连续信号与系统的复频域分析

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实验七连续信号与系统复频域分析的MATLAB实现1

实验七连续信号与系统复频域分析的MATLAB 实现一、实验目的1. 掌握连续时间信号拉普拉斯变换的MATLAB 实现方法；2. 掌握连续系统复频域分析的MATLAB 实现方法。

二、实验原理1. 连续时间信号的拉普拉斯变换连续时间信号的拉普拉斯正变换和逆变换分别为：⎰∞∞--=dt e t f s F st )()(⎰∞+∞-=j j stds e s F j t f σσπ)(21)(Matlab 的符号数学工具箱（Symbolic Math Toolbox ）提供了能直接求解拉普拉斯变换和逆变换的符号运算函数laplace()和ilaplace ()。

下面举例说明两函数的调用方法。

（1）拉普拉斯变换例1.求以下函数的拉普拉斯变换。

)()()2()()()1(221t te t f t e t f t t εε--==解：输入如下M 文件：syms tf1=sym('exp(-2*t)*Heaviside(t)'); F1=laplace(f1) %求f1(t)的拉普拉斯变换 f2=sym('t*exp(-t)*Heaviside(t)'); F2=laplace(f2) 运行后，可得如下结果：F1 = 1/(s+2) F2 = 1/(s+1)^2 （2）拉普拉斯逆变换例2.若系统的系统函数为1]Re[,231)(2->++=s s s s H 。

求冲激响应)(t h 。

解：输入如下M 文件：H=sym('1/(s^2+3*s+2)');h=ilaplace(H) %求拉普拉斯逆变换运行后，可得如下结果：h=exp(-t)-exp(-2*t) 2. 连续系统的复频域分析若描述系统的微分方程为∑∑===Mj j j Ni i i t f b t ya 0)(0)()()(则系统函数为)()()()()(00s A s B sa sb s F s Y s H Ni ii Mj jj===∑∑== 其中，∑∑====Mj j j Ni i i s b s B s a s A 0)(,)(。

第4章连续信号与系统的复频域分析

式（ 4.1-5 ）和（ 4.1-6 ）称为双边拉普拉斯变换对，可以用双箭头表示f ( t )与F(s) 之间这种变换与反变换的关系
记F (s) L [ f (t )], f (t ) L [ F (s)]
-1
f (t ) F ( s)
从上述由傅氏变换导出双边拉普拉斯变换的过程中可以看出，f (t) 的双边拉普拉斯变换F(s)=F( j )是把f (t)乘以e - t之后再进行的傅里叶变换，或者说F(s)是f ( t ) 的广义傅里叶变换。
j
1
j
st
ds
t > 0
(4.1-9）
记为£ -1[ F(s)]。即
F(s) =£ [ f (t) ]
–1 [ F (s) ] 和 f (t) = £
式（4.1-8）中积分下限用0－而不用0＋，目的是可把t = 0－时出现的冲激考虑到变换中去，当利用单边拉普拉斯变换解微分方程时，可以直接引用已知的起始状态f (0－)而求得全部结果，无需专门计算0－到0＋的跳变。
经过 0 的垂直线是收敛边界，或称为收敛轴。
由于单边拉普拉斯变换的收敛域是由 Re[s] = > 0的半平面组成，因此其收敛域都位于收敛轴的右边。
凡满足式(4.1-10)的函数f ( t )称为“指数阶函数”，意思是可借助于指数函数的衰减作用将函数f(t) 可能存在的发散性压下去，使之成为收敛函数。
在收敛域内，函数的拉普拉斯变换存在，在收敛域外，函数的拉普拉斯变换不存在。
双边拉普拉斯变换对并不一一对应，即便是同一个双边拉普拉斯变换表达式，由于收敛域不同，可能会对应两个完全不同的时间函数。
因此，双边拉普拉斯变换必须标明收敛域。

信号与系统第四章-连续信号复频域分析

j
0
（可以用复平面虚轴上的连续频谱表示）实际上是把非周期信号分解为无穷多等幅振荡的正
弦分量 d cost 之和。《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS
F ( )

f (t )e jt dt
ZB
3. 拉普拉斯变换
2 j f (t ) F ( s)
称为衰减因子； e- t 为收敛因子。返回《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS
ZB
取 f(t)e- t 的傅里叶变换：
F [ f (t )e
t
]

f (t )e
t jt
e
f (t )e ( j )t dt dt

它是 j的函数，可以表示成
拉普拉斯变换（复频域）分析法 – 在连续、线性、时不变系统的分析方面十分有效 – 可以看作广义的傅里叶变换 – 变换式简单 – 扩大了变换的范围 – 为分析系统响应提供了规范的方法
返回《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS
ZB
4.1 拉普拉斯变换
4.1.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换
单边拉氏变换的优点： (1) 不仅可以求解零状态响应，而且可以求解零输入响应或全响应。 (2) 单边拉氏变换自动将初始条件包含在其中，而且只需要了解 t=0- 时的情况就可以了。 (3) 时间变量 t 的取值范围为 0 ~ ，复频域变量 s 的取值范围为复平面( S 平面)的一部分。 j S 平面当 >0 时， f(t)e- t 绝对收敛。
ZB
按指数规律增长的信号：如 e t ，0 =
比指数信号增长的更快的信号：如 e 或t t 找不到0 ，则此类信号不存在拉氏变换。

信号与系统自测题（第4章连续时间信号与系统的复频域分析）含答案

《信号与系统信号与系统》》自测题第4章连续时间连续时间信号与信号与信号与系统的的系统的的系统的的复复频域分析一、填空题1、由系统函数零、极点分布可以决定时域特性，对于稳定系统，在s 平面其极点位于左半开平面（不含虚轴）。

2、线性时不变连续时间系统是稳定系统的充分必要条件是()H s 的极点位于s 平面的左半开平面（不含虚轴）。

3、()H s 的零点和极点中仅极点决定了()h t 的函数形式。

4、()H s 是不随系统的输入信号的变化而变换。

5、已知某系统的系统函数为()H s ，唯一决定该系统单位冲激响应()h t 函数形式的是()H s 的极点。

6、如下图所示系统，若221()2()()22U s H s U s s s ==++，则L = 2 H ，C =14F 。

注：2211()121/2()1()(0.5)1221/2U s Cs H s U s Ls Cs s s Ls Cs +====++++++2Ls s =222LCs s = 所以 2L = 1/4C =7、某信号2()x t t =，则该信号的拉普拉斯变换是32s。

注：1!()nn n t t sε+↔8、若信号3()t f t e =，则()F s =13s −。

9、431s s ++的零点个数是 0 ，极点个数是 4 。

10、求拉普拉斯逆变换的常用方法有部分分式分解法、留数法。

1(U s Ls+−+−2()s11、若信号的单边拉普拉斯变换为32s +，则()f t =23()t e u t −。

12、已知6()(2)(5)s F s s s +=++，则原函数()f t 的初值为 1 ，终值为 0 。

注：6(0)lim 1(2)(5)s s f s s s →∞+=×=++ 06()lim 0(2)(5)s s f s s s →+∞=×=++13、已知2()(2)(5)sF s s s =++，则原函数()f t 的初值为 2 ，终值为 0 。

第四章连续时间信号与系统的复频域表示与分析

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信号与系统 2
第四章连续时间信号和系统的复频域表示与分析
单边指数信号 e at ut
1 e ut , sa
at
Res a
说明
知道 e at u( t ) 的 L 变换可以推导出其他许多函数的 L 变换。
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信号与系统
e
at
1 ( a j ) t costu( t ) (e e ( a j ) t )u( t ) 2 1 1 1 sa ( s a )2 2 j2 s a j s a j
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信号与系统
第四章连续时间信号和系统的复频域表示与分析
一
1
常用信号的拉普拉斯变换
t 和 t
L t 1,
L t s,
推广 :
Res Res
L n t s n
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信号与系统
第四章连续时间信号和系统的复频域表示与分析
例题
求下列信号的Laplace变换的收敛域
1ut ut 2ut 3sin0 tut 4tut , t n ut 5e 3t ut 6t t ut , e t ut
记作 f t L 1 F s
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信号与系统
第四章连续时间信号和系统的复频域表示与分析
f t F s
L
注意
信号 f(t) 必须是单边信号，即 t <0, f (t)=0。积分下线的选取。为了可以从 s域分析在0时刻包含冲激的信号，以及由s域分析系统的零输入响应，所以采用 0- 定义。习惯上把下线简写为0，其含义于 0- 相同。

重庆邮电大学信号与系统课件第4章

f
(t )
etch tU
(t )
F (s)
(s
(s ) )2
2
23
通信与信息基础教学部
典型信号的拉普拉斯变换(1)
原函数
f (t)
像函数
F (s)
(t)
(t)
t (t)
Ae at (t)
sin0t (t)
cos0t (t)
24
通信与信息基础教学部
1
1 s 1 s2 A
sa
0 s2 02
1 2
s
1
s
1
1 2
s2
2s
2
s2
s
2
22
通信与信息基础教学部
典型信号的拉氏变换
同理
f
(t)
s ht
F (s)
s2
2
f
(t)
s h tU (t)
F (s)
s2
2
f
(t)
c h tU (t)
F (s)
s2
s
2
f (t) et s h tU (t) F (s)
(s )2 2
f (t) 1
2 j
j j
Fb
(
s)e
st
ds
拉普拉斯变换是将时域函数f(t)变为复频域函数Fb(s)；或作相反的变换。此处时域变量t是实数，复频域变量s是复数。
（拉普拉斯变换建立了时域和复频域（s 域）间的联系。）
6
通信与信息基础教学部
拉普拉斯变换的收敛域(1)
拉普拉斯变换的收敛域
02
18
通信与信息基础教学部
典型信号的拉氏变换
同理

信号与系统第四章连续信号与系统的复频域分析(1)(2)

st
st
s
例4.1-4 求 t 、 ' t 的象函数。解： t ， ' t 均为时限信号，所以收敛域

为整个
L t t e dt t dt 1
st
s 平面。
0
de st se st s L ' t ' t e st dt dt t 0 0 t 0
Res

双边函数
的收敛域

如果，当然存在共同的收敛域，收敛域是带 Res 状区域 ; 如果则没有共同的收敛域，Fb s 不存在。
因果函数的收敛域
反因果函数的收敛域
双边函数的收敛域
当收敛域包含虚轴时，拉氏变换与傅氏变换同时存在，将 s j 代入即可得其傅氏变换。
对任意信号 f t 乘以一个衰减因子 t ,适当选取的值使 f t e t 当 t 时,

e
信号幅度趋于0，从而使其满足绝对可积的条件：

例如

f t e
t
dt
f t e t
2t
2t 2t

e t dt e dt
t
必然存在，这是讨论拉氏变换收敛域的出发点。为了达到这个要求， f t 应满足：
lim f t e
t
t
0
0
0是满足 lim f t e t 0 的最小值。 t
我们称 f t 为 0 指数阶的。 f t 可以是增长的，只要它比某些指数增长的慢，其拉氏变换就存在。

信号与系统第四章__连续系统的复频域分析

L[et
sin 0t ]

L{ 1 2j
[e (
j0 )t
e( j0 )t ]}
1( 1 1 )
2 j s j0 s j0

(s

0 )2

02
即
eat
sin
0t
L
(s

0
a)2

02
8.冲激偶信号 ' (t)
3.阶跃信号u（t），则根据定义其拉普拉斯变换为
L[u(t)] u(t)est dt 1
0
s
1L 1
s
即
A L A
s
4. 余弦信号cosω0t
因为
cos0t

1 2
(e j0t

e
) j0t
L[cos0t]

1 2
L[e
] j0t

1 2
L[e
] j0t
j0
)

0 s2 02
即
sin
0t
L
s2
0 02
6.衰减余弦信号e-αt·cosω0t
因为
et
cos0t
1 (e( j0 )t 2
e( j0 )t )
L[et
cos0t]

L{1 2
[e (
j0 )t
e( j0 )t ]}
2j
j
F
(S
)est
ds

(t
)
（4-6）
式（4-5）、（4-6）称为单边拉普拉斯变换对。实际系统中
的信号都有原始信号，即t<0时， f(t)=0，所以我们只需要

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有关，故ROC的边界总是平行于j 的直线。
上一页下一页返回
4.2 拉普拉斯变换
2）拉氏变换的收敛域内无极点。 3）时限信号的收敛域是整个S平面。 4）右边信号的收敛域是最右边极点的右边区域。 5）左边信号的收敛域是最左边极点的左边。 6）双边信号的拉氏变换如果存在，则它的收敛域是一个带形区域。
f2 (t) F2 (s), Re[s] 2
则 f1(t) * f2 (t) F1(s)F2 (s), Re[s] max(1, 2 )
4.3.6 复频域卷积分性质
若 f1(t) ， f2 (t) 为因果信号，并且：
f1(t) F1(s), Re[s] 1
f2 (t) F2 (s), Re[s] 2
则
f1(t)
f2 (t)
1 2
j
c j
c j F1()F2 (s )d, Re[s] 1 2,1 c Re[s] 2
上一页下一页返回
4.3 单边拉普拉斯变换的性质
4.3.7 时域微.积分性质
若 f (t) F (s), Re[s] 0
n1
则 f (n) (t) sn F (s) sn1m f (m) (0 ) , Re[s] 0
返回
4.5 连续系统的复频域分析
二阶常系数线性微分方程的一般形式为：
d2
d
d2
d
dt2 y(t) a1 dt y(t) a0 y(t) b2 dt2 f (t) b1 dt f (t) b0 f (t)
式中，a0 、a1 和 b0 、 b1 、 b2 为实常数；f(t)为因果信号，
因此， f (0 ) 、 f (0 ) 均为零。设初始时刻 t0 0 ，y(t)的单边拉
双边拉普拉斯变换是信号 f (t)et 的傅里叶变换，因此，若 f (t)et
绝对可积，即
f (t) etdt
则f(t)的双边拉普拉斯变换一定存在。上式表明，F(s)是否存
在取决于能否选取适当的。进一步说，由于 Re[s] ，所以，
F(s)是否存在取决于能否选取适当的S。由于F(s)的收敛域由S的实
（为实数），构建新的信号：
(t)et
eat et ( a)
et sin t
对于新构建的信号 f (t) e-t（为实数），如果能选择适当
的使 f (t)e- t 绝对可积，
上一页下一页返回的傅里叶变换存在。
用 F( j) 表示该信号的傅里叶变换，根据傅里叶变换的定义，
普拉斯变换为Y(s)，对上式两端取单边拉普拉斯变换，根据时域微
分性质得
[s2Y(s) sy(0 ) y '(0 )] a1[sY(s) y(0 )] a0Y(s)
b2s2F (s) b1sF (s) b0F (s)
即 (s2 a1s a0 )Y (s) [(s a1) y(0 ) y '(0 )] (b2s2 b1s b0 )F (s)
对于简单的拉普拉斯逆变换可以用查表法。常见的拉普拉斯逆变换如表4-2所示。
4.4.2 部分分式展开法
设F(s)是S的有理真分式
F(s)
B(s) A(s)
bmsm an s n
bm1sm1 ... b1s b0 an1sn1 ... a1s a0
（n>m）
式中系数 a0 , a1,..., an1, an ， b0,b1,...bm1,bm 都是实常数；m,n是正整数。按代数定理可将F(s)展开为部分分式。
5．正弦函数 f (t) sin t (t) 的拉氏变换
L[sint (t)] sintestdt 0
1
2j
0
e(s j)t
e(s j)t
dt
上一页下一页返回
4.2 拉普拉斯变换
即同理
1 2j
s
1 j
s
1 j
s2
2
(Re[s]
0)
L[sin t ]
s2
s
L[t (t)]
test dt
0
[ te st s
]0
1 s
e st 1
0
s2
即
L[t
(t)]
1 s2
同理可得，当n为正整数
L[tn (t)]
n! s n 1
上一页下一页返回
4.2 拉普拉斯变换
3．指数函数 f (t)=eat (t) (a是实常数)的拉氏变换
L[eat (t)]
2 j j
上一页下一页返回
4.2 拉普拉斯变换
4.2.2 双边拉普拉斯变换的收敛域
拉氏变换与傅里叶变换一样存在收敛域问题。并非任何信号的拉氏变换都存在，也不是S平面上的任何复数都能使拉氏变换收敛。不同的信号可能会有完全相同的拉氏变换表达式，只是它们的收敛域不同。只有拉氏变换表达式连同相应的收敛域，才能和信号建立
x
A(s)
与输入有关，而与初始值f (0 ) 、f '(0 ) 无关，因此，它是系统零
状态响应y(t)的单边拉普拉斯变换。求得逆变换，得到系统的全响
应：
上一页下一页返回
4.5 连续系统的复频域分析
y(t) y (t) y (t) L1[ M (s) B(s) F(s) ]
x
f
A(s) A(s)
f (t t0 ) (t t0 ) est0 F (s) , Re[s] 0
下一页返回
4.3 单边拉普拉斯变换的性质
4.3.3 复频移性质
若 f (t) F (s), Re[s] 0
则 f (t)esat F (s sa ) , Re[s] 0 a , (sa a ja )
若 f (t) F (s), Re[s] 0
则
f (t)
t
s F()d, Re[s] 0
4.3.11 初值定理
若信号f(t)不包含冲激函数 (t) 及其各阶导数，并且
f (t) F (s), Re[s] 0
上一页下一页返回
4.3 单边拉普拉斯变换的性质
则信号f(t)的初值为
系统的初始状态决定。A(s)称为系统的特征多项式，A(s)=0称为系
统的特征方程， A(s)=0的根称为特征根；Y(s)的第一项M (s) 只与
A(s)
初始值y(0 ) 、y(0 ) 有关，与系统的输入无关，因此，它是系统
零输入响应y (t) 的单边拉普拉斯变换；Y(s)的第二项B(s) F (s) 只
在任一有限区间上满足狄利赫利条件，并要求 f (t) dt 存在。这是
一个比较苛刻的要求，有几种常见的情况就不满足狄里赫利条件：
下一页返回
4.2 拉普拉斯变换
阶跃信号 f (t) (t)
增长信号 f (t) eat (a>0)
周期信号 f (t) sint
对这几种傅立叶变换不存在的信号，若乘一衰减因子 e-t
F
n1 (s) m1 snm1
f
(m) (0 ), Re[s] max( 0, 0)
上一页下一页返回
4.3 单边拉普拉斯变换的性质
4.3.9 复频域微分性质
若 f (t) F (s), Re[s] 0
则
(t)n f (t)
d nF (s) dsn
, Re[s]
0
4.3.10 复频域积分性质
4.3.4 尺度变换性质
若 f (t) F (s), Re[s] 0
则
f
(at)
1 a
F( t ), a
Re[s]
a 0
(a
0)
4.3.5 卷积性质
若 f1(t) ， f2 (t) 为因果信号，并且：
上一页下一页返回
4.3 单边拉普拉斯变换的性质
f1(t) F1(s), Re[s] 1
m0
若f(t)为因果信号，则 f (n) (0 ) 0 ( n 1, 2L )，此时，时域微
分性质表示为 f (n) (t) snF (s) , Re[s] 0
4.3.8 时域积分性质
若 f (t) F (s), Re[s] 0
则 f (n) (t)
t
(
)n
f
( x)dx
1 sn
f
(0 )
lim t 0
f
(t) lim sF s
(s)
4.3.12 终值定理
若f(t)在 t 时极限 f () 存在，并且 f (t) F (s), Re[s] 0
则的终值为
f () lim f (t) lim sF(s)
t
s0
上一页返回
4.4 拉普拉斯逆变换
4.4.1 查表法
A(s) (s2 a1s a0 )
下一页返回
4.5 连续系统的复频域分析
B(s) (b2s2 b1s b0 )
M (s) (s a1) y(0 ) y '(0 )
Y (s)
Yx (s)
Yf
(s)
M (s) A(s)
B(s) A(s)
F (s)
y(0 ) 和 y '(0 ) 是在 t 0 时刻的初始值，由 t 0 时刻
一一对应的关系。在以为实轴， j 为虚轴如图4-1所示的复
平面中，使拉氏变换积分收敛的那些复数S的集合，称为拉氏变换的收敛域（Region of Convergence），拉氏变换的ROC是非常重要的概念。
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4.2 拉普拉斯变换
任一信号f(t)的双边拉普拉斯变换不一定都存在。由于f(t)的
则有 F ( j) f (t)e( j)tdt
根据傅里叶逆变换的定义，则
f (t)et 1 F ( j)e jtd