连续信号与系统的频域分析
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第3章连续信号与系统的频域分析
8
2013年8月13日8时10分
3.0 引言
LTI系统的特性完全可以由其单位冲激响应
来表征，通过对LTI系统单位冲激响应的研究就可
分析LTI系统的特性。
连续时间信号分解为一系列完备正交信号集， 再根据线性叠加原理求解系统的零状态响应。
9
2013年8月13日8时10分
3.1信号的正交分解
3.1.1 矢量的正交分解 1 、正交矢量（2维空间）
3.1.2 信号的正交分解 2、正交函数的两个重要定理 定理2：若 则：
f (t ) c1 g1 (t ) cr gr (t ) cn gn (t ) ci gi (t )
i 1
n
t2
t1
f (t ) dt ci gi (t ) dt
t2 i 1 t1
完备正交函 数集
1,cos t,cos 2t,,sin t,sin 2t,
17
2013年8月13日8时10分
3.2 周期信号的连续时间傅立叶级数
一般地，若 即有：
则有：
f ( t ) 在区间(-∞，+
∞)内，每隔周期T重复，
f (t ) f (t kT )
T 2 T 2
V1 V2 0
V1 V3 0
V2 V3 0
11
2013年8月13日8时10分
3.1信号的正交分解
3.1.1 矢量的正交分解 3 、正交矢量（n维空间）
c3 V3 V3 o V2 c2 V2 V1
V cV1 crVr cnVn 1
V c1 V1
cr
V cos r Vr
3.7 连续信号的抽样定理
2013年8月13日8时10分
3.0 引言
LTI系统的特性完全可以由其单位冲激响应
来表征，通过对LTI系统单位冲激响应的研究就可
分析LTI系统的特性。
连续时间信号分解为一系列完备正交信号集， 再根据线性叠加原理求解系统的零状态响应。
9
2013年8月13日8时10分
3.1信号的正交分解
3.1.1 矢量的正交分解 1 、正交矢量（2维空间）
3.1.2 信号的正交分解 2、正交函数的两个重要定理 定理2：若 则：
f (t ) c1 g1 (t ) cr gr (t ) cn gn (t ) ci gi (t )
i 1
n
t2
t1
f (t ) dt ci gi (t ) dt
t2 i 1 t1
完备正交函 数集
1,cos t,cos 2t,,sin t,sin 2t,
17
2013年8月13日8时10分
3.2 周期信号的连续时间傅立叶级数
一般地，若 即有：
则有：
f ( t ) 在区间(-∞，+
∞)内，每隔周期T重复，
f (t ) f (t kT )
T 2 T 2
V1 V2 0
V1 V3 0
V2 V3 0
11
2013年8月13日8时10分
3.1信号的正交分解
3.1.1 矢量的正交分解 3 、正交矢量（n维空间）
c3 V3 V3 o V2 c2 V2 V1
V cV1 crVr cnVn 1
V c1 V1
cr
V cos r Vr
3.7 连续信号的抽样定理
信号与系统 第3章-3
解 若直接按定义求图示信号的频谱，会遇到形如te-jωt的繁 复积分求解问题。而利用时域积分性质，则很容易求解。 将f(t)求导，得到图 3.5-5(b)所示的波形f1(t)，将f1(t)再求导， 得到图 3.5-5(c)所示的f2(t)， 显然有
第3章 连续信号与系统的频域分析
f 2 (t ) = f (t ) = f " (t )
ω ）为各频率点
上单位频带中的信号能量，所以信号在整个频率范围的全部
W = ∫ G (ω )dω
0
∞
式中
G (ω ) =
1
π
F ( jω )
2
第3章 连续信号与系统的频域分析 表 3.2 傅里叶变换的性质
第3章 连续信号与系统的频域分析
3.6 周期信号的傅里叶变换
设f(t)为周期信号，其周期为T，依据周期信号的傅里叶级数分 析， 可将其表示为指数形式的傅里叶级数。即
f ( −t ) ↔ F ( − jω )
也称为时间倒置定理 倒置定理。 倒置定理
第3章 连续信号与系统的频域分析
若已知f(t) ↔ F(jω )，求f(at - b)的傅立叶变换。
此题可用不同的方法来求解。 解 此题可用不同的方法来求解。
第3章 连续信号与系统的频域分析
(2) 先利用尺度变换性质，有 先利用尺度变换性质，
第3章 连续信号与系统的频域分析 2. 时移性 时移性 若f(t) ←→ F(jω)， 且t0为实常数(可正可负)，则有
f ( t − t0 ) ↔ F ( jω ) e
此性质可证明如下
− jω t 0
F [ f (t − t 0 )] = ∫− ∞ f (t − t 0 )e 令τ = t − t 0
信号与系统—信号的频域分析
信号与系统—信号的频域分析频域分析是指将信号从时间域转换为频域的过程，并通过对信号在频域上的性质和特征进行分析与研究。
频域分析对于理解信号的频率特性、频谱分布等方面的特性有很大的帮助，是信号处理领域中不可或缺的分析工具。
频域分析的基本方法之一是傅里叶变换。
傅里叶变换可以将连续时间域中的信号转换为离散频域中的信号，也可以将离散时间域中的信号转换为连续频域中的信号。
它通过将信号分解为不同频率的正弦波的组合来分析信号的频谱分布。
傅里叶变换的基本公式为：两个公式其中，X(f)表示信号在频域中的频谱，x(t)表示信号在时间域中的波形，f表示频率。
傅里叶变换得到的频谱图可以展示信号在不同频率上的能量分布情况，从而能够更直观地了解信号的频率成分。
频谱图通常以频率为横轴，信号在该频率上的幅度或相位为纵轴，用于描述信号在频域中的变化情况。
除了傅里叶变换，还有其他一些常用的频域分析方法，如离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）等。
离散傅里叶变换是对离散时间域中的信号进行频域分析的方法，快速傅里叶变换是一种高效的计算离散傅里叶变换的方法。
频域分析主要包括信号的频谱分析和系统的频率响应分析两个方面。
在信号的频谱分析中，我们可以通过观察信号在频域上的能量分布情况来判断信号的频率成分、频率范围等信息。
而在系统的频率响应分析中，我们可以通过研究系统在不同频率上的响应特性来了解系统对不同频率信号的传输、增益、衰减等情况。
频域分析在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在音频处理领域中，频域分析可以用于声音信号的频谱分析和音效处理等方面。
在通信系统中，频域分析可以用于信号的调制解调、信道估计、信号检测等。
在图像处理中，频域分析可以用于图像的锐化、降噪、压缩等方面。
总结起来，信号的频域分析是信号与系统课程中的重要内容，它通过将信号从时间域转换为频域来研究信号的频率特性和频谱分布等问题。
傅里叶变换是频域分析中常用的方法之一，它可以将信号分解为不同频率的正弦波的组合。
第4章 连续信号与系统的复频域分析
式（ 4.1-5 ）和（ 4.1-6 ）称为双边拉普 拉斯变换对，可以用双箭头表示f ( t )与F(s) 之间这种变换与反变换的关系
记F (s) L [ f (t )], f (t ) L [ F (s)]
-1
f (t ) F ( s)
从上述由傅氏变换导出双边拉普拉 斯变换的过程中可以看出，f (t) 的双边 拉普拉斯变换F(s)=F( j )是把f (t)乘 以e - t之后再进行的傅里叶变换，或者 说F(s)是f ( t ) 的广义傅里叶变换。
j
1
j
st
ds
t > 0
(4.1-9）
记为£ -1[ F(s)]。即
F(s) =£ [ f (t) ]
–1 [ F (s) ] 和 f (t) = £
式（4.1-8）中积分下限用0－而不用0＋， 目的是可把t = 0－时出现的冲激考虑到变换中 去，当利用单边拉普拉斯变换解微分方程时， 可以直接引用已知的起始状态f (0－)而求得全 部结果，无需专门计算0－到0＋的跳变。
经过 0 的垂直线是收敛边界，或称为 收敛轴。
由于单边拉普拉斯变换的收敛域是由 Re[s] = > 0的半平面组成，因此其收敛 域都位于收敛轴的右边。
凡满足式(4.1-10)的函数f ( t )称为“指 数阶函数”，意思是可借助于指数函数的 衰减作用将函数f(t) 可能存在的发散性压下 去，使之成为收敛函数。
在收敛域内，函数的拉普拉斯变换存 在，在收敛域外，函数的拉普拉斯变换不 存在。
双边拉普拉斯变换对并不一一对应， 即便是同一个双边拉普拉斯变换表达式， 由于收敛域不同，可能会对应两个完全不 同的时间函数。
因此，双边拉普拉斯变换必须标明收 敛域。
连续时间信号与系统的频域分析报告
连续时间信号与系统的频域分析报告1. 引言连续时间信号与系统的频域分析是信号与系统理论中的重要分支，通过将信号和系统转换到频域，可以更好地理解和分析信号的频谱特性。
本报告将对连续时间信号与系统的频域分析进行详细介绍，并通过实例进行说明。
2. 连续时间信号的频域表示连续时间信号可以通过傅里叶变换将其转换到频域。
傅里叶变换将信号分解成一系列不同频率的正弦和余弦波的和。
具体来说，对于连续时间信号x(t)，其傅里叶变换表示为X(ω)，其中ω表示频率。
3. 连续时间系统的频域表示连续时间系统可以通过频域中的频率响应来描述。
频率响应是系统对不同频率输入信号的响应情况。
通过系统函数H(ω)可以计算系统的频率响应。
系统函数是频域中系统输出与输入之比的函数，也可以通过傅里叶变换来表示。
4. 连续时间信号的频域分析频域分析可以帮助我们更好地理解信号的频谱特性。
通过频域分析，我们可以获取信号的频率成分、频谱特性以及信号与系统之间的关系。
常用的频域分析方法包括功率谱密度估计、谱线估计等。
5. 连续时间系统的频域分析频域分析也可以用于系统的性能评估和系统设计。
通过分析系统的频响特性，我们可以了解系统在不同频率下的增益和相位变化情况，进而可以对系统进行优化和设计。
6. 实例分析以音频信号的频域分析为例，我们可以通过对音频信号进行傅里叶变换，将其转换到频域。
通过频域分析，我们可以获取音频信号的频谱图，从而了解音频信号的频率成分和频率能量分布情况。
进一步，我们可以对音频信号进行系统设计和处理，比如对音乐进行均衡、滤波等操作。
7. 结论连续时间信号与系统的频域分析是信号与系统理论中重要的内容，通过对信号和系统进行频域分析，可以更好地理解和分析信号的频谱特性。
频域分析也可以用于系统的性能评估和系统设计，对于音频信号的处理和优化具有重要意义。
总结：通过本报告，我们了解了连续时间信号与系统的频域分析的基本原理和方法。
频域分析可以帮助我们更好地理解信号的频谱特性和系统的频响特性，对系统设计和信号处理具有重要意义。
信号与系统第四章-连续信号复频域分析
j
0
（可以用复平面虚轴上的连续频谱表示） 实际上是把非周期信号分解为无穷多等幅振荡的正
弦分量 d cost 之和。 《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS
F ( )
f (t )e jt dt
ZB
3. 拉普拉斯变换
2 j f (t ) F ( s)
称 为衰减因子； e- t 为收敛因子。 返回《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS
ZB
取 f(t)e- t 的傅里叶变换：
F [ f (t )e
t
]
f (t )e
t jt
e
f (t )e ( j )t dt dt
它是 j的函数，可以表示成
拉普拉斯变换（复频域）分析法 – 在连续、线性、时不变系统的分析方面十分有效 – 可以看作广义的傅里叶变换 – 变换式简单 – 扩大了变换的范围 – 为分析系统响应提供了规范的方法
返回《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS
ZB
4.1 拉普拉斯变换
4.1.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换
单边拉氏变换的优点： (1) 不仅可以求解零状态响应，而且可以求解零输入响应 或全响应。 (2) 单边拉氏变换自动将初始条件包含在其中，而且只需 要了解 t=0- 时的情况就可以了。 (3) 时间变量 t 的取值范围为 0 ~ ，复频域变量 s 的取 值范围为复平面( S 平面)的一部分。 j S 平面 当 >0 时， f(t)e- t 绝对收敛。
ZB
按指数规律增长的信号：如 e t ，0 =
比指数信号增长的更快的信号：如 e 或t t 找不到0 ， 则此类信号不存在拉氏变换。
《信号与系统(第四版)》习题详解图文
即
故f(t)与{c0, c1, …, cN}一一对应。
7
3.3 设
第3章 连续信号与系统的频域分析
试问函数组｛ξ1(t),ξ2(t),ξ3(t),ξ4(t)｝在(0，4)区间上是否 为正交函数组，是否为归一化正交函数组，是否为完备正交函 数组，并用它们的线性组合精确地表示题图 3.2 所示函数f(t)。
题图 3.10
51
第3章 连续信号与系统的频域分析 52
第3章 连续信号与系统的频域分析 53
第3章 连续信号与系统的频域分析 54
第3章 连续信号与系统的频域分析 55
第3章 连续信号与系统的频域分析 56
第3章 连续信号与系统的频域分析 57
第3章 连续信号与系统的频域分析
题解图 3.19-1
8
第3章 连续信号与系统的频域分析
题图 3.2
9
第3章 连续信号与系统的频域分析
解 据ξi(t)的定义式可知ξ1(t)、ξ2(t)、ξ3(t)、ξ4(t)的波形如题 解图3.3-1所示。
题解图 3.3-1
10
不难得到：
第3章 连续信号与系统的频域分析
可知在(0,4)区间ξi(t)为归一化正交函数集,从而有
激励信号为f(t)。试证明系统的响应y(t)=－f(t)。
69
证 因为
第3章 连续信号与系统的频域分析
所以
即
70
系统函数
第3章 连续信号与系统的频域分析
故
因此
71
第3章 连续信号与系统的频域分析
3.23 设f(t)的傅里叶变换为F(jω)，且 试在K≥ωm条件下化简下式：
72
第3章 连续信号与系统的频域分析 73
107
故f(t)与{c0, c1, …, cN}一一对应。
7
3.3 设
第3章 连续信号与系统的频域分析
试问函数组｛ξ1(t),ξ2(t),ξ3(t),ξ4(t)｝在(0，4)区间上是否 为正交函数组，是否为归一化正交函数组，是否为完备正交函 数组，并用它们的线性组合精确地表示题图 3.2 所示函数f(t)。
题图 3.10
51
第3章 连续信号与系统的频域分析 52
第3章 连续信号与系统的频域分析 53
第3章 连续信号与系统的频域分析 54
第3章 连续信号与系统的频域分析 55
第3章 连续信号与系统的频域分析 56
第3章 连续信号与系统的频域分析 57
第3章 连续信号与系统的频域分析
题解图 3.19-1
8
第3章 连续信号与系统的频域分析
题图 3.2
9
第3章 连续信号与系统的频域分析
解 据ξi(t)的定义式可知ξ1(t)、ξ2(t)、ξ3(t)、ξ4(t)的波形如题 解图3.3-1所示。
题解图 3.3-1
10
不难得到：
第3章 连续信号与系统的频域分析
可知在(0,4)区间ξi(t)为归一化正交函数集,从而有
激励信号为f(t)。试证明系统的响应y(t)=－f(t)。
69
证 因为
第3章 连续信号与系统的频域分析
所以
即
70
系统函数
第3章 连续信号与系统的频域分析
故
因此
71
第3章 连续信号与系统的频域分析
3.23 设f(t)的傅里叶变换为F(jω)，且 试在K≥ωm条件下化简下式：
72
第3章 连续信号与系统的频域分析 73
107
第三、四章连续时间信号与系统的频域分析内容总结
X
第
连续时间信号与系统的频域分析总结
8 页
例15、试求信号f(t)=cos(4t+ )的频谱 。 3
解：
X
第
连续时间信号与系统的频域分析总结
9 页
例16、一因果LTI系统的输入和输出，由下列微分方程表示：（采用傅里叶变
换计算）。 （1）求系统的单位冲激响应 h( t ) ；
d 2 y( t ) dy( t )
X
第
连续时间信号与系统的频域分析内容总结
2 页
第四章是傅里叶变换在LTI系统分析中的应用。 在第三章信号频域分解、分析基础上，研究不同激励信号 通过系统的响应、信号通过系统无失真条件、理想低通滤波器 模型以及物理可实现条件、希尔伯特变换、抽样定理等主要内 容。
X
第
连续时间信号与系统的频域分析总结
3) (j
5)
1ห้องสมุดไป่ตู้
j
3
1
j 5
2
j
4
y z s(t ) e 3t (t ) e 5t (t ) 2e 4t (t )
X
第
连续时间信号与系统的频域分析总结
10 页
例17、如图所示系统，其乘法器的两个输入端分别为：f (t) sin(2t) , s(t) cos(6t)
系统的频率响应为
8
15y( t ) 2 f ( t )
dt 2
dt
（2）若 f ( t ) e4t( t ) ，求该系统的零状态响应 yzs (t) 。
解： （1）
H ( j)
2
11
j2 8 j 15 j 3 j 5
h(t) e 3t(t) e 5t(t)
（2）
第
连续时间信号与系统的频域分析总结
8 页
例15、试求信号f(t)=cos(4t+ )的频谱 。 3
解：
X
第
连续时间信号与系统的频域分析总结
9 页
例16、一因果LTI系统的输入和输出，由下列微分方程表示：（采用傅里叶变
换计算）。 （1）求系统的单位冲激响应 h( t ) ；
d 2 y( t ) dy( t )
X
第
连续时间信号与系统的频域分析内容总结
2 页
第四章是傅里叶变换在LTI系统分析中的应用。 在第三章信号频域分解、分析基础上，研究不同激励信号 通过系统的响应、信号通过系统无失真条件、理想低通滤波器 模型以及物理可实现条件、希尔伯特变换、抽样定理等主要内 容。
X
第
连续时间信号与系统的频域分析总结
3) (j
5)
1ห้องสมุดไป่ตู้
j
3
1
j 5
2
j
4
y z s(t ) e 3t (t ) e 5t (t ) 2e 4t (t )
X
第
连续时间信号与系统的频域分析总结
10 页
例17、如图所示系统，其乘法器的两个输入端分别为：f (t) sin(2t) , s(t) cos(6t)
系统的频率响应为
8
15y( t ) 2 f ( t )
dt 2
dt
（2）若 f ( t ) e4t( t ) ，求该系统的零状态响应 yzs (t) 。
解： （1）
H ( j)
2
11
j2 8 j 15 j 3 j 5
h(t) e 3t(t) e 5t(t)
（2）
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行分解。
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3.1 引言
利用这种方法来分析信号和系统，称为信号和系统的频域分析。 频域分析法不但简化了对系统响应的求解，而且揭示了信号与系统 的频域性质，为人们提供了在频域上进行分析、设计系统的另一途 径。
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3.2 信号分解为正交函数组合
1． 函数（信号）正交定义式
任意两个实函数
第3章 连续信号与系统的频域分析
3.1 引言 3.2 信号分解为正交函数组合 3.3 周期信号的分解——傅立叶级数 3.4 非周期信号的分解——傅里叶变换 3.5 付里叶变换的性质 3.6 傅里叶变换的应用
3.1 引言
分析线性系统的基本任务在于求解系统对于输入信号的响应。 在第2章里读者已经看到，连续信号可以表示为基本信号如阶跃函数 或冲激函数的线性组合。在时域分析中，就是以冲激函数为基本信 号，把任意信号分解为一系列加权的冲激信号之和，而系统的零状 态响应是输入信号与冲激响应的卷积。
f (t) c0 cn cos(n1t n )
n1
或 f (t) d0 dn sin(n1t n )
n1
3．傅立叶级数存在的充分条件
傅立叶级数存在的充分条件
周期信号f(t)须满足“狄利赫利”条件，即
1）一个周期内仅有有限个间断点；
2）一个周期内仅有有限个极值；
3）一个周期内绝对可积，即 t0 T1 f (t) dt t0 上一页 下一页 返回
gi
(t)g
j
(t)dt＝K0
i j i j
则称此实函数集合在区间（ t1, t2 ）的正交函数集合。如果
K=1，称此实函数集合为归一化正交函数集合。
复函数集合 1(t),2(t),,N (t) 如果是在区间 t1,t2 正交的，
则应满足关系式
t2 t1
i
(t)
j
(t)dt
0 K
i j i j
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3.3 周期信号的分解——傅立叶级数
2．傅里叶级数的系数求解
1) 偶函数信号(f(t)=f(-t))
4
an T1
T1
2 0
f (t) cos(n1t)dt
bn 0
2）奇函数信号(f(t)=-f(-t))
a0 0，an 0
bn
4 T1
T1
2 0
f (t) sin(n1t)dt
7．虚指数函数
虚指数函数 e j0t 是具有虚指数 j0t 的无时限信号，由傅里 叶变换定义式可知，
F e j0t e j0t e jt dt e j0 t dt
2 0
8．高斯脉冲
高斯脉冲或称钟形脉冲它的表达式为
其
f
(t)
Ae
t
2
t
F
j
f
t e jt dt A
0
1
e(a j )t
(a j)
0
(a
1 j)
e(a
j )t
0
1 1 2a a j a j a2 2
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3.4 非周期信号的分解——傅里叶变换
3．矩形脉冲信号的傅里叶变换
F
()
A
Sa
2
4．符号函数的傅里叶变换
符号函数：
1
sgn(t)
0
1
t0
eat
t 0 t0
F1( j)
eat (t)e jtdt
ea jt dt
0
1 a j a j a2 2
2．双边指数信号的傅里叶变换
偶双边指数：f (t) ea t
其傅里叶变换为：
F ( j) f (t)e jtdt
(a 0)
ea t e jt dt
0 eate jt dt eate jt dt
3）奇谐函数信号 f (t) f (t T1 )
2
奇谐函数信号：若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上
下反转，此时波形并不发生变化，即满足：
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3.3 周期信号的分解——傅立叶级数
a0 0
n为偶数 an bn 0
n为奇数
an
4 T1
T1
2 0
f (t) cos(n1t)dt
示，这种图就称为频谱图。图中每一条谱线代表一个谐波分量，谱
线的高度代表这一正弦分量的振幅，谱线所在的横坐标的位置代表
这一正弦分量的频率，这种频谱，因为它只表示出了各分量的振幅，
所以称为振幅频谱。
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3.3 周期信号的分解——傅立叶级数
有时把分量的相位的用一个个线段代表并且排列成谱状，这样 的频谱就称为相位频谱。下面以周期矩形脉冲信号的频谱图为例说 明。
lim
a
eat
t0 t0sgn(t)Fra biblioteklim
a0
eat
(t)
eat
(t
)
因此它的傅立叶变换为
F
j
lim
a0
F
a
1 j
a
1 j
2 j
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3.4 非周期信号的分解——傅里叶变换
5．冲激函数的傅里叶变换
单位冲激函数 (t) 是一个实偶函数，其付氏变换也应该是一个
实偶函数。
3.3 周期信号的分解——傅立叶级数
4．基波、谐波
或应的d1通sin常把1t 频率1 为称或为f1 基T1波分2n1量f1。称同为称理基为，波n频次或率谐一波次波谐称分波为量，cn。1次cdon 谐ssin波1tn其t 对1 n
cn cosnt n 5．幅度谱、相位谱
用一些长度不同的线段来分别代表基波、二次谐波、三次谐波 等等的振幅，然后将这些线段按照频率高低依次排列起来如图3-1所
周期信号的特点，具有离散性、谐波性、收敛性.
3.3.2 指数形式的傅里叶级数
1．指数形式的傅里叶级数
设f(t)为任意周期信号（周期
T1
，角频率
1
2 T1
）
则其可展开为指数形式的傅立叶级数。
f (t)
Fne jn1t
n
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3.3 周期信号的分解——傅立叶级数
2．指数形式表示的信号频谱--复数频谱 下面以周期性矩形脉冲的幅度频谱和相位频谱为例来看看它的 特点。由于Fn一般是复函数，所以称这种频谱为复数频谱。
为 , ，即要求信号f(t)在区间绝对可积，则有
F( j)
f (t) e jtdt
f (t) dt
3.4.4 常用信号的傅里叶变换
1．实指数函数的傅里叶变换
f1(t) eat (t) (a 0) 由定义式可算出 f1 t 的频谱密度函数
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3.4 非周期信号的分解——傅里叶变换
F j
(t)e jtdt
1
6．直流信号
如图3-21所示，设f(t)=1的付氏变换为 F j
变换定义式有
f (t) 1 F j e jtd 1
2
，则由其反
考虑到 (t) 是偶函数，则可得
F 1 F j e jtdt 2
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3.4 非周期信号的分解——傅里叶变换
完备正交函数集包含无穷多个函数。
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3.3 周期信号的分解——傅立叶级数
将任意周期信号在三角函数或复指数函数组成的完备正交函数
集 sin n0t,cos n0t , n 1, 2,, 或{ e jn0t , n 0, 1, 2,, }分解而得到
的级数统称为傅立叶级数
3.3.1 三角函数形式的傅里叶级数
3.3.3 三角函数形式的傅立叶级数与指数形式傅 立叶级数的关系
三角函数与虚指数函数有密切的关系，根据欧拉公式，有
cos n1t
e jn1t
e 2
jn1t
sinn1t
e
jn1t
e 2j
jn1t
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3.3 周期信号的分解——傅立叶级数
故三角型傅立叶级数和指数型傅立叶级数实质上是同一种级数
1．一种三角函数形式的傅里叶级数
设f(t)为任意周期信号(周期 T1
,角频率
1
2 T
)
则其可展
开为三角函数形式的傅立叶级数
f (t) a0 an cos(n1t) bn sin(n1t) n1
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3.3 周期信号的分解——傅立叶级数
2．另一种三角函数形式的傅里叶级数
f(t)展开为常用形式
3.4.1 从傅里叶级数到傅里叶变换
f (t) 1
2
f (t)e jtdt e jtd
上式方括号中的部分是参变量 的函数，记为 F j ，即
F j f (t)e jtdt
代入上式 f (t) 1 F je jtd
2
这就是著名的傅里叶变换。常记作 F j F f (t)
4
bn T1
T1
2 0
f (t)sin(n1t)dt
其傅立叶级数三角展开式中仅含基波和奇次谐波。
4）偶谐函数信号 f (t) f (t T1 )
2
偶谐函数也是周期性函数，它的任意半个周期的波形与前半个
周期的波形完全相同，这种函数中只包含偶次谐波分量。
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3.4 非周期信号的分解——傅里叶变换
e e dt
t
2
jt
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3.4 非周期信号的分解——傅里叶变换
9．阶跃信号
单位阶跃信号 t 可用直流信号和符号函数表示如下
(t) 1 1 sgn(t)
22
由此可确定其频谱密度函数为
F (t) () 1