第4章 连续系统的频域分析

(t)
A0 2
n1
An
cosnt
n
An
n
n
幅度谱
相位谱
➢奇、偶函数的傅里叶级数系数
an
2 T
T /2 f tcosntdt
T / 2
bn
2 T
T /2 f tsinntdt
T / 2
1. f(t)是偶函数
an
4 T
T /2 f tcosntdt
0
bn 0
2. f(t)是奇函数
an 0
正交
v x,v y,vz
矢量：
A C1v x C2v y C3v z
将此概念推广到信号空间。在信号空间找到若干 个相互正交的信号作为正交信号集，使得信号空 间中任一信号均可表示成它们的线性组合。
一、信号正交与正交函数集
1. 定义
定义在(t1, t2)区间内的两个函数 1(t)和φ2(t)，若
1.合成波形所包含的分 量越多，就越接近方波 信号
2.频率较低的谐波，振 幅大；频率较高的谐波， 振幅小
3.在间断点处仍有误差。 吉布斯现象
二、傅立叶级数的指数形式
由欧拉公式： cos x e jx e jx 2
f
t
A0 2
n1
An cosnt
n
A0
An
e e jnt n
j nt n
满足：
t2
t1
1t
2
t
dt
0
则称 1(t)和 2(t)在区间(t1, t2)内正交。
如有n个函数 1(t), 2(t)…, n(t)构成一个函数集，
这些函数在区间(t1, t2)内满足：
t2
t1
i
t
j
t
0 K
i
i i
j j
称此函数集为在区间(t1, t2)内的正交函数集。这n 个相互正交的函数构成正交信号空间。
E
T
Sa( n
2
)
指数形式：
f (t) E Sa( n ) e jnt
T n
2
Sa( ), n
2
由于Fn 是实数 Fn Fn e jn
FFnn为为正负
n 0 n
可将幅度谱和相位谱合在一张图上。
Fn
E
T
2 4
o 3
可见，周期矩形脉冲频谱的特点：
➢ 和普通周期信号一样，仅含有ω=nΩ的离散 频率分量，其相邻两谱线的间隔是Ω=2π/T，脉 冲周期T越长，谱线越密集。
第四章 连续系统的频域分析
傅里叶的两个最主要的贡献——
“周期信号都可表示为谐波关系的 正弦信号的加权和”——傅里叶的 第一个主要论点
“非周期信号都可用正弦信号的加 权积分表示” ——傅里叶的第二个主要论点
在连续时间系统的时域分析中，以冲激响应为基 本信号，任意输入信号可分解为一系列冲激函数， 而系统的响应是输入信号与系统冲激响应的卷积。
n
不同的时域信号，只是傅里叶系数an、bn（即An 、 n ） 或Fn不同，因此通过研究傅里叶级数的系数来研究信
号的特性。
An 、 n 、 Fn都是频率的函数，反映了组成信号
各正弦谐波的幅度和相位随频率变化的规律。
为了直观和方便地表示出一个信号含有哪些频率 分量，各分量所占的比重，采用频谱图的方法。
Ane jn
复系数Fn包含了各频率分量的幅度和相位。
由
Fn
1 2
An
，而An为偶函数可知：
(∞ , ∞ )范围内频率为nΩ和 nΩ的分量其幅度是
相同的。
Fn
1 2
An
Fn
0
幅度谱
n
arctan
bn an
n
n
0
n
Fn
相位谱
0
n
周期信号展开为傅立叶级数条件
狄利赫利(Dirichlet)条件
➢在一个周期内只有有限个间断点；
cos t e jt e jt
2
sint e jt e jt
2j
将任意信号作这样的分解后，用于系统分析的 独立变量将变成角频率ω（或频率f= ω/2π）, 故称为频域分析。
§4.1 信号分解为正交函数
信号分解为正交函数的原理与矢量分解为正交 矢量的概念相似。
三维空间中矢量可以用三维 正交矢量集表示：
时，
Sa(x)＝0
4. lim Sa(x) lim sin x 0
x
x x
Sa(x) 1
－3 －2
－ o
2 3
x
二、周期矩形脉冲的频谱
f (t) E
－T
－
T 2
－τ
o 2
τ 2
T 2
T
2T t
f
(t)
E
0
当t
2
当 T t , t T
2
22 2
由于f(t)是偶函数，bn=0
an
1
Bf
或
B
2
f(t) E
－τ 2 o
τ 2
Fn
E 5
＝2T
2
T
to4(a) Nhomakorabea不同τ值时 周期矩形信
f(t) E
Fn
E 10
o
T
t
o
2
τ
τ
(b)
➢信号的离散谱线间隔相同；
(a) τ=T/5; (b) τ=T/10
➢ 信号脉宽越窄，其频谱包络线第一个零点越 高，即信号带宽越宽，频带内所含分量越多；
对于一个连续周期信号：
f t f t mT
T称为该信号的重复周期，简称周期。周期 的倒数f =1/T 称为该信号的频率。
一、周期信号的分解
周期为T（角频率Ω=2π/T）的周期信号f (t)可分 解为：
f
t
a0 2
a1
cos t
a2
cos 2t
b1 sint b2 sin2t
a0 2
an
n1
cos
nt
bn
n1
s in nt
称为信号f (t)的三角形傅立叶级数。
其中各项系数为：
a0
2 T
T
2 T
f
2
t dt
an
2 T
T /2 f tcosntdt
T / 2
bn
2 T
T /2 f tsinntdt
T / 2
n=1,2,…
偶函数
n=1,2,…
奇函数
由
f
t
a0 2
a1
n1
Ane
e j n
jnt
1 2
n1
Ane
j n
e
jnt
f
t
1 2
Ane
n
e jn jnt
令
Fn
1 2
Ane jn
则 f t Fne jnt n 傅里叶级数的指数形式
Fn
1 2
Ane jn
1 2
An
cosn
jAn
sinn
1 2
an
jbn
1 T /2 f tcosntdt j 1 T /2 f tsinntdt
➢ 其各谱线的幅度按包络线Sa(ωτ/2)的规律变 化。在ω=2kπ/τ各处，包络为零，即相应的频 率分量为零。
Fn
E
T
2 4
o 3
➢周期矩形脉冲信号包含无限多条谱线，即它 可分解为无限多个频率分量。但由于各分量的 幅度随频率的增高而减小，其能量主要集中在 第一个零点以内。通常把这一频率范围（0≤ ω≤ 2π/τ 或0 ≤ f ≤ 1/τ）称为该信号的频 带宽度或信号的带宽。
f t C j j t j 1
1. f(t)可分解为完备正交函数集中各个正交 函数的线性组合
f t C j j t j 1
2. 相关系数
Cj
1 Kj
t2 t1
f (t) j (t)dt
其中K j
t2 t1
2 j
(t
)dt
3.帕斯瓦尔(Parseval)方程
t2
t1
f 2 (t)dt
4 T
T /2 f tcosntdt
0
4E T
/2 cosntdt
0
4E nT
sin(nt)
/2 0
4E nT
sin(n )
2
2E
T
sin(
n
2
)/
n
2
2E Sa( n )
T
2
三角形式:
f (t) E 2E Sa( n ) cosnt
T
T n1
2
Fn
1 2
an
jbn
1 2
an
如果在上述信号空间之外，不存在其他函数与此函 数集中任一信号相乘满足上式，则称该信号空间为 完备正交函数集。
例如：三角函数集
{1，cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,…}
虚指数函数集 {e jnΩt ，n=0，±1，±2，…}
是两组典型的在区间(t0 ,t0 +T)(T = 2π/Ω)上的完 备正交函数集。
➢ 信号脉冲宽度减小时，频谱的幅度也相应减小；
f(t) E
－τ2 o
τ 2
T
2T
t
Fn E 5
o
＝2T
2 n1 2
A0 2
1 2
Ane jn e jnt
n1
1 2
n1
Ane
e jn
jnt
由 An an2 bn2
n
arctan
bn an