信号通过系统的频域分析方法

§4-1 概述

系统的频域分析法，是将通过傅利叶变换，将信号分解成多个正弦

函数的和（或积分），得到信号的频谱；然后求系统对各个正弦分量的响应，得到响应的频谱；最后通过傅利叶反变换，求得响应。

频域分析法避开了微分方程的求解和卷积积分的计算，容易求得系统的响应。但是它必须经过两次变换计算，计算量比较大。但是在很多情况下，直接给定激励信号的频谱，且只需要得到响应信号的频谱，这时就可以不用或少用变换。

频域分析法只能求解系统的稳态响应或零状态响应。

§4-2

信号通过系统的频域分析方法

一、系统对周期性信号的稳态响应

1、 基本思路：

周期性信号可以表示（分解）成若干个（复）正弦函数之和。只要分别求出了系统对各个（复）正弦函数的响应（这一点已经在电路分析课程中做了充分讨论），就可以得到全响应。 ⏹ ⏹ 稳态响应：周期信号是一个无始无终的信号，可以认为在很远的

过去就已经加到系统上，系统的响应已经进入了一个稳定的状态——响应中只存在稳态响应。 2、 电系统对周期信号的响应： 1） 将周期信号分解为傅利叶级数； 2） 求电路系统对各个频率信号的作用的一般表达式——网络函数

)(ωj H ―――求解方法：利用电路分析中的稳态响应

3） 求系统对各个频率点上的信号的响应； 4） 将响应叠加，得到全响应。

注意：这里的叠加是时间函数的叠加，不是电路分析中的矢量叠加。 例：P167， 例题4-1

⏹ 某些由周期性信号组成的非周期信号（或概周期信号）也可以用这种分析方法。例如信号：

t t t e πcos cos )(+=

虽然不是周期信号，但是也可以分解成为周期信号的和，从而也可以用这种方法求解。 3、 通过微分方程求系统对周期信号的响应：

在很多场合，已经给出了系统的微分方程，如何求解系统对周期信号的响应？

（1） 对于用微分方程描述的一般系统，有：

)

()(...)()()()(...)()(0111101111t e b t e dt d

b t e dt d b t e dt d b t r a t r dt

d a t r dt d a t r dt d m m m m m m n n n n n ++++=++++------ 我们可以先

假设系统对复正弦信号的响应仍然是同频率的复正弦信号（这个假设是否成立？有待验证！） 设：激励信号是复正弦信号t

j e

j E ωω⋅)(，其响应也是同样频率的复正

弦信号t

j e j R ωω⋅)(。其中)(ωj E 、)(ωj R 分别为频率为ω

的复正弦激励和响应信号的复振幅。将其带入微分方程，可以得到：

()

()

t j m m m

m

t

j n n n e j E b j b j b j b e j R a j a j a j ωωωωωωωωωω)()(...)()

()()(...)()(0111011

++++=++++---或：

()

()

)()(...)()

()

()(...)()(0111011

ωωωωωωωωj E b j b j b j b j R a j a j a j m m m

m

n n n ++++=++++---所以，

)

()(...)()()(...)()()

(0

110111ωωωωωωωωj E a j a j a j b j b j b j b j R n n n m m m m ++++++++=---

可见，“系统对复正弦信号的响应仍然是同频率的复正弦信号”

这样的假设完全成立，可以找到满足系统对t

j e j E ωω⋅)(的响应

t j e j R ωω⋅)(。如果要在理论上更加严格的话，还可以进一步证明只有

t j e j R ωω⋅)(可能是系统对t j e j E ωω⋅)(信号的响应。

令系统的传输函数为：

0110111)(...)()()(...)()()

(a j a j a j b j b j b j b j H n n n m m m m ++++++++=

---ωωωωωωω

它实际上可以将时域中的转移算子)(p H 中的算子p 用ω

j 替代后得到。这里的H 完全是一个代数表达式，可以应用所有的代数运算法则。

这时候，激励和响应的复振幅之间的关系可以表示为为：

)()()(ωωωj E j H j R =

)(ωj H 反映了复正弦激励下激励信号的复振幅与响应信号复振

幅之间的关系：响应信号复振幅等于激励信号的复振幅与系统传输函数的乘积，它的幅度等于)(ωj E 和)(ωj H 幅度的积，相位)(ωj E 和

)(ωj H 两者相位的和。

由此可以得到根据微分方程求解系统对周期信号响应的方法： 1） 将周期信号分解为复数傅利叶级数的和；

2） 求出系统转移算子)(p H ，将其中的算子p 用ωj 替代后得到)(ωj H 。

3） 求系统对各个复频率点上的信号的响应：

)()()(i i i j E j H j R ωωω=

4） 将各个频率点上的响应叠加，得到全响应。

⏹ 这里的结论和方法与电路稳态分析中的结论相似，只不过在正弦稳态分析中讨论的是信号对于实正弦信号的响应，而这里讨论的是对复正弦信号的响应。

⏹ 实数正弦信号可以表示为两个幅正弦信号的和：

2)cos(t

j t j e e t ωωω-+=

。系统对这两个基本点复正弦信号的传输函数分

别为)(ωj H 和)(ωj H -。如果微分方程中的系数都是实数，则可以得

到)()(*

ωωj H j H =-。

假设：

)()()(ωϕωωj e j H j H =

则系统对正弦信号的响应为：