第三章LTI连续系统的频域分析

)
an T4
t0
T 2
f (t) cos nΩtdt
t0
0
n为奇数
n为偶数
bn T4
t0
T 2
f (t) sin nΩtdt
n为偶数
t0
0
n为奇数
数集，其中i, r =1,2,…,n；ki为一正数。
2. 信号的正交展开
如果在正交函数集{f1(t),f2(t),…,fn(t)}之外，找不
到另外一个非零函数与该函数集{fi(t)}中每一个函
数都正交，则称该函数集为完备正交函数集。
对于完备正交函数集，有两个重要定理:
定理1
设{f1(t),f2(t),…,fn(t)}在(t1,t2)区间内是某一类信号的 完备正交函数集，则这一类信号中的任何一个信号f(t) 都可以精确地表示为{f1(t),f2(t),…,fn(t)}的线性组合: f(t) = C1f1(t)+C2f2(t)+…+Cnfn(t)
n 1, 2,
t0
3．奇谐(波)(半波对称)函数:
f
(t
)
f
(t
T 2
)
an T4
t0
T 2
f (t) cosnΩtdt
t0
n为奇数
f (t)
0 n为0和偶数
bn T4
t0
T 2
f
(t) sin nΩtdt
t0
n为奇数
0
T 2
0 n为偶数
4．偶谐(波)(半周期)函数
f (t)
f
(t
T 2
同频率的两项合并:
f (t ) A0 An cos(nΩt n )
其中：
n1
An an2 bn2
n
arctg
bn an
A0
a0 2
—直流分量(零次谐波)，即f(t)在一个周期内的 平均值；
A1 cos(Ωt 1 ) — 基波分量(一次谐波)，其角频率与
f(t)的相同
A2 cos(2Ωt 2 ) — 二次谐波分量，其角频率为基波
在区间(t0,t0+T)是完备的正交函数集。
2. 指数函数集
指数函数集 e jnt , n 0,1,2,
在区间(t0,t0+T)为一完备的正交复变函数集。
注意： 一个函数集是否正交与它所在区间有关，在某
一区间可能正交，而在另一区间有可能不正交。在判断 函数集正交时，是指函数集中所有函数应两两正交。
频率的两倍
An cos(nΩt n ) — n次谐波分量，其角频率为基波
频率的n倍
二．指数形式的傅里叶级数
将周期信号f(t)在虚指数函数集{ejnt，n = 0, 1, 2， 3， …}上展开就得到指数形式的傅里叶级数。信号分 析时往往用此形式。
f (t ) FnejnΩ t 其中
傅里叶系数 ： n
n1
cos nΩt
bn
s in nΩ t )
a 0 [ an (ejnΩ t ejnΩ t ) j bn (ejnΩ t ejnΩ t )]
2 n1 2
2
a0 2
1 n12 (an
jbn )e jnt ]
与指数形式对照
f (t ) FnejnΩ t n
Fn
1 T
t0 T f (t)e jnΩ tdt
t0
与三角形式傅里叶级数的关系
Ω 2/T
“级数正，系数负”
注意此系 数为复数
三角形式傅里叶级数通过欧拉公式展开：
cos nΩt 1 (ejnΩt ejnΩt ) , sinnΩt 1 (ejnΩt ejnΩt )
2
2j
f
(t)
a0 2
(an
信号分析 : 时域分析←→频域分析
§3–1 信号的正交分解与傅里叶级数
（一）正交向量
一个平面中任意向量
A=C1A1+C2A2
一个三维空间中的向量 A=C1A1+C2A2+C3A3
n维空间中的任一向量
A=C1A1+C2A2+C3A3+…+CnAn
（二）信号的正交分解与正交函数集
1. 正交函数定义式
任意两个实函数 f1(t) 和 f2(t)，满足关系式
t2
t1
f1(t) f2 (t)dt
0
则称 f1(t) 和 f2(t) 在时间区间(t1,t2)正交。
若f1(t), f2(t),…, fn(t)定义在区间(t1,t2) 上，并且
在(t1,t2)内有
t2 t1
fi (t) fr (t)dt
0 ki
ir ir
则{f1(t),f2(t),…,fn(t)}在时间区间(t1,t2)内称为正交函
称为正交展开式或广义傅里叶级数
定理2
在正交展开式的条件下，有
t2
2
f (t) dt
t1
i
t2 t1
Ci
fi(t )
2
dt
此式可以理解为：f(t)的能量等于各个分量的能量之和，
即能量守恒。也称为帕塞瓦尔定理。
（三）常见的完备正交函数集
1. 三角函数集
正交三角函数集 1,cost,cos2t,,sint,sin 2t,
（四） 周期信号的傅里叶级数展开
一．三角形式的傅里叶级数：
设任意周期信号f(t) = f(t+kT) ,（k为整数），满足下列
条件（荻里赫利条件）：
（1）在一个周期内，函数是绝对可积的
t0 T f (t)dt
t0
（2）在一个周期内，函数的极值数目有限;
(3) 在一个周期内，函数是连续的或者有限个第一 类 间断点（左右极限存在）。
第三章 LTI连续系统的频域分析
时域分析法: 系统→微分方程(算子方程)→传输算子H﹙p﹚→
特征根→零输入响应或冲激响应→利用 f(t)*h(t) 求解 任意激励下的零状态响应,最后零输入响应与零状态 响应叠加,得到全响应。
频域分析法:
数学上，任意一函数都可表示为一个完备正交函数 集中无限多个相互正交的函数的无穷级数。傅里叶 (Fourier)级数是正交函数集，只要符合一定的条件，任 意信号都可通过傅里叶级数展开为一系列不同频率的正 弦分量即频率函数。
进行分解可得:
f
(t)
a0 2
an
n1
cos nΩt
bn
n1
sin nΩt
Ω 2π/T (原周期信号的角频率 )
傅
里
a 0 1 t0 T f (t )dt 由定理3-1推出！ 2 T t0
叶 系
an
2 T
t 0
T
t
0
f (t )cos nΩ tdt
数
bn
2 T
t 0
T
t
0
f (t )sin nΩ tdt
F0
a0 2
A0
三、周期信号的对称性与傅里叶系数的关系
1．偶函数: f(t) = f(-t)
an
4 T
bn 0,
t0
T 2
f (t)cos nΩtdt,
n 0, 1, 2,
t0
2．奇函数: f(-t) = -f(t)
bn
4 T
a0 0, an 0,
t0
T 2
f (t)sinnΩtdt,