4自动控制系统的频域分析(第一部分)解析
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自动控制原理第5章频域分析法
确定方法
通过分析频率响应函数的极点和零点分布，以及系统的相位和幅值 特性，利用稳定性判据判断系统在不同频率下的稳定性。
注意事项
稳定性判据的选择应根据具体系统的特性和要求而定，同时应注意 不同判据之间的适用范围和限制条件。
04
频域分析法的应用实例
04
频域分析法的应用实例
控制系统性能分析
稳定性分析
极坐标或对数坐标表示。
绘制方法
通过频率响应函数的数值计算，将 结果绘制成曲线图，以便直观地了 解系统在不同频率下的性能表现。
注意事项
绘制曲线时应选择合适的坐标轴比 例和范围，以便更好地展示系统的 性能特点。
频率特性曲线的绘制
定义
频率特性曲线是频率响应函数在 不同频率下的表现形式，通常以
极坐标或对数坐标表示。
稳定裕度。
动态性能分析
02
研究系统在不同频率下的响应，分析系统的动态性能，如超调
和调节时间等。
静态误差分析
03
分析系统在稳态下的误差，确定系统的静态误差系数，评估系
统的静态性能。
系统优化设计
参数优化
通过调整系统参数，优化 系统的频率响应，提高系 统的性能指标。
结构优化
根据系统频率响应的特点， 对系统结构进行优化，改 善系统的整体性能。
05
总结与展望
05
总结与展望
频域分析法的优缺点
02
01
03
优点
频域分析法能够直观地揭示系统的频率特性，帮助理 解系统的稳定性和性能。
通过频率响应曲线，可以方便地比较不同系统或同一 系统不同参数下的性能。
频域分析法的优缺点
02
01
03
优点
频域分析法能够直观地揭示系统的频率特性，帮助理 解系统的稳定性和性能。
通过分析频率响应函数的极点和零点分布，以及系统的相位和幅值 特性，利用稳定性判据判断系统在不同频率下的稳定性。
注意事项
稳定性判据的选择应根据具体系统的特性和要求而定，同时应注意 不同判据之间的适用范围和限制条件。
04
频域分析法的应用实例
04
频域分析法的应用实例
控制系统性能分析
稳定性分析
极坐标或对数坐标表示。
绘制方法
通过频率响应函数的数值计算，将 结果绘制成曲线图，以便直观地了 解系统在不同频率下的性能表现。
注意事项
绘制曲线时应选择合适的坐标轴比 例和范围，以便更好地展示系统的 性能特点。
频率特性曲线的绘制
定义
频率特性曲线是频率响应函数在 不同频率下的表现形式，通常以
极坐标或对数坐标表示。
稳定裕度。
动态性能分析
02
研究系统在不同频率下的响应，分析系统的动态性能，如超调
和调节时间等。
静态误差分析
03
分析系统在稳态下的误差，确定系统的静态误差系数，评估系
统的静态性能。
系统优化设计
参数优化
通过调整系统参数，优化 系统的频率响应，提高系 统的性能指标。
结构优化
根据系统频率响应的特点， 对系统结构进行优化，改 善系统的整体性能。
05
总结与展望
05
总结与展望
频域分析法的优缺点
02
01
03
优点
频域分析法能够直观地揭示系统的频率特性，帮助理 解系统的稳定性和性能。
通过频率响应曲线，可以方便地比较不同系统或同一 系统不同参数下的性能。
频域分析法的优缺点
02
01
03
优点
频域分析法能够直观地揭示系统的频率特性，帮助理 解系统的稳定性和性能。
自动控制理论第四章
若用一个复数G（jω）来表示，则有 指数表示法: G（jω）=∣G（jω）∣· j∠G（jω）=A（ω）· j e e 幅角表示法: G（jω）=A(ω)∠ (ω) G（jω）就是频率特性通用的表示形式，是ω的函数。 当ω是一个特定的值时，可以在复平面上用一个 向量去表示 G （ jω）。向量的长度为 A(ω)，向量与 正实轴之间的夹角为 (ω)，并规定逆时针方向为正， 即相角超前；规定顺时针方向为负，即相角滞后。 可由图4.3表示。
对输出求拉氏反变换可得
c(t ) ( K1e
p1t
K 2e
p2t
Kne
pn t
) (K c e
jt
K c e )
jt
系统的输出分为两部分，第一部分为指数瞬态分量， 对应特征根为单根时的响应；第二部分为稳态分量， 它取决于输入信号的形式。对于一个稳定系统，系统 所有的特征根的实部均为负，瞬态分量必将随时间趋 于无穷大而衰减到零。因此，系统响应正弦信号的稳 态分量为：
r（t）
sint 线 性 定 Asin（ωt+）
Css（t） t
常系统
图4-2，线性系统及频率响应示意图
4.1.2频率特性
一、基本概念 对系统的频率响应作进一步的分析，由于输入输出 的幅值比A与相位差 只与系统的结构、参数及输入正 弦信号的频率ω有关。在系统结构、参数给定的前提下， 幅值比 A与相位差 仅是ω的函数，可以分别表示为A （ω）与（ω）。 若输入信号的频率ω在0→∞的范围内连续变化，则 系统输出与输入信号的幅值比与相位差将随输入频率的 变化而变化，反映出系统在不同频率输入信号下的不同 性能，这种变化规律可以在频域内全面描述系统的性能。
控制系统频域分析
控制系统频域分析控制系统频域分析是对控制系统的频率特性进行研究和评估的方法。
它通过在频域上分析信号的幅值和相位响应，帮助我们了解系统的稳定性、性能以及对不同频率输入的响应。
一、引言控制系统在现代工程中起着至关重要的作用。
通过对系统的频域特性进行分析，我们可以更好地理解和优化控制系统的性能。
二、频域分析的基本概念1. 频率响应控制系统的频率响应描述了系统对不同频率输入信号的响应能力。
通过频率响应，我们可以了解系统在不同频率下的增益和相位特性。
2. 幅频特性幅频特性是指系统输出信号的幅度与输入信号的频率之间的关系。
通常用幅度曲线图来表示，可以帮助分析系统的放大或衰减程度。
3. 相频特性相频特性描述了系统输出信号的相位与输入信号的频率之间的关系。
相位曲线图可以帮助评估系统的相位延迟或提前程度。
三、常见的频域分析方法1. 频率响应函数频率响应函数是一个复数函数，可以描述系统的幅频和相频特性。
常见的频率响应函数包括传递函数和振荡函数等。
2. Bode图Bode图是一种常用的频域分析工具，可以将系统的幅频和相频特性直观地表示出来。
它以频率为横轴，幅度或相位为纵轴，通过线性坐标或对数坐标来绘制。
3. Nyquist图Nyquist图是一种使用复平面来表示频率响应的图形。
它可以帮助我们判断系统的稳定性，并评估系统的相位边界和幅度边界。
四、频域分析的应用频域分析在控制系统设计和优化中有着广泛的应用。
以下是几个常见的应用领域：1. 系统稳定性分析通过频域分析，我们可以判断系统是否稳定，以及如何设计控制器来维持或改善系统的稳定性。
2. 性能评估频域分析可以帮助我们评估系统的性能，比如响应时间、超调量等。
通过调整系统的频率响应，我们可以提高系统的性能。
3. 滤波器设计频域分析在滤波器设计中起着重要的作用。
通过分析系统的频率响应，我们可以设计出满足特定要求的滤波器。
4. 控制系统建模频域分析可以帮助我们建立控制系统的数学模型，从而更好地理解和优化系统的性能。
自动控制原理课件：线性系统的频域分析
曲线顺时针方向移动一周时，在 平面上的映射曲线按逆时针方向
包围坐标原点 − 周。
m
F (s)
K1 ( s z j )
j 1
n
i 1
( s pi )
24
• 02
基本概念
m
1 G ( s) H ( s) F ( s)
K1 ( s z j )
j 1
在 平面上的映射曲线 F 1 G ( j ) H ( j )将按逆时针方向
围绕坐标原点旋转 = − 周。
如果在s平面上，s沿着奈奎斯特回线顺时针方向移动一周时，
在 平面上的映射曲线围绕坐标原点按逆时针方向旋转 =
周，则系统为稳定的。
26
根据
( 1, j 0)
L( ) 20 lg K 20 lg 1 12 2 20 lg 1 22 2
( ) arctg 1 arctg 2
τ2
20dB / dec 1
2
L3 ( )
L2 ( )
40dB / dec
( )
0
L( )
90
A( ) 1, ( )
L ( ) 20 lg A( ) 0
L( )
jQ( )
L( ) 0
0
( )
1
0
1
P( )
1
0
30
60
16
5.3
系统开环频率特性图
设开环系统由n个典型环节串联组成
G(s ) G 1(s )G 2(s ) G n(s )
这意味着 的映射曲线 F 围绕原点运动的情况，相当于
包围坐标原点 − 周。
m
F (s)
K1 ( s z j )
j 1
n
i 1
( s pi )
24
• 02
基本概念
m
1 G ( s) H ( s) F ( s)
K1 ( s z j )
j 1
在 平面上的映射曲线 F 1 G ( j ) H ( j )将按逆时针方向
围绕坐标原点旋转 = − 周。
如果在s平面上，s沿着奈奎斯特回线顺时针方向移动一周时，
在 平面上的映射曲线围绕坐标原点按逆时针方向旋转 =
周，则系统为稳定的。
26
根据
( 1, j 0)
L( ) 20 lg K 20 lg 1 12 2 20 lg 1 22 2
( ) arctg 1 arctg 2
τ2
20dB / dec 1
2
L3 ( )
L2 ( )
40dB / dec
( )
0
L( )
90
A( ) 1, ( )
L ( ) 20 lg A( ) 0
L( )
jQ( )
L( ) 0
0
( )
1
0
1
P( )
1
0
30
60
16
5.3
系统开环频率特性图
设开环系统由n个典型环节串联组成
G(s ) G 1(s )G 2(s ) G n(s )
这意味着 的映射曲线 F 围绕原点运动的情况，相当于
控制系统的频域分析法
频率特性又称频率响应，是系统（或元件）对不同频率正弦输入信号的响 应特性。
若在如图5.1 所示的线性系统结构的输入端加上图5.2（a）的正弦信号，
设该正弦信号为
r(t) Asint
则其输出响应为
c(t) MAsin(t )
即振幅增加了M倍，相位超前（滞后）了 角。响应曲线如图5.2（b）所
示。
图5.1 系统的结构图
第五章 控制系统的频域分析法
5.1 频率特性的概念
5.1.1 频率特性的基本概念
对于线性定常系统，也可定义系统的稳态输出量与输入量的幅值
之比为幅频特性：定义输出量与输入量的相位差为相频特性。即
幅值频率特性：
A() | G( j) |
相位频率特性：
() G( j)
将幅值频率特性和相位频率特性两者写在一起，可得频率特性或
令s j ，则频率特性为
G(s) 1 Ts 1
G( j) 1 1 j T jT 1 1 (T )2 1 (T )2
幅值频率特性为
A() | G( j) | 1 1 (T )2
相位频率特性为
() G( j) arctanT
第五章 控制系统的频域分析法
5.1 频率特性的概念
5.1.3 频率特性的性质
由此可以看出，振荡环节的频率特性，不仅与 有关，而且还与阻尼比
有关。同惯性环节一样，振荡环节的对数幅频特性也可采用近似的方法绘 制。同样，振荡环节的对数相频特性曲线也可采用近似的作图方法。
第五章 控制系统的频域分析法
5.2 典型环节的伯德图
5.2.6 振荡环节
不同参考值时振荡环节的伯德图如图5.16所示。
幅相频率特性为:
G( j) A()e j() | G( j) |ge jG( j)
控制系统的频域分析法解析
l 只要将F(jω)曲线向负实轴方向平行移动1个单位，即是 G(jω)H(jω)曲线。
l F(jω)曲线对原点的包围情况与G(jω)H(jω)曲线对于 (-l，j0)点的包围情况完全相当。
二、奈魁斯特稳定判据 2、奈魁斯特轨迹 （2）沿jω轴路径：
奈魁斯特轨迹在G(jω)H(jω)平面上的映射关系： 当奈魁斯特轨迹顺时针包围F(s)的z个零点和P个极点时，
一、柯西定理（围线映射）定理
（3）如果C以顺时针方向包围F(s)的一个零点， C’将以顺时针方向包围原点一次。 如果C以顺时针方向包围F(s)的一个极点， C’将以逆时针方向包围原点一次。
[s] C
C’
[F(s)]
[s] C
[F(s)] C’
一、柯西定理（围线映射）定理
（4）如果围线C以顺时针方向包围F(s)的z个零点和p个极点， 则围线映射C’将以顺时针方向包围F(s)原点N次，N=z-p。 若z>p, N为正值, 顺时针包围; 若z<p, N为负值, 逆时针包围。
si,i1,2,..z. F(s)的零点 pi,i1,2,..p. F(s)的极点
一、柯西定理（围线映射）定理
辐角原理： F (s)1G (s)H (s)
（1）除奇点外（使F(s)为不定值的解），F(s)是s的单值函数。 当s在根平面上的变化轨迹为一封闭曲线C时，在F(s)平面上也有 一封闭曲线C’与之对应。 即当s连续取封闭曲线上数值时，F(s) 也将沿着另一曲线连续变化，把c’称作c的围线映射。它们分
G(s) G闭(s)1G(s)H(s)
设有z个零点，p个极点。
设 G(s)H(s)N0 , 1G(s)H(s)D0N0 F(s)
D0
D0
F(s)的极点是开环传递函数的极点；
l F(jω)曲线对原点的包围情况与G(jω)H(jω)曲线对于 (-l，j0)点的包围情况完全相当。
二、奈魁斯特稳定判据 2、奈魁斯特轨迹 （2）沿jω轴路径：
奈魁斯特轨迹在G(jω)H(jω)平面上的映射关系： 当奈魁斯特轨迹顺时针包围F(s)的z个零点和P个极点时，
一、柯西定理（围线映射）定理
（3）如果C以顺时针方向包围F(s)的一个零点， C’将以顺时针方向包围原点一次。 如果C以顺时针方向包围F(s)的一个极点， C’将以逆时针方向包围原点一次。
[s] C
C’
[F(s)]
[s] C
[F(s)] C’
一、柯西定理（围线映射）定理
（4）如果围线C以顺时针方向包围F(s)的z个零点和p个极点， 则围线映射C’将以顺时针方向包围F(s)原点N次，N=z-p。 若z>p, N为正值, 顺时针包围; 若z<p, N为负值, 逆时针包围。
si,i1,2,..z. F(s)的零点 pi,i1,2,..p. F(s)的极点
一、柯西定理（围线映射）定理
辐角原理： F (s)1G (s)H (s)
（1）除奇点外（使F(s)为不定值的解），F(s)是s的单值函数。 当s在根平面上的变化轨迹为一封闭曲线C时，在F(s)平面上也有 一封闭曲线C’与之对应。 即当s连续取封闭曲线上数值时，F(s) 也将沿着另一曲线连续变化，把c’称作c的围线映射。它们分
G(s) G闭(s)1G(s)H(s)
设有z个零点，p个极点。
设 G(s)H(s)N0 , 1G(s)H(s)D0N0 F(s)
D0
D0
F(s)的极点是开环传递函数的极点；
4频域分析法详解
1
1
一倍频程：频率每变化1倍，即 2 2 ，则在横坐标上的长度均为0.301个单位，叫一倍频程， 1 以“oct”表示。
4.1 频率特性的基本概念(6)
在对数相频特性图中，横坐标同样以频率ω进行对数分度（同样有“十倍频程”和
“一倍频程”两种方式），纵坐标以φ(ω)进行线性分度（以“度”为标注单位）。
伯德图优点
由于频率坐标按照对数分度，故可以有限的纸张空间表示很宽的频率范围。 由于幅值采用“分贝”为单位，故可以简化乘除运算为加减运算，同时使得对数幅频特性的斜
4 频域分析法
控制理论的基本任务是分析控制系统的稳定性、准确性和快速性。前面介绍的时域瞬态 响应法是分析控制系统的直接方法，比较直观。但是对于高阶系统，如果不借助计算机， 分析起来就非常繁琐。 在工程上发展了其他一些分析控制系统的方法，如频率法和根轨迹法。其中频率法是工
程上广泛采用的分析和综合系统的方法，也是我们本章重点研究的内容。
在实际应用中，常以10为底的常用对数来表示对数幅频特性，记作L(ω)（单位：分 贝），并令
L 20 lg G j 。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
在对数幅频特性图中，横坐标以频率 ω进行对数分度（标注时只标ω值，有“十倍频程”
和“一倍频程”两种方式），纵坐标以L(ω)进行线性分度（以“分贝”为标注单位）。
十倍频程：在横坐标上取两点满足 2 10，则两点距离为 lg 2 1 ，即频率每变化10倍，在横 坐标上长度均为1个单位，即十倍频程，以“dec”表示。
频率分析法的优点
在频率域内分析系统的方法不需求解系统特征方程的根便可判断系统是否稳定及其稳定裕度等 一系列特性，大大简化了运算，能准确而有效地回答控制系统的稳、准、快问题；
1
一倍频程：频率每变化1倍，即 2 2 ，则在横坐标上的长度均为0.301个单位，叫一倍频程， 1 以“oct”表示。
4.1 频率特性的基本概念(6)
在对数相频特性图中，横坐标同样以频率ω进行对数分度（同样有“十倍频程”和
“一倍频程”两种方式），纵坐标以φ(ω)进行线性分度（以“度”为标注单位）。
伯德图优点
由于频率坐标按照对数分度，故可以有限的纸张空间表示很宽的频率范围。 由于幅值采用“分贝”为单位，故可以简化乘除运算为加减运算，同时使得对数幅频特性的斜
4 频域分析法
控制理论的基本任务是分析控制系统的稳定性、准确性和快速性。前面介绍的时域瞬态 响应法是分析控制系统的直接方法，比较直观。但是对于高阶系统，如果不借助计算机， 分析起来就非常繁琐。 在工程上发展了其他一些分析控制系统的方法，如频率法和根轨迹法。其中频率法是工
程上广泛采用的分析和综合系统的方法，也是我们本章重点研究的内容。
在实际应用中，常以10为底的常用对数来表示对数幅频特性，记作L(ω)（单位：分 贝），并令
L 20 lg G j 。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
在对数幅频特性图中，横坐标以频率 ω进行对数分度（标注时只标ω值，有“十倍频程”
和“一倍频程”两种方式），纵坐标以L(ω)进行线性分度（以“分贝”为标注单位）。
十倍频程：在横坐标上取两点满足 2 10，则两点距离为 lg 2 1 ，即频率每变化10倍，在横 坐标上长度均为1个单位，即十倍频程，以“dec”表示。
频率分析法的优点
在频率域内分析系统的方法不需求解系统特征方程的根便可判断系统是否稳定及其稳定裕度等 一系列特性，大大简化了运算，能准确而有效地回答控制系统的稳、准、快问题；
控制工程基础---第4章--频域分析法1
☎ 4.1.3 频率特性的图示方法
V( )
系统的频率特性可分解为实部 和虚部，即
直角坐标形式： G( j) U () jV ()
极坐标形式： G( j ) A( )e j ()
O
式中：极直U坐角(标坐形标) _式形_：式__：实频GG特(( jj性))； UA(())ej
对数频率特性又称为博德图。
☆半对数坐标图（纸）
对数幅频特性：
L( ) 其中： L( ) 20 lg A( ) (dB )
对数相频特性：
( )
（3）对数幅相频率特性（尼科尔斯图 Nichols）。
在所需要的频率范围内，以频率作为参数 来表示的对数幅值和相角关系的图。
据“根符据号“符法号”法 ” ‘( ‘(电电路路’’中中有有介介绍绍
)：)X：iXm im
Xim Xe ji0m0 e
j00
X
Xom
om
A(A).(X
im).eXj
(
im
)e
j
此时 定此义时定“ 义系x“i统(系t)稳统态稳X态输im 输si nt 出出与与输输入入信信号号的复的数复比数比 ”为：为：
(t)
U 1
im T T 2
2
t
eT
U im sin( t arctan T ) ( 4 .3) 1 T 2 2
uo(t) 的稳态uo解 (t)
Uim sin(tarctTan) 1T22
Ui
Uimej0
， U o
Uim 1T2
其 中 ： 这(xj就Ao这(((t是))j就) 系－是)A 统幅系XX(频 统的XXoi特)的mm“X oimm性“频i；m 频s率率AAi特特((n tXX[)) ..根i XmiXm据 此ei(m“e 时i jme0符性 定j0)e0号 性j义”0(法 ]“(jj”” 系)( )统 稳) 态‘XXA(输oi电m(m路A’)(.Ae中 (有 出jX))介 与.(.iXm绍 e输e)i其m 入jje00信)j中：(X号(Xo的)m)im复
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1 G( j ) 2 T ( j )2 2 T ( j ) 1
4 控制系统的频域分析
4.3.2一般系统伯德图的作图方法
1)将传递函数化为典型环节的组成形式； 2)令s＝jω，求出G（jω）； 3)找出各环节的转角频率，作各环节幅值渐近线； 4)利用误差修正线修正渐近线，得到精确曲线；
4 控制系统的频域分析
通常采用以下三种形式来表示系统的频率特性： 1)幅相频率特性：是在极坐标系上表示幅值比 和相位差，也称为乃魁斯特(Nyquist)图或极 坐标图； 2)对数频率特性图：是在半对数坐标系上表示 的幅频特性图和相频特性图，也称为伯德 (Bode)图； 3)对数幅相频率特性图：是在对数坐标系中表 示幅值比和相位差之间的关系，也称为尼柯尔 斯(Nichois)图。
Ⅰ型系统
K1 ( 1 j 1)( 2 j 1) G( j ) j (T1 j 1)(T2 j 1)
4 控制系统的频域分析
Ⅱ型系统
K1 ( 1 j 1)( 2 j 1) G( j ) ( j ) 2 (T1 j 1)(T2 j 1)
实际中有很多系统的物理模型很难抽象的很 准确，其传递函数很难用纯数学分析的方法求 出。对于这样的系统，可以通过实验测出系统 的频率特性曲线，进而根据该曲线求出系统的 传递函数。
0型系统
K 0 ( 1 j 1)( 2 j 1) G( j ) (T1 j 1)(T2 j 1)
t g (nt )[cos( nt ) j sin(nt )] Re( ) j Im( )
n 0
N 1
G ( j ) Re 2 ( ) Im 2 ( )
G( j ) atc tan
Im( ) Re( )
4 控制系统的频域分析
4.5由频率特性曲线求系统传递函数
这里n和m分别表示传递函数分母、分子的最高次数。 时，相角不等于 非最小相位系统在 -90°(nm)。因此检查控制系统在 时的相角是否等 于-90°(n-m)便可以判断系统是否为最小相位系统。
4 控制系统的频域分析
4.4由单位脉冲响应求系统的频率特性
已知单位脉冲函数的拉氏变换为： L[ (t )] 1 其象函数不包含s，故单位脉冲函数的傅氏 变换也为1，即： F[ (t )] 1 这说明单位脉冲函数隐含着幅值相等的各种 频率。如果对系统输入一个单位脉冲，则相当 于用等单位强度的所有频率去激发系统。
4 控制系统的频域分析
例：某最小相位系统的近似对数幅频特性曲线 图如下，试确定系统的开环传递函数。
某系统开环传递 函数如右所示， 试绘制其伯德简 图。 某最小相位系统 伯德图如右所示， 试写出系统开环 传递函数表达式。
24(0.25s 0.5) G( s) j (5s 2)(0.05s 2)[(s) 2 ( s) 2]
4 控制系统的频域分析
在实际应用中，经常采用以10为底的对数 表示幅频特性，其对数幅频特性表示为：
L() 20lg G( j)
L(ω)采用的单位为分贝（db)。
N1 1 ，则称 若N1和N2之间满足20 lg N2
N1比N2大，两者相差1db。
4 控制系统的频域分析
对数频率特性图是画在半对数坐标轴上
4 控制系统的频域分析
4 控制系统的频域分析
4.1频率特性概述
定义：频率特性指控制系统或元件在正
弦输入信号作用下的稳态响应，即系统
或元件在正弦信号作用下的稳态响应的
振幅、相位与作用频率之间的依赖关系。
4 控制系统的频域分析
对于线性定常系统，当系统的输入为正 弦信号时，经过足够长的时间后，系统 运动到达稳定状态，则系统的输出为何
4 控制系统的频域分析
设最小相位系统和非最小相位系统的传递函数 分别为：
1 T2 s G1 ( s) 1 T1 s
1 T2 s G2 ( s) 1 T1s
式中 T1 T2 0
4 控制系统的频域分析
显然，这两个系统的对数幅频特性完全 相同，而相频特性却不完全相同。最小 相位系统的相角变化范围很小，而非最 小相位系统的相角随ω的增加从0变化到 趋于-180°。
4 控制系统的频域分析
2)积分环节
1 G (s) s
4 控制系统的频域分析
3)微分环节
G ( s) s
4 控制系统的频域分析
4)惯性环节
1 G(s) Ts 1
4 控制系统的频域分析
5)一阶微分环节
G(s) Ts 1
4 控制系统的频域分析
6)二阶振荡环节
1 G( s) (TS )2 2Ts 1
4 控制系统的频域分析
4.2幅相频率特性图 频率特性是个矢量，给出不同的频率ω值， 就可以计算出相应的幅值和相角，在复平 面上画出ω值由0上升为∞时的频率特性 G(jω)矢量，把各矢量的端点连成曲线， 即为幅相频率特性图（乃氏图）。
4 控制系统的频域分析
4.2.1典型环节的乃氏图 1)比例环节
G( s) k
4 控制系统的频域分析
4.3对数频率特性图（伯德图） 对任意环节的频率特性，取对数后得：
j ( ) ln G ( j ) ln G ( j ) e ln G ( j ) j ( )
其中：实部为描述幅频特性的对数与ω之间的 关系，称为对数幅频特性；虚部是幅角随ω的 变换关系，称为对数相频特性。对数频率特 性图是由对数幅频特性和对数相频特性两条 曲线所组成的。
4 控制系统的频域分析
7)延时环节
G( s ) e
Ts
4 控制系统的频域分析
绘制幅相频率特性图，可以用来讨论和 研究系统的动态特性，当绘制时必须算 出不同频率下的幅值和相角或者不同频 率下的实部和虚部，若是几个环节串联 的系统，则必须采用模数相乘，相角相 加的方法来计算总的幅值和相角，计算 量较大。
G( j ) g (t )e jt dt
0
4 控制系统的频域分析
对于渐进稳定的系统，系统的单位脉冲响应随 时间的增长逐渐趋于零，因此利用计算机采集 足够多的点并用多点求和的方法可近似得出系 统的频率特性，即：
N 1 n 0 jnt
G( j ) t g (nt )e
4 控制系统的频域分析
频率特性是以输出量和输入量随频率变化的幅 值比和相位差来表达的。幅值比和相位差都是 输入信号的函数，如果让频率ω从零变化到无 穷大，将其某个环节或系统相应的频率特性计 算出来，并在相应的坐标系中绘制成曲线，从 而可以一目了然的看出幅值比和相位差随频率 的变化情况，这在频域分析系统时，具有直观 性。可以从这些曲线的某些特点判断系统的稳 定性、快速性和其它性能，从而对系统进行分 析和综合。
4 控制系统的频域分析
对于最小相位系统，其对数幅频特性和 相频特性具有一一对应的关系，即根据 系统的对数幅频特性，可以唯一的确定 系统的相频特性和传递函数，反之亦然。 而非最小相位系统就不存在这种关系。
4 控制系统的频域分析
最小相位系统的判断 在 时，最小相位系统的相角为-90°(n-m)，
4 控制系统的频域分析
2)和均匀分度相比，这种按对数分度，便于在较
宽的频率范围内研究频率特性； 3)幅值的乘法运算转化为加法运算。
4 控制系统的频域分析
4.3.1典型环节的伯德图 1)比例环节
G ( j ) k
4 控制系统的频域分析
2)积分环节
1 G ( j ) j
4 控制系统的频域分析
L(ω)/dB
-40 40 -20 40 0 20
0 -40
11.4
2
57Biblioteka 1525ω
对于二重积分
G ( j )
1 ( j )
2
4 控制系统的频域分析
3)微分环节
G( j ) j
4 控制系统的频域分析
4)一阶惯性环节
1 G ( j ) jT 1
4 控制系统的频域分析
5)一阶微分环节
G( j) 1 j
4 控制系统的频域分析
6)二阶振荡环节
的。所谓半对数坐标系，指它的横坐标
采用对数分度，标注时只标注频率ω值，
而纵坐标表示幅值或相角。
4 控制系统的频域分析
这种坐标的特点：
1)若在横坐标上取两点，满足 1 / 2 10，则两点 之间的距离为 lg(1 / 2 ) 1 ,也就是频率变换10倍， 在横坐标上的线性刻度为一个单位。在横坐标上刻 度为一个单位叫做一个“十倍频程”（dec)，若频 率变化一倍，则 lg(1 / 2 ) 0.301 ，表示频率每变 化一个倍频程，横轴上距离为0.301个单位；
种形式？
4 控制系统的频域分析
当线性定常系统的输入为正弦信号时，输出 亦为正弦信号，但输出的幅值和相位都和输 入的不同，并且都是输入频率的函数。 当 0 时，相应的求出 G( ) 和G( ) ， 就可以在频率域内对系统进行描述，即系统 的频率特性。
这里： G( ) 称为幅频特性； G( ) 称为相频特性。
4 控制系统的频域分析
频率特性函数的求取方法： 1）如果已知系统的微分方程，可将输入变量以正 弦函数代入，求系统的输出变量的稳态解，输出 变量的稳态解与输入正弦函数的复数比即为系统 的频率特性函数； 2)如果已知系统的传递函数，可将系统传递函数 中的s代之以jω，即得到系统的频率特性函数； 3)可以通过实验的手段求出。
4 控制系统的频域分析
当 xi (t ) (t )，X i ( j ) 1 ，则系统的传递函数等 于其输出象函数，即：
4 控制系统的频域分析
4.3.2一般系统伯德图的作图方法
1)将传递函数化为典型环节的组成形式； 2)令s＝jω，求出G（jω）； 3)找出各环节的转角频率，作各环节幅值渐近线； 4)利用误差修正线修正渐近线，得到精确曲线；
4 控制系统的频域分析
通常采用以下三种形式来表示系统的频率特性： 1)幅相频率特性：是在极坐标系上表示幅值比 和相位差，也称为乃魁斯特(Nyquist)图或极 坐标图； 2)对数频率特性图：是在半对数坐标系上表示 的幅频特性图和相频特性图，也称为伯德 (Bode)图； 3)对数幅相频率特性图：是在对数坐标系中表 示幅值比和相位差之间的关系，也称为尼柯尔 斯(Nichois)图。
Ⅰ型系统
K1 ( 1 j 1)( 2 j 1) G( j ) j (T1 j 1)(T2 j 1)
4 控制系统的频域分析
Ⅱ型系统
K1 ( 1 j 1)( 2 j 1) G( j ) ( j ) 2 (T1 j 1)(T2 j 1)
实际中有很多系统的物理模型很难抽象的很 准确，其传递函数很难用纯数学分析的方法求 出。对于这样的系统，可以通过实验测出系统 的频率特性曲线，进而根据该曲线求出系统的 传递函数。
0型系统
K 0 ( 1 j 1)( 2 j 1) G( j ) (T1 j 1)(T2 j 1)
t g (nt )[cos( nt ) j sin(nt )] Re( ) j Im( )
n 0
N 1
G ( j ) Re 2 ( ) Im 2 ( )
G( j ) atc tan
Im( ) Re( )
4 控制系统的频域分析
4.5由频率特性曲线求系统传递函数
这里n和m分别表示传递函数分母、分子的最高次数。 时，相角不等于 非最小相位系统在 -90°(nm)。因此检查控制系统在 时的相角是否等 于-90°(n-m)便可以判断系统是否为最小相位系统。
4 控制系统的频域分析
4.4由单位脉冲响应求系统的频率特性
已知单位脉冲函数的拉氏变换为： L[ (t )] 1 其象函数不包含s，故单位脉冲函数的傅氏 变换也为1，即： F[ (t )] 1 这说明单位脉冲函数隐含着幅值相等的各种 频率。如果对系统输入一个单位脉冲，则相当 于用等单位强度的所有频率去激发系统。
4 控制系统的频域分析
例：某最小相位系统的近似对数幅频特性曲线 图如下，试确定系统的开环传递函数。
某系统开环传递 函数如右所示， 试绘制其伯德简 图。 某最小相位系统 伯德图如右所示， 试写出系统开环 传递函数表达式。
24(0.25s 0.5) G( s) j (5s 2)(0.05s 2)[(s) 2 ( s) 2]
4 控制系统的频域分析
在实际应用中，经常采用以10为底的对数 表示幅频特性，其对数幅频特性表示为：
L() 20lg G( j)
L(ω)采用的单位为分贝（db)。
N1 1 ，则称 若N1和N2之间满足20 lg N2
N1比N2大，两者相差1db。
4 控制系统的频域分析
对数频率特性图是画在半对数坐标轴上
4 控制系统的频域分析
4 控制系统的频域分析
4.1频率特性概述
定义：频率特性指控制系统或元件在正
弦输入信号作用下的稳态响应，即系统
或元件在正弦信号作用下的稳态响应的
振幅、相位与作用频率之间的依赖关系。
4 控制系统的频域分析
对于线性定常系统，当系统的输入为正 弦信号时，经过足够长的时间后，系统 运动到达稳定状态，则系统的输出为何
4 控制系统的频域分析
设最小相位系统和非最小相位系统的传递函数 分别为：
1 T2 s G1 ( s) 1 T1 s
1 T2 s G2 ( s) 1 T1s
式中 T1 T2 0
4 控制系统的频域分析
显然，这两个系统的对数幅频特性完全 相同，而相频特性却不完全相同。最小 相位系统的相角变化范围很小，而非最 小相位系统的相角随ω的增加从0变化到 趋于-180°。
4 控制系统的频域分析
2)积分环节
1 G (s) s
4 控制系统的频域分析
3)微分环节
G ( s) s
4 控制系统的频域分析
4)惯性环节
1 G(s) Ts 1
4 控制系统的频域分析
5)一阶微分环节
G(s) Ts 1
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6)二阶振荡环节
1 G( s) (TS )2 2Ts 1
4 控制系统的频域分析
4.2幅相频率特性图 频率特性是个矢量，给出不同的频率ω值， 就可以计算出相应的幅值和相角，在复平 面上画出ω值由0上升为∞时的频率特性 G(jω)矢量，把各矢量的端点连成曲线， 即为幅相频率特性图（乃氏图）。
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4.2.1典型环节的乃氏图 1)比例环节
G( s) k
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4.3对数频率特性图（伯德图） 对任意环节的频率特性，取对数后得：
j ( ) ln G ( j ) ln G ( j ) e ln G ( j ) j ( )
其中：实部为描述幅频特性的对数与ω之间的 关系，称为对数幅频特性；虚部是幅角随ω的 变换关系，称为对数相频特性。对数频率特 性图是由对数幅频特性和对数相频特性两条 曲线所组成的。
4 控制系统的频域分析
7)延时环节
G( s ) e
Ts
4 控制系统的频域分析
绘制幅相频率特性图，可以用来讨论和 研究系统的动态特性，当绘制时必须算 出不同频率下的幅值和相角或者不同频 率下的实部和虚部，若是几个环节串联 的系统，则必须采用模数相乘，相角相 加的方法来计算总的幅值和相角，计算 量较大。
G( j ) g (t )e jt dt
0
4 控制系统的频域分析
对于渐进稳定的系统，系统的单位脉冲响应随 时间的增长逐渐趋于零，因此利用计算机采集 足够多的点并用多点求和的方法可近似得出系 统的频率特性，即：
N 1 n 0 jnt
G( j ) t g (nt )e
4 控制系统的频域分析
频率特性是以输出量和输入量随频率变化的幅 值比和相位差来表达的。幅值比和相位差都是 输入信号的函数，如果让频率ω从零变化到无 穷大，将其某个环节或系统相应的频率特性计 算出来，并在相应的坐标系中绘制成曲线，从 而可以一目了然的看出幅值比和相位差随频率 的变化情况，这在频域分析系统时，具有直观 性。可以从这些曲线的某些特点判断系统的稳 定性、快速性和其它性能，从而对系统进行分 析和综合。
4 控制系统的频域分析
对于最小相位系统，其对数幅频特性和 相频特性具有一一对应的关系，即根据 系统的对数幅频特性，可以唯一的确定 系统的相频特性和传递函数，反之亦然。 而非最小相位系统就不存在这种关系。
4 控制系统的频域分析
最小相位系统的判断 在 时，最小相位系统的相角为-90°(n-m)，
4 控制系统的频域分析
2)和均匀分度相比，这种按对数分度，便于在较
宽的频率范围内研究频率特性； 3)幅值的乘法运算转化为加法运算。
4 控制系统的频域分析
4.3.1典型环节的伯德图 1)比例环节
G ( j ) k
4 控制系统的频域分析
2)积分环节
1 G ( j ) j
4 控制系统的频域分析
L(ω)/dB
-40 40 -20 40 0 20
0 -40
11.4
2
57Biblioteka 1525ω
对于二重积分
G ( j )
1 ( j )
2
4 控制系统的频域分析
3)微分环节
G( j ) j
4 控制系统的频域分析
4)一阶惯性环节
1 G ( j ) jT 1
4 控制系统的频域分析
5)一阶微分环节
G( j) 1 j
4 控制系统的频域分析
6)二阶振荡环节
的。所谓半对数坐标系，指它的横坐标
采用对数分度，标注时只标注频率ω值，
而纵坐标表示幅值或相角。
4 控制系统的频域分析
这种坐标的特点：
1)若在横坐标上取两点，满足 1 / 2 10，则两点 之间的距离为 lg(1 / 2 ) 1 ,也就是频率变换10倍， 在横坐标上的线性刻度为一个单位。在横坐标上刻 度为一个单位叫做一个“十倍频程”（dec)，若频 率变化一倍，则 lg(1 / 2 ) 0.301 ，表示频率每变 化一个倍频程，横轴上距离为0.301个单位；
种形式？
4 控制系统的频域分析
当线性定常系统的输入为正弦信号时，输出 亦为正弦信号，但输出的幅值和相位都和输 入的不同，并且都是输入频率的函数。 当 0 时，相应的求出 G( ) 和G( ) ， 就可以在频率域内对系统进行描述，即系统 的频率特性。
这里： G( ) 称为幅频特性； G( ) 称为相频特性。
4 控制系统的频域分析
频率特性函数的求取方法： 1）如果已知系统的微分方程，可将输入变量以正 弦函数代入，求系统的输出变量的稳态解，输出 变量的稳态解与输入正弦函数的复数比即为系统 的频率特性函数； 2)如果已知系统的传递函数，可将系统传递函数 中的s代之以jω，即得到系统的频率特性函数； 3)可以通过实验的手段求出。
4 控制系统的频域分析
当 xi (t ) (t )，X i ( j ) 1 ，则系统的传递函数等 于其输出象函数，即：