系统响应的复频域分析
信号与系统 第4章 信号的复频域分析
由此可以得到傅氏变换与拉氏变换的关系
当σ 0 0 时, 收敛边界落于 s 右半平面
当σ 0 0时, 收敛边界落于 s左半平面
当σ 0 0时, 收敛边界位于虚轴
at f ( t ) e u( t )(a 0)的LT 例2：求
1 F ( s) ( a ) s a
4 信号的复频域分析 举例说明收敛域的概念： 例3：求 at e u (t )(a 0) f (t ) t a 的LT e u ( t )( 0)
f ( t )e s t dt F ( s ), R
是振幅密度
4 信号的复频域分析
4.1.1 拉普拉斯变换
2．拉普拉斯正变换
信号在复S域中展开式中，有：
F( s )
f ( t )e st dt Re[ s ] R
s j 具有频率的量纲，称为复频率。
4.1.1 拉普拉斯变换
3．拉氏反变换
信号在复S域中展开式中，有： 1 + s t st f (t ) [ f ( t ) e dt ] ds e Re[ s ] R 2 j -j 清楚表明了信号的组成成份和组成方式，称此式为
Inverse Laplace
4.1.1 拉普拉斯变换
4. 收敛域
使
f ( t )e s t dt F ( s ) f ( t )e
t
0r
dt
成立的 Re[ s]取值区域（范围）称为收敛域。 记为：ROC(region of convergence) jω 实际上就是拉氏变换存在的条件；
精选LTI系统的时域频率复频域分析资料
k 0
k 0
由于 Y ( j) X ( j)H ( j)
故有：
N
bk ( j )k
H ( j )
k 0 N
7
例：考虑一个因果LTI 系统，其输入x[n]和输出y[n]的关系由
差分方程给出: y[n] 1 y[n 1] x[n]。若x[n] [n 1], 求y[n]。
4
解：
0, n 1
x[n] [n 1] 1, n[n] 0, n 1.
y ''(t)
y '(t)
x(t )
+
y(t)
3 -2
解 由图可知第一个和第二个积分器的输入分别为 y''(t), y'(t)，根 据加法器的输入输出关系有
y ''(t) x(t) 3y '(t) 2y(t)
所以系统的微分方程为: y"(t) 3y '(t) 2y(t) x(t)
线性时不变系统的时域、频域 与复频域分析
本章主要内容：
• LTI系统的差分/微分方程描述和框图描述 • LTI系统的频域分析 • LTI系统的复频域分析
1
LTI系统的描述
1.用 h(t)、h[n] 描述系统；
2.用线性常系数微分或差分方程（LCCDE）描述； 3.用方框图描述系统（等价于LCCDE描述）； 4.用系统频率响应 H ( jω) 或系统函数 H(s)
一般的线性常系数差分方程可表示为：
N
M
ak y[n k] bk x[n k]
k 0
k 0
一阶系统
a0 y[n] a1y[n 1] b0x[n] b1x[n 1], a1, a0,b1,b0为常数
信号与系统第四章 复频域分析
7
4.1 拉普拉斯变换
• 拉氏变换对：X (s) x(t)est d t 说明：
1. 拉普拉斯变换的定义
x(t) 1 j X (s)estds
2 j j
① X s Lx象t 函 数,自然界中不存在,复函数,无法直接测量；
xt L1X s原函数,实际存在,实函数, 可以感觉和测量.
2
• 三、本书用到的信号的变换域
自变量 基本信号单元 变换名称
连续信号 离散信号
复频域 s j est
频域
j
e jt
复频域 z re jΩ zn
频域
e jΩ
e jΩ
拉氏变换 傅氏变换 z变换 傅里叶变换
3
• 四、拉氏变换在系统分析中的优势
1、将系统在时域内微分方程转换为复频域的代数 方程，降低求解难度.
傅里叶反变换：x(t) 1 X ()e jt d 2
e x(t) 可以分解为 的j线t 性组合.
条件：信号 x必(t须)满足绝对可积条件
x(t) dt
映射：傅里叶变换与傅里叶反变换是一对一的变换对。
6
4.1 拉普拉斯变换
• 拉普拉斯变换的定义
1. 拉普拉斯变换的定义
[x(t)e t ]ej tdt x(t)e( j)tdt
② 复频域移位性质：e at x(t) X (s a)
例4.3.5： 求衰减正弦 e at sin(的0拉t普) 拉斯变换.
解：
正弦函数的变换为
e at sin( 0t)
sin( 0t)
0
0
s2
2 0
(s
a)2
2 0
余弦函数的变换为
cos(0t)
s2
信号与系统第四章 连续信号与系统的复频域分析(1)(2)
st
st
s
例4.1-4 求 t 、 ' t 的象函数。 解： t ， ' t 均为时限信号，所以收敛域
为整个
L t t e dt t dt 1
st
s 平面。
0
de st se st s L ' t ' t e st dt dt t 0 0 t 0
Res
双边函数
的收敛域
如果 ，当然存在共同的收敛域 ，收敛域是带 Res 状区域 ; 如果 则没有共同的收敛域，Fb s 不存在。
因果函数 的收敛域
反因果函数 的收敛域
双边函数 的收敛域
当收敛域包含虚轴时，拉氏变换与傅氏 变换同时存在，将 s j 代入即可得其傅氏 变换。
对任意信号 f t 乘以一个衰减因子 t ,适当 选取 的值使 f t e t 当 t 时,
e
信号幅度趋于0，从而使其满足绝对可积的条件：
例如
f t e
t
dt
f t e t
2t
2t 2t
e t dt e dt
t
必然存在，这是讨论拉氏变换收敛域的出发点。 为了达到这个要求， f t 应满足：
lim f t e
t
t
0
0
0是满足 lim f t e t 0 的最小 值。 t
我们称 f t 为 0 指数阶的。 f t 可以是增长的，只要它比某些指数增长的慢， 其 拉氏变换就存在。
LTI系统的时域频率复频域分析
a2y''(t)a 1y'(t)a0y(t)b 2x''(t)b 1x'(t)b 0x(t), a2,a 1,a0,b 2,b 1,b 0为常数
5
（2）线性常系数差分方程
(Linear Constant-Coefficient Difference Equation ，LCCDE)
一般的线性常系数差分方程可表示为：
2
2
频域分析法：也是建立在线性系统具有叠加性、齐次性基础 上，与时域分析法不同处在于信号分解的基本函数不同。 17
由于h ( t ) 的傅氏变换 H ( j ) 就是频率为 的复指
数信号 e j t 通过LTI系统时，系统对输入信号在幅
度上产生的影响，所以称为系统的频率响应。
鉴于h ( t ) 与 H ( j ) 是一一对应的，因而LTI系统 可以由其频率响应完全表征。
6
（3）线性常系数差分方程的时域递归解法
对于差分方程，可以将其改写为：
y[n]a 1 0 kM 0bkx[nk]kN 1aky[nk]
可以看出：要求出y[0]，不仅要知道所有x[n] (-M≤n ≤0 )，还要知 道y[-1]、y[-2]、…、y[-N]，这称为一组初始条件。对于因果LTI系 统，若当n<0时，x[n]=0，则有y[-1]、y[-2]… y[-N]都为0，于是可 以求得y[0]=b0x[0]/a0。进一步，又可以通过y[0]和x[0]、x[1]求得 y[1],依次类推可求出所有y[n]。
右端加法器的输出:
y(t) 2f'(t)4f(t) (2)
由(2)可得y’(t)，y’’(t)为:
;(t)2f''(t)4f'(t) (3) y''(t)2f'''(t)4f''(t) (4)
实验八连续系统复频域分析
实验八 连续系统复频域分析1实验目的(1) 掌握拉普拉斯变换的物理意义及应用。
(2) 掌握用MA TLAB 绘制拉普拉斯变换的曲面图。
(3) 理解拉普拉斯变换与傅里叶变换之间关系。
(4) 掌握系统函数的概念，掌握系统函数的零、极点分布与系统的稳定性、时域特性等之间的相互关系。
(5) 拉普拉斯逆变换的MA TLAB 计算。
2 实验原理及方法2.1连续时间L TI 系统的复频域描述拉普拉斯变换主要用于连续时间LTI 系统分析。
描述系统的另一种数学模型是建立在拉普拉斯变换基础上的“系统函数”—H(s)：[][])()()()()(t x L s X t y L s Y s H 换系统激励信号的拉氏变换系统冲击响应的拉氏变→→= 8-1 系统函数H(s)的实质就是系统单位冲激响应h(t)的拉普拉斯变换。
因此，系统函数可以定义为：⎰∞∞--=dt e t h s H st )()( 8-2 系统函数H(s)的一些特点是和系统时域响应h(t)的特点相对应。
求H(s)的方法，除了按照定义之外，更常用的是根据描述系统的线性常系数微分方程，经拉氏变换后得到H(s)。
假设描述一个连续LTI 系统的线性常系数微分方程为：∑∑===M k k k k Nk k k k dt t x d b dt t y d a 00)()( 8-3 对式8-3两边做拉普拉斯变换，则有∑∑===M k k k N k k k s X s b s Y s a 00)()( 即：∑∑====N k kk M k k k s as b s X s Y s H 00)()()( 8-4 式8-4告诉我们，对于一个能够用线性常系数微分方程描述的连续时间L TI 系统，它的系统函数是一个关于复变量s 的有理多项式的分式，其分子和分母多项式系数与系统微分方程左右两端的系数是对应的。
根据这一特点，可以很容易根据微分方程写出系统函数表达式，或者根据系统函数表达式写出系统微分方程。
连续系统复频域分析报告附MATLAB实现信号与系统实验报告
计算机与信息工程学院设计性实验报告专业：通信工程年级/班级：2011级第二学年第二学期一、实验目的1.掌握用matlab分析系统时间响应的方法2.掌握用matlab分析系统频率响应的方法3.掌握系统零、极点分布与系统稳定性关系二、实验原理1.系统函数H(s)系统函数:系统零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比.H(s)=R(s)/E(s)在matlab中可采用多种方法描述系统,本文采用传递函数(系统函数)描述法.在matlab中, 传递函数描述法是通过传递函数分子和分母关于s降幂排列的多项式系数来表示的.例如,某系统传递函数如下则可用如下二个向量num和den来表示:num=[1,1]；den=[1,1.3,0.8]2.用matlab分析系统时间响应1)脉冲响应y=impulse(num,den,T)T:为等间隔的时间向量,指明要计算响应的时间点.2)阶跃响应y=setp(num,den,T)T同上.3)对任意输入的响应y=lsim(num,den,U,T)U:任意输入信号. T同上.3.用matlab分析系统频率响应特性频响特性: 系统在正弦激励下稳态响应随信号频率变化的特性.|H(jω)|:幅频响应特性.ϕ(ω):相频响应特性(或相移特性).Matlab求系统频响特性函数freqs的调用格式:h=freqs(num,den,ω)ω:为等间隔的角频率向量,指明要计算响应的频率点.4.系统零、极点分布与系统稳定性关系系统函数H(s)集中表现了系统的性能,研究H(s)在S平面中极点分布的位置,可很方面地判断系统稳定性.1) 稳定系统: H(s)全部极点落于S左半平面(不包括虚轴),则可以满足系统是稳定的.2)不稳定系统: H(s)极点落于S右半平面,或在虚轴上具有二阶以上极点,则在足够长时间后,h(t)仍继续增长, 系统是不稳定的.3)临界稳定系统: H(s)极点落于S平面虚轴上,且只有一阶,则在足够长时间后,h(t)趋于一个非零数值或形成一个等幅振荡.系统函数H(s)的零、极点可用matlab的多项式求根函数roots()求得.极点:p=roots(den)零点:z=roots(num)根据p和z用plot()命令即可画出系统零、极点分布图,进而分析判断系统稳定性.三、实验内容设①p1=-2,p2=-30; ②p1=-2,p2=31.针对极点参数①②,画出系统零、极点分布图, 判断该系统稳定性.2.针对极点参数①②,绘出系统的脉冲响应曲线,并观察t→∞时, 脉冲响应变化趋势.3.针对极点参数①, 绘出系统的频响曲线.四、实验要求1．预习实验原理；2．对实验内容编写程序(M文件),上机运行；3．绘出实验内容的各相应曲线或图。
实验5--连续时间系统的复频域分析
实验5–连续时间系统的复频域分析实验背景在连续时间系统的频域分析中，复频域分析是非常重要的一个方法。
其可以帮助我们更直观地了解系统的频率响应，包括幅频响应和相频响应，对于系统的设计和优化都有非常实际的应用价值。
因此，在本次实验中，我们将通过对一个特定系统的复频域分析来学习这一方法的基本原理和操作流程。
实验目的1.了解连续时间系统的幅频响应和相频响应2.掌握利用MATLAB对系统进行复频域分析的方法3.学会根据复频域图像对系统进行分析和优化实验原理连续时间系统幅频响应和相频响应在连续时间系统的频域分析中，使用的是拉普拉斯变换。
通过对系统的输入信号和输出信号进行拉普拉斯变换，可以得到它们在复平面上的函数，进而求得系统的传递函数H(s):H(s)=Y(s)/X(s)其中，s为复变量。
系统的幅频响应和相频响应分别定义为:H(s)的模和相位:|H(jw)|=sqrt(H(s)H(s)*) (模) arg(H(jw))=tan^-1[Im{H(jw)}]/Re{H(jw)} (相位) 其中，w为实数，j为虚数单位。
利用MATLAB进行系统复频域分析MATLAB提供了众多用于连续时间系统复频域分析的工具。
其中，最基本的是bode命令。
它可以计算和绘制给定系统的幅频响应和相频响应曲线。
常用命令格式如下：[bode(H,w)]其中，H为系统的传递函数，w为频率范围除此之外，MATLAB还提供了很多其他的命令，如nyquist、margin、freqresp 等。
它们可以帮助我们更全面地分析系统的性能和特点。
实验步骤实验环境1.一台已安装MATLAB的计算机实验流程1.根据给定的系统传递函数H(s)，利用MATLAB计算和绘制其幅频响应和相频响应曲线。
%定义系统传递函数H=tf([5+j*10 0.6+0.2*j],[1 2+j 3 4-j 5+j]);%绘制幅频响应和相频响应曲线figure(1)subplot(2,1,1)bode(H);subplot(2,1,2)nyquist(H);2.根据绘制的幅频响应和相频响应曲线，对系统进行分析和优化。
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[答案] yzi(t) 2e2t te2t, t 0
yzs (t) (2 8te2t 2e2t )u(t)
y(t) 2 4e2t 7te2t , t 0
系统响应的复频域分析
[练习3] d2 y(t) 4 dy(t) 8y(t) 3 dx(t) x(t)
dt2
dt
dt
已知 x(t) = etu(t)，y(0) =5，y' (0) =3，求y(t)。
综合题：描述某连续时间LTI因果系统的微分方程为
y"(t) 7y'(t) 10y(t) 2x'(t) 3x(t)
已知 x(t) etu(t) ，y(0 ) 1, y'(0 ) 1 ,由复频域求解： (1)零输入响应 yzi(t)，零状态响应 yzs(t) ，完全响应 y (t) 。
解：
[答案]
yzi
yzs
(t)
(t)
5e2t cos(2t) 13
0.4et
0.4e
2
2t
e2t sin(2t),
cos(2t) 1.
t
7e 2t
0
sin(2t)
u
(t
)
y(t) 0.4et 5.4e2t cos(2t) 8.2e2t sin(2t), t 0
系统响应的复频域分析
IR(s) R
已知 x(t) etu(t)， y(0 ) 1, y '(0) 1 ，由复频域求解： (1)零输入响应 yzi(t)，零状态响应 yzs(t) ，完全响应 y (t) 。 (2)系统函数H(s)，单位冲激响应h(t)，并判断系统是否稳定
。
(3)画出系统的直接型模拟框图。
综合题：描述某连续时间LTI因果系统的微分方程为 y"(t) 7y'(t) 10y(t) 2x'(t) 3x(t)
s
8 3
y (t) L 1{Y (s)} 11e2t 8e3t, t 0
zi
zi
系统响应的复频域分析
Yzs
(s)
s2
2s 8 5s
6
s
1 1
2s 8 (s 2)(s
3)
s
1 1
3 4 1 s 1 s 2 s 3
yzs(t) L 1{Yzs(s)} (3et 4e2t e3t ) u(t)
t
2t
3t
y(t) yzi (t) yzs (t) 3e 7e 7e ,t 0
系统响应的复频域分析
[练习1] d2 y(t) 7 dy(t) 12 y(t) x(t)
dt2
dt
已知 x(t) = u(t)，y(0) =1，y' (0) =2，求y(t)。
[答案]
3t
4t
yzi (t) 6e 5e ,t 0
主讲人：陈后金
电子信息工程学院
系统响应的复频域分析
时域微分方程
单 边 拉 氏 变 换
s域代数方程
解微分方程 解代数方程
时域响应y(t)
拉 氏 反 变 换
s域响应Y(s)
系统响应的复频域分析
例：二阶系统响应的s 域求解
d2 y(t) 5 dy(t) 6 y(t) 2 dx(t) 8x(t)
Y(s) sy(0) y '(0 ) 7 y(0) 2s 3 X (s)
s2 7s 10
s2 7s 10
零输入响应的复频域表达式为
s8
2 1
Yzi(s)
s2 7s 10 s 2 s 5
进行单边拉普拉斯反变换可得
y (t) L zi
1{Y (s)} 2e2t e5t ,t 0 zs
(1 et 4
1 e2t 3
7 e5t )u(t) 12
Y (s)
sy(0 ) y '(0 ) 7 y(0 ) s2 7s 10
s2
2s 3 7s 10
X (s)
零状态响应的复频域表达式为
Yzs
(s)
(s2
2s 3 7s 10)(s
1)
1/ 4 s 1
1/ 3 s2
12 s
/7 5
进行拉普拉斯反变换可得
yzs (t) L
1{Yzs (s)}
sC
ss
R
求出回路电流 I (s) 2E s(R 1 ) sC
E s
I(s)
1/sC
E /s
VC(s)
电容电压为 VC (s)
1t
vC (t) E(1 2e RC
I(s) E sC s
), t 0
E( 1 s
s
2 1
RC
)
综合题：描述某连续时间LTI因果系统的微分方程为 y"(t) 7y'(t) 10y(t) 2x'(t) 3x(t)
dt2
dt
dt
已知 x(t) = etu(t) ，y(0) =3 ，y' (0) =2 ，求y(t)。
求解步骤：
☼ 由拉氏变换将时域微分方程变换为s域代数方程 ☼ 求解s域代数方程，求出Yzi(s), Yzs(s) ☼ 拉氏反变换，求出响应的时域表示式
系统响应的复频域分析
y"(t)
[s2Y (s) sy(0 ) y'(0 )] 2sX (s) 8X (s)
已知 x(t) etu(t) ， y(0 ) 1, y'(0 ) 1 ,由复频域求解： (1)零输入响应 yzi(t)，零状态响应 yzs(t) ，完全响应 y (t) 。
解： (1) 对微分方程两边进行单边拉普拉斯变换得
s2Y (s) sy(0 ) y' (0 ) 7sY(s) 7 y(0 ) 10Y(s) (2s 3)X (s)
5y'(t)
6y (t)
5[sY (s) y(0 )] 6Y(s)
2x '(t) 8x(t)
sy(0 ) y '(0 ) 5y(0 ) 2s 8
Y(s)
s2 5s 6
X (s)
s2 5s 6
Yzi(s)
Yzs(s)
系统响应的复频域分析
Yzi (s)
3s s2
17 5s 6
11 s2
yzs
(t)
(1 12
1 3
e3t
1 e4t 4
)u(t)
y(t) 1 17 e3t 19 e4t ,t 0
12 3
4
系统响应的复频域分析
[练习2] d2 y(t) 4 dy(t) 4 y(t) 3 dx(t) +2x(t)
dt2
dt
dt
已知 x(t) = 4u(t)，y(0) =2，y' (0) =3，求y(t)。
VR(s)
R、L、C复频域模型
IL(s)
sL
LiL (0)
VL(s)
1 IC(s) sC
1 s
vC(0
)
VC(s)
例：图示电路初始状态为vC(0)= E, 求电容两端电压vC(t)。
R
解：建立电路的复频域模型
Eu(t)
i(t)
由复频域模型写回路方程 (R 1 )I (s) E E
C
vC(t)