信号的频域分析教学课件
合集下载
信号与系统第四章连续系统的频域分析.ppt
2e
j ( 9 t ) 4
4e
j ( 6 t ) 2
6e
j ( 3 t ) 4
16 6e
j (3 t ) 4
4e
j (6 t ) 2
2e
j (9 t ) 4
二、周期信号频谱的特点
举例：有一幅度为1，脉冲宽度为的周期矩形脉冲， 其周期为T，如图所示。求频谱。
在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多， 即n越大，则均方误差越小。当n→∞时（为完 备正交函数集），均方误差为零。此时有：
t2 t1
f 2 (t ) d t C 2 jKj
j 1
上式称为(Parseval)巴塞瓦尔公式，表明：在区间 (t1,t2) f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函数 集中分解的各正交分量能量的总和。 函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和:
A0 = a0
An a b
2 n
2 n
an An cosn
bn An sin n
bn n arctan an
A0/2为直流分量； A1cos(t+1)称为基波或一次谐波，它的角频率与原周期信 号相同； A2cos(2t+2)称为二次谐波，它的频率是基波的2倍； 一般而言，Ancos(nt+n)称为n次谐波。
上式中第三项的n用–n代换，A–n=An，–n= – n，则上式写为：
A0 1 1 j n jn t j n jn t An e e An e e 2 2 n1 2 n 1
令 A0 A0e
j 0
j ( 9 t ) 4
4e
j ( 6 t ) 2
6e
j ( 3 t ) 4
16 6e
j (3 t ) 4
4e
j (6 t ) 2
2e
j (9 t ) 4
二、周期信号频谱的特点
举例：有一幅度为1，脉冲宽度为的周期矩形脉冲， 其周期为T，如图所示。求频谱。
在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多， 即n越大，则均方误差越小。当n→∞时（为完 备正交函数集），均方误差为零。此时有：
t2 t1
f 2 (t ) d t C 2 jKj
j 1
上式称为(Parseval)巴塞瓦尔公式，表明：在区间 (t1,t2) f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函数 集中分解的各正交分量能量的总和。 函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和:
A0 = a0
An a b
2 n
2 n
an An cosn
bn An sin n
bn n arctan an
A0/2为直流分量； A1cos(t+1)称为基波或一次谐波，它的角频率与原周期信 号相同； A2cos(2t+2)称为二次谐波，它的频率是基波的2倍； 一般而言，Ancos(nt+n)称为n次谐波。
上式中第三项的n用–n代换，A–n=An，–n= – n，则上式写为：
A0 1 1 j n jn t j n jn t An e e An e e 2 2 n1 2 n 1
令 A0 A0e
j 0
2.5信号的频域分析(非周期信号)2.6傅立叶变换的性质
能 量 谱
由此最后得
E = ∫ x2 (t )dt =
−∞ ∞
1 ∞ 2 X(ω) dω 2π ∫−∞
(16)
式（15）亦称巴塞伐尔方程或 能量等式。它表示，一个非周 期信号x(t)在时域中的能量可由 它在频域中连续频谱的能量来 表示。 式（15）亦可写成
E= 1 ∞ 2 X(ω) dω 2π ∫−∞ 1 ∞ 2 = ∫ X(ω) dω = ∫ S(ω)dω
证明： 由欧拉公式
X (ω) = ∫ x(t)e
−∞
∞ −∞
∞
− jωt
dt
∞ −∞
X (ω) = ∫ x(t) cosωtdt − j∫ x(t) sin ωtdt
= Re X (ω) + j Im X (ω)
若x(t)为实函数
Re X (ω) = Re X (−ω) Im X (ω) = − Im X (−ω)
x(t) = Arect
(t − t0 )
T
图2.30 具有时移t0的矩形脉冲
X( f ) = AT sin c(πfT) sin c(πfT) > 0 − 2πt0 f , ϕ( f ) = − 2πt0 f ±π , sin c(πfT) < 0
测试技术
2.6傅里叶变换的性质 2.6傅里叶变换的性质
∫
∞
−∞
x(t) dt < ∞
但上述条件并非必要条件 必要条件。因为当引入广义函数概 必要条件 念之后，许多原本不满足绝对可积条件的函数也能进行傅 里叶变换。 若将上述变换公式中的角频率ω用频率f来替代，则由 于ω=2πf，式（5）和（6）分别变为
X( f ) = ∫ x(t)e− j 2πft dt
3. 随机信号分析随机信号的频域分析
况，因此称为：随机过程X (t)的功率谱密度。
GX
()
lim
T
1 2T
E[
XT
()
2
]
同理样本函数 xk (t)的功率谱密度为
Gk
(
)
lim
T
1 2T
XkT () 2
随机过程的平均功率也可以由过程的均方值求时间平均：
P
lim
T
1 2T
T E[X 2 (t)]dt
Y (t)
a cos(0t
), RY
( )
a2 2
cos 0
RY
(
)d
a2 2
cos 0d
RX ( ), RY ( ) 不满足绝对可积的条件，∴F变换不存在。
傅氏变换绝对可积的条件限制了维纳—辛钦定理的应用。
在频域： ⑴直流信号X(t) ⑵周期信号X(t)
lim T
1
4T
2
XkT () d
Pk 表示随机过程的样本函数 xk (t) 消耗在1欧姆电阻上的平均功率
Pk 称为随机过程样本函数 xk (t) 的平均功率（时间平均） 。
由于对一次试验结果 k 来讲， 对应的样本函数xk (t) 是个确定函
数，因此这个平均功率 Pk 仅是一个确定值。
且平稳过程有
P
E[ X
2 (t)]
1
2
G
X
( )d
所以功率谱密度函数绝对可积。
(5)、若平稳过程的功率谱密度可以表示为 2n
GX
()
lim
T
1 2T
E[
XT
()
2
]
同理样本函数 xk (t)的功率谱密度为
Gk
(
)
lim
T
1 2T
XkT () 2
随机过程的平均功率也可以由过程的均方值求时间平均：
P
lim
T
1 2T
T E[X 2 (t)]dt
Y (t)
a cos(0t
), RY
( )
a2 2
cos 0
RY
(
)d
a2 2
cos 0d
RX ( ), RY ( ) 不满足绝对可积的条件，∴F变换不存在。
傅氏变换绝对可积的条件限制了维纳—辛钦定理的应用。
在频域： ⑴直流信号X(t) ⑵周期信号X(t)
lim T
1
4T
2
XkT () d
Pk 表示随机过程的样本函数 xk (t) 消耗在1欧姆电阻上的平均功率
Pk 称为随机过程样本函数 xk (t) 的平均功率（时间平均） 。
由于对一次试验结果 k 来讲， 对应的样本函数xk (t) 是个确定函
数，因此这个平均功率 Pk 仅是一个确定值。
且平稳过程有
P
E[ X
2 (t)]
1
2
G
X
( )d
所以功率谱密度函数绝对可积。
(5)、若平稳过程的功率谱密度可以表示为 2n
第12讲 信号的频域分析04
F ( j ) = A Sa (
2
)
应用频移特性可得
F [ f ( t ) cos 0 t ] =
A 2
第12讲 信号的频域分析04 p 15
1 2
F [ j( 0 )] +
1 2
F [ j( + 0 )]
=
{Sa
( 0 ) 2
+ Sa
( + 0 ) 2
F [ f (t )e
1 2
j 0 t
]
1 2
F [ j( 0 )] +
F [ j( + 0 )]
信号f(t)与余弦信号cos0 t相乘后，其频谱是将 原来信号频谱向左右搬移0，幅度减半。
同理
F [ f ( t ) sin 0 t ] =
1 2j
F [ f (t )e
若 f 1 ( t ) F1 ( j )；
F
F
f 2 ( t ) F 2 ( j )，
F
则 af 1 ( t ) + bf 2 ( t ) aF 1 ( j ) + bF 2 ( j )
其中a和b均为常数。
第12讲 信号的频域分析04 p 4
2. 共轭对称特性
= F1 ( j ) F 2 ( j )
第12讲 信号的频域分析04 p 23
j j t j t
dt
d t ]d
d
例5 求如图所示信号的频谱。
解：
f (t ) = p 2 (t ) * p 2 (t )
p 2 ( t ) 2Sa ( )
第12讲 信号的频域分析04 p 12
2
)
应用频移特性可得
F [ f ( t ) cos 0 t ] =
A 2
第12讲 信号的频域分析04 p 15
1 2
F [ j( 0 )] +
1 2
F [ j( + 0 )]
=
{Sa
( 0 ) 2
+ Sa
( + 0 ) 2
F [ f (t )e
1 2
j 0 t
]
1 2
F [ j( 0 )] +
F [ j( + 0 )]
信号f(t)与余弦信号cos0 t相乘后，其频谱是将 原来信号频谱向左右搬移0，幅度减半。
同理
F [ f ( t ) sin 0 t ] =
1 2j
F [ f (t )e
若 f 1 ( t ) F1 ( j )；
F
F
f 2 ( t ) F 2 ( j )，
F
则 af 1 ( t ) + bf 2 ( t ) aF 1 ( j ) + bF 2 ( j )
其中a和b均为常数。
第12讲 信号的频域分析04 p 4
2. 共轭对称特性
= F1 ( j ) F 2 ( j )
第12讲 信号的频域分析04 p 23
j j t j t
dt
d t ]d
d
例5 求如图所示信号的频谱。
解：
f (t ) = p 2 (t ) * p 2 (t )
p 2 ( t ) 2Sa ( )
第12讲 信号的频域分析04 p 12
信号与系统课件：连续信号与系统的频域分析
双边谱指的是当 n 为任何值时( -∞< n <∞ )， 和 θn 随频
率 nω 0变化的图形。
连续信号与系统的频域分析
若某周期信号傅里叶级数为
连续信号与系统的频域分析
图 3.3－1 周期信号频谱
连续信号与系统的频域分析
【例 3.3－1 】 试画出图 3. 2－1 所示的周期方波信号
的单边频谱和双边频谱。
A 2 =8 ， A 3 =0 ， A 4 =2 ，相位 φ 1 =-180° ， φ 2 =0° ，
φ 3 =0° ， φ 4 =90° 。于是 f ( t )的单边频谱如图 3. 3 4 所
示。
连续信号与系统的频域分析
图 3.3－4 信号 f ( t )的单边谱
连续信号与系统的频域分析
由单边频谱和双边频谱的关系，可得 f (t )的双边频谱如
种简洁形式:
连续信号与系统的频域分析
两种表达式中的系数的关系为
由式( 3. 2－5 )可知， A n 是 n 的偶函数; φ n 是 n 的奇函数。
连续信号与系统的频域分析
也可由式(3. 2－4 )得到式( 3. 2－2 )，系数的关系为
连续信号与系统的频域分析
式( 3. 2－4 )表明，任意周期信号可以分解为直流和许
指函数 ej ωt 为基本信号，将任意连续信号分成一系列不同频
率的正弦信号或虚指函数信号线性组合，并加分析。对周期
信号的分解工具是傅里叶级数，对非周期信号的分解工具是
傅里叶变换。利用信号的正弦分解思想，系统的响应可看做
各不同频率正弦信号产生响应的叠加，这种思想将时域映射
到频域，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与频
《信号的频域分析》课件
信号的频域分析
本PPT课件将介绍信号的频域分析，包括常见的信号分析技术、离散傅里叶变 换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）、窗函数、功率谱密度（PSD）、信噪比 分析等内容。
一、引言
1 频域分析的意义与作用
深入了解信号的频域特性，揭示其频率分布 及振幅信息。
2 常见的信号分析技术
涵盖傅里叶变换、小波变换、滤波与谱估计 等常用技术。
2
与DFT的比较
探讨FFT在计算效率和计算复杂度方面相对于DFT的优势。
3
FFT的算法和实现
深入了解基于蝶形运算的快速傅里叶变换的实现细节。
四、窗函数
窗函数的作用和基本要求
解释窗函数在频域分析中的作用和需要满足的基本 要求。
常见的窗函数类型及其特点
包括汉明窗、布莱克曼窗等常用窗函数的特点与适 用场景。
课程收尾和展望
总结课程内容，鼓励学习者深 入学习和探索信号的频域分析 领域。
二、离散傅里叶变换（DFT）
DFT基本原理及推导
将连续时间信号转化为离散 频域信号的数学理论基础。
DFT的计算方法
探索DFT的计算过程和相关算 法实现，如蝶形运算。
DFT的性质和特点
讨论DFT的周期性、线性性和 时移性等重要特性。
三、快速傅里叶变换（FFT）
1
FFT的基本原理和推导
介绍大规模傅里叶变换的算法思想和相关理论推导。
五、功率谱密度（PSD）
1
PSD的定义和基本概念
介绍功率谱密度的定义和在频域分析中
PSD的估计方法
2
的重要概念。
探索基于周期图法、自相关估计法等方
法估计功率谱密度。
3
相关应用和注意事项
讨论PSD在噪声处理、信号检测等领域 的实际应用和注意事项。
本PPT课件将介绍信号的频域分析，包括常见的信号分析技术、离散傅里叶变 换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）、窗函数、功率谱密度（PSD）、信噪比 分析等内容。
一、引言
1 频域分析的意义与作用
深入了解信号的频域特性，揭示其频率分布 及振幅信息。
2 常见的信号分析技术
涵盖傅里叶变换、小波变换、滤波与谱估计 等常用技术。
2
与DFT的比较
探讨FFT在计算效率和计算复杂度方面相对于DFT的优势。
3
FFT的算法和实现
深入了解基于蝶形运算的快速傅里叶变换的实现细节。
四、窗函数
窗函数的作用和基本要求
解释窗函数在频域分析中的作用和需要满足的基本 要求。
常见的窗函数类型及其特点
包括汉明窗、布莱克曼窗等常用窗函数的特点与适 用场景。
课程收尾和展望
总结课程内容，鼓励学习者深 入学习和探索信号的频域分析 领域。
二、离散傅里叶变换（DFT）
DFT基本原理及推导
将连续时间信号转化为离散 频域信号的数学理论基础。
DFT的计算方法
探索DFT的计算过程和相关算 法实现，如蝶形运算。
DFT的性质和特点
讨论DFT的周期性、线性性和 时移性等重要特性。
三、快速傅里叶变换（FFT）
1
FFT的基本原理和推导
介绍大规模傅里叶变换的算法思想和相关理论推导。
五、功率谱密度（PSD）
1
PSD的定义和基本概念
介绍功率谱密度的定义和在频域分析中
PSD的估计方法
2
的重要概念。
探索基于周期图法、自相关估计法等方
法估计功率谱密度。
3
相关应用和注意事项
讨论PSD在噪声处理、信号检测等领域 的实际应用和注意事项。
信号与系统 第3章(xin ) 信号的频域分析
3 信号的频域分析
2.基本形式（三角形式）
满足狄氏条件的任一周期信号都是由cos，sin组成。 连续周期信号的基本形式可以表示为：
a0 f ( t ) ( ak cos k0 t bk sin k0 t ) 2 k 1
2 T 其中：a0 2T f (t )dt T 2
a0 f ( t ) An cos( k0 t n ) 2 t
2 其中：a0 f ( t )dt 是 k 的 偶 T
An ak bk
2
2
函数
bk n arctan ak
是k的奇函 数
3 信号的频域分析
2.基本形式
满足狄氏条件的任一周期信号都是由cos，sin组成。 离散周期信号的基本形式可以表示为：
1 n
f1 (t )
(t nT )
n
重复性、定义域、n、周期等四个要素
3 信号的频域分析
§3.1.1 周期信号的展开（ expansion ）
离散周期信号：
f (n) f (n iN ); n (, ); i 0, 1, 2, ; N C f (n iN )
jk0 t0 jk
有 fT ( t -t0 ) e
C( jk0 ) 2 C( jk ) N
f N ( n n0 ) e
2 n N 0
3 信号的频域分析
§3.1.3 离散频谱的性质
3. 比例特性
若
2 fT ( t ) / f N ( n ) C( jk0 ) / C( jk ) N jk t 0 1 T 2 a
3 信号的频域分析
§3.1.3 离散频谱的性质
信号处理-频域分析培训课件
滤波技术
学习常见的滤波技术，包括低通滤波、高通滤波和带通滤波。
频域分析的定义和概念
频域与时域
探索频域与时域之间的关系，以 及频域分析在信号处理中的重要 性。
频谱分析
介绍频谱分析的基本原理和常用 的频谱分析方法。
波形分析
了解波形分析的概念和应用，以 及在频域分析中的作用。
常见的频域分析方法
1
功率谱密度
2 连续傅里叶变换
深入了解连续傅里叶变换 的定义和计算方法，以及 它的重要性 理和算法，以及它在数字 信号处理中的应用。
傅里叶变换的应用领域
音频信号处理
探索傅里叶变换在音频信号处理中的应用，包括音频压缩和音频特征提取。
图像处理
了解傅里叶变换在图像处理中的作用，包括图像增强和图像滤波。
信号处理-频域分析培训 课件
欢迎参加我们的信号处理-频域分析培训课程！在本课程中，我们将深入探讨 信号处理的基础知识和频域分析的概念。快来加入我们，一起探索这个令人 惊叹的领域吧！
信号处理的基础知识
信号类型
了解不同类型的信号，包括模拟信号和数字信号，以及它们在实际中的应用。
采样与量化
深入了解信号的采样和量化过程，以及它们对信号处理的影响。
1 频率分辨率
探索频域分析中频率分辨 率的概念和限制，以及如 何克服这些限制。
2 噪音和干扰
学习信号处理中噪音和干 扰的来源，以及如何在频 域分析中处理它们。
3 信号长度
了解信号长度对频域分析 的影响，以及如何选择适 当的信号长度。
结论和要点
频域分析是信号处理领域中至关重要的技术，它可以帮助我们更好地理解信号的特性和行为。通过深入研究不 同的频域分析方法，我们可以为实际应用提供更准确、可靠的解决方案。
学习常见的滤波技术，包括低通滤波、高通滤波和带通滤波。
频域分析的定义和概念
频域与时域
探索频域与时域之间的关系，以 及频域分析在信号处理中的重要 性。
频谱分析
介绍频谱分析的基本原理和常用 的频谱分析方法。
波形分析
了解波形分析的概念和应用，以 及在频域分析中的作用。
常见的频域分析方法
1
功率谱密度
2 连续傅里叶变换
深入了解连续傅里叶变换 的定义和计算方法，以及 它的重要性 理和算法，以及它在数字 信号处理中的应用。
傅里叶变换的应用领域
音频信号处理
探索傅里叶变换在音频信号处理中的应用，包括音频压缩和音频特征提取。
图像处理
了解傅里叶变换在图像处理中的作用，包括图像增强和图像滤波。
信号处理-频域分析培训 课件
欢迎参加我们的信号处理-频域分析培训课程！在本课程中，我们将深入探讨 信号处理的基础知识和频域分析的概念。快来加入我们，一起探索这个令人 惊叹的领域吧！
信号处理的基础知识
信号类型
了解不同类型的信号，包括模拟信号和数字信号，以及它们在实际中的应用。
采样与量化
深入了解信号的采样和量化过程，以及它们对信号处理的影响。
1 频率分辨率
探索频域分析中频率分辨 率的概念和限制，以及如 何克服这些限制。
2 噪音和干扰
学习信号处理中噪音和干 扰的来源，以及如何在频 域分析中处理它们。
3 信号长度
了解信号长度对频域分析 的影响，以及如何选择适 当的信号长度。
结论和要点
频域分析是信号处理领域中至关重要的技术，它可以帮助我们更好地理解信号的特性和行为。通过深入研究不 同的频域分析方法，我们可以为实际应用提供更准确、可靠的解决方案。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
( t)F(t)的傅里叶变换 FF(t)，也就是2f ( ) ，
再求得f
(t) =
1
2
F F (t ) t 。
t
0
1
t
0
1
解： f (t) = t p(t 0.5)dt = t y(t)dt
由于 p(t 0.5) F Y ( j) = Sa (0.5)e j0.5
利用时域积分特性，可得
F( j) = 1 Y ( j) πY (0) () j
= 1 Sa (0.5)ej0.5 π () j
例 试利用积分特性求图示信号f(t)的频谱函数。
1. 线性特性
若f1 (t) F F1 ( j)； f 2 (t) F F2 ( j)， 则af1 (t) bf 2 (t) F aF1 ( j) bF2 ( j) 其中a和b均为常数。
2. 共轭对称特性
若 f (t) F F ( j)
则 f * (t) F F * ( j) f * (t) F F * ( j) F(j)为复数，可以表示为
由展缩特性，
Sa(0t) = Sa(20
t ) F 2
2
20
p1( 20 ) = 0
p20 ()
5. 时移特性
若f (t) F F ( j) 则f (t t0 ) F F ( j) e jt0
式中t0为任意实数
证明：
F[ f (t t0 )] = f (t t0 )ejt dt
令x = tt0，则dx = dt，代入上式可得
j
10. 积分特性
若f (t) F F ( j)
则t
f
( )d
F
1
j
F( j)
πF(0) ()
证明:
f
(t)u(t) =
f
(
)u(t
)d
=
t
f
(
)d
F (0)
=
f
(t )dt
再利用时域卷积性质
f
(t)u(t) =
t
f
(
)d
F ( )
1
j
()
=
F()
j
F (0)
()
如果f (t ) 的积分为零（直流分量为0），则 F(0) = 0,
则f1(t)
f 2 (t) F
1 2π
[F1
(
j)
F2 ( j)]
证明： F[ f1(t) f2 (t)] = [ f1(t) f2 (t)]ejωtdt
=
f
2
(t
)e
jωt
[
1 2π
F1( j )e jΩtd ]dt
=
1 2π
F1 ( j )d
[
f 2 (t)ej( )t dt]
=
1 2π
2/ 2 0
t
/22
p1(t) Sa ( / 2)
1 f(t)
2
由f1 (t) f 2 (t) F F1 ( j) F2 ( j)
f1(t) F Sa2 (/2)
21 0
t
21
f
(t) =
A
f1
(
t ) F /2
A
2
Sa2 (
4
)
8. 乘积特性
若f1 (t) F F1 ( j)
f 2 (t) F F2 ( j)
1 2π
[
F1
(
j
n F ( j)
)
F2
(
j)]
dt n
t
f
(
)d
F
1
j
F(
j)
πF (0)
()
t n f (t) F jn dF n ( j) d n
傅里叶反变换
1 利用傅里叶变换互易对称特性
若 f (t) F( ) ，则 F(t) 2f ( ) 。
因此，在已知 F ( )前提下，可以先求出其时域形式
当f(t)为实偶函数时，有
F(j) = F*(j) ， F(j)是的实偶函数
当f(t)为实奇函数时，有
F(j) = F*(j) ， F(j)是的虚奇函数
3. 互易对称特性
若f (t) F F ( j)
f (t)
A
则F ( jt) F 2πf ()
F(j) A
0
t
2
2
F(jt)/2 A
t
4π 2π 2π 4π
频分复用多路通信：利用调制原理，可将需要传输的若干低频信 号分别搬移到不同的载波频率附近，并使它们的频谱互不重叠， 这样就可以在同一信道内传送许多路信号。
7. 卷积特性
若f1 (t) F F1 ( j)
f 2 (t) F F2 ( j)
则f1 (t) f 2 (t) F F1 ( j) F2 ( j)
4. 展缩特性
若f (t) F F ( j)
则f (at) F 1 F ( j )
aa
证明:
F[ f (at)] = f (at)ejt dt
令 x = at，则 dx = adt ，代入上式可得
F[ f (at)] =
1 a
j x
f (x)e a dx =
1
F(j)
aa
时域压缩，则频域展宽；展宽时域，则频域压缩。
F1
(
j
)F2
[
j(
)]d
]
=
1 2π
[F1
(
j)
F2
(
j)]
9. 时域微分特性
若
f (t) F F ( j)
则
df (t) F ( j) F( j)
dt
d n f (t) F ( j)n F ( j)
dt n
注：若f(t)有直流分量，应先取出单独求傅立叶变换，余下 部分再用微分性质。
例5 -11 试利用微分特性求图5-17（ｂ）示信号的频谱函数。
度 函数，简称能量谱。
G() = 1 | F( j) |2
2π
傅里叶变换性质一览表
1. 线性特性 2. 对称互易特性 3. 展缩特性 4. 时移特性 5. 频移特性 6. 时域卷积特性 7. 频域卷积特性 8. 时域微分特性 9. 积分特性 10. 频域微分特性
af1 (t) bf 2 (t) F aF1 ( j) bF2 ( j)
4π 2π 2π 4π
f () A
0
2
2
例5-4 求信号f(t)=1/πt的Fourier变换。
解： 由 s gn(t) F 2
j
由互易对称性可得
2 F 2 sgn() = 2 sgn()
jt 由Fourier变换的线性特性可得
1 F j sgn() t
F ( j) = F ( j) e j() = FR ( j) jFI ( j)
当f(t)为实函数时，有
|F(j)| = |F(j)| ， () = ()
FR ( j) = FR ( j), FI ( j) = FI ( j)
2. 共轭对称特性
若 f (t) F F ( j)
则 f * (t) F F * ( j) f * (t) F F * ( j)
信号的频域分析
连续周期信号的频域分析 连续非周期信号的频谱 常见连续时间信号的频谱 连续时间Fourier变换的性质 离散周期信号的频域分析 离散非周期信号的频域分析
傅立叶变换的基本性质
1. 线性特性 2. 共轭对称特性 3. 对称互易特性 4. 展缩特性 5. 时移特性 6. 频移特性
7. 时域卷积特性 8. 频域卷积特性 9. 时域微分特性 10. 积分特性 11. 频域微分特性 12. 能量定理
f(t) 2 1
解： 将f(t)表示为f1(t)+ f2(t)
1 f1(t)
0
1
f2(t) 1
t
0
1
0
1
即
f (t) =1 t p(t 0.5)dt
F ( j) = 1 Sa (0.5)ej0.5 3π () j
t t
例 试利用修正的微分特性求图示信号f(t)的频 谱函数。
f(t) 2 1
f '(t) 1
F ( jt) F 2πf ()
f
(at) F
1
F(j )
aa
f (t t0 ) F F ( j) e jt0
f (t) e j0t F F[ j( 0 )]
f1 (t) f 2 (t) F F1 ( j) F2 ( j)
f1(t) d n f (t
f 2 (t) F ) F ( j)
=
[t
f
(t)]
ejt dt
例5-13 试求单位斜坡信号tu(t)的频谱。
解： 已知单位阶跃信号傅里叶变换为:
F[u(t)] = π () 1 j
故利用频域微分特性可得:
F[tu(t)] = j d [π () 1 ] = π () 1
d
j
2
12.帕什瓦尔能量守恒定理
W = | f (t) |2 dt
f '(t) = p (t 1/ 2) p1(t 1/ 2) F
f(t)
12
Sa( / 2)e j /2 Sa( / 2)e j /2
= 2 jSa( / 2) sin( / 2)
由时域微分性，
21 0
t
12
f (t) F F[ f '(t)] = 2Sa( / 2) sin( / 2) = Sa2 ( / 2)
若 f (t) F F ( j)
则t f (t) F j dF( j) d