27.2.1等腰三角形(1)
27.2.1 第2课时 三边成比例的两个三角形相似--教案
27.2.1 相似三角形的判定第2课时三边成比例的两个三角形相似一、学习目标1．初步掌握“三组对应边的比相等的两个三角形相似”的判定方法的判定方法．2．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．二、重点、难点1．重点：掌握这种判定方法，会运用这种判定方法判定两个三角形相似．2．难点：（1）三角形相似的条件归纳、证明；（2）会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似．三、课堂引入1．复习提问：(1) 两个三角形全等有哪些判定方法？(2) 我们学习过哪些判定三角形相似的方法？(3) 全等三角形与相似三角形有怎样的关系？(4) 如图，如果要判定△ABC与△A’B’C’相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？2．（1）提出问题：首先，由三角形全等的SSS判定方法，我们会想如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢？3. 探究任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？与同学交流一下，看看是否有同样的结论。
（1）问题：怎样证明这个命题是正确的呢？（2）探求证明方法．（已知、求证、证明）如图27.2-4，在△ABC 和△A ′B ′C ′中，A C CA C B BC B A AB ''=''=''， 求证△ABC∽△A ′B ′C ′ 证明 ：4. 【归纳】三角形相似的判定方法1如果两个三角形的三组对应边的比相等， 那么这两个三角形相似．三角形相似的判定方法1如果两个三角形的三组对应边的比相等， 那么这两个三角形相似．四、例题讲解解：五.回顾与反思．(1)谈谈本节课你有哪些收获．六 . 当堂检测。
九年级数学下册人教版27.2.1相似三角形的判定第一课时说课稿
5.课后拓展：布置一些富有挑战性的课后作业，引导学生运用所学知识解决实际问题，提高他们的应用能力。
三、教学方法与手段
（一）教学策略
在本节课的教学中，我将主要采用以下教学方法：
1.情境教学法：通过生活实例引入相似三角形的概念，让学生在具体的情境中感受和理解数学知识。
（四）总结反馈
在总结反馈阶段，我将引导学生自我评价，并提供有效的反馈和建议：
1.学生自我评价：让学生回顾自己的学习过程，总结自己在理解相似三角形概念、判定方法等方面的优点和不足。
2.教师反馈：根据学生的回答和表现，给予及时的评价和反馈，指出他们的错误和不足，并提供改进的建议。
3.课堂小结：对本节课的主要知识点进行总结，强调相似三角形的定义、性质和判定方法的重要性。
2.反思教学方法和策略，根据学生的反馈和学习情况，调整教学方式和内容，以提高教学效果。
（二）新知讲授
在新知讲授阶段，我将逐步呈现知识点，引导学生深入理解：
1.相似三角形的定义：通过展示不同大小的两个三角形，引导学生发现它们的形状相同，从而引入相似三角形的定义。
2.相似三角形的性质：引导学生观察和操作，发现相似三角形的对应边成比例、对应角相等等性质。
3.相似三角形的判定方法：通过具体案例和引导学生进行推理和验证，逐步引导学生掌握AA、SAS、SSS等判定方法。
2.启发式教学法：引导学生通过观察、操作、猜想、验证等方法，自主发现相似三角形的性质和判定方法，培养他们的探究精神。
3.小组合作学习法：组织学生进行小组讨论和问题探究，让他们在合作中交流思想、共享成果，增强团队意识。
4.案例教学法：通过分析具体案例，使学生学会运用相似三角形的判定方法解决实际问题。
人教版九年级数学下册第二十七章27.2.1相似三角形判定定理1教学设计
1.激发学生对数学学科的兴趣，培养学生热爱数学的情感。
2.培养学生勇于探索、严谨治学的科学态度。
3.通过相似三角形的判定定理1的学习，让学生感受数学在实际生活中的应用，增强学生的实践意识。
4.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高学生的自信心和成就感。
教学设计：
1.导入：通过生活中的实例，引出相似三角形的定义，激发学生的兴趣。
2.实际应用拓展：请学生结合生活中的实例，运用相似三角形判定定理1解决问题，并撰写解题过程。
例题：某建筑物的一角被测得为30°，测得该角两边分别为10m和15m。请利用相似三角形的性质，计算建筑物的高度。
3.创新思维训练：设计一道与相似三角形判定定理1相关的开放性题目，鼓励学生运用所学知识，发挥创新思维。
（二）教学难点
1.理解相似三角形的判定定理1中“对应成比例”的含义，并将其运用到实际问题中。
2.掌握尺规作图的方法，能够准确地作出相似三角形。
3.解决与相似三角形相关的综合应用问题。
教学设பைடு நூலகம்：
1.创设情境，激发兴趣：以生活中的实际问题为切入点，如测量建筑物的高度，让学生了解相似三角形在实际生活中的应用，从而激发学生的学习兴趣。
2.基本概念：讲解相似三角形的定义，让学生理解并掌握。
3.判定定理1：详细讲解相似三角形的判定定理1，结合尺规作图，让学生直观感受。
4.例题解析：通过典型例题，让学生学会运用判定定理1解决实际问题。
5.小组讨论：组织学生进行小组讨论，交流学习心得，巩固所学知识。
6.课堂小结：对本节课的知识点进行总结，强调相似三角形判定定理1的重要性。
3.强调实际应用：再次强调相似三角形在实际生活中的应用，提高学生的实践意识。
初中数学人教版九年级下册 27.2.1相似三角形的判定(课时1) 课件(共32张PPT)
1 k
B′
A C
A′ C′
探究新知
如图，任意画两条直线 l1，l2，再画三条与 l1，l2，都相交的平 行线 l3，l4，l5. 分别度量在 l1 上截得的两条线段 AB，BC 和在 l2 上截得的两条线段 DE，EF 的长度
（1）AB 与 DE 相等吗？
BC EF
l1 A
（2）任意平移
l5，BACB
归纳总结
把平行线分线段成比例的基本事实应用到三角形中，会出现下面
两种情况.
l1A D
l2 l3
E l4
l1
l2
E D l3
A
l4
B
C l5
B
C l5
平行线分线段成比例定理推论：平行于三角形一边的直线截其他 两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.
探究新知
思考：如图，在△ABC中，DE∥BC，且DE分别交AB，AC于点
A E C
要想利用前面学到的结论来证明三角形相似，需将DE平移
到BC边上去，使BF=DE，再证明
AE AC
BF BC
就可以了.
探究新知
证明：先证明两个三角形的角分别相等 在 △ADE与 △ABC中，∠A =∠A.
平行于三角形一边的 直线截其他两边(或两 边的延长线)，所得的
对应线段成比例
∵ DE∥BC，∴ ∠ADE =∠B，∠AED =∠C.
∴. DE AD 2 1 BC AB 2 4 3
故选：C.
练习 6 如图, DC//EF//AB ,若 EG 1 , DC 6 ,则 GF 的长为 AB 2
( B)
A.2
B.3
C.4
D.1.5
解析：∵ EF//AB , ∴△DEG∽△DAB , ∴ DG EG 1 ,即点 G 为 DB 的中点,
人教版初中数学九年级下册 27.2.1 相似三角形的判定(第4课时)课件 【经典初中数学课件】
A
3.如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，
D
E
试说明△ADE∽△EFC.
B
F
C
4.已知如图，∠ABD=∠C，AD=2，AC=8，求AB.
A D
B
C
相似三角形的判别方法有那些？
方法1：通过定义
三个角对应相等 三边对应成比例
方法2：平行于三角形一边的直线.
方法3：三边对应成比例.
方法4：两边成比例且夹角相等. 方法5：两角分别相等.
A
3.如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，
D
E
试说明△ADE∽△EFC.
B
F
C
4.已知如图，∠ABD=∠C，AD=2，AC=8，求AB.
A D
B
C
相似三角形的判别方法有那些？
方法1：通过定义
三个角对应相等 三边对应成比例
方法2：平行于三角形一边的直线.
方法3：三边对应成比例.
方法4：两边成比例且夹角相等. 方法5：两角分别相等.
一定需三个角对应相等吗？
相似三角形的判别方法： 两角分别相等的两个三角形相似．
如果两个三角形仅有一组角是对应相等的，那么它们是否 一定相似？
相似三角形的判别
用数学符号表示： ∵∠A=∠A'， ∠B=∠B' ∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
A A'
B
C B' C'
(两个角分别相等的两个三角形相似.)
条件 DE‖BC ，就可以使△ADE与原△ABC相似.
(或者∠B＝∠ADE) (或者∠C＝∠AED)
2．如图，在□ABCD中，EF∥AB，
DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长．
27.2.1相似三角形的判定(1)预习稿
l 4l 5BD CA l 3l 2l 1FEC 'B 'A 'CB A 27.2.1 相似三角形的判定预习稿(1)一、教学目标：1. 理解平行线分线段成比例定理及推论．2. 掌握相似三角形的判定定理(1)． 二、教学重点：掌握相似三角形的判定定理(1)．三、教学难点：理解掌握平行线分线段成比例定理及应用． 四、预习过程 一、温故知新1．相似多边形的性质：对应边；对应角． 2．全等三角形的判定方法有 、 、、等方法．二、探索新知 (一) 相似三角形如图，在ABC ∆与'''A B C ∆中，如果∠A=∠A′, ∠B =∠B ′, ∠C =∠C ′,且k AC CAC B BC B A AB =''=''=''．则ABC ∆与'''A B C ∆相似，记作ABC ∆ '''A B C ∆，则相似比为 ．也可记为'''A B C ∆ ABC ∆，则相似比为 ．问题 如果k =1，ABC ∆ '''A B C ∆． (二)平行线分线段成比例探究1 如图,任意画两条直线1l ，2l ，再画三条与1l ,2l 相交的平行线3l , 4l ，5l 分别度量3l , 4l ，5l 在1l 上截得的两条线段AB, BC 和在2l 上截得的两条线段DE, EF 的长度, 思考：(1)AB BC DEEF(填“＝”、“≠”) ．(2)任意平移5l ,AB BC DEEF(填“＝”、“≠”) ．(3)当3l // 4l // 5l 时，还有：()AB DE BC = ，()AB DE AC =，()BC AC DF=等． 平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．拓展把平行线分线段成比例的基本事实应用到三角形中，会出现两种情况：(1)把4l看成平行于△ABC的边BC的直线，得到图(1) ．(2)把3l看成平行于△ABC的边BC的直线，得到图(2) ．平行线分线段成比例定理推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段的比相等．练习1 如图，AB//CD//EF，AF与BE相交于点G，且AG=2，GD=1，DF=5，求BCCE的值．(三) 探究相似三角形的判定定理(1)探究2 如图，在∆ABC中， DE∥BC，DE分别交AB、AC于点D、E ，∆ADE与∆ABC有什么关系？证明：在∆ADE与∆ABC中，∠A=∠A∵DE∥BC ∴∠ADE= ，∠AED=过点E作EE∥AB，EF交BC于点F∵DE∥BC，EF∥AB，∴ACAEACAE==)()(,)()(.ABD ECABD ECF图3∵四边形DEFB 是平行四边形， ∴DE=BF. ∴AC AE = BC ) (. ∴BCAC AE AB AD )(== 三角形相似的判定定理(1)：平行于三角形一边的直线和其它两边(或其延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似． 定理分两种情况——A 型和X 型： 几何语言：A 型(图1)：∵DE∥BC ∴△ABC∽△ADE X 型(图2)：∵DE∥BC ∴△ABC∽△AED 三、应用新知例1 如图3，在△ABC 中，DE∥BC，且AD=3，DB=2，图中的相似三角形 为 ∽ ，理由为；相似比为= ．练习2 已知：如图4，AB∥EF ∥CD，图中共有____对相似三角形； 分别是∽；∽；∽．练习3 如图5，DE ∥BC ，EF ∥AB ，图中相似三角形共有 对，证明：△ADE ∽△EFC ．例2 已知：如图，DE ∥BC ， 求证：(1)△ABC ∽△ADE ； (2)AB ·AE=AC ·AD.四 课堂小结平行线分线段成比例定理及推论，三角形相似判定定理(1)我不懂的地方：E A BCD 图4图5。
人教版九年级下册27.2.1相似三角形的判定(一) 三边成比例的两个三角形相似 课件
AB=4cm ，BC =6cm ，AC =8cm，A´B´=12cm ，
B´C´=18cm ，A´C´=21cm.
解： AB 4 1 A'B' 12 3
BC B'C '
6 18
1 3
AC A'C '
8 21
AB A' B '
BC B'C '
AC A'C '
∴△ABC与△A´B´C´不相似.
2.如图, △ ABC与△ A′B′C′相似吗?你用什么方法来支持你的 判断?
讲授新课
三边成比例的两个三角形相似
合作探究 问题：在下面两个三角形中，若 A' B' B' C' A' C' ，
AB BC AC
△ABC∽△A′B′C′？. A
A′
B′
C′
B
C
通过画图不难发现∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'.
所以△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A′B′,
∠BAD=20°,求∠CAE的度数.
AD DE AE
A
B
C D
E
例3 如图，在△ABC和△ADE中，AB BC AC .
∠BAD=20°,求∠CAE的度数.
AD DE AE
解：∵
∴△ABC∽△ADE(三边成比例的两个三角形相似).
∴∠BAC=∠DAE.
∴∠BAC - ∠DAC =∠DAE-∠DAC.
C
A′
B′
C′
3.如图，△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的
中点，求证：△ABC∽△EFD．
27.2.1相似三角形的判定(1)ppt课件
知识要点
三角形相似判定定理之一
如果两个三角形的三组对应边的比 相等，那么这两个三角形相似。简称：
三边对应成比例，两三角形相似。
A
B
C
B1
A1
即：
如果
AB A1B1
BC B1C1
AC A1C1
,
那么 △ABC∽△A1B1C1. C1
15
小练习
已知：AB BC AC ，求证：∠BAD=∠CAE。
A′
A
B
C B′
C′
19
知识要点
三角形相似判定定理之三
如果一个三角形的两个角与另一个三角 形的两个角对应相等，那么这两个三角形相
似。两角对应相等，两三角形相似。
A
A1 即：如果∠A =∠A1，∠B =∠B1 .
B
C
那么 △ABC∽△A1B1C1.
B1
C1
20
如果两个三角形有一个内角对应相等， 那么这两个三角形一定相似吗？
一角对应相等的两个三角形不一定相似。
21
小练习
找出图中所有的相似三角形。
“双垂直”三角形 C
有三对相似三角形： △ACD∽ △CBD △CBD∽ △ABC △ACD∽ △ABC
A
D
B
△ACD ∽ △ CBD∽ △ ABC
22
探究5
A
B
C
已知：Rt△ABC 和 Rt△A1B1C1.
AB BC k,
A1B1 B1C1 A1C1
又
AB A1B1
BC B1C1
AC A1C1
,
A1D
AB
∴ DE BC , A1E AC
27.2 用推理方法研究三角形(1)-
27.２用推理方法研究三角形(1)一、素质教育目标（一）知识储备点1．掌握等腰三角形的判定定理、性质定理以及斜边、直角边定理的证明．2．掌握角平分线的性质及判定定理的证明．3．掌握线段的垂直平分线的性质及判定定理的证明．4．理解逆命题、逆定理的概念，掌握勾股定理逆定理的证明．（二）能力培养点经历用逻辑推理的方法研究图形问题，证明我们已经探索得到的一些结论的过程，进一步培养学生的主动探究的习惯，发展学生的逻辑证明能力．（三）情感体验点加深学生对证明的必要性的认识，帮助学生养成主动探究和合作交流的学习习惯．二、教学设想重点：对已经探索得到的一些重要结论的证明．难点：证明过程中思路的分析、辅助线添加的方法．疑点：互逆命题、互逆定理的概念的区分和理解．教学思路：从已经经过探索得到的有关等腰三角形、角平分线、线段垂直平分线的一些结论入手，引导、启发学生通过逻辑推理加以证明，同时巩固证明过程的书写训练．三、媒体平台1．教具、学具准备：三角板、刻度尺．2．多媒体课件撷英：（1）课件构思：通过动画演示，回顾已探索得出的结论，解析证明思路、•展示证明过程的格式．（2）http：//www．四、课时安排4课时第1课时（一）本课目标1．掌握等腰三角形的判定定理、性质定理以及斜边、直角边定理的证明．2．经历探索证明方法的过程，逐步培养学生逻辑推理的能力．（二）教学流程1．情境导入军军想利用学过的知识测一测河宽（如图所示）．•他先沿着垂直于河岸的方向在河两岸分别选定两点A、B，再从A点到C点，测得∠C=30°，∠DAC=60°，量一量AC的长度就是河宽．BD30︒CA 60︒2．课前热身互动1师：请同学们思考一下，他这样测行吗？有什么依据吗？生：他这样测可以．因为由三角形的一个外角等于两个不相邻的两个内角和可以求出∠B=30°，又因为∠B=∠C ，所以AB=AC ．师：很好．军军这种方法其实就是利用“等角对等边”，•那么同学们是怎样知识等腰三角形的这个识别方法的呢？生：用折纸的方法．如图所示，△ABC 中，∠B=∠C ，利用刻度尺找到BC•的中点D ，连结AD ，然后沿AD 对折，观察发现AB 、AC 完全重合，于是得到AB=AC ．明确 回顾在第9章得出的“等角对等边”这个识别等腰三角形的重要方法．3．合作探究（1）整体感知 请同学们一起思考，为什么将△ABC 沿AD 对折时，AB 与AC 完全重合？仅仅凭借观察可靠吗？因此，要用逻辑推理加以证明．（2）四边互动活动一：探索等腰三角形判定定理及其性质定理的证明方法．互动2师：我们先将“等角对等边”这一语言文字转化为几何语言．生：已知：如图所示，△ABC 中，∠B=∠C ，求证：AB=AC ．BD A师：要证明AB=AC ，可设法构造两个全等三角形，使AB 、AC•分别是他们的对应边/于是我们可以作∠BAC 的平分线AD ，接下去该怎样证明呢？生：（教师引导学生作答）师：这里证明三角形全等采用的方法是“A ．A ．S ．”，正是上节课我们证过的结论，可以作为定理运用．另外，本题的辅助线还有其他的作法，同学们能不能发现呢？ 生：也可以作AD ⊥BC 于D ．师：不错．这样我们就证明了等腰三角形的判定定理：等角对等边．值得注意的是，如果△ABC 中，AB=AC ，我们同样作∠BAC 的平分线AD ，根据“S ．A ．•S•”有△ABD•≌△ACD ，因此又能证出∠B=∠C ．这就是等腰三角形的性质定理：“等边对等角”．明确 等腰三角形判定定理、性质定理的证明，对称的语言叙述为后面学习互逆定理打下良好的感知基础．活动二：探索等腰三角形“三线合一”性质的证明方法．互动3师：请同学们仔细观察图中全等的三角形△ABD 与△ACD 指出还有哪些对应边、对应角相等？生：BD=CD ，∠ADB=∠ADC=90°．师：这说明了等腰三角形顶角的平分线具有什么性质呢？生：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合．师：很好．这一点也是等腰三角形的一个重要性质，简称为“三线合一”．明确 引导学生探究心理，小组讨论，归纳总结，培养学生概括数学材料的能力． 活动三：探索斜边、直角边定理的证明方法．例：如图所示，在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠ACB=∠A ′C ′B ′=90°，AB=A ′B ′，AC=A ′C ′．求证：△ABC ≌△A ′B ′C ′．C A B 'A 'C '师：本题的证明思路很巧妙，把△ABC 和△A ′B ′C ′拼到一起，•使相等的直角边AC 与A ′C ′重合，B 与B ′在A ′C ′的两旁，然后利用等腰三角形的性质与A ．A ．S 法，即可证出结论．我们把这个结论作为识别直角三角形的一种方法──斜边、•直角边定理． 明确 引导学生仔细阅读证明过程．4．达标反馈（1）填空①根据等腰三角形三线合一的性质，在△ABC 中，（a）∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD，BD=CD．（b）∵AB=AC，AD是中线，∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC．（c）∵AB=AC，AD是角平分线，∴AD⊥BC，BD=CD．②等边三角形各角都相等，且每一个角都等于 60°．③等腰直角三角形的每个锐角为 45°，•斜边上的高把直角分成的两个锐角为45°．④三角形中，若有两个角的平分线都垂直于对边，则此三角形是等边三角形．（2）证明：①等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行．②如图所示，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE交于O点．求证：1°△BCD≌△CBE；2°△BOE≌△COD．E BDC AO【答案】（略）5．学习小结（1）引导学生作知识总结，通过本节课的学习掌握了等腰三角形的判定定理、•性质定理的证明，同时还得出“三线合一”这一重要性质，并且利用等腰三角形性质定理证明了“H．L”定理．（2）教师扩展：今天学习的几条定理是今后证明两条线段相等、•两个角相等及两条直线互相垂直的重要依据．（三）延伸拓展（1）链接生活通过这节课的学习，请你设计一种方案，测出操场上旗杆的高度．（2）巩固练习①如图所示，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，•过O作MN∥BC交AB于M，交AC于N，则图中共有 5 个等腰三角形．BNAOM②将一张矩形纸片ABCD沿对角线对折（如图所示），求证：重叠部分是一个等腰三角形．（提示：利用矩形对边平行的性质及折叠过程中的全等三角形证明）B D CAB DAC'（四）板书设计。
27.2.1两边成比例且夹角相等的两个三角形相似(教案)
-在实际问题中，识别并运用相似三角形的性质，构建数学模型；
-对于一些特殊情况的判断，如当两个三角形的两边比例相等，但夹角不相等时，如何判断它们不相似。
-以下是针对难点的详细解释：
-对于判定方法的难点，可以通过以下方式帮助学生突破：
-利用图形和具体实例，让学生观察和发现两边成比例和夹角相等的关系；
-引导学生通过实际操作，如画图、计算等，加深对判定方法的理解；
-设计不同难度的题目，让学生在解答过程中逐步掌握判定方法。
-在实际问题中，识别并运用相似三角形的性质是另一个难点：
-教师可以通过举例，将实际问题转化为数学模型，展示如何应用相似三角形的性质；
-引导学生学会从实际问题中抽象出数学模型，并运用相似三角形的性质进行解答；
-在解答过程中，强调关键步骤，使学生明白如何将相似三角形的性质应用到实际问题中。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解相似三角形的基本概念。相似三角形是指对应角相等、对应边成比例的两个三角形。它是几何学中的一个重要概念，广泛应用于实际问题中，如地图绘制、建筑设计和艺术创作等。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了相似三角形在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
2.培养学生的逻辑思维能力，使其能够运用相似三角形的判定方法，进行严密的推理和证明；
3.培养学生的数学建模能力，使其能够将相似三角形的性质应用于解决实际问题，构建数学模型；
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⑵若直线过B
BD=AD=BC
D C D
BD= AD BC=DC,与⑵类似.
思考： AB≠AC ,BO平分∠ABC,CO平分∠ACB. 在△ABC中,已知 AB=AC 过点O作直线EF//BC 交 AB 于 E,交 AC 于 F。 （1）请问图中有多少个等腰三角形?说明理由。 （2）线段EF和线段EB,FC之间有没有关系? 若有是什么关系?
在CA的延长线上，∠AEF＝∠F。请你猜想直线 EF与BC有怎样的位置关系？并说明理由。
F A E
B
D
C
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游之时，耿正当时好像对那棵高大的槐树，尤其是树下的那几块儿大石头特别感兴趣。他轻轻地走过去坐在其中的一块最大的 石头上，然后再抬头看着大槐树那已经很浓密的树冠，头也不回地对身边的耿英说：“英子，你还记得咱们镇子南边的那棵大 槐树吗？”耿英说：“怎么会忘记呢，咱们小的时候经常在那里玩儿！”耿英说完这话，又转头问小青：“小青姐，这附近有 条小河吗？”小青有些不屑地撇撇嘴说：“什么呀，有那么大的一条长江了还不够，还要找什么小河！真是莫名其妙！”耿直 说：“小青姐姐你是不知道啊，我们老家‘三六九镇’的那条小河可是远近闻名的耶。由于上游有很多巨大的泉眼，泉水冬暖 夏凉，所以那条小河在冬天下雪了的时候也不会结冰的。听我爹说，这样的小河，在我们北方可是非常少见的喽。我们在家的 时候，经常在小河边儿上玩儿，在河里耍水呢！河里有很多小鱼儿，还有成群的小蝌蚪，可好玩儿啦！”小青的直觉没有错， 耿正此时就默默地坐在树林深处那棵大槐树下面的大石头上！他人坐在这里，心绪却已经穿越千山万水飞回了故乡，飞到了镇 南边的那棵大槐树下并且穿越时空，回到了与知心秀儿一起玩耍嬉戏的美好童年时代惆怅在慢慢隐去，耿正英俊的面孔上泛起 了兴奋的红光，嘴角上现出了浅浅的微笑由于耿正太陶醉于自己幸福美好的回忆之中了，小青慢慢地走到身边了，他还丝毫没 有发觉。小青也不惊动他，只是安静地站在旁边目不转睛地看着他。心里美滋滋地憧憬着：如果能有这个人与自己厮守终生， 那该有何等幸福啊！这样想着，不由得心跳加速，脸蛋绯红“唉！”耿正轻轻叹息一声回到现实中来。他站起来一转身，突然 发现小青就站在身旁不远的地方一动不动地看着自己，就奇怪地问：“小青姐，你们不是要和娘娘一起去买粉末和毛刷吗，你 怎么会在这里？”小青的脸蛋更红了。她嗫嚅着，不好意思地小声儿说：“我就知道你来了这里，是来看你的！你刚才都想什 么了，那么高兴？”耿正的脑海里一下子跳出了“榆木疙瘩”这四个字，心里想：这小青姐姐看来还真的是对我有那个意思了！ 不行，我绝对不能和她在这里就这么两个人久呆着，必须得赶快想办法离开小树林回家去。于是，耿正轻轻笑一笑，淡淡地说： “没有想什么，都是小时候的事情了。这里太过安静了，我们还是回去吧。改天叫上我弟弟和妹妹一起来转悠吧，人多了才热 闹呢！”小青不高兴了，噘起嘴巴赌气地说：“人家专门来陪你，你怎么这么不通人情啊！”看着小青生气噘嘴和无限哀怨的 眼神，耿正一时间不知道该如何是好了。小青不愿意回去，他强硬地走开了也不是，顺从了小青留下来也不是。张一张嘴巴， 又不知道应该怎么说，就在原地打起转来。看到耿
2 、边的分类
1、如果等腰三角形的一个外角为100°， 则这个等腰三角形的顶角为 。
2、如图，在三角形ABC中，BC=10， AD=BD，若三角形ACD的周长为18 ， 则AC长为 。 B
D C
A
3.等腰三角形两个角之比为4:1，则顶角为 __________，底角为___________。 4.△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，若 △ABC的周长为50，△ABD的周长为40， 则AD=____________。 5.若等腰三角形顶角为n度，则腰上的高与底 边的夹角为_____________。
• 以等腰三角形为条件时的常用辅助线: • 如图：若AB=AC A • ①作AD⊥BC于D，必有结论:∠1=∠2， 12 BD=DC • ②若BD=DC，连结AD，必有结论： ∠1=∠2，AD⊥BC B D • ③作AD平分∠BAC必有结论：AD⊥BC， BD=DC • 作辅助线时，一定要作满足其中一个性质 的辅助线，然后证出其它两个性质，不能 这样作：作AD⊥BC，使∠1=∠2.
A
A
若 AB AC
E
F
0
B
E 0
F
C
B
C
思考题1：
已知：如图：在正△ABC中， BD ⊥ AD，延长 BC到，使CE=CD，连结DE。
1）若M是BE的中点，请你猜想DM与BE有怎样 的位置关系？并说明理由。
2）把BD改成什么条件，还能得到同样的结论？
A D
B
M C
E
变式：已知：如图：在△ABC中，AB＝AC，E
等腰三角形(一)
名 称
图
形
概 念
性质与边角关系
判
定
等 腰 三 角 形
B
1.两腰相等.
A 有两边 相等的 三角形 是等腰 三角形。 C
1.两边相等. 2.等角对等边.
2.等边对等角. 3. 三线合一. 4.是轴对称图形.
名 称
图
形
概 念
性质与边角关系
判
定
等 边 三 角 形
B
1.三边相等.
三边相 等的三 角形是 等边三 角形。
C
C
E
A
B
A
D
B
在等腰直角三角形中,折出∠CAB的平分线AE,交BC边 于点E. C点在AB边上的落点为D,连结DE. 1. DE⊥AB吗?
1 2. 若CE=1,则DE=_____.
即：CE=DE=DB 1 DB=______.
3. 你还能找出哪些相等的线段吗? AD=AC=BC
4. 若AB=6,则△DEB的周长等于多少?
三角形的两顶点构成等腰三角形！
A
110° 20° 50°
B
C
（分类讨论）
1、对∠A进行讨论 2、对∠B进行讨论 3、对∠C进行讨论
C
20° 20°
C
65° 65° 50° 35°
C
110° 35°
A C
20° 20°
BA C
50°
BA
B
50°
A C
80° 20° 80°
B A
B
A
B
当等腰三角形被一条直线分割成两个较小的 重视分类标 三角形也是等腰三角形时 ,原等腰三角形的 ,考虑慎 顶角度数是多少? 准 假设 AB=AC A A BD= AD 密, ⑴若直线过A AC=DC BD=AD=DC 不重不漏!
C
1.若等腰三角形两条边的长分别是5和8, 则它的周长为 21或18 . 2. 若等腰三角形的一个内角是45°,则 它的顶角为90°( NO ) (Yes or no!)
总结:在解等腰三角形的题目时,经常会运用 分类思想讨论,以防止掉入数学“陷阱”!
(分类思想)
（在等腰三角形中）
1、 角的分类
要注意喔！
1. 角与角的转化:
2. 边与角的转化:
(在同一个三角形)
相等角之间的代换.
等边对等角. 等角对等边. 相等线段之间进
3.边与边的转化:
行代换
请把这个等腰三角形纸片折成两个等腰 三角形？（折成3个等腰三角形呢？）
A
36° 36°
A
A
36°
D
D
B
C B
C
B
C
在下图三角形的边上找出一点，使得该点与
1.三边相等。 2.三角相等。
A
2.三角相等,且 为60°。 3. 三线合一。
C
3.一角为60° 4.是轴对称图形. 的等腰三角形。
• 等腰三角形性质与判定的应用 • （1）计算角的度数 利用等腰三角形的性质，结合三角形内角和 定理及推论计算角的度数，是等腰三角形性质的 重要应用。 ①已知角的度数，求其它角的度数 ②已知条件中有较多的等腰三角形（此时往往设 法用未知数表示图中的角，从中得到含这些未知 数的方程或方程组） （2）证明线段或角相等