安徽省部分示范性高中2020年高考模拟理科数学联考试题及答案解析
安徽省2020年高考数学试题分析 人教版
安徽省2020年高考数学试题分析2020年安徽高考改革，已经进入了一个崭新的阶段，整体发生了前所未有的变化，首次自行编制并颁布《考试说明》。
继2020年英语自主命题后，2020年语文、数学、英语自主命题，首次计算机网上阅卷。
这些变化，曾经使2020年参加高考的46万考生和家长、广大高三教师、以及社会方方面面关心高考的各界人士高度关注。
现在2020年安徽高考已经尘埃落定。
就高考而言，全省各地几家欢乐几家愁。
语文、数学、英语自主命题，成功得失众说纷纭。
下面我将通过对安徽数学试卷的数据分析，分析安徽高考数学试题的特点。
通过回顾备考2020年高考的风雨历程，审视2020年高三复习备考策略的成败得失，为2020年高三复习、高考备考积累经验。
一、统计数据分析(一)题型结构2020年安徽高考数学卷从题型结构来看，基本上保持了《高考说明》和《考试大纲》的要求。
即选择题、填空题、解答题三种题型结构与2020年全国卷相同。
题量、分值也保持不变。
其难度和区分度的要求达到或基本达到2020年全国卷的程度。
2020年高考全国卷的题型结构（表一）2020年高考安徽数学卷统计数据（表二）(二)理科成绩呈正态分布2020年安徽理科考生的成绩呈正态分布，峰值在65~95之间，而且不高。
说明考生的分布比较均匀，考试对考生的区分度较好，中等难度（p=平均得分满分）值在0.4~0.7之间）的试卷比例合适。
但是容易题（p值为0.7以上）比例较低，难度题（p值为0.3以下）比例较高。
2020安徽数学试题有较强的区分度。
现在我们还没有看见2020年全省数学成绩的有关统计数据，现以安庆市为例进行分析：理科考生的成绩仍然呈正态分布，从考生分布的直方图可以看出，考分峰值73.71~103.71，容易题比例较2020年全国数学试卷有较大比例的提高（即p值为0.7以上的题目）。
选择题1~10题都不难，给后面综合题的解答赢得了宝贵的时间，这是2020年数学考分有较大提高的一个重要原因。
高中数学考点专题3.2 三角函数化简以及恒等变换(解析版)
3.2三角函数化简及恒等变换一、选择题：每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.【四川省绵阳市2020届高三上期第一次诊断性考试数学（理）试题】 函数)0)(6sin()(>+=w wx x f π在⎪⎭⎫⎝⎛22-ππ，上单调递增，且图像关于π-=x 对称，则w 的值为（ ） A.32 B.35 C.2 D.38【答案】A 【解析】函数)0)(6sin()(>+=w wx x f π的递增区间)(22622-Z k k x k ∈+≤+≤+πππωππ，化简得：).(23232-Z k k x k ∈+≤≤+ωπωπωπωπ已知在⎪⎭⎫ ⎝⎛22-ππ，单增，所以.320.232-32-<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥≤ωπωππωπ，又因为图像关于π-=x 对称，).(26Z k k x ∈+=+πππω所以)(3Z k k w ∈--=π.因为0>ω此时k=-1,所以32=ω 【方法总结】此题考查三角函数的对称轴和单调区间，涉及在知识的交叉点命题思路，这是高考命题的思路。
题目综合性强，需要逆向思维。
题目属于中等难度。
2. 【湖北省华中师大一附中2017级高三上学期理科数学期中考试试题】已知函数()2sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><的部分图像如右图所示，且(,1),(,1)2A B ππ-，则ϕ的值为 （ ）A.56πB.6πC. 56π-D. 6π- 【答案】C【解析】由已知得：1,2==ωπT ，图像经过(,1),(,1)2A B ππ-65-πϕ=3. 【2019-2020学年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高三年级上学期期中考试理科数学】已知将函数()()πcos 202f x x ϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的图象向左平移ϕ个单位长度后，得到函数()g x 的图象，若()g x 的图象关于原点对称，则π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．BC ．12-D ．12【答案】A【解析】()()πcos 202f x x ϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的图象向左平移ϕ个单位长度后,得到函数()g x []ϕ32cos +=x ,因为()g x 的图象关于原点对称,所以[]030cos )0(=+=ϕg ，所以6πϕ=，π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭23)362(cos -=+⨯ππ .4.【2019·四川棠湖中学开学考试】在平面直角坐标系中，点O (0，0)，P (6，8)，将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转3π4后得到向量OQ →，则点Q的坐标是( )A.(－72，－2)B. (－72， 2)C.(－46，－2)D.(－46，2) 【答案】 A【解析】 因为点O (0，0)，P (6，8)，所以OP →＝(6，8)， 设OP →＝(10cos θ，10sin θ)，则cos θ＝35，sin θ＝45，因为向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转3π4后得到OQ →，设Q (x ，y )，则x ＝10cos ⎝⎛⎭⎫θ＋3π4＝10⎝⎛⎭⎫cos θcos 3π4－sin θsin 3π4＝－72， y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫θ＋3π4＝10⎝⎛⎭⎫sin θcos 3π4＋cos θsin 3π4＝－2， 所以点Q 的坐标为()－72，－2，故选A.5．函数()2π2cos cos 26f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭图象的一条对称轴方程为( )A ．π6x =B ．π4x =C ．π3x =D ．π2x = 【答案】A【解析】∵()2ππ2cos cos 21sin 266f x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴ππ2π62x k +=+（k ∈Z ），∴ππ26k x =+（k ∈Z ），当k ＝0时，π6x =．6. 【2019山东济南月考】M ，则下列结论中正确的是( )A ．图象MB ．将2sin2y x =MC ．图象MD ．()f x 【答案】C【解析】将2sin 2y x =的图象向左平移,故B 错；()f x D 错；M A 错误，C 正确，故选C ．7.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论： ①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π，π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是( ) A ．①②④ B ．②④ C ．①④D ．①③【答案】C【解析】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴Q 为偶函数，故①正确．当ππ2x <<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误． 当0πx ≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当π0x -≤<时，()()sin sin f x x x =--2sin x =-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④正确，故选C ．【名师点睛】本题也可画出函数()sin sin f x x x =+的图象（如下图），由图象可得①④正确．7. 【安徽省定远中学2019届高三全国高考猜题预测卷一数学试题】函数()[]()cos 2π,2πf x x x =∈-的图象与函数()sin g x x =的图象的交点横坐标的和为（ ）A ．5π3B ．2πC ．7π6D ．π【答案】B【解析】令sin cos2x x =，有2sin 12sin x x =-，所以sin 1x =-或1sin 2x =. 又[]π,2πx ∈-，所以2x π=-或32x π=或π6x =或5π6x =， 所以函数()[]()cos 2π,2πf x x x =∈-的图象与函数()sin g x x =的图象交点的横坐标的和为π3ππ5π2π2266-+++=. 故选B.【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象及给值求角，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.求解时，根据两个函数相等，求出所有交点的横坐标，然后求和即可. 8. 【广东省韶关市2019届高考模拟测试（4月）数学文试题】 已知函数π()sin()(0)6f x x ωω=+>的相邻对称轴之间的距离为π2，将函数图象向左平移6π个单位得到函数()g x 的图象，则()g x =（ ） A ．πsin()3x +B ．πsin(2)3x +C ．cos2xD ．πcos(2)3x +【答案】C【解析】函数π()sin()(0)6f x x ωω=+>的相邻对称轴之间的距离为π2， 则π22T =， 解得：πT =， 所以2ππω=，解得2ω=，将函数π()sin(2)6f x x =+的图象向左平移6π个单位，得到ππππ()sin[2()]sin 2cos 26636g x x x x ⎛⎫=++=++= ⎪⎝⎭的图象， 故选C ．【名师点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的平移变换和伸缩变换的应用，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．求解时，首先利用函数的图象求出函数的关系式，进一步利用图象的平移变换的应用求出结果． 9. 【山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷数学理)试题】将函数π()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()g x 1B ．函数()g x 的最小正周期为πC ．函数()g x 的图象关于直线π3x =对称D ．函数()g x 在区间π2,6π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 【答案】D【解析】将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度得：πππ()2sin 22sin 2666h x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得：()π2sin 6g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭， ()g x 的最大值为2，可知A 错误； ()g x 的最小正周期为2π，可知B 错误；π3x =时，ππ66x -=，则π3x =不是()g x 的图象的对称轴，可知C 错误； 当2,63ππx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ0,62x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，此时()g x 单调递增，可知D 正确. 本题正确选项为D.【名师点睛】本题考查三角函数图象平移变换和伸缩变换、正弦型函数的单调性、对称性、值域和最小正周期的求解问题，关键是能够明确图象变换的基本原则，同时采用整体对应的方式来判断正弦型函数的性质.求解时，根据平移变换和伸缩变换的原则可求得()g x 的解析式，依次判断()g x 的最值、最小正周期、对称轴和单调性，可求得正确结果.10【湖南省岳阳市第一中学2019届高三第一次模拟（5月）数学试题】设函数π()sin 6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若对于任意5ππ,62α⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，在区间[]0,m 上总存在唯一确定的β，使得()()0f f αβ+=，则m 的最小值为（ ）A ．π6B ．π2C ．7π6D ．π【答案】B【解析】当5ππ,62α⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，有π2π,63πα⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，所以()[f α∈. 在区间[]0,m 上总存在唯一确定的β，使得()()0f f αβ+=，所以存在唯一确定的β，使得()()[0,]2f f βα=-∈. []πππ0,,[,]666m m ββ∈-∈--，所以ππ2ππ5π[,),[,)63326m m -∈∈. 故选B.【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，考查了函数与方程的思想，正确理解两变量的关系是解题的关键，属于中档题.求解时，先求()[f α∈，再由存在唯一确定的β，使得()()[0,2f f βα=-∈，得ππ2π[,)633m -∈，从而得解. 10. 【福建省厦门市厦门外国语学校2019届高三最后一模数学试题】已知函数()cos f x x x ωω=+(>0)ω的零点构成一个公差为π2的等差数列，把函数()f x 的图象沿x 轴向左平移π6个单位，得到函数()g x 的图象，关于函数()g x ，下列说法正确的是（ ） A ．在[,]42ππ上是增函数 B ．其图象关于π4x =-对称C ．函数()g x 是奇函数D ．在区间π2π[,]63上的值域为[−2，1]【答案】D【解析】()cos f x x x ωω=+可变形为π()2sin()6f x x ω=+，因为()y f x =的零点构成一个公差为π2的等差数列，所以()y f x =的周期为π， 故2ππω=，解得2ω=，所以π()2sin(2)6f x x =+，函数()f x 的图象沿x 轴向左平移π6个单位后得到()()22sin[()]sin()cos(22)222x g f x x x x ++===++=πππ666π，选项A ：222,k x k k -+≤≤∈πππZ ，解得：k x k k 2-+≤≤∈πππ,Z ， 即函数()y g x =的增区间为π[π,π],2k k k -+∈Z ，显然π[,][π,π]422k k ππ⊄-+，故选项A 错误； 选项B ：令2π,x k k =∈Z ，解得：k x k 2=∈π,Z ，即函数()y g x =的对称轴为k x k 2=∈π,Z ， 不论k 取何值，对称轴都取不到π4x =，所以选项B 错误； 选项C ：()y g x =的定义域为R ，因为2cos02(00)g ==≠，所以函数()y g x =不是奇函数，故选项C 错误；选项D ：当π2π[,]63x ∈时，故42[,]33x ∈ππ，根据余弦函数图象可得，2cos(2[)2(),1]x g x ∈-=，故选项故本题应选D.【名师点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，考查了图象平移的规则，整体法思想是解决本题的思想方法.根据()y f x =的零点构成一个公差为π2的等差数列可得函数()y f x =的周期，从而得出函数()y f x =的解析式，沿x 轴向左平移π6个单位，便可得到函数()g x 的解析式，由()y g x =的解析式逐项判断选项的正确与否即可.11.【2019全国Ⅲ理12】设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点③()f x 在（0,10π）单调递增 ④ω的取值范围是[1229510，)其中所有正确结论的编号是（ ）A ． ①④B ． ②③C ． ①②③D ． ①③④ 【答案】D【解析】 当[0,2]x ∈π时，,2555x ωωπππ⎡⎤+∈π+⎢⎥⎣⎦， 因为()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点，所以5265ωπππ+<π„， 所以1229510ω<„，故④正确， 因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案， 下面判断③是否正确， 当(0,)10x π∈时，(2),5510x ωωππ+π⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，若()f x 在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增， 则(2)102ω+ππ<，即3ω<，因为1229510ω<„，故③正确．12.【2019天津理7】已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π，且π4g ⎛⎫=⎪⎝⎭3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A.2-B.D.2 【答案】C【解析】 因为()f x 是奇函数，所以0ϕ=，()sin f x A x ω=.将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x ，即()1sin 2g x A x ω⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为()g x 的最小正周期为2π，所以2212ωπ=π，得2ω=， 所以()sin g x A x =，()sin 2f x A x =.若4g π⎛⎫=⎪⎝⎭sin 442g A A ππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭2A =， 所以()2sin 2f x x =，332sin 22sin 2884f ππ3π⎛⎫⎛⎫=⨯=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选C ．13.将函数()2cos2f x x =的图象向右平移6π个单位后得到函数()g x 的图象,若函数()g x 在区间0,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦和72,6a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上均单调递增,则实数a 的取值范围是（ ） A ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．3,48ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A14.若将函数()sin2cos2f x x x =+的图象向左平移()0ϕϕ>个单位,所得的图象关于y 轴对称,则ϕ的最小值是（ ） A.4π B. 8π C. 38π D. 58π 【答案】B【解析】函数()sin2cos22sin 24f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移()0ϕϕ>个单位,得到2sin 224y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 图象关于y 轴对称,即()242k k Z ππϕπ+=+∈,解得1=28k πϕπ+,又0ϕ>,当0k =时, ϕ的最小值为8π,故选B. 15. 【2019四川遂宁、广安、眉山、内江四高三上学期第一次联考】已知不等式262sin cos 6cos 0444x x x m +--≥对于,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立,则实数m 的取值范围是（ ）A ．(,2⎤-∞-⎦B ．2,2⎛⎤-∞ ⎥ ⎝⎦ C ．2,22⎡⎤⎢⎥⎣ D ．)2,⎡+∞⎣ 【答案】B【点评】解决恒成立问题的关键是将其进行等价转化,使之转化为函数的最值问题,或者区间上的最值问题,使问题得到解决．具体转化思路为：若不等式()f x A >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()f x 的最小值大于A ；若不等式()f x B <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()f x 最大值小于B ．16.已知实数,x y 满足221x y +=,则()()11xy xy -+有（ ）A ．最小值21和最大值1B ．最小值43和最大值1 C ．最小值21和最大值43D ．最小值1,无最大值【答案】B【解析】由221x y +=,可设cos ,sin x y θθ== ,则()()11xy xy -+=111sin 21sin 222θθ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2131sin 2,144θ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦,故选B 17.【四川省成都市成都第七中学万达学校高2020届高三（上）第一次月考数学（文科）试题】定义在⎪⎭⎫⎝⎛20π，上的函数)(x f y =满足：x x f x f tan )()('>恒成立，则下列不等式中成立的是（ ）A ．)3()6(3ππf f > B ．1sin )3(332)1(πf f >C ．)4()6(2ππf f >D ．)3(2)4(3ππf f > 【答案】A【解析】分析：x x f x f tan )()('>⇒0tan )(-)('>x x f x f ⇒0)(sinx -)(cos '>x f x xf ，故此构造函数)(sin x f x x F =）（，)(x F 在⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，上上增函数。
安徽省示范高中培优联盟2023-2024学年高二上学期秋季联赛数学答案
高二数学参考答案一、选择题：本大题共8个题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
12345678AA D A CB B C1.【答案】{|16}A x x =-≤≤，由题意，R {|16}A x x x =<->或ð，画出数轴，可得1a<-.选A.2.【答案】211010z z z z++=⇔++=，12z -±∴=，||1z ∴=.选A.3.【答案】可以列举，不妨记这四个不同的体育场馆分别为A,B,C,D ，那么当小王的选择是ABC 时，小李的选择可以是ABC ，ABD ，ACD ，BCD.所以在以上四种情况中他们恰有2个场馆相同的概率为34.故选D.4.【答案】方程240x ax ++=有两个大于1的不等实根的一个充要条件是54a -<<-.故选A5.【答案】通过平移过点P 作,a a b b ''∥∥，直线,a b ''确定平面α，若直线l 在平面α的射影l '平分a b ''与所成的角，根据三余弦公式可知70cos60cos 2︒︒≤，故在70︒角方向和110︒角方向各有两条，且关于平面α对称，故共4条.故选C.6.【答案】因为函数()cos()f x x ωϕ=-图像关于原点对称，所以2πϕ=-，故()cos()sin 2f x x x πωω=+=-，当ππ[,]43x ∈-时，ππ[,]43x ω∈-，有且只有一个最大值和一个最小值，即3π242π3232ππωππω⎧-<-≤-⎪⎪⎨⎪≤<⎪⎩，即392226ωω⎧≤<⎪⎨⎪≤<⎩，即922ω≤<.故选B.7.【答案】如图所示，设12AM AB =uuur uuu r ，则AP xAM y AD =+uuu r uuur uuu r ，设1AN AP x y=+uuu r uuur ，则M,N,D 三点共线，||||AP x y AN +=uuur uuu r ，连接A 与线段BC的中点分别交线段DM ，圆于点N,P ，计算可得min min||5155()()22||AP x y AN --+===uuur uuu r ，故选B.8.【答案】令t x y =-则()()1()()()f x f y f t f y f x +=-，故()()1()()()()()f y f x f t f y x f t f x f y +-=-==--即()f x 为定义域内的奇函数，令2,x m y m ==得(2)()1()()(2)f m f m f m f m f m +=-，解得，所以()(2)1()((2))11(2)(2)()(2)()(2)f x f m f x f m f x m f m f x f m f x f m -+-++===-----，故(4)()f x m f x +=，即函数周期为4m，所以，(2023)(2024)()()1f m f m m f m f m =-+=-=-=，故答案为C二、选择题：本大题共4个题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分。
安徽省示范高中培优联盟2020年高二数学春季联赛试题理【含答案】
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分，第 I 卷第 1 至第 2 页，第 II 卷 第 3 至第 4 页。全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 考生注意事项： 1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡 上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。 2.答第 I 卷时，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3.答第 II 卷时，必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔 迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用 0.5 毫米的黑色墨水签字 笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、 草稿纸上答题无效。 4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。
的图象关于直线
x
3
x [ 对称，所以②正确；当 4
,
]
时，
2
x
6
2 3
, 13 6
，所以
f
(
x)
sin
2x
6
1,
3
2 ，故③正确．
7.B【解析】取 BC 的中点 D ，由
MB MC
BC
0
，得
MD
BC
0
，所以
AM
BC
AD BC DM BC
第 I 卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。)
(1)已知集合 M＝{x|y＝ln(x－1)}，N＝{x|x2－2x≥0}，则 M∩ ðU N＝
2020届安徽省高三数学联考试题(理)及答案
2020届安徽省高三数学联考试题（理）及答案一、单选题1．复数z 满足()1243i z i -=+（i 为虚数单位），则复数z 的模等于（ ）AB C ．D ．【答案】B【解析】根据复数模的性质和求解直接解得结果即可. 【详解】4312i z i +===- 故选：B 【点睛】本题考查复数模长的求解，涉及到复数模的性质的应用，属于基础题.2．已知全集为R ，集合{}2,1,0,1,2A =--，102x B xx -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，则()U A C B ⋂的元素个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】解分式不等式求得集合B ，根据交集和补集的定义求得集合()U A C B ⋂，进而得到元素个数. 【详解】{}10212x B x x x x -⎧⎫=<=-<<⎨⎬+⎩⎭{2U C B x x ∴=≤-或}1x ≥(){}2,1,2U AC B ∴=-，有3个元素故选：C 【点睛】本题考查集合元素个数的求解，涉及到分式不等式的求解、交集和补集的混合运算，属于基础题.3．已知函数()f x 在区间(),a b 上可导，则“函数()f x 在区间(),a b 上有最小值”是“存在()0,x a b ∈，满足()00f x '=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由开区间最小值点必为极小值点可知极小值点导数值为0，充分性成立；利用()3f x x =可验证出必要性不成立，由此得到结论. 【详解】(),a b 为开区间 ∴最小值点一定是极小值点 ∴极小值点处的导数值为0∴充分性成立当()3f x x =，00x =时，()00f x '=，结合幂函数图象知()f x 无最小值，必要性不成立∴“函数()f x 在区间(),a b 上有最小值”是“存在()0,x a b ∈，满足()00f x '=”的充分不必要条件故选：A【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，涉及到导数极值与最值的相关知识；关键是能够明确极值点处的导数值为0，但导数值为0的点未必是极值点.4．2011年国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源于中国古代数学家祖冲之的圆周率。
2020年安徽省六校高三模拟联考数学(理)试题(合肥一中、安庆一中等)(解析版)
安徽六校教育研究会2020届高三第一次联考数学（理科）一、选择题.1.设全集U =R ，集合{|14}M x x =-<<，{}2|log (2)1N x x =-<，则()U M C N ⋂=（ ） A. φ B. {|42}x x -<≤ C. { |4<<3}x x - D. {|12}x x -<≤【答案】D 【解析】 【分析】解对数不等式求出集合N 的取值范围，然后由集合的基本运算得到答案。
【详解】由2log (2)1x -<得20x ->且22x -<，所以24x <<， 所以{}24U C N x x x =≤≥或，则()U M C N ⋂={|12}x x -<≤ 【点睛】本题考查对数不等式的解法以及集合的基本运算，属于简单题。
2.已知复数z 满足()234i z i -=+,则z =（ ） A. 2i -- B. 2i - C. 2i -+ D. 2i +【答案】D 【解析】 【分析】把已知等式变形再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】由(2)z |34|5i i -=+=， 得55(2)z 22(2)(2)i i i i i +===+--+． 故选：D ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题． 3.已知等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，公差d 不等于零，若236,,a a a 成等比数列，则 A. 130,0a d dS >> B. 130,0a d dS >< C. 130,0a d dSD. 130,0a d dS <<【答案】C 【解析】 【分析】由236,,a a a 成等比数列．可得2326a a a =，利用等差数列的通项公式可得（211125a d a d a d +=++）（）（） ，解出11020a d a d ＜，+= ．即可． 【详解】由236,,a a a 成等比数列．可得2326a a a =，可得（211125a d a d a d +=++）（）（），即2120a d d +=，∵公差d 不等于零，11020a d a d ∴+=＜，．23133302dS d a d d ∴=+=（）＞． 故选：C ．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、考查了计算能力，属于基础题．4.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别是1F 、2F ，以2F 为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P ，若直线1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，则椭圆的离心率为( )1C.2【答案】A 【解析】 【分析】根据12PF PF ⊥及椭圆的定义可得12PF a c =-，利用勾股定理可构造出关于,a c 的齐次方程，得到关于e 的方程，解方程求得结果.【详解】由题意得：12PF PF ⊥，且2PF c =，又122PF PF a += 12PF a c ∴=-由勾股定理得：()222224220a c c c e e -+=⇒+-=，解得：1e =-本题正确选项：A【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，关键是能够结合椭圆定义和勾股定理建立起关于,a c 的齐次方程. 5.过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆截直线20x ay ++=所得弦长的最小值等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因为圆心在弦AC 的中垂线上，所以设圆心P 坐标为（a ，-2），再利用222r AP BP =+，求得1a =，确定圆的方程.又直线过定点Q ，则可以得到弦长最短时圆心与直线的定点Q 与弦垂直，然后利用勾股定理可求得弦长.【详解】解：设圆心坐标P 为（a,-2），则r 2＝()()()()2222132422a a -++=-++，解得a=1，所以P（1，-2）.又直线过定点Q （-2，0），当直线PQ 与弦垂直时，弦长最短，根据圆内特征三角形可知弦长20x ay ++=被圆截得的弦长为故选：B ．6.某罐头加工厂库存芒果()m kg ，今年又购进()n kg 新芒果后，欲将芒果总量的三分之一用于加工为芒果罐头。
2020年高考全国II卷理科数学试题(含解析)
2020年全国统一高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅱ）一、选择题1.已知集合{2,1,0,1,2,3}U =--，{1,0,1}A =-，{1,2}B =，则()U C A B ⋃=（ ） A.{2,3}- B.{2,2,3}-C.{2,1,0,3}--D.{2,1,0,2,3}--【答案】A 【解析】∵{1,0,1,2}AB =-，∴ (){2,3}UC A B ⋃=-.2.若α为第四象限角，则（ ） A.cos20α> B.cos20α<C.sin 20α>D.sin 20α<【答案】D 【解析】∵22()2k k k Z ππαπ-+<<∈，∴424()k k k Z ππαπ-+<<∈，∴2α是第三象限角或第四象限角，∴sin 20α<.3.在新冠肺炎疫情期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作。
已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天新订单超过1600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ） A.10名 B.18名 C.24名 D.32名 【答案】B【解析】因为公司可以完成配货1200份订单，则至少需要志愿者为160050012001850+-=名.4.北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，己知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇形面形石板（不含天心石）（ ） A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块【答案】C【解析】设每一层有n 环，由题可知从内到外每环之间构成等差数列，公差9d =，19a =，由等差数列性质知n S ，2n n S S -，32n n S S -成等差数列，且2322()()n n n n S S S S n d ---=，则29729n =，得9n =，则三层共有扇形面石板为3271272627934022n S S a ⨯==+⨯=块. 5.若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A.【答案】B【解析】设圆心为(,)a a ，则半径为a ，圆过点(2,1)，则222(2)(1)a a a -+-=，解得1a =或5a =，所以圆心坐标为(1,1)或(5,5)，圆心到直线的距离都是5d =. 6.数列{}n a 中，12a =，m n m n a a a +=,若155121022k k k a a a ++++++=-,则k =（ ）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】取1m =，则11n n a a a +=，又12a =，所以12n na a +=，所以{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，则2nn a =，所以11011115512102(12)222212k k k k k k a a a ++++++-+++==-=--，得4k =.7.右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为（ ）A.EB.FC.GD.H【答案】A【解析】该几何体是两个长方体拼接而成，如图所示，显然选A.8.设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1x yC a b-=(0,0)a b >>的两条渐近线分别交于D ，E 两点，若ODE ∆的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A.4 B.8 C.16 D.32 【答案】B【解析】双曲线2222:1x y C a b -=(0,0)a b >>的两条渐近线分别为b y x a =±，则容易得到||2DE b =，则8ODE S ab ∆==，222216c a b ab =+≥=，当且仅当a b ==号成立，所以min 4c =，焦距min (2)8c =.9.设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则()f x （ ）A. 是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B.是奇函数，且在11(,)22-单调递减C. 是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D.是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减【答案】D【解析】函数()ln |21|ln |21|ln |21|ln |21|()f x x x x x f x -=-+---=--+=-，则()f x 为奇函数，故排除A 、C ；当11(,)22x ∈-时，()ln(21)ln(12)f x x x =+--，根据函数单调性的性质可判断()f x 在11(,)22-上单调递增，故排除B ；当1(,)2x ∈-∞-时，212()ln(21)ln(12)lnln(1)2121x f x x x x x +=----==+--，根据复合函数单调性可判断()f x 在1(,)2-∞-上单调递减，故D 正确.10.已知ABC ∆的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上，若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（ ）B.32C.1【答案】C【解析】设ABC ∆的外接圆圆心为1O ，记1OO d =，圆1O 的半径为r ，球O 半径为R ，等边三角形ABC ∆的边长为a ，则2ABC S ∆==，可得3a =，于是r ==，由题知球O 的表面积为16π，则2R =，由222R r d =+易得1d =，即O 到平面ABC 的距离为1.11.若2233x y x y ---<-，则（ ） A.ln(1)0y x -+> B.ln(1)0y x -+< C.ln ||0x y -> D.ln ||0x y -<【答案】A【解析】2323x x y y---<-，设()23x x f x -=-，则()2ln 23ln30x xf x -'=+>，所以函数()f x 在R 上单调递增，因为()()f x f y <，所以x y <，则11y x -+>，ln(1)0y x -+>，选A.12.01-周期序列在通信技术中有着重要应用，若序列12......n a a a 满足{}10,1(1,2,...)a i ∈=，且存在正整数m ,使得(1,2,...)i m i a a i +==成立，则称其为01-周期序列，并称满足(1,2,...)i m i a a i +== 的最小正整数m 为这个序列的周期，对于周期为m的01-序列12......n a a a ，11()(1,2,...,1)mi i k i C k a a k m m +===-∑是描述其性质的重要指标，下列周期为5的01-序列中，满足1()(1,2,3,4)5C k k ≤=的序列是（ ） A. 11010... B.11011... C. 10001... D.11001... 【答案】C【解析】对于A 选项：511111(1)(10000)555i i i C a a +===++++=∑，5211121(2)(01010)5555i i i C a a +===++++=>∑，不满足，排除；对于B 选项，5111131(1)(10011)5555i i i C a a +===++++=>∑，不满足，排除；对于C 选项，511111(1)(00001)555i i i C a a +===++++=∑，52111(2)(00000)055i i i C a a +===++++=∑，53111(3)(00000)055i i i C a a +===++++=∑，541111(4)(10000)555i i i C a a +===++++=∑，满足；对于D 选项，5111121(1)(10001)5555i i i C a a +===++++=>∑，不满足，排除；故选C 。
安徽省2020年高考[理科数学]考试真题与答案解析
A ．B ．10π97C ．D ．4π338．的展开式中x 3y 3的系数为25()()x x y xy ++A ．5B ．10C ．15三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第每个试题考生都必须作答。
第答案解析————————————————————————————————————————一、选择题1．D 2．B 3．C 4．C 5．D 6．B 7．C 8．C 9．A 10．A11．D12．B二、填空题13．114．15．216．314-三、解答题17．解：（1）设的公比为，由题设得即.{}n a q 1232,a a a =+21112a a q a q =+所以解得（舍去），.220,q q +-=1q =2q =-故的公比为.{}n a 2-（2）设为的前n 项和.由（1）及题设可得，.所以n S {}n na 1(2)n n a -=-，112(2)(2)n n S n -=+⨯-++⨯- .21222(2)(1)(2)(2)n n n S n n --=-+⨯-++-⨯-+⨯- 可得2131(2)(2)(2)(2)n nn S n -=+-+-++--⨯- 1(2)=(2).3n n n ---⨯-所以.1(31)(2)99nn n S +-=-18．解：（1）设，由题设可得，DO a =63,,63PO a AO a AB a ===.22PA PB PC a ===因此，从而.222PA PB AB +=PA PB ⊥又，故.222PA PC AC +=PA PC ⊥所以平面.PA ⊥PBC （2）以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角O OEy ||OE丙上场后连胜三场的概率为．18所以需要进行第五场比赛的概率为．11131161684---=（3）丙最终获胜，有两种情况：比赛四场结束且丙最终获胜的概率为．18比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为，，．1161818因此丙最终获胜的概率为．111178168816+++=20．解：（1）由题设得A （–a ，0），B （a ，0），G （0，1）.则，=（a ，–1）.由=8得a 2–1=8，即a=3.(,1)AG a = GB AG GB ⋅ 所以E 的方程为+y 2=1．29x （2）设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），P （6，t ）.若t ≠0，设直线CD 的方程为x=my+n ，由题意可知–3<n<3.由于直线PA 的方程为y=（x+3），所以y 1=（x 1+3）.9t 9t直线PB 的方程为y=（x–3），所以y 2=（x 2–3）.3t 3t可得3y 1（x 2–3）=y 2（x 1+3）.由于，故，可得，222219x y +=2222(3)(3)9x x y +-=-121227(3)(3)y y x x =-++即①221212(27)(3)()(3)0.m y y m n y y n ++++++=将代入得x my n =+2219x y +=222(9)290.m y mny n +++-=所以，．12229mn y y m +=-+212299n y y m -=+代入①式得2222(27)(9)2(3)(3)(9)0.m n m n mn n m +--++++=解得n=–3（含去），n=.32故直线CD 的方程为，即直线CD 过定点（，0）．3=2x my +32若t=0，则直线CD 的方程为y=0，过点（，0）.32综上，直线CD 过定点（，0）.3221．解：（1）当a=1时，f （x ）=e x +x 2–x ，则=e x +2x–1．()f x '故当x ∈（–∞，0）时，<0；当x ∈（0，+∞）时，>0．所以f （x ）在（–∞，0）()f x '()f x '单调递减，在（0，+∞）单调递增．（2）等价于.31()12f x x ≥+321(1)e 12x x ax x --++≤设函数，则321()(1)e (0)2xg x x ax x x -=-++≥32213()(121)e 22xg x x ax x x ax -'=--++-+-21[(23)42]e 2xx x a x a -=--+++.1(21)(2)e 2x x x a x -=----（i ）若2a+1≤0，即，则当x ∈（0，2）时，>0.所以g （x ）在（0，2）单调递增，12a ≤-()g x '而g （0）=1，故当x ∈（0，2）时，g （x ）>1，不合题意.（ii ）若0<2a+1<2，即，则当x ∈(0，2a+1)∪(2，+∞)时，g'(x)<0；当x ∈(2a+1，1122a -<<2)时，g'(x)>0.所以g(x)在(0，2a+1)，(2，+∞)单调递减，在(2a+1，2)单调递增.由于g(0)=1，所以g (x)≤1当且仅当g(2)=(7−4a)e −2≤1，即a≥.27e4-所以当时，g(x)≤1.27e 142a -≤<（iii ）若2a+1≥2，即，则g(x)≤.12a ≥31(1)e 2xx x -++由于，故由（ii ）可得≤1.27e 10[,)42-∈31(1)e 2x x x -++故当时，g(x)≤1.12a ≥综上，a 的取值范围是.27e [,)4-+∞（2）函数的图像向左平移()y f x =的图像与()y f x =(y f x =+由图像可知当且仅当时，的图像在的图像上方，76x <-()y f x =(1)y f x =+故不等式的解集为．()(1)f x f x >+7(,)6-∞-。
2023年高考全国乙卷理科数学+ 答案解析
2023年高考理科数学全国乙卷一、选择题1.设252i1i i z +=++，则z =（）A.12i -B.12i+ C.2i- D.2i+2.设集合U =R ，集合{}1M x x =<，{}12N x x =-<<，则{}2x x ≥=（）A.C UB.C UC .C UD.C U3.如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（）A.24B.26C.28D.304.已知e ()e 1xax x f x =-是偶函数，则=a （）A.2- B.1- C.1D.25.设O 为平面坐标系的坐标原点，在区域(){}22,14x y x y ≤+≤内随机取一点，记该点为A ，则直线OA 的倾斜角不大于π4的概率为（）A.18B.16C.14D.126.已知函数()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，直线π6x =和2π3x =为函数()y f x =的图像的两条对称轴，则5π12f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.32-B.12-C.12D.327.甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（）A.30种B.60种C.120种D.240种8.已知圆锥PO ，O 为底面圆心，P A ，PB 为圆锥的母线，120AOB ∠=︒，若PAB ，则该圆锥的体积为（）A.πB.C.3πD.9.已知ABC 为等腰直角三角形，AB 为斜边，ABD △为等边三角形，若二面角C ABD --为150︒，则直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为（） A.15B.25C.35D.2510.已知等差数列{}n a 的公差为23π，集合{}*cos N n S a n =∈，若{},S a b =，则ab =（）A.－1B.12-C.0D.1211.设A ，B 为双曲线2219y x -=上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是（）A.()1,1 B.()1,2- C.()1,3 D.()1,4--12.已知O 的半径为1，直线PA 与O 相切于点A ，直线PB 与O 交于B ，C两点，D 为BC 的中点，若PO =PA PD ⋅的最大值为（）A.122B.1222+C.1+ D.2+二、填空题13.已知点(A 在抛物线C ：22y px =上，则A 到C 的准线的距离为______.14.若x ，y 满足约束条件312937x y x y x y -≤-⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =-的最大值为______.15.已知{}n a 为等比数列，24536a a a a a =，9108a a =-，则7a =______.16.设()0,1a ∈，若函数()()1xx f x a a =++在()0,∞+上单调递增，则a 的取值范围是______.三、解答题17.某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为i x ，i y （1,2,10i =⋅⋅⋅），试验结果如下试验序号i 12345678910伸缩率i x 545533551522575544541568596548伸缩率iy 536527543530560533522550576536记(1,2,,10)i i i z x y i =-= ，记1z ，2z ，…，10z 的样本平均数为z ，样本方差为2s ，（1）求z ，2s ；（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果z ≥则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）.18.在ABC 中，已知120BAC ∠=︒，2AB =，1AC =.（1）求sin ABC ∠；（2）若D 为BC 上一点，且90BAD ∠=︒，求ADC △的面积.19.如图，在三棱锥-P ABC 中，AB BC ⊥，2AB =，BC =PB PC ==BP ，AP ，BC 的中点分别为D ，E ，O ，AD =，点F 在AC 上，BF AO ⊥.（1）证明：//EF 平面ADO ；（2）证明：平面ADO ⊥平面BEF ；（3）求二面角D AO C --的正弦值.20.已知椭圆C ：()222210y x a b a b +=>>的离心率为3，点()2,0A -在C 上.（1）求C 的方程；（2）过点()2,3-的直线交C 于点P ，Q 两点，直线AP ，AQ 与y 轴的交点分别为M ，N ，证明：线段MN 的中点为定点.21.已知函数1()ln(1)f x a x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.（1）当1a =-时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）是否存在a ，b ，使得曲线1y f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭关于直线x b =对称，若存在，求a ，b的值，若不存在，说明理由.（3）若()f x 在()0,∞+存在极值，求a 的取值范围.四、选做题【选修4-4】（10分）22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为ππ2sin 42⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭ρθθ，曲线2C ：2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，2απ<<π）.（1）写出1C 的直角坐标方程；（2）若直线y x m =+既与1C 没有公共点，也与2C 没有公共点，求m 的取值范围.【选修4-5】（10分）23.已知()22f x x x =+-.（1）求不等式()6f x x ≤-的解集；（2）在直角坐标系xOy 中，求不等式组()60f x yx y ≤⎧⎨+-≤⎩所确定的平面区域的面积.2023年高考理科数学全国乙卷答案解析一、选择题1.B【解析】由题意可得()252i 2i 2i 2i2i 112i 1i i 11i i 1z +++-=====-++-+-，则12i z =+.故选：B.2.A【解析】由题意可得{}|2M N x x =< ，则(){}|2U M N x x =≥ ð，选项A 正确；{}|1U M x x =≥ð，则{}|1U N M x x =>- ð，选项B 错误；{}|11M N x x =-<< ，则(){|1U M N x x ⋂=≤-ð或}1x ≥，选项C 错误；{|1U N x x =≤-ð或}2x ≥，则U M N = ð{|1x x <或}2x ≥，选项D 错误；故选：A.3.D【解析】如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，13AA =，点,,,H I J K 为所在棱上靠近点1111,,,B C D A 的三等分点，,,,O L M N 为所在棱的中点，则三视图所对应的几何体为长方体1111ABCD A B C D -去掉长方体11ONIC LMHB -之后所得的几何体，该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方形，其表面积为：()()()22242321130⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=.故选：D.【解析】因为()e e 1xax x f x =-为偶函数，则()()()()1e e e e 0e 1e1e 1a x xx xaxaxaxx x x f x f x ---⎡⎤--⎣⎦--=-==---，又因为x 不恒为0，可得()1e e 0a x x --=，即()1e e a x x -=，则()1x a x =-，即11a =-，解得2a =.故选：D.5.C【解析】因为区域(){}22,|14x y x y ≤+≤表示以()0,0O 圆心，外圆半径2R =，内圆半径1r =的圆环，则直线OA 的倾斜角不大于π4的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角π4MON ∠=，结合对称性可得所求概率π2142π4P ⨯==.故选：C.6.D【解析】因为()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，所以2πππ2362T =-=，且0ω>，则πT =，2π2w T==，当π6x =时，()f x 取得最小值，则ππ22π62k ϕ⋅+=-，Z k ∈，则5π2π6k ϕ=-，Z k ∈，不妨取0k =，则()5πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则5π5π3sin 1232f ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：D.【解析】首先确定相同得读物，共有16C 种情况，然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有25A 种，根据分步乘法公式则共有1265C A 120⋅=种，故选：C.8.B【解析】在AOB 中，120AOB ∠=o ，而OA OB ==取AC 中点C ，连接,OC PC ，有,OC AB PC AB ⊥⊥，如图，30ABO = ∠，3,232OC AB BC ===，由PAB 的面积为934，得193324PC ⨯⨯=，解得332PC =，于是PO ==，所以圆锥的体积2211ππ33V OA PO =⨯⨯=⨯⨯.故选：B9.C【解析】取AB 的中点E ，连接,CE DE ，因为ABC 是等腰直角三角形，且AB 为斜边，则有CE AB ⊥，又ABD △是等边三角形，则DE AB ⊥，从而CED ∠为二面角C AB D --的平面角，即150CED ∠= ，显然,,CE DE E CE DE ⋂=⊂平面CDE ，于是AB ⊥平面CDE ，又AB ⊂平面ABC ，因此平面CDE ⊥平面ABC ，显然平面CDE ⋂平面ABC CE =，直线CD ⊂平面CDE ，则直线CD 在平面ABC 内的射影为直线CE ，从而DCE ∠为直线CD 与平面ABC 所成的角，令2AB =，则1,CE DE ==在CDE中，由余弦定理得：CD ===由正弦定理得sin sin DE CDDCE CED=∠∠，即sin DCE ∠=，显然DCE ∠是锐角，cos DCE ∠=所以直线CD 与平面ABC 所成的角的正切为35.故选：C 10.B【解析】依题意，等差数列{}n a 中，112π2π2π(1)()333n a a n n a =+-⋅=+-，显然函数12π2πcos[()]33y n a =+-的周期为3，而N n *∈，即cos n a 最多3个不同取值，又{cos |N }{,}n a n a b *∈=，则在123cos ,cos ,cos a a a 中，123cos cos cos a a a =≠或123cos cos cos a a a ≠=，于是有2πcos cos(3θθ=+，即有2π()2π,Z 3k k θθ++=∈，解得ππ,Z 3k k θ=-∈，所以Zk ∈，2ππ4πππ1cos(π)cos[(π)]cos(π)cos πcos πcos 333332ab k k k k k =--+=--=--.故选：B 11.D【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，则AB 的中点1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭，可得1212121212122,2ABy y y y y y k k x x x x x x +-+===+-+，因为,A B 在双曲线上，则221122221919y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得()2222121209y y x x ---=，所以221222129AB y y k k x x -⋅==-.对于选项A ：可得1,9AB k k ==，则:98AB y x =-，联立方程229819y x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 得272272730x x -⨯+=，此时()2272472732880∆=-⨯-⨯⨯=-<，所以直线AB 与双曲线没有交点，故A 错误；对于选项B ：可得92,2AB k k =-=-，则95:22AB y x =--，联立方程22952219y x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去y 得245245610x x +⨯+=，此时()224544561445160∆=⨯-⨯⨯=-⨯⨯<，所以直线AB 与双曲线没有交点，故B 错误；对于选项C ：可得3,3AB k k ==，则:3AB y x=由双曲线方程可得1,3a b ==，则:3AB y x =为双曲线的渐近线，所以直线AB 与双曲线没有交点，故C 错误；对于选项D ：94,4AB k k ==，则97:44AB y x =-，联立方程22974419y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去y 得2631261930x x +-=，此时21264631930∆=+⨯⨯>，故直线AB 与双曲线有交两个交点，故D 正确；故选：D.12.A 【解析】如图所示，1,2OA OP ==，则由题意可知:45APO ∠= ，由勾股定理可得221PA OP OA =-=当点,A D 位于直线PO 异侧时，设=,04OPC παα∠≤≤，则：PA PD ⋅ =||||cos 4PA PD πα⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭ 12cos 4παα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭22222ααα⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭2cos sin cos ααα=-1cos 21sin 222αα+=-12sin 2224πα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭04πα≤≤，则2444πππα-≤-≤∴当ππ244α-=-时，PA PD ⋅ 有最大值1.当点,A D 位于直线PO 同侧时，设=,04OPC παα∠≤≤，则：PA PD ⋅ =||||cos 4PA PD πα⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭1cos 4παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭2222ααα⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭2cos sin cos ααα=+1cos 21sin 222αα+=+12sin 2224πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭04πα≤≤，则2442πππα≤+≤∴当242ππα+=时，PA PD ⋅有最大值12.综上可得，PA PD ⋅ 的最大值为122+.故选：A.二、填空题13.【答案】94【解析】由题意可得：221p =⨯，则25p =，抛物线的方程为25y x =，准线方程为54x =-，点A 到C 的准线的距离为59144⎛⎫--= ⎪⎝⎭.故答案为：94.14.【答案】8【解析】作出可行域如下图所示：2z x y =-，移项得2y x z =-，联立有3129x y x y -=-⎧⎨+=⎩，解得52x y =⎧⎨=⎩，设()5,2A ，显然平移直线2y x =使其经过点A ，此时截距z -最小，则z 最大，代入得8z =，故答案为：8.15.【答案】2-【解析】设{}n a 的公比为()0q q ≠，则3252456a q a a q a a a a ==⋅，显然0n a ≠，则24a q =，即321a q q =，则11a q =，因为9108a a =-，则89118a q a q ⋅=-，则()()3315582q q ==-=-，则32q =-，则55712a a q q q =⋅==-，故答案为：2-.16.【答案】51,12⎫⎪⎪⎣⎭【解析】由函数的解析式可得()()()ln 1ln 10xx f x a a a a '=+++≥在区间()0,∞+上恒成立，则()()1ln 1ln x xa a a a ++≥-，即()1ln ln 1x a a a a +⎛⎫≥- ⎪+⎝⎭在区间()0,∞+上恒成立，故()01ln 1ln 1a a a a +⎛⎫=≥- ⎪+⎝⎭，而()11,2a +∈，故()ln 10a +>，故()ln 1ln 01a a a ⎧+≥-⎨<<⎩即()1101a a a ⎧+≥⎨<<⎩，故112a ≤<，结合题意可得实数a 的取值范围是51,12⎫⎪⎪⎣⎭.故答案为：51,12⎫-⎪⎢⎪⎣⎭.三、解答题17.【答案】（1）11z =，261s =；（2）认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.【解析】（1）545533551522575544541568596548552.310x +++++++++==，536527543530560533522550576536541.310y +++++++++==，552.3541.311z x y =-=-=，i i i z x y =-的值分别为:9,6,8,8,15,11,19,18,20,12-，故2222222222(911)(611)(811)(811)(1511)0(1911)(1811)(2011)(1211)6110s -+-+-+--+-++-+-+-+-==（2）由（1）知:11z =，==，故有z ≥所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.18.【答案】（1）2114；（2）310.【解析】（1）由余弦定理可得：22222cos BC a b c bc A==+-41221cos1207=+-⨯⨯⨯= ，则BC =22257cos 214a c b B ac +-==，21sin 14B ==.（2）由三角形面积公式可得1sin 90241sin 302ABD ACD AB AD S S AC AD ⨯⨯⨯==⨯⨯⨯ △△，则111321sin12055210ACD ABC S S ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭△△.19.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）22.【解析】（1）连接,DE OF ，设AF tAC =，则(1)BF BA AF t BA tBC =+=-+ ，12AO BA BC =-+ ，BF AO ⊥，则2211[(1)]()(1)4(1)4022BF AO t BA tBC BA BC t BA tBC t t ⋅=-+⋅-+=-+=-+= ，解得12t =，则F 为AC 的中点，由,,,D E O F 分别为,,,PB PA BC AC 的中点，于是11//,,//,22DE AB DE AB OF AB OF AB ==，即,//DE OF DE OF =，则四边形ODEF 为平行四边形，, //EF DO EF DO =，又EF ⊄平面,ADO DO ⊂平面ADO ，所以//EF 平面ADO .（2）由（1）可知//EF OD ，则62AO DO ==，得302AD ==，因此222152OD AO AD +==，则OD AO ⊥，有EF AO ⊥，又,AO BF BF EF F ⊥= ，,BF EF ⊂平面BEF ，则有AO ⊥平面BEF ，又AO ⊂平面ADO ，所以平面ADO ⊥平面B EF .（3）过点O 作//OH BF 交AC 于点H ，设AD BE G = ，由AO BF ⊥，得HO AO ⊥，且1 3FH AH =，又由（2）知，OD AO ⊥，则DOH ∠为二面角D AO C --的平面角，因为,D E 分别为,PB PA 的中点，因此G 为PAB 的重心，即有11,33DG AD GE BE ==，又1 3FH AH =，即有32DH GF =，2315422cos 62ABD +-∠==PA =，同理得2BE =，于是2223BE EF BF +==，即有BE EF ⊥，则22216653223GF ⎛⎫⎛=⨯+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，从而153GF =，31515232DH =⨯=，在DOH △中，13615,2222OH BF OD DH ====，于是6315444cos 26322DOH +-∠==-，2sin 2DOH ∠==，所以二面角D AO C --的正弦值为22.20.【答案】（1）22194y x +=（2）证明见详解【解析】（1）由题意可得22223b a b c c e a ⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪==⎪⎩，解得32a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆方程为22194y x +=.（2）由题意可知：直线PQ 的斜率存在，设()()()1122:23,,,,PQ y k x P x y Q x y =++，联立方程()2223194y k x y x ⎧=++⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：()()()222498231630k x k k x k k +++++=，则()()()2222Δ64236449317280k k k k k k =+-++=->，解得0k <，可得()()2121222163823,4949k k k k x x x x k k +++=-=++，因为()2,0A -，则直线()11:22y AP y x x =++，令0x =，解得1122y y x =+，即1120,2y M x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭,同理可得2220,2y N x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，则()()1212121222232322222y y k x k x x x x x +++++⎡⎤⎡⎤++⎣⎦⎣⎦=+++()()()()()()12211223223222kx k x kx k x x x +++++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=++()()()()1212121224342324kx x k x x k x x x x +++++=+++()()()()()()222222323843234231084949336163162344949k k k k k k k k k k k k k k k +++-++++===++-+++，所以线段PQ 的中点是定点()0,3.21.【答案】（1）()ln 2ln 20x y +-=；（2）存在11,22a b ==-满足题意，理由见解析.（3）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.【解析】（1）当1a =-时，()()11ln 1f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则()()2111ln 111x f x x x x ⎛⎫'=-⨯++-⨯ ⎪+⎝⎭，据此可得()()10,1ln 2f f '==-，函数在()()1,1f 处的切线方程为()0ln 21y x -=--，即()ln 2ln 20x y +-=.（2）由函数的解析式可得()11ln 1f x a x x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数的定义域满足1110x x x ++=>，即函数的定义域为()(),10,-∞-⋃+∞，定义域关于直线12x =-对称，由题意可得12b =-，由对称性可知111222f m f m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=--> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，取32m =可得()()12f f =-，即()()11ln 22ln 2a a +=-，则12a a +=-，解得12a =，经检验11,22a b ==-满足题意，故11,22a b ==-.即存在11,22a b ==-满足题意.（3）由函数的解析式可得()()2111ln 11f x x a x x x ⎛⎫⎛⎫=-+'++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，由()f x 在区间()0,∞+存在极值点，则()f x '在区间()0,∞+上存在变号零点;令()2111ln 101x a x x x ⎛⎫⎛⎫-+++= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，则()()()21ln 10x x x ax -++++=，令()()()2=1ln 1g x ax x x x +-++，()f x 在区间()0,∞+存在极值点，等价于()g x 在区间()0,∞+上存在变号零点，()()()12ln 1,21g x ax x g x a x '=''=-+-+当0a ≤时，()0g x '<，()g x 在区间()0,∞+上单调递减，此时()()00g x g <=，()g x 在区间()0,∞+上无零点，不合题意;当12a ≥，21a ≥时，由于111x <+，所以()()''0,g x g x >'在区间()0,∞+上单调递增，所以()()00g x g ''>=，()g x 在区间()0,∞+上单调递增，()()00g x g >=，所以()g x 在区间()0,∞+上无零点，不符合题意；当102a <<时，由()''1201g x a x =-=+可得1=12x a -，当10,12x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x ''<，()g x '单调递减，当11,2x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x ''>，()g x '单调递增，故()g x '的最小值为1112ln 22g a a a ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭'，令()()1ln 01m x x x x =-+<<，则()10x m x x-+'=>，函数()m x 在定义域内单调递增，()()10m x m <=，据此可得1ln 0x x -+<恒成立，则1112ln 202g a a a ⎛⎫-=-+< ⎪'⎝⎭，令()()2ln 0h x x x x x =-+>，则()221x x h x x -++'=，当()0,1x ∈时，()()0,h x h x '>单调递增，当()1,x ∈+∞时，()()0,h x h x '<单调递减，故()()10h x h ≤=，即2ln x x x ≤-(取等条件为1x =)，所以()()()()()222ln 12112g x ax x ax x x ax x x ⎡⎤=-+>-+-+=-+⎣⎦'，()()()()22122121210g a a a a a ⎡⎤->---+-=⎣⎦'，且注意到()00g '=，根据零点存在性定理可知:()g x '在区间()0,∞+上存在唯一零点0x .当()00,x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调减，当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以()()000g x g <=.令()11ln 2n x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则()()22211111022x n x x x x --⎛⎫=-+=≤ ⎪⎝⎭'，则()n x 单调递减，注意到()10n =，故当()1,x ∈+∞时，11ln 02x x x ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，从而有11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，所以()()()2=1ln 1g x ax x x x +-++()()211>1121ax x x x x ⎡⎤+-+⨯+-⎢⎥+⎣⎦21122a x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，令211022a x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭得2x =0g >，所以函数()g x 在区间()0,∞+上存在变号零点，符合题意.综合上面可知:实数a 得取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.四、选做题【选修4-4】（10分）22.【答案】（1）()[][]2211,0,1,1,2x y x y +-=∈∈（2）()(),0-∞+∞【解析】（1）因为2sin ρθ=，即22sin ρρθ=，可得222x y y +=，整理得()2211x y +-=，表示以()0,1为圆心，半径为1的圆，又因为2cos 2sin cos sin 2,sin 2sin 1cos 2x y ======-ρθθθθρθθθ，且ππ42θ≤≤，则π2π2≤≤θ，则[][]sin 20,1,1cos 21,2x y =∈=-∈θθ，故()[][]221:11,0,1,1,2C x y x y +-=∈∈.（2）因为22cos :2sin x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，ππ2α<<），整理得224x y +=，表示圆心为()0,0O ，半径为2，且位于第二象限的圆弧，如图所示，若直线y x m =+过()1,1，则11m =+，解得0m =；若直线y x m =+，即0x y m -+=与2C相切，则20m =>⎩，解得m =，若直线y x m =+与12,C C均没有公共点，则m >或0m <，即实数m 的取值范围()(),0-∞+∞.【选修4-5】（10分）23.【答案】（1）[2,2]-；（2）6.【解析】（1）依题意，32,2()2,0232,0x x f x x x x x ->⎧⎪=+≤≤⎨⎪-+<⎩，不等式()6f x x ≤-化为：2326x x x >⎧⎨-≤-⎩或0226x x x ≤≤⎧⎨+≤-⎩或0326x x x <⎧⎨-+≤-⎩，解2326x x x >⎧⎨-≤-⎩，得无解；解0226x x x ≤≤⎧⎨+≤-⎩，得02x ≤≤，解0326x x x <⎧⎨-+≤-⎩，得20x -≤<，因此22x -≤≤，所以原不等式的解集为：[2,2]-（2）作出不等式组()60f x y x y ≤⎧⎨+-≤⎩表示的平面区域，如图中阴影ABC ，由326y x x y =-+⎧⎨+=⎩，解得(2,8)A -，由26y x x y =+⎧⎨+=⎩,解得(2,4)C ，又(0,2),(0,6)B D ，所以ABC 的面积11|||62||2(2)|822ABC C A S BD x x =⨯-=-⨯--= .。
2020年高考全国卷二理科数学试题(word版+详细解析版)
2020年高考全国卷二理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合U ={−2，−1，0，1，2，3}，A ={−1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B =A ．{−2，3}B ．{−2，2，3}C ．{−2，−1，0，3}D ．{−2，−1，0，2，3} 答案：A解析：{1,0,1,2}A B =-，所以(){23}，U A B =-，故选A2．若α为第四象限角，则A ．cos 2α>0B ．cos 2α<0C ．sin 2α>0D ．sin 2α<0答案：D解析：α为第四象限角，所以32222πk παk ππ+<<+（k ∈Z ），所以43244k ππαk ππ+<<+，所以sin 20α<，故选D3．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者A ．10名B ．18名C ．24名D ．32名答案:B解析：预计需要志愿者完成超过500+1600－1200=900份的概率为0.05，则需要志愿者完成不超过900份的概率为0.95，9005018÷=，故至少需要18名志愿者，故选B4．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)A ．3699块B ．3474块C ．3402块D ．3339块答案：C解析：设共有3n 环，则从上到下每一环的石板数构成一个首项为9，公差d 为9的等差数列{}n a ，设下层石板数之和为S 下,中层石板数之和为S 中，则2131()2n n S a a n +=+下，121()2n n S a a n +=+中，所以221(121)92S S n n d n d n -=+-==下中，所以29729n =，故9n =，故共有石板数为12726272792713934022a d ⨯+=⨯+⨯⨯=.故选C 5．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为A ．55B ．255C ．355D ．455答案：B解析：设圆的半径为r ，圆心的坐标为(,)a b ，则||a r =，||b r =，222(2)(1)a b r -+-=，所以24250a a b --+=，若b a =-，则2250a a -+=，此一元二次方程无解，故只能b a =，这时有2650a a -+=，解得a=1或a=5，故圆心到直线230x y --=的距离为25555===，故选B. 6．数列{}n a 中，12a =，m n m n a a a +=，若155121022k k k a a a ++++++=-，则k =A ．2B ．3C ．4D ．5答案：C解析：在m n m n a a a +=中，令1m =，可得112n n n a a a a +==，所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，所以2n n a =，()101011051210121(21)2(21)2k k k k k a a a a ++++++++=-=-=-，所以4k =，故选C.7．右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为A ．EB ．FC ．GD ．H答案：A解析：根据三视图可得到多面体的直观图如下图所示，从图中可见，点A 对应于侧视图中的E ，故选AA8．设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE △的面积为8，则C 的焦距的最小值为A ．4B ．8C ．16D ．32答案：B。