【文科数学】2020年名校真题高考冲刺卷含答案
2020届百校联考高三高考百日冲刺金卷(全国Ⅰ卷)文科数学试卷(一)及答案
2020届百校联考高三高考百日冲刺金卷（全国Ⅰ卷）文科数学试卷（一）★祝考试顺利★注意事项：1.本试卷分第I 卷(选择题)和第I 卷(非选择题)两部分。
2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。
3.全部答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
4.本试卷满分150分,测试时间120分钟。
5.考试范围：高考全部内容。
第I 卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)已知集合A ＝{x|4x 2－3x ≤0},B ＝{x|y 则A ∩B ＝ (A)[0,34] (B)∅ (C)[0,12] (D) [12,34] (2)设复数4273i z i-=-,则复数z 的虚部为 (A)1729- (B)1729 (C)－129 (D)129 (3)为了调查某地区不同年龄、不同等级的教师的工资情况,研究人员在A 学校进行抽样调查,则比较合适的抽样方法为(A)简单随机抽样 (B)系统抽样 (C)分层抽样 (D)不能确定(4)若双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为,则双曲线C 的渐近线方程为A.y =B.2y x =±C.23y x =±D.32y x =± (5)执行如图所示的程序框图,若判断框中的条件为n<2019,则输出A 的值为(A)12(B)2 (C)－1 (D)－2(6)《九章算术(卷第五)·商功》中有如下问题：“今有冥谷上广二丈,袤七丈,下广八尺,袤四丈,深六丈五尺,问积几何”。
译文为：“今有上下底面皆为长方形的墓坑,上底宽2丈,长7丈；下底宽8尺,长4丈,深6丈5尺,问它的容积量是多少?”则该几何体的容积为(注：1丈＝10尺。
)(A)45000立方尺 (B)52000立方尺 (C)63000立方尺 (D)72000立方尺(7)记单调递减的等比数列{an}的前n项和为S。
2020届高考数学(文科)金榜冲刺卷(二)(解析版)word版
2020年高考金榜冲刺卷（二）数学（文）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．测试范围：高中全部内容．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}24x A x =≤，集合(){}lg 1B x y x ==-，则A B I 等于（ ） A ．[]1,2 B ．()1,2 C ．[)1,2 D ．(]1,22．已知复数1i 12iz -=+，则z 的虚部是（ ） A ．35 B ．3i 5 C ．3i 5- D ．35-3．在ABC V 中，)(1,1,AB BC =-=u u u r u u u r ，则sin B 等于（ ）A B C ．23 D ．124．已知等比数列的公比为正数，且，则公比=q （ ）}{n a 25932a a a =A ．B ．C ．D ．2 【答案】C【解析】2239652a a a a ==，226252a q a ==，因为0>q ，所以2=q ，故选C. 5．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形，一块中三角形和两块全等的大三角形），一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若向正方形内随机抛掷2000粒绿豆（大小忽略不计），则落在图中阴影部分内绿豆粒数大约为（ ）A ．750B ．500C ．375D ．250【答案】C 【解析】因为BIC GOH ∆≅∆，故阴影部分的面积与梯形EFOH 的面积相等，331444EFOH DOF BDFA S S S ∆∆==⨯ ,所以落在阴影部分的概率 33,20003751616EFOH BDFA S P S ∆∆==⨯= ，故选C. 6．若,,a b c 满足223,log 5,32a c b ===，则( )A ．b a c >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c b a >> 7．为计算11111123499100S =-+-++-…，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入（ ） 21222A ．1i i =+B ．2i i =+C ．3i i =+D ．4i i =+8.已知函数()sin3(0,)f x a x a b a x =-++>∈R 的值域为[5,3]-，函数()cos g x b ax =-，则()g x 的图象的对称中心为（ ）A ．,5()4k k π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ZB ．,5()48k k ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭Z C ．,4()5k k π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z D ．,4()510k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z 9．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点F 作双曲线C 的一条弦AB ，且FA FB +u u u v u u u v =0，若以AB 为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，则双曲线C 的离心率为（ ）A B C ．2 D 10.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段1B C 的中点，F 是棱11C D 上的动点，若点P 为线段1BD 上的动点，则PE PF +的最小值为（ ）A B C D ．211．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()11f x f x +=-且在[)1,+∞上是增函数，不等式()()21f ax f x +≤-对任意1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[]3,1-- B ．[]2,0- C ．[]5,1-- D ．[]2,1- 12．若函数()1(2)ln x f x a x e x x=-++在(0,2)上存在两个极值点，则a 的取值范围是（ ） A ．21(,)4e -∞- B ．1(,)e -∞- C ．2111(,)(,)4e e e -∞---U D ．211(,)(1,)4e e --⋃+∞ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知等差数列{}n a 中，4610a a +=，若前5项的和55S =，则其公差为___________.14．已知圆锥的表面积是23m ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的侧面积是__________平方米．15．某儿童玩具生产厂一车间计划每天生产遥控小车模型、遥控飞机模型、遥控火车模型这三种玩具共30个，生产一个遥控小车模型需10分钟，生产一个遥控飞机模型需12分钟，生产一个遥控火车模型需8分钟，已知总生产时间不超过320分钟，若生产一个遥控小车模型可获利160元，生产一个遥控飞机模型可获利180元，生产一个遥控火车模型可获利120元，该公司合理分配生产任务可使每天的利润最大，则最大利润是__________元.16．过抛物线C ：24x y =的准线上任意一点P 作抛物线的切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，则A 点到准线的距离与B 点到准线的距离之和的最小值是_________.三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知A B C ，，是ABC ∆的内角，a b c ，，分别是角A B C ，，的对边.若222cos sin sin sin cos B A A B C --=,（1）求角C 的大小；（2）若6A π=，ABC ∆，M 为BC 的中点，求AM .18．（12分）微信是现代生活中进行信息交流的重要工具.据统计，某公司200 名员工中90%的人使用微信，其中每天使用微信时间在一小时以内的有60人，其余的员工每天使用微信时间在一小时以上，若将员工分成青年(年龄小于40 岁)和中年(年龄不小于40 岁)两个阶段，那么使用微信的人中75%是青年人.若规定:每天使用微信时间在一小时以上为经常使用微信，那么经常使用微信的员工中23都是青年人. (1)若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系，列出并完成22⨯ 列联表：(2)由列联表中所得数据判断，是否有99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”？(3)采用分层抽样的方法从“经常使用微信”的人中抽取6人，从这6人中任选2人，求选出的2人均是青年人的概率.附：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++.19．（12分）如图，等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，1AD AB BC ===，2CD =，E 为CD 中点，以AE 为折痕把ADE ∆折起，使点D 到达点P 的位置（P ∉平面ABCE ）.（1）证明：AE PB ⊥；（2）当四棱锥体积最大时，求点C 到平面PAB 的距离．20．（12分）过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左顶点A 作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为B ，与y 轴的交点为C ，已知613AB BC =u u u r u u u r . （1）求椭圆的离心率；（2）设动直线y kx m =+与椭圆有且只有一个公共点P ，且与直线4x =相交于点Q ，若x 轴上存在一定点(1,0)M ，使得PM QM ⊥，求椭圆的方程.21．（12分）已知函数． （1）若曲线在处切线与坐标轴围成的三角形面积为，求实数的值； （2）若，求证：． (二)、选考题：共10分．请考生从22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．【极坐标与参数方程】（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C的参数方程为5()x y ϕϕϕ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=．P ABCE -()23xf x xe ax =++()y f x =0x =92a 12a =-()ln 4f x x ≥+（1）求曲线1C 与曲线2C 两交点所在直线的极坐标方程；（2）若直线l 的极坐标方程为sin()4ρθπ+=，直线l 与y 轴的交点为M ，与曲线1C 相交于,A B 两点，求MA MB +的值． 23．【选修4-5：不等式选讲】（10分）已知函数()21f x x a x =-+-,()a R ∈.（1）当1a =时,求()2f x ≤的解集;（2）若()21f x x ≤+的解集包含集合1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦,求实数a 的取值范围. 2020年高考金榜冲刺卷（二）数学（文）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．测试范围：高中全部内容．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}24x A x =≤，集合(){}lg 1B x y x ==-，则A B I 等于（ ）A ．[]1,2B ．()1,2C ．[)1,2D ．(]1,2【答案】D【解析】 由集合{}24{|2}x A x x x =≤=≤，(){}{}lg 11B x y x x x ==-=>， 所以{|12}A B x x =<≤I ，故选D.2．已知复数1i 12iz -=+，则z 的虚部是（ ） A ．35 B ．3i 5 C ．3i 5- D ．35- 【答案】D 【解析】根据复数除法的运算法则可得，()()()()1i 12i 1i 13i 13i 12i 12i 12i 555z -----====--++-，由复数实部与虚部的定义可得，复数z 的虚部是35-，故选D. 3．在ABC V中，)(1,1,AB BC =-=u u u r u u u r ，则sin B 等于（ ） AB．2 C ．23 D ．12【答案】D【解析】因为)1AB =-u u u r，所以()BA =u u u r，所以cos 222BA BC B BA BC ⋅-===-⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以1sin 2B ==.故选D. 4．已知等比数列的公比为正数，且，则公比=q （ ）A ．B ．C ．D ．2 }{n a 25932a a a =21222【答案】C【解析】2239652a a a a ==，226252a q a ==，因为0>q ，所以2=q ，故选C. 5．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形，一块中三角形和两块全等的大三角形），一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若向正方形内随机抛掷2000粒绿豆（大小忽略不计），则落在图中阴影部分内绿豆粒数大约为（ ）A ．750B ．500C ．375D ．250【答案】C 【解析】因为BIC GOH ∆≅∆，故阴影部分的面积与梯形EFOH 的面积相等，331444EFOH DOF BDFA S S S ∆∆==⨯ ,所以落在阴影部分的概率 33,20003751616EFOH BDFA S P S ∆∆==⨯= ，故选C. 6．若,,a b c 满足223,log 5,32a c b ===，则( )A ．b a c >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c b a >>【答案】A 【解析】因为2log 5b =，则25b =，故222b a >>，故1b a >>.又323c =<，故1c <.综上，b a c >>，故选A .7．为计算11111123499100S =-+-++-…，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入（ ）A ．1i i =+B ．2i i =+C ．3i i =+D ．4i i =+【答案】B 【解析】由11111123499100S =-+-+⋯+-得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此在空白框中应填入2i i =+，选B.8.已知函数()sin3(0,)f x a x a b a x =-++>∈R 的值域为[5,3]-，函数()cos g x b ax =-，则()g x 的图象的对称中心为（ ）A ．,5()4k k π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z B ．,5()48k k ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭Z C ．,4()5k k π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z D ．,4()510k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z 【答案】B【解析】因为()[,2]f x b a b ∈+，又依题意知()f x 的值域为[5,3]-，所以23a b += 得4a =，5b =-，所以()5cos4g x x =--，令4()2x k k ππ=+∈Z ，得()48k x k ππ=+∈Z ，则()g x 的图象的对称中心为,5()48k k ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭Z .故选B. 9．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 作双曲线C 的一条弦AB ，且FA FB +u u u v u u u v =0，若以AB 为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，则双曲线C 的离心率为（ ）A BC ．2D 【答案】C【解析】因为FA FB +u u u v u u u v=0，所以F 是弦AB 的中点.且AB 垂直于x 轴.因为以AB 为直径的圆经过双曲线C的左顶点，所以2b a c a =+，即22c a a c a-=+，则c a a -=，故2c e a ==.故选C.10.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段1B C 的中点，F 是棱11C D 上的动点，若点P 为线段1BD 上的动点，则PE PF +的最小值为（ ）A B C ．2D 【答案】A 【解析】图1连接1BC ,则11BC B C E =I ，点,,P E F 在平面11BC D 中，且111111,1,BC C D C D BC ⊥==1所示，在11Rt BC D ∆中，以11C D 为x 轴，1C B 为y 轴，建立平面直角坐标系，如图2所示，图2()(11,0,,0,2D B E ⎛ ⎝⎭,设点E 关于直线1BD 的对称点为'E ，1BD Q的方程为1x =，①'EE k ∴==，∴直线'EE的方程为y x =+，②由①②组成方程组，解得133x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩'EE 与1BD的交点1,33M ⎛ ⎝⎭， ∴对称点2'3E ⎛ ⎝⎭，'PE PF PE PF ∴+=+，最小值为'E 到直线11C D的距离为6，故选A. 11．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()11f x f x +=-且在[)1,+∞上是增函数，不等式()()21f ax f x +≤-对任意1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[]3,1--B ．[]2,0-C ．[]5,1--D ．[]2,1-【答案】B【解析】由()()11f x f x +=-可知函数()f x 的对称轴为x=1.因为()f x 在[5,5]-上是增函数,所以()f x 在[5,5]-上是减函数,因为1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以1102x -≤-≤,又因为不等式()()21f ax f x +≤-对任意1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立,所以,当a=0时,不等式()()21f ax f x +≤-显然成立；当0a >时,12222ax a +≥+>,根据题意可得()()()220f ax f f +>=,故不满足题意；当0a <时,12222a ax a +≤+≤+,则02a ≤+且1222a +<,所以20a -≤<.综上，可得实数a 的取值范围是20a -≤≤.12．若函数()1(2)ln xf x a x e x x=-++在(0,2)上存在两个极值点，则a 的取值范围是（ ） A ．21(,)4e-∞-B ．1(,)e -∞-C ．2111(,)(,)4e e e-∞---U D ．211(,)(1,)4e e--⋃+∞ 【答案】D【解析】由题意可知211()(1)0xf x ae x x x =-+-='有两个不等根.即21(1)x x ae x x--=,(0,2)x ∈,有一根1x =.另一根在方程21x x e a=-,(0,2)x ∈中,令2()x h x x e =,(0,2)x ∈,2()(2)0x h x e x x +'=>所以()h x 在(0,2)x ∈且1x ≠上单调递增.所以1(1),h e a -≠=即2()(0,)(,4)h x e e e ∈⋃13a e≠.所以a ∈()211,1,e 4e ∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭.故选D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知等差数列{}n a 中，4610a a +=，若前5项的和55S =，则其公差为___________. 【答案】2【解析】4655102105a a a a +=⇒=⇒=，155335()551,2a a S a a +===⇒=公差为53512.22a a --== 14．已知圆锥的表面积是23m ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的侧面积是__________平方米． 【答案】2【解析】Q 半圆的周长为底面圆的周长，设母线为l ，则122,22l r l r ππ⋅=∴=，2213,2r l ππ∴=+⋅⨯2233,1r r ππ∴=∴=，这个圆锥的侧面积是222rl r ππ== ，故答案为2.15．某儿童玩具生产厂一车间计划每天生产遥控小车模型、遥控飞机模型、遥控火车模型这三种玩具共30个，生产一个遥控小车模型需10分钟，生产一个遥控飞机模型需12分钟，生产一个遥控火车模型需8分钟，已知总生产时间不超过320分钟，若生产一个遥控小车模型可获利160元，生产一个遥控飞机模型可获利180元，生产一个遥控火车模型可获利120元，该公司合理分配生产任务可使每天的利润最大，则最大利润是__________元. 【答案】5000【解析】设每天安排生产x 个遥控小车模型，y 个遥控飞机模型，则生产(30)x y --个遥控火车模型，依题得，实数,x y 满足线性约束条件10128(30)320,300,0,0,x y x y x y x y ++--≤⎧⎪--≥⎨⎪≥≥⎩目标函数为160180z x y =++120(30)x y --，化简得240,30,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩40603600z x y =++，作出不等式组240,30,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩表示的可行域(如图所示)：作直线02:603l y x =--，将直线0l 向右上方平移过点P 时，直线在y 轴上的截距最大， 由240,30,x y x y +=⎧⎨+=⎩得20,10,x x =⎧⎨=⎩所以(20,10)P ，此时max 402060z =⨯+⨯1036005000+=（元）. 故答案为5000.16．过抛物线C ：24x y =的准线上任意一点P 作抛物线的切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，则A 点到准线的距离与B 点到准线的距离之和的最小值是_________. 【答案】4【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，则直线PA ，PB 的方程分别为21124x x y x =-，22224x x y x =-，联立解得122P x x x +=，124P x x y ⋅=.又直线PA ，PB 的方程分别可表示为112xy x y =-，222x y x y =-，将P点坐标代入两方程，得1122,2,2P P P P x x y y x x y y ⋅⎧=-⎪⎪⎨⋅⎪=-⎪⎩所以直线AB 的方程为12P x x y ⋅-=-，即12P x x y ⋅=+， 所以A 点到准线的距离与B 点到准线的距离之和为1212211222P P x x y y x x ⎛⎫⎛⎫++=++++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()2121244424P x x xx x +=++=+….故答案为4. 三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知A B C ，，是ABC ∆的内角，a b c ，，分别是角A B C ，，的对边.若222cos sin sin sin cos B A A B C --=,（1）求角C 的大小； （2）若6A π=，ABC ∆，M 为BC 的中点，求AM .【解析】（1）由222cos sin sin sin cos B A A B C --=,得222sin sin sin sin sin A A B C B +=- 由正弦定理，得222c b a ab -=+，即222a b c ab +-=-,所以2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-,又0C π<<，则23C π=（2）因为6A π=，所以6B π=.所以ABC ∆为等腰三角形，且顶角23C π=.因为1sin 2ABC S ab C ∆===所以2a =.在MAC ∆中，2AC =，1CM =，23C π=，所以2222cos AM AC CM AC CM C =+-⋅⋅ 1=4+1+221=72⨯⨯⨯,解得AM =18．（12分）微信是现代生活中进行信息交流的重要工具.据统计，某公司200 名员工中90%的人使用微信，其中每天使用微信时间在一小时以内的有60人，其余的员工每天使用微信时间在一小时以上，若将员工分成青年(年龄小于40 岁)和中年(年龄不小于40 岁)两个阶段，那么使用微信的人中75%是青年人.若规定:每天使用微信时间在一小时以上为经常使用微信，那么经常使用微信的员工中23都是青年人. (1)若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系，列出并完成22⨯ 列联表：(2)由列联表中所得数据判断，是否有99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”？(3)采用分层抽样的方法从“经常使用微信”的人中抽取6人，从这6人中任选2人，求选出的2人均是青年人的概率. 附：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++.【解析】(1)由已知可得，该公司员工中使用微信的有20090%180⨯=人， 经常使用微信的有18060120-=人，其中青年人有2120803⨯=人，使用微信的人中青年人有18075%135⨯=人．所以22⨯列联表为：(2)将列联表中数据代入公式可得：()221808055540k 13.3331206013545⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，由于13.33310.828>，所以有99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”． (3)从“经常使用微信”的人中抽取6人，其中，青年人有8064120⨯=人， 中年人有4062120⨯=，记4名青年人的编号分别为1，2，3，4，记2名中年人的编号分别为5，6， 则从这6人中任选2人的基本事件有()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()1,6，()2,3，()2,4，()2,5，()2,6，()3,4，()3,5，()3,6，()4,5，()4,6，()5,6，共15个，其中选出的2人均是青年人的基本事件有()1,2，()1,3，()1,4，()2,3，()2,4，()3,4，共6个，故所求事件的概率为62P 155==． 19．（12分）如图，等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，1AD AB BC ===，2CD =，E 为CD 中点，以AE 为折痕把ADE ∆折起，使点D 到达点P 的位置（P ∉平面ABCE ）.（1）证明：AE PB ⊥；（2）当四棱锥P ABCE -体积最大时，求点C 到平面PAB 的距离． 【解析】（1）证明：在等腰梯形ABCD 中，连接BD ，交AE 于点O ,//,AB CE AB CE =Q , ∴四边形ABCE 为平行四边形,AE BC AD DE ∴===,ADE ∴∆为等边三角形,∴在等腰梯形ABCD 中，3C ADE π∠=∠=,BD BC ⊥, BD AE ∴⊥,翻折后可得：,OP AE OB AE ⊥⊥.又OP ⊂Q 平面POB ，OB ⊂平面POB ，OP OB O =I , AE ∴⊥平面POB .PB ⊂Q 平面POB , AE PB ∴⊥.（2）当四棱锥P ABCE -的体积最大时平面PAE ⊥平面ABCE ,又Q 平面PAE I 平面ABCE AE =，PO ⊂平面PAE ,PO AE ⊥,OP ∴⊥平面ABCE,OP OB ==QPB ∴=1AP AB ==Q , 31112cos 24PAB +-∴∠==, sin 4PAB ∴∠=.1sin 28PAB S PA AB PAB ∴=⋅∠=V ,又111338P ABC ABC V OP S -=⋅==V Q , 设点C 到平面PAB 的距离为d,335C PABPABV d S -∴===V .20．（12分）过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点A 作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为B ，与y轴的交点为C ，已知613AB BC =u u u r u u u r. （1）求椭圆的离心率；（2）设动直线y kx m =+与椭圆有且只有一个公共点P ，且与直线4x =相交于点Q ，若x 轴上存在一定点(1,0)M ，使得PM QM ⊥，求椭圆的方程.【解析】（1）∵A (,0)a -,设直线方程为2()y x a =+,11(,)B x y ,令0x =,则2y a =,∴(0,2)C a , ∴1111(,),(,2)AB x a y BC x a y =+=--u u u r u u u r∵613AB BC =u u u r u u u r ，∴1x a +=11166(),(2)1313x y a y -=-,整理得111312,1919x a y a =-= ,∵B 点在椭圆上,∴22221312()()11919a b +⋅=,∴223,4b a =∴2223,4a c a -=即2314e -=,∴12e =. （2）∵223,4b a =可设223.4b t a t ==,∴椭圆的方程为2234120x y t +-= ,由2234120x y t y kx m ⎧+-=⎨=+⎩得222(34)84120k x kmx m t +++-= ,∵动直线y kx m =+与椭圆有且只有一个公共点P,∴0∆=,即2222644(34)(412)0k m m m t -+-=,整理得2234m t k t =+,设P 11(,)x y 则有122842(34)34km km x k k =-=-++,112334my kx m k=+=+, ∴2243(,)3434km mP k k-++ ,又(1,0)M ,Q (4,4)k m +,若x 轴上存在一定点(1,0)M ，使得PM QM ⊥, ∴2243(1,)(3,(4))03434km mk m k k+-⋅--+=++恒成立,整理得2234k m +=, ∴223434k t k t +=+恒成立,故1t =,所求椭圆方程为22143x y +=.21．（12分）已知函数()23xf x xe ax =++．（1）若曲线()y f x =在0x =处切线与坐标轴围成的三角形面积为92，求实数a 的值； （2）若12a =-，求证：()ln 4f x x ≥+． 【解析】（1）()()12xf x x e a '=++，则()021f a '=+为切线斜率．又()03f =，∴切点为()0,3．∴曲线在0x =处切成方程为()321y a x -=+．当0x =时，3y =，当0y =时，321x a -=+（易知210a +≠） 则切线与坐标轴围成三角形面积为13932212a -⨯⨯=+．∴211a +=得211a +=±．所以0a =或1-．（2）法一：12a =-时，()3x f x xe x =-+ 要证的不等式为3ln 4x xe x x -+≥+，即ln 10x xe x x ---≥．令()ln 1x h x xe x x =---，则()()()11111x x h x x e x e x x ⎛⎫'=+--=+- ⎪⎝⎭． 易知()h x '递增，()10h '>，)132022h ⎛⎫'=< ⎪⎝⎭，∴()0h x '=仅有一解0x 且001x e x =，即00ln x x =-．当()00,x x ∈时，()0h x '<，()h x 递减；当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 递增． 从而()h x 最小值为()0000000ln 11ln 10xf x x e x x x x =---=---=∴()()00h x h x ≥=，故原不等式成立． 法二：12a =-时，要证的不等式为ln 10x xe x x ---≥．令x t xe =，则ln ln t x x =+． 故问题化为证不等式ln 10t t --≥恒成立．()0,x ∈+∞时，()0,x t xe =∈+∞令()ln 1h t t t =--，则()111t h t t t-'=-=，当()0,1t ∈时，()0h t '<，()h t 递减； 当()1,t ∈+∞时，()0h t '>，()h t 递增．∴()()10h t h ≥=，从而原不等式成立．(二)、选考题：共10分．请考生从22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．【极坐标与参数方程】（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C的参数方程为5()x y ϕϕϕ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（1）求曲线1C 与曲线2C 两交点所在直线的极坐标方程；（2）若直线l的极坐标方程为sin()4ρθπ+=，直线l 与y 轴的交点为M ，与曲线1C 相交于,A B 两点，求MA MB +的值． 【解析】（1）曲线1C 的普通方程为：22(5)10x y -+=,曲线2C 的普通方程为：224x y x +=，即22(2)4x y -+=,由两圆心的距离32)d =∈，所以两圆相交，所以两方程相减可得交线为6215x -+=，即52x =.所以直线的极坐标方程为5cos 2ρθ=. （2）直线l 的直角坐标方程：4x y +=，则与y 轴的交点为(0,4)M直线l的参数方程为242x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，带入曲线1C 22(5)10x y -+=得2310t ++=.设,A B 两点的参数为1t ，2t ,所以12t t +=-1231t t =，所以1t ，2t 同号.所以1212MA MB t t t t +=+=+=.23．【选修4-5：不等式选讲】（10分）已知函数()21f x x a x =-+-,()a R ∈.（1）当1a =时,求()2f x ≤的解集;（2）若()21f x x ≤+的解集包含集合1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦,求实数a 的取值范围. 【解析】（1）当1a =时,()21121f x x a x x x =-+-=-+-,当()2f x ≤,即1212x x -+-≤,上述不等式可化为121122x x x ⎧≤⎪⎨⎪-+-≤⎩,或1121212x x x ⎧<<⎪⎨⎪-+-≤⎩,或11212x x x ≥⎧⎨-+-≤⎩,102x ∴≤≤或112x <<或413x ≤≤,∴原不等式的解集为403x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭.（2）()21f x x ≤+Q 的解集包含1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦,∴当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,不等式()21f x x ≤+恒成立,即在2121x a x x -++≤+1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立,2121x a x x ∴-+-≤+,即2x a -≤,22x a ∴-≤-≤,22x a x ∴-≤≤+在1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立, ()()max min 22x a x ∴≤-≤-,512a ∴-≤≤,a ∴的取值范围为51,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.。
(推荐)普通高等学校2020年招生全国统一考试临考冲刺卷(八)文科数学含解析.doc
普通高等学校2020年招生全国统一考试临考冲刺卷(八)文科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足ii z z+=，则z =（ ）A ．11i 22+B ．11i 22-C ．11i 22-+D ．11i 22--【答案】A【解析】设()i ,z a b a b =+∈R ，则由已知有i i z z +=，()1i i a b b a ++=-+，所以1a bb a=-+=⎧⎨⎩，解得1212a b ⎧⎪⎪⎨==-⎪⎪⎩，所以11i 22z =-，故11i 22z =+，选A ． 2．已知集合{|U x y ==，9{|log }A x y x ==，{|2}x B y y ==-，则()=UA B ð（ ）A ．∅B ．RC ．{}|0x x >D ．{}0【答案】C【解析】由题意得U =R ，{}|0A x x =>，因为20x y =-<，所以{|0}B y y =<，所以{|0}U B x x =≥ð，故(){}|0UAB x x =>ð，故选C ．3．如图，正方形ABCD 内的图形自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A．14B．12CD【答案】C【解析】根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，C．4．已知直线210x ay-+=与直线820ax y-+=平行，则实数a的值为（）A．4 B．－4 C．－4或4 D．0或4【答案】B【解析】由于两直线平行，故()()280a a⋅---⋅=，解得4a=-（当4a=时两直线重合，故舍去．）5．函数()()1cos sinf x x x=+在[]π,π-上的图象的大致形状是（）A ．B．C ．D ．【答案】A【解析】()()()1cos sinf x x x f x-=-+=-，所以()f x是奇函数，故CD错误；()222sin cos cos2cos cos1f x x x x x x'=-++=+-，得极值，所以A正确．故选A．6．某几何体的三视图如图所示，其中主视图，左视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，则该几何体的体积为（ ）11A16B12+ C16D12+ 【答案】A【解析】该几何体是一个半球上面有一个三棱锥，体积为：A ． 7．公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍．当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米．当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟．根据这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为210-米时，乌龟爬行的总距离为（ ）A ．410190-B ．5101900-C ．510990-D ．4109900-【答案】B【解析】根据条件，乌龟每次爬行的距离构成等比数列，公比为110，当阿基里斯和乌龟的距离恰好为210-米时，乌龟爬行的总距离为552110011011010010 (101900110)-⎛⎫- ⎪-⎝⎭+++==-，故选B ． 8．设0ω>ω的最小值是（ ） A ．23B ．43C ．3D ．32【解析】将的图象向右平移个单位后得到函数解析式为k ∈Z k ∈Z ，∵0ω>，∴ω的最小值是31322⨯=，故选D ． 9．执行如图所示的程序框图，若输入1m =，3n =，输出的 1.75x =，则空白判断框内应填的条件为（ ）A ．1m n -<B ．0.5m n -<C ．0.2m n -<D ．0.1m n -<【答案】B【解析】由程序框图，得程序运行过程为：1m =，3n =，2x =，2230->，1m =，2n =，1m n -=；1m =，2n =， 1.5x =，21.530-<， 1.5m =，2n =，0.5m n -=； 1.5m =，2n =，1.75x =，21.7530->， 1.5m =， 1.75n =，0.25m n -=；因为输出的结果为 1.75x =，所以判断框内应填“0.5m n -<”．故选B ．10．已知0λ>，若对任意的()0,x ∈+∞，不等式ln 0x x λ-≥恒成立，则λ的最小值为（ ）A ．1eB ．eC ．e 2D ．2e【答案】A【解析】令()ln x f x x λ=-，()1f x x λ'=-，由于0λ>，令()10f x x λ=-='，得1x λ=，可以得到()f x 在0,1λ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,λ⎛+∞⎫⎪⎝⎭单调递增，所以()f x 在1x λ=时取得最小值，所以11n 1l 0f λλ⎛⎫=- ⎪⎝⎭≥，所以1e λ≥．故选A 选项．11．已知函数()2f x x ax =+的图象在点()()0,0A f 处的切线l 与直线220x y -+=平行，若数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，则20S 的值为（ ） A ．325462B ．1920C ．119256D ．20102011【解析】因为()2f x x ax =+，所以()2f x x a '=+，又函数()2f x x ax =+的图象在点()()0,0A f 处的切线l 与直线220x y -+=平行，所以()02f a '==，所以()22f x x x=+，所以()211111222f n n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 120⎛++- ⎝11113251222122462⎛⎫⨯+--= ⎪⎝⎭，本题选择A 选项．12．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，焦距2c ，以右顶点A 为圆心的圆与直线:0l x c +=相切于点N ，设l 与C 交点为P ，Q ，若点N 恰为线段PQ 的中点，则双曲线C 的离心率为（ ）A B C ．2 D ．【答案】C【解析】由直线方程可得直线:0l x c +=过双曲线的左焦点，倾斜角为30︒，直线与圆相切，则：AN l ⊥，即1ANF △是直角三角形，结合1AF a c =+，可得：)N y a c =+，联立直线:0l x c -+=与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的方程可得：()2222222230b a y cy b c b a --+-=，则：122N y y y +==，据此有：)a c +=，结合222b c a =-，整理可得：323340c ac a -+=，据此可得关于离心率的方程：32340e e -+=，即()()2120e e +-=，∵双曲线中1e >，2e ∴=．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知平面向量a ，b ，1=b ．【答案】22．14．已知O为坐标原点，若点(),M x y为平面区域10,0,x yx yy⎧⎪⎨⎪⎩-++≥≤≥上的动点，则2z x y=-+的最大值是__________．【答案】2【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的解析式，平移直线2y x=，由图可知，当直线经过点()1,0B-时，直线的截距最大，此时目标函数取得最大值22z y x=-=．15．以等腰直角三角形ABC的底边BC上的高AD为折痕，把ABD△和ACD△折成互相垂直的两个平面，则下列四个命题：①AB CD⊥；②ABC△为等腰直角三角形；③三棱锥D ABC-是正三棱锥；④平面ABD⊥平面BCD；其中正确的命题有__________．（把所有正确命题的序号填在答题卡上）【答案】①③④【解析】由题意得，如图所示，因为D为BC的中点，所以AD BC⊥，又平面ABD⊥平面ACD，根据面面垂直的性质定理，可得CD⊥平面ABD，进而可得AB CD⊥，所以①是正确的；其中当ABC△为等腰直角三角形时，折叠后ABC△为等边三角形，所以②不正确；因为ABC△为等腰直角三角形，所以DA DB DC==，所以D ABC-为正三棱锥，所以③正确；由AD BD⊥，AD DC⊥，可得AD⊥面BCD，又AD⊂面ABD，则平面ABD⊥平面BCD，所以④是正确的，故正确的命题为①③④．16．若函数()()3F x f x=-的所有零点依次记为123123,,,,...n n x x x x x x x x <<<<，则1231222n n x x x x x -+++++=__________． 【答案】445πk ∈Zk ∈Z关于最大值对称的对称轴间的距离所1n -，π为公差的等差数列，第1n -，解得31n=，三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分，每个试题12分．17．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足sin sin sin sin sin C B a A b B c C =+-． （1）求角C 的大小；（2）若()cos cos 22a B b k A π⎛⎫-=π+ ⎪⎝⎭（k ∈Z ）且2a =，求ABC △的面积．【答案】（1）6C π=；（2）ABCS =△．【解析】（1）由sin sin sin sin sin C Ba Ab Bc C =+-得：222sin Ca b c =+-，∴2222a b c C ab+-=cos C C =，∴tan C =，∴6C π=．·······6分 （2）由()cos cos 22a B b k A π⎛⎫-=π+ ⎪⎝⎭（k ∈Z ），得sin cos a B b A =，由正弦定理得sin cos A A =，∴4A π=． 根据正弦定理可得2sin sin 46c =ππ，解得c =∴()11sin 22246ABC S ac B A C ππ⎛⎫==⨯π--=+=⎪⎝⎭△····12分 18．韩国民意调查机构“盖洛普韩国”2016年11月公布的民意调查结果显示，受“闺蜜门”事件影响，韩国总统朴槿惠的民意支持率持续下跌，在所调查的1000个对象中，年龄在[20，30）的群体有200人，支持率为0%，年龄在[30，40）和[40，50）的群体中，支持率均为3%；年龄在[50，60）和[60，70）的群体中，支持率分别为6%和13%，若在调查的对象中，除[20，30）的群体外，其余各年龄层的人数分布情况如频率分布直方图所示，其中最后三组的频数构成公差为100的等差数列．（1）依频率分布直方图求出图中各年龄层的人数 （2）请依上述支持率完成下表：附表：（参考公式：()()()()()2n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++参考数据：125×33=15×275，125×97=25×485）【答案】（1）年龄在[30，40）的群体有200人，[40，50）的群体有300人，[50，60）的群体有200人，[60，70）的群体有100人；（2）能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为年龄与支持率有关．【解析】（1）设年龄在[50，60）的人数为，则最后三组人数之和为3，所以四组总人数为4=800，得=200，·······2分则频率分布直方图中，年龄在[30，40）的群体有200人，[40，50）的群体有300人，[50，60）的群体有200人，[60，70）的群体有100人；·······6分（2）由题意年龄在[30，40）和[40，50）的支持人数为6+9=15，[50，60）和[60，70）的人数为12+13=25．填表如下·9分所以()2800152752548540760300500K⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯≈11.228＞10.828，∴能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为年龄与支持率有关．·······12分19．如图，在四棱锥P ABCD-中，PC⊥底面ABCD，AD BC∥，22AD BC==，ABC△是以AC为斜边的等腰直角三角形，E是PD上的点．求证：（1）AD∥平面PBC；（2）平面EAC⊥平面PCD．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）∵AD BC ∥，BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ， ∴AD ∥平面PBC ．·······6分（2）PC ⊥底面ABCD ，AC ⊂底面ABCD ，PC AC ∴⊥·······7分 由题意可知，AD BC ∥且22AD BC ==，ABC △是等腰直角三角形，CD =，222CD AC AD ∴+=，即AC CD ⊥····9分 又PC CD C =，AC ∴⊥平面PCD ·······10分 AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PCD ·······12分 20．已知四边形ABCD 的四个顶点在椭圆C ：2213x y +=上，对角线AC 所在直线的斜率为1-，且AB AD =，CB CD =．（1）当点B 为椭圆C 的上顶点时，求AC 所在直线方程； （2）求四边形ABCD 面积的最大值．【答案】（1）12y x =--；（2）3．【解析】（1）因为AB AD =，CB CD =，所以对角线AC 垂直平分线段BD ． 因为直线AC 的斜率为1-，则直线BD 所在直线的斜率为1． 又因为()01B ，，则直线BD 所在直线方程为1y x =+．·······1分 由22331x y y x +==+⎧⎨⎩，解得3122D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，·······2分 则BD 中点P 的坐标为3144⎛⎫- ⎪⎝⎭，·······3分所以AC 所在直线方程为12y x =--；·······4分（2）设AC ，BD 所在直线方程分别为y x m =-+，y x n =+，()11B x y ，，()22D x y ，，BD 中点()00P x y ，．由2233x y y x n⎧+=⎨=+⎩，得2246330x nx n ++-=， 令248120n ∆=->，得24n <，1232n x x +=-，212334n x x -=·······6分 则BD ==同理AC =，·······8分······9分 又因为120324x x x n +==-，所以BD 中点3144P n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭，． 由点P 在直线AC 上，得2n m =-，所以12ABCD S AC BD ==四边形·······11分 因为24n <，所以201m <≤，所以当0m =时，四边形ABCD 的面积最大，最大面积为3．·······12分21．已知函数()()22ln 0f x x x a x a =-+≠，0x 是函数()f x 的极值点．（1）若4a =-，求函数()f x 的最小值；（2）若()f x 不是单调函数，且无最小值，证明：()00f x <．【答案】（1）()f x 的最小值为()24ln 2f =-；（2）见解析．【解析】（1）解：()224ln f x x x x =--，其定义域是{}|0x x >．()422f x x x-'=-()()2212224x x x x x x +---==． 令()0f x '=，得2x =，·······2分所以，()f x 在区间()02，单调递减，在()2+∞，上单调递增． 所以()f x 的最小值为()24ln 2f =-．·······5分 （2）解：函数()f x 的定义域是{}|0x x >，对()f x 求导数，得()22222a x x a f x x x x='-+=-+， 显然，方程()20220f x x x a '=⇔-+=（0x >），因为()f x 不是单调函数，且无最小值，则方程2220x x a -+=必有2个不相等的正根，所以102a <<，·······7分 设方程2220x x a -+=的2个不相等的正根是1x ，2x ，其中12x x <，所以()()()212222x x x x x x a f x x x-='--+=， 列表分析如下：所以，1x 是极大值点，2x 是极小值点，12f x f x >，·······9分故只需证明()10f x <，由120x x <<，且121x x +=，得1102x <<， 因为102a <<，1102x <<，所以()()11112ln 0f x x x a x =-+<， 从而()00f x <．·······12分（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）22．选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y θθ=+=⎧⎨⎩，（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为()cos sin (0)m m ρθθ+=>．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）若直线与直线l 交于点A ，与曲线C 交于M ，N 两点．且6OA OM ON ⋅⋅=，求m ．【答案】（1）22cos 30ρρθ--=；（2）m =．【解析】（1）∵()2214x y -+=，∴22230x y x +--=， 故曲线C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ--=．·······5分（2cos sin m ρθρθ+=，得m ρ=22cos 30ρρθ--=，得123ρρ=-，则·3OM ON =，则36=，∴m =．·······10分 23．选修4－5：不等式选讲已知函数()21f x x x =--+．（1）求函数()f x 的最大值；（2）若x ∀∈R ，都有m 的取值范围．【答案】（1）3；（28,3⎤⎡⎫+∞⎪⎥⎢⎦⎣⎭．【解析】（1()f x 的最大值是3．····5分（2）x ∀∈R ， ，即2m -当5m <-时，等价于()()21512m m ---+≥，解得 时，等价于()()21512m m --++≥，化简得6m -≤，无解； 当12m >时，等价于21512m m -++≥，解得 综上，实数m 168,,33⎤⎡⎫-+∞⎪⎥⎢⎦⎣⎭．·······10分。
2020年高考全国卷数学(文科)金榜冲刺卷(一)试题及解析word版
2020年高考金榜冲刺卷（一）数学（文）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数21i+（i 为虚数单位）的共轭复数是（ ） A ．i 1-+B ．1i -C ．1i +D ．i 1--2．已知集合{}|110,P x N x =∈≤≤{}2|60,Q x R x x =∈+-=则P Q ⋂等于（ ）A ．{}1,2,3B ．{}2,3C ．{}1,2D ．{}23．设:0p b a <<，11:q a b<，则p 是q 成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．如图所示的程序框图，运行后输出的结果为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．32 5．设数列{}n a 前n 项和为n S ，已知3=-n n S a n ，则3=a （ ）A ．98B ．158C ．198D ．2786．圆2240x y +-=与圆2244120x y x y +-+-=的公共弦长为( )ABC ．D ．7．已知α 为第二象限角，sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ，则tan 2α 的值为（ ） A ．12-B ．13C ．2D ．3-8．已知1e ，2e 是夹角为60o 的两个单位向量，若21e e +=，2124e e +-=，则a 与b 的夹角为（ ） A ．30o B ．60o C ．120o D ．150o 9．已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为410．如图所示的正方形123SG G G 中，E F ，分别是12G G ，23G G 的中点，现沿SE ，SF ，EF 把这个正方形折成一个四面体，使1G ，2G ，3G 重合为点G ，则有（ ）A ． SG ⊥平面 EFGB ．EG ⊥平面SEFC ． GF ⊥平面 SEFD ．SG ⊥平面SEF11．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2c =，ABC ∆的面积为2244a b +-，则ABC ∆面积的最大值为（ ）A ．B 1C ．D 112．若存在唯一的正整数0x ，使关于x 的不等式32350x x ax a --+-<成立，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．1(0,)3B ．15(,]34C ．13(,]32D ．53(,]42二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线ln y x x =在x e =处的切线的斜率k = ． 14． 若函数sin ()cos a x f x x-=在区间ππ(,)63上单调递增，则实数a 的取值范围是 ．15．已知0,0,0a b c >>>，若点(),P a b 在直线2x y c ++=上，则4a ba b c+++的最小值为___________. 16．如图，公路MN 和PQ 在P 处交汇，且∠QPN ＝30°，在A 处有一所中学，AP ＝160m ，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校受影响，已知拖拉机的速度为18 km/h ，那么学校受影响的时间为________s.三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(12分）设{}n a 是等比数列 ，其前n 项的和为n S ，且22a =, 2130S a -=.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若48n n S a +>，求n 的最小值.18．(12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知11AB BB C C ⊥侧面，1AB BC ==，12BB =，13BCC π∠=.（1）求证：1C B ABC ⊥平面；（2）求点1B 到平面11ACC A 的距离.19．（12分）贵广高速铁路自贵阳北站起，经黔南州、黔东南、广西桂林、贺州、广东肇庆、佛山终至广州南站. 其中广东省内有怀集站、广宁站、肇庆东站、三水南站、佛山西站、广州南站共6个站. 记者对广东省内的6个车站的外观进行了满意度调查，得分情况如下：已知6个站的平均得分为75分.（1）求广州南站的满意度得分x ，及这6个站满意度得分的标准差；（2）从广东省内前5个站中，随机地选2个站，求恰有1个站得分在区间（68，75）中的概率． 20．(12分）已知抛物线22y x =，过点(1,1)P 分别作斜率为1k ，2k 的抛物线的动弦AB 、CD ，设M 、N 分别为线段AB 、CD 的中点．（1）若P 为线段AB 的中点，求直线AB 的方程；（2）若121k k +=，求证直线MN 恒过定点，并求出定点坐标．21．(12分）已知()()21x f x ax e x =-+.（1）当1a =时，讨论函数()f x 的零点个数，并说明理由；（2）若0x =是()f x 的极值点，证明()()2ln 11f x ax x x ≥-+++.(二)、选考题：共10分．请考生从22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．【极坐标与参数方程】（10分）设A 为椭圆1C ：221424x y +=上任意一点，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为210cos 240ρρθ-+=，B 为2C 上任意一点.（1）写出1C 参数方程和2C 普通方程；（2）求AB 最大值和最小值.23．【选修4-5：不等式选讲】（10分）已知函数()2f x x a =-+，()4g x x =+，a R ∈. （1）解不等式()()f x g x a <+；（2）任意x ∈R ，2()()f x g x a +>恒成立，求a 的取值范围.2020年高考金榜冲刺卷（一）数学（文）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数21i+（i 为虚数单位）的共轭复数是（ ） A ．i 1-+ B ．1i -C ．1i +D ．i 1--【答案】C【解析】因为21i i1=-+,所以其共轭复数是1i +，故选C. 2．已知集合{}|110,P x N x =∈≤≤{}2|60,Q x R x x =∈+-=则P Q ⋂等于（ ）A ．{}1,2,3B ．{}2,3C ．{}1,2D ．{}2【答案】D【解析】{}{}2|603,2Q x R x x =∈+-==-{}2P Q ∴⋂=.故选D.3．设:0p b a <<，11:q a b<，则p 是q 成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若0b a <<，则11a b <成立，所以p 是q 的充分条件,若11a b<，则当00b a <<，时成立，不满足0b a <<，所以p 不是q 的必要条件,所以p 是q 的充分不必要条件,故选A. 4．如图所示的程序框图，运行后输出的结果为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．32 【答案】C【解析】执行如图程序框图：当n=1，b=1，当n=2，b=2，当n=3，b=4，当n=4，b=16，当n=5则输出b,故选C.5．设数列{}n a 前n 项和为n S ，已知3=-n n S a n ，则3=a （ ）A ．98B ．158C ．198D ．278【答案】C【解析】当2n ≥时，[]1133(1)n n n n n a S S a n a n --=-=----，整理得1231nn a a -=+，又11131S a a ==-，得11a 2=，21323112a a ∴=+=+，得254a =，321523114a a ∴=+=+，得3198a =，故选C. 6．圆2240x y +-=与圆2244120x y x y +-+-=的公共弦长为( )A BC ．D ．【答案】C【解析】两圆的方程相减可得，两圆公共弦所在的直线方程为：-+20x y =，圆2240x y +-=的圆心到公共弦的距离为dl 故选C.7．已知α为第二象限角，sin 410πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ，则tan 2α 的值为（ ） A ．12-B ．13C ．2D ．3-【答案】C【解析】由题意可得：)sin sin cos cos sin sin cos 444210πππααααα⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭， 则：1sin cos 5αα+=，据此有：2222222sincoscos sin 2tantan 111222222,55sin cos tan 1222ααααααααα+--+==++， 解得：tan22α=或1tan23α=-，α 为第二象限角，则tan 02α>，综上可得：tan 2α的值为2.故选C. 8．已知1e ，2e 是夹角为60o 的两个单位向量，若21e e +=，2124e e +-=，则a 与b 的夹角为（ ） A ．30o B ．60o C ．120o D ．150o 【答案】C【解析】试题分析：因为 21e e a +=，2124e e b +-=，所以2212121122()(42)422a b e e e e e e e e ⋅=+⋅-+=--⋅+r r u r u u r u r u u r u r u r u u r u u r ，而012121cos602e e e e ⋅==u r u u r u r u u r ，所以2211224224123a b e e e e ⋅=--⋅+=--+=-r r u r u r u u r u u r，而12a e e =+===r u r u u r1242b e e =-+===r u r u u r ，所以与的夹角的余弦值为1cos 2a b a bθ→→⋅===-r r ，所以与的夹角为120o ，故选C ．9．已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为4 【答案】B【解析】根据题意有()1cos235cos212cos2222x f x x x -=+-+=+，所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==，且最大值为()max 35422f x =+=，故选B. 10．如图所示的正方形123SG G G 中，E F ，分别是12G G ，23G G 的中点，现沿SE ，SF ，EF 把这个正方形折成一个四面体，使1G ，2G ，3G 重合为点G ，则有（ ）A ． SG ⊥平面 EFGB ．EG ⊥平面SEFC ． GF ⊥平面 SEFD ．SG ⊥平面SEF【答案】A【解析】由题意：SG FG ⊥，SG EG ⊥，FG EG G =I ，FG EG ⊂，平面EFG ,所以SG ⊥平面EFG 正确，D 不正确；又若EG ⊥平面SEF ，则EG ⊥EF ，由平面图形可知显然不成立；同理 GF ⊥平面 SEF 不正确；故选A.11．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2c =，ABC ∆的面积为2244a b +-，则ABC ∆面积的最大值为（ ）A ．B 1C ．D 1【答案】D【解析】∵2c =，22222444ABCa b a b c S ∆+-+-==2cos 1sin 42ab C ab C ==.∴tan 14C Cπ=?，由余弦定理得2222242cos c a b ab C a b ==+-=+2ab ≥-，∴4ab ≤=+(11sin 4222ABC S ab C ∆=≤⨯+⨯1=.故选D.12．若存在唯一的正整数0x ，使关于x 的不等式32350x x ax a --+-<成立，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．1(0,)3B ．15(,]34C ．13(,]32D ．53(,]42【答案】B【解析】设32()35f x x x ax a =--+-，则存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <，设32()35g x x x =-+，()(1)h x a x =+，因为2()36g x x x '=-，所以当(,0)x ∈-∞以及(2,)+∞时，()g x 为增函数，当(0,2)x ∈时，()g x 为减函数，在0x =处，()g x 取得极大值5，在2x =处，()g x 取得极大值1.而()h x 恒过定点(1,0)-， 两个函数图像如图，要使得存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <，只要满足(1)(1)(2)(2)(3)(3)g h g h g h ≥⎧⎪<⎨⎪≥⎩，即135281253272754a a a -+≥⎧⎪-+<⎨⎪-+≥⎩，解得1534a <≤，故选B. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线ln y x x =在x e =处的切线的斜率k = ． 【答案】2【解析】因为ln y x x =，所以'ln 1y x =+，所以它在x e =处的切线的斜率ln 12k e =+=.14． 若函数sin ()cos a x f x x-=在区间ππ(,)63上单调递增，则实数a 的取值范围是 ．【答案】[2,)+∞【解析】因为函数sin ()cos a x f x x-=在区间ππ(,)63上单调递增，所以()0f x '≥在区间ππ(,)63恒成立，22cos sin (sin )(sin )sin 1()cos cos x x a x x a x f x x x-⋅--⋅--'== 因为2cos 0x >，所以sin 10a x -≥在区间ππ(,)63恒成立，所以1sin a x ≥，因为(,)63x ππ∈，所以11sin 2223sin x x <<⇒<<，所以a 的取值范围是[2,)+∞. 15．已知0,0,0a b c >>>，若点(),P a b 在直线2x y c ++=上，则4a ba b c+++的最小值为___________.【答案】2+【解析】(),P a b Q 在2x y c ++=上，2a b c ∴++=，20a b c +=->，4422a b c a b c c c +-+=++-4212c c =+--，设2c m c n -=⎧⎨=⎩，则2m n +=，42424222m n c c m n m n +⎛⎫+=+=⨯+ ⎪-⎝⎭2333n m m n =++≥+=+当222m n =，即2c =时，“=”成立，4213122c c∴+-≥+=+-即4a b a b c+++的最小值为2+，故答案为2+. 16．如图，公路MN 和PQ 在P 处交汇，且∠QPN ＝30°，在A 处有一所中学，AP ＝160m ，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校受影响，已知拖拉机的速度为18 km/h ，那么学校受影响的时间为________s.【答案】24【解析】学校受到噪音影响。
2020年普通高等学校招生全国统一考试 数学(文)冲刺卷(二)(解析版)
【答案】 5000
【解析】设每天安排生产 x 个遥控小车模型， y 个遥控飞机模型，则生产 (30 x y) 个遥控火车模型，依 10x 12 y 8(30 x y) 320, 30 x y 0,
题得，实数 x, y 满足线性约束条件 x 0, y 0,
4
4…
4
.故答案为
4.
三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12 分）已知 A，， B C 是 ABC 的内角， a，， b c 分别是角 A，， B C 的对边.若 cos2 B sin2 A sin Asin B cos2 C ,
（1）求角 C 的大小；
【答案】B
【解析】因为 f (x) [b, 2a b] ，又依题意知 f (x) 的值域为[5,3] ，所以 2a b 3 得 a 4 ，
b
5 ，所以 g(x) 5 cos 4x ，令 4x
k
2
(k Z) x
，得
k 4
8
(k Z) ，则 g(x) 的图象的
k 对称中心为 4
)
3, 1
A．
2, 0
B．
5, 1
C．
2,1
D．
【答案】B
【解析】由
f
x 1
f
1 x 可知函数
f
x 的对称轴为 x=1.因为
f
x
在
[5,
5]
上是增函数,所以
f
x 在 [5,
5]
上是减函数,因为
x
1 2
,1
,所以
1 2
x 1 0
,又因为不等式
2020年普通高等学校招生全国统一考试 数学(文)冲刺卷(四)(解析版)
点.故选项 B 正确.
6．已知向量
a
4,
7,
b
3,
4，则
a
2b
在
b
方向上的投影为（
）
A． 2
B． 2
C． 2 5
D． 2 5
【答案】B
a 4, 7,b 3, 4 a 2b 2,1
a 2b
22 1
5
【解析】
,
，
a 2b b
a 2b
b
2
3
1
4
10
,设
r a
r 2b
.
【答案】2
【解析】因为 an an2 an1 n N * ，由 a1 1， a2 2 ，得 a3 2 ；由 a2 2 ， a3 2 ，得 a4 1；由
a3
2 ， a4
1，得 a5
1 2
；由 a4
1， a5
1 2
a6
，得
1 2
a5 ；由
1 2
a6
，
1 2
，得 a7
1；由 a6
【解析】由程序框图有
S
={3t ,t 1 4t t2 ,t
1
，当 t 1
时，
S 3t 0, 4
，所以 0 t 1 ；当 t 1时，由
S 4t t2 0, 4 有1 t 4 ，综上有 0 t 4 ，所以 n m 的最大值为 4 . 故选 D.
：
x 2 0
y
2
0
8．已知
）
27 A． 32
10 8 6 B． 3
16 6 C． 3
32 2 16 6
D．
3
【答案】D
【解析】
设外接球的球心为 O ，半径为 R ，则 4 R2 128 ，故 R 4 2 . 设球心 O 在底面上的投影为 E ，因为 OA OC OB ，故 E 为 ABC 的外心. 因为 AB BC 4 ， AC 4 2 ，所以 AC2 AB2 BC2 ，故 ABC 为直角三角形， 故 E 为 AC 的中点，所以 OE OA2 AE2 2 6 ，设 D 到底面 ABC 的距离为 h ，则 h OE R 2 6 4 2 ，所以三棱锥 D ABC 的体积的最大值为
2020年高考全国统一考试文科数学冲刺试卷及答案解析(一)
绝密★启用前2020年晋通爲等学校招生全国统一考试文科数学冲剌试卷（•）<⅛ «：120分钟满分J50分〉注•事项：1•齐总前・彭生务必将白己的址名、号生巧等填丐亦签题卡和试卷 指定位置h.2.冋答迭择国时•透出毎小题答案后•用锻笔把答題卡上对应題日 的答案标号漆黒•如盂改动•用濛皮≡T⅛>G∙再述徐其他答案採号• I 叫答作选择題时•将衿案书在答迪卡上•丐住本试左上无效.3号诫结車后•将本试住和存并交何•一、迭择題：本題共12小題，毎小題5分•共60分.在每小題饴出 的四个迭项中•只有一项是符合题目姜求的.文集合 Λ=u ∈N ∣ -3<j <l∏B={y ∣ v=r ÷1}∙则人∏<C B B) =()A∙ {2∙3} B{0}C. {0.1}D∙ {—2«— 1*0∙1}2.设复数H=冷.则"1 =()■ /H √26A2 " 2，C. √T3D. √263.如图所示.AAB 「中∙D∙E 分别是线段BC.AB 的中点•则我4•为了研究OO 后求职H 寸考虑的要素•研究人员随机抽取了一定 数量的00后求职者逬行调杳•所得情况统计如F 图所示•则下文科数学 冲剌试卷（一）第1页（共6趺尸A. -2 D⅛--∣-BΓ C.-1 I>Γ--J-TfCB∙ -2 Df ⅛ ^hCD.-3 Df--I-W②公诵風利Mlne4）聲朋体亀ΦbArtr*A.参与JHI充的求馭希总人数町旄为3000H.接受调代的()0话求职者中•选择“棒陪体条”的人数最名C. 接受凋杳的00肓求职幷中•选择-公司福利-的人数最少D. 接受崗査的00后求职旨中•选抒“薪酬休系“的人数可能比选择"培Ull机遇”的多400人5. 已知长方体ABCD-A I B I C I D l的8个顶点都生圆柱Oo r的底面関周上•若Λ(1-5√2.AA1-6.则関柱的体积为( )Λ,63κB,42π C. 21π D. 8心6. 若函象/(χ) = e,j,÷(2M-l)s in x + m<√ + l>为训诵数•则曲线^≡∕(χ)在点(1.∕(∣))处的切线方程为( ) A∙ y= <e+ I)X B. y=(e+ 1 )χ-(e+1)C∙ >∙=ex÷e D. βy=e-r-e7. F图中小正方形的边氏为1・祖实线f⅛岀的是茱圄柱的三视图・侧柱表⅛i卜的点M在的觇图卜的对应点为A •側件表面上的点N在止觇图和俯視圏丄的对应点分别为B.B∖MΨ点B为劣弧&两数Λx>= Asin(2x+y) + 4Λ<)上单调递减•A∙叶考] B∙>f-T]C.[一节・—OD. [γ.y]9.已知椭圆G斗十*≡≡i(α>Q0)的左.右焦点分别为F1.F1. U b第一象限的点M住椭圆「匕•若ZAfFJ)= vZ-WOF1 = 15*.WffJsIC的离心半为( )A 普Kf C,√3-l n.⅛l10•已知长方体ABCD-A1B1C1D1中JB = 4∙BC=3∙若険长方休的表面积为66.W直线Br l与平面ACC I A I所成角的正切值为( )文科敦学冲则试卷(一》第2页(Jt 5页)11.已知角α*的顶点为坠标贩点•始边与*轴的非负半轴∙R 介.A(IMhn).B(∕r,∕n ＞分别是角α*终边上的点•找中mn≠Q.若 LL^±J, W z 2尸 ()Sin a嗨 ＜f+ 4才二＞_少的取值范国为 A.「― 1・—卜 C.(-2∙-l)D.(-2∙-l]二、填空題：本題共4小题，毎小題3分，共20分. 13. IOgI 16+ log 23 I IOgI 144— ______ .=—2a yP6∙2^÷y>0.W z ≈2χ-y 的用大值为J -Λ≤δ∙15•已知BI 「过点<0.0)U6∙-8>∙(6∙0)>iilft 点的直线 /与BIC交TM. V 曲点•若IMNl=√Σ∙则直仪I 的方程为 ____________ 16. MH 为J 响应国凉勺出•实现全Ir 脱贫”・且委决定开发H 城旅游业•首先计 划修建一条从县城到达诫区的公路.已 知且城与槓区通路的中段有一座高山， 需婆條涌一圣陡酒A/人为ΓMy^∣α AD 的艮度，现在平面ABCD 中测鈕相应数!《•其中 A D - 5 √3 . B(-10.C 7＞- 8. «ij AI)^ ______ . 三、解答題：共70分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步费.第17-21題为必考题，每个试JS 考生都必须作答.第22、23雄 为选考题•考生根据更求作答. 17. (*小题满分12分〉记許序为2的数列｛α.｝的炳R 项和为S.. U 2S, = S rψl -2.tt 列他｝满足⅛≡⅛・(I )证阴，数列｛“.｝为零比数列：(Il ＞记数列的前"项和为丁.•若丁.玄20,求实数入的 取值范围.)2co^ B=戸丐YX 「若/(3x+ 1 )＞∕(x) •则实数.r 2・才＜ —2∙18. 《本小题满分12分）已知WfeBS-ABCO 中•底rti AHCI）是菱形.ZAHC=120∖ SA = SD=2・点V足:线段人D的中点・IL SD丄BN•点G亦线段SC上.（I ［求证：SB丄ADI< U）若NSAD=60°.点Vf是线段B（、上靠近「的四等分点• 平而DGM丄T tf∏ ABCD•求二棱傩D-CMG的体积.19. （本小题满分12分）为了比较传统新旳粗食〃的产Ift是杏有力別，研左人员在若ΓH±地上分别种植/传统粮食α与新型粮食$,并收坐统计了&的山产址•所得数据如卜图所示・U知传统粗生α 的产量约为760公斤/亩.< 1）求新型粮伏0的由产Ja在［785.805）的槪率，<∏〉通过计算比较传统報食α与新型粮食0的平均亩产昴间的大小关系$（IIl）现按分整抽样的方法，在种植新熨粮食3的由产貳介于［785.805）的上地中抽取6山••再庄这6应土地中随机抽収2 亩研究粮食的生产是否受到上壤的影响•求抽到的2亩上地新加粮您0的商产就都在IX间［785.795）卜的御率.广20. (本小题満分12分〉巳知抛物线C s√=2^(p>0)的焦点F到准线的/的距离为2•点M,N是抛物线C上的点•且MFN三点共线.(I〉若IMNl = I2・求直线MN的方程；(Il)直线Z l山分别是抛物线C在M・N处的切线，且直线Z I, I Z交点为A.求证:AF丄MF.21. (本小題满分12分)已知西数/(x) = γ —W -J?"----- c∣j∙.(I)若α = 2∙求函数/(工)的单凋区间；(H)若关于的不等式2/(工)+αj^ + (∙τ' +J^)1Π J∙+A≥O恒成立•求证：36—6α÷5≥0.22∙（本小题满分10分）选修4一4：坐标系与参数方程平面直角坐标系χθy中•直线/的参数方程为J r=^Z为j=√6∕.参数）•以坐标原点为极点・才轴的正半轴为极轴建立极坐标系•曲线「的极坐标方程财7严=Sin 0.（I）求曲线（、的参数方程和直线/的极坐标方程：（II）若在线加的极坐标方程为O = ^（Pe R）・设曲线C与直线/的交点为o、M•曲线C与直线加的交点为O、N•求△OMN的面枳.23.（本小题满分10分）选修4一5：不等式选讲已知函数/（x） = ∣mx+11 + |工一加I +fc r∙（I）若加=2・求不等式/（j-）≥8的僧集：< U）若m>0.关于工的不等A∕<∙r）≥^∙÷2在R上恒成立，求实数加的取值范围•2020佯普通盛等学校招生全国统一考试文科数学模拟试卷(•)C rM βτl（fttt G .Λ-1 .f e NI -J<./ < O-<<∣∙1.2.3hB -<v∣v-2,÷∏-{v∣ y> H •期£』一Iyl τ≤ 门•故4D （CHB）=I-SSWlIN XJ-√÷ S •扳一；G \・衬味Ih 爲⅛I ÷∖ fi ∣∈H.⅛徐ΛJ3.⅛ 2 I •本B中給易由于翼砒・J E、哺* "•府W的花》⅛-<-2.-k<l.l.?.：<! .⅛>⅞S⅛ W 人靑今力斤/令对氏念•块冷约泾耳• h 5祈5*卸— g m誥占i';二'7 JiT二宁故ld = 74'-ς-⅛p^-■Aii6 B.【知识惟摆】I=I整卡友红乂的馍龙•乂一个X⅛⅛j4iφ→ ^=u-∕d<u∙∕÷R?. tfi∣√l= √u r^Λr. «什•建叹為屮冷R1 -20 口旳竹・4方抚巧穴卜比・；・「【命St聿绍】金騎人罟务t ⅛⅛⅛⅛4∙岌我的走令・A 【解IfiI^ADtfi中点M i^r⅛∙∣∙⅛ X .ji⅛ ΓA∕.Λ∕.∖. WflI IM ΓI1I⅛ IK EΛ∕.M> 如K^dhttPΛ≡7>Γ7∙ ½ -上Tfi-Ct丨丄灰・即齐一 -？ Tjt一4jΓΓ∙战述A.X •!.玖丄∙JTΓ>∙≡ -Dt—PTT ^√VΓ>- —2— P*∖I)•伽町•划晁”垢讯眦训的Aft4<⅛ 粮取•排除、搖受峋代旳W町求职府中・选打∙∣ι ⅛L∣Γ)2L rtPsSM V.Hf建Iu⅛吃迥任的oil \；^H⅛ΛΦ 连H M J⅛ 讥叫谒■的人散Ja少∙Il Rh C. Ia ⅛ IΛ.【答題授脈】坏十旣讨图k化刁轨乎同灵・*忙氐巧壬处丛扭自良卩旳亦吠仏电∙W L阿P ★巧卩IjJ的Λ御代A人Rrt «夕・比心汁.0比何們欠4∙ M f J M K冬T・图J勺址人y*询乂掩计用ns.t rM4r］巡迪gH≡≡M I Λj c>nj.k l cf≡l∣.λlt⅛1 忙M >'肿底MI i l怦为√TT. ⅛ M忙f “町休SL ⅛ n z .• 、■(-≡S)-'∙<*i=21-:.Atii「・A Iaif!«?#JSTrfl.∙⅞^ Art «hΛ-【介JS倉囹】3飓人号点的2空河氏阿体・»1. \ 【績析ι%⅛re:•.门-(>-/<(►.cd JeI十O-IIMn (—a-√> —J >• + 1 ；= Jj + ∣1M- 1 *>in ∣→M<√ ÷ u.v>n? w=4∙.*i,f< •>=」"*△"-】>.π ι>≡v-∣i∙ΛWi 吋•“♦)=/ —4~(∙-∙,)・八八=W “・八故门 1 >=I — 1 ・ I刃r!∣i 术UJ 线h F* h V= (V-D / ∙ ⅛ J⅛ Λ.【知识(3《】左已加片僞M京点応的t杆巾KΛX L Z・屮; 叼门一2=八八比八一.门=—八* ∙∣⅞i⅛铃丸芒累余歩.-ttΛ 7ΛftiFHJIT以把.<•験AJtU個•知税他屮•可14计凰八一半)〜"孑)•再“川一丄・匕苓以电蜒■ ■ ■J-ft⅛ħ∕τ f∙J ^4t∕Ai>^z w 中Hn J 令奇弘 H•罡找与侑Jfit的出以%伶朱ArJtH生VMI- 1 -(∙ ⅛∙•讥图1»电人曜金荊足学和的心纫点纥∙G狀幻M廣・-K CfllMlA W 6J∣V IlH卜的男为判门\ 6 Ittlt上的拴卩林M二罕∙m科丹住陀何■:坡H -nJ¾mw到.v In冷讣屮•品知琳存的氏也方√(7x7≡7 -S Λ-Lr T.tt J⅛ IUfWWtt^l⅛⅛rj!≠ι<η心诂张征岛上巧昭壮3 <•】？S lE叶、一般誓仔此如爲展歼•逻而4十掛Sl多中•时冋谒JUX衿隹岛罠址即可J1］ t t.［饰Jft意a∏Q⅛t人号缶询丘三祝阳.空怀化忆体.Kn【篆析"于∙ XW伸∙γ≤y・23“S以予+^X,x≤-< ≤γ^ - A兀"fc∙ Zb ≡ 1I k = J 吋・-P7≤.* ≤-pr ・ IM 为冲•导Ij罟•晋IHjM：・、.∙,∙riI【一鬆芻蔡】八< >≡i∕s4n< J r ------ 、—“・，乜r« / ?ατ -Tτfl5t l f ⅛J 尺G∙r i≡>r⅛去S 辜$ W 号【囱骥進鸟】 = »•«‘•)⅛{∣rT- = » ⅛rM(4S -]>6-f^⅜⅛∙r > I 十 “>G∙—加 <>c->τ +」£ IW ”< tl÷∙^>∕^∙^ ⅛ l⅜l UH) RtW (07 » M ψ.U ∣4ft2V J ：：E 殆 &=、3书 W ⅛ V ?.< ^ViX Φ[ffl⅛KΦ) 书∙ Y *；沖・Y ^rt∙I -O ^ +。
2020年名校高考数学冲刺卷解析版
2020年高考虽然延期一个月，但是练习一定要跟上，加油！本试卷分第I卷(选择题)和第□卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.参考公式：如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).如果事件A、B相互独立，那么P(A B)=P(A)-P(B).如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么”次独立重复试验中恰好发生Q欠的概率P"(k)=c：p k(i-pY k•球的体积公式v球=名汗,其中R表示球的半径.第I卷(选择题共60分)一.选择题：本大题共有12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1.映射f A-B，如果满足集合B中的任意一个元素在A中都有原象,则称为"满射".已知A中有4个元素，B中有3个元素，那么从A到B的不同满射的个数为(C)A,24B.6C.36D.72［解析］集合A中必须有两个元素和B中的一个元素对应,A中剩下的两个元素和B中的其余元素相对应,故应为C,定［评析］本题是一个创新题，给出一个新概念”满射”，考查考生阅读理解能力及灵活运用知识的能力，其实质是立足于排列组合与映射的交汇点设计的问题，难度适中。
2.(理)在复平面内，复数二+d+V3，)2对应的点位于(B)l+zA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限［解析］+(1+V3z)2= --+(-+2a/3)z对应复平面上点1+Z22"甘+2可，故选B.［评析］本题考查复数的代数运算及复数的几何意义即复数与复平面上点对应关系,属于容易题.(文)气=1”是尸+x—6<0的(A)条件A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分又非必要［解析］显然条件+x-6<0,但由/+了_6<0成立不一定有X=1成立。
［评析］本题运用集合关系来判断充分必要性很方便：A0A是胡充分不必要条件.3.设厂⑴是函数f(x)=?(ax—a x)(a>l)的反函数，则使尸(x)>l成立的x的取值范围为DA.(«,+oo)^-) C.(^—^-,<2) D.(-^―^-,+co)2a 2a 2a［解析］广3>1=原函数/'(x)中X>1,求函数值y的范围。
2020年普通高等学校招生全国统一考试 数学(文)冲刺卷(三)(解析版)
2 |PF | 2 ，则 | PK | 的最小值为
2 2 故答案为
2 2.
ADC BDC
16．已知球的直径 DC 4 ， A ， B 是该球面上的两点，
6 ，则三棱锥 A BCD 的
体积最大值是______.
【答案】2
【解析】因为球的直径
DC
4
ADC
，且
BDC
6
，所以
AC
BC
2，
AD
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．测试范围：高中全部内容．
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的．
M
1．已知集合
(x,
y)
x
y
2, N
(x,
y)
x
y
4, 那么集合 M
N
为（
）
A． x 3, y 1
B． 3, 1
ex e
ax
，
a 1,1
ma k 0
k m 1 ex e x
因为存在
，使得
，等价于
，
所以，存在
a
1,1 ，使得关于
x
的不等式
k
f
x min
恒成立，等价于 ex
e
x
k
恒成立.令
g
x
ex
e
x
（
x
1
），则
g
'x
ex
1
0
，所以
g
x 单调递增，
所以 g x g 1 1 k ，即 k 1 ；
cos x
ex ex
1 cos 1
2020年安徽省名校高考冲刺数学模拟试卷(文科) (含答案解析)
2020年安徽省名校高考冲刺数学模拟试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={0,1，2，3}，B ={x ∈R|−2<x <2}，则A ∩B =( )A. {0,1}B. {1}C. {0,1，2}D. {0,2}2. 复数Z =3−4i ，则|Z|等于( )A. 3B. 4C. 5D. 63. 在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，求此点取自空白部分的概率( )．A. 3π B. π3 C. π2 D. 2π4. 设a =214,b =(15)0.2,c =log 136则( )A. a <b <cB. c <b <aC. c <a <bD. b <a <c5. 已知a ⃗ =(3,4)，|b ⃗ |=2，两向量夹角θ=60°，则a ⃗ ·b⃗ 的值是( ) A. 7B. 12C. 5D. 256. 函数在[−π2,π2]上的图象为( )A.B.C.D.7. 已知α∈(π3,π)，且sin (α+π6)=35，则cosα=( )A. −3−4√310B. 3+4√310C. 3−4√310D. −3+4√3108.函数y=2sin(π3−x)−cos(x+π6)(x∈R)的最小值为()A. −3B. −2C. −1D. −√59.若如图所示的程序框图运行后输出的S的值为20，那么判断框中应填入的关于k的条件是()A. k=9B. k≤8C. k<8D. k>810.若双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线倾斜角为π6，则双曲线C的离心率为()A. 2或√3B. 2√33C. 2或2√33D. 211.在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若acos C+ccos A=2bcos B，且cos2B+2sin Asin C=1，则a−2b+c=()A. √22B. √2C. 2D. 012.直线y=x+m与椭圆x24+y2=1有两个不同的交点，则m的取值范围是()A. −5<m<5B. m<−√5或m>√5C. m<√5D. −√5<m<√5二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数f(x)=e x−x−2在(0,f(0))处切线方程是______．14.设x，y满足约束条件{x+2y≤12x+y≥−1x−y≤0，则z=3x−2y的最小值为________．15.已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=2a n−1，则|a1−18|+|a2−18|+⋯+|a10−18|=________．16.三棱锥S−ABC中，侧棱SA⊥底面ABC，AB=5，BC=8，∠B=60°，SA=2√5，则该三棱锥的外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在等差数列{a n}和等比数列{b n}中，a2=0，b2=1，且a3=b3，a4=b4．(1)求a n和b n；(2)求数列{nb n}的前n项和S n．18.如图，已知四棱锥P−ABCD的底面是边长为2√3的菱形，∠BAD=60°，点E是棱BC的中点，DE∩AC=O，点P在平面ABCD的射影为O，F为棱PA上一点．(Ⅰ)求证：平面PED⊥平面BCF；(Ⅱ)若BF//平面PDE，PO=2，求四棱锥F−ABED的体积．19.学生学习的自律性很重要．某学校对自律性与学生成绩是否有关进行了调研，从该校学生中随机抽取了100名学生，通过调查统计得到2×2列联表的部分数据如下表：自律性一般自律性强合计成绩优秀40成绩一般20合计50100(1)补全2×2列联表中的数据；(2)判断是否有99.9％的把握认为学生的成绩与自律性有关．．参考公式及数据：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20.已知函数f(x)=e x−x2．e(1)证明：函数f(x)有两个极值点x1，x2；(2)若g(x)=f(x)+ax为增函数，求实数a的取值范围．21.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，直线y=4与y轴交于点P，抛物线C交于点Q，|PQ|．且|QF|=54(1)求抛物线C的方程；(2)过原点O作斜率为k1和k2的直线分别交抛物线C于A，B两点，直线AB过定点T(2,0)，k1k2是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是，则说明理由．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ2+4ρsinθ+3=0．(1)求曲线M的普通方程和圆C的直角坐标方程；(2)若直线l过圆心C且与曲线M交于A，B两点，求1|CA|+1|CB|的最大值．23.已知函数f(x)=｜2x+1｜−｜x−2｜−1，不等式f(x)≤k的解集为[−5,1]．(1)求实数k的值；(2)若正数a、b满足√ab2=k，求2a+4b的最小值．【答案与解析】1.答案：A解析：解：∵集合A={0,1，2，3}，B={x∈R|−2<x<2}，∴A∩B={0,1}．故选：A．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：C解析：解：∵Z=3−4i，∴|Z|=√32+(−4)2=5．故选：C．直接利用复数模的计算公式求解．本题考查复数模的求法，是基础的计算题．3.答案：D解析：此题考查几何概型，解题的关键是利用割补的方法求组合图形面积，此类不规则图形的面积可以转化为几个规则的图形的面积的和或差的计算．解：设分别以OA，OB为直径的两个半圆交于点C，OA的中点为D，如图，连接OC，DC．不妨令OA=OB=2，则OD=DA=DC=1．在以OA为直径的半圆中，空白部分面积S1=π4+12×1×1−(π4−12×1×1)=1，所以整个图形中空白部分面积S2=2．又因为S扇形OAB =14×π×22=π，所以P=2π．故选D．4.答案：B解析：本题考查了对数函数、指数函数的性质的应用，属于基础题．解题时直接利用指，对数函数的单调性，可以求出结果．解：．故选B．5.答案：C解析：本题考查了数量积的定义，属于基础题．利用数量积的定义即可得出．解：∵a⃗=(3,4)，∴|a⃗|=5．又|b⃗ |=2，两向量夹角θ=60°，则a⃗⋅b⃗ =|a⃗||b⃗ |cos60°=5×2×12=5．故选C．6.答案：B解析：本题考查函数图像识别，是基础题．直接利用函数的性质奇偶性和特殊区间结合排除法求出结果．解：函数的解析式满足f(−x)=−f(x)， 且的定义域R 关于原点对称，则函数为奇函数，排除C 、D 选项， 当0<x ≤π2时，由sinx ≤1,x 2+|x|+1≥1 可知：当0<x ≤π2时f(x)≤1，排除A 选项． 故选：B ．7.答案：C解析：本题主要考查两角差的余弦公式和同角三角函数基本关系的应用，属于基础题． 先根据α的范围利用平方关系求出cos (a +π6)，再利用两角差的余弦公式即可求出． 解：因为a ∈(π3,π)，所以α+π6∈(π2,7π6)，即有cos (a +π6)=−√1−sin 2(a +π6)=−45． ∴cosα=cos [(α+π6)−π6]=cos (α+π6)cos π6+sin (α+π6)sin π6=(−45)×√32+35×12=3−4√310． 故选：C ．8.答案：C解析：本题考查诱导公式及正弦函数的图象与性质，根据题意可得cos (x +π6)=sin (π3−x)，进而利用正弦函数的性质即可求得结果． 解：cos (x +π6)=sin (π3−x)，因此y =2sin (π3−x)−cos (x +π6)=2sin (π3−x)−sin (π3−x)=sin (π3−x)=−sin (x −π3)， 所以函数的最小值为−1． 故选C ．9.答案：D解析：本题考查了程序框图中条件的确定，属于基础题．运行程序框图，确定条件．解：如图：可知，10，9时条件成立，8时不成立．故选D．10.答案：B解析：本题主要考查了双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．求出双曲线的渐近线方程，可得b=√33a，再由a，b，c的关系和离心率公式，即可得到双曲线的离心率．解：双曲线C：x2a2−y2b2=1的渐近线方程为y=±bax，则tanπ6=ba即为b=√33a，则c=√a2+b2=2√33a，即有e=ca =2√33．故选B．11.答案：D解析：本题主要考查了正弦定理，和差角公式的综合应用，属于中档试题．由已知结合正弦定理可求cos B，进而可求B，然后结合三角形的内角和及和差角公式进行化简可求A，从而可得△ABC为正三角形可求．解：∵acosC+ccosA=2bcosB，由正弦定理可得，sinAcosC +sinCcosA =2sinBcosB ， ∴sin(A +C)=2sinBcosB =sinB ， ∵sinB ≠0， ∴cosB =12， ∵0<B <π， ∴B =13π，∵cos2B +2sinAsinC =1， ∴sinAsinC =34，∴sinAsin(2π3−A)=34，化简可得，，，∴sin(2A −π6)=1，∵0<A <π， ∴A =13π=B =C ，∴△ABC 为正三角形，则a −2b +c =0， 故选：D ．12.答案：D解析：本题考查了直线和椭圆的位置关系，属于基础题． 根据题意，可得△=64m 2−20(4m 2−4)>0，即可得解． 解：由{y =x +mx 24+y 2=1， 得5x 2+8mx +4m 2−4=0， 由直线y =x +m 与椭圆x 24+y 2=1有两个不同的交点，得：△=64m2−20(4m2−4)>0，解得：−√5<m<√5，故选：D．13.答案：y=−1解析：本题主要考查导数的几何意义即函数在某点处的导数即为函数在该点处切线的斜率，属于基础题．求导函数f′(x)=e x−1，确定切线的斜率与切点的坐标，即可得到切线方程．求导函数可得f′(x)=e x−1，当x=0时，f′(0)=e0−1=0，∵f(0)=e0−0−2=−1，∴切点为(0,−1)，∴曲线f(x)=e x−x−2在点(0,f(0))处的切线方程是y=−1，故答案为y=−1．14.答案：−5解析：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，即可求得答案．解：由x，y满足约束条件{x+2y≤ 12x+y≥−1x−y≤0作出可行域如图，由图可知，目标函数的最优解为A ，联立{x +2y =12x +y =−1，解得A(−1,1)． ∴z =3x −2y 的最小值为−3×1−2×1=−5．故答案为：−5．15.答案：961解析：本题考查数列的通项公式和前n 项和公式的求法，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用． 由已知条件推导出{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，所以a n =2n−1，进而判断a n −18的符号，去掉绝对值后结合等比数列的求和进行求解．解：∵S n =2a n −1(n ∈N ∗)，∴n =1时，a 1=S 1=2a 1−1，解得a 1=1，n ≥2时，a n =S n −S n−1=2a n −2a n−1，整理，得a n =2a n−1，∴{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，∴a n =1×2n−1=2n−1．n ≥6，a n −18>0∴|a 1−18|+|a 2−18|+⋯+|a 10−18|=−a 1+18−a 2+18+⋯−a 5+18+a 6−18+···+a 10−18=S 10−2S 5=1−2101−2−2×1−251−2=961．故答案为961．16.答案：256π3解析： 本题主要考查球的内接多面体，正、余弦定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力，属于一般题．该三棱锥的外接球，即为以△ABC 为底面以SA 为高的直三棱锥的外接球，利用正弦定理求出r ，然后求解球的半径，即可得到球的表面积．解：由余弦定理得，AC =√AB 2+BC 2−2AB ⋅BC ⋅cos60°=7，该三棱锥的外接球，即为以△ABC为底面以SA为高的直三棱锥的外接球，∵在△ABC中，设△ABC的外接圆半径为r，则ACsin60∘=2r，∴r=7√3，球心到△ABC的外接圆圆心的距离d=√5，∴球的半径R=√5+493=√643．∴该三棱锥的外接球的表面积为4π×643=256π3．故答案为：256π3．17.答案：解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，∵a2=0，b2=1，且a3=b3，a4=b4．∴a1+d=0，b1q=1，a1+2d=b1q2，a1+3d=b1q3，联立解得：a1=−2，d=2，b1=12，q=2，∴a n=−2+2(n−1)=2n−4，b n=2n−2．(2)数列{nb n}的前n项和S n=12+2+3×2+4×22+⋯…+n⋅2n−2，∴2S n=1+2×2+3×22+⋯…+(n−1)⋅2n−2+n⋅2n−1，∴−S n=12+1+2+22+⋯…+2n−2−n⋅2n−1=12(2n−1)2−1−n⋅2n−1，化为：S n=(n−1)⋅2n−1+12．解析：(1)设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，由a2=0，b2=1，且a3=b3，a4= b4.a1+d=0，b1q=1，a1+2d=b1q2，a1+3d=b1q3，联立解得：a1，d，b1，q，利用通项公式即可得出．(2)利用错位相减法即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：证明：(1)∵PO⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥PO依题意△BCD是等边三角形，E为棱BC的中点，∴BC⊥DE，又PO∩DE=O，PO，DE⊂平面PED，∴BC⊥平面PED，∵BC⊂平面BCF，∴平面PED⊥平面BCF．解：(Ⅱ)取AD的中点G，连结BG，FG，∵底面ABCD是菱形，E是棱BC的中点，∴BG//DE，∵BG⊄平面PDE，DE⊂平面PDE，∴BG//平面PDE，∵BF//平面PDE，BF∩BG=B，∴平面BGF//平面PDE，又平面BGF∩平面PAD=GF，平面PDE∩平面PAD=PD，∴GF//PD，∴F为PA的中点，∵S四边形ABED =32×12×2√3×2√3×sin60°=9√32，点F到平面ABED的距离为d=PO2=1，∴四棱锥F−ABED的体积：V F−ABED=13⋅S四边形ABED⋅d=13×9√32×1=3√32．解析：(1)推导出BC⊥PO，BC⊥DE，从而BC⊥平面PED，由此能证明平面PED⊥平面BCF．(Ⅱ)取AD的中点G，连结BG，FG，从而BG//DE，进而BG//平面PDE，平面BGF//平面PDE，由此能求出四棱锥F−ABED的体积．本题考查面面垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19.答案：解：(1)因为总人数为100，可填写列联表如下：(2)根据表中数据，得K2=100×(40×30−20×10)240×60×50×50=503≈16.667>10.828，所以有99.9％的把握认为学生的自律性与学生成绩有关．解析：本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，属于基础题．(1)结合抽取的100名学生，填写2×2列联表即可；(2)利用K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)计算观测值，对照临界值得出结论．20.答案：(1)证明：f′(x)=e x−1−2x．设f′(x)=p(x)=e x−1−2x，则p′(x)=e x−1−2，p′(x)=0，得x0=1+ln2．又函数p′(x)是单调增函数，所以x∈(−∞,x0)时，p′(x)<0；x∈(x0,+∞)时，p′(x)>0，所以f′(x)在(−∞,x0)上单调递减，在(x0,+∞)上单调递增．所以f′(x)≥f′(x0)=−2ln2<0，f′(0)=1e>0,f′(4)=e3−8>0，由零点存在性定理，得f′(x)=0存在两个根x1，x2且0<x1<x0,x0<x2<4，列表，所以函数f(x)有两个极值点x1，x2．(2)解：g(x)=e x−1−x2+ax，则g′(x)=e x−1−2x+a.因为函数g(x)为增函数，所以g′(x)≥0恒成立．即e x−1−2x+a≥0，所以a≥2x−e x−1．设ℎ(x)=2x−e x−1，则ℎ′(x)=2−e x−1，由ℎ′(x)=0，得x=1+ln2，当x<1+ln2时，ℎ′(x)>0，当x>1+ln2时，ℎ′(x)<0，所以1+ln2为函数ℎ(x)的极大值点，所以ℎ(x)≤ℎ(1+ln2)=2ln2．所以a≥2ln2．解析：本题主要考查利用导数研究函数的极值、单调性，属于中档题．(1)先求出函数的导数f′(x)，然后根据导函数的单调性与零点存在性定理证明出结论．(2)根据函数g(x)为增函数，转化为g′(x)≥0恒成立，利用分离参数法求解．21.答案：解：(1)P(0,4),Q(8p,4)，由|QF|=54|PQ|以及抛物线定义可知，8p+p2=54⋅8p，∵p>0，∴p=2，抛物线C的方程为y2=4x．(2)不妨设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，直线AB ：x =my +2，由{x =my +2y 2=4x，得y 2−4my −8=0，y 1y 2=−8， 故k 1k 2=y 1y 2x 1x 2=16y 1y 2=−2．解析：本题考查抛物线的简单性质，以及直线与抛物线的位置关系的应用，考查计算能力．(1)利用已知条件求出p ，得到抛物线方程即可．(2)设出A 、B 坐标，直线方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，转化求解k 1k 2为定值． 22.答案：解：(1)由曲线M 的参数方程消去参数t ，得y 2=4x ，即曲线M 的普通方程为y 2=4x ．将ρ2=x 2+y 2，ρsinθ=y 代入圆C 的极坐标方程，得x 2+y 2+4y +3=0，即圆C 的直角坐标方程为x 2+(y +2)2=1．(2)由(1)知圆心C(0,−2)．设直线l 的参数方程为为参数)，代入曲线M 的普通方程得t 2sin 2α−4(sinα+cosα)t +4=0．设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则， 所以， 当α=π4时等号成立，此时满足题意，所以1|CA|+1|CB|的最大值为√2．解析：本题主要考查参数方程与普通方程间的互化，极坐标方程和直角坐标方程之间的互化，圆的参数方程的应用，属于中档题．(1)将曲线M 的参数方程消去参数得普通方程，将ρ2=x 2+y 2，ρsinθ=y 代入圆C 的极坐标方程得直角坐标方程;(2)利用直线l 的参数方程与曲线M 的普通方程联立，根据韦达定理及三角函数性质求最值． 23.答案：解：(1)不等式f(x)≤k ，即|2x +1|−|x −2|≤k +1，当x ≥2时，2x +1−x +2≤k +1，解得：x ≤k −2，当−12<x <2时，2x +1+x −2≤k +1，解得：x ≤k+23， 当x ≤−12时，−2x −1+x −2≤k +1，解得：x ≥−(k +4)，而不等式的解集是[−5,1]，对应[−(k +4),k+23]，故{−(k +4)=−5k+23=1， 解得：k =1，经检验，k =1时满足题意，故k =1；(2)由(1)中，得√ab 2=1，即ab =2， 故2a +4b ≥2√8ab =8，当且仅当a =2，b =1时成立．故2a +4b 的最小值为8．解析：本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想以及基本不等式的性质，是一道中档题．(1)通过讨论x 的范围求出不等式的解集，根据对应关系求出k 的值即可；(2)求出ab =2，根据基本不等式的性质，求出代数式的最小值即可．。