第三章 连续时间信号与系统的频域分析 复习
第3章连续信号与系统的频域分析
2013年8月13日8时10分
3.0 引言
LTI系统的特性完全可以由其单位冲激响应
来表征，通过对LTI系统单位冲激响应的研究就可
分析LTI系统的特性。
连续时间信号分解为一系列完备正交信号集， 再根据线性叠加原理求解系统的零状态响应。
9
2013年8月13日8时10分
3.1信号的正交分解
3.1.1 矢量的正交分解 1 、正交矢量（2维空间）
3.1.2 信号的正交分解 2、正交函数的两个重要定理 定理2：若 则：
f (t ) c1 g1 (t ) cr gr (t ) cn gn (t ) ci gi (t )
i 1
n
t2
t1
f (t ) dt ci gi (t ) dt
t2 i 1 t1
完备正交函 数集
1,cos t,cos 2t,,sin t,sin 2t,
17
2013年8月13日8时10分
3.2 周期信号的连续时间傅立叶级数
一般地，若 即有：
则有：
f ( t ) 在区间(-∞，+
∞)内，每隔周期T重复，
f (t ) f (t kT )
T 2 T 2
V1 V2 0
V1 V3 0
V2 V3 0
11
2013年8月13日8时10分
3.1信号的正交分解
3.1.1 矢量的正交分解 3 、正交矢量（n维空间）
c3 V3 V3 o V2 c2 V2 V1
V cV1 crVr cnVn 1
V c1 V1
cr
V cos r Vr
3.7 连续信号的抽样定理
信号与系统分析PPT电子教案第三章连续时间信号与系统的频谱分析
f (t ) A0 An cos(n1t n ) n1
A0
n1
An 2
[e e ] j(n1t n ) j(n1t n )
A0
1 2
n1
An
e e jn jn1t
1 2
n1
An
e e jn jn1t
上式中第三项的n用–n代换，则上式写为
f (t)
A0
1 2
n1
An e jn e jn1t
T0
因此，信号绝对可积就保证了 ak 的存在。
② 在任何有限区间内，只有有限个极值点，且极值
为有限值。
③ 在任何有限区间内，只有有限个第一类间断点。
其它形式
余弦形式 f (t) A0 An cos n1t n
2
n1
A0 a0
an An cosn
An an2 bn2
bn An sinn
cos
2 1 t
4
，
请画出其幅度谱和相位谱。
化为余弦形式
f (t) 1
5
cos(1t
0.15
)
cos
2 1 t
4
三角形式的傅里叶级数的谱系数
三角函数形式的频谱图
A0 1
0 0
An A1 2.24
A0 1
A2 1
0 1 21
n
0.25
1
0
21
0.15
A1 5 2.236 1 0.15
在时域可以看到，如果一个周期信号的周期趋 于无穷大，则周期信号将演变成一个非周期信 号；反过来，任何非周期信号如果进行周期性 延拓，就一定能形成一个周期信号。我们把非 周期信号看成是周期信号在周期趋于无穷大时 的极限，从而考查连续时间傅立叶级数在 T趋 于无穷大时的变化，就应该能够得到对非周期 信号的频域表示方法。
信号与系统 第3章-3
解 若直接按定义求图示信号的频谱，会遇到形如te-jωt的繁 复积分求解问题。而利用时域积分性质，则很容易求解。 将f(t)求导，得到图 3.5-5(b)所示的波形f1(t)，将f1(t)再求导， 得到图 3.5-5(c)所示的f2(t)， 显然有
第3章 连续信号与系统的频域分析
f 2 (t ) = f (t ) = f " (t )
ω ）为各频率点
上单位频带中的信号能量，所以信号在整个频率范围的全部
W = ∫ G (ω )dω
0
∞
式中
G (ω ) =
1
π
F ( jω )
2
第3章 连续信号与系统的频域分析 表 3.2 傅里叶变换的性质
第3章 连续信号与系统的频域分析
3.6 周期信号的傅里叶变换
设f(t)为周期信号，其周期为T，依据周期信号的傅里叶级数分 析， 可将其表示为指数形式的傅里叶级数。即
f ( −t ) ↔ F ( − jω )
也称为时间倒置定理 倒置定理。 倒置定理
第3章 连续信号与系统的频域分析
若已知f(t) ↔ F(jω )，求f(at - b)的傅立叶变换。
此题可用不同的方法来求解。 解 此题可用不同的方法来求解。
第3章 连续信号与系统的频域分析
(2) 先利用尺度变换性质，有 先利用尺度变换性质，
第3章 连续信号与系统的频域分析 2. 时移性 时移性 若f(t) ←→ F(jω)， 且t0为实常数(可正可负)，则有
f ( t − t0 ) ↔ F ( jω ) e
此性质可证明如下
− jω t 0
F [ f (t − t 0 )] = ∫− ∞ f (t − t 0 )e 令τ = t − t 0
信号与系统王明泉第三章习题解答
（4）频域分析法分析系统；
（5）系统的无失真传输；
（6）理想低通滤波器；
（7）系统的物理可实现性；
3.3本章的内容摘要
3.3.1信号的正交分解
两个矢量 和 正交的条件是这两个矢量的点乘为零，即：
如果 和 为相互正交的单位矢量，则 和 就构成了一个二维矢量集，而且是二维空间的完备正交矢量集。也就是说，再也找不到另一个矢量 能满足 。在二维矢量空间中的任一矢量 可以精确地用两个正交矢量 和 的线性组合来表示，有
条件1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个。
条件2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个。
条件3:在一周期内，信号绝对可积，即
（5）周期信号频谱的特点
第一：离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，所以此谱称为不连续谱或离散谱。
第二：谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率 的整数倍频率上。
(a)周期、连续频谱； (b)周期、离散频谱；
(c)连续、非周期频谱； (d)离散、非周期频谱。
答案：(d)
题7、 的傅里叶变换为
答案：
分析：该题为典型信号的调制形式
题8、 的傅里叶变换为
答案：
分析：根据时移和频移性质即可获得
题9、已知信号 如图所示，且其傅里叶变换为
试确定：
(1)
(2)
(3)
解：
(1)将 向左平移一个单位得到
对于奇谐函数，满足 ，当 为偶数时， ， ；当 为奇数时， ， ，即半波像对称函数的傅里叶级数展开式中只含奇次谐波而不含偶次谐波项。
（4）周期信号傅里叶级数的近似与傅里叶级数的收敛性
一般来说，任意周期函数表示为傅里叶级数时需要无限多项才能完全逼近原函数。但在实际应用中，经常采用有限项级数来代替无限项级数。无穷项与有限项误差平方的平均值定义为均方误差，即 。式中， ， 。研究表明， 越大， 越小，当 时， 。
连续时间信号与系统的频域分析报告
连续时间信号与系统的频域分析报告1. 引言连续时间信号与系统的频域分析是信号与系统理论中的重要分支，通过将信号和系统转换到频域，可以更好地理解和分析信号的频谱特性。
本报告将对连续时间信号与系统的频域分析进行详细介绍，并通过实例进行说明。
2. 连续时间信号的频域表示连续时间信号可以通过傅里叶变换将其转换到频域。
傅里叶变换将信号分解成一系列不同频率的正弦和余弦波的和。
具体来说，对于连续时间信号x(t)，其傅里叶变换表示为X(ω)，其中ω表示频率。
3. 连续时间系统的频域表示连续时间系统可以通过频域中的频率响应来描述。
频率响应是系统对不同频率输入信号的响应情况。
通过系统函数H(ω)可以计算系统的频率响应。
系统函数是频域中系统输出与输入之比的函数，也可以通过傅里叶变换来表示。
4. 连续时间信号的频域分析频域分析可以帮助我们更好地理解信号的频谱特性。
通过频域分析，我们可以获取信号的频率成分、频谱特性以及信号与系统之间的关系。
常用的频域分析方法包括功率谱密度估计、谱线估计等。
5. 连续时间系统的频域分析频域分析也可以用于系统的性能评估和系统设计。
通过分析系统的频响特性，我们可以了解系统在不同频率下的增益和相位变化情况，进而可以对系统进行优化和设计。
6. 实例分析以音频信号的频域分析为例，我们可以通过对音频信号进行傅里叶变换，将其转换到频域。
通过频域分析，我们可以获取音频信号的频谱图，从而了解音频信号的频率成分和频率能量分布情况。
进一步，我们可以对音频信号进行系统设计和处理，比如对音乐进行均衡、滤波等操作。
7. 结论连续时间信号与系统的频域分析是信号与系统理论中重要的内容，通过对信号和系统进行频域分析，可以更好地理解和分析信号的频谱特性。
频域分析也可以用于系统的性能评估和系统设计，对于音频信号的处理和优化具有重要意义。
总结：通过本报告，我们了解了连续时间信号与系统的频域分析的基本原理和方法。
频域分析可以帮助我们更好地理解信号的频谱特性和系统的频响特性，对系统设计和信号处理具有重要意义。
第三、四章连续时间信号与系统的频域分析内容总结
第
连续时间信号与系统的频域分析总结
8 页
例15、试求信号f(t)=cos(4t+ )的频谱 。 3
解：
X
第
连续时间信号与系统的频域分析总结
9 页
例16、一因果LTI系统的输入和输出，由下列微分方程表示：（采用傅里叶变
换计算）。 （1）求系统的单位冲激响应 h( t ) ；
d 2 y( t ) dy( t )
X
第
连续时间信号与系统的频域分析内容总结
2 页
第四章是傅里叶变换在LTI系统分析中的应用。 在第三章信号频域分解、分析基础上，研究不同激励信号 通过系统的响应、信号通过系统无失真条件、理想低通滤波器 模型以及物理可实现条件、希尔伯特变换、抽样定理等主要内 容。
X
第
连续时间信号与系统的频域分析总结
3) (j
5)
1ห้องสมุดไป่ตู้
j
3
1
j 5
2
j
4
y z s(t ) e 3t (t ) e 5t (t ) 2e 4t (t )
X
第
连续时间信号与系统的频域分析总结
10 页
例17、如图所示系统，其乘法器的两个输入端分别为：f (t) sin(2t) , s(t) cos(6t)
系统的频率响应为
8
15y( t ) 2 f ( t )
dt 2
dt
（2）若 f ( t ) e4t( t ) ，求该系统的零状态响应 yzs (t) 。
解： （1）
H ( j)
2
11
j2 8 j 15 j 3 j 5
h(t) e 3t(t) e 5t(t)
（2）
信号系统复习资料
变为f (t -t)时，相应的输出响应y (t )是否变为y (t -t )。
‘ ᩴ -第一章信号与系统分析导论1.信号分类：确定信号与随机信号、连续时间信号与离散时间信号、周期信号和非周期信号、能量信号与功率信号。
2.系统分类：连续时间系统与离散时间系统、线性系统和非线性系统、非时变系统与时变系统、因果系统与非因果系统3.掌握信号周期的判断、线性系统的判断、时不变系统的判断（1）判断周期性 Ω0 /2π = m/N ，N 、m 是不可约的整数，则信号的周期为 N 。
例 f 1[k ] = sin(kpi /6)W0 /2pi = 1/12, 由于 1/12 是不可约的有理数， 故离散序列的周期 N=12。
习题 1-4（2）判断一个系统是否为线性系统，应从三个方面来判断：1）、具有可分解性y (t ) = y zi (t ) + y zs (t )2）、零输入线性，系统的零输入响应必须对所有的初始状态呈现线性特性。
3）、零状态线性，系统的零状态响应必须对所有的输入信号呈现线性特性。
例： y (t ) = 2 y (0) + 6 f2(t ) ，可分解但是 y zs (t ) 是非线性的，故不是线性系统习题 1-7（3）判断系统是否为时不变系统，只需判断当输入激励 f (t )0 0注意：时不变特性只考虑系统的零状态响应，因此在判断系统的时不变特性时，不涉及系统的初始状态。
例 y (t)=cos t ·f (t )y (t ) = cos(t ) f (t - t 0 ) 而 y (t - t 0 ) = cos(t - t 0 ) f (t - t 0 ) 故不相等，是时变系统。
习题 1-8第二章信号的时域分析1.掌握普通信号的定义(1) 指数信号——实指数信号 f (t ) = Ae αt(2) 虚指数信号 f (t ) = e jω0tEuler 公式：cos(ωt ) = 1 2(e j ωt + e - j ωt)sin(ωt ) =1 2 j(e j ωt - e - j ωt )(3) 指数信号——复指数信号 f (t ) = Ae sts = σ + j ω01f (t ) = Ae σt e j ω0t = Ae σtcos ω0t + jAe σtsin ω0t〰〰〰〰(4) 抽样函数 Sa(t ) = sin t / t抽样函数具有以下性质：- π π2π 〰ᩴSa(0) = 1Sa(k π ) = 0, k = ±1,±2∞⎰ -∞Sa(t )dt = πu (t ) = ⎨u (t - t 0 ) = ⎨⎰ ⎰δ (τ )d τ = ⎨⎧1 t >r (t ) = ⎨= ⎰ u (τ ) ⋅ d τ ⎰δ (t )dt = 0 ⎰δ (τ )d τ =δ (t ) f (t )δ (t ) = f (0)δ (t ) - f (0)δ (t )⎰f (t )δ (t )dt = - f ⎰sin(t ) ⋅δ (t - )dt = sin( ) = 2 / 2(2)⎰ e -5t ⋅δ (t -1)dt = e -5⨯1 = 1/ e 5(3)⎰ e -2t ⋅δ (t + 8)dt = 0 2.掌握奇异信号的定义 (1) 单位阶跃信号⎧1 ⎩0 t > 0 t < 0 t⎧1⎩0t > t 0 t < t 0t(2) 冲激信号δ(t )=0 , t ≠0+∞ -∞δ (t ) dt = 1δ (t - t 0 ) = 0t ≠ t 0∞ ⎰ -∞δ (t - t 0)dt = t 0 +∆ ⎰ t 0 -∆δ (t - t 0)dt = 1冲激信号的性质a)筛选特性 f (t )δ (t - t 0 ) = f (t 0 )δ (t - t 0 )b)取样特性 ∞⎰-∞f (t )δ (t - t 0 )dt = f (t 0 )c)展缩特性 δ (at ) = 1aδ (t ) , δ (t ) = δ (-t )推论：冲激信号是偶函数。
【信号与系统】复习总结笔记
【信号与系统】复习总结笔记学习笔记（信号与系统）来源：⽹络第⼀章信号和系统信号的概念、描述和分类信号的基本运算典型信号系统的概念和分类1、常常把来⾃外界的各种报道统称为消息；信息是消息中有意义的内容；信号是反映信息的各种物理量，是系统直接进⾏加⼯、变换以实现通信的对象。
信号是信息的表现形式，信息是信号的具体内容；信号是信息的载体，通过信号传递信息。
2、系统(system)：是指若⼲相互关联的事物组合⽽成具有特定功能的整体。
3、信号的描述——数学描述，波形描述。
信号的分类：1）确定信号（规则信号）和随机信号确定信号或规则信号 ——可以⽤确定时间函数表⽰的信号；随机信号——若信号不能⽤确切的函数描述，它在任意时刻的取值都具有不确定性，只可能知道它的统计特性。
2）连续信号和离散信号连续时间信号——在连续的时间范围内(-∞<t<∞）有定义的信号称为连续时间信号，简称连续信号，实际中也常称为模拟信号；离散时间信号——仅在⼀些离散的瞬间才有定义的信号称为离散时间信号，简称离散信号，实际中也常称为数字信号。
3）周期信号和⾮周期信号周期信号——是指⼀个每隔⼀定时间T，按相同规律重复变化的信号；⾮周期信号——不具有周期性的信号称为⾮周期信号。
4）能量信号与功率信号能量信号——信号总能量为有限值⽽信号平均功率为零；功率信号——平均功率为有限值⽽信号总能量为⽆限⼤。
5）⼀维信号与多维信号信号可以表⽰为⼀个或多个变量的函数，称为⼀维或多维函数。
6）因果信号若当t<0时f(t)=0,当t>0时f(t)≠0的信号,称为因果信号；⾮因果信号指的是在时间零点之前有⾮零值。
4、信号的基本运算：信号的＋、－、×运算:两信号f1(·)和f2(·)的相＋、－、×指同⼀时刻两信号之值对应相加减乘。
平移:将f(t)→f(t + t0)称为对信号f(·)的平移或移位,若t0< 0，则将f(·)右移,否则左移。
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从系统微分方程求解系统传递函 数和冲激响应
使用FT可方便地从系统微分方程求解系统传
递函数和冲激响应 其计算步骤是：首先在输入激励为单位冲激 的假设下，利用FT的微分定理对微分方程进 行FT，并整理后得到系统传递函数；最后取 传递函数的逆FT后，就得到系统冲激响应。
傅里叶变换的因果时域微分性质
傅里叶变换的因果时域微分性质：
' y t Y j , y t jY j y 0 " ' y t j Y j j y 0 y 0 2
本章小结
7.
8.
9.
采样定理是数字信号处理和数字通信的理论基础，它给 出了从信号的离散样本值无失真复原信号的条件。 平坦幅频特性和线性相位特性是无失真传输的条件，选 频滤波器，尤其是低通滤波器在通信和电子系统中有十 分重要的作用。跳变信号通过有锐截止特性的滤波器时， 必然会产生吉布斯振荡。 时（频）域因果性对应于频（时）域希尔伯特性，它使 得因果信号的频谱实部与虚部，因果稳定信号的对数幅 度譜与相位譜，还有解析信号的实部与虚部都分别构成 一个希尔伯特变换对。利用此原理可实现一个滤波器的 因果化和稳定化，也可实现通信系统中的单边带调制。
F[ j ( 0 )]
jF ( j )
f ( )d f (t ) u (t )
1 ( ) j F ( j )
傅立叶变换的性质
时域卷积
f1 (t ) f 2 (t )
频域卷积
时域抽样
n
f (nT ) (t nT )
f1 t
t nT f t t
1 T
周期信号的FT－离散谱
f t F1 1 n1 1F1 n1 n1 n n
本章小结
1.
2. 3.
非周期信号的傅里叶变换是把信号分解为无穷 多个复指数分量的连续和（积分），结果是连 续谱。频谱是信号的频域描述，具有明确的物 理意义。 傅里叶变换具有许多性质，在计算傅里叶变换 和傅里叶逆变换中有重要作用，必须熟练掌握。 周期信号的频谱分析就是傅里叶级数分析，它 把周期信号分解为无穷多个谐波分量之和，结 果是离散谱。傅里叶系数与从周期信号单周期 截取的非周期信号的傅里叶变换在各谐波频率 上的采样值成正比。这是进行傅里叶级数分析 的有效途径。
用于计算卷积的FT法
使用FT可以方便地计算卷积，这就是卷积计 算的FT法，如图所示。即，首先计算两个被 卷积信号的频谱，然后相乘并取逆傅里叶变 换，就得到所需结果。
f(t)
h(t)
y(t)=f(t)*h(t)
F(jω)
H(jω)
Y(jω)=F(jω)H(jω)
无失真传输
无失真传输系统是具有平坦幅频特性和斜率等于延 迟时间之负的线性相频特性的系统
T (t )
f (t )
T 2 T 2
n
jn1t F e n
n
(t nT )
s
k
( k )
s
1 1 jn1t Fn f (t )e dt Fo ( j ) T T1
k
2F ( k )
f t
n
2 Fn n1
1 Fn F1 n 1 T
周期信号的频谱是离散的，并且在 n1 的谱线强 度为 2Fn 1 F1 n1
周期信号的FS分析步骤
步1. 截取与周期信号 f t 相应的非周期信号 ， f1 t 并计算其 FT表示式 ； F1 步2. 计算周期信号 f t 的 Fn 后，得其指数形式的 FS展开式，并计算其离散谱，画出其离散幅度谱 和离散相位谱； 步3. 计算周期信号 f t 的谐波形式或正余弦形式 的FS展开式。
具有频谱 F 的信号 f t 通过冲激响应为 ht 的LTI系统时，输出响应为 yt f t ht Y F H
其中，系统传递函数（又称频率响应或频率 H 是冲激响应 ht 的FT 特性）
正弦信号通过LTI系统
当输入 f t cos t 0 0 0
输出信号为 yt F 0 cos0t 0
因果正弦信号通过LTI系统
j0t f t e u t 激励 H 定理：当因果复正弦信号
其中，
周期信号的FT－离散谱
f t , t t0 , t0 T f1 t 0, t t0 , t0 T
f t
n
f t nT f t t nT
1 n 1 n
抽样信号与抽样定理
l 抽样信号： (t nTs ) l 理想抽样序列： T (t ) n l 非理想抽样序列： P(t ) G (t nTs ) n l 被抽样信号及其频谱： l 理想抽样时
1 f s (t ) f (t ) (t nTs ) Fs ( j ) Ts n
y
(n)
t j Y j j
n n2
n 1
y 0
j
y ' 0 y ( n 1) 0
该性质不同于傅里叶变换的非因果时域微分性质之 处是，考虑了因果化时初始条件的影响，因此，它 可有效地用于从带有非零初始条件的微分方程求解 系统的零输入响应、零状态响应和全响应。
f(t) f(t)
|H(jω)|
无失真传输系统 H(jω)
y(t)=kf(t-t0)
K 0 f(t) t 0 φ(ω) ω
0 0 t0 t
ω φ(ω) = -ωt0
理想低通滤波器
理想低通滤波器的系统频率响应
H Ke j u c u c H K
F1 ( j ) F2 ( j )
）
1 2 W [ f (t )] dt 2
F ( j d
2
常用非周期信号的傅立叶变换
序 号 2 3 4 5
f (t )
(t )
1
t
F ( j )
1
2 ( )
1 j
Sa 2
非周期信号的频域分析 F ( j ) f (t )e •傅立叶变换 1 jt f (t ) F ( j ) e d 2
j t
dt
•傅立叶变换的性质
N
1)线性 f (t ) ai f i (t )
2)对称性
3)折叠性
i 1
F ( j ) ai Fi ( j )
本章小结
4.
5.
6.
频域分析不但可分析信号的频谱，而且可用来分析LTI 系统的频域特性—频率响应、幅频特性、相频特性。并 可计算卷积和计算系统的冲激响应、阶跃响应、零输入 响应、零状态响应和全响应等，它也能进行系统的稳态 分析和暂态分析。它要比时域分析技术简便有效得多。 各元器件都有自己的频域表示模型，电路可在频域中直 接进行分析。而且，频域求解电路要比时域分析技术简 便有效得多。 在频域中，通过分析信号通过各模块时频谱发送的变化， 可有效地分析复杂系统的功能及其各模块的作用。还可 通过系统方框图的概念来分析系统实现和系统模拟。
第三章 连续时间信 号与系统的频域分析
学习要点： 1. 掌握傅里叶变换分析技术和傅里叶级数分析技术的基本概念 和计算，尤其要注意应用性质来计算一些常用信号的频谱 2. 熟悉时域特性与频域特性的对应关系 3. 弄清信号频谱的意义以及连续谱与离散谱的区别和联系 4. 卷积定理是系统频域分析的重要工具，要认真掌握 5. 采样定理是离散信号处理的理论基础，应领会其含义并会应 用
电路频域特性分析
使用FT可以直接在频域分析线性电路的特性， 而无需建立其微分方程
1/(jωC) jωL R
IC(jω) VC(jω)
IL(jω) VL(jω)
IR(jω) VR(jω)
线性电路的传递函数、幅频特性和 相频特性
首先，使用电路中各元器件的频域表示，建立频域 电路图； 然后，使用频域KCL、KVL等电路定律建立联立的代 数方程组； 最后，从中得出所需的系统传递函数，并进而分析 其幅频特性、相频特性等。 用频域分析计算不但可确定系统的频域特性，也可 建立描述系统的微分方程，并进而计算系统的零输 入响应、零状态响应和全响应。 实际上频域分析也可用来分析系统的暂态响应
F ( j ) e
1 F j e a a
j t0
t0 a
f (at t0 )
j
频移性（调制定理）
f (t )e f (t ) cos(0t ) f (t ) sin(0t )
时域微分 时域积分
j0t
f ' (t )
t
1 {F j ( 0 ) F j ( 0 )} 2 j F j ( 0 ) F j ( 0 ) 2
N
F ( j ) 4)奇偶虚实性：实偶 f (t )对应实偶 F ( j ) 实奇 f (t ) 对应虚奇 F ( j )
5)尺度定理
f (t )
F ( jt )
2f ( )
i 1
f (at)
1 F j a a
傅立叶变换的性质
时域延迟性 f (t t0 )
n 1