《结晶学》第4章晶体的理想形状
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第一部分 结晶学基础
段； ★ 19世纪中叶开始对晶体内部结构探索，逐渐发展成为一门
独立的学科； ★ 20世纪初, 内部结构的理论探索 。
结晶学的研究意义：
是矿物学的基础 是材料科学的基础 是生命科学的基础
13
…...
现代结晶学的几个分支：
1、晶体生成学：研究天然及人工晶体的发生、成长和变
化的过程与机理，以及控制和影响它们的因素。
32
二、成核作用
晶体的生成一般是先生成晶核，然后再逐渐长大。
晶核：从母相中初始析出并达到某个临界大小，从而 得以继续成长的结晶相微粒。
均匀成核作用
初次成核作用
成核作用
非均匀成核作用
二次成核作用
晶核可由已达过饱和或过冷却的流体相本身自发 地产生，这种成核作用叫均匀成核作用；晶核也可借 助于非结晶相外来物的诱导而产生，叫非均匀成核作 用；晶体还可由体系中业已存在的晶体的诱导而产生，
C. 面网 结点在平面上的分布即构成面网。任意两个相交的行列 就可决定一个面网。面网上单位面积内的结点数称为面 网密度。相互平行的面网，其面网密度相同。互不平行 的面网，其面网密度一般不同。
21
D. 平行六面体 联接分布在三维空间内的结点就构成了空间点阵。空间 点阵本身将被三组相交行列划分成一系列平行叠置的平 行六面体，结点就分布在它们的角顶上。平行六面体的
大小和形状可由结点间距a、b、c及其相互之间的交角a、 b、g 表示，它们被称为点阵参数。
22
任两相邻平行面网之间的垂直距离－面网间距。 同一点阵中，面网密度大的面网，其面网间距亦 大；反之，密度小间距亦小。
d1
23
准晶体 (quasi-crystal): 具有准周期平移格子构造的固体。
平移准周期－不同于晶体中的平移周期, 但具有自相似 性(放大或缩小) 。
独立的学科； ★ 20世纪初, 内部结构的理论探索 。
结晶学的研究意义：
是矿物学的基础 是材料科学的基础 是生命科学的基础
13
…...
现代结晶学的几个分支：
1、晶体生成学：研究天然及人工晶体的发生、成长和变
化的过程与机理，以及控制和影响它们的因素。
32
二、成核作用
晶体的生成一般是先生成晶核，然后再逐渐长大。
晶核：从母相中初始析出并达到某个临界大小，从而 得以继续成长的结晶相微粒。
均匀成核作用
初次成核作用
成核作用
非均匀成核作用
二次成核作用
晶核可由已达过饱和或过冷却的流体相本身自发 地产生，这种成核作用叫均匀成核作用；晶核也可借 助于非结晶相外来物的诱导而产生，叫非均匀成核作 用；晶体还可由体系中业已存在的晶体的诱导而产生，
C. 面网 结点在平面上的分布即构成面网。任意两个相交的行列 就可决定一个面网。面网上单位面积内的结点数称为面 网密度。相互平行的面网，其面网密度相同。互不平行 的面网，其面网密度一般不同。
21
D. 平行六面体 联接分布在三维空间内的结点就构成了空间点阵。空间 点阵本身将被三组相交行列划分成一系列平行叠置的平 行六面体，结点就分布在它们的角顶上。平行六面体的
大小和形状可由结点间距a、b、c及其相互之间的交角a、 b、g 表示，它们被称为点阵参数。
22
任两相邻平行面网之间的垂直距离－面网间距。 同一点阵中，面网密度大的面网，其面网间距亦 大；反之，密度小间距亦小。
d1
23
准晶体 (quasi-crystal): 具有准周期平移格子构造的固体。
平移准周期－不同于晶体中的平移周期, 但具有自相似 性(放大或缩小) 。
固体第四章
分类方式：
几何形态：点缺陷、线缺陷、面缺陷、体 缺陷等
形成原因：热缺陷、杂质缺陷、非化学计 量缺陷等
根据缺陷的作用范围把真实晶体缺陷分四类：
点缺陷：在三维尺寸均很小，只在某些位置发生， 只影响邻近几个原子。 线缺陷：在二维尺寸小，在另一维尺寸大，可被 电镜观察到。 面缺陷：在一维尺寸小，在另二维尺寸大，可被 光学显微镜观察到。 体缺陷：在三维尺寸较大，如镶嵌块，沉淀相， 空洞，气泡等。
二、热缺陷在晶体中的运动
空位和间隙原子生成后在晶体中是不断运动的， 下图表示了空位和间隙原子最简单的运动形式
(a)空位
(b)间隙原子
热缺陷在晶体中的运动
以间隙原子为例，用半定量的统计方法来描述缺陷运 动过程 稳定状态下，间隙原子在平衡位置
附近不断的热振动，其频
Ea
A
O
B
率 0 1012 ~ 1013 s 1 ，平均振动能量约
Solid State Physics 固体物理学
第四章
晶体的缺陷
第四章
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
晶体的缺陷
点缺陷 晶体中的扩散过程 离子晶体中的点缺陷与导电性 线缺陷——位错 面缺陷和体缺陷
理想晶体：结构基元严格按照空间点阵作 周期性排列。
实际晶体：晶体中的离子或原子总是或多 或少的偏离了严格的晶体周期性，即存在着 各种各样的结构的不完整性。 缺陷的含义：通常把晶体点阵结构中周期 性势场的畸变称为晶体的结构缺陷。
F (n) U TS
热缺陷的存在从两个方面改变晶体自由能：
U ：热缺陷产生需要能量，使系统内能增加
S
：热缺陷存在使系统无序度增加，晶体熵增加
【结晶学】3第三讲：第四章 晶体的对称
三、对称操作和对称要素
• 欲使对称图形中相同部分重复，必须通过一定的操作，这种操作 就称之为对称操作。
• 在进行对称操作时所凭借的借助几何要素(点、线、面)称为对称 要素 。
1．对称面(P)
• 对称面是一个假想的平面；相应的对称操作为 对于此平面的反映。它将图形平分为互为镜像 的两个相等部分。
晶体的对称具有如下的特点。
• 1)所有的晶体都具有对称性。由于晶体内部都 具有格子构造，而格子构造本身就是质点在三 维空间周期重复的体现。
• 2)晶体的对称受格子构造规律的限制。也就是 说只有符合格子构造规律的对称才能在晶体上 体现。因此，晶体的对称是有限的，它遵循 “晶体对称定律” 。
• 3)晶体的对称不仅体现在外形上，同时也体现 在物理性质(如光学、力学、热学、电学性质 等)上。晶体的对称既取决于其内在的本质--格子构造，因此，也就是说晶体的对称不仅包 含着几何意义，也包含着物理意义。
• 对称轴以L表示，轴次n写在它的右上角，写作Ln。
晶体外形上可能出现的对称轴有：
• 一次对称轴无实际意义，因为晶体围绕任一直线旋转360都可以 恢复原状。轴次高于2的对称轴，L3、L4、L6称高次轴。
晶体的对称定律：
• 晶体中不可能出现五次或高于六次的对称轴。这是 由于它们不符合空间格子的规律。在空间格子中， 垂直对称轴一定有面网存在，围绕该对称轴转动所 形成的多边形应法符合于该面网上结点所因成的网 孔。从图I-4-7可以看出，围绕L2、L3、L4、L6所形成 的多边形，都能毫无间隙地布满平面，都可能符合 空间格子的网孔。但垂直L5、L7、L8所形成的正五边 形、正七边形和正八边形却不能毫无间隙地布满平 面，不符合空间格子的网孔，所以在晶体中不可能 存在五次及高于六次的对称轴，这一规律，称为晶 体的对称定律。
第四章 合金的晶体结构与结晶
根据上述结晶过程分析，可以看出Pb–Sn二元合金的组织中仅出 现了α 、β 两相，因此，α 、β 两相称为Pb–Sn二元合金的相组分， 图4–10中各相区就是以合金的相组分填写的。由于不同合金的结晶 过程不同，各相组分以不同的数量、大小、形态相互组合，形成合金 的 各 种 组 织 ， 如 Pb–Sn 二 元 合 金 中 的 α 、 β 、 α Ⅱ 、 β Ⅱ 、 （α +β ），它们各自具有一定的形态特征，在金相显微镜下可以明 显分辨，故称它们为Pb–Sn二元合金的组织组分，图4–19为各相区 以组织组分填写的Pb–Sn二元合金相图。
三、共晶相图 凡二元合金系中两组元在液态下完全互溶，在固态下形成两种 不同固相，并发生共晶转变的，其相图属于共晶相图，如Pb–Sn、 Pb–Sb、Al–Si、Ag–Cu等二元合金相图。 共晶转变是指一定成分的液相在一定温度下，同时结晶出两种 不同固相的机械混合物的转变。现以Pb–Sn二元合金相图为例，对 共晶相图进行分析。 1．相图分析 图 4–10 为 Pb–Sn 二 元 合 金相图，图中 α 表示 Sn 在 Pb 中 溶解所形成的固溶体， β 表示 Pb 在 Sn 中溶解所形成的固溶体。
表4 –1
序号 1 2 3 4 5 6
Cu–Ni二元合金的成分和实验结果
合金成分（%）
Cu Ni
相变点/℃ 开始结晶温度 1083 1175 1260 1340 1410 1455 结晶终了温度 1083 1130 1195 1270 1360 1455
100 80 60 40 20 0
0 20 40 60 80 100
应当注意，在合金结晶过程中，已结晶出的α 固溶体和剩余液相L的 成分都与原合金成分不同。若要知道上述合金在结晶过程中某一温度t℃ 时两相的成分，可通过该合金线上相当于t℃温度的点作水平线，此水平 线与液相线和固相线的交点在横坐标上的投影，即相应地表示t℃温度时 液相和固相的成分。可见，固溶体合金的结晶过程与纯金属不同，纯金 属是在恒温下进行结晶的，结晶过程中液固两相的成分不变，只是液固 两相的相对量随温度降低而改变；固溶体合金是在一个温度范围内进行 结晶的，结晶过程中随温度降低，在液固两相相对量发生改变的同时， 液相的成分沿液相线变化，固相的成分沿固相线变化。固溶体合金和纯 金属结晶后的显微组织相似，都是由许多晶粒组成的。 固溶体合金只有在冷却速度极其缓慢，原子能够进行充分扩散的条 件下，获得与原合金成分相同的、均匀的α 固溶体。在实际情况下，冷 却速度一般较快，致使固溶体内部原子扩散来不及充分进行，结果在固 溶体中先结晶部分和后结晶部分的化学成分不同。这种在一个晶粒内部 化学成分不均匀的现象称为晶内偏析。由于固溶体合金的结晶一般是按 树枝状方式进行的，因此，这种晶内偏析往往呈树枝状分布，故又称枝 晶偏析，如图所示。
中科大《结晶化学导论》第4章——唐凯斌2015剖析
• P.P. Ewald 博士论文－－晶体光学性质 当Ewald 和Laue讲师讨论博士论文时， Laue产生 一个想法，X光和晶体作用又如何？
• 在这些基础上，劳埃提出一个设想：在人工做 的狭缝光栅上，X光衍射失败是因为狭缝太宽，X 光波长太短，而三维周期排列的晶体是一个理想 的天然立体光栅。
第一次衍射实验
第二节 Laue方程
• 1889年，俄国的费多罗夫推导出晶体的230种空间群。 成为现代结晶学的奠基人。 • 1895年Wilhem Conrad von RÖntgen发现了X射线。 • 1912年慕尼黑大学结晶学权威Prof. Paul von Groth : 晶体是三维周期排列结构。 • 光学权威Prof.A.Sommerfeld (和Koch)认为： X光是 波，且在Walter和Paul的X射线通过不同狭缝的实验上 测X光波长，未成。
光程差 = AC – BD = 0
连续波长的X射线照射晶体表面，在反射方向上只能接收 特定波长的光，说明对X射线的散射作用不仅限于晶体表 面。
光程差 = AB + BC = dsin + dsin = 2dsin
满足衍射的条件为： 2dsin = n d为等同原子面/点阵面间距， 为Bragg角。 这就是Bragg方程。
• 衍射指数与晶面指数或点阵面指数的关系
如某一平行点阵面族的面指数为 (hkl), 则离原点最近 的点阵面在三个轴矢的截距分别为a/h, b/k, c/l。
则： a • H = nh b • H = nk c • H = nl
4、衍射强度与晶体结构有关，有系统消光现象。
• Laue方程与Bragg方程的等价关系
H = s – s0 |H | = 2sin 产生衍射时，光程差 = OP • (s – s0) = OP • H = n OP • H = d • H = d • 2sin 即：2dsin = n X射线作用于晶体，在空间某一方向上产生的衍射，可以归 结为X射线照射到晶体某一晶面，在反射方向上产生的衍射。
第4章-晶体定向和晶体学符号可修改全文
3
结晶学与矿物学
晶体定向原则
• 与晶体的对称特点相符合
–适宜的对称元素作为结晶轴 –适宜的晶棱方向作为结晶轴
• 尽量使得晶轴之间夹角为90
4
结晶学与矿物学
晶体定向原则
• 晶体的三轴定向:
– 选择三个不共面的坐标轴 x, y, z安置晶体
• 晶体的四轴定向:
– 适用于六方和三方晶系 – 一个直立轴，三个水平轴
14
三、对称型的国际符号及圣弗利斯符号
1、对称型的国际符号：
既表明了对称要素的组合，也表明了对称要素的方位 以1、2、3、4、6和 1、2、3、4、6分别表示各种轴次 的对称轴和旋转反伸轴。以m 表示对称面。 若对称面与对称轴垂直，则两者之间以斜线或横线 隔开，如L2PC 以2/m表示，L4PC 以4/m 表示
7
结晶学与矿物学
各晶系的定向法则
• 等轴晶系的定向:
– 晶体常数为: a = b = g = 90°, a = b = c
– 三个互相垂直的L4, Li4或L2为 x, y, z 轴 – z 轴直立，y 轴左右水平，x 轴前后水平
8
结晶学与矿物学
各晶系的定向法则
• 四方晶系的定向:
– 晶体常数为: a = b = g
结晶学与矿物学
晶体定向和结晶符号
• 晶体定向方法 • 各对称型中对称要素的空间分布 • 对称型的国际符号及圣弗利斯符号 • 晶面符号、晶棱符号 • 整数定律、晶带定律
1
结晶学与矿物学
晶体定向的概念
晶体定向就是在晶体中建立一个坐标系，这样晶体 中各个晶面、晶棱以及对称要素就可以在其中标定 方向，这种表示晶面、晶棱及对称要素等的方位的 符号统称结晶符号
结晶学与矿物学
晶体定向原则
• 与晶体的对称特点相符合
–适宜的对称元素作为结晶轴 –适宜的晶棱方向作为结晶轴
• 尽量使得晶轴之间夹角为90
4
结晶学与矿物学
晶体定向原则
• 晶体的三轴定向:
– 选择三个不共面的坐标轴 x, y, z安置晶体
• 晶体的四轴定向:
– 适用于六方和三方晶系 – 一个直立轴，三个水平轴
14
三、对称型的国际符号及圣弗利斯符号
1、对称型的国际符号：
既表明了对称要素的组合，也表明了对称要素的方位 以1、2、3、4、6和 1、2、3、4、6分别表示各种轴次 的对称轴和旋转反伸轴。以m 表示对称面。 若对称面与对称轴垂直，则两者之间以斜线或横线 隔开，如L2PC 以2/m表示，L4PC 以4/m 表示
7
结晶学与矿物学
各晶系的定向法则
• 等轴晶系的定向:
– 晶体常数为: a = b = g = 90°, a = b = c
– 三个互相垂直的L4, Li4或L2为 x, y, z 轴 – z 轴直立，y 轴左右水平，x 轴前后水平
8
结晶学与矿物学
各晶系的定向法则
• 四方晶系的定向:
– 晶体常数为: a = b = g
结晶学与矿物学
晶体定向和结晶符号
• 晶体定向方法 • 各对称型中对称要素的空间分布 • 对称型的国际符号及圣弗利斯符号 • 晶面符号、晶棱符号 • 整数定律、晶带定律
1
结晶学与矿物学
晶体定向的概念
晶体定向就是在晶体中建立一个坐标系，这样晶体 中各个晶面、晶棱以及对称要素就可以在其中标定 方向，这种表示晶面、晶棱及对称要素等的方位的 符号统称结晶符号
第四章晶体的缺陷与运动
二 基本参量 (1)P代表单位时间内一个在正常格点位置上的原 子跳到间隙位置，形成为填隙原子的几率； (2)τ，τ＝1/P代表在正常格点位置的原子形成 为填隙原子 所须等待的时间； (3)P1代表一个空位在单位时间内从一个格点位置 跳到相 邻格点位置的几率；事实上也就是相邻的 正常格点跳到空位的几率； (4)τ1 ， τ1＝1/P1代表空位从一个格点位置跳到相 邻的格点位置所须等待的时间，即相邻格点位置 上的原子，跳入空位所须等 待的时间； (5)P2代表一个填隙原子在单位时间内从一个间隙 位置跳 到相邻间隙位置的几率；
形成一个肖基特缺陷所需能量比形成一个 弗仑克尔缺陷所需能量低，因为形成一个肖特 基缺陷时，晶体内留下一个空位．晶体表面多 一 个原子．因此形成一个肖特基缺陷所需的能 量，可以看成晶体表面一个原子与其他原子的 相互作用能和晶体内部一个原子与其它原子的 相互作用能的差值．而形成一个弗仑克尔缺陷 时，晶体内留下—个空位，多一个填隙原 子．因此形成一个弗仑克尔缺陷所 需的能量， 可以看成晶体内部一个填隙原子与其他原子
n1
平衡时，空格点的数目n1由条件 F1 0 n1 T 来决定，利用斯特令公式，当x是个大数时
d ln x ! dx
于是得到
ln x
dF1 u1dn1 k BT d ln N n1 ! d ln n1 u1dn1 k BT ln N n1 ln n1 dn1
对于空位：空位周围的原子由于热振动能量 的起伏会获得足够的能量，跳到空位上占据这 个 格点，而在原来的位置上则出现空位，因此 可以把这过程看作是空 位的移动．空位的移动 在实质上是由于原子的跳动，它不过是由此 而 抽象出来的一种概念，但是利用这个概众对于 描述有关的物理 过程却带来了很大的方便． 由于填隙原子和空位的无规则运动使得晶格中 格点上的原 子容易从一处向另—处移动． 因此， 要研究晶体中原子的输运现 象就必须研究缺陷的 运动，也就必须研究热缺陷的产生和复合过 程．
结晶学及矿物学晶体测量及投影
第七页，共26页。
2.极射赤平投影
将晶面的球面投影点再转化为赤平面上的点：
即：将球面上的 点与南极点（或 北极点）连线， 该连线与赤平面 的交点就是极射 赤平投影点。
这样，晶体上所有晶面的分布规律就反映在赤平面上的对 应点的分布规律。
第八页，共26页。
在赤平投影图上, 方位角与极距角怎么体现?
= 0
第二十二页，共26页。
不同形态的石英晶体
第二十三页，共26页。
返回
不同形态的正长石晶体
上图—体视图； 下图—剖视图
第二十四页，共26页。
返回
面角示意图
第二十五页，共26页。
返回
小圆的投影
平行小圆
第二十六页，共26页。
倾斜小圆
返回
即：方位角在基圆上度量，极距角则体现为投影点距
圆心的距离（h = r tan /2） 。
第九页，共26பைடு நூலகம்。
(1)晶面的极射赤平投影
规律：
晶体上水平晶面的赤平投影点位于基圆中心；
直立晶面的赤平投影点位于基圆圆周上；
倾斜晶面的赤平投影点位于基圆内，其倾斜程度愈 接近水平，其赤平投影点距基圆中心愈近，反之， 则愈靠近基圆的圆周。
链接水平大圆的投影形成基圆直立大圆的投影形成直径倾斜大圆的投影形成大圆弧直立小圆的投影形成小圆弧返回大圆返回小圆吴氏网是一个平面网但要把它看成是一个空间的球体网格能够测量球面上任一点的方位角与极距角所以只要知道方位角与极距角就可以用吴氏网进行投影
一、面角守恒定律
实际晶体形态（歪晶）：偏离理想晶体形态。 (图) (图)
第二页，共26页。
二、晶体测量
测量晶面之间的夹角。 注意：晶面夹角与面角（晶面法线的夹 角）的区别！它们之间的关系为互补的关系。 (图) 通常都用面角（晶面法线的夹角）。
2.极射赤平投影
将晶面的球面投影点再转化为赤平面上的点：
即：将球面上的 点与南极点（或 北极点）连线， 该连线与赤平面 的交点就是极射 赤平投影点。
这样，晶体上所有晶面的分布规律就反映在赤平面上的对 应点的分布规律。
第八页，共26页。
在赤平投影图上, 方位角与极距角怎么体现?
= 0
第二十二页，共26页。
不同形态的石英晶体
第二十三页，共26页。
返回
不同形态的正长石晶体
上图—体视图； 下图—剖视图
第二十四页，共26页。
返回
面角示意图
第二十五页，共26页。
返回
小圆的投影
平行小圆
第二十六页，共26页。
倾斜小圆
返回
即：方位角在基圆上度量，极距角则体现为投影点距
圆心的距离（h = r tan /2） 。
第九页，共26பைடு நூலகம்。
(1)晶面的极射赤平投影
规律：
晶体上水平晶面的赤平投影点位于基圆中心；
直立晶面的赤平投影点位于基圆圆周上；
倾斜晶面的赤平投影点位于基圆内，其倾斜程度愈 接近水平，其赤平投影点距基圆中心愈近，反之， 则愈靠近基圆的圆周。
链接水平大圆的投影形成基圆直立大圆的投影形成直径倾斜大圆的投影形成大圆弧直立小圆的投影形成小圆弧返回大圆返回小圆吴氏网是一个平面网但要把它看成是一个空间的球体网格能够测量球面上任一点的方位角与极距角所以只要知道方位角与极距角就可以用吴氏网进行投影
一、面角守恒定律
实际晶体形态（歪晶）：偏离理想晶体形态。 (图) (图)
第二页，共26页。
二、晶体测量
测量晶面之间的夹角。 注意：晶面夹角与面角（晶面法线的夹 角）的区别！它们之间的关系为互补的关系。 (图) 通常都用面角（晶面法线的夹角）。
第四章：晶体定向与结晶符号
(1).晶面指数——在米氏符号中小 括号内数字称为晶面指数。如晶面符 号（321）中 的321即为晶面指数。 注意：晶面指数是一组无公约数的 整数。
(2).晶面指数特点——均为简单整 数（整数定律或有理数定律）。
4.晶面指数写法 ⑴.三轴定向的晶系 对三轴定向的晶系而言：晶面 指数按X、Y、Z轴的顺序排列。 如果能确定具体数字时，用阿 拉伯数字表示，如果不能确定具 体数字时，用h、k、l表示。 如:（110）（hkl）（hko）
即尽可能使： α=β=γ= 90° a=b=c。
（2）确定晶体常数
晶体常数 轴角 轴角是指晶轴 正端的夹角。通 常用α、β、γ表 示。
α（y∧z） γ（x∧y） β（z∧x）
β x
z α γ y
晶体常数 轴长
晶轴与空间格子中的行列相 对应，行列上结点的间距称为轴 单位（轴长）。 轴单位是结晶轴长度计量的 单位。即：a、b、c。
3.各晶系晶轴选择的原则及 晶体常数特征
（1）等轴晶系
（2）四方晶系
（3）三方晶系及六方晶系
（4）斜方晶系
（5）单斜晶系
（6）三斜晶系
二 结晶符号
1.晶面符号的概念
晶面符号——表征晶面空间方位 的符号。
晶面符号有多种形式，通常采用的是米 氏符号（英国的米勒于1839年创立） 。
2.米氏符号的表示方法 晶面在三个（或四个）结 晶轴上的截距系数的倒数比， 并去掉比例符号，用小括号括 之来表示。
⑵四轴定向的晶系
对四轴定向的晶体而言： 晶面指数按X、Y、U、Z轴顺
序排列，一般写作（hkil）。
注意:
①米氏符号中某个数为0时，表 示该晶面与相应的晶轴平行。 ②同一米氏符号中，晶面指数越 大，表示晶面在相应结晶轴上的截 距系数越小。
(2).晶面指数特点——均为简单整 数（整数定律或有理数定律）。
4.晶面指数写法 ⑴.三轴定向的晶系 对三轴定向的晶系而言：晶面 指数按X、Y、Z轴的顺序排列。 如果能确定具体数字时，用阿 拉伯数字表示，如果不能确定具 体数字时，用h、k、l表示。 如:（110）（hkl）（hko）
即尽可能使： α=β=γ= 90° a=b=c。
（2）确定晶体常数
晶体常数 轴角 轴角是指晶轴 正端的夹角。通 常用α、β、γ表 示。
α（y∧z） γ（x∧y） β（z∧x）
β x
z α γ y
晶体常数 轴长
晶轴与空间格子中的行列相 对应，行列上结点的间距称为轴 单位（轴长）。 轴单位是结晶轴长度计量的 单位。即：a、b、c。
3.各晶系晶轴选择的原则及 晶体常数特征
（1）等轴晶系
（2）四方晶系
（3）三方晶系及六方晶系
（4）斜方晶系
（5）单斜晶系
（6）三斜晶系
二 结晶符号
1.晶面符号的概念
晶面符号——表征晶面空间方位 的符号。
晶面符号有多种形式，通常采用的是米 氏符号（英国的米勒于1839年创立） 。
2.米氏符号的表示方法 晶面在三个（或四个）结 晶轴上的截距系数的倒数比， 并去掉比例符号，用小括号括 之来表示。
⑵四轴定向的晶系
对四轴定向的晶体而言： 晶面指数按X、Y、U、Z轴顺
序排列，一般写作（hkil）。
注意:
①米氏符号中某个数为0时，表 示该晶面与相应的晶轴平行。 ②同一米氏符号中，晶面指数越 大，表示晶面在相应结晶轴上的截 距系数越小。
第四章 凝固与结晶
G Gt GS
4 3 2 3 cos cos3 2 G ( r GV 4r L )( ) 3 4
4 3 ( r GV 4r 2 L ) f ( ) 3
非均匀形核时的临界晶核半径：
2 L r* GV
非均匀形核时的形核功：
Vs 令 s V ，则
4 3 s v g ( t ) 3 Ndt 0 3
t
由于在任意时间，每个真实晶核与虚拟晶核的体积相同， 故得:
dnr dvr d r dns dvs d s
令在时间dt内单位体积中形成得晶核数dP，
于是：dnr=VudP
dns=VdP 如果是均匀形核，dP不会随形核地点而有变化，此时可 得： dn V V Vr u r 1 r dns V V 合并二式，得 解为
Vc 临界晶核中晶胞数目： n V 173 L
铜为面心立方结构，每个晶胞中有4个原子，因此，一 个临界晶核的原子数目为692个原子。
2. 非均匀形核
由于均匀形核难度较大，所以液态金属多为非均匀 形核。
若晶核形成时体系表面能的变化为ΔGS ，则
GS AL L AW W AW LW
4.1.4 晶体长大
1. 液—固界面的构造
晶体凝固后呈现不同的形状，可分为小平面形状和非小 平面形状两种：
透明水杨酸苯酯晶体的小面形态×60
透明环己烷凝固成树枝形晶体×60
按原子尺度，把相界面结构分为粗糙界面和光滑界面两种：
杰克逊提出决定粗糙和光滑界面的定量模型：
GS x(1 x ) x ln x (1 x ) ln( 1 x) N T kTm
形核率与过冷度之间的 关系如图所示：