求CD的长；(2)现汛期来临，水面要以每小时4m的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满? 直径AB是河底线, CD=5 :24 ■/【答案与解析】解：（1） •••直径 AB=26m , ••6=訥号 26二 13ID ，•/ OE 丄 CD ,•/ OE : CD=5 : 24,••• OE : ED=5 : 12,•••设 OE=5x , ED=12x ,•••在 Rt △ ODE 中(5x ) 2+ (12x ) 2=132, 解得x=1 ,••• CD=2DE=2 (2 )由(1) 延长OE 交圆【点评】此题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理等知识，求阴影部分面积经常运用求出空白面积 来解决.举一反三:【变式】有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽 当洪水泛滥时，水面距拱顶不超过3m 时拱桥就有危险，现在水面宽请说明理由. DE \■-■'4【答案】不需要采取紧急措施设 OA=R 在 Rt △ AOC 中，AC=30, OC=OD-CD=R-18R 2=3O 2+(R-18) 2, R 2=900+F 2-36R+324 ,解得 R=34(m).连接 OM 设 DE=x 在 Rt △ MOEK ME=16 34 2=162+(34-X ) 2,2 X -68X +256=0 ,解得x i =4, x 2=64（不合题意，舍）, /• DE=4m > 3m ，•••不需采取紧急措施. 2小时桥洞会刚刚被灌满. ••• EF=OF - OE=13 -5=8m , r J4 :c ■|P1X12 X1=24m ; 得0E=1 X5=5m ,O 于点F ,AB=60m 水面到拱顶距离 CD=18m MN=32n 时是否需要采取紧急措施？。