2022年江苏省无锡市中考数学试卷

2022年江苏省无锡市中考数学试卷1.−7的倒数是( )A．17B．7C．−17D．−72.函数y=2+√3x−1中自变量x的取值范围是( )A．x≥2B．x≥13C．x≤13D．x≠133.已知一组数据：21，23，25，25，26，这组数据的平均数和中位数分别是( )A．24，25B．24，24C．25，24D．25，254.若x+y=2，z−y=−3，则x+z的值等于( )A．5B．1C．−1D．−55.正十边形的每一个外角的度数为( )A．36∘B．30∘C．144∘D．150∘6.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )A．圆B．等腰三角形C．平行四边形D．菱形7.下列选项错误的是( )A．cos60∘=12B．a2⋅a3=a5C．√2=√22D．2(x−2y)=2x−2y8.反比例函数y=kx 与一次函数y=815x+1615的图形有一个交点B(12,m)，则k的值为( )A．1B．2C．23D．439.如图，在四边形ABCD中(AB>CD)，∠ABC=∠BCD=90∘，AB=3，BC=√3，把Rt△ABC沿着AC翻折得到Rt△AEC，若tan∠AED=√32，则线段DE的长度为( )A．√63B．√73C．√32D．2√7510.如图，等边△ABC的边长为3，点D在边AC上，AD=12，线段PQ在边BA上运动，PQ=12，有下列结论：① CP与QD可能相等；② △AQD与△BCP可能相似；③四边形PCDQ面积的最大值为31√316；④四边形PCDQ周长的最小值为3+√372．其中，正确结论的序号为( )A．①④B．②④C．①③D．②③11.因式分解：ab2−2ab+a=．12.2022年我市地区生产总值逼近12000亿元，用科学记数法表示12000是．13.已知圆锥的底面半径为1cm，高为√3cm，则它的侧面展开图的面积为=．14.如图，在菱形ABCD中，∠B=50∘，点E在CD上，若AE=AC，则∠BAE=．15.请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为y轴：．16.我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这段话的意思是：用绳子最井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺，井深几尺？则该问题的井深是 尺．17. 二次函数 y =ax 2−3ax +3 的图象过点 A (6,0)，且与 y 轴交于点 B ，点 M 在该抛物线的对称轴上，若 △ABM 是以 AB 为直角边的直角三角形，则点 M 的坐标为 ．18. 如图，在 Rt △ABC 中，∠ACB =90∘，AB =4，点 D ，E 分别在边 AB ，AC 上，且 DB =2AD ，AE =3EC ，连接 BE ，CD ，相交于点 O ，则 △ABO 面积最大值为 ．19. 计算：(1) (−2)2+∣−5∣−√16； (2) a−1a−b −1+bb−a ．20. 解方程．(1) x 2+x −1=0； (2) {−2x ≤0,4x +1<5.21. 如图，已知 AB ∥CD ，AB =CD ，BE =CF ．求证：(1) △ABF ≌△DCE ； (2) AF ∥DE ．22. 现有 4 张正面分别写有数字 1，2，3，4 的卡片，将 4 张卡片的背面朝上，洗匀．(1) 若从中任意抽取 1 张，抽的卡片上的数字恰好为 3 的概率是 ．(2) 若先从中任意抽取 1 张（不放回），再从余下的 3 张中任意抽取 1 张，求抽得的 2 张卡片上的数字之和为 3 的倍数的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）23. 小李 2014 年参加工作，每年年底都把本年度收入减去支出后余额存入银行（存款利息记入收入），2014 年底到 2022 年底，小李的银行存款余额变化情况如下表所示：（单位：万元）年份2014 年2022 年2022 年2022 年2022 年2022 年收入389a 1418支出1456c 6存款余额261015b34(1) 表格中 a = ；(2) 请把下面的条形统计图补充完整（画图后标注相应的数据）；(3) 请问小李在哪一年的支出最多？支出了多少万元？24. 如图，已知 △ABC 是锐角三角形（AC <AB ）．(1) 请在图 1 中用无刻度的直尺和圆规作图；作直线 l ，使 l 上的各点到 B ，C 两点的距离相等；设直线 l 与 AB ，BC 分别交于点 M ，N ，作一个圆，使得圆心 O 在线段 MN 上，且与边 AB ，BC 相切；（不写作法，保留作图痕迹）(2) 在（1）的条件下，若 BM =53，BC =2，则 ⊙O 的半径为 ．25. 如图，DB 过 ⊙O 的圆心，交 ⊙O 于点 A ，B ，DC 是 ⊙O 的切线，点 C 是切点，已知∠D =30∘，DC =√3．(1) 求证：△BOC ∽△BCD ； (2) 求 △BCD 的周长．26. 有一块矩形地块 ABCD ，AB =20 米，BC =30 米，为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形 ABCD 分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为 x 米．现决定在等腰梯形 AEHD 和 BCGF 中种植甲种花卉；在等腰梯形 ABFE 和 CDHG 中种植乙种花卉；在矩形EFGH中种植丙种花卉．甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/米2、60元/米2、40元/米2，设三种花卉的种植总成本为y元．(1) 当x=5时，求种植总成本y；(2) 求种植总成本y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；(3) 若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120米2，求三种花卉的最低种植总成本．27.如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，点E为边CD上的一点（与C，D不重合）四边形ABCE关于直线AE的对称图形为四边形ANME，延长ME交AB与点P，记四边形PADE的面积为S．(1) 若DE=√33，求S的值；(2) 设DE=x，求S关于x的函数表达式．28.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线OA交二次函数y=14x2的图象于点A，∠AOB= 90∘，点B在该二次函数的图象上，设过点(0,m)（其中m>0）且平行于x轴的直线交直线OA于点M，交直线OB于点N，以线段OM，ON为邻边作矩形OMPN．(1) 若点A的横坐标为8．①用含m的代数式表示M的坐标；②点P能否落在该二次函数的图象上？若能，求出m的值；若不能，请说明理由；(2) 当m=2时，若点P恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满足条件的所有直线OA的函数表达式．答案1. 【答案】C【解析】−7的倒数为：1÷(−7)=−17．2. 【答案】B【解析】由已知，3x−1≥0可知x≥13．3. 【答案】A【解析】这组数据的平均数是：(21+23+25+25+26)÷5=24；把这组数据从小到大排列为：21，23，25，25，26，最中间的数是25，则中位数是25．4. 【答案】C【解析】∵x+y=2，z−y=−3，∴(x+y)+(z−y)=x+z=−1，∴x+z的值等于−1．5. 【答案】A【解析】360∘÷10=36∘．6. 【答案】B【解析】A．圆是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；B．等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确；C．平行四边形是不轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D．菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误．7. 【答案】D【解析】A．cos60∘=12，本选项不合题意；B．a2⋅a3=a5，本选项不合题意；C．√2=√22，本选项不合题意；D．2(x−2y)=2x−4y，故本选项符合题意．8. 【答案】C【解析】由题意，把B(12,m)代入y=815x+1615，得m=43．∴B(12,43 )．∵点B为反比例函数y=kx 与一次函数y=815x+1615的交点，∴k=x⋅y．∴k=12×43=23．9. 【答案】B【解析】如图．∵∠B=90∘，BC=√3，AB=3，∴∠BAC=30∘，∴AC=2√3，∵∠DCB=90∘，∴CD∥AB，∴∠DCA=30∘，延长CD交AE于F，∴AF=CF=2，则EF=1，∠EFD=60∘，过点D作DG⊥EF，设DG=√3x，则GE=2x，ED=√7x，∴FG=1−2x，∴在Rt△FGD中，√3FG=GD，即√3(1−2x)=√3x，解得：x=13，∴ED=√73．10. 【答案】D【解析】①因为线段PQ在边BA上运动，PQ=12，所以QD<AP≤CP，所以CP与QD不可能相等，则①错误；②设AQ=x，因为 PQ =12，AB =3，所以 0≤AQ ≤3−12=2.5，即 0≤x ≤2.5，假设 △AQD 与 △BCP 相似， 因为 ∠A =∠B =60∘， 所以 ADBP =AQBC ，即 123−12−x =x3，从而得到 2x 2−5x +3=0，解得 x =1 或 x =1.5（经检验是原方程的根），又 0≤x ≤2.5，所以解得的 x =1 或 x =1.5 符合题意， 即 △AQD 与 △BCP 可能相似， 则②正确；③如图，过 P 作 PE ⊥BC 于 E ，过 F 作 DF ⊥AB 于 F ， 设 AQ =x ，由 PQ =12，AB =3，得 0≤AQ ≤3−12=2.5，即 0≤x ≤2.5， 所以 PB =3−12−x ， 因为 ∠B =60∘， 所以 PE =√32(3−12−x)，因为 AD =12，∠A =60∘， 所以 DF =12×√32=√34， 则 S △PBC =12BC ×PE =12×3×√32(3−12−x)=3√34(52−x)，S △DAQ =12AQ ×DF =12×x ×√34=√38x ， 所以四边形 PCDQ 面积为：S △ABC −S △PBC −S △DAQ=12×3×3√32−3√34(52−x)−√38x =3√38+5√38x.又因为 0≤x ≤2.5，所以当 x =2.5 时，四边形 PCDQ 面积最大，最大值为：3√38+5√38×2.5=31√316， 即四边形 PCDQ 面积最大值为 31√316， 则③正确；④如图，作点 D 关于直线 AB 的对称点 D 1，连接 DD 1，与 AB 相交于点 Q ，再将 D 1Q 沿着 AB 向 B 端平移 PQ 个单位长度，即平移 12 个单位长度，得到 D 2P ，与 AB 相交于点 P ，连接 PC ，所以 D 1Q =DQ =D 2P ，AD 1=D 1D 2=AD =12，且 ∠AD 1D 2=120∘，此时四边形 PCDQ 的周长为：CP +DQ +CD +PQ =CD 2+CD +PQ ，其值最小， 所以 ∠D 1AD 2=30∘，∠D 2AD =90∘，AD 2=√32， 所以根据勾股定理可得，CD 2=√(AC )2+(AD 2)2=√32+(√32)2=√392， 所以四边形 PCDQ 的周长为： CP +DQ +CD +PQ =CD 2+CD +PQ =√392+(3−12)+12=3+√392.则④错误，所以可得②③正确．11. 【答案】 a(b −1)2【解析】 ab 2−2ab +a =a (b 2−2b +1)=a (b −1)2．12. 【答案】 1.2×104【解析】 ∵12000=1.2×104．13. 【答案】 2π cm 2【解析】根据题意可知，圆锥的底面半径 r =1 cm ，高 ℎ=√3 cm ， ∴ 圆锥的母线 l =√r 2+ℎ2=2， ∴S 侧=πrl =π×1×2=2π(cm 2)．14. 【答案】115∘【解析】四边形ABCD是菱形，∠B=50∘．∴AB∥CD．∴∠BCD=180∘−∠B=130∘，∠ACE=12∠BCD=65∘，∵AE=AC，∴∠ACE=∠AEC=65∘，∴∠BAE=180∘−∠AEC=115∘．15. 【答案】y=x2（答案不唯一）【解析】设函数的表达式为y=ax2+bx+c，∵图象的对称轴为y轴，∴对称轴为x=−b2a=0，∴b=0，∴满足条件的函数可以是：y=x2．（答案不唯一）16. 【答案】8【解析】设绳长x尺，由题意得13x−4=14x−1，解得x=36，井深：13×36−4=8（尺）．17. 【答案】(32,−9)或(32,6)【解析】对y=ax2−3ax+3，当x=0时，y=3，∴点B坐标为(0,3)．抛物线y=ax2−3ax+3的对称轴是直线：x=−−3a2a =32，当∠ABM=90∘时，如图1，过点M作MF⊥y轴于点F，则MF=32．∵∠1+∠2=90∘，∠2+∠3=90∘，∴∠1=∠3，又∠MFB=∠BOA=90∘，∴△BFM∽△AOB，∴MFOB =BFOA，即323=BF6，解得：BF=3，∴OF=6，∴点M的坐标是(32,6)；当∠BAM=90∘时，如图2，过点A作EH⊥x轴，过点M作MH⊥EH于点H，过点B作BE⊥EH于点E，则MH=6−32=92，同上面的方法可得△BAE∽△AMH，∴AEMH =BEAH，即392=6AH，解得：AH=9，∴点M的坐标是(32,−9)．综上，点M的坐标是(32,−9)或(32,6)．18. 【答案】83【解析】如图1，作DG∥AC，交BE于点G，∴△BDG∽△BAE，△ODG∽△OCE，∴DGAE =BDAB=23，∵CEAE =13，∴DGCE =21=2，∵△ODG∽△OCE，∴DGCE =ODOC=2，∴OD=23CD，∵AB=4，∴S△ABO=23S△ABC，∴若△ABO面积最大，则△ABC面积最大，如图2，当点△ABC为等腰直角三角形时，△ABC面积最大，为12×4×2=4，∴△ABO面积最大值为23×4=83．19. 【答案】(1) 原式=4+5−4=5.(2) 原式=a−1a−b+1+ba−b=a−1+1+ba−b=a+ba−b.20. 【答案】(1) 由方程可得a=1,b=1,c=−1.x=−b±√b2−4ac2a=−1±√12+4×1×12×1=−1±√52.(2) 解不等式−2x≤0，得x≥0.解不等式4x+1<5，得x<1.∴不等式的解集为0≤x<1.21. 【答案】(1) ∵AB∥CD，∴∠B=∠C，∵BE=CF，∴BE−EF=CF−EF，即BF=CE，在△ABF和△DCE中，{AB=CD,∠B=∠C, BF=CE,∴△ABF≌△DCE(SAS)．(2) ∵△ABF≌△DCE，∴∠AFB=∠DEC，∴∠AFE=∠DEF，∴AF∥DE．22. 【答案】(1) 14(2) 画树状图为：共有 12 种等可能的结果，其中抽得的 2 张卡片上的数字之和为 3 的倍数的结果为 4 种，所以抽得的 2 张卡片上的数字之和为 3 的倍数的概率 =412=13．23. 【答案】(1) 11(2) 根据题意得 {15+14−c =b,b +18−6=34, 解得 {b =22,c =7,即存款余额为 22 万元，补全条形统计图如下：(3) 由图表可知：小李在 2022 年的支出最多，支出了为 7 万元． 【解析】(1) 10+a −6=15，解得 a =11．24. 【答案】(1) (2) 12 【解析】(1) ① 先作 BC 的垂直平分线：分别以 B ，C 为圆心，大于 12BC 的长为半径画弧，连接两个交点即为直线 l ，分别交 AB ，BC 于 M ，N ；② 再作 ∠ABC 的角平分线：以点 B 为圆心，任意长为半径作圆弧，与 ∠ABC 的两条边分别有一个交点，再以这两个交点为圆心，相同长度为半径作弧，连接这两条弧的交点与点 B ，即为 ∠ABC 的角平分线，这条角平分线与线段 MN 的交点即为 O ； ③ 以 O 为圆心，ON 为半径画圆，圆 O 即为所求． (2) 过点 O 作 OE ⊥AB ，垂足为 E ， 设 ON =OE =r ， ∵BM =53，BC =2，∴BN =1， ∴MN =43．根据面积法，∴S △BMN =S △BNO +S △BMO ．∴12×1×43=12×1⋅r +12×53⋅r ，解得 r =12．25. 【答案】(1) ∵DC 是 ⊙O 的切线， ∴∠OCD =90∘， ∵∠D =30∘，∴∠BOC =∠D +∠OCD =30∘+90∘=120∘， ∵OB =OC ，∴∠B =∠OCB =30∘， ∴∠D =∠OCB ， ∴△BOC ∽△BCD ．(2) ∵∠D =30∘，DC =√3，∠OCD =90∘， ∴DC =√3OC =√3，DO =2OC ， ∴OC =1=OB ，DO =2， ∵∠B =∠D =30∘， ∴DC =BC =√3，∴△BCD 的周长 =CD +BC +DB =√3+√3+2+1=3+2√3．26. 【答案】(1) 当 x =5 时，EF =20−2x =10，EH =30−2x =20， 故 y =2×12(EH +AD )×20x +2×12(GH +CD )×x ×60+EF ⋅EH ×40=(20+30)×5×20+(10+20)×5×60+20×10×40=22000.(2) EF =20−2x ，EH =30−2x ，参考（1），由题意得： y=(30×30−2x )⋅x ⋅20+(20+20−2x )⋅x ⋅60+(30−2x )(20−2x )⋅40=−400x +24000(0<x <10).(3) S 甲=2×12(EH +AD )×x =(30−2x +30)x =−2x 2+60x ， 同理 S 乙=−2x 2+40x ，∵ 甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过 120 米2，∴−2x 2+60x −(−2x 2+40x )≤120，解得：x ≤6，故 0<x ≤6，而y=−400x+24000随x的增大而减小，故当x=6时，y的最小值为21600．即三种花卉的最低种植总成本为21600元．27. 【答案】(1) 在Rt△ADE中，∵DE=√33，AD=1，∴tan∠AED=√3，∴∠AED=60∘，∴AE=2DE=2√33，∵AB∥CD，∴∠BAE=60∘，∵四边形ABCE关于直线AE的对称图形为四边形ANME，∴∠AEC=∠AEM，∵∠PEC=∠DEM，∴∠AEP=∠AED=60∘，∴△APE为等边三角形，∴S=S△APE+S△ADE=√34×(2√33)2+12×√33×1=√32.(2) 过点E作EF⊥AB于点F，如图，则四边形ADEF矩形，∴AF=ED=x，EF=AD=1，由（1）可知，∠AEP=∠AED=∠PAE，∴AP=PE，设AP=PE=a，则PF=a−x，在Rt△PEF中，由勾股定理，得：(a−x)2+1=a2，解得：a=x 2+12x，∴S=S△APE+S△ADE=12⋅x⋅1+12⋅x2+12x⋅1=12x+x2+14x.28. 【答案】(1) ① ∵点A在y=14x2的图象上，横坐标为8，∴A(8,16)，∴直线OA的解析式为y=2x，∵点M的纵坐标为m，∴M(12m,m)；②假设能在抛物线上，∵∠AOB=90∘，∴直线OB的解析式为y=−12x，∵点N在直线OB上，纵坐标为m，∴N(−2m,m)，∴MN的中点的坐标为(−34m,m)，∴P(−32m,2m)，把点P坐标代入抛物线的解析式得到m=329．(2) y=(√2±1)x或y=−(√2±1)x．【解析】(2) ①当点A在y轴右侧时，设A(a,14a2)，∴直线OA解析式为y=14ax，∴M(8a,2)，∵OB⊥OA，∴直线OB的解析式为y=−4a x，可得N(−a2,2)，∴P(8a −a2,4)，代入抛物线的解析式得到8a −a2=4，解得a=4√2±4，∴直线OA的解析式为y=(√2±1)x；②当点A在y轴左侧时，即为①中点B位置，∴直线OA解析式为y=−4ax=−(√2±1)x．综上所述，直线OA的解析式为y=(√2±1)x或y=−(√2±1)x．。