SEC4_信号与系统的频域分析
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信号与系统第四章连续系统的频域分析.ppt
2e
j ( 9 t ) 4
4e
j ( 6 t ) 2
6e
j ( 3 t ) 4
16 6e
j (3 t ) 4
4e
j (6 t ) 2
2e
j (9 t ) 4
二、周期信号频谱的特点
举例：有一幅度为1，脉冲宽度为的周期矩形脉冲， 其周期为T，如图所示。求频谱。
在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多， 即n越大，则均方误差越小。当n→∞时（为完 备正交函数集），均方误差为零。此时有：
t2 t1
f 2 (t ) d t C 2 jKj
j 1
上式称为(Parseval)巴塞瓦尔公式，表明：在区间 (t1,t2) f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函数 集中分解的各正交分量能量的总和。 函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和:
A0 = a0
An a b
2 n
2 n
an An cosn
bn An sin n
bn n arctan an
A0/2为直流分量； A1cos(t+1)称为基波或一次谐波，它的角频率与原周期信 号相同； A2cos(2t+2)称为二次谐波，它的频率是基波的2倍； 一般而言，Ancos(nt+n)称为n次谐波。
上式中第三项的n用–n代换，A–n=An，–n= – n，则上式写为：
A0 1 1 j n jn t j n jn t An e e An e e 2 2 n1 2 n 1
令 A0 A0e
j 0
j ( 9 t ) 4
4e
j ( 6 t ) 2
6e
j ( 3 t ) 4
16 6e
j (3 t ) 4
4e
j (6 t ) 2
2e
j (9 t ) 4
二、周期信号频谱的特点
举例：有一幅度为1，脉冲宽度为的周期矩形脉冲， 其周期为T，如图所示。求频谱。
在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多， 即n越大，则均方误差越小。当n→∞时（为完 备正交函数集），均方误差为零。此时有：
t2 t1
f 2 (t ) d t C 2 jKj
j 1
上式称为(Parseval)巴塞瓦尔公式，表明：在区间 (t1,t2) f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函数 集中分解的各正交分量能量的总和。 函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和:
A0 = a0
An a b
2 n
2 n
an An cosn
bn An sin n
bn n arctan an
A0/2为直流分量； A1cos(t+1)称为基波或一次谐波，它的角频率与原周期信 号相同； A2cos(2t+2)称为二次谐波，它的频率是基波的2倍； 一般而言，Ancos(nt+n)称为n次谐波。
上式中第三项的n用–n代换，A–n=An，–n= – n，则上式写为：
A0 1 1 j n jn t j n jn t An e e An e e 2 2 n1 2 n 1
令 A0 A0e
j 0
系统的频域分析
X i (s) X o (s)
10 GK ( s) s 1
X o (s)
xoss (t ) ?
10 10 GB ( s) s 1 10 s 11 1 s 1 10 GB ( j ) 11 j
A( )
10 10 11 j 121 2
( ) 10 11 j
=0 arctan
11
arctan
11
xoss (t ) A( ) sin(t 30 ( )) 10
2
121 10 1 sin(t 30 arctan ) 11 121 1
sin(t 30 arctan
) 11
频率特性的物理意义
T 1 T
2
如若输入位移是正弦函数，即x(t)=x0sint，根 据式（4-8），其输出位移应为
y( t ) x0 A( )sin t ( ) x0 1 T
2
sin t arctan T
（4-19）
频率特性G(j)的物理意义
本例用定义法求频率特性。直观，但较繁琐。 寻找新的求解频率特性的方法：
X O ( s ) bm s m bm 1 s m 1 b1 s b0 G( s) X I ( s ) am s m am 1 s m 1 a1 s a0
当输入为一正弦波，即 xi ( t ) X i sin t X i X I ( s) 2 2 s
(3) 频率特性随频率而变化，是因为系统含有 储能元件。实际系统中往往存在弹簧、惯量 或电容、电感这些储能元件，它们在能量交 换时，对不同频率的信号使系统显示出不同 的特性。
信号与系统第4章 连续信号的频域分析
8
4.2.2 周期信号频谱的特点 观察前面的周期矩形脉冲信号和全波整流余弦 信号的频谱，可以发现其中有些共同的特点。实际 上，所有周期信号的频谱都具有如下特点： ①离散性。周期信号的频谱 An，φn 或 Fn 都以 整数变量 n为自变量，频谱图由离散的谱线和点构 成，这样的频谱称为离散谱。所有周期信号的频谱 都为离散谱。 ②谐波性。周期信号的频谱中自变量 n的取值 对应各分量的频率，n只能取整数，因此各分量的 频率只能为原周期信号基波频率的整数倍。
图 4.5.1 复简谐信号、余弦信号和正弦信号的频谱图
29
这就是任一周期信号傅里叶变换的计算公式。 该式说明，周期信号的傅里叶变换即频谱密度由无 穷多个冲激构成，各冲激函数位于基波频率的整数 倍位置，强度为周期信号幅度谱|Fn|的 2π 倍。因 此，对一般的周期信号，可以先求出其傅里叶系数 ，再按上式求得其傅里叶变换。
第4章 连续信号的频域分析
信号和系统时域分析方法的基本思想是将任 意的输入信号分解为单位冲激信号的叠加。对 LTI 系统，只要知道了其单位冲激响应，即可通过卷 积积分求出任意输入信号作用下系统的零状态响 应。信号的分解并不是唯一的。例如，信号还可 以分解为一系列正交函数的线性组合。
1
4.1 周期信号的傅里叶级数 所有具有各自不同频率的正弦函数 sin nΩt（n =1，2，…）和余弦函数 cosnΩt（n =0，1，2， …）在时间区间（ t0，t0+2π /Ω）范围内构成一个 完备的正交函数集。同样，所有虚指数函数ejnΩt （n = ±0，±1，±2，…）在此时间范围内也构 成一个正交函数集。傅里叶提出，一个周期信号可 以用以上两种正交函数集中相互正交的若干函数的 线性组合来表示。或者说，可以将周期信号分解为 这些正交函数的加权和。
信号与系统 第4章 信号复频域分析
些信号是不满足绝对可积条件的，因而其信号的分析
受到限制；
f t d t
•在求时域响应时运用傅里叶反变换对频率进行的无穷
积分求解困难。
1 f (t ) 2
F ωe j t d ω F 1 f (t )
4 信号的复频域分析
第4章 信号与系统的复频域分析
全s域平面收敛
st0
L t t0 t t0 e d t e
4 信号的复频域分析
t n ut 5．
L t t n e std t
n 0
t n st n n1 st e t e dt s 0 s 0
( s z1 )( s z2 ) ( s zm ) N ( s) F ( s) k k ( s p1 )( s p2 ) ( s pn ) D( s )
k ; z j , j 1, 2, , M ; pi i 1, 2, 3, , N .
3.正弦型信号
s L[cos(0t )u (t )] 2 > 2 s 0
0 L[sin(0t )u (t )] 2 > 2 s 0
4.单位冲激信号
L t t e std t 1
0
st 0
e
α t st
e dt
1 αs
σ > α
L[e L[e
- j0 t
1 ] （ > s +j0 ] > s -（ 0 +j0） 1
（ 0 +j0）t
信号与系统PPT教学课件-第4章 信号的频域分析(一)
x(t)
a0 2
n1
An
cos n0t
n
其中 An an2 bn2 n arctan bn an
a0/2称为信号的直流分量，
An cos(n0 t + n) 称为信号的n次谐波分量。
12
4.1.1 周期信号的Fourier级数表示
4. 对称特性
(1) 纵轴对称信号 ~x(t) ~x(t) ~x (t)
2. 掌握连续周期信号、连续非周期信号、离散周期信号、离 散非周期信号的频域分析方法，从数学概念、物理概念及 工程概念理解信号时域与频域的关系。
3. 掌握常见连续时间信号的频谱，以及傅里叶变换的基本性 质、物理含义及应用。
4. 深刻理解和灵活应用时域抽样定理和频域抽样定理。 5. 能够利用MATLAB进行信号的频域分析。
~x (t) 不连续时，|Cn|按1/n 的速度衰减 ~x (t)连续而其一阶导数不连续时，|Cn|按1/n2的速度衰减
29
4.1.2 周期信号的频谱
3. 频谱的特性
(3) 信号的有效带宽
0~2 / 这段频率范围称为周期矩形脉冲信号
的有效频带宽度,即
B
2π
信号的有效带宽与信号时域的持续时间成反比。 即 越大，其B越小；反之， 越小，其B 越大。
A
t
T0 T0 / 2 0
T0 / 2 T0
an
2 T0
T0 T0
2 2
x(t)
cos(n0t)dt
4 T0
T0 0
2
x(t) cos(n0t)dt
bn
2 T0
T0 T0
2 2
x(t) sin(n0t)dt
0
纵轴对称周期信号其傅里叶级数展开式中
信号与系统的频域分析
三、Ｆourier级数系数的对称性质：
• 1、偶函数：f(t) ＝f(－t)
4 a n f t cos(n1 t )dt T bn 0 an 2 Fn f t cos(n1 t )dt 2 T
T 2 0
T 2 0
2、奇函数：f(t) ＝－f(－t)
an 0 4 b n f t sin(n1 t )dt T T jb n 2 2 Fn j f t sin(n1 t )dt 2 T 0
xt g t dt 0
i
• （i为任意正整数），则此函数集称为完备正 交函数集。
四、信号的分解
Y
• A=c1x+c2y+c3z • X,y,z,为单位向量 若{ ri(t) }为n维正 交函数集
y x
z Z
A
X
.f(t)=c1.r1(t)+ c2.r2(t)+ c3.r3(t)+…..+ cn.rn(t)
§３－１
信号的正交分解
f1 t cf 2 t
• 一、正交函数：
若
t1 , t 2
•确定使方均误差最小的系数C：
2 t2 1 2 t t1 f1 t cf 2 t dt t 2 t1 2 t2 d2 d 1 t1 f1 t cf 2 t dt dc dc t 2 t 1
二、奇异信号：
1. t 1
重要推论：
•
２、常数１
e
j xy
dy 2 x
1 2
３、符号函数：（sign function）
1 t 0 sgnt 1 t 0 2 j F 0 0 0
信号与系统4New [兼容模式]
![信号与系统4New [兼容模式]](https://img.taocdn.com/s3/m/39979a1ea8114431b90dd89a.png)
3 奇半波对称
f t
1
T
T f (t ) f (t ) 2
a0 an bn 0 T 42 an f (t ) cos( (n0t ) dt T 0 T 42 bn f (t ) sin(n0t ) dt T 0
4
2011-11-08
t 1T t1 cos m1t sinn1tdt 0
m, n 为任意整数
mn
t 1 T t 1 T cos m t cos n tdt 1 1 t 1 t 1 sin m 1 t sin n 1 tdt 0
t 1T t 1T 2 T 2 cos n tdt 1 t1 t1 sin n1tdt 2
f (t )
C g (t )
i i i 1
n
三角函数集、复指数函数集是完备正交函数集 1、三角函数集： 角 数集
1, cos 1 t , cos
2 1 t , cos n 1 t , , sin 1 t , sin 2 1 t , sin n 1 t ,
t 1T
t 1T
t1
f ( t ) sin n 1 tdt
t1
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2.复指数函数集：e jn 1 t
（其中 n 0, 1, 2 )
t 1 T t1
e
jm 1 t
e
jn 1 t
dt
0
m n
t 1 T t1
e
2
2
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发展历史
•1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier,1768-1830)在研究热传 导理论时发表了“热的分析理论”，提出并证明了将周期函数展 开为正弦级数的原理 奠定了傅里叶级数的理论基础 开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。 •泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把这一成果应用到电学中去， 得到广泛应用。 •进入20世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具 体问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔 的前景。 的前景 •在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换 法具有很多的优点。 •“FFT”快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。
信号与系统—信号的频域分析
(3)信号的有效带宽
• 0~2 / 这段频率范围称为周期矩形脉冲信
号的有效频带宽度,即
B
2
信号的有效带宽与信号时域的持续时间成反比。
即 越大，其ωB越小；反之， 越小，其ωB越大
物理意义：若信号丢失。有效带宽以外的谐波成分，
不会对信号产生明显影响。
说明：当信号通过系统时，信号与系统的有效带宽 必须“匹配”。
物理含义：周期信号f(t)可以分解为不同频率虚指数信号之和。
3. 三角形式傅立叶级数
若 f (t)为实函数，则有
Cn Cn
利用这个性质可以将指数Fourier级数表示写为
1
f (t) C0
Cne jn0t
Cne jn0t
n
n1
C0
Cne jn0t Cne jn0t
n1
C0 2 Re( Cne jn0t )
用有限次谐波分量来近似原信号，在不连续点 出现过冲，过冲峰值不随谐波分量增加而减少， 且 为跳变值的9% 。
吉伯斯现象产生原因
时间信号存在跳变破坏了信号的收敛性，使得 在间断点傅里叶级数出现非一致收敛。
1.2
1 N=5
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
1.2
f1(t)
2
-4 -3 -2 -1
1 2 34
f2 (t)
1
t
f2 (t) 0.5
n1
Sa ( n ) cos(nt )
2
2
-4 -3 -2 -1
1 2 34
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信号与系统的频域分析
发展历史
1822年，法国数学家傅立叶（J.Fourier,1768-1830）在研究 热传导理论时发表了“热的分析理论”，提出并证明了将周期函数 展开为正弦级数的原理，奠定了傅立叶级数的理论基础。 泊松（Poisson）、高斯（Guass）等人把这一成果应用到电 学中去，得到广泛应用。 进入20世纪后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具 体问题的解决为正弦函数与傅立叶分析的进一步应用开辟了广阔的 前景。 在控制与通信系统的理论研究与工程实际应用中。傅立叶变 化法具有很多的优点。 “FFT”快速傅立叶变换为傅立叶分析法赋予了新的生命力。
代入，得最小均方误差
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小结 函数f(t)可分解成无穷多项正交函数之和
f t C j j t
j 1
1 2 Cj f t j t dt Kj t
1
t
巴塞瓦尔能量公式
t2
t
f t dt Ci 2 K i
n的偶函数： an , An , Fn n的奇函数： bn ,n
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四、周期信号的功率——Parseval等式
周期信号一般是功率信号，其平均功率为
直流分量能量
见书p.147 式4-40
含义：直流和n次谐波分量在1Ω 电阻上消耗的平均功率之和。 n≥0时， |Fn| = An/2。
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例：周期信号f(t) = 试求该周期信号的基波周期T，基波角频率Ω ，画出它的 单边频谱图，并求f(t) 的平均功率。
解:
首先应用三角公式改写f(t)的表达式，即
显然1是该信号的直流分量。
所以f(t)的周期T = 24，基波角频率Ω =2π /T = π /12
根据帕斯瓦尔等式，其功率为P=
作业：p.202 4-6
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三、傅里叶级数的指数形式
三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便， 因而经常采用指数形式的傅里叶级数。可从三角形式推出：利 用cosΩt=(ejΩt+ e–jΩt)/2
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cosΩt=(ejΩt+ e–jΩt)/2
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二、波形的对称性与谐波特性
参见教材 P.135 掌握
1 .f(t)为偶函数——对称纵坐标
bn =0，展开为余弦级数。 2 .f(t)为奇函数——对称于原点 an =0，展开为正弦级数。
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3 .f(t)为奇谐函数——f(t) = –f(t±T/2) 此时其傅里叶级数中只含奇 次谐波分量，而不含偶次谐波分 量即a0=a2=…=b2=b4=…=0
n = 0, ±1, ±2，…
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傅立叶系数之间的关系
Fn Fn e jn 1 Ane jn 1 an jbn 2 2 Fn 1 an2 bn2 1 An an An cos n bn An sinn 2 2 b n arctan n an
cosωt=(ejωt+ e–jωt)/2
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频域分析
从本章开始对系统的分析从时域转入变换域进行分析， 首先讨论傅立叶变换。傅立叶变换是在傅立叶级数正交函 数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅立 叶分析。将信号f(t)进行正交分解，即分解为三角函数 sinωt或虚指数函数ejωt的组合。 频域分析将时间变量变换为频率变量，揭示了信号内 在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切 关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制等重 要概念。
2 j 1
1
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4.2 周期信号的傅里叶级数 三角函数集 三角函数集{1，cos(nΩ t)，sin(nΩ t)，n=1,2,…} 是在区间(t1，t1+T)(T=2π /Ω )上的完备正交函数集。
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一、傅里叶级数的三角形式 设周期信号f(t)，其周期为T，角频率Ω =2π /T，当满足 狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级数—— 称为f(t)的傅里叶级数
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根据傅里叶级数
考虑到：T→∞，Ω →无穷小，记为dω ； n Ω → ω 由离散量变为连续量），
而
同时，
于是，
傅里叶变换式 傅里叶反变换式
F(jω )称为f(t)的傅里叶变换或频谱密度函数，简称频谱。 f(t)称为F(jω )的傅里叶反变换或原函数。
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SEC4 信号与系统的频域分析
4.1 信号的正交分解P5 4.2 周期信号的傅里叶级数P12
4.3 周期信号的频谱及特点P22
4.4 非周期信号的频谱——傅里叶变换P28
4.5 傅里叶变换的性质P36
4.6 周期信号的傅里叶变换P59
4.7 LTI系统的频域分析P63
(c)
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虚指数函数集{ejnΩ t，n=0，±1，±2，…}是典型的在区 间(t1，t1+T)(T=2π /Ω )上的完备正交函数集。
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三、信号的正交分解 设有n个函数φ 1(t)， φ 2(t)，…， φ n(t)在区间(t1，t2)构 成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这n个正交函数的线性 组合来近似，可表示为 f(t)≈C1 φ 1+ C2 φ 2+…+ Cn φ n 问题：如何选择各系数Ci使f(t)与近似函数之间误差在区间(t1， t2)内为最小。 均方误差为
则上式写为 上式中第三项的n用–n代换，A– n=An，φ– n= –φn， 傅里叶级数的指数形式 令A0=A0ejφ0ej0Ω t φ0=0 所以
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傅里叶级数的指数形式 令复数
j
称其为复傅里叶系数， 简称傅里叶系数。书上用Cn
t
表明：任意周期信号f(t)可分解为 许多不同频率的虚指数信号之和。Fn 是频率为nΩ 的分量的系数，F0 = A0/2 为直流分量。
则称此函数集为在区间(t1，t2)上的正交函数集。
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3. 完备正交函数集： 如果在正交函数集{φ 1(t)， φ 2(t)，…， φ n(t)}之外， 不存在任何函数φ (t)(≠0）满足
则称此函数集为完备正交函数集。 例如：三角函数集{1，cos(nΩ t)，sin(nΩ t)，n=1,2,…} 是在区间(t1，t1+T)(T=2π /Ω )上的完备正交函数集。 (a) (b)
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T = 4τ
(b) 一定，T增大，间隔减小，频谱变密。幅度减小。 如果周期T无限增长（这时就成为非周期信号），那么， 谱ห้องสมุดไป่ตู้间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱就过渡到非周期信 号的连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小。
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4.4 非周期信号的频谱—傅里叶变换 一、傅里叶变换的引出 T
为使上式最小（系数Ci变化时），有
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在用正交函数去近似f(t)时，所取的项数越多，即n越大， 则均方误差越小。当n→∞时（为完备正交函数集），均方误 差为零。此时有 展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不为0， 写为 上式称为(Parseval)巴塞瓦尔定理（公式），表明：在区 间(t1,t2) f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函数集中分解的各 即 正交分量能量的总和。 函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和 所以系数
傅里叶变换式 傅里叶反变换式
系数an , bn称为傅里叶系数
可见， an 是n的偶函数， bn是n的奇函数。 将上式同频率项合并，可写为 A0 = a0
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A0 = a0
可见An是n的偶函数， φn是n的奇函数。 an = Ancos φn， bn = –Ansin φn，n=1,2,… 上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。 其中， A0/2为直流分量； A1cos(Ω t+ φ1)称为基波或一次谐波，它的角频率与原周期 信号相同； A2cos(2Ω t+ φ2)称为二次谐波，它的频率是基波的2倍；一 般而言。 Ancos(nΩ t+ φn)称为n次谐波。
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Fn为实数，可直接画成一个频谱图。设T = 4τ 画图。 令Sa(x)=sin(x)/x (取样函数） 零点为 所以
m为整数。
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T = 4τ
特点： (1)周期信号的频谱具有谐波(离散)性。谱线位置是基 频Ω 的整数倍； (2)一般具有收敛性。总趋势减小。 谱线的结构与波形参数的关系： (a) T一定，变小，此时（谱线间隔）不变。两零点之间的 / /T)=T/增多。 谱线数目：1/=（2）/(2
4.8 取样定理P77
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4.0 引言
时域分析的要点是，以冲激函数为基本信号，任意输入信 号可分解为一系列冲激函数；而
yf(t) = h(t)*f(t)。 本章将以正弦信号和虚指数信号ejω t为基本信号，任意输 入信号可分解为一系列不同频率的正弦信号或虚指数信号之和。 这里用于系统分析的独立变量是频率。故称为频域分析。