尺规作图及角平分线垂直平分线复习题
尺规作图，角平分线，中垂线复习学案
一、预习作图
1、作一个角∠CDE等于角∠AOB(依据是？)
2、作∠AOB的角平分线（依据？）
3、做线段AB的垂直平分线
4．如图，已知点P和直线l，过点P作直线l的垂线。
作线段的垂直平分线的理论根据是____________________ ______和两
点确定一条直线.
二、课堂精练：
1、已知三边作三角形
2、已知两边及夹角作三角形
（1）、已知：如图，线段a，b，c. 已知：如图，线段m，n, ∠α.
求作：△ABC，使AB = c，AC = b，BC = a. 求作：△ABC，使∠A=∠α，AB=m，AC=n.
a m
b c n
3、已知两角及夹边作三角形
已知：如图∠α，∠β
求作：△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β,AB=m.
4、已知底边及底边上的高线作三角形
P
l l
5题
如图,已知线段a 和h,求作一个等腰三角形ABC,使得底边BC=a,底边上的高AD=h a
h
5、已知一条直角边和斜边作直角三角形
,已知线段a 和b,求作一个直角三角形ABC,使得斜边AC=a,直角边AB=b
a
b
3.如图，（1）过点P 作∠O 两边的垂线。（2）作△ABC 边BC 上的高。
三、双基巩固：
1.用尺规作图,不能作出惟一三角形的是( )
A.已知两角和夹边;
B.已知两边和其中一边的对角
C.已知两边和夹角;
D.已知两角和其中一角的对边
2.用尺规作图,不能作出惟一直角三角形的是( )
A.已知两条直角边
B.已知两个锐角
C.已知一直角边和一锐角
D.已知斜边和一直角边
3.只用无刻度直尺就能作出的是( )
A.延长线段AB 至C,使BC=AB;
B.过直线L 上一点A 作L 的垂线
C.作已知角的平分线;
D.从点O 再经过点P 作射线OP
4.下列画图语言表述正确的是( )
A.延长线段AB 至点C,使AB=BC;
B.以点O 为圆心作弧
C.以点O 为圆心,以AC 长为半径画弧;
D.在射线OA 上依次截取OB=a,BC=b
5.判断题:(对打“∨”，错打“×”)
(1)过点A 作直线AB 的垂直平分线.( ) (2)过点C 作线段AB 的垂直平分线.( )
(3)在直线AB 上截取AC,使它等于射线OD.( )
(4)作直线OC 平分∠AO B.( ) (5)以点O 为圆心作弧.( )
(6)以OC 为半径画弧.( ) (7)在线段AB 上截取AC=a ( )
(8)作射线AC 的垂直平分线.( ) (9)经过已知角的内部一点作角的平分线.( )
(10)线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离大于线段长的一半.( )
6.如图所示,已知∠AOB 和两点M 、N 画一点P,使得点P 到∠AOB 的两边距离相等,且PM=PN.
B C A
3题
B B
四.能力提高：
1.已知三个自然村A 、B 、C 的位置如图所示,现计划建一所小学,使其到A 、B 、C 三个自然村的距离相等,请你设计出学校所在的位置O,(不写画法,保留画图痕迹)
2.如图所示,A,B 为2个村庄，现在政府想在河道l 上建一个供水站点C,请你设计一个方案,使供水站的到两村庄的距离和最短写画法,但要保留作图痕迹，
l
3、角的内部到角的两边距离相等的点在 。三角形中到三边距离相等的点是 。
4、如图，∠B =∠C =90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，求证：AM 平分∠DAB 。
5、如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，DE 垂直平分AB 交AC 、AB 于D 、E 两点．
（1）若AB=9cm ，BC=7cm ，求△BCD 的周长．
（2）若∠C=65°，求∠DBC ．
A . . B
6、如图，在△ABC中，AD是∠BAC平分线,AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于F、E 求证：（1）∠EAD=∠EDA ;
（2）DF∥AC
（3）∠EAC=∠B
7、如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，
且交OE于点F．
（1）求证：OE是CD的垂直平分线．
8、如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N．
（1）若△CMN的周长为20cm，求AB的长；
（2）若∠ACB=110°，求∠MCN的度数．
尺规作图(二)角平分线
课题：基本作图（二）-----角平分线及其性质 教学重点：角平分线的尺规作图、性质定理及它们的应用。 教学难点：理解角平分线尺规作图的依据，以及角平分线性质定理的应用； 教学目标： 1．知识与技能：掌握角平分线的尺规作图方法及角平分线的性质定理，并用它们解决相关问题； 2．过程与方法：学生经历动手实践、合作交流、演绎推理的过程，学会理性思考，从而提高解决简单问题的能力。 3．情感与态度：经过对角的平分线的性质的探索与形成的过程，发展应用数学知识的意识与能力，养成良好的学习态度和严谨的科学态度。 教学过程： 实际问题引入：若要在S区建一个瞭望塔，安排人员进行环境监测，要求瞭望塔到三条公路的距离都相等，请问瞭望塔应建于何处？ 预设一：学生想到作高线，找交点。 预设二：学生想到作中线，找交点。 预设三：学生想到作角平分线，找交点。 （在此情况下，学生分组进行画图实验，之后比较，猜想哪种做法是有可能正确的，之后引出作角平分线的方法，既然作角平分线的方法有可能，那就研究标准的作角平分线的的方法，研究猜想是否正确。）
【活动一】作角平分线。 （一）提出问题：你能自己想办法做出一个角的角平分线吗？ （学生自己考虑解决问题的方法） 预设一：学生估计角度的大小，直接画出近似的角平分线； 预设二：学生用折纸的方法完成； 预设三：学生用量角器度量功能完成； 预设四：学生用直尺量出AO=BO,联结AB ，确定AB 中点C ，之后作射线 预设五：学生用直尺量出AO=BO,分别过A,B 作OA,OB 的垂线，两条垂线相交于点C ，之后作射线OC; 预设六：学生思考到尺规作图的方法， 但是不能准确叙述或者是完成； 预设七：学生可以用尺规作图的方法完成。 如果学生出现预设中的一、二、三、四、五情形的时候，老师适时提出：预设一不准确，预设二相对准确些，但是不便于操作，预设三、四、五，这时可以提问：如果我们没有刻度尺，没有半圆仪这些带刻度的工具，我们能不能考虑其他方法解决这个问题呢？如何做呢？ 如果学生考虑到了预设六、七中的尺规作图，鼓励学生继续思考，如果学生不能完成，老师可以带领学生完成，如果有的学生能够完成，可以教师带领学生写好已知、求作，由学生演示做法。 （二）已知：∠BOA 求作：∠BOA 的角平分线 作法： 1. 以 O 为圆心，任意长度为半径作弧，分别与角的两边交于点 D 、E; 2. 分别以 D 、E 为圆心，大于DE 一半的相同长度为半径作弧,两弧在角的内部交于 C; 3. 作射线 OC.∴射线 OC 为∠BOA 的角平分线
解读高斯正十七边形的作法(下)
解读高斯正十七边形的作法 正十七边形的尺规作法： 步骤1：在平面直角坐标系xOy 中作单位圆O 步骤2：在x 轴负半轴上取点N ，使|ON|＝ 41，易知|NB|＝417，以N 为圆心，NB 为半径作弧，交x 轴于F 、F’，易知|OF|＝ 2a ，|OF’|＝2b 步骤3：此时|FB|＝122+?? ? ??a ＝242+a ，以F 为圆心，|FB|为半径作弧，交x 轴正半轴于G ，此时|OG|＝2 422++a a ＝c 步骤4：.类似地，|F’B|＝122 +?? ? ??b ＝242+b ，以F’为圆心，|F’B|为半径作弧，交x 轴正半轴于点G’，此时|OG’|＝2422++b b ＝e 步骤5：以|CG’|为直径作圆，交y 轴正半轴于点H ，易知OH 2＝1·e
步骤6：以H 为圆心， 21|OG|为半径作弧，交x 轴正半轴于点K ，则有|OK|＝222OH OG -??? ??＝222e c -?? ? ??＝242e c -步骤7：以K 为圆心，|KH|＝2 1|OG|为半径作弧，交x 轴正半轴于点L ，则|OL|＝2 42e c c -+步骤8：取OL 的中点M ，则|OM|＝4 42e c c -+＝cos 172π步骤9：过点M 作y 轴的并行线交单位圆O 于两点A 2和A 17，则Α为正十七边形的第一个顶点，A 2为第二个顶点，A 17为第十七个顶点，从而作出正十七边形。 正十七边形边长的表达式 在上面得到的一系列等式： a ＝2171+-， b ＝2171--， c ＝242++a a ，e ＝2 42++b b ，cos 172π＝4 42e c c -+中，依次求出c ＝4 17234171-++-，
尺规作图角平分线
一、尺规作图 1. 作一个角等于已知角的方法 已知：∠AOB ，求作：∠A ′O ′B ′=∠AOB. 作法： 1.以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA ，OB 于点C ，D ； 2.画一条射线O ′A ′，以点O ′为圆心，OC 长为半径画弧，交O ′A ′于点C ′； 3.以点C ′为圆心，CD 长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点D ′； 4.过点D ′画射线O ′B ′，则∠A ′O ′B ′=∠AOB. 2. 先任意画出一个△ABC.再画一个△A ′B ′C ′，使 A ′ B ′=AB , B ′C ′=BC ，C ′A ′ =CA. O A B C D O′ A′ B′ C′ D′
作法： 画一个△A′B′C′，使A′B′=AB, A′C′=AC，B′C′=BC ： （1）画B′C′=BC； （2)分别以点B′,C′为圆心，线段AB，AC长为半径 画弧，两弧相交于点A′; (3)连接线段A′B′，A′C′. 二、角的平分线 导入： 小明家居住在通州区一栋居民楼的一楼，刚好位于一条暖气和天然气管道所成角的平分线上的P点，要从P 点建成两条管道，分别与暖气管道和天然气管道相连. 问题1：怎样修建管道最短？ 问题2: 新修建的两条管道的长有什么关系，画来看一看. 角的平分线的画法 图12.3-1是一个平分角的仪器，其中AB= AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD 着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是这个角的平分线,你能说明它的道理吗？
作已知角的平分线的方法. 已知：∠AOB. 求作：∠AOB 的平分线. 作法：（1)以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点M ，交OB 于点N. (2)分别以点M ，N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点C. (3)画射线OC.射线OC 即为所求（如图). 理论根据：作角平分线的理论根据是三角形全等的判定方法：“SSS ”． 拓展：根据角平分线的作法还可以作已知角的四等分线． 注意： “大于 MN 的长为半径画弧”是因为若以小或等于 MN 的长为半径画弧时，画出的两弧不能相交． 如图所示，已知∠AOB ，求作：∠AOM ＝ ∠AOB. 1 2 12 12 14
高斯与正十七边形
高斯与正十七边形 数学就象一棵美丽的星球，他那博大精深、简明透彻的数学美就是他的引力场。许许多多人类的精英被他的引力所吸引，投入他的怀抱为他献出了自己毕生的精力。被誉为“数学王子”的伟大数学家高斯就是其中之一。 高斯是个数学天才，幼年时巧妙地计算1＋2＋3＋…＋100为101×50＝5050的故事几乎尽人皆知。其实，学生日期的高斯不仅数学成绩优异，而且各科成绩都名列前茅。小学毕业后，高斯考了文科学校。由于他古典文学成绩突出，入学后直接上了二年级。两年以后高斯又升入了高中哲学班。 15岁时，高斯在一位公爵的资助下上了大学－卡罗琳学院。在那里，他掌握了希腊文、拉丁文、法文、英文有丹麦文，又学会了代数、几何、微积分。语言学和数学是他最喜爱的两门课程。 18岁时，高斯进入了哥廷根大学深造。这时，高斯面临着一个非常痛苦的选择：是把语言学作为自己的终生事业？还是把数学作为自己的终生事业？两棵下不了决心进行最后的选择。 后来，一次数学研究上的突破改变了两个引力场的均衡。高斯终于下定决心，飞向了数学之星。 事情是这样的，尺规作图是几何学的重要内容之一，从古希腊开始，人们一直认为正多边形是最美的图形，因此，用尺规作图法能够作出哪些正多边形，历来就是一个极具魅力的问 题。到高斯的时代，人们已经解决了边数是n 23?、n 24?、n 25?、n 253??（=n 0,1， 2,3……）的正多边形的尺规作图问题。但是，还没有人能作出正7边形、正11边形、正17边形等等。很多人认为，当边数是大于5的素数时，那样的正多边形是不可以用尺规作图完成的。 高斯一直对正多边形尺规作图问题非常着迷。经过持久地，如醉如痴的思考与画图，于1796年3月30日，19岁的高斯出人意料地作出了正17边形。并且，他把正多边形作图问题与高次方程联系起来，彻底解决了哪些正多边形能作出，哪些正多边形不能作出。他证明 了一切边数形如122+t （=t 0,1，2,3，……）的正多边形都只可以作出，而边数为7、11、14，……的正多边形是作不出的。 正17边形作图问题不仅震撼了数学界，也震撼了高斯自己的心灵。他再也无法控制自己，在数学美的巨大引力的作用下，飞向了自己理想的星球－他选择了数学。 从此，高斯的数学成就象喷泉一样涌了出来。他在几乎所有的数学学科中留下了自己的光辉成就，成为伟大的数学家。 高斯直到晚年还十分欣赏使自己走上数学之路的正17边形，对数学美的赞叹与追求伴高斯渡过了他的一生。高斯逝世后，人们按照他的遗嘱，在他的雕像下面建立了一座正17边枎的底座，用他非常欣赏的《李尔王》中的诗句赞美道：“你，自然，我的女神，我要为你的规律而献身”。
初中尺规作图详细讲解含图)
初中数学尺规作图讲解初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具，习 惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法.最简单的尺规作图 有如下三条： ⑴经过两已知点可以画一条直线； ⑵已知圆心和半径可以作一圆； ⑶两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点； 以上三条，叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题. 历史上，最著名的尺规作图不能问题是： ⑴三等分角问题：三等分一个任意角； ⑵倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍； ⑶化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积. 这三个问题后被称为“几何作图三大问题”.直至1837年，万芝尔（Pierre Laurent Wantzel）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882年，德国数学家林德曼（Ferdinand Lindemann）证明π是一个超越数（即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数），由此即可推得根号π(即当圆半径1 r=时所求正方形的边长）不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题. 若干著名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论.尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意.数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书. 还有另外两个著名问题： ⑴正多边形作法 ·只使用直尺和圆规，作正五边形. ·只使用直尺和圆规，作正六边形. ·只使用直尺和圆规，作正七边形——这个看上去非常简单的题目，曾经使许多著名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作出的. ·只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作出来，因为单用直尺和圆规，是不足以把一个角分成三等份的. ·问题的解决：高斯，大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积，解 决了两千年来悬而未决的难题. ⑵四等分圆周 只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周4等分．这个问题传言是拿破仑·波拿巴出的，向全法国数学家的挑战. 尺规作图的相关延伸： 用生锈圆规(即半径固定的圆规)作图 1.只用直尺及生锈圆规作正五边形 2.生锈圆规作图，已知两点A、B，找出一点C使得AB BC CA ==. 3.已知两点A、B，只用半径固定的圆规，求作C使C是线段AB的中点. 4.尺规作图，是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发的，能更简洁的表达吗？顺着这思路就有了更简洁的表达.10世纪时，有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图. 1672年，有人证明：如果把“作直线”解释为“作出直线上的2点”，那么凡是尺规能作的，单用圆规也能作出！从已知点作出新点的几种情况：两弧交点、
正十七边形做法及证明.
步骤一： 给一圆O，作两垂直的直径OA、OB， 作C点使OC＝1/4OB， 作D点使∠OCD＝1/4∠OCA 作AO延长线上E点使得∠DCE＝45度 步骤二： 作AE中点M，并以M为圆心作一圆过A点， 此圆交OB于F点，再以D为圆心，作一圆 过F点，此圆交直线OA于G4和G6两点。 步骤三： 过G4作OA垂直线交圆O于P4， 过G6作OA垂直线交圆O于P6， 则以圆O为基准圆，A为正十七边形之第一顶点P4为第四顶点，P6为第六顶点。以1/2弧P4P6为半径，即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点。 正十七边形的尺规作图存在之证明:
设正17边形中心角为a,则17a=360度,即16a=360度-a 故sin16a=-sina,而 sin16a=2sin8acos8a=22sin4acos4acos8a=2 4 sinacosacos2acos4acos8a 因sina不等于0,两边除之有: 16cosacos2acos4acos8a=-1 又由2cosacos2a=cosa+cos3a等,有 2(cosa+cos2a+…+cos8a=-1 注意到 cos15a=cos2a,cos12a=cos5a,令 x=cosa+cos2a+cos4a+cos8№a y=cos3a+cos5a+cos6a+cos7a 有: x+y=-1/2 又xy=(cosa+cos2a+cos4a+cos8a(cos3a+cos5a+cos6a+cos7a =1/2(cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+…+cosa+cos15a 经计算知xy=-1 又有 x=(-1+根号17/4,y=(-1-根号17/4 其次再设:x1=cosa+cos4a,x2=cos2a+cos8a y1=cos3a+cos5a,y2=cos6a+cos7a 故有x1+x2=(-1+根号17/4 y1+y2=(-1-根号17/4 最后,由cosa+cos4a=x1,cosacos4a=(y1/2 可求cosa之表达式,它是数的加减乘除平方根的组合, 故正17边形可用尺规作出
初中尺规作图详细讲解(含图)
初中数学尺规作图讲解 初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法.最简单的尺规作图有如下三条： ⑴ 经过两已知点可以画一条直线； ⑵ 已知圆心和半径可以作一圆； ⑶ 两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点； 以上三条，叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题. 历史上，最著名的尺规作图不能问题是： ⑴ 三等分角问题：三等分一个任意角； ⑵ 倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍； ⑶ 化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积. 这三个问题后被称为“几何作图三大问题”.直至1837年，万芝尔（Pierre Laurent Wantzel）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882年，德国数学家林德曼（Ferdinand Lindemann）证明π是一个超越数（即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数），由此即可推得根号π(即当圆半径1 r=时所求正方形的边长）不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题. 若干著名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论.尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意.数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书. 还有另外两个著名问题： ⑴ 正多边形作法 ·只使用直尺和圆规，作正五边形. ·只使用直尺和圆规，作正六边形. ·只使用直尺和圆规，作正七边形——这个看上去非常简单的题目，曾经使许多著名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作出的. ·只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作出来，因为单用直尺和圆规，是不足以把一个角分成三等份的. ·问题的解决：高斯，大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积，解 决了两千年来悬而未决的难题. ⑵ 四等分圆周 只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周4等分．这个问题传言是拿破仑·波拿巴出的，向全法国数学家的挑战. 尺规作图的相关延伸： 用生锈圆规(即半径固定的圆规)作图 1.只用直尺及生锈圆规作正五边形 2.生锈圆规作图，已知两点A、B，找出一点C使得AB BC CA ==. 3.已知两点A、B，只用半径固定的圆规，求作C使C是线段AB的中点. 4.尺规作图，是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发的，能更简洁的表达吗？顺着这思路就有了更简洁的 表达.10世纪时，有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图. 1672年，有人证明：如果把“作直线”解释
17边形画法
步骤一： 给一圆O，作两垂直的半径OA、OB， 作C点使OC＝1/4OB， 作D点使∠OCD＝1/4∠OCA， 作AO延长线上E点使得∠DCE＝45度。 步骤二： 作AE中点M，并以M为圆心作一圆过A点，此圆交OB于F点， 再以D为圆心，作一圆过F点，此圆交直线OA于G4和G6两点。 步骤三： 过G4作OA垂直线交圆O于P4， 过G6作OA垂直线交圆O于P6， 则以圆O为基准圆，A为正十七边形之第一顶点P4为第四顶点，P6为第六顶点。 连接P4P6，以1/2弧P4P6为半径，在圆上不断截取，即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点。 正十七边形的尺规作图存在之证明: 设正17边形中心角为a,则17a=360度,即16a=360度-a
故sin16a=-sina,而 sin16a=2sin8acos8a=4sin4acos4acos8a=16sinacosacos2acos4acos8a 因sina不等于0,两边除之有: 16cosacos2acos4acos8a=-1 又由2cosacos2a=cosa+cos3a等,有 2(cosa+cos2a+…+cos8a)=-1 注意到cos15a=cos2a,cos12a=cos5a,令 x=cosa+cos2a+cos4a+cos8№a y=cos3a+cos5a+cos6a+cos7a 有: x+y=-1/2 又xy=(cosa+cos2a+cos4a+cos8a)(cos3a+cos5a+cos6a+cos7a) =1/2(cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+…+cosa+cos15a) 经计算知xy=-1 又有 x=(-1+根号17)/4,y=(-1-根号17)/4 其次再设:x1=cosa+cos4a,x2=cos2a+cos8a y1=cos3a+cos5a,y2=cos6a+cos7a 故有x1+x2=(-1+根号17)/4 y1+y2=(-1-根号17)/4 最后,由cosa+cos4a=x1,cosacos4a=(y1)/2 可求cosa之表达式,它是数的加减乘除平方根的组合, 故正17边形可用尺规作出
正十七变形的尺规作图-推荐下载
尺规作图：正十七边形 2009-09-07 17:24:09 尺规作图是指使用圆规和没有刻度的直尺在有限步骤内的作图问题。看似几何问题，实则是一 个代数问题。比如要作一个角等于π/3，就是在给定的线段的垂直平分线上截取长度为√3/2的 线段，而作一条直线的垂线则是给定复平面上的一个点z=1，作出z'=√（-1）这个点。把这个 说法更一般化一点，尺规作图问题可以描述成：在复平面上给定那个点z_0,z_1,……,z_n（这 些点的共轭可以得到），求复平面上全体可有这些点出发经直尺和圆规在有限步骤内可作出的 点（数）的集合M。如果z∈M，即z可作，则z是F[x]中一个2^t次多项式的根， F=Q(z_0,z_1,……,z_n,\bar(z_0),\bar(z_1),……,\bar(z_n))，其中Q为有理数域，\bar(z_k)为 z_k的共轭，1≤k≤n。 现在来看一下所谓的尺规作图三大难题。 1，三等分角。给定一个角θ，要得到α=θ/3，即作出cos(α)。而我们有 cos(θ)=cos(3α)=4cos(α)^3-3cos(α), 令cos(α)=a,cos(3α)=b为已知，则有 (2a)^3-3(a)-2b=0, 在一般情况下，这个方程不一定是可约的（如取θ=π/3），在这时2a不可做，因为他不可能是一个2^t次多项式的根。除此之外尚有很多可以被三等分的角，如只要n不是3的倍数，则 α=π/3必可三等分。事实上n和3互素，因此存在证书u和v，是的3u+nv=1，1/3n=u/n+v/3,所以α/3=π/3n=uπ/n+vπ/3，π/n和π/3都可作，所以α/3也可作。 2，倍立方。即做一个正方体的体积是原正方体体积的2倍，相当于要作出x^3-2等于0的根，同1，这是不可能的。 3，化圆为方。即作一个正方形使其面积等于给定的原的面积。这相当于要作出x^2-π=0的根。但是π不是代数数，即不是任何多项式的根，所以√π也是不可作的。 尺规作图里面还有一个经典的问题，作正n边形。比如正三角形，正四边形，正五边形，正六 边形，正八边形，这些都是很容易就能做出来的，但是很长时间内人们找不到作正七变形和正 九边形的方法。这一领域的下一个进展是1796年，高斯给出了正十七边形的作法。1801年，高斯证明了如果k是费马素数，那么就可以用直尺和圆规作出正十七边形。事实上可进一步推 广为如下结论：正n边形可作当且仅当n=(2^e)p_1p_2...p_r，e为非负整数，p_k为费马素数 1≤k≤r。可以做如下简单的思考：要作正n边形，实际上就是要作n次本原单位根ω，使得 ω^n-1=0。又[Q(ω):Q]=φ(n)，根据前面的讨论知φ(n)必为2^t的形式。若n=(2^e)(p_1) ^a_1(p_2)^a_2...(p_r)^a_r，则φ(n)=(2^(e-1))(p_1-1)(p_1)^(a_1-1)(p_2-1)(p_2)^(a_2-1)...(p_r-1)(p_r)^(a_r-1)，要使其为为2^t的形式必有p_k为费马素数且a_k=1，1≤k≤r。 所谓费马素数是指形为F_n=2^(2^n)+1形式的素数。当初费马猜想所有这种形状的数都是素数，他验证了前五个3，5，17，257，65537，这些都是素数。但是1738年欧拉证明了当n=5时，F_5=4294967297=641*6700417，因此他不是素数。事实是此后人们再也没有发现其他的费马素数，甚至猜想费马素数只有费马当初验证的5个数。
[关键词]角平分线和尺规作图教案
[文件] sxcbk0024.doc [科目] 数学 [关键词] 初二几何/教学结构/尺规作图/角平分线 [标题] 角平分线和尺规作图 [内容] 角平分线和尺规作图 【教学结构】 一角平分线 1.定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。这个定理说明了角平分线上的点的性质，是角平分线的性质定理。 2.定理2：到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。这个定理是制定某一个点是否在角的平分线上，是角平分线的判定定理。它是定理1的逆定理。 3.角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。这里包含两层意思，在一个角内，到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上；反过来，角的平分线上的点到角的两边距离都相等。 4.利用定理1和定理2可以证明两条线段相等或两个角相等。因此，在证题时，应注意直接应用这两个定理解决问题，避免绕远路，仍去找全等三角形，结果相当于重新证一次定理。 5.互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。 6.互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理。 7.定理作为一个命题一定有逆命题，由于逆命题不一定都是真命题，因此并不是所有的定理都有逆定理。例如：“对顶角相等”的逆命题是假命题，所以，“对顶角相等”这个定理没有逆定理。 二基本作图 1.尺规作图：在几何里，把限定用直尺和圆规来画图，叫做尺规作图。（直尺应设有刻度） 2.基本作图：最基本、最常用的尺规作图，通常称基本作图。 3.五种常用的基本作图： (1)作一条线段等于已知线段； (2)作一个角等于已知角； (3)平分已知角； (4)经过一点作已知直线的垂线； (5)作线段的垂直平分线。 4.掌握以下几何作图语句： (1)过点×、点×作直线××；或作直线××，或作射线××； (2)连接两点×、×；或连结××； (3)在××上截取××=××； (4)以点×为圆心，××为半径作圆（或弧）； (5)以点×为圆心，××为半径作弧，交××于点×； (6)分别以点×、点×为圆心，以××、××为半径作弧，两弧相交于点××；
尺规作图方法大全
a M 七年级数学期末复习资料（七） 尺规作图 【知识回顾】 1、尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图。一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。 2、五种基本作图： 1、作一条线段等于已知线段； 2、作一个角等于已知角； 3、作已知线段的垂直平分线； 4、作已知角的角平分线； 5、过一点作已知直线的垂线； （1）题目一：作一条线段等于已知线段。 已知：如图，线段a . 求作：线段AB ，使AB = a . 作法： （1） 作射线AP ； （2） 在射线AP 上截取AB=a . 则线段AB 就是所求作的图形。 （2）题目二：作已知线段的中点。 已知：如图，线段MN. 求作：点O ，使MO=NO （即O 是MN 的中点）. 作法： （１）分别以M 、N 为圆心，大于 的相同线段为半径画弧， 两弧相交于P ，Q ； （２）连接PQ 交MN 于O ． 则点O 就是所求作的ＭＮ的中点。 （3）题目三：作已知角的角平分线。 已知：如图，∠AOB ， 求作：射线OP, 使∠AOP ＝∠BOP （即OP 平分∠AOB ）。 作法： （1）以O 为圆心，任意长度为半径画弧， 分别交OA ，OB 于M ，N ； （2）分别以M 、Ｎ为圆心，大于 的线段长 为半径画弧，两弧交∠AOB 内于Ｐ； （3） 作射线OP 。 则射线OP 就是∠AOB 的角平分线。
③ ② ① P B A P （4）题目四：作一个角等于已知角。 已知：如图，∠AOB 。 求作：∠A ’O ’B ’，使A ’O ’B ’=∠AOB 作法： （1）作射线O ’A ’； （2）以O 为圆心，任意长度为半径画弧，交OA 于M ，交OB 于N ； （3）以O ’为圆心，以OM 的长为半径画弧，交O ’A ’于M ’； （4）以M ’为圆心，以MN 的长为半径画弧，交前弧于N ’； （5）连接O ’N ’并延长到B ’。 则∠A ’O ’B ’就是所求作的角。 （5）题目五：经过直线上一点做已知直线的垂线。 已知：如图，P 是直线AB 上一点。 求作：直线CD ，是CD 经过点P ，且CD ⊥AB 。 作法： （1）以P 为圆心，任意长为半径画弧，交AB 于M 、N ； （2）分别以M 、N 为圆心，大于 MN 2 1 的长为半径画弧，两弧交于点Q ； （3）过D 、Q 作直线CD 。 则直线CD 是求作的直线。 （6）题目六：经过直线外一点作已知直线的垂线 已知：如图，直线AB 及外一点P 。 求作：直线CD ，使CD 经过点P ， 且CD ⊥AB 。
正十七边形尺规作图和详解
解读“数学王子”高斯正十七边形的作法 一、高斯的传奇故事 高斯(Carl Friedrich Gauss 1777.4.30~1855.2.23），德国数学家、物理学家、天文学家。有一天，年幼的高斯在一旁看著作水泥工厂工头的父亲计算工人们的周薪。父亲算了好一会儿，终于将结果算出来了。可是万万没想到，他身边传来幼嫩的童音说：“爸爸，你算错了，总数应该是……”父亲感到很惊异，赶忙再算一遍，结果证实高斯的答案是对的。这时的高斯只有3岁！ 高斯上小学了，教他们数学的老师布特勒(Buttner)是一个态度恶劣的人，他讲课时从不考虑学生的接受能力，有时还用鞭子惩罚学生。有一天，布德勒让全班学生计算 1+2+3+4+5+……+98+99+100＝？的总和，并且威胁说：“谁算不出来，就不准回家吃饭！”布德勒说完，就坐在一旁独自看起小说来，因为他认为，做这样一道题目是需要些时间的。小朋友们开始计算：“1 + 2 ＝3，3+3＝6，6+4＝10，……”数越来越大，计算越来越困难。但是不久，高斯就拿着写着解答的小石板走到布德勒的身边。高斯说：“老师，我做完了，你看对不对？“做完了？这么快就做完了？肯定是乱做的！”布德勒连头都没抬，挥挥手说：“错了，错了！回去再算！”高斯站着不走，把小石板往前伸了伸说：“我这个答案是对的。” 布德勒抬头一看，大吃一惊。小石板上写着 5050，一点也没有错！高斯的算法是 1 ＋ 2 ＋3＋……＋98＋99＋100 100＋99＋98＋……＋3＋ 2＋1 101＋101＋101＋……＋101＋101＋101＝101×100＝10100 10100÷2＝5050 高斯并不知道，他用的这种方法，其实就是古代数学家经过长期努力才找出来的求等差数列和的方法，那时他才八岁！ 1796年的一天，德国哥廷根大学。高斯吃完晚饭，开始做导师给他单独布置的三道数学题。前两道题他不费吹灰之力就做了出来了。第三道题写在另一小纸条上：要求只用圆规和没有刻度的直尺，作出一个正十七边形。
正n边形的尺规作图方法
几何三大问题如果不限制作图工具，便很容易解决.从历史上看，好些数学结果是为解决三大问题而得出的副产品，特别是开创了对圆锥曲线的研究，发现了一批著名的曲线，等等.不仅如此，三大问题还和近代的方程论、群论等数学分支发生了关系. 正五边形的画法] (1)已知边长作正五边形的近似画法如下: ①作线段AB等于定长l,并分别以A,B为圆心,已知长l为半径画弧与AB的中垂线交于K. ②以K为圆心，取AB的2/3长度为半径向外侧取C点，使CK=2/3AB. ③以C为圆心,已知边长AB为半径画弧,分别与前两弧相交于M,N. ④顺次连接A,B,N,C,M各点即近似作得所要求的正五边形. (2) 圆内接正五边形的画法如下: ①以O为圆心,定长R为半径画圆,并作互相垂直的直径MN和AP. ②平分半径ON,得OK=KN. ③以K为圆心,KA为半径画弧与OM交于H, AH即为正五边形的边长. ④以AH为弦长,在圆周上截得A,B,C,D,E各点,顺次连接这些点即得正五边形. （3）.民间口诀画正五边形 口诀介绍:"九五顶五九,八五两边分." 作法: 画法: 1.画线段AB=20mm, 2.作线段AB的垂直平分线,垂足为G. 3.在l上连续截取GH,HD,使GH=5.9/5*10mm=19mm, HD=5.9/5*10mm=11.8mm 4.过H作EC⊥CG,在EC上截取HC=HE=8/5*10mm=16mm, 5.连结DE,EA,EC,BC,CD, 五边形ABCDE就是边长为20mm的近似正五边形. （4） 1.画一条水平线，通过此线上的任意点做一个圆。 2.将圆规的一腿放在圆与直线的其一交点上，通过上述圆的圆心画半圆，并 与之交两点。连接这两点做垂直线，与先前的水平线相交与(a)点.
八(下)垂直平分线和角平分线尺规作图训练
垂直平分线和角平分线尺规作图训练 1. 已知线段AB 。 （1）用尺规作图的方法作出线段AB 的垂直平分线（保留作图痕迹，不要求写出作法） （2）在（1）中所作的直线上任意取两点M ，N （线段AB 的上方），连接AM ，AN ，BM ，BN 。求证：∠MAN=∠MBN 2. 已知：等腰三角形的底边a 及底边上的高b ，求作：等腰三角形ABC 。 b a 3. 已知∠β为等腰三角形的一个内角，a 为腰长，求作等腰三角形ABC 。 β a 4. 已知：如图，直线AB 与直线BC 相交于点B ，点D 是直线BC 上一点。 求作：点E ，使直线DE ∥AB ，且点E 到B 、D 两点的距离相等。（在题目的原图中完成作图） 结论： BE=DE 。
5. 如图，在等腰直角三角形ABC 中，AB=BC ，∠B=36°。 （1）用尺规作BC 边的垂直平分线，交AB 于点D ，连接CD 。（不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：△ACD 为等腰三角形。 6. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°。 （1）尺规作图：作线段AB 的垂直平分线a （不写作法，保留作图痕迹） （2）在已作图形中，若a 分别交AB ，AC 及BC 的延长线于点D ，E ，F ，连 接BE 。求证：EF=2DE 。 C B A 7. 为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在北张镇新建一个医疗点P ，使我镇所属A 村、B 村、C 村的村委会所在地的距离都相等（A ，B ，C 不在同一直线上，地理位置如图所示），请你用尺规作图的方法确定点P 的位置。 要求：写出已知、求作；不写作法，保留作图痕迹。 村 B 村 A 8. 作图题（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （1）在图1∠AOB 内部求作一点P ，使PC=PD ，并且点P 到∠AOB 两边的距 离相等。 （2）如图2，进过平移，△ABC 的顶点A 移到了点D 。做出平移后的△DEF 。 图2 图1 A C B
高斯与正十七边形尺规作图法
高斯与正十七边形尺规作图法 【作图原理】 首先要给出一条定理。 定理1： 若长为|a|,|b|的线段可以用几何方法做出来，那么长为|c|的线段也能用几何方法做出的， 其中c是方程的实根。 上面的定理实际上就是在有线段长度|a|和|b|的时候，做出长为的线段。 而要在一个单位圆中做出正十七边形，主要就是做出长度是的线段。 设 则有 即是方程的根，由定理1可知，长为和的线段可以 做出。 令
则有 同样由定理1可知，长度是的线段都可以做出来的。 再由 这样，是方程较大的实根。显然也可以做出来。证毕 1、OD=1/4， 2、OA=1， 3、DA=170.5/4， 4、OA1=(170.5-1)/16， 5、A1A=(17-170.5)/16， 6、DA1=(34-2*170.5)0.5 7、O O1=(170.5+1)*((34-2*170.5)0.5-4)/64，8、O1A1= OA1-O O1， 9、DO1=（1/16+ O O12）0.5，10、OJ=(1-4* O O1)/4( 1+4* O O1)， 11、DJ=(16+OJ2)，12、AK=JK=KL=（1+OJ）/2，13、OK=1-AK， 14、O1K=OK-OO1，15、OL=（KL2-OK2）0.5，
16、O1L= O1 M =（OL2+ O O12）0.5， 17、OM=OM1+ O O1=（O O12+OJ）0.5+ O O1=COS3a，OJ=OL2， 18、LA=(1+OL2)0.5，
设正17边形中心角为α,则17α=360度,即16α=2π-α故sin16α=-sinα,又 sin16α =2sin8αcos8α=22sin4αcos4αcos8α=2 4 sinαcosαcos2αcos4αcos8α 因sinα不等于0,两边同除有: 16cosαcos2αcos4αcos8α=-1 又由2cosαcos2α=cosα+cos3α等,有 2(cosα+cos2α+…+cos8α)=-1 注意到cos15α=cos2α,cos12α=cos5α, 令 x=cosα+cos2α+cos4α+cos8α y=cos3α+cos5α+cos6α+cos7α 有: x+y=-1/2 又xy=(cosα+cos2α+cos4α+cos8α)(cos3α+cos5α+cos6α+cos7α) =1/2(cos2α+cos4α+cos4α+cos6α+…+cosα+cos15α) 经计算知xy=-1 又有 x=(-1+√17)/4,y=(-1-√17)/4 其次再设:x1=cosα+cos4α,
《利用尺规作图作角平分线》试题
《尺规作图角平分线》试题 1. 如图，根据尺规作图所留痕迹，可以求出∠ADC=( ) A . 60° B.70° C. 110°D. 120° 答案：B 解析：：∵∠B=50°，∠C=90°， ∴∠CAB=40°， 观察作图痕迹知：AD平分∠CAB， ∴∠DAB=20°， ∴∠ADC=50°+20°=70°. 故答案为：B 难度：中等 知识点：尺规作图作角平分线 2. 一个角的平分线的尺规作图的理论依据是（） A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 答案：B 解析：连接NC，MC， 在△ONC和△OMC中， MC=NC PM=ON OC=OC ∴△ONC≌△OMC（SSS）， ∴∠AOC=∠BOC，
故选B. 难度：中等 知识点：尺规作图作角平分线 3.如图，下面是利用尺规作∠AOB的角平分线OC的作法，在用尺规作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（） 作法： ①以O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，E； ②分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内交于一点C； ③画射线OC，射线OC就是∠AOB的角平分线 A．ASA B．SAS C．SSS D．AAS 答案：C 解析;由作图过程可得：OE=OD，EC=DC，OC=OC， 所以可以利用SSS来判定△OEC≌△ODC，得到∠BOC=∠AOC，所以OC为∠AOB的平分线， 故选：C 难度：中等 知识点：尺规作图角平分线的做法 4. 观察图中尺规作图痕迹，下列结论错误的是（） A．PQ为∠APB的平分线 B．PA=PB
C ．点A 、B 到PQ 的距离不相等 D ．∠APQ=∠BPQ 答案：C 解析：∵由图可知，PQ 是∠APB 的平分线， ∴A ，B ，D 正确； ∵PQ 是∠APB 的平分线，PA=PB ， ∴点A 、B 到PQ 的距离相等，故C 错误． 故选C 难度：较易 知识点：尺规作图作角平分线 5. 如图，尺规作图作∠AOB 的平分线的方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于点C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，大于0.5CD 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ．由作法得△OCP ≌△ODP 从而得两角相等的根据是（ ） A ．SAS B ．SSS C ．AAS D ．ASA 答案：C 解析：∵以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA ，OB 于C ，D ，即OC=OD ； 以点C ，D 为圆心，以大于 12 CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，即CP=DP ； ∴在△OCP 和△ODP 中， OC OD OP OP CP DP =??=??=? ∴△OCP ≌△ODP （SSS ）． 故选B ． 难度：容易 知识点：尺规作图作角平分线 6. 如图是用尺规作一个角的角平分线的示意图，其根据是构造两个三角形全等．由作法知，
尺规作图 角平分线教学内容
尺规作图角平分线
一、尺规作图 1.作一个角等于已知角的方法 已知：∠AOB，求作：∠A′O′B′=∠AOB. 作法： 1.以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D； 2.画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′； 3.以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点D′； 4.过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB. 2.先任意画出一个△ABC.再画一个△A′B′C′，使 A′ B′=AB , B′C′=BC，C′A′ =CA. 作法： 画一个△A′B′C′，使A′B′=AB, A′C′=AC，B′C′=BC ： （1）画B′C′=BC； （2)分别以点B′,C′为圆心，线段AB，AC长为半径 画弧，两弧相交于点A′; (3)连接线段A′B′，A′C′. O A B C D O′ A′ B′ C′ D′
二、角的平分线 导入： 小明家居住在通州区一栋居民楼的一楼，刚好位于一条暖气和天然气管道所成角的平分线上的P点，要从P 点建成两条管道，分别与暖气管道和天然气管道相连. 问题1：怎样修建管道最短？ 问题2: 新修建的两条管道的长有什么关系，画来看一看. 角的平分线的画法 图12.3-1是一个平分角的仪器，其中AB= AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD 着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是这个角的平分线,你能说明它的道理吗？ 作已知角的平分线的方法. 已知：∠AOB. 求作：∠AOB的平分线.
作法：（1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N. (2)分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点C. (3)画射线OC.射线OC即为所求（如图). 理论根据：作角平分线的理论根据是三角形全等的判定方法：“SSS”． 拓展：根据角平分线的作法还可以作已知角的四等分线． 注意：“大于 MN的长为半径画弧”是因为若以小或等于 MN 的长为半径画弧时，画出的两弧不能相交． 如图所示，已知∠AOB，求作：∠AOM＝∠AOB. 角的平分线的性质 如图12.3-3，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC.在OC上任取一点P，点P 画出OA，OB的垂线，分别记垂足为D，E，测量PD，PE并作比较，你得到什么结论？在OC上再取几个点试一试. 1 2 1 2 1 2 1 4
初中尺规作图详细讲解(含图)
初中尺规作图详细讲解 (含图) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
初中数学尺规作图讲解 初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法.最简单的尺规作图有如下三条： ⑴经过两已知点可以画一条直线； ⑵已知圆心和半径可以作一圆； ⑶两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点； 以上三条，叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题. 历史上，最著名的尺规作图不能问题是： ⑴三等分角问题：三等分一个任意角； ⑵倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍； ⑶化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积. 这三个问题后被称为“几何作图三大问题”.直至1837年，万芝尔（Pierre Laurent Wantzel）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882年，德国数学家林德曼（Ferdinand Lindemann）证明π是一个超越数（即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数），由此即可推得根号π(即当圆半径1 r 时所求正方形的边长）不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题. 若干著名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论.尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意.数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书. 还有另外两个著名问题： ⑴正多边形作法 ·只使用直尺和圆规，作正五边形. ·只使用直尺和圆规，作正六边形. ·只使用直尺和圆规，作正七边形——这个看上去非常简单的题目，曾经使许多著名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作出的.