实验八 连续系统的复频域分析
实验：连续系统的频域分析
实验4：连续系统的频域分析一、实验目的（1）掌握连续时间信号的傅里叶变换和傅里叶逆变换的实现方法。
（2）掌握傅里叶变换的数值计算方法和绘制信号频谱的方法。
二、实验原理 1.周期信号的分解根据傅里叶级数的原理，任何周期信号都可以分解为三角级数的组合——称为()f t 的傅里叶级数。
在误差确定的前提下，可以由一组三角函数的有限项叠加而得到。
例如一个方波信号可以分解为：11114111()sin sin 3sin 5sin 7357E f t t t t t ωωωωπ⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭合成波形所包含的谐波分量越多，除间断点附近外，它越接近于原波形，在间断点附近，即使合成的波形所含谐波次数足够多，也任存在约9%的偏差，这就是吉布斯现象（Gibbs ）。
2.连续时间信号傅里叶变换的数值计算 由傅里叶变换的公式：()()lim()j tj n n F j f t edt f n e ωωττωττ∞∞---∞→=-∞==∑⎰当()f t 为时限信号时，上式中的n 取值可以认为是有限项N，则有：()(),0k Nj n n F k f n e k N ωτττ-==≤≤∑，其中2k k N πωτ=3.系统的频率特性连续LTI 系统的频率特性称为频率响应特性，是指在正弦信号激励作用下稳态响应随激励信号频率的变化而变化的情况，表示为()()()Y H X ωωω=三、实验内容与方法 1.周期信号的分解【例1】用正弦信号的叠加近似合成一个频率为50Hz 的方波。
MA TLAB 程序如下： clear all; fs=10000; t=[0:1/fs:0.1]; f0=50;sum=0; subplot(211) for n=1:2:9plot(t,4/pi*1/n*sin(2*pi*n*f0*t),’k ’); hold on; endtitle(‘信号叠加前’); subplot(212) for n=1:2:9;sum=sum+4/pi*1/n*sin(2*pi*n*f0*t);endplot(t,sum,’k ’); title(‘信号叠加后’); 产生的波形如图所示：00.010.020.030.040.050.060.070.080.090.1-2-1012信号叠加前00.010.020.030.040.050.060.070.080.090.1-2-1012信号叠加后2.傅里叶变换和逆变换的实现求傅里叶变换，可以调用fourier 函数，调用格式为F=fourier(f,u,v)，是关于u 的函数f 的傅里叶变换，返回函数F 是关于v 的函数。
连续系统的复频域分析
因果信号的双边拉普拉斯变换的积分下限为“0”，该变
换称为单边拉普拉斯变换。单边拉普拉斯变换收敛域简单，
计算方便，线性连续系统的复频域分析主要使用单边拉普拉
斯变换。
第4章 连续系统的复频域分析
4.1.3 单边拉普拉斯变换
Single-sided Laplace Transform
信号f(t)的单边拉普拉斯变换和单边拉普拉斯逆变换(或反
( 1) t
(4.2-12)
F ( 1) (0 ) F ( s ) ( 1) f (t ) f ( )d s s (4.2-13) n 1 F ( s) (n) ( m) f (t ) n m 1 f (0 ) n s s m 1
第4章 连续系统的复频域分析
4.1 拉普拉斯变换
4.1.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换
一个信号f(t)若满足绝对可积条件，则其傅里叶变换一定存
在。例如，e-αtε(t)(α＞0)就是这种信号。
若f(t)不满足绝对可积条件， 则其傅里叶变换不一定存在。 例如，信号ε(t)在引入冲激函数后其傅里叶变换存在， 而信号 eαtε(t)(α＞0)的傅里叶变换不存在。
Re[s] 0
第4章 连续系统的复频域分析
4.1.4 常用信号的单边拉普拉斯变换
第4章 连续系统的复频域分析
第4章 连续系统的复频域分析
第4章 连续系统的复频域分析
第4章 连续系统的复频域分析
4.2 单边拉普拉斯变换的性质
1. 线性 若： 则：
第4章 连续系统的复频域分析 2. 时移性
第4章 连续系统的复频域分析 例 4.2-5 已知
f (t ) F ( s), f1 (t ) f (at b) (at b),
第八章 连续系统的复频域分析
系统函数的图示法
零极点分布图
H (s) N (s) D (s) H0 ( s Z 1 )( s Z 2 ) ( s Z m ) ( s P1 )( s P2 ) ( s Pn )
频率特性曲线 对数频率特性曲线(波特图) 复轨迹
§8.3 零极点分布与时域响应特性
1 1 1
j » 45
因此相频特性曲线可以用三段直线近似表示，即在远离断 点部分可以用两段直线表示，而在断点附近用斜线连接，通 w 常取= 1 T 和 = 10 / T 两处作为折线的拐点。 w
10
1
1
2.二阶因式
( j w - Z 2 )( j w - Z 2 ) =
*
Z2
2
- w -
2
j 2 ws
§8.5 波特图
频率特性曲线是实际中表示系统特性最常用的形式。波特提 出使用对数坐标绘制频率特性的方法，使得计算和作图大 为简化。 一.对数频率特性
m
H 0 Õ ( jw - Z j ) H (w ) =
j= 1 n
= H (w ) e
jj ( w )
Õ
i= 1
( j w - Pi )
ln [ H ( w )] = ln H ( w ) + jj ( w ) = G ( w ) + jj ( w )
一.零极点分布规律
1.系统函数的极点和零点分布必定是对实轴成镜像 对称 2.系统函数零点和极点的数目是相等的，只是可能 有若干极点或零点出现在s平面的无限远处。
二.零极点分布与系统的时域特性
系统函数的几种典型情况的极点分布与系统时域特性：
1.
H (s) = 1 s
连续系统的频域和复频域分析
二、实验设计
1.方波的合成实验。 用 5 项谐波合成一个频率为 50Hz， 幅值为 3 的方波， 写出 MATLAB 程序， 给出实验的结果。 实验代码： clear all; fs=10000; t=[0:1/fs:0.1]; f0=50;sum=0; subplot(211); for n=1:2:11 plot(t,12/pi*1/n*sin(2*pi*n*f0*t),'k'); hold on; end title('信号叠加前'); subplot(212) for n=1:2:11 sum=sum+12/pi*1/n*sin(2*pi*n*f0*t); end plot(t,sum,'k'); title('信号叠加后');
实验结果：
三、思考题
1.拉普拉斯变换的定义是什么？ 答：拉普拉斯变换是对于 t>=0 函数值不为零的连续时间函数 x(t)通过关系式 (式中 st 为自然对数底 e 的指数)变换为复变量 s 的函数 X(s)。它也是 时间函数 x(t)的“复频域”表示方式。 2.系统的零、极点对系统的冲激响应有何影响？ 答： 冲激响应波形是指指数衰减还是指数增长或等幅振荡， 主要取决于极点位于 s 左半平面 还是右半平面或在虚轴上；冲激响应波形衰减或增长快慢，主要取决于极点离虚轴的远近； 冲激响应波形振荡的快慢，主要取决于极点离实轴的远近 3.由系统的零、极点能否确定系统的固有响应和强迫响应？ 答：系统的零、极点能确定系统的固有响应，而不能确定强迫响应。 4.拉普拉斯变换和傅里叶变换的关系是什么？
实验六：连续系统的复频域分析
一、实验目的
1.了解连续系统的复频域分析的基本方法。 2.掌握相关函数的调用。
信号与系统-连续系统的复频域分析
内容提要
l 拉普拉斯变换 l 系统的拉氏变换分析法
– 零输入响应 – 零状态响应
l 系统稳定条件
§5.1 拉普拉斯变换
一 拉普拉斯变换的定义及收敛域 ①定义 双边拉普拉斯变换对
∞ F (s) = ∫ f ( t ) e st d t −∞ σ + j∞ 1 st F ( s ) e ds f (t ) = ∫ − ∞ σ j 2π j
− st
。
③时移和尺度变换都有时：
1 s f (at − b) ⇔ F ( )e a a
b −s a
④f(t)时间微分，积分函数的拉普拉斯变换不 仅与 F(s)有关，还与 t-0 点函数值 f(0)，函数的 微分值 f (0) 或 函数的积分值 f
n (−n)
(0) 有关。这
一点需要与傅立叶变焕相区分(这里的 n 取整数)
at
才收敛，所以收敛坐标为 σ 0 = a 。 ④右边信号的收敛域在收敛轴以右的 s 平面,既
σ >a
⑤左边信号的收敛域在收敛轴以左的 s 平面， 既σ < β ⑥双边信号的收敛域为 s 平面的带状区域，即
α <σ < β
另外， 对所有拉普拉斯变换来 说，ROC 内部不包括任何极点； 如果信号的收敛域包括虚轴， 则 这个信号的傅立叶变换和拉普 拉斯变换都存在。
⑤初值定理和终值定理应用的条件 关于初值定理，要注意所求的初值是 f(t)在 t=0+时刻的值,而不是 f(t)在 t=0-和 t=0 时刻的值,无论拉氏变换 F(s) 是采用 0-系统的结果还是采用 0-系统 的结果,所求的初值总是 f(0+).
另外，用初值定理 f (0+ ) = lim sF ( s ) 求函数
连续时间系统的复频域分析
因而拉普拉斯变换分析法常称为复频域分析法。
拉普拉斯变换分析法和傅里叶变换分析法都是建立在线性非时变系统的齐次性可迭加性基础上的。
只是信号分解的基本单元函数不同。
（1）拉普拉斯变换的数学定义和物理意义（2）拉普拉斯变换的性质及计算方法（3）连续时间系统的复频域分析法（4）系统函数的定义§5.3 拉普拉斯变换的收敛域由上面的讨论可知，连续时间信号f t 的拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）式F s 是否存在，取决于f t 乘以衰减因子以后是否绝对可积，即：受迫分量自然分量受迫分量自然分量例5-15 图5-18中，已知C1 1F， C2 2F， R 3Ω，初始条件uC1 0 EV，方向如图。
设开关在t 0时闭合，试求通过电容C1的响应电流iC1 t 。
图5-18 （a）时域电路模型 E 图5-18 （b）s域电路模型 3 s s 2 1 s 1 1 s I C uC1 0 C1 1F， C2 2F，R 3Ω初始条件uC1 0 EV s 1 1 s I C 3 s s 2 1 E sin ?ot 例：解： 9、时域卷积定理：若则 10、频域卷积定理：则若其中初值: f t |t 0+ f 0+ 若f t 有初值，且f t ? F s ，则 12、终值定理：终值: f t |t ? f ? 若f t 有终值，且f t ?F s ，则 11、初值定理：注意：终值存在的条件：F s 在s右半平面无极点，在j?轴上单实根极点[F S 1/S]。
当f t 含有冲激及其导数时，有解：§5.6 拉普拉斯变换的基本性质§5.6 拉普拉斯变换的基本性质§5.7 线性系统的拉普拉斯变换分析方法一、由方程求响应利用拉氏变换求线性系统的响应时，需要首先对描述系统输入输出关系的微分方程进行拉氏变换，得到一个s域的代数方程; 由于在变换中自动地引入了系统起始状态的作用，因而求出响应的象函数包含了零输入响应和零状态响应，再经过拉氏反变换可以很方便地得到零输入响应、零状态响应和全响应的时域解。
信号与系统第八章
8.2 系统函数的表示法
• 一、系统函数的计算
R( s ) 1、H ( s) ，复频域的表现形式； E ( s) R( ) H ( ) ，频域的表现形式； E ( )
2、H (s) L[h(t )] 3、不考虑IC，直接将电路图转换到 s域。 4、由模拟框图、信号流 图
• 二、系统函数的分类 1、输入函数：激励与响应位于同一端口。单口网络 输入阻抗函数；输入导纳函数 2、转移函数（传输函数）：激励与响应不在同一端口。 二端口网络
s(5s 12) 2 s 7 s 12
• 例： 3、I ( s) E ( s) H ( s) 10 s(5s 12) 30 80 1 2
s s 7 s 12 s3
s4
4、对I1 ( s)进行拉式反变换得零状 态响应为： i1zs (t ) [30e 3t 80e 4t ]u (t )
• 例：
代入参数，解方程得： 79s 180 57 136 I1 ( s ) 2 s 7 s 12 s 3 s 4
对I1 ( s)进行拉式反变换得： i1 (t ) (57e 3t 136e 4t )u (t )
由于变换的过程中，反映系统储能的初始条件被 自动引入，所以计算过程比较简单，但零状态响 应和零输入响应混在一起，所以不易分析信号和 系统间的相互作用。
1 / 12 4s 1 2 E I c1 ( s) H ( s) E ( s) E 1 6s 1 3 s 1 / 6 2E 1 ( 1/ 6)t 对I c1 ( s)进行拉式反变换得： ic1 (t ) [ (t ) e ]u (t ) 3 12
R1
解：i1 (t ) i1zs (t ) i1zi (t )
实验八连续系统复频域分析
实验八 连续系统复频域分析1实验目的(1) 掌握拉普拉斯变换的物理意义及应用。
(2) 掌握用MA TLAB 绘制拉普拉斯变换的曲面图。
(3) 理解拉普拉斯变换与傅里叶变换之间关系。
(4) 掌握系统函数的概念，掌握系统函数的零、极点分布与系统的稳定性、时域特性等之间的相互关系。
(5) 拉普拉斯逆变换的MA TLAB 计算。
2 实验原理及方法2.1连续时间L TI 系统的复频域描述拉普拉斯变换主要用于连续时间LTI 系统分析。
描述系统的另一种数学模型是建立在拉普拉斯变换基础上的“系统函数”—H(s)：[][])()()()()(t x L s X t y L s Y s H 换系统激励信号的拉氏变换系统冲击响应的拉氏变→→= 8-1 系统函数H(s)的实质就是系统单位冲激响应h(t)的拉普拉斯变换。
因此，系统函数可以定义为：⎰∞∞--=dt e t h s H st )()( 8-2 系统函数H(s)的一些特点是和系统时域响应h(t)的特点相对应。
求H(s)的方法，除了按照定义之外，更常用的是根据描述系统的线性常系数微分方程，经拉氏变换后得到H(s)。
假设描述一个连续LTI 系统的线性常系数微分方程为：∑∑===M k k k k Nk k k k dt t x d b dt t y d a 00)()( 8-3 对式8-3两边做拉普拉斯变换，则有∑∑===M k k k N k k k s X s b s Y s a 00)()( 即：∑∑====N k kk M k k k s as b s X s Y s H 00)()()( 8-4 式8-4告诉我们，对于一个能够用线性常系数微分方程描述的连续时间L TI 系统，它的系统函数是一个关于复变量s 的有理多项式的分式，其分子和分母多项式系数与系统微分方程左右两端的系数是对应的。
根据这一特点，可以很容易根据微分方程写出系统函数表达式，或者根据系统函数表达式写出系统微分方程。