第四章 连续系统的频域分析例题详解
连续系统频域分析
系统函数定义： H ( j ) Y ( j ) F ( j )
系统函数计算：
（1）h(t)旳傅立叶变换； （2）描述系统频率特性。
1) H ( j ) h(t)e j tdt 2) H ( j ) Y ( j ) F ( j )
3) H ( j) H ( p) p j
响应相量
4) H ( j) 激励相量 10
(t)
t
或
H j G2c ()e jto
Sac2(S2aCt[S) aGc((t(2tC)tt) Go )]( S2a(G)G 222c2C()( G)) e( 已 ((令 j知)to (2(对 )时称移C性性) ))
ht
c
Sa c
t
t0
20
讨论：
1、h(t)与(t)比较，严重失真； 2、h(t)为抽样函数，峰值为 kωc
A [ H ( j) e j()e jt H ( j) e e j() jt ] 2
H ( j) H ( j) () ()
y(t ) A H ( j) [e j[t ()] e j[t ()] ] 2
A H ( j) cos[t ()]
激励与响应为同频率的 正弦量。
3
二、正弦信号 ： f (t) Acos t
h(t) 1 H ( j )e jt d
2
19
二. 单位冲激响应h(t)
h(t) 1
2
H ( j )e j t d 1 c 1 e j t0 e j td
2 c
1
t
1 t0
1 2j
e jC t t0
e jC t t0
c
sin c
c t
t
t0
信号与系统第四章连续系统的频域分析V4.
那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱就过 渡到非周期信号的连续频谱。各频率分量的幅度也趋近 于无穷小。
4.4 非周期信号的频谱—傅里叶变换
一、傅里叶变换
为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度 的概念。令
F ( j) lim Fn
T 1/ T
将An~ω和n~ω的关系分别画在以ω为横轴的平
面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相位频 谱图。因为n≥0，所以称这种频谱为单边谱。
也可画|Fn|~ω和n~ω的关系，称为双边谱。若Fn
为实数，也可直接画Fn 。
例：周期信号
f(t)
=
1
1 2
cos
4
t
2
3
1 4
sin
3
t
6
试求该周期信号的基波周期T，基波角频率Ω，画 出它的单边频谱图，并求f(t) 的平均功率。
若 f1(t) ←→F1(jω)， f2(t) ←→F2(jω) 则 [a f1(t) + b f2(t) ] ←→ [a F1(jω) + b F2(jω) ] 例：f(t)的波形如图，则 F(jω) = ?
f(t) 1
-1 0 1
t
解: f (t) = f1(t) – g2(t) f1(t) = 1 ←→ 2πδ(ω) g2(t) ←→ 2Sa(ω)
lim
T
FnT
f (t) e j t d t
f (t) 1 F ( j) e j t d
2
傅里叶变换式 傅里叶反变换式
F(jω)称为f(t)的傅里叶变换或频谱密度函数，简称 频谱。f(t)称为F(jω)的傅里叶反变换或原函数。
实验：连续系统的频域分析
实验4：连续系统的频域分析一、实验目的（1）掌握连续时间信号的傅里叶变换和傅里叶逆变换的实现方法。
（2）掌握傅里叶变换的数值计算方法和绘制信号频谱的方法。
二、实验原理 1.周期信号的分解根据傅里叶级数的原理，任何周期信号都可以分解为三角级数的组合——称为()f t 的傅里叶级数。
在误差确定的前提下，可以由一组三角函数的有限项叠加而得到。
例如一个方波信号可以分解为：11114111()sin sin 3sin 5sin 7357E f t t t t t ωωωωπ⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭合成波形所包含的谐波分量越多，除间断点附近外，它越接近于原波形，在间断点附近，即使合成的波形所含谐波次数足够多，也任存在约9%的偏差，这就是吉布斯现象（Gibbs ）。
2.连续时间信号傅里叶变换的数值计算 由傅里叶变换的公式：()()lim()j tj n n F j f t edt f n e ωωττωττ∞∞---∞→=-∞==∑⎰当()f t 为时限信号时，上式中的n 取值可以认为是有限项N，则有：()(),0k Nj n n F k f n e k N ωτττ-==≤≤∑，其中2k k N πωτ=3.系统的频率特性连续LTI 系统的频率特性称为频率响应特性，是指在正弦信号激励作用下稳态响应随激励信号频率的变化而变化的情况，表示为()()()Y H X ωωω=三、实验内容与方法 1.周期信号的分解【例1】用正弦信号的叠加近似合成一个频率为50Hz 的方波。
MA TLAB 程序如下： clear all; fs=10000; t=[0:1/fs:0.1]; f0=50;sum=0; subplot(211) for n=1:2:9plot(t,4/pi*1/n*sin(2*pi*n*f0*t),’k ’); hold on; endtitle(‘信号叠加前’); subplot(212) for n=1:2:9;sum=sum+4/pi*1/n*sin(2*pi*n*f0*t);endplot(t,sum,’k ’); title(‘信号叠加后’); 产生的波形如图所示：00.010.020.030.040.050.060.070.080.090.1-2-1012信号叠加前00.010.020.030.040.050.060.070.080.090.1-2-1012信号叠加后2.傅里叶变换和逆变换的实现求傅里叶变换，可以调用fourier 函数，调用格式为F=fourier(f,u,v)，是关于u 的函数f 的傅里叶变换，返回函数F 是关于v 的函数。
_第四章连续系统的复频域分析习题解答
解：
4-25电路如图所示，试求
(1)系统函数 ；(2)若k2，求冲激响应。
解：(1)由节点法得：
(2)
4-26图示系统由三个子系统组成，其中 h3(t)=(t)。
(1) 求系统的冲激响应；
(2)若输入f(t)=(t)，求零状态响应y(t)。
解：(1)
4-27线性连续系统如图所示，已知子系统函数中 。
解：
4-38图示系统，(1)求H(s)Y(s)F(s)；
(2)K满足什么条件时系统稳定？
(3)在临界稳定条件下，求系统的h(t) .
解：(1)
(2)K4时系统稳定；
(3)当K4时系统为临界稳定， .
4-39图示系统，试分析K值对系统稳定性的影响。
解： 或用
4-40图示系统，(1)求H(s)Y(s)F(s)；
解：
4-33图示电路，(1)求 ；(2)求H(j)，并说明电路属于哪一类滤器；(3)求|H(j)|的最大值和截止频率C.
解：
4-34已知线性连续系统的系统函数H(s)的零极点分布如图所示。
(1)若H()1，求图(a)对应系统的H(s)；
(2)若H(0)0.5，求图(b)对应系统的H(s)；
(3)求系统频率响应，粗略画出系统幅频特性和相频特性曲线。
解：(1)
(2)
(3)
4-13.已知连续系统的微分方程为： ，求在下列输入时的零输入响应、零状态响应和完全响应：
(1)已知f(t)(t)，y(0-)1，y'(0-)2；
(2)已知f(t)e2t(t)，y(0-)0，y'(0-)1；
(3)已知f(t)(t1)，y(0-)1，y'(0-)1。
连续时间系统的频域分析
t ← ← ←第四章 连续时间系统的频域分析第三章中借助于傅里叶级数、傅里叶积分变换对周期及非周期信号的频谱进行了讨论。
利用 上面讨论所得结论，本章将对 LTI 系统进行频域分析。
LTI 系统的频域分析法是一种变换域分析法，即把时域中求解响应问题通过傅里叶级数或傅 里叶变换转换到频域之中，求解后再回到时域，从而得到最终结果。
采用傅里叶变换的方法对系统进行分析的目的，一方面是使一些系统分析问题得以简化，而 更重要的是接受一种变换的方法，真正体会时频变换在分析 L TI 系统中是一种不可替代的有效方 法，有了这种方法使得许多有实际意义的物理过程变得可能。
4.1 系统函数由 LTI 系统的时域分析可知，当输入信号为 x (t ) ，系统单位冲激响应为 h (t ) 时，其系统零状态响应 y zs ( )= x (t ) * h (t ) 。
由傅里叶变换的时域卷积定理，对上式两端同时取傅里叶变换可有F [y zs (t )]= F [x (t )]⋅ F [h (t )]Y zs ( j ω) = X ( j ω) ⋅ H ( j ω)其中 x (t ) −→ X ( j ω) ， y zs (t ) −→Y zs (j ω )， h (t ) −→ H (j ω)。
由(4.1)式可定义系统函数为(4.1)H (j ω )=Y zs (j ω )X (j ω )（4.2）(4.2)式说明 H ( j ω) 是频率 ω 的函数，故又称之为系统的频率响应函数。
一般情况下， H (j ω)是 一个复函数，因此可有H (j ω )= H (j ω )e j φ(ω)（4.3）其中， H (j ω) 为系统的响应幅度与激励幅度之比，称之为幅频特性函数，而φ(ω )则描述了系统响应与激励的相位关系，称之为相频特性函数。
由(4.2)系统函数的定义式可知，系统函数 H (j ω)反映系统自身的特性。
它由系统结构及参数 来决定，而与系统的外加激励及系统的初始状态无关。
连续系统频域分析-4
H ( j )e jt H ( j ) e j[t ( )]
H(j)= |H(j)|ej()是系统单位冲激响应h(t)的傅立叶变换，它是 一个与时间无关的频域函数，称为系统频率特性或系统函数。 基本信号ejt通过线性时不变系统时，其零状态响应就是用基本
信号ejt 乘以系统函数H(j)。
第四章 连续系统频域分析
4.1 引言
对于周期信号f (t)，有
f (t ) A0 An cos( nt n )
1 Fn T
1 f (t ) 2
n 1
T 2
n
Fn e jnt
T 2
f (t )e jnt dt
jt
对于非周期信号f (t)，有
y (t ) (1 e t )U (t ) (1 e 2t )U (t )
11
4.4 频域系统函数
一、系统函数定义
f (t ) F ( j )
y(t ) Y ( j )
Y ( j ) H ( j ) F ( j )
二、H(j)的物理意义
H ( j ) F{h(t )}
A H ( j) cos[t ()]
其中
H ( j) H ( j ) H ( j) e j ()
所以，线性系统对正弦信号激励的响应为与激励同频率 的正弦量，其振幅为激励的振幅与系统函数H(j)模值之乘
积，其相位为激励的初相与系统函数H(j)相位之和。
例：已知描述系统的微分方程为 y(t ) 3 y(t ) 2 y(t ) f (t ) 求系统函数H(j)。 解： 对方程两边进行傅里叶变换, 并根据时域微分性质得
第4章 连续系统的频域分析
(t)
A0 2
n1
An
cosnt
n
An
n
n
幅度谱
相位谱
➢奇、偶函数的傅里叶级数系数
an
2 T
T /2 f tcosntdt
T / 2
bn
2 T
T /2 f tsinntdt
T / 2
1. f(t)是偶函数
an
4 T
T /2 f tcosntdt
0
bn 0
2. f(t)是奇函数
an 0
正交
v x,v y,vz
矢量：
A C1v x C2v y C3v z
将此概念推广到信号空间。在信号空间找到若干 个相互正交的信号作为正交信号集，使得信号空 间中任一信号均可表示成它们的线性组合。
一、信号正交与正交函数集
1. 定义
定义在(t1, t2)区间内的两个函数 1(t)和φ2(t)，若
1.合成波形所包含的分 量越多，就越接近方波 信号
2.频率较低的谐波，振 幅大；频率较高的谐波， 振幅小
3.在间断点处仍有误差。 吉布斯现象
二、傅立叶级数的指数形式
由欧拉公式： cos x e jx e jx 2
f
t
A0 2
n1
An cosnt
n
A0
An
e e jnt n
j nt n
满足：
t2
t1
1t
2
t
dt
0
则称 1(t)和 2(t)在区间(t1, t2)内正交。
如有n个函数 1(t), 2(t)…, n(t)构成一个函数集，
这些函数在区间(t1, t2)内满足：
t2
第四章 连续系统的频域分析例题详解
第四章 连续系统的频域分析例题详解1．一带限信号的频谱图如下图1所示，若次信号通过图2所示系统，请画出A 、B 、C 三点处的信号频谱。
理想低通滤波器的频率函数为)15()15()(--+=ωεωεωj H ，如图3所示。
解：设A 处的信号为：A f ，B 处的信号为：B f ，C 处的信号为：C f)30cos()(t t f f A = )30cos(t f f A B =)]]30([)]30([[21)()]]30([)]30([[21)(++-=++-=w j F w j F jw F w j F w j F jw F A A B A1. 如图2（a ）所示的系统，带通滤波器的频率响应如图2（b ）所示，其相频特性()0ϕω=，若输入 sin(2)(),()cos(1000)2t f t s t t tπ==，求输出信号()y t 。
f ()H j ω()0ϕω=1/(.)rad s ω--1001 -999 0 999 10011-10001000图（b ）图2解 4sin(2)1()[]()22t F j F g t ωωπ== [cos(1000)][(1000)(1000)]F t πδωδω=++-441[()cos(1000)][()][cos(1000)]21[(1000)(1000)]4F f t t F f t F t g g πωω=⋅*=++- 则系统输出信号的傅里叶变换为()[()cos(1000)]()Y j F f t t H j ωω= 由()H j ω的波形图及相频特性可得22()(1000)(1000)H j g g ωωω=++- 所以可得2221()[(1000)(1000)]41()[(1000)(1000)]4Y j g g g ωωωωδωδω=++-=*++-由此可得输出信号为1()()cos(1000)2y t Sa t t π=3．一理想低通滤波器的频率响应如图3示，其相频特性φ(ω)=0。
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第四章 连续系统的频域分析例题详解1．一带限信号的频谱图如下图1所示，若次信号通过图2所示系统，请画出A 、B 、C 三点处的信号频谱。
理想低通滤波器的频率函数为)15()15()(--+=ωεωεωj H ，如图3所示。
解：设A 处的信号为：A f ，B 处的信号为：B f ，C 处的信号为：C f)30cos()(t t f f A = )30cos(t f f A B =)]]30([)]30([[21)()]]30([)]30([[21)(++-=++-=w j F w j F jw F w j F w j F jw F A A B A1. 如图2（a ）所示的系统，带通滤波器的频率响应如图2（b ）所示，其相频特性()0ϕω=，若输入 sin(2)(),()cos(1000)2t f t s t t tπ==，求输出信号()y t 。
f ()H j ω()0ϕω=1/(.)rad s ω--1001 -999 0 999 10011-10001000图（b ）图2解 4sin(2)1()[]()22t F j F g t ωωπ== [cos(1000)][(1000)(1000)]F t πδωδω=++-441[()cos(1000)][()][cos(1000)]21[(1000)(1000)]4F f t t F f t F t g g πωω=⋅*=++- 则系统输出信号的傅里叶变换为()[()cos(1000)]()Y j F f t t H j ωω= 由()H j ω的波形图及相频特性可得22()(1000)(1000)H j g g ωωω=++- 所以可得2221()[(1000)(1000)]41()[(1000)(1000)]4Y j g g g ωωωωδωδω=++-=*++-由此可得输出信号为1()()cos(1000)2y t Sa t t π=3．一理想低通滤波器的频率响应如图3示，其相频特性φ(ω)=0。
若输入信号tt t f ππ)sin()(=，求输出信号的频谱函数，并画出其频谱图。
图 3 解：信号tt t f ππ)sin()(=的频域表达式为 )(2)(2ωπωg j F =)(2)()()(2ωπωωωg j F j H j Y ==所以输出频谱为π-4．如图4所示系统，已知,.....2,1,0, )(±±==∑∞-∞=Ωn et f n tjn ，)cos()(t t s =)/1(s rad =Ω；频率响应 /5.1 , 0/5.1 ,)(3⎪⎩⎪⎨⎧><=-srad srad e j H j ωωωωπ。
试求系统的频率响应。
(f )图 4解 ：对)(t f 和)(t s 进行傅立叶变换)1()1()()(2)(++-=Ω-=∑+∞-∞=w w jw S n w jw F n πδπδδπ∑∑+∞-∞=+∞-∞=+Ω-+-Ω-=←→⋅n n n w n w jw S jw F t s t f )1()1()](*)([21)()(δπδππ333)1(2)1(2)(2)()]()([)(ππππδπδπδjjj ew ew e w jw H t s t f F jw Y ++-+=⋅⋅=--对)(jw Y 取傅立叶逆变换得 ：)3cos(211)(33πππ-+=++=--t ee ee t y jjt jjt5．已知某LTI 时不变系统的频率响应⎩⎨⎧><=-sr a d w s r a d w e jw H jw/60/6)(3 ， 若输入t ttt f 6cos 4sin )(=，求系统的输出y(t)。
解： )4(88ωSa g ↔)3(4cos 3)3(2sin )(:)]4()4([2)()()()]6()6([2)(6cos 4sin )()(24sin 2)4(8344888---=++-==++-=↔=↔=-t t t t y e g g j F j H j Y g g j F t t t t f g ttt Sa j 故ωωωπωωωωωπωωπ6．周期信号)63sin()34cos(24)(ππππ-+++=t t t f（１） 求该周期信号的基波周期T 和基波角频率Ω； （２） 画出该周期信号的单边振幅频谱图与相位频谱图。
解：(1)6322,84222211==Ω===Ω=ππππππT T 信号f(t)的周期T 是T 1、T 2的最小公倍数为24(s)基波角频率)/(122s rad T ππ==Ω（2） 将f(t)的表达式改写为)324cos()33cos(24)264cos()33cos(24)(πππππ-Ω++Ω+=--Ω++Ω+=t t t t t f7 求题图7所示锯齿信号()f t 的傅里叶级数。
解 由图可知，锯齿波是奇函数，故0n a =。
/24//sin T n b T E Tt n tdt =Ω⎰上式积分需利用分布积分法，令,,sin ,1/cos ,u t du dt du n tdt v n n t ===Ω=-ΩΩ 故由式（1）得/2/2214//cos 1/cos /(1)T T n n b E T t n n tn n tdt E n π+⎡⎤=-ΩΩ=ΩΩ⎢⎥⎣⎦=-⎰故()()[]11/1sin /sin 1/2sin 21/3sin 31/4sin 4...n n f t E n n tE t t t t ππ∞+==-Ω=Ω-Ω+Ω-Ω+∑8 已知周期信号()f t 的傅里叶级数表示为 ()23c o s 24s i n 22s i n (330)c o s (7150)f t t t t t =++++-+ （1） 求周期信号()f t 的基波角频率； （2） 画出周期信号()f t 的幅度谱和相位谱。
解 由于傅立叶级数用统一的余弦（或正弦）表示，故需要将相同频率的正与余弦项和并成余弦项，也需要将正弦项化成与余弦项，即其中)3c o s 24s i n 25c o s (253.1)s i n (330)c o s (33090)c o s (360)c o s (7150)c o s (7150180)c o s (7325c o s (253.1)2c o s (360)c o s (730)t t t t t t t t t f t t t t +=-+=+-=--+=+-=-=+-+-+-故周期信号()f t 可表示为()25cos(253.1)2cos(360)cos(730)f t t t t =+-+-+- （1）（1） 求基波角频率。
()f t 可表示为()25cos(21/53.1)2cos(23/260)cos(27/230)f t t t t ππππππ=+-+-+- 周期T 应该是π、2π的最小公倍数，故2T π=，基角波频率2/1/T rad s πΩ==。
()f t 可表示为()25cos(253.1)2cos(360)cos(730)f t t t t =+Ω-+Ω-+Ω- （2）（2） 根据式（2），画出周期信号()f t 的单边幅度谱和相位谱如图3-4（a ）和（b ）所示。
利用欧拉公式 ，将式（2）的()f t 表示成()53.1253.12603603730725/25/21/2301/2j j t j j t j j t j j tj tj j tf t e e e e e e eeej eee-Ω-Ω-Ω-Ω-Ω-Ω=++++++其双边幅度谱和相位谱如图（c ）和图（d ）所示。
9 求信号sin 2(2)()(2)t f t t ππ-=-，t -∞<<+∞立叶变换。
题图9解 信号()f t 可以表示为s i n 2(2)()22[2(2)]2(2)at f t S t t πππ-==-- 令1()2(2)af t S t π= 利用对称性，1()f t 的傅立叶变换1()F j ω如题图3-6所示的门函数，门函数宽度的一半等于2π，途中的h 应满足门函数的面积等于1()f t 中的系数2，即2h τ⨯= 故1112242h τππ=⨯=⨯=由于对称性：()f t ↔()F j ω ()F jt ↔2()f πω- 因此，已知时域()F jt 时，其频率()f ω-还要乘以2π，故门函数1()F j ω的幅度还需要乘以2π，如图中所示。
这样，1()F j ω的幅度为1，宽度为4π的门函数，表示为1()F j ω=4()G πω()f t =1(2)f t -根据时延特性，有2214()()()j j F j F j e G e ωωπωωω--==10 已知频谱F(j )=[()-(-2)]j e ωωεωεω-，求原函数()f t 。
题图10 解 令1()()(2)F j ωεωεω=--1()F j ω的图形如图3-7（a ）所示。
令2()(1)(1)F j ωεωεω=+--，如图（b ）所示。
(1)11()(1)(1)j t a f t f t S t e π-=-=-2()F j ω是宽度2τ=的频域门函数，可表示为2()F j ω=2()G ω利用对称性，2()F j ω的原函数2()f t ，2()f t 应为()a S x 函数。
由于2()F j ω是宽度2τ=，面积等于2的门函数，且利用对称性，由频谱函数求时域原函数时，要(a) (b)乘以12π，故 211()2()()2a a f t S t S t ππ=⨯= 由于12()[(1)]F j F j ωω=- 故121()()()jt jt a f t f t e S t e π==由于1()()j F j F j e ωωω=故(1)11()(1)(1)j t a f t f t S t e π-=-=-11 已知 ()()F jw F f t =⎡⎤⎣⎦ ，试求下列各式的傅利叶变换。
（1）()1/df t t dtπ* （2）()()11t f t -- 解 （1） ()()df t jwF jw dt←−→ 由于()2sgn t jw←−→利用对称性，得 22()2sgn()w w jtππ←−→-=- 故1sgn()j w tπ←−→- 根据卷积定理，得()1()sgn()()df t wF jw w w F jw dt tπ*←−→= （3） 由于()[]1(1)(1)(1)t f t t f t --=----利用尺度变换，()()()f t F jw F jw *-←−→-=根据频域微分性质，得()()()()dF jw jtf t dw dF jw tf t jdw*--←−→*--←−→- 根据时移特性，得[]()(1)(1)jwdF jw t f t jedw*-----←−→- 12 信号()t f 通过某滤波器，其输出响应表示式为12()()x taf xg dx a∞--∞-⎰且已知()G jw =()F g t ⎡⎤⎣⎦，求该滤波器的频率响应函数()H jw 。