等腰三角形的性质(1)
1等腰三角形的性质课件(1)
概念巩固
• 等腰三角形的定义是什么？
有两条边相等的三角形是等腰三角形.
• 如图,在△ABC中,AB=AC,我们就说△ABC是等腰三角形
A
顶 腰角
相等的两边AB和AC叫做腰，另一 边BC叫做底边；
B 底角 底边
两腰所夹的角叫做顶角（如∠A），一腰 与底边所夹的角叫底角（如∠B、∠C）。
_A_D_⊥__B_C_（__等__腰__三__角_ 形底边上的中线是底边上的高）
等腰三角形的三线合一
等腰三角形的性质二： 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的 高互相重合（简称“等腰三角形的三线合一”）
A
符号语言3
在△ABC中，
∵AB=AC, AD⊥BC（已知）
B
D
C
∴∠__B_A_D_=_∠__C_AD（等腰三角形底边上的高是顶角平分线）
（条件）已知，在△ABC中，AB=AC，
（结论）说明∠B=∠C的理由.
A
解：取底边BC的中点D，联结AD
∵D是BC的中点（已作）
∴BD=CD（线段中点的意义）.
在△ABD与△ACD中， AB=AC(已知)
B
D
C
BD=CD(已求)
AD=AD(公共边)
∴△ABD≌△ACD（S.S.S）.
∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）
D
C
∴∠ADB=∠ADC（全等三角形的对应角相等）
又∵∠ADB+∠ADC=180°（邻补角的意义）
∴2∠ADB=2∠ADC=180°（等量代换）
∴∠ADB=∠ADC=90°（等式性质）
性质探究
思考2：通过这些结论你发现了什么？
等腰三角形的性质(1)
2x B C
⌒ x
设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x, 从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x,
于是在△ABC中，有 ∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，
解得x=36°，
在△ABC中， ∠A=36°， ∠ABC=∠C=72°
课后思考
如图：△ABC中，AB=AC,AD和BE是高，它们相 交于点H，且AE=BE。 求证：AH=2BD
B D
F
C
∴∠BED＝∠CFD 又∵D是BC中点（已知）
∴BD＝DC
∵AB＝AC（已知） ∴∠B＝∠C（等边对等角）
方法二：连AD 。
∵AB＝AC，BD＝DC（已知） ∴AD是∠BAC的平分线。 （等腰三角形三线合一） 又∵DE⊥AB DF⊥AC ∴DE＝DF （角平分线上的点到这个
在△DBE与△DCF中
重合的线段
重合的角
A
AB＝AC BD＝CD AD＝AD
∠B ＝ ∠C.
∠BAD ＝ ∠CAD ∠ADB ＝ ∠ADC
B D C
大胆猜想
等腰三角形除了两腰相等以外, 你还能发现它的其他性质吗?
猜想与论证
猜想
等腰三角形的两个底角相等. 简写成“等边对等角”。 已知：△ABC中，AB=AC
A
求证：∠B=C
如图，已知△ABC中，AB=AC,F在AC上，在 BA的延长线上截取AE=AF,求证：ED⊥BC
E
A
F
B
D
C
课 外 作 业 ：
习题
P149
14.3
D1 D4 D6
谈谈你的收获！
性质1
:
等腰三角形的性质(1)
3. 如图，△ABC中，AB=AC，D在BC上， DE⊥AB于E，DF⊥BC交AC于点F，若 ∠EDF=70°，求∠AFD的度数
A
F
E B C
D
∠AFD=160°
系统总结
通过本节课的学习，同学们说一 说自己的收获：
作业
课本14页
练习： 1、2、3
因为如果底角大于或等于 90 ，则２倍底角 大于或等于 180 ，这样三角形的内角和就大 于 180 ，显然不可能
2.填空题 ⑴.如果等腰三角形的一个底角为 50 ， 80 50 那么其余两个角为____和____.
⑵.如果等腰三角形的顶角为 80 ，那么 它的一个底角为____. 50
§1.4 等腰三角形(1)
授课教师：徐承波
宁阳十中
初二备课组
几种常见等腰三角形：
A
B
C
有两条边相等
等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边， 两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
展示交流
交流预习成果， 解决共性和个性问题
精讲点拨
做一张等腰三角形的半透明纸片，每个人的等腰三角形可 以不一样，如图把纸片对折，让两腰AB、AC重叠在一起， 折痕为AD.你能发现什么现象吗？
A
A
B
D
C
B
D
C
• 等腰三角形是轴对称图形 • ∠B=∠C 等腰三角形两个底角相等 简写成“等边对等角” • ∠BAD=∠CAD，AD为顶角平分线 简称“三线合一” • ∠ADB=∠ADC ，AD为底边上的高线 • BD=CD，AD为底边上的中线 等腰三角形的顶角 平分线、底边上的 中线、底边上的高 互相重合
C
等腰三角形的性质
等腰三角形的性质等腰三角形是指至少有两边相等的三角形，相等的两个边称为这个三角形的腰。
1等腰三角形性质1、等腰三角形的两个底角度数相等（等边对等角）。
2、等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（等腰三角形三线合一）。
3、等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
4、等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
5、等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
6、等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
7、一般的等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。
但等边三角形（特殊的等腰三角形）有三条对称轴。
每个角的角平分线所在的直线，三条中线所在的直线，和高所在的直线就是等边三角形的对称轴。
8、等腰三角形中腰长的平方等于底边上高的平方加底的一半的平方（勾股定理）。
9、等腰三角形的腰与它的高的关系：腰大于高；腰的平方等于高的平方加底的一半的平方。
2等腰三角形定义至少有两边相等的三角形叫做等腰三角形。
等腰三角形中，相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。
两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
等腰三角形中，相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。
两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
3等腰三角形判定方法定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
判定定理：在同一三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。
除了以上两种基本方法以外，还有如下判定的方式：1、在一个三角形中，如果一个角的平分线与该角对边上的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该角为顶角。
2、在一个三角形中，如果一个角的平分线与该角对边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该角为顶角。
3、在一个三角形中，如果一条边上的中线与该边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该边为底边。
等腰三角形的性质( 一 )
A
100°
C
D
（4） 如果等腰三角形中一个角是另一个角的两倍， 那么它的底角是_7_2_或__4_5_°___度
小结：当等腰三角形中遇“角”的计算问题， 需对各种可能的情况分类讨论
A
如何求等边三角形ABC的内角 度数？
2α
(1) FA=FB BC=BF
5α=180° 结论：∠A=36°
F F
2α
Cα
C
2α
3α
B
B (2) FA=FB C
(3) FA=FB
CB=CF 7α=180°
∠A= 1800 7
FB=FC
提示：等腰三角形，遇到边不确定时要 分类讨论
3. 如图，AD，BE是等边三角形ABC的两条角平分线， AD、BE相交于点O. 求∠AOB的度数.
等腰三角形一条腰上的高与另一条腰 的夹角是50°，试求出它顶角的度数
50°
50°
顶角是40°
顶角140°
提示：等腰三角形遇“高线”问题中，要考虑高线在 三角形内部和外部两种情形。
2.3 等腰三角形的性质定理（1）
（1）有_两__边__相__等___的三角形 叫做等腰三角形
A
(2) 底边和腰相等的等腰三角形
已知△ABC的三条边长分别为4,4,6,在△ABC所在平面 内画一条直线,将△ABC分成两个三角形,使其中的一个 为等腰三角形,则这样的直线最多可画 ( ) A.3条 B.4条 C.5条 D.6条
14.如图在直线a上找一点M,使△MAB是等腰三角形, 这样的点M有________个,并在图中画出来,保留作 图痕迹.
等腰三角形的性质与应用
等腰三角形的性质与应用知识点1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形有两边相等；（2）对称性：等腰三角形是轴对称图形,等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴,或底边上的高所在的直线是它的对称轴,或顶角的平分线所在的直线是它的对称轴.（3）三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.（4）等边对等角：等腰三角形的两个底角相等.知识点2、等腰三角形的判定定理定理：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）.知识点3、等边三角形的性质与判定1.等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°.2.等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴.3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.4.拓展：等边三角形是一种特殊的三角形，容易知道等边三角形的三条高（或三条中线、三条角平分线）都相等.知识点4、等腰三角形性质的应用（1）等腰三角形两底角的平分线相等；（2）等腰三角形两腰上的中线相等；（3）等腰三角形两腰上的高相等；（4）等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等.知识点5、等腰三角形中常用的辅助线等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，要视具体情况来定。
经典例题例1.如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M.求证：M是BE的中点.例2.如图，已知：中，，D是BC上一点，且，求的度数.例3.已知：如图，中，于D.求证：.例 4.如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别为∠ABC与∠ACB的角平分线，且相交于点F，则图中的等腰三角形有（ ）A. 6个B. 7个C. 8个D. 9个例5.已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F分别是垂足.求证：AE＝AF.例6.如图，△ABC中，AB＝AC，D，E分别是BC，AC上的点，∠BAD与∠CDE满足什么条件时AD＝AE？写出你的推理过程．例7.如图，延长△ABC的各边，使得BF＝AC，AE＝CD＝AB，顺次连结D，E，F，得到△DEF为等边三角形．求证：(1)△AEF≌△CDE；(2)△ABC为等边三角形．例8.数学课上，李老师出示了如下框中的题目．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：(1)特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB(填“>”、“<”或“=”)．(2)特例启发，解答题目题目中，AE与DB的大小关系是：AEDB（填“>”、“<”或“=”）．理由如下：如图2，过点E作交AC于点F（请你完成以下解答过程）例9.如图，在四边形ABDC中，AB=2AC，试判断DC与AC的位置关系，并证明你的结论．例10.已知为不等边三角形，于D点，求证：D点到AB、AC边的距离必不相等．例11.如图，为等边三角形，D、E分别是AC、BC上的点，且AD=CE，AE 与BD相交于点P，于F.求证：BP=2PF.。
等腰三角形的性质(一)
等腰三角形的性质（一）等腰三角形是一种具有特殊性质的三角形。
在等腰三角形中，两个边的长度相等，两个底角（与两个边相对的角）也相等。
1. 等腰三角形的定义等腰三角形是指具有两条边长相等的三角形。
在等腰三角形中，两条边相等的那两边通常称为“腰”，而较短的那条边则称为“底”。
等腰三角形的底角通常也是相等的。
2. 等腰三角形的性质2.1 两边性质在等腰三角形中，两条腰的长度相等。
这意味着如果我们将等腰三角形的两条腰进行任意交换位置，得到的仍然是一个等腰三角形。
2.2 底角性质在等腰三角形中，两个底角的大小相等。
这也可以理解为等腰三角形的对称性，两个底角相互对应。
2.3 高的性质等腰三角形中的高是腰中线、腰高和底边的三边中最短的边。
高的长度可以通过应用勾股定理或使用三角函数来计算。
2.4 对称性质等腰三角形具有对称性。
如果我们绕等腰三角形的对称轴（通常为高线）旋转180度，等腰三角形将与原来的位置完全重叠。
2.5 直角三角形在等腰三角形中，如果两个底角之一为直角（90度），则这个等腰三角形也是一个直角三角形。
2.6 等边三角形等腰三角形中的特殊情况是等边三角形。
等边三角形即三边长度相等的三角形，也是一种等腰三角形。
3. 等腰三角形的应用等腰三角形在几何学中有广泛的应用。
下面列举一些等腰三角形的应用场景：•建筑设计：在建筑设计中，等腰三角形常用于设计房屋的屋顶或者侧面的装饰图案。
•地理测量：在地理测量中，等腰三角形可用于计算高度、距离和角度等参数。
•航海导航：在航海导航中，等腰三角形可用于计算经纬度、航向和航速等信息。
•数学证明：在数学证明中，等腰三角形的性质常用于推导其他几何定理或性质。
4. 总结等腰三角形是一种具有特殊性质的三角形。
在等腰三角形中，两条边的长度相等，两个底角也相等。
等腰三角形的性质包括两边性质、底角性质、高的性质、对称性质、直角三角形和等边三角形等。
等腰三角形在几何学、建筑设计、地理测量、航海导航和数学证明等领域都有广泛的应用。
等腰三角形的性质 (1)精选全文
如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且 AD=BD。找出图中相等的角并说明理由。
解： ∠B= ∠C= ∠1, ∠3= ∠BAC.
因为AB=AC,AD=BD,
A
所以∠C= ∠B, ∠B= ∠1.
12
理由是：等边对等角.
3
从而∠C= ∠1,
B
D
C
因为∠3是△ADC的外角,
所以∠3= ∠C+ ∠2.
理由是：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
而∠C= ∠1, 所以∠3= ∠1+ ∠2= ∠BAC.
（四）巩固新知，前后呼应
(1）你能解释设计师造斜拉索大桥为何用等腰三角形了吗？
(2）将大桥的结构简化，抽象成如图所示的图形。
在△ABC中，AB=AC，BD=CD，∠BAC=110°，你还能得到 图中其他哪些角的度数？并说明理由。
B
C
AD⊥BC。D（3）因为AD⊥BC，
所以 ∠DAB=∠DAC ，
BD=DC
。
（三）应用新知，体验成功
1．等腰三角形顶角为50°，则底角为 65°。
2．等腰三角形有一个角为90°，那么其他两个 角的度数为 45°、45° 。
3．等腰三角形有一个角是50°，那么其他两个 角的度数是 50°、80°或65°、65°。
A
钢索
桥
塔
B
D
桥面
C
(3)你能设计一种方案帮工人师傅确定桥塔的位置吗?说明选用的 工具和方案的依据.和同学交流你的想法.
(4)如果告诉你钢索AB=200m,你能得到哪些线段的长?
（五）小结：
通过学生谈收获，对本节课的知识进行回顾与反 思；通过老师谈收获，对学生进行及时的阶段性 评价，表扬突出的学生和善于合作的小组，同时 对本节课的精彩部分进行必要的点评，激励学生 勇于探索勇于实践。
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2、 在下列的等腰三角形中，分别求出它们的 底角的度数 ．
40
3、已知等腰三角形的一个角等于8100°°，求另 外两个角的度数．
探究 等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形是轴对称图形
1其些、性性中把质重质剪呢合2出？的：的（说线等等简一段腰腰说和写三三你角角成的。角形“猜你形A想能B等C的？发沿边并现折两对进等痕底等行腰对角验三折角相证角，”。形找等的出。）哪
∴ ∠ BAD=∠ CAD A⊥D BC.
（3） ∵ AD是角平分线，（∠ BAD =∠ CAD）
∴习
如图：△ABC是等腰直角三角形（AB=AC， ∠BAC=90°），AD是底边BC上的高，标出 ∠B，∠C，∠BAD，∠DAC的度数。图中有哪些 相等的线段？
∴ BD = CD ∠BAD =∠CAD
A
∵ AB = AC ∠BAD =∠CAD ∴ BD = CD AD⊥BC
∵ AB = AC BD = CD B
D
C
∴ AD⊥BC ∠BAD =∠CAD
反馈练习
在△ABC中，AB=AC，
（1） ∵ AD⊥BC，
∴ ∠ BAD=∠ CAD BD= C.D
A
（2） ∵ AD是中线， (BD = CD)
A
B
C
例1:如图，在△ABC中， AB=AC ,点D在AC边上， 且BD＝BC=AD，求△ABC各角的度数．
A
你能试着解答吗？
D
B
C
等腰三角形
等腰三角形是轴对称图形
性质2：等边对等角
常用来证明两角相 等，求等腰三角形 各角的度数．
性质3：“三线合一”
研究等腰三角形的 有关问题时“三线” 是常用的辅助线．
数学语言表述性质2：
∵ AB=AC ∴ ∠B =∠C
A
B
D
C
探究 等腰三角形的性质
2性、说质说2△：A等BC中腰的三线角段形AD有的什顶么角特殊的性平？分你线又能， 发现等腰三角底形边的上哪的些性中质线呢，？底边上的高互
相重合.（简称“三线合一” ）
数学语言表述性质3：
∵ AB = AC AD⊥BC
等腰三角形
乌鲁木齐市第八十六中：袁硕
探究
如图12.3-1拿出一张长方形的纸按图 中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它打 开，得到的三角形ABC有什么特点？
A
△ABC是轴对称图形
顶角
腰
腰
B 底角 底角 C
底边
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
反馈练习
1、已知等腰三角形的两边长分别是43和和67，则