控制系统的频域分析
自动控制理论第四章
若用一个复数G（jω）来表示，则有 指数表示法: G（jω）=∣G（jω）∣· j∠G（jω）=A（ω）· j e e 幅角表示法: G（jω）=A(ω)∠ (ω) G（jω）就是频率特性通用的表示形式，是ω的函数。 当ω是一个特定的值时，可以在复平面上用一个 向量去表示 G （ jω）。向量的长度为 A(ω)，向量与 正实轴之间的夹角为 (ω)，并规定逆时针方向为正， 即相角超前；规定顺时针方向为负，即相角滞后。 可由图4.3表示。
对输出求拉氏反变换可得
c(t ) ( K1e
p1t
K 2e
p2t
Kne
pn t
) (K c e
jt
K c e )
jt
系统的输出分为两部分，第一部分为指数瞬态分量， 对应特征根为单根时的响应；第二部分为稳态分量， 它取决于输入信号的形式。对于一个稳定系统，系统 所有的特征根的实部均为负，瞬态分量必将随时间趋 于无穷大而衰减到零。因此，系统响应正弦信号的稳 态分量为：
r（t）
sint 线 性 定 Asin（ωt+）
Css（t） t
常系统
图4-2，线性系统及频率响应示意图
4.1.2频率特性
一、基本概念 对系统的频率响应作进一步的分析，由于输入输出 的幅值比A与相位差 只与系统的结构、参数及输入正 弦信号的频率ω有关。在系统结构、参数给定的前提下， 幅值比 A与相位差 仅是ω的函数，可以分别表示为A （ω）与（ω）。 若输入信号的频率ω在0→∞的范围内连续变化，则 系统输出与输入信号的幅值比与相位差将随输入频率的 变化而变化，反映出系统在不同频率输入信号下的不同 性能，这种变化规律可以在频域内全面描述系统的性能。
控制系统频域分析
控制系统频域分析控制系统频域分析是对控制系统的频率特性进行研究和评估的方法。
它通过在频域上分析信号的幅值和相位响应，帮助我们了解系统的稳定性、性能以及对不同频率输入的响应。
一、引言控制系统在现代工程中起着至关重要的作用。
通过对系统的频域特性进行分析，我们可以更好地理解和优化控制系统的性能。
二、频域分析的基本概念1. 频率响应控制系统的频率响应描述了系统对不同频率输入信号的响应能力。
通过频率响应，我们可以了解系统在不同频率下的增益和相位特性。
2. 幅频特性幅频特性是指系统输出信号的幅度与输入信号的频率之间的关系。
通常用幅度曲线图来表示，可以帮助分析系统的放大或衰减程度。
3. 相频特性相频特性描述了系统输出信号的相位与输入信号的频率之间的关系。
相位曲线图可以帮助评估系统的相位延迟或提前程度。
三、常见的频域分析方法1. 频率响应函数频率响应函数是一个复数函数，可以描述系统的幅频和相频特性。
常见的频率响应函数包括传递函数和振荡函数等。
2. Bode图Bode图是一种常用的频域分析工具，可以将系统的幅频和相频特性直观地表示出来。
它以频率为横轴，幅度或相位为纵轴，通过线性坐标或对数坐标来绘制。
3. Nyquist图Nyquist图是一种使用复平面来表示频率响应的图形。
它可以帮助我们判断系统的稳定性，并评估系统的相位边界和幅度边界。
四、频域分析的应用频域分析在控制系统设计和优化中有着广泛的应用。
以下是几个常见的应用领域：1. 系统稳定性分析通过频域分析，我们可以判断系统是否稳定，以及如何设计控制器来维持或改善系统的稳定性。
2. 性能评估频域分析可以帮助我们评估系统的性能，比如响应时间、超调量等。
通过调整系统的频率响应，我们可以提高系统的性能。
3. 滤波器设计频域分析在滤波器设计中起着重要的作用。
通过分析系统的频率响应，我们可以设计出满足特定要求的滤波器。
4. 控制系统建模频域分析可以帮助我们建立控制系统的数学模型，从而更好地理解和优化系统的性能。
控制系统频域分析
控制系统频域分析1. 引言频域分析是控制系统理论中的重要内容之一，它可以帮助工程师们深入了解控制系统的特性和性能。
通过对系统在频域上的响应进行分析，可以得到系统的频率响应曲线和频率特性，从而更好地设计和调节控制系统。
本文将介绍控制系统频域分析的基本概念、常用方法和应用场景。
2. 控制系统频域分析的基本概念2.1 传递函数传递函数是描述系统输入与输出之间关系的数学模型。
对于线性时不变系统，其传递函数可以用拉普拉斯变换表示。
传递函数的频域特性可以通过对传递函数进行频域变换得到。
2.2 频率响应频率响应是控制系统在不同频率下的输出响应，它是描述系统在不同频率下性能的重要指标。
频率响应可以通过传递函数的频域特性来分析。
2.3 增益余弦图增益余弦图是描述控制系统增益和相位随频率变化的图形。
在增益余弦图中，横轴表示频率，纵轴表示增益和相位角。
通过分析增益余弦图，可以得到系统的幅频特性和相频特性。
3. 控制系统频域分析的常用方法3.1 简单频率响应分析简单频率响应分析是最基本也是最常用的频域分析方法之一。
它通过对系统输入信号进行正弦波信号的傅里叶变换，得到系统的频率响应曲线。
常用的频率响应曲线有幅频特性曲线和相频特性曲线。
3.2 Bode图Bode图是一种常用的频域分析方法，它将系统的增益和相位角随频率变化的情况绘制在一张图中。
通过分析Bode图，可以得到系统的幅频特性和相频特性，并进行系统的稳定性分析。
3.3 Nyquist图Nyquist图是一种用于分析系统稳定性的频域分析方法。
它将系统的传递函数关联到一个复平面上，通过对系统传递函数的频域特性进行分析，可以得到系统的稳定性信息。
Nyquist图可以帮助工程师们更好地设计和调节控制系统。
4. 控制系统频域分析的应用场景频域分析在控制系统设计和调节中有广泛的应用场景。
以下是几个常见的应用场景：4.1 控制系统稳定性分析通过对控制系统的频域特性进行分析，可以判断系统的稳定性。
自动控制原理第5章-频域分析
第5章 控制系统的频域分析
§5.1 频 率 特 性
一、频率特性概述
1、 RC网络的频率特性
T
du0 (t) dt
u0 (t)
ui (t)
其传递函数为：
G(s) U0(s) 1 Ui (s) Ts 1
在复数域内讨论RC网络，并求输出电压
(T)2 1
——RC网络的频率特性
G( j)
1
(T)2 1 —幅频特性
() arctan T —相频特性
第5章 控制系统的频域分析
比较
G( j)
1
jT 1
和
G(s) 1 Ts 1
可见，只要用jω代替该网络的传递函数G(s)中的复变 量S，便可得其频率特性G(jω)。结论具有一般性。
2、线性定常系统的频率特性
设 ui (t) Um sin t
U U e •
j00 复阻抗 Z R 1 jRC 1
i
m
第5章 控制系统的频域分析
jC
jC
•
•
•
U0
1
•
I
jC
1 Ui
jC Z
1
jC
jCUi jCR 1
1
jT
•
U 1
i
于是有：
•
U0
•
Ui
1
jT 1
•
(T RC)
G( j)
U0
•
Ui
1
e j () G( j) e j ()
第5章 控制系统的频域分析
5.2.2 典型环节的频率特性
1、积分环节
传递函数： G(s) 1
控制系统频域分析
5.3 奈 奎 斯 特 判 据
❖
在工程中，分析或设计系统时，首先必须保证系统是稳
定的，这一点是尤为重要的！
❖
在时域分析中我们讨论过系统的稳定性，可以从系统闭
包围原点N次．若令：Z为包围于LS内的F(s)函数的零点数；
P为包围于LS内的F(s))函数的极点数，则 N＝Z-P
❖ 若包围LS的是F(s)的Z个零点和P个极点时，则，[F(s)]平 面上的对应轨迹绕原点顺时针转N=Z-P圈．
❖ 根据式N=Z-P(幅角原理的数学表达式)可知：
则: y(t) a1ejt a2ejt biepit 当t ,如果系统稳定,则: biepit 0,
其中:G(j) G(j) ej G(j) G(j) ej; G(j) G(j)
则: y(t) a1ejt a2ejt biepit 当t ,如果系统稳定,则: biepit 0,
由欧拉公式:sin=ej
G (s)U c(s) 1 1 Ur(s) R 1C1s1 T s1
设ru AS ti,则 nU r(s)s2A ω ω 2
1 A Uo(s)T s1s22
u 0(t)1 A 2 tT 2e t/T1 A 2 T 2S( itn ar T c)t
稳态分 A量 S(in tar cT t)g 12T2
❖
奈奎斯特判据：在频域中，利用系统的开环频率特性来
获得闭环系统稳定性的判别方法，不仅可以确定系统的绝对
稳定性，而且还可以提供相对稳定性的信息，即系统如果是
稳定的，那么动态性能是否好；或者如果系统是不稳定的，
控制系统的频域分析法解析
l F(jω)曲线对原点的包围情况与G(jω)H(jω)曲线对于 (-l，j0)点的包围情况完全相当。
二、奈魁斯特稳定判据 2、奈魁斯特轨迹 （2）沿jω轴路径：
奈魁斯特轨迹在G(jω)H(jω)平面上的映射关系： 当奈魁斯特轨迹顺时针包围F(s)的z个零点和P个极点时，
一、柯西定理（围线映射）定理
（3）如果C以顺时针方向包围F(s)的一个零点， C’将以顺时针方向包围原点一次。 如果C以顺时针方向包围F(s)的一个极点， C’将以逆时针方向包围原点一次。
[s] C
C’
[F(s)]
[s] C
[F(s)] C’
一、柯西定理（围线映射）定理
（4）如果围线C以顺时针方向包围F(s)的z个零点和p个极点， 则围线映射C’将以顺时针方向包围F(s)原点N次，N=z-p。 若z>p, N为正值, 顺时针包围; 若z<p, N为负值, 逆时针包围。
si,i1,2,..z. F(s)的零点 pi,i1,2,..p. F(s)的极点
一、柯西定理（围线映射）定理
辐角原理： F (s)1G (s)H (s)
（1）除奇点外（使F(s)为不定值的解），F(s)是s的单值函数。 当s在根平面上的变化轨迹为一封闭曲线C时，在F(s)平面上也有 一封闭曲线C’与之对应。 即当s连续取封闭曲线上数值时，F(s) 也将沿着另一曲线连续变化，把c’称作c的围线映射。它们分
G(s) G闭(s)1G(s)H(s)
设有z个零点，p个极点。
设 G(s)H(s)N0 , 1G(s)H(s)D0N0 F(s)
D0
D0
F(s)的极点是开环传递函数的极点；
控制系统频域分析
c •
K g 0 系统不稳定
在Bode图上可测取相角裕度和幅值裕度
L() dB
1
kg
20 lg h
20 lg
| Gk ( jg ) |
0dB
c
kg rad / s
20 lg | Gk ( jg ) |
F( )
00
-1800
g
rad / s
MATLAB中用来求系统幅值裕度和相位裕度的函数为 margin( )，它的调用格式有以下几种：
1
| Gk ( jg ) |
例：已知系统开环传递函数为：
Gk
s
ss
5
10.1s
1
试绘制系统Bode图并求系统相角裕量和幅值裕量。
num=[5]; den=conv (conv ([1 0],[1 1]), [0.1 1]); sys=tf (num, den); margin (sys) [Gm,Pm,Wg,Wc]=margin (sys)
系统的频域性能指标为：
Gm =2.2000；Pm =13.5709；Wg =3.1623；Wc = 2.1020
即：系统的剪切频率ωc=2.1020rad/s；相位裕度 =13.5709°，
相位穿越频率ωg=3.1623rad/s； 幅值裕量kg=20*log10(2.2)=6.8485dB。
一、极坐标图（Nyquist图） 当ω：0→∞变化时，G(jω)的端点在复平面上的运动轨迹。
注意：极坐标图中ω是隐含变量。在作图时要注明ω= 0， 和ω→∞的位置及运动轨迹的方向。
MATLAB中用来绘制连续系统极坐标图的指令为 nyquist( )，其调用格式为：
nyquist (sys)——sys为由tf、zpk建立起来的控制系统数 学模型。此时绘制出来的极坐标图的默认角频率w是从 -∞~ +∞。这点与自动控制原理略有不同。
控制系统的时间频域分析与控制方法
控制系统的时间频域分析与控制方法时间频域分析是控制系统中一种常用的方法，用于研究系统的动态响应和控制方式。
通过对系统输入输出信号的时域响应进行频谱分析，我们可以了解系统的频率特性，从而选择合适的控制策略。
本文将介绍控制系统的时间频域分析方法及相应的控制方法。
一、频率响应函数频率响应函数是描述控制系统在各个频率下的响应的函数。
它是输入信号和输出信号的频谱之比。
频率响应函数可以通过系统的传递函数来表示，也可以通过实验测量得到。
常用的频率响应函数包括幅频特性和相频特性。
1. 幅频特性幅频特性是指系统在不同频率下的幅值响应。
通过绘制系统的幅频特性曲线，我们可以直观地了解系统对不同频率信号的放大或衰减程度。
常用的表示幅频特性的方法有Bode图和封闭轨迹图。
2. 相频特性相频特性是指系统在不同频率下的相位响应。
相位响应描述了系统对输入信号的相位偏差。
通过绘制系统的相频特性曲线，我们可以了解系统对不同频率信号的相位变化情况。
相频特性对于稳定性分析和相位补偿很重要。
二、频域分析方法频域分析是利用傅里叶变换原理将信号从时域转换到频域的过程。
在控制系统中，频域分析方法可以帮助我们分析系统的频率特性和稳定性。
1. 傅里叶变换傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的数学变换方法。
通过傅里叶变换，我们可以得到信号的频谱信息，包括频率和幅值。
2. 快速傅里叶变换快速傅里叶变换是对离散信号进行傅里叶变换的高效算法。
在频域分析中，使用快速傅里叶变换可以快速得到信号的频谱信息，进而进行频率特性分析。
三、频域控制方法频域控制是一种基于频率响应函数的控制方法，通过操作系统的频率响应函数，实现对系统性能的改善。
1. 根轨迹设计法根轨迹设计法是一种通过改变系统的开环传递函数来改进系统动态性能的方法。
通过绘制系统的根轨迹，我们可以分析系统的稳定性、响应速度和稳态误差。
根轨迹设计法可以用来进行系统参数的调整和控制器的设计。
2. Bode图设计法Bode图设计法是一种根据系统的幅频特性和相频特性进行控制器设计的方法。
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nyquist(G1,'r-',G2,'gx',…) [re,im,w] = nyquist(sys) [re,im] = nyquist(sys,w)
14.1.4 MATLAB频域分析实例 例1：系统的开环传递函数为
1000( s 1) Gk ( s) 2 s( s 2)( s 17 s 4000)
nyquist(sys) nyquist(sys,w)
绘制系统Nyquist图。系统自动选取频率范围 绘制系统Nyquist图。由用户指定选取频率范围 同时绘制多系统Nyquist图。图形属性参数可选 返回系统Nyquist图相应的实部、虚部和频率向量。 返回系统Nyquist图与指定w相应的实部、虚部。
title('系统Bode图'); xlabel('Frequency(rad/sec)'); ylabel('Gain dB'); subplot(2,1,2); semilogx(w,phase); %绘制对数 相频特性图 grid; xlabel('Frequency(rad/sec)'); ylabel('Phase deg');
2
绘制系统的Bode图。
num=5; den=conv([1 2],[1 2 1]); w=logspace(-2,3,100); %指定频率范围 [mag,phase,w]=bode(num,den,w); magdB=20*log10(mag); %进行幅值的单位转换 subplot(2,1,1); semilogx(w,magdB); %绘制对数幅频特性图 grid;
Magnitude (dB) Phase (deg)
-30 -40 -50 -60 -45 -90 -135 -180 -225 -270 10
0
10
1
10
2
Frequency (rad/sec)
图14.2
例1系统的Bode图(指定频率范围)
例2：系统的开环传递函数为
Gk ( s)
பைடு நூலகம்
5 ( s 2)( s 2s 1)
系 统 Bode图 100
Gain dB
0
-100
-200 -2 10
10
-1
10 10 Frequency(rad/sec)
0
1
10
2
10
3
0
Phase deg
-100
-200
-300 -2 10
10
-1
10 10 Frequency(rad/sec)
0
1
10
2
10
绘制系统的Bode图。
>> s=tf('s'); >> G=1000*(s+1)/(s*(s+2)*(s^2+17*s+4000))
Transfer function: 1000 s + 1000 -------------------------------s^4 + 19 s^3 + 4034 s^2 + 8000 s >> bode(G) >> grid
14.1.2 频率特性的不同表示方法
1. 对数坐标图
对数坐标图即Bode图，由对数幅频 特性和对数相频特性曲线2张图组成。
对数幅频特性幅度的对数值
L( ) 20lg A( )(dB)
与频率 的关系曲线；对数相频特性是 频率特性的相角 ( )与频率 的关系曲 线。对数幅频特性的纵轴为
14.1
控制系统的频域分析
14.1.1 频率特性概述 频域法是一种工程上广为采用的分析和 综合系统的间接方法。它是一种图解分 析法，所依据的是频率特性数学模型， 对系统性能如稳定性、快速性和准确性 进行分析。频域法因弥补了时域法的不 足、使用方便、适用范围广且数学模型 容易获得而得到了广泛的应用。
G ( j ) 函数，当频率从 0 连续变化时， 端点的极坐标轨迹。MATLAB在绘制
极坐标图即Nyquist曲线。系统的频 率特性表示为：
G( j) A()e
j ( )
Nyquist曲线时频率是从 连续变 化的。而在自动控制原理的教材中一般 只绘制频率从 0 部分曲线。可以分 析得出，曲线在范围 0 与 0 内， 是以横轴为镜像的。
14.1.3 MATLAB频域分析的相关函数
表14.1频域分析的相关函数用法及功能说明
bode(G) bode(G,w)
bode(G1,'r-',G2,'gx',…) [mag,phase,w] = bode(G) [mag,phase] = bode(G,w)
绘制系统Bode图。系统自动选取频率范围 绘制系统Bode图。由用户指定选取频率范 围 同时绘制多系统Bode图。图形属性参数可 选 返回系统Bode图相应的幅值、相位和频率 向量。可使用magdb = 20*log10(mag) 将幅值转换为分贝值 返回系统Bode图与指定w相应的幅值、相 位。可使用magdb = 20*log10(mag)将 幅值转换为分贝值
L( ) 20lg A( )(dB)
采用线性分度；横坐标为角频率 ， 采用对数分度。对数相频特性的纵轴 为 ( )，单位为度，采用线性分度；横坐 标为角频率 ，也采用对数分度。横坐 标采用对数分度，扩展了其表示的频率 范围。
2. 极坐标图
p() jq() 频率特性 G( j ) 是输入信号频率 的复变
主要内容
14.1
控制系统的频域分析
频率特性概述 频率特性的不同表示方法 MATLAB频域分析的相关函数 MATLAB频域分析实例
14.1.1 14.1.2 14.1.3 14.1.4
14.2
基于频域法的控制系统稳定性能析
14.2.1 频域法的稳定性判定和稳定裕度概述 14.2.2 频域法的控制系统稳定判定相关函数 14.2.3 MATLAB频域法稳定性判定实例
Bode Diagram 50
Magnitude (dB) Phase (deg)
0
-50
-100
-150 -45 -90 -135 -180 -225 -270 10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
Frequency (rad/sec)
图14.1 例1系统Bode图
Bode Diagram -10 -20