第三章 信号与系统的频域分析
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第3章连续信号与系统的频域分析
8
2013年8月13日8时10分
3.0 引言
LTI系统的特性完全可以由其单位冲激响应
来表征，通过对LTI系统单位冲激响应的研究就可
分析LTI系统的特性。
连续时间信号分解为一系列完备正交信号集， 再根据线性叠加原理求解系统的零状态响应。
9
2013年8月13日8时10分
3.1信号的正交分解
3.1.1 矢量的正交分解 1 、正交矢量（2维空间）
3.1.2 信号的正交分解 2、正交函数的两个重要定理 定理2：若 则：
f (t ) c1 g1 (t ) cr gr (t ) cn gn (t ) ci gi (t )
i 1
n
t2
t1
f (t ) dt ci gi (t ) dt
t2 i 1 t1
完备正交函 数集
1,cos t,cos 2t,,sin t,sin 2t,
17
2013年8月13日8时10分
3.2 周期信号的连续时间傅立叶级数
一般地，若 即有：
则有：
f ( t ) 在区间(-∞，+
∞)内，每隔周期T重复，
f (t ) f (t kT )
T 2 T 2
V1 V2 0
V1 V3 0
V2 V3 0
11
2013年8月13日8时10分
3.1信号的正交分解
3.1.1 矢量的正交分解 3 、正交矢量（n维空间）
c3 V3 V3 o V2 c2 V2 V1
V cV1 crVr cnVn 1
V c1 V1
cr
V cos r Vr
3.7 连续信号的抽样定理
2013年8月13日8时10分
3.0 引言
LTI系统的特性完全可以由其单位冲激响应
来表征，通过对LTI系统单位冲激响应的研究就可
分析LTI系统的特性。
连续时间信号分解为一系列完备正交信号集， 再根据线性叠加原理求解系统的零状态响应。
9
2013年8月13日8时10分
3.1信号的正交分解
3.1.1 矢量的正交分解 1 、正交矢量（2维空间）
3.1.2 信号的正交分解 2、正交函数的两个重要定理 定理2：若 则：
f (t ) c1 g1 (t ) cr gr (t ) cn gn (t ) ci gi (t )
i 1
n
t2
t1
f (t ) dt ci gi (t ) dt
t2 i 1 t1
完备正交函 数集
1,cos t,cos 2t,,sin t,sin 2t,
17
2013年8月13日8时10分
3.2 周期信号的连续时间傅立叶级数
一般地，若 即有：
则有：
f ( t ) 在区间(-∞，+
∞)内，每隔周期T重复，
f (t ) f (t kT )
T 2 T 2
V1 V2 0
V1 V3 0
V2 V3 0
11
2013年8月13日8时10分
3.1信号的正交分解
3.1.1 矢量的正交分解 3 、正交矢量（n维空间）
c3 V3 V3 o V2 c2 V2 V1
V cV1 crVr cnVn 1
V c1 V1
cr
V cos r Vr
3.7 连续信号的抽样定理
信号与系统第3章 信号通过LTI系统的频域分析
这里需要指出的是，上面的等式对信号 的间断点不成立。
从数学上说，周期信号能进行傅里 叶级数展开的条件是信号须满足狄里赫 利（Dirichlet）条件：
（1）在一个周期内，如果有间断点存在， 则间断点的数目应是有限个；
（2）在一个周期内，极大值和极小值的 数目应是有限个； （3）在一个周期内，信号是绝对可积的， T f (t )dt 等于有限值。 即 0
式（3-8）的意义与三角函数形式的傅 里叶级数一样，表明函数f(t)可以分解为无 限个复正弦谐波信号 e jn0t 的线性组合。
必须注意的是，这里出现了n为负 的频率，但这个负频率只是“视在”的 ，是数学表达上的存在。
傅里叶级数的复指数形式在高等数学 课程中并未出现，而且表达式中出现了n为 负的频率，初学者可能会感到困惑。
Im[ H ( j )]
∞
∞
h(t )sin(t )dt
因此，ReH(j)是的偶函数，而ImH(j) 是的奇函数。同时，由于
H ( j )
Re H ( j Im H ( j)
2
2
Re[ H ( j )] ( ) arctan Im[ H ( j )]
工程中广泛使用了频域分析的概念 与方法，其依据是：实际应用中遇到的 信号通常都可以分解为正弦信号的线性 组合。
因此，如果了解了正弦信号通过LTI系 统的响应情况，那么根据LTI系统的线性 与时不变性，就可以得到任意信号通过 LTI系统的响应。
建立在这一基础上的分析方法称为 频域分析，也就是著名的傅里叶分析。 为了进行频域分析，首先必须解决 的两个问题是： ①频域中的信号分解； ②正弦信号通过LTI系统后的响应。
一阶系统中，RC称为系统的时间常 数，可用来表征系统的惯性，并据此对输 出波形与输入波形之间的关系做出定量的 解释，但对系统中存在两个以上储能元件 的情况，也即对二阶以上的系统，就难以 用系统的时域参数来定量地表征对信号的 影响。
信号与系统第三章PPT课件
③ 在任何单个周期内，只有有限个第一类间断点， 且在间断点上的函数值为有限值。
.
它们都是傅里叶级数收敛的充分条件。相当广泛的 信号都能满足Dirichlet条件，因而用傅里叶级数表 示周期信号具有相当的普遍适用性。
几个不满足Dirichlet条件的信号
.
三.Gibbs现象 满足 Dirichlet 条件的信号，其傅里叶级数是如
• “非周期信号都可以用正弦信号的加权积分来 表示”——傅里叶的第二个主要论点
.
傅立叶分析方法的历史
古巴比伦人 “三角函数和” 描述周期性过程、预测天体运
动
1748年 欧拉 振动弦的形状是振荡模的线性组合
1753年 D·伯努利 弦的实际运动可用标准振荡模的线性组合来表示
1759年 拉格朗日 不能用三角级数来表示具有间断点的函数
x[k]h[nk]
x[k]h[n k]
k
.
对时域的任何一个信号 x ( t ) 或者 x ( n ) ,若能将其
表示为下列形式： x(t) a 1 es1 t a 2 es2 t a 3 es3 t
由于 es1t H(s1)es1t
es2t H(s2)es2t
es3t H(s3)es3t
利用齐次性与可加性，有
k
例： y(t)x(t3) ❖ 系统输入为 x(t) ej2t
系统 H(s) ? y(t) ?
H(s) h(t)estdt
❖ 系统输入为 x(t)cos(4t)cos(7t)
系统 y(t) ?
.
*问题：究竟有多大范围的信号可以用复指数信号的 线性组合来表示？
.
3.3 连续时间周期信号的傅里叶级数表示
第k次谐波 e jk 0t 的周期为
.
它们都是傅里叶级数收敛的充分条件。相当广泛的 信号都能满足Dirichlet条件，因而用傅里叶级数表 示周期信号具有相当的普遍适用性。
几个不满足Dirichlet条件的信号
.
三.Gibbs现象 满足 Dirichlet 条件的信号，其傅里叶级数是如
• “非周期信号都可以用正弦信号的加权积分来 表示”——傅里叶的第二个主要论点
.
傅立叶分析方法的历史
古巴比伦人 “三角函数和” 描述周期性过程、预测天体运
动
1748年 欧拉 振动弦的形状是振荡模的线性组合
1753年 D·伯努利 弦的实际运动可用标准振荡模的线性组合来表示
1759年 拉格朗日 不能用三角级数来表示具有间断点的函数
x[k]h[nk]
x[k]h[n k]
k
.
对时域的任何一个信号 x ( t ) 或者 x ( n ) ,若能将其
表示为下列形式： x(t) a 1 es1 t a 2 es2 t a 3 es3 t
由于 es1t H(s1)es1t
es2t H(s2)es2t
es3t H(s3)es3t
利用齐次性与可加性，有
k
例： y(t)x(t3) ❖ 系统输入为 x(t) ej2t
系统 H(s) ? y(t) ?
H(s) h(t)estdt
❖ 系统输入为 x(t)cos(4t)cos(7t)
系统 y(t) ?
.
*问题：究竟有多大范围的信号可以用复指数信号的 线性组合来表示？
.
3.3 连续时间周期信号的傅里叶级数表示
第k次谐波 e jk 0t 的周期为
第3章离散时间信号与系统的频域分析
结论： 结论：序列共轭对称分量 的傅里叶变换是序列傅里 叶变换的实数部分； 叶变换的实数部分； 序列共轭反对称分量的傅 里叶变换是序列傅里叶变 换的虚数部分。 换的虚数部分。
第3章 离散时间信号与系统的频域分析
5.时域卷积定理 时域卷积定理 如果 FT [ x( n)] = X (e jω ), FT [h( n)] = H (e jω ) 且有
第3章 离散时间信号与系统的频域分析
（1）有限长序列: 有限长序列:
序列x(n)只在有限区间 1≤n≤n2之内才具有非零的有限值，在此 只在有限区间n 之内才具有非零的有限值， 序列 只在有限区间 区间外，序列值皆为零。 区间外，序列值皆为零。 其Z变换为 变换为
X (z) =
n = n1
x ( n) z − n ∑
第3章 离散时间信号与系统的频域分析
常用的Z变换是一个有理函数，用两个多项式之比表示： 常用的 变换是一个有理函数，用两个多项式之比表示： 变换是一个有理函数
P(z) X (z) = Q( z )
分子多项式P 的根是X 的零点，分母多项式Q 分子多项式P(z)的根是X(z)的零点，分母多项式Q(z) 的根是X 的极点。在极点处Z变换不存在， 的根是X(z)的极点。在极点处Z变换不存在，因此收 敛域中没有极点， 收敛域总是用极点限定其边界。 敛域中没有极点， 收敛域总是用极点限定其边界。
X (z) =
n = −∞
RN ( n ) z − n = ∑ z − n ∑
n=0
∞
N −1
= 1 + z −1 + z − 2 + L + z − ( N −1 )
这是一个有限项几何级数之和。 这是一个有限项几何级数之和。因此
信号与系统 第3章-3
解 若直接按定义求图示信号的频谱，会遇到形如te-jωt的繁 复积分求解问题。而利用时域积分性质，则很容易求解。 将f(t)求导，得到图 3.5-5(b)所示的波形f1(t)，将f1(t)再求导， 得到图 3.5-5(c)所示的f2(t)， 显然有
第3章 连续信号与系统的频域分析
f 2 (t ) = f (t ) = f " (t )
ω ）为各频率点
上单位频带中的信号能量，所以信号在整个频率范围的全部
W = ∫ G (ω )dω
0
∞
式中
G (ω ) =
1
π
F ( jω )
2
第3章 连续信号与系统的频域分析 表 3.2 傅里叶变换的性质
第3章 连续信号与系统的频域分析
3.6 周期信号的傅里叶变换
设f(t)为周期信号，其周期为T，依据周期信号的傅里叶级数分 析， 可将其表示为指数形式的傅里叶级数。即
f ( −t ) ↔ F ( − jω )
也称为时间倒置定理 倒置定理。 倒置定理
第3章 连续信号与系统的频域分析
若已知f(t) ↔ F(jω )，求f(at - b)的傅立叶变换。
此题可用不同的方法来求解。 解 此题可用不同的方法来求解。
第3章 连续信号与系统的频域分析
(2) 先利用尺度变换性质，有 先利用尺度变换性质，
第3章 连续信号与系统的频域分析 2. 时移性 时移性 若f(t) ←→ F(jω)， 且t0为实常数(可正可负)，则有
f ( t − t0 ) ↔ F ( jω ) e
此性质可证明如下
− jω t 0
F [ f (t − t 0 )] = ∫− ∞ f (t − t 0 )e 令τ = t − t 0
信号与系统—信号的频域分析
信号与系统—信号的频域分析频域分析是指将信号从时间域转换为频域的过程，并通过对信号在频域上的性质和特征进行分析与研究。
频域分析对于理解信号的频率特性、频谱分布等方面的特性有很大的帮助，是信号处理领域中不可或缺的分析工具。
频域分析的基本方法之一是傅里叶变换。
傅里叶变换可以将连续时间域中的信号转换为离散频域中的信号，也可以将离散时间域中的信号转换为连续频域中的信号。
它通过将信号分解为不同频率的正弦波的组合来分析信号的频谱分布。
傅里叶变换的基本公式为：两个公式其中，X(f)表示信号在频域中的频谱，x(t)表示信号在时间域中的波形，f表示频率。
傅里叶变换得到的频谱图可以展示信号在不同频率上的能量分布情况，从而能够更直观地了解信号的频率成分。
频谱图通常以频率为横轴，信号在该频率上的幅度或相位为纵轴，用于描述信号在频域中的变化情况。
除了傅里叶变换，还有其他一些常用的频域分析方法，如离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）等。
离散傅里叶变换是对离散时间域中的信号进行频域分析的方法，快速傅里叶变换是一种高效的计算离散傅里叶变换的方法。
频域分析主要包括信号的频谱分析和系统的频率响应分析两个方面。
在信号的频谱分析中，我们可以通过观察信号在频域上的能量分布情况来判断信号的频率成分、频率范围等信息。
而在系统的频率响应分析中，我们可以通过研究系统在不同频率上的响应特性来了解系统对不同频率信号的传输、增益、衰减等情况。
频域分析在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在音频处理领域中，频域分析可以用于声音信号的频谱分析和音效处理等方面。
在通信系统中，频域分析可以用于信号的调制解调、信道估计、信号检测等。
在图像处理中，频域分析可以用于图像的锐化、降噪、压缩等方面。
总结起来，信号的频域分析是信号与系统课程中的重要内容，它通过将信号从时间域转换为频域来研究信号的频率特性和频谱分布等问题。
傅里叶变换是频域分析中常用的方法之一，它可以将信号分解为不同频率的正弦波的组合。
《信号与系统(第四版)》习题详解图文
即
故f(t)与{c0, c1, …, cN}一一对应。
7
3.3 设
第3章 连续信号与系统的频域分析
试问函数组｛ξ1(t),ξ2(t),ξ3(t),ξ4(t)｝在(0，4)区间上是否 为正交函数组，是否为归一化正交函数组，是否为完备正交函 数组，并用它们的线性组合精确地表示题图 3.2 所示函数f(t)。
题图 3.10
51
第3章 连续信号与系统的频域分析 52
第3章 连续信号与系统的频域分析 53
第3章 连续信号与系统的频域分析 54
第3章 连续信号与系统的频域分析 55
第3章 连续信号与系统的频域分析 56
第3章 连续信号与系统的频域分析 57
第3章 连续信号与系统的频域分析
题解图 3.19-1
8
第3章 连续信号与系统的频域分析
题图 3.2
9
第3章 连续信号与系统的频域分析
解 据ξi(t)的定义式可知ξ1(t)、ξ2(t)、ξ3(t)、ξ4(t)的波形如题 解图3.3-1所示。
题解图 3.3-1
10
不难得到：
第3章 连续信号与系统的频域分析
可知在(0,4)区间ξi(t)为归一化正交函数集,从而有
激励信号为f(t)。试证明系统的响应y(t)=－f(t)。
69
证 因为
第3章 连续信号与系统的频域分析
所以
即
70
系统函数
第3章 连续信号与系统的频域分析
故
因此
71
第3章 连续信号与系统的频域分析
3.23 设f(t)的傅里叶变换为F(jω)，且 试在K≥ωm条件下化简下式：
72
第3章 连续信号与系统的频域分析 73
107
故f(t)与{c0, c1, …, cN}一一对应。
7
3.3 设
第3章 连续信号与系统的频域分析
试问函数组｛ξ1(t),ξ2(t),ξ3(t),ξ4(t)｝在(0，4)区间上是否 为正交函数组，是否为归一化正交函数组，是否为完备正交函 数组，并用它们的线性组合精确地表示题图 3.2 所示函数f(t)。
题图 3.10
51
第3章 连续信号与系统的频域分析 52
第3章 连续信号与系统的频域分析 53
第3章 连续信号与系统的频域分析 54
第3章 连续信号与系统的频域分析 55
第3章 连续信号与系统的频域分析 56
第3章 连续信号与系统的频域分析 57
第3章 连续信号与系统的频域分析
题解图 3.19-1
8
第3章 连续信号与系统的频域分析
题图 3.2
9
第3章 连续信号与系统的频域分析
解 据ξi(t)的定义式可知ξ1(t)、ξ2(t)、ξ3(t)、ξ4(t)的波形如题 解图3.3-1所示。
题解图 3.3-1
10
不难得到：
第3章 连续信号与系统的频域分析
可知在(0,4)区间ξi(t)为归一化正交函数集,从而有
激励信号为f(t)。试证明系统的响应y(t)=－f(t)。
69
证 因为
第3章 连续信号与系统的频域分析
所以
即
70
系统函数
第3章 连续信号与系统的频域分析
故
因此
71
第3章 连续信号与系统的频域分析
3.23 设f(t)的傅里叶变换为F(jω)，且 试在K≥ωm条件下化简下式：
72
第3章 连续信号与系统的频域分析 73
107
第三章 信号与系统的频域分析
余弦形式的傅氏级数
其中：
2 2 An a n bn
第n次谐波的振幅
bn n arctg( ) an
第n次谐波的初相角
三角频谱：余弦形式的傅氏级数的振幅An随n0变化的规律，称为振幅频
谱，习惯上简称频谱；相位n随n0变化的规律，称为相位频谱。
三角傅氏级数总有 n 0 ,谱线只出现在n0～An或者n0～n平 面的右半平面，故称作单边频谱。
直流系数
利用信号的对称性简化傅立叶系数的求解 偶函数fe(t)的傅立叶级数只含有直流分量和余弦分量；
奇函数fo(t)的傅立叶级数只含有正弦分量；
奇半波对称信号只含有奇次谐波，又称奇谐函数 偶半波对称信号只含有偶次谐波，又称偶谐函数
2、余弦形式的傅氏级数
三角函数变换公式
其中，
An a b
F n F n
*
总是成对出现
负频率的出现只是数学形式，实际并不存在
Fn Fn e j n
F n F n e j n Fn e j n
F n Fn
偶函数
n n
奇函数
(2) 与三角形式的傅氏级数的关系
a0 A0 F0 2 2 an jbn Fn 2 an jbn * F n Fn 2 An | Fn | 2
一般周期信号都满足这些条件余弦分量系数正弦分量系数称为傅里叶系数基波角频率直流系数直流分量基波分量n周期信号可以分解为各次谐波分量的代数和利用信号的对称性简化傅立叶系数的求解偶半波对称信号只含有偶次谐波又称偶谐函数2余弦形式的傅氏级数其中为第n次谐波的振幅为第n次谐波的初相角三角函数变换公式二指数型傅里叶级数在时间区间tt内基波角频率的正交虚指数函数集是完备的对于周期为t的周期信号ft当它在该时间区间内有定义时可以由上述虚指数函数的线性组合来表示即
其中：
2 2 An a n bn
第n次谐波的振幅
bn n arctg( ) an
第n次谐波的初相角
三角频谱：余弦形式的傅氏级数的振幅An随n0变化的规律，称为振幅频
谱，习惯上简称频谱；相位n随n0变化的规律，称为相位频谱。
三角傅氏级数总有 n 0 ,谱线只出现在n0～An或者n0～n平 面的右半平面，故称作单边频谱。
直流系数
利用信号的对称性简化傅立叶系数的求解 偶函数fe(t)的傅立叶级数只含有直流分量和余弦分量；
奇函数fo(t)的傅立叶级数只含有正弦分量；
奇半波对称信号只含有奇次谐波，又称奇谐函数 偶半波对称信号只含有偶次谐波，又称偶谐函数
2、余弦形式的傅氏级数
三角函数变换公式
其中，
An a b
F n F n
*
总是成对出现
负频率的出现只是数学形式，实际并不存在
Fn Fn e j n
F n F n e j n Fn e j n
F n Fn
偶函数
n n
奇函数
(2) 与三角形式的傅氏级数的关系
a0 A0 F0 2 2 an jbn Fn 2 an jbn * F n Fn 2 An | Fn | 2
一般周期信号都满足这些条件余弦分量系数正弦分量系数称为傅里叶系数基波角频率直流系数直流分量基波分量n周期信号可以分解为各次谐波分量的代数和利用信号的对称性简化傅立叶系数的求解偶半波对称信号只含有偶次谐波又称偶谐函数2余弦形式的傅氏级数其中为第n次谐波的振幅为第n次谐波的初相角三角函数变换公式二指数型傅里叶级数在时间区间tt内基波角频率的正交虚指数函数集是完备的对于周期为t的周期信号ft当它在该时间区间内有定义时可以由上述虚指数函数的线性组合来表示即
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在 频 域 分 析 中 ， 若 知 道 F(jω)=F ［ f(t) ］ ， H(jω)=F ［ h (t)］， 则据卷积性质可知
An ~ 关系曲线称为幅度频谱图；
相位频谱：为以ω为横坐标，以相位为纵坐标所得到的谱线图 描述傅氏级数相位随频率变化的图形。
n ~ 关系曲线称为相位频谱图。
矩形波频谱图
f
(t)
4A π
(sin1t
1 3
sin 31t
1 5
sin
51t
)
4A π
cos(1t
其复振幅
n
Fn
1 T
T
2 T
f (t)ejn1t dt
2
当T趋于无穷大时， Fn 趋于无穷小，若上式两边同乘以T，有
FnT
Fn
2
T
2 T
2
f (t)ejn1tdt
对于非周期信号，重复周期T趋于无限大，谱线间隔趋于无穷
小量dω，而离散频率nω1变成连续频率ω。在这种极限情况
非周期信号的频谱为连续谱； 若信号在时域持续时间有限，则其频谱在频域延续到 无限； 信号的能量主要集中在低频分量； 信号的带宽与脉冲宽度成反比，脉冲宽度越窄，其频 带越宽。
能量定理
信号f ( t ) 在1电阻上的能量满足
f 2(t)dt 1 F() 2d
2π
下且，为F一n 个趋连于续无函穷数小，量通，常但记F为n FT(jω2)，Fn即可 望 趋 于 有 限 值 ，
F
(
j)
lim
T
Fn
2
lim T
T
2 T
2
f (t)ejn1tdt
可得
F ( ) f (t)e jt dt
上式中，F(jω) 称为f( t )的频谱密度函数
f( t ) F( ω)
时域压缩，频域展宽；时域展宽，频域压缩。 图15
信号的延时与相位移动（延时特性）
因为
若 f (t) F() 则 f (t t0 ) F ( )e jt0
F() F() e j()
故
F()e jt0 F() ej[()t0 ]
内， 因而，常常将ω=0~ 2 这段频率范围称为矩形脉冲信
号的频带宽度。记为
频带宽度（带宽）： 2π (rad / s) f 1 (Hz)
结论： 信号的带宽与信号的持续时间（脉冲宽度）成反比。
3.2.3 周期信号的功率
周期信号的能量是无限的，而其平均功率是有界的，因而 周期信号是功率信号。为了方便，往往将周期信号在1Ω电阻 上消耗的平均功率定义为周期信号的功率。显然，对于周期信
包含了所有的频率分量， 而各频率分量的频谱密度都相等。
显然， 信号δ(t)实际上是无法实现的。
图3 图10
➢ 直流信号：
1 2π ()
图11
➢ 指数信号：
即：
f (t) et ( 0, t 0)
F ( ) e( j )t dt 1
0
j
-
2
A
T
sin( n1 )
2
( n1 )
A Sa( n1 )
2
T
2
其中Sa( )形式如下。
抽样函数： Sa(t) sin t t
Sa(0) 1
当 t k (k 1,2,3 ) 时，Sa( t ) = 0
图6
f( t ) 的双边谱
Sa( t ) ： Fn ：
2
j
脉冲展缩与频带变化（尺度变换）
若 f (t) F() 则 f (at) 1 F( )
aa 尺度变换性质表明，信号的持续时间与其频带宽度成反
比。在通信系统中，为了快速传输信号，对信号进行时域压 缩，将以扩展频带为代价，故在实际应用中要权衡考虑。
在尺度变换性质中， 当a=-1时，有
an
2 T
T
2 T
2
f (t)cosn1tdt 0
bn
2 T
T
2 T
2
f
(t)sin n1tdt
4 T
T
2 0
Asin
n1tdt
图1
T
4A T
cosn1t n1
2 0
4A (n 1, 3, 5, ) nπ 0 (n 2, 4, 6, )
2
n1
An：n次谐波幅度
n ：n 次谐波初相角
an An cosn
An an2 bn2
n
arctan(bn an
)
bn An sin n
例3.1-1 如图所示的周期矩形波，试求其傅里叶级数。
解 由于这里f( t )是奇函数，故有
a0
1 T
T 0
f (t)dt 0
F() Sa( ) Sa( ) 2Sa2 ( )
2
2
2
在信号与系统分析中卷积性质占有重要地位，它将系统 分析中的时域方法与频域方法紧密联系在一起。在时域分析 中， 求某线性系统的零状态响应时，若已知外加信号f(t)及 系统的单位冲激响应h(t), 则有
y f (t) f (t) h(t)
号f(t)， 无论它是电压信号还是电流信号，其平均功率均为
P 1 T
T
2 T
f 2(t)dt
2
f (t) Fne jn1t n
因此，据函数正交分解中的帕塞瓦尔定理，有
§3.3 非周期信号的频谱
傅里叶变换
设一周期信号f(t)，将其展开成复指数形式的傅里叶级数：
f (t) Fne jn1t
et ε(t)
1
j
图12
➢ 符号函数的频谱：
符号函数定义为： 则
1 sgn(t) 1
F () 2 j
(t 0) (t 0)
图13
➢ 阶跃信号：
F ( ) π ( ) 1 j
图14
结论：
f( t )为实偶函数，F( )也为实偶函数； f( t )为奇函数，F( )为纯虚函数； f( t )为非奇非偶函数，F( )为复函数；
时-频对称性
若 f (t) F(), 则F(t) 2f () 若 f (t)为偶函数, 则有 F(t) 2f ()
例如，设有 f (t) 2 Sa(2t) ，求F(ω )。
因
g
(t)
Sa(
2
)
令 = 4，ωt， t ω ，则
4Sa(
4t 2
)
2g
表 3.1 常用傅里叶变换对
续表
§3.4 傅里叶变换的性质与应用
线性
若 f1(t) F1(), f2 (t) F2 () 则 a1 f1(t) a2 f2 (t) a1F1() a2 F2 ()
如符号函数
sgn(t) 2 (t) 1 2[π () 1 ] 2π () j
2
1 2
(an
jbn )
2A
jn
(n 1,3,5 )
图2
F0 a0 0
所以
f (t)
2A e jn1t
(n 1,3,5 )
n jn
§3.2 周期信号的频谱
3.2.1 频谱的特点 周期信号展开为傅氏级数时在不同频率点的振幅、相位随
频率变化的图形。 振幅频谱：所谓振幅频谱为以ω为横坐标，以振幅为纵坐标所 画出的谱线图；描述傅氏级数振幅随频率变化的图形。
即信号时延后，其幅度谱不变，各分量相位变化。
图16
信号的调制与频谱搬移（调制定理）
若 f (t) F()
则 f (t)e j0t F ( 0 )
f
(t)
c
os0t
1 2
[F
(
0
)
F
(
0
)]
图17
频谱搬移的原理是将信号f(t)乘以载频信号cosω0t或sinω0t, 从而得到f(t)cosω0t或f(t)sinω0t 的信号。因为
•收敛性：频谱的各次谐波分量的振幅虽然随nΩ的变化有起 伏变化，但总的趋势是随着nΩ的增大而逐渐减小。 当nΩ→ ∞时，|Fn|→0。
3.2.2 周期矩形脉冲频谱与信号的带宽
对于周期矩形脉冲，在一个周期内为
A
f (t)
0
t
2
t
2
则复系数
图5
Fn
1 T
2
Aejn1t dt
图7
周期矩形脉冲信号含有无穷多条谱线，也就是说，周期
矩形脉冲信号可表示为无穷多个正弦分量之和。在信号的传
输过程中，要求一个传输系统能将这无穷多个正弦分量不失
真地传输显然是不可能的。实际工作中，应要求传输系统能
将信号中的主要频率分量传输过去，以满足失真度方面的基
本要求。周期矩形脉冲信号的主要能量集中在第一个零点之
(1)
n1
称为三角形式的傅里叶级数，其系数
直流分量
a0
1 T
T
f (t) d t
0
余弦分量的幅度
2
an T
T 0
f (t) cosn1td t
正弦分量的幅度
bn
2 T
T 0
f (t)sinn1tdt
An ~ 关系曲线称为幅度频谱图；
相位频谱：为以ω为横坐标，以相位为纵坐标所得到的谱线图 描述傅氏级数相位随频率变化的图形。
n ~ 关系曲线称为相位频谱图。
矩形波频谱图
f
(t)
4A π
(sin1t
1 3
sin 31t
1 5
sin
51t
)
4A π
cos(1t
其复振幅
n
Fn
1 T
T
2 T
f (t)ejn1t dt
2
当T趋于无穷大时， Fn 趋于无穷小，若上式两边同乘以T，有
FnT
Fn
2
T
2 T
2
f (t)ejn1tdt
对于非周期信号，重复周期T趋于无限大，谱线间隔趋于无穷
小量dω，而离散频率nω1变成连续频率ω。在这种极限情况
非周期信号的频谱为连续谱； 若信号在时域持续时间有限，则其频谱在频域延续到 无限； 信号的能量主要集中在低频分量； 信号的带宽与脉冲宽度成反比，脉冲宽度越窄，其频 带越宽。
能量定理
信号f ( t ) 在1电阻上的能量满足
f 2(t)dt 1 F() 2d
2π
下且，为F一n 个趋连于续无函穷数小，量通，常但记F为n FT(jω2)，Fn即可 望 趋 于 有 限 值 ，
F
(
j)
lim
T
Fn
2
lim T
T
2 T
2
f (t)ejn1tdt
可得
F ( ) f (t)e jt dt
上式中，F(jω) 称为f( t )的频谱密度函数
f( t ) F( ω)
时域压缩，频域展宽；时域展宽，频域压缩。 图15
信号的延时与相位移动（延时特性）
因为
若 f (t) F() 则 f (t t0 ) F ( )e jt0
F() F() e j()
故
F()e jt0 F() ej[()t0 ]
内， 因而，常常将ω=0~ 2 这段频率范围称为矩形脉冲信
号的频带宽度。记为
频带宽度（带宽）： 2π (rad / s) f 1 (Hz)
结论： 信号的带宽与信号的持续时间（脉冲宽度）成反比。
3.2.3 周期信号的功率
周期信号的能量是无限的，而其平均功率是有界的，因而 周期信号是功率信号。为了方便，往往将周期信号在1Ω电阻 上消耗的平均功率定义为周期信号的功率。显然，对于周期信
包含了所有的频率分量， 而各频率分量的频谱密度都相等。
显然， 信号δ(t)实际上是无法实现的。
图3 图10
➢ 直流信号：
1 2π ()
图11
➢ 指数信号：
即：
f (t) et ( 0, t 0)
F ( ) e( j )t dt 1
0
j
-
2
A
T
sin( n1 )
2
( n1 )
A Sa( n1 )
2
T
2
其中Sa( )形式如下。
抽样函数： Sa(t) sin t t
Sa(0) 1
当 t k (k 1,2,3 ) 时，Sa( t ) = 0
图6
f( t ) 的双边谱
Sa( t ) ： Fn ：
2
j
脉冲展缩与频带变化（尺度变换）
若 f (t) F() 则 f (at) 1 F( )
aa 尺度变换性质表明，信号的持续时间与其频带宽度成反
比。在通信系统中，为了快速传输信号，对信号进行时域压 缩，将以扩展频带为代价，故在实际应用中要权衡考虑。
在尺度变换性质中， 当a=-1时，有
an
2 T
T
2 T
2
f (t)cosn1tdt 0
bn
2 T
T
2 T
2
f
(t)sin n1tdt
4 T
T
2 0
Asin
n1tdt
图1
T
4A T
cosn1t n1
2 0
4A (n 1, 3, 5, ) nπ 0 (n 2, 4, 6, )
2
n1
An：n次谐波幅度
n ：n 次谐波初相角
an An cosn
An an2 bn2
n
arctan(bn an
)
bn An sin n
例3.1-1 如图所示的周期矩形波，试求其傅里叶级数。
解 由于这里f( t )是奇函数，故有
a0
1 T
T 0
f (t)dt 0
F() Sa( ) Sa( ) 2Sa2 ( )
2
2
2
在信号与系统分析中卷积性质占有重要地位，它将系统 分析中的时域方法与频域方法紧密联系在一起。在时域分析 中， 求某线性系统的零状态响应时，若已知外加信号f(t)及 系统的单位冲激响应h(t), 则有
y f (t) f (t) h(t)
号f(t)， 无论它是电压信号还是电流信号，其平均功率均为
P 1 T
T
2 T
f 2(t)dt
2
f (t) Fne jn1t n
因此，据函数正交分解中的帕塞瓦尔定理，有
§3.3 非周期信号的频谱
傅里叶变换
设一周期信号f(t)，将其展开成复指数形式的傅里叶级数：
f (t) Fne jn1t
et ε(t)
1
j
图12
➢ 符号函数的频谱：
符号函数定义为： 则
1 sgn(t) 1
F () 2 j
(t 0) (t 0)
图13
➢ 阶跃信号：
F ( ) π ( ) 1 j
图14
结论：
f( t )为实偶函数，F( )也为实偶函数； f( t )为奇函数，F( )为纯虚函数； f( t )为非奇非偶函数，F( )为复函数；
时-频对称性
若 f (t) F(), 则F(t) 2f () 若 f (t)为偶函数, 则有 F(t) 2f ()
例如，设有 f (t) 2 Sa(2t) ，求F(ω )。
因
g
(t)
Sa(
2
)
令 = 4，ωt， t ω ，则
4Sa(
4t 2
)
2g
表 3.1 常用傅里叶变换对
续表
§3.4 傅里叶变换的性质与应用
线性
若 f1(t) F1(), f2 (t) F2 () 则 a1 f1(t) a2 f2 (t) a1F1() a2 F2 ()
如符号函数
sgn(t) 2 (t) 1 2[π () 1 ] 2π () j
2
1 2
(an
jbn )
2A
jn
(n 1,3,5 )
图2
F0 a0 0
所以
f (t)
2A e jn1t
(n 1,3,5 )
n jn
§3.2 周期信号的频谱
3.2.1 频谱的特点 周期信号展开为傅氏级数时在不同频率点的振幅、相位随
频率变化的图形。 振幅频谱：所谓振幅频谱为以ω为横坐标，以振幅为纵坐标所 画出的谱线图；描述傅氏级数振幅随频率变化的图形。
即信号时延后，其幅度谱不变，各分量相位变化。
图16
信号的调制与频谱搬移（调制定理）
若 f (t) F()
则 f (t)e j0t F ( 0 )
f
(t)
c
os0t
1 2
[F
(
0
)
F
(
0
)]
图17
频谱搬移的原理是将信号f(t)乘以载频信号cosω0t或sinω0t, 从而得到f(t)cosω0t或f(t)sinω0t 的信号。因为
•收敛性：频谱的各次谐波分量的振幅虽然随nΩ的变化有起 伏变化，但总的趋势是随着nΩ的增大而逐渐减小。 当nΩ→ ∞时，|Fn|→0。
3.2.2 周期矩形脉冲频谱与信号的带宽
对于周期矩形脉冲，在一个周期内为
A
f (t)
0
t
2
t
2
则复系数
图5
Fn
1 T
2
Aejn1t dt
图7
周期矩形脉冲信号含有无穷多条谱线，也就是说，周期
矩形脉冲信号可表示为无穷多个正弦分量之和。在信号的传
输过程中，要求一个传输系统能将这无穷多个正弦分量不失
真地传输显然是不可能的。实际工作中，应要求传输系统能
将信号中的主要频率分量传输过去，以满足失真度方面的基
本要求。周期矩形脉冲信号的主要能量集中在第一个零点之
(1)
n1
称为三角形式的傅里叶级数，其系数
直流分量
a0
1 T
T
f (t) d t
0
余弦分量的幅度
2
an T
T 0
f (t) cosn1td t
正弦分量的幅度
bn
2 T
T 0
f (t)sinn1tdt