北师大版八年级下1.4角平分线(2)
O
1 2
P C
E
B
证一证 A
探究角平分线的性质
已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC 上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E 求证: PD=PE
D
O
1 2
P E
C 证明：∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB（已知）
B
∴ ∠PDO= ∠PEO（垂直的定义） ∴ ∠1= ∠2,OP=OP ∴ △PDO ≌ △PEO（AAS） ∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）
1、你还能利用折纸的方法得到角平分线及角平分线上的点吗 ? 2、角平分线上的点到角两边的距离有什么关系？
3、你能证明这一结论吗? 已知:如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点 ,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E. A D 求证:PD=PE.
分析:要证明PD=PE,只要证明 它们所在的△OPD≌△OPB，
归 纳：
角平分线性质定理的逆定理： 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分 线上.
A
∵PA=PB, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是 D,E(已知), ∴点P在∠AOB的平分线上.(在一个角的 O 内部,且到角的两边距离相等的点,在这 个角的平分线上).
1 2
D P C
E
B
这个结论经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点).
∴BE=DE（等角对等边）
在等腰直角三角形BDE中， BD=
2DE
=
4 2
4 2
CM CM
∴AC=BC=CD+BD=4+
课堂练习
2.如图,在△ABC中，AC⊥BC，AD为∠BAC 的平分线，DE⊥AB，AB＝7㎝，AC＝3㎝， 4 求BE= CM. A
E
C
D
B
26
拓展提高：
3、已知△ABC中, ∠C=900,AD平分∠ CAB,且 BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？ C D
试一试：
已知：BD⊥AM于点D，CE⊥AN于点E， BD，CE交点F，CF=BF， 求证：点F在∠A的平分线上．
提示： 证明△CDF≌△BEF． 利用角平分线的判定定理说明结论
D
M C F
A
E B
N
典例分析：
三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边 的距离相等. 已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点 P. 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等. 证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA， 垂足为D、E、F ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上 A ∴PD=PE D 同理 PE=PF. F ∴ PD=PE=PF. N PM 即点P是三条角平分线交点且到 边AB、BC、CA的距离相等 B C
′
证一证：
已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB， 点D、E为垂足，QD＝QE． 求证：点Q在∠AOB的平分线上．
证明: ∵ QD⊥OA，QE⊥OB（已知）， ∴ ∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义） 在Rt△QDO和Rt△QEO中 ∵QO＝QO（公共边） QD=QE ∴ Rt△QDO≌Rt△QEO（HL） ∴ ∠ QOD＝∠QOE ∴点Q在∠AOB的平分线上
A E
C
D
B
（2）证明：由（1）的求解过程易知 Rt△ACD≌Rt△AED（HL） ∴AC=AE ∵BE=DE=CD ∴AB=AE+BE=AC+CD
∴BE=DE（等角对等边）
在等腰直角三角形BDE中， BD=
2DE
=
4 2
4 2
CM CM
∴AC=BC=CD+BD=4+
拓展提高：
3、已知△ABC中, ∠C=900,AD平分∠ CAB,且 BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？ C D
E
利用结论，解决问题
练一练 如图，为了促进当地旅 游发展，某地要在三条 公路围成的一块平地上 修建一个度假村.要使这 个度假村到三条公路的 距离相等,应在何处修建 ? 在确定度假村的位置时,一定要画 想一想 出三个角的平分线吗?你是怎样思考 的?你是如何证明的?
课堂练习：
1、如图,在△ABC中,已知AC=BC,∠C=900,AD 是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.
A
E
B
小 结：
一、角平分线的性质定理：角平分线上的点到这 个角的两边距离相等. 二、角平分线性质逆定理：在一个角的内部,且到 角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上. 三、定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并 且这一点到三边的距离相等(这个交点叫做三角形 的内心).
(1)如果CD=4cm,AC的长; (2)求证:AB=AC+CD.
(1)解：∵D是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E. ∴DE=CD=4cm（角平分线上的点到角的两边距离相等） ∵AC=BC ∴∠B=∠BAC ∵∠C=900 ∴∠B=450 ∴∠BDE=900-450=450
A E
C
D
B
（2）证明：由（1）的求解过程易知 Rt△ACD≌Rt△AED（HL） ∴AC=AE ∵BE=DE=CD ∴AB=AE+BE=AC+CD
A
E
B
小 结：
一、角平分线的性质定理：角平分线上的点到这 个角的两边距离相等. 二、角平分线性质逆定理：在一个角的内部,且到 角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上. 三、定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并 且这一点到三边的距离相等(这个交点叫做三角形 的内心).
1.4
角平分线导与练
想一想：
利用结论，解决问题
练一练 如图，为了促进当地旅 游发展，某地要在三条 公路围成的一块平地上 修建一个度假村.要使这 个度假村到三条公路的 距离相等,应在何处修建 ? 在确定度假村的位置时,一定要画 想明的?
典例分析：
三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边 的距离相等. 已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点 P. 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等. 证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA， 垂足为D、E、F ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上 A ∴PD=PE D 同理 PE=PF. F ∴ PD=PE=PF. PM N 即点P是三条角平分线交点且到 边AB、BC、CA的距离相等
归 纳：
角平分线性质定理： 角平分线上的点到这个角的两边距离相等. ∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任 意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别 是D,E(已知) ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角 的两边距离相等). D O A
1 2
E
P
C
B
这个结论经常用来证明两条线段相等.
动脑筋
在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E， 则：
你能写出“角平分线上的点到这个角的两边距离相等”的逆命题吗? 逆命题：在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上 . A 已知:如图,PA=PB, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E. D 求证:点P在∠AOB的平分线上. O 分析:要证明点P在∠AOB的平分线上,可以先作出过点P 的射线OC,然后证明∠1=∠2. 1 2 E B P C
⑴图中相等的线段有
BE=BC,DE=DC
;
C 相等的角有：∠ABD= ∠CBD ∠BED= ∠AED= ∠。
角平分线的性质 ⑵哪条线段与DE相等？为什么？ DC， A
⑶若AB＝10，BC＝8，AC＝6， 求BE，AE的长和△AED的周长。 BE=8，AE=2, △AED的周长8
B
E
10 8
D C
6
试一试：
B
E
C
课堂练习：
1、如图,在△ABC中,已知AC=BC,∠C=900,AD 是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.
(1)如果CD=4cm,AC的长; (2)求证:AB=AC+CD.
(1)解：∵D是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E. ∴DE=CD=4cm（角平分线上的点到角的两边距离相等） ∵AC=BC ∴∠B=∠BAC ∵∠C=900 ∴∠B=450 ∴∠BDE=900-450=450
北师大版八年级数学下册 2
2022-2023学年北师大版八年级数学下册《1.4角平分线》同步测试题（附答案）一．选择题（共7小题，满分28分）1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若CD＝BD，点D 到边AB的距离为6，则BC的长是（）A．6B．12C．18D．242．如图，O是△ABC的角平分线的交点，△ABC的面积为2，周长为4，则点O到BC的距离为（）A．1B．2C．3D．无法确定3．如图，∠ACB的外角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P．则下列结论正确的是（）A．P A平分∠CPB B．AP平分BC C．AP⊥BC D．AP平分∠CAB 4．如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB＝（）A．30°B．35°C．45°D．60°5．如图，AD∥BE，点C在BE上，AC平分∠DAB，若AC＝2，AB＝4，则△ABC的面积为（）A．3B．C．4D．6．如图，在∠MON中，以点O为圆心，任意长为半径作弧，交射线OM于点A，交射线ON于点B，再分别以A，B为圆心，OA的长为半径作弧，两弧在∠MON的内部交于点C，作射线OC．若OA＝5，AB＝6，则点B到AC的距离为（）A．5B．C．4D．7．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF．给出下列四个结论：①DE＝DF；②AC＝4BF；③DB＝DC；④AD⊥BC，其中正确的结论共有（）A．4个B．3个C．2个D．1个二．填空题（共7小题，满分28分）8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D．若BD：DC＝3：2，点D到AB的距离为6，则BC的长是．9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D．若BD＝10厘米，BC＝8厘米，DC＝6厘米，则点D到直线AB的距离是厘米．10．如图，在△ABC中，∠A、∠B的角平分线交于点O，过O作OP⊥BC于P，OQ⊥AC 于Q，OR⊥AB于R，AB＝7，BC＝8，AC＝9，则BP+CQ﹣AR＝．11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD为△ABC的角平分线，过点D作直线l∥AB，点P为直线l上的一个动点，若△BCD的面积为16，BC＝8，则AP最小值为．12．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是28cm2，AB＝20cm，AC＝8cm，则DE的长为．13．如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB＝60°，PD⊥OA，M是OP的中点，DM＝4cm，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为cm．14．在四边形ABCD中，∠ADC与∠BCD的角平分线交于点E，∠DEC＝115°，过点B 作BF∥AD交CE于点F，CE＝2BF，∠CBF＝∠BCE，连接BE，S△BCE＝4，则CE ＝．三．解答题（共6小题，满分64分）15．如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高．（1）请说明AE＝AF的理由；（2）若AB﹣AC＝2，CF＝1，求线段BE的长．16．如图，AD∥BC，∠D＝90°，∠CPB＝30°，∠DAB的角平分线与∠CBA的角平分线相交于点P，且D，P，C在同一条直线上．（1）求∠P AD的度数；（2）求证：P是线段CD的中点．17．如图，△ABC中，三个内角的角平分线交于点O，OH⊥BC垂足为H．（1）求∠ABO+∠BCO+∠CAO的度数；（2）求证：∠BOD＝∠COH．18．在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，M为直线AC上一动点，ME⊥BC，E为垂足，∠AME的平分线交直线AB于点F．（1）如图1，点M为边AC上一点，则BD、MF的位置关系是，并证明；（2）如图2，点M为边CA延长线上一点，则BD、MF的位置关系是，并证明；（3）如图3，点M为边AC延长线上一点，补全图形，并直接写出BD、MF的位置关系是．19．如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．（1）求∠CAD的度数；（2）求证：DE平分∠ADC；（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．20．如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“倍分线”．（1）如图1，若∠AOB＝60°，射线OC绕点O从OB位置开始，以每秒15°的速度逆时针旋转t秒，且0≤t≤12．①当t＝2秒时，OC∠AOB的“倍分线”；（填“是”或“不是”）②若射线OA是∠BOC的“倍分线”，求t的值；（2）如图2，射线AF绕点A从AB位置开始逆时针旋转α，同时射线BG绕点B从BA 的位置开始顺时针旋转β，且0＜β＜α＜180°，两条射线相交于点C．CD、CE分别是△ABC的高和角平线，是否存在CE是∠BCD的“倍分线”的情况？若存在，请求出α与β应满足的数量关系；若不存在，请说明理由．参考答案一．选择题（共7小题，满分28分）1．解：过D作DE⊥AB于E，∵点D到边AB的距离为6，∴DE＝6，∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴CD＝DE＝6，∵CD＝DB，∴DB＝12，∴BC＝6+12＝18，故选：C．2．解：设点O到BC的距离为x，∵O是△ABC的角平分线的交点，△ABC的面积为2，周长为4，∴×4x＝2，解得：x＝1．∴点O到BC的距离为1．故选：A．3．解：过P点分别作AB、BC、AC的垂线，垂足分别为E、G、D，∵∠ABC、∠ACB外角的平分线相交于点P，∴EP＝GP，GP＝DP，∴EP＝DP，∴AP平分∠BAC．故选：D．4．解：作MN⊥AD于N，∵∠B＝∠C＝90°，∴AB∥CD，∴∠DAB＝180°﹣∠ADC＝70°，∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，∴MN＝MC，∵M是BC的中点，∴MC＝MB，∴MN＝MB，又MN⊥AD，MB⊥AB，∴∠MAB＝∠DAB＝35°，故选：B．5．解：过A作AF⊥BE于F，∵AD∥BE，∴∠DAC＝∠ACB，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC，∴∠BAC＝∠ACB，∴AB＝BC＝4，设CF＝x，则BF＝4﹣x，由勾股定理得：AB2﹣BF2＝AF2＝AC2﹣CF2，∴42﹣（4﹣x）2＝22﹣x2，x＝，∴AF＝＝，∴S△ABC＝BC•AF＝×＝，故选：B．6．解：由题意可得，OC为∠MON的角平分线，∵OA＝OB，OC平分∠AOB，∴OC⊥AB，设OC与AB交于点D，作BE⊥AC于点E，∵AB＝6，OA＝5，AC＝OA，OC⊥AB，∴AC＝5，∠ADC＝90°，AD＝3，∴CD＝4，∵，∴，解得，BE＝，故选：B．7．解：∵BF∥AC，∴∠C＝∠CBF，∵BC平分∠ABF，∴∠ABC＝∠CBF，∴∠C＝∠ABC，∴AB＝AC，∵AD是△ABC的角平分线，∴BD＝CD，AD⊥BC，故③④正确，在△CDE与△DBF中，，∴△CDE≌△DBF（ASA），∴DE＝DF，CE＝BF，故①正确；∵AE＝2BF，∴AC＝3BF，故②错误．故选：B．二．填空题（共7小题，满分28分）8．解：作DE⊥AB于E，如图，则DE＝6，∵AD平分∠BAC，∴DC＝DE＝6，∵BD：DC＝3：2，∴BD＝×6＝9，∴BC＝BD+DC＝9+6＝15．故答案为15．9．解：过D作DE⊥AB，交AB于点E，∵BD平分∠ABC，DC⊥CB，DE⊥BA，∴DE＝DC＝6厘米，则点D到直线AB的距离是6厘米，故答案为：610．解：连接AO，OB，OC，∵OP⊥BC，OQ⊥AC，OR⊥AB，∠A、∠B的角平分线交于点O，∴OR＝OQ，OR＝OP，∴由勾股定理得：AR2＝OA2﹣OR2，AQ2＝AO2﹣OQ2，∴AR＝AQ，同理BR＝BP，CQ＝CP，即O在∠ACB角平分线上，设BP＝BR＝x，CP＝CQ＝y，AQ＝AR＝z，则x＝3，y＝5，z＝4，∴BP＝3，CQ＝5，AR＝4，BP+CQ﹣AR＝3+5﹣4＝4，故答案为：4．11．解：过点D作DE⊥AB于E，∵△BCD的面积为16，BC＝8，∠C＝90°，∴CD＝4，∵BD是∠ABC的平分线，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝CD＝4，当AP⊥直线l时，AP的值最小，此时四边形APDE为矩形，∴AP＝DE＝4，∴AP最小值为4，故答案为：4．12．解：∵在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE＝DF，∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝AB•DE+AC•DF，∵△ABC面积是28cm2，AB＝20cm，AC＝8cm，∴×20DE+×8DF＝10DE+4DF＝14DE＝28，解得DE＝2cm．故答案为：2cm．13．解：∵P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB＝60°，∴∠AOP＝∠AOB＝30°，∵PD⊥OA，M是OP的中点，DM＝4cm，∴OP＝2DM＝8，∴PD＝OP＝4，∵点C是OB上一个动点，∴PC的最小值为P到OB距离，∴PC的最小值＝PD＝4，故答案为：4．14．解：∵∠CBF＝∠BCE，∴可以假设∠BCE＝4x，则∠CBF＝5x，∵DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，∴∠ADE＝∠EDC，∠ECD＝∠ECB＝4x，设∠ADE＝∠EDC＝y，∵AD∥BF，∴∠A+∠ABF＝180°，∴∠ADC+∠DCB+∠CBF＝180°，∴2y+13x＝180°①，∵∠DEC＝115°，∴∠EDC+∠ECD＝65°，即y+4x＝65°②，由①②解得，∴∠BCF＝40°，∠CBF＝50°，∴∠CFB＝90°，∴BF⊥EC，∵CE＝2BF，设BF＝m，则CE＝2m，∵S△BCE＝•EC•BF＝4，∴×2m×m＝4，∴m＝2或﹣2（舍弃），∴CE＝2m＝4，解法二：延长BA交CB的延长线于点M．∵DE、CE平分∠ADC和∠BCD，∴∠ADC+∠BCD＝2（∠EDC+∠ECD）＝2（180﹣∠DEC）＝130°，∴∠M＝50°，∵BF∥AD，∴∠M＝∠FBC＝50°，∵∠CBF＝∠BCE，∴∠BCE＝40°，∴∠BFC＝90°，∵CE＝2BF，三角形BCE的面积4，∴CE＝4．故答案为4．三．解答题（共6小题，满分64分）15．解：（1）∵DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，∴DE⊥AB，DF⊥AC，∵AD是△ABC的角平分线，∴DE＝DF，在Rt△ADE和Rt△ADF中，∵，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴AE＝AF；（2）∵AE＝AF，即AB﹣BE＝AC﹣CF，∴BE＝AB﹣AC+CF＝2+1＝3．16．（1）解：∵AD∥BC，∴∠C＝180°﹣∠D＝180°﹣90°＝90°，∵∠CPB＝30°，∴∠PBC＝90°﹣∠B＝60°，∵PB平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠PBC＝120°，∵AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC＝180°，∴∠DAB＝180°﹣120°＝60°，∵AP平分∠DAB，∴∠P AD＝∠DAB＝30°；（2）证明：过P点作PE⊥AB于E点，如图，∵AP平分∠DAB，PD⊥AD，PE⊥AB，∴PE＝PD，∵BP平分∠ABC，PC⊥BC，PE⊥AB，∴PE＝PC，∴PD＝PC，∴P是线段CD的中点．17．（1）解：∵AD、BE、CF分别是△ABC的三个内角的角平分线，∴∠ABO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACB，∠CAO＝∠CAB．又∵∠ABC+∠ACB+∠CAB＝180°，∴∠ABO+∠BCO+∠CAO＝（∠ABC+∠ACB+∠CAB）＝×180°＝90°；（2）证明：∵∠BOD＝∠BAO+∠ABO，∠BAO＝∠CAO，∴∠BOD＝∠CAO+∠ABO＝（∠BAC+∠ABC）＝（180°﹣∠ACB）＝90°﹣∠ACB＝90°﹣∠BCO．又∵OH⊥BC，∴∠OHC＝90°，∴∠COH＝90°﹣∠HCO．∴∠BOD＝∠COH．18．解：BD∥MF，理由如下：（1）过点D作DH⊥BC，∵∠A＝∠BHD＝90°，∠ABD＝∠CBD，BD＝BD，∴△ABD≌△HBD（AAS），∴∠ADB＝∠HDB，∵ME⊥BC，∴∠EMC＝∠HDC，∴∠AMF＝∠ADH，∴∠AMF＝∠ADB，∴FM∥BD；（2）BD⊥MF，理由如下：延长MF交BD于点H，∵∠BAM＝∠BEM＝90°，∠AOM＝∠BOE，∴∠ABC＝∠CME，∴∠AMF＝∠ABD．∵∠AFM＝∠BFM，∴∠BHM＝∠MAB＝90°，∴MF⊥BD．（3）如图：MF⊥BD．证明方法同理（2）.19．（1）解：∵EF⊥AB，∠AEF＝50°，∴∠F AE＝90°﹣50°＝40°，∵∠BAD＝100°，∴∠CAD＝180°﹣100°﹣40°＝40°；（2）证明：过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，∵∠F AE＝∠DAE＝40°，EF⊥BF，EG⊥AD，∴EF＝EG，∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC，∴EF＝EH，∴EG＝EH，∵EG⊥AD，EH⊥BC，∴DE平分∠ADC；（3）解：∵S△ACD＝15，∴×AD×EG+×CD×EH＝15，即×4×EG+×8×EG＝15，解得，EG＝EH＝，∴EF＝EH＝，∴△ABE的面积＝×AB×EF＝×7×＝．20．解：（1）①当t＝2时，OC在∠AOB内部，且∠BOC＝2×15°＝30°，∴∠AOB＝2∠BOC，∴OC是∠AOB的“倍分线”，故答案为：是；②（Ⅰ）当OA在∠BOC内部且∠AOB＝2∠AOC时，∠AOC＝30°，∴∠BOC＝90°，∴t＝90÷15＝6；（Ⅱ）当OA在∠BOC内部且∠AOC＝2∠AOB时，如图：∴∠AOC＝120°，∴∠BOC＝180°，∴t＝180÷15＝12；（Ⅲ）当OA在∠BOC内部且∠BOC＝2∠AOC＝2∠BOC时，如图：∴∠BOC＝120°，∴t＝120÷15＝8，综上所述，t的值为6或12或8；（2）存在CE是∠BCD的“倍分线”的情况，理由如下：如图：由已知可得：∠BCD＝90°﹣β，∠BCE＝∠ACB＝（180°﹣α﹣β）＝90°﹣α﹣β，∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCE＝（90°﹣β）﹣（90°﹣α﹣β）＝α﹣β，当∠BCD＝2∠BCE时，如图：90°﹣β＝2（90°﹣α﹣β），∴α＝90°，当∠DCE＝2∠BCE时，如图：∴α﹣β＝2（90°﹣α﹣β），整理得：3α+β＝360°，当∠BCE＝2∠DCE时，如图：∴90°﹣α﹣β＝2（α﹣β），整理得3α﹣β＝180°，综上所述，α与β应满足的数量关系为：α＝90°或3α+β＝360°或3α﹣β＝180°．。
八年级数学下册1.4.2角平分线课件新版北师大版
度数，可以求此角的度数。
3
应用三 解决实际问题
可以运用角平分线及其性质来解决直角 三角形、等腰三角形等问题。
角平分线的练习
练习一 画出角的平分线
练习用尺规等工具作出各种角的 平分线。
练习二 用角平分线定理 求角度
练习应用角平分线定理来求出角 的度数。
练习三 解决实际问题
练习将角平分线应用于解决不同 的实际问题。
总结
1 角平分线的重要性
角平分线是许多的几何问题的基础课件的学习，你是否已经对角平分线有了更好的理解？
3 知识点回顾
通过课件中的练习，你是否已经掌握了角平分线的基本定义、性质、作用、应用及求解 方法？
可用尺规作图法作出一条角的平 分线。
角平分线的作用
寻找角平分线
可以用尺规作图法求角平分线。
确定长度
若一个角的一条平分线已知其长度，则可以求出与此平分线相应两边的长度。
证明定理
可以用角平分线定理来证明一些定理。
角平分线的应用
1
应用一 求角平分线
通过尺规作图等方法求角平分线。
应用二 求角度大小
2
已知一个角的一条平分线与相应两边的
角平分线课件：北师大版 八年级数学下册1.4.2
本课件将深入讲解角平分线的定义、性质、作用、应用和练习，助你更好地 掌握这一知识点。
角平分线的定义
什么是角平分线
角平分线是指可以将一个角平分 成两个相等的角的线段。
角平分线的性质
作图
1.角平分线可以互相平分。
2.如果一个角的两条平分线相交， 则它们所截的弧上的点都在相同 的直线上。
北师大版数学八年级下册1.4第2课时三角形三条内角的平分线课件(共17张)
∠CBE =∠ABE，且 AC = 6 cm，
那么 AE + DE = 6 cm.
C E
A
D
B
3. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建
一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相
等，凉亭的位置应选在 ( C )
A
A. △ABC 的三条中线的交点
B. △ABC 三边的垂直平分线的交点
C. △ABC 三条角平分线的交点
点，且点 O 到△ABC 三边的距离相等．若∠A
＝40°，则∠BOC 的度数为 ( A )
A．110°
B．120°
C．130°
D．140°
解析：O 到△ABC 三边的距离相等，所以 O 是内心，即
三条角平分线的交点，故 BO，CO 都是内角平分线，
则∠CBO＝∠ABO＝ 1∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝ 1∠ACB，
解：如图，过点 O 作 OE⊥AB 于点 E，ON⊥BC 于
点 N，连接 OC.
S ABC S AOC S BOC S AOB
B
1 AB OE 1 BC ON 1 AB OM
2
2
2
OP
1 OM ( AB BC OM )
2
1 4 32 64.
A
2
DM C
例3 如图，在△ABC 中，点 O 是△ABC 内一
∴ DE = CD = 4 cm.
E
∵ AC = BC，∴∠B =∠BAC.
∵∠C = 90°，∴∠B = 45°. ∴ BE = DE. C D
B
在等腰 Rt△BDE 中，BD 2DE2 4 2 cm.
AC BC CD BD (4 4 2) cm.
北师大版数学八年级下册数学课件：第一章4角平分线第二课时
课堂讲练
模拟演练
1. 如图1-4-22，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A.作 ∠BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图 痕迹，不要求写作法）.
=28x，
∴28x=84.
解得x=3. 故PD的长为3.
连接OA.
∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，
∴OE=OF=OD=3.
1
1
1
∴S△ABC= 2 AB·OE+ 2 AC·OF+ 2 BC·OD
பைடு நூலகம்
=
12（AB+AC+BC）·3=
63 2
.
课堂讲练
模拟演练
3.如图1-4-26所示，在△ABC中，若点O是∠ABC,∠ACB的角
平分线的交点，且∠ABC=50°，∠ACB=60°，求∠OAB的
2
∵∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC，
∴∠AOB=180°- ∠1 ABC- ∠1BAC
=90°+ 1 ∠ACB. 2
2
∵FO⊥OC2，∴∠FOC=90°.
∵∠BFO=∠FOC+∠OCF，∠OCF= ∴∠BFO=90°+ 1∠ACB.
∠A12 CB，
2
∴∠AOB=∠BFO.
课后作业
8. 如图1-4-35，在△ABC中，∠B=90°，两直角边AB=7， BC=24，三角形内有一点P到各边的距离相等，PE⊥AB， PF⊥BC，PD⊥AC，垂足分别为E,F,D，求PD的长.
2022--2023学年北师大版八年级数学下1
2023年北师大新版八年级（下）《1.4 角平分线》同步练习（2）一、选择题（共10小题）1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为（）A．3B．4C．5D．62．如图，l3与两条平行公路l1，l2三条公路相交，若要在l1上确定某个位置，使其到另两条公路的距离相等，这样的位置有（）A．1个B．2个C．3个D．无数个3．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，且BC＝4，DE＝2，则△BCD的面积是（）A．4B．2C．8D．64．点P在∠MON的平分线上，点P到OM边的距离等于4，点Q是ON边上任意一点，下列关于线段PQ长度的描述正确的是（）A．PQ＜4B．PQ≤4C．PQ＞4D．PQ≥45．如图，∠MON＝60°．①以点O为圆心，2cm长为半径画弧，分别交OM、ON于点A、C；②在分别以A、C为圆心，2cm长为半径画弧，两弧交于点B；③连接AB、BC，则四边形OABC的面积为（）A．4cm2B．2cm2C．4cm2D．2cm26．如图，BD平分∠ABC，DE⊥BC于点E，DE＝4，AB＝7，则△ABD的面积等于（）A．28B．21C．14D．77．如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，点P到边OB的距离为4，则PD＝（）A．6B．5C．4D．38．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为8，12，10，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△AOC等于（）A．1：1：1B．2：4：3C．4：6：5D．4：6：109．已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC＝20，且BD：DC＝3：2，则点D到AB边的距离为（）A．8B．12C．10D．1510．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED ＝90°；②∠ADE＝∠CDE；③DE＝BE；④AD＝AB+CD，四个结论中成立的是（）A．①②④B．①②③C．②③④D．①③二、填空题（共5小题）11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD是△ABC的角平分线，BC＝10cm，BD：DC＝3：2，则点D到AB的距离为．12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，若AB＝10，CD ＝3，则S△ABD＝．13．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AE与AC的中线BD交于点F，P 为CE中点，连接PF，若CP＝2，S△BFP＝15，则AB的长度为．14．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝12，BC＝18，CD＝8，则四边形ABCD的面积是．15．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，△ABC的面积为70，AB＝16，BC＝12，则DE的长为．三、解答题（共5小题）16．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AD，CE是角平分线，AD 与CE相交于点F，FM⊥AB，FN⊥BC，垂足分别为M，N．求证：FE＝FD．17．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容．定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程．定理应用：如图②，△ABC的周长是12，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，若OD＝3，则△ABC的面积为．18．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且∠BDE＝∠CDF．求证：AD平分∠BAC．19．求证：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．20．如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点，CE＝BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC．。
北师大版数学八年级下册1.4《角平分线》教案
北师大版数学八年级下册1.4《角平分线》教案一. 教材分析《角平分线》是北师大版数学八年级下册第1章“几何变换”中的一个重要内容。
本节课主要介绍了角平分线的性质及其在几何图形中的应用。
学生通过学习角平分线，可以进一步理解几何图形的性质，提高解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了线段的中垂线、垂直平分线的性质，对几何图形的变换有一定的了解。
但部分学生对角平分线的概念和性质理解不够深入，运用角平分线解决实际问题的能力较弱。
三. 教学目标1.理解角平分线的定义及其性质；2.学会运用角平分线解决简单几何问题；3.培养学生的空间想象能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.角平分线的定义及其性质；2.运用角平分线解决实际问题。
五. 教学方法采用讲授法、示范法、讨论法、实践法等多种教学方法，引导学生通过观察、思考、操作、交流等活动，掌握角平分线的性质和应用。
六. 教学准备1.准备相关课件和教学素材；2.准备角平分线的模型或实物；3.准备练习题和拓展题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件或实物展示，引导学生回顾线段的中垂线、垂直平分线的性质。
提问：线段的垂直平分线和中垂线有什么关系？它们在几何图形中有什么作用？2.呈现（10分钟）展示角平分线的模型或实物，引导学生观察并思考：角平分线是什么？它有什么特点？通过示范和讲解，阐述角平分线的定义及其性质。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，尝试运用角平分线解决简单几何问题。
教师巡回指导，解答学生疑问。
4.巩固（10分钟）出示练习题，让学生独立完成。
教师选取部分学生的作业进行点评，指出错误并讲解原因。
5.拓展（10分钟）出示拓展题，引导学生运用所学知识解决实际问题。
学生分组讨论，教师巡回指导。
6.小结（5分钟）总结本节课所学内容，强调角平分线的性质及其在几何图形中的应用。
7.家庭作业（5分钟）布置适量的作业，让学生巩固所学知识。
8.板书（5分钟）设计简洁明了的板书，突出角平分线的性质和应用。
北师大版(新)初中数学八年级下册 1,4角平分线 第二课时【优质课件】
1 已知△ABC，求作一点P，使P 到∠A 的两边的距离相等，且 PA＝PB.下列确定P 点的方法正确的是( B ) A．P 为∠A 与∠B 的平分线的交点 B．P 为∠A 的平分线与AB 的垂直平分线的交点 C．P 为AC，AB 两边上的高的交点 D．P 为AC，AB 两边的垂直平分线的交点
2 如图，李明计划在张村、李村之间建一家超市．张、李两村 坐落在两相交公路内．超市的位置应满足下列条件：(1)使其 到两公路的距离相等；(2)为了方便群众，超市到两村的距离 之和最短，请你通过作图确定要建超市的位置．
证明：∵BM 是△ABC 的角平分线，点P 在BM上，且PD丄AB，PE 丄BC，垂足分别为D，E， ∴PD＝PE (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). 同理，PE＝PF． ∴PD＝PE＝PF. ∴点P 在∠A 的平分线上(在一个角的内部，到角的两边距离 相等的点在这个角的平分线上)，即∠A 的平分线经过点P.
(2) 求证：AB＝AC＋CD.
A
E
C
D
B
(1) 解：∵AD 是△ABC 的角平分线，DC丄AC，DE丄AB 垂足为E， ∴ DE＝CD＝4 cm (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). ∵AC＝BC，∴ ∠B＝∠BAC， (等边对等角). ∵ ∠C＝90°， ∴ B＝1 90＝45 . ∴∠BDE＝90°－45°＝45° .
FEM＝FDN，
在△FEM 与△FDN 中， EMF＝DNF，
∴△FEM ≌ △FDN.
FM＝FN，
∴FE＝FD.
2 在△ABC 内到三条边距离相等的点是△ABC 的( B )
A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高的交点 D．以上均不对
3 到三角形三边距离相等的点的个数是( D )
1.4.2 角平分线 枣庄四十二中 徐利华
课题：第一章第四节角平分线第2课时授课人：市中区四十二中徐利华课型：新授课授课时间：2014年3月6日，星期四，第 1 节课教学目标：1．证明与角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论；2．角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用；3．培养学生将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力．教学重点：探索三角形三个内角的平分线的性质．教学难点：角平分线的性质定理和判定定理的综合应用．教法学法：本节课采用分组活动与全班交流研讨相结合．这节课我通过设置“预习展示—猜想—证明—应用”四个递进的活动，来引导学生探究三角形三个角平分线的性质．在教学中，我创造一种学生积极参与的学习环境，对学生适时的引导，并充分利用学生的想法和语言，纳入本课时的教学，使学生更投入的学习．课前准备：学生课前准备：完成老师布置的预习题；教师课前准备：制作好课件.教学过程：一、预习展示【实物投影】收集学生的预习作业并投影.师：上节课我们学习了三角形角平分线的性质和判定，并给同学们留了预习作业，下面请同学们观察你们所画的三角形三个内角的角平分线来猜想它们的特点.生1：通过观察我认为三角形三个内角的角平分线交与一点.师：（追问）你怎会会有这种想法？生1：我是对比上节课三角三边垂直平分线的特点来猜的.师：哦，是个有心的的同学，回答的非常好！谁还有其它猜想？生2：既然三角形的三角的角平分线交与一点，那么我认为这一点到三边的距离相等.师：你的理由？生2：既然三个角平分线交与一点，那么根据角平分线的点到角两边的距离相等，那么这一点到三边的距离肯定是相等的.师：说的有根有据的，很好！谁还有其它猜想吗？（没有学生举手）师：那么这两位同学说的对不对呢？我们这节课就来研究这两位同学的猜想.【教师板书课题：1.4 角平分线】【设计意图】：让学生先观察三角形三个内角的角平分线，然后对比三边的垂直平分线的特点，猜想出三角形三个内角平分线的特点，使学生对这节课的大体内容和总的研究方法有了整体的认识和把握，通过老师点明了线段垂直平分线和角平分线之间的相似性，学生初步感受到了数学中的和谐，对数学对象之间的相互联系有了感性的体验．在教师的帮助下提炼出数学中的联系，建构的认知结构．二、探究交流，获取新知探究活动1：自主证明三角形三角角平分线的性质D FEM NCBAP师：好，下面我们来尝试证明我们总结的命题，请同学们先写出已知和求证并画出图形. 【课件投影】命题：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.（学生独自写出已知和求证并画出图形）已知：如图，设△ABC 的角平分线BM 、CN 相交于点P ，过点p 分别作AB,BC,AC 的垂线，垂足分别为D,E,F. 求证：∠A 的角平分线经过点P ,且PD=PE=PF ．（分析:我们知道,两条直线相交只有一个交点.要想证明三条直线相交于一点,只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可.这时可以考虑前面刚刚学到的逆定理.） 师：老师期望你们能写出规范的证明过程.（学生类比三角形三条线段垂直平分线的性质定理，试着用三线共点的思路给出证明，证明的过程中用到角平分线的性质定理和判定定理.）【设计意图】：知道学生已经明白下一步的任务，留出时间和空间让学生思考问题如何解决，不要代替学生思考，培养学生的思维能力.（等大部分学生已经找到证明的思路，让两位学生到黑板上写出它们完整的证明过程，包括写出已知，求证和证明．其他学生在练习本上完成，让学生把证明落实到笔上.）证明：∵BM 是△ABC 的角平分线,点P 在BM 上,∴PD=PE (角平分线上的点到这个角的两边距离相等). 同理,PE=PF . ∴PD=PF .∴点P 在∠BAC 的平分线上(在一个角的内部,到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上). ∴△ABC 的三条角平分线相交于一点P .∵ 点P 是△ABC 的三条角平分线的交点，且PE ⊥BC ，PF ⊥AC ，PD ⊥AB .∴ PD = PE = PF . 【设计意图】：培养学生的数学语言表达能力，也可以让学生自己监控自己的思维，培养学生思维的批判性．以及表达的严密性和规范性，及时修正自己解题过程中不合理不规范的地方. 探究活动2：性质的应用师：根据证明我们得出了有关三角形的三条角平分线的结论，即三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．下面请同学们填写下表来比较三角形三边的垂直平分线和三条角平跟踪练习：如图：直线l 1、l 2、l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？你如何发现的?l 3l 21l CBA（学生思考交流后举手回答）生1：有一处．在三条公路的交点A 、B 、C 组成的△ABC 三条角平分线的交点处．因为三角形三条角平分线交于且这一点到三边的距离相等．而现在要建的货物中转站要求它到三条公路的距离相等．这一点刚好符合． 师：其他同学有不同意见吗？生2：我找到四处．(同学们很吃惊)除了刚才同学找到的三角形ABC 内部的一点外，我认为在三角形外部还有三点．作∠ACB 、∠ABC 外角的平分线交于点P 1(学生主动到黑板演示)，我们利用角平分线的性质定理和判定定理，可知点P 1在∠CAB 的角平分线上，且到l 1、l 2、l 3的距离相等．同理还有∠BAC 、∠BCA 的外角的角平分线的交点P 3；因此满足条件共4个，分别是P 、P 1、P 2、P 3. 师：回答的非常精彩，大家掌声鼓励！探究活动3：自学例题例3：如图，在△ABC 中．AC =BC ，∠C =90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ．(1)已知CD =4 cm ，求AC 的长； (2)求证：AB =AC +CD ．（生小组讨论,寻找解题方法.）点拨：本例需要运用前面所学的多个定理，而且将计算和证明融合在一起，目的是使学生进一步理解、掌握这些知识和方法，并能综合运用它们解决问题．第(1)问中，求AC 的长，需求出BC 的长，而BC =CD +DB ，CD =4 cm ，而BD 在等腰直角三角形DBE 中，根据角平分线的性质，DE =CD =4cm ，再根据勾股定理便可求出DB 的长．第(2)问中，求证AB =AC +CD ．这是我们第一次遇到这种形式的证明，利用转化的思想AB =AE +BE ，所以需证AC =AE ，CD =BE ． （学生独自完成例题的证明）三、师生交流，归纳小结师：本节课我们利用角平分线的性质和判定定理证明了三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三角形各边的距离相等．并综合运用我们前面学过的性质定理等解决了几何中的计算和证明问题．相信每个同学都有所收获．整理一下本节课的所学，写在导学案上．我掌握了三角形三个内角角平分线： ；PD AE COB 我探索了三角形角平分线的应用： ； 我学会的方法： ； 我还懂得了： ． 学生写完后，全班交流各自的收获和心得．教师及时点评，鼓励．【设计意图】：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识，写下来更能加深印象．五、达标检测，反馈新知出示达标题目限时10分钟练习 A 组（必做题）： 1.判断对错(1).在同一平面内，到三角形三边距离相等的点只有一个 （ ） (2).在同一平面内，到三角形三边所在直线距离相等的点只有一个 （ ） (3).三角形三条角平分线交于一点 （ ）2.∠AOB 的平分线上一点M ，M 到 OA 的距离为1.5 cm ，则M 到OB 的距离为_________.3.如图，OP 平分∠BOA ，∠BOA =45°， PC ∥OA ，PD ⊥OA ，若PC =4， 则PD 等于（ ）A.4 B.22 C.32 D.24. 已知:如图,∠C=90°, ∠B=30°,AD 是Rt △ABC 的角平分线. 求证：BD=2CD ． B 组（选做题）：1. 已知：如图，P 是么∠AOB 平分线上的一点，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别为C 、D ． 求证：(1)OC =OD ；(2)OP 是CD 的垂直平分线．【设计意图】：设计分层训练，基础题要求全部学生掌握，提高题要求有能力的学生掌握，这样既满足了不同学生的需求，也便于老师及时地了解学生的情况.教师可以根据学生的情况选择课堂练习或留作家庭作业.六、布置作业必做题：课本P 32 习题1.10 第1、2、3题. 选做题：课本P 32 习题1.10 第4题.【设计意图】：作业分为必做题与选做题，选做题能使学生课下将所学知识进一步巩固，并得以反馈，选做题有点难度，需要学生两次运用等腰三角形的性质定理和一次全等，程度好的学生可以顺利完成，程度差的学生需要在老师或同学的帮助下完成.教后反思：本节课是在展示学生预习的基础上引入的，通过学生的观察，猜想出三角形三个内角的平分线交与一点，并且到三边的距离相等，由此引出本节课的定理证明，本节课的教学具有以下优点：1.课堂中所设的问题恰当、难易适中,小步子、设阶梯，做到了由浅入深，由简单到复杂，带有启发性、思考性和思辩性，在教师的引导、点拨之下，学生能主动探究规律.2.由于三角形三边垂直平分线和三个内角平分线两个定理比较容易混，在讲解时运用了表格进行对比记忆，有利于学生记忆和运用.再教建议：1.跟踪练习的处理速度太快收效不太好，以后注重调动各层次的学生积极思维，培养了学生理解和分析能力.2.本节课证明题对学生能力的要求较高，讲解时注重对学生分析能力的培养，另外老师还要通过作业检查学生的证明过程的逻辑性..。
1.4.2角平分线 教案2021-2022学年北师大版八年级数学下册
课题1.4角平分线（2）学习目标1.证明与角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论。
2.角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用。
3.培养将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力，提高综合运用数学知识和方法解决问题的能力。
重点难点重点：角的平分线的性质，综合运用角平分线的判定和性质定理，解决几何中的问题。
难点：角平分线的性质定理和判定定理的综合应用。
教法选择自主探究、合作学习课型新授课课前准备课件是否采用多媒体是教学时数2课时教学时数第 2 课时备课总数第课时教学设计思路及其意图本节设计对学生能力的要求较高，教师要善于利用典型例题，加以发挥，使例题的功能得以体现，达到以点带线，以线带面的功效。
教师可以让学生自己证明，自己写出角平分线性质定理的逆命题，并写出已知、求证，写出证明过程，角平分线性质定理中的“距离”是点到线的距离，教学中教师要加以强调。
这样设计教学，既符合教材的逻辑，也符合学生的认知。
课堂教学过程设计教学内容教师活动学生活动一、复习旧知，探究新知1.如图，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E，F， DE=DF，∠EDB= 60º，则∠EBF= 度，BE= .2.如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB，∠1=∠2，且AC=6cm，那么线段BE是△ABC的__________，AE+DE=____.学生回忆角平分线的性质和判定定理的相关知识，自主完成.3.尺规作图：作∠AOB的平分线.学生回忆角平分线尺规作图的作法，在练习本上自主完成.提出要求：尺规作图三角形的三个内角的角平分线，并仔细观察所作的图形，你有什么发现呢?二、设置问题，引入新课问题：通过作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什出示问题，鼓励学生采用不同方法证明此问题。
并对学生的说理给予肯定.对全班学生做出讲解，并书写证明过程.小组合作，相互讨论，完成所提出的问题.独立思考问题，根据定理写出已知、求证，全班交流.么?能证明自己发现的结论一定正确吗？于是，首先证明“三角形的三个内角的角平分线交于一点”．三、合作学习，自主探究（一）探究三角形的的角平分线性质定理并仔细观察所作的三角形的三个内角的角平分线的图形，你发现了什么?学生观察讨论得出结论：“三角形的三个内角的角平分线交于一点”．提问：你能证明自己发现的结论一定正确吗？请同学们自己尝试着证明上述结论，然后在全班进行交流．证明过程如下：已知：如图，设△ABC的角平分线．BM、CN相交于点P，求证：P点在∠BAC的角平分线上．证明：过P点分别做AB、BC、AC的垂线PD、PE、PF,垂足分别为D、E、F.∵ BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴ PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).同理，PE=PF.∴ PD=PE=PF.∴点P在∠A的平分线上(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)，即：∠A的平分线经过点P.在证明过程中，我们除证明了三角形的三条角平分线相交于一点外，还有什么“附带”的成果呢?（PD=PE=PF，即这个交点到三角形三边的距离相等．）于是我们得出了有关三角形的三条角平分线的结论，即定理三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．归纳总结：三角形角平分线的性质定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．几何语言：如图，在△ABC中∵ AE、BF、CN是△ABC的三条角平分线且PD⊥AB、PM⊥AC、 PO ⊥BC(已知)∴ AE、BF、CN相交于一点P且PD=PM=PO(三角形角平分线的性质定理)下面我通过列表来比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理三边垂直平分线三条角平分线三角形锐角三角形交于三角形内一点交于三角形内一点钝角三角形交于三角形外一点直角三角形交于斜边的中点交点性质到三角形三个顶点的距离相等到三角形三边的距离相等二、展示思维过程，构建探究平台求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．已知：如图，在△ABC中，角平分线BM和角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB,BC,AC的垂线，垂足分别是D,E,F.求证：∠A的平分线经过点P,且PD=PE=PF.DFEMNC BAP三、例题讲解例 如图，在△ABC 中．AC=BC ，∠C=90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ．(1)已知CD=4 cm ，求AC 的长； (2)求证：AB=AC+CD ．(1)解：∵AD 是△ABC 的角平分线，∠C=90°，DE ⊥AB ．∴DE=CD=4cm(角平分线上的点到角两边的距离相等)． ∵AC=BC ∴∠B=∠BAC(等边对等角)． ∵∠C=90°，∴∠B=12 ×90°=45°．∴∠BDE=90°—45°＝45°．∴BE=DE(等角对等边)． 在等腰直角三角形BDE 中BD=cm DE 2422=(勾股定理)，∴AC=BC=CD+BD=cm )244(+．(2)证明：由(1)的求解过程可知，Rt △ACD ≌Rt △AED(HL)∴AC=AE. ∵BE=DE=CD ，∴AB=AE+BE=AC+CD ． 四、巩固练习1.完成课本P31 随堂练习 五、本课小结指导学生理解题意，并疏通证明思路.出示问题，巡查学生完成情况，并个别讲解.对于例题的第一问，着重讲解，并板书解题过程，对做得好的学生给予表扬和鼓励.引导学生完成本节课所学内容的小结.理解题意，并独立思考解题过程小组合作，相互讨论，完成例题。
北师大版数学八年级下册1.4《角平分线》(第1课时)教学设计
北师大版数学八年级下册1.4《角平分线》（第1课时）教学设计一. 教材分析《角平分线》是北师大版数学八年级下册第1.4节的内容，本节课主要介绍了角平分线的定义、性质和作法。
通过本节课的学习，使学生能够理解角平分线的概念，掌握角平分线的性质，学会如何作一个角的平分线。
教材通过生活中的实例引入角平分线，激发学生的学习兴趣，接着引导学生通过观察、思考、操作、交流等活动，探索角平分线的性质和作法，培养学生的动手能力和合作意识。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了角的概念、垂线的性质等知识，具备了一定的几何基础。
但是，对于角平分线的理解和运用还需要进一步的引导和培养。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，针对学生的实际情况进行教学设计，引导学生通过自主学习、合作交流等方式，掌握角平分线的性质和作法。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生理解角平分线的定义，掌握角平分线的性质，学会如何作一个角的平分线。
2.过程与方法目标：通过观察、思考、操作、交流等活动，培养学生的动手能力和合作意识。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的自主学习能力和创新精神。
四. 教学重难点1.教学重点：角平分线的定义、性质和作法。
2.教学难点：角平分线的性质的理解和运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例引入角平分线，激发学生的学习兴趣。
2.引导发现法：教师引导学生观察、思考、操作、交流，发现角平分线的性质。
3.合作学习法：学生分组合作，共同探索角平分线的性质和作法。
六. 教学准备1.教学课件：制作角平分线的课件，包括图片、动画、例题等。
2.教学素材：准备一些角的模型和画图工具，如直尺、圆规等。
3.学生活动材料：准备一些练习题和小组讨论题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过生活中的实例引入角平分线，如剪刀的剪切角、太阳伞的遮阳角等，引导学生关注角平分线在生活中的应用。
2.呈现（10分钟）教师展示一些角的模型，让学生观察并思考：如何作一个角的平分线？学生分组讨论，尝试用工具画出角的平分线。