2019年陕西省榆林市高考数学一模试卷(理科)(解析版)
2019年陕西省榆林市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若复数z＝，则其虚部为（）A．i B．2i C．﹣2D．22．（5分）若集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x2﹣5x+6＜0，x∈Z}，则A∩B中元素的个数为（）A．0B．1C．2D．33．（5分）函数的图象的大致形状是（）A．B．C．D．4．（5分）已知向量、满足||＝1，||＝2，||＝，则||＝（）A．2B．C．D．5．（5分）设α、β都是锐角，且cosα＝，sin（α+β）＝，则cosβ＝（）A．B．C．或D．或6．（5分）设x，y满足约束条件，则Z＝3x﹣2y的最大值是（）A．0B．2C．4D．67．（5分）《九章算术》是我国古代数学文化的优秀遗产，数学家刘徽在注解《九章算术》时，发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，为此他创立了割圆术，利用割圆术，刘徽得到了圆周率精确到小数点后四位 3.1416，后人称3.14为徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若结束程序时，则输出的n 为（）（≈1.732，sin15°≈0.258，sin7.5°≈0.131）A．6B．12C．24D．488．（5分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若点E为BC的中点，点F为B1C1的中点，则异面直线AF与C1E所成角的余弦值为（）A．B．C．D．9．（5分）在等比数列{a n}中，a1+a n＝34，a2•a n﹣1＝64，且前n项和S n＝62，则项数n等于（）A．4B．5C．6D．710．（5分）已知定义域为R的偶函数f（x）在（﹣∞，0]上是减函数，且＝2，则不等式f（log4x）＞2的解集为（）A．B．（2，+∞）C．D．11．（5分）设f（x）＝x3+log2（x+），则对任意实数a、b，若a+b≥0，则（）A．f（a）+f（b）≤0B．f（a）+f（b）≥0C．f（a）﹣f（b）≤0D．f（a）﹣f（b）≥012．（5分）已知F1，F2分别为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，若|AB|：|BF2|：|AF2|＝3：4：5，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸中相应的機线上）13．（5分）我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为．若a2sin C＝4sin A，（a+c）2＝12+b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为．14．（5分）已知函数f（x）＝﹣+4x﹣3lnx在[t，t+1]上不单调，则t的取值范围是．15．（5分）已知不等式e x﹣1≥kx+lnx，对于任意的x∈（0，+∞）恒成立，则k的最大值16．（5分）已知G为△ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q，若AP＝λAB，则当△ABC与△APQ的面积之比为时，实数λ的值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答）17．（12分）已知数列{a n}中，a1＝4，a n＞0，前n项和为S n，若a n＝+，（n∈N*，n≥2）．（l）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{}前n项和为T n，求证≤T n＜．18．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且（2a﹣c）（a2﹣b2+c2）＝2abc cos C．（1）求角B的大小；（2）若sin A+1﹣（cos C+）＝0，求的值．19．（12分）设椭圆C：的离心率e＝，左顶点M到直线＝1的距离d＝，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，证明：点O到直线AB的距离为定值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求△AOB的面积S的最小值．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为平行四边形，DA＝DP，BA＝BP．（1）求证：P A⊥BD；（2）若DA⊥DP，∠ABP＝60°，BA＝BP＝BD＝2，求二面角D﹣PC﹣B的正弦值．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣2．（1）已知函数g（x）＝f（x）+2（x+1）+alnx在区间（0，1）上单调，求实数a的取值范围；（2）函数有几个零点？[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）已知曲线C的参数方程为（α为参数），设直线l的极坐标方程为4ρcosθ+3ρsinθ﹣8＝0．（1）将曲线C的参数方程化为普通方程．并指出其曲线是什么曲线．（2）设直线1与x轴的交点为P，Q为曲线C上一动点，求PQ的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+1|+|x﹣a|（a＞0）．（1）作出函数f（x）的图象；（2）若不等式f（x）≥5的解集为（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞），求a值．2019年陕西省榆林市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．【解答】解：∵z＝＝，∴z的虚部为2．故选：D．2．【解答】解：集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x2﹣5x+6＜0，x∈Z}＝{x|2＜x＜3，x∈Z}＝∅，则A∩B＝∅，其中元素的个数为0．故选：A．3．【解答】解：f（x）是分段函数，根据x的正负写出分段函数的解析式，f（x）＝，∴x＞0时，图象与y＝a x在第一象限的图象一样，x＜0时，图象与y＝a x的图象关于x 轴对称，故选：C．4．【解答】解：根据题意得，（﹣）2＝2+2﹣2•又（+）2＝2+2•+2＝1+4+2•＝6∴2•＝1，∴（﹣）2＝1+4﹣1＝4，∴＝2．故选：A．5．【解答】解：∵α、β都是锐角，且cosα＝＜，∴＜α＜，又sin（α+β）＝＞，∴＜α+β＜π，∴cos（α+β）＝﹣＝﹣，sinα＝＝，则cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα＝﹣×+×＝．故选：A．6．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数Z＝3x﹣2y为，由图可知，当直线过A（0，﹣2）时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为3×0﹣2×（﹣2）＝4．故选：C．7．【解答】解：模拟执行程序，可得：n＝3，S＝3×sin120°＝，不满足条件S＞3，执行循环体，n＝6，S＝6×sin60°＝，不满足条件S＞3，执行循环体，n＝12，S＝×12×sin30°＝3，不满足条件S＞3，执行循环体，n＝24，S＝×24×sin15°≈12×0.2588＝3.1056，满足条件S＞3，退出循环，输出n的值为24．故选：C．8．【解答】解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长为2，则A（0，0，0），F（2，1，2），C1（2，2，2），E（2，1，0），＝（2，1，2），＝（0，﹣1，﹣2），设异面直线AF与C1E所成角为θ，则cosθ＝＝＝，∴异面直线AF与C1E所成角的余弦值为．故选：B．9．【解答】解：因为数列{a n}为等比数列，则a2•a n﹣1＝a1•a n＝64①，又a1+a n＝34②，联立①②，解得：a1＝2，a n＝32或a1＝32，a n＝2，当a1＝2，a n＝32时，s n＝＝＝＝62，解得q＝2，所以a n＝2×2n﹣1＝32，此时n＝5；同理可得a1＝32，a n＝2，也有n＝5．则项数n等于5故选：B．10．【解答】解：由题意知不等式f（log4x）＞2，即f（log4x）＞，又偶函数f（x）在（﹣∞，0]上是减函数，∴f（x）在[0，+∞）上是增函数，∴log4x＞＝log42，或log4x＜﹣＝，∴0＜x＜，或x＞2，故选：A．11．【解答】解：设，其定义域为R，＝＝﹣f（x），∴函数f（x）是奇函数．且在（0，+∞）上单调递增，故函数f（x）在R上是单调递增，那么：a+b≥0，即a≥﹣b，∴f（a）≥f（﹣b），得f（a）≥﹣f（b），可得：f（a）+f（b）≥0．故选：B．12．【解答】解：|AB|：|BF2|：|AF2|＝3：4：5，设|AF1|＝t，|AB|＝3x，则|BF2|＝4x，|AF2|＝5x，根据双曲线的定义，得|AF2|﹣|AF1|＝|BF1|﹣|BF2|＝2a，即5x﹣t＝（3x+t）﹣4x＝2a，解得t＝3a，x＝a，即|AF1|＝3a，|AF2|＝5a，∵|AB|：|BF2|：|AF2|＝3：4：5，得△ABF2是以B为直角的Rt△，∴cos∠BAF2＝＝，可得cos∠F2AF1＝﹣，△F2AF1中，|F1F2|2＝|AF1|2+|AF2|2﹣2|AF1|•|AF2|cos∠F2AF1＝9a2+25a2﹣2×3a×5a×（﹣）＝52a2，可得|F1F2|＝2a，即c＝a，因此，该双曲线的离心率e＝＝．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸中相应的機线上）13．【解答】解：根据正弦定理：由a2sin C＝4sin A，可得：ac＝4，由于（a+c）2＝12+b2，可得：a2+c2﹣b2＝4，可得：＝＝．故答案为：．14．【解答】解：∵函数∴f′（x）＝﹣x+4﹣∵函数在[t，t+1]上不单调，∴f′（x）＝﹣x+4﹣＝0在[t，t+1]上有解∴在[t，t+1]上有解∴g（x）＝x2﹣4x+3＝0在[t，t+1]上有解∴g（t）g（t+1）≤0或∴0＜t＜1或2＜t＜3．故答案为：0＜t＜1或2＜t＜3．15．【解答】解：不等式e x﹣1≥kx+lnx，对于任意的x∈（0，+∞）恒成立．等价于对于任意的x∈（0，+∞）恒成立．令，（x＞0），，令g（x）＝e x（x﹣1）+lnx，（x＞0），则，∴g（x）在（0，+∞）单调递增，g（1）＝0，∴x∈（0，1）时，g（x）＜0，x∈（1，+∞）时，g（x）＞0．∴x∈（0，1）时，f′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0．∴x∈（0，1）时，f（x）单调递减，x∈（1，+∞）时，f（x）单调递增．∴f（x）min＝f（1）＝e﹣1∴k≤e﹣1．故答案为：e﹣1．16．【解答】解：∵设AQ＝μACG为△ABC的重心，∴＝＝．∵P，G，Q三点共线，∴．△ABC与△APQ的面积之比为时，．∴或，故答案为：或．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答）17．【解答】解：（1）数列{a n}中，a1＝4，a n＞0，前n项和为S n，若a n＝+，（n∈N*，n≥2），由a n＝S n﹣S n﹣1＝（﹣）（+）＝+，且+＞0，可得﹣＝1，数列{}为首项为2，公差为1的等差数列，即有＝+n﹣1＝2+n﹣1＝n+1，即S n＝（n+1）2，当n≥2时，a n＝+＝n+1+n＝2n+1；则a n＝；（2）n≥2时，可得列＝＝（﹣），则前n项和为T n＝+（﹣+﹣+…+﹣）＝+（﹣）＝﹣，由﹣在n∈N*递增，可得最小值为﹣＝，且﹣＜，则≤T n＜．18．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵（2a﹣c）（a2﹣b2+c2）＝2abc cos C．∴（2a﹣c）2ac cos B＝2abc cos C．∴（2a﹣c）cos B＝b cos C…3分∴，∵由正弦定理可得：，∴a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C，∴，∴2sin A cos B﹣sin C cos B＝sin B cos C，∴2sin A cos B＝sin C cos B+sin B cos C＝sin（B+C）＝sin A，∵sin A≠0，∴cos B＝，∵B∈（0°，180°），∴B＝60°…6分（2）∵sin A+1﹣（cos C+）＝0，∴sin A+1﹣cos C﹣＝0，可得：sin A﹣cos C＝，∵B＝60°，C＝180°﹣B﹣A＝120°﹣A，∴sin A﹣cos（120°﹣A）＝，可得：cos A﹣sin A＝，∴cos（A+30°）＝，∵A∈（0°，120°），∴A+30°∈（30°，150°），∴A＝30°，∵由正弦定理，B＝60°，A＝30°，∴可得：＝…12分19．【解答】解：（Ⅰ）由已知得，又a2＝b2+c2，解得a＝2，b＝1，c＝，∴椭圆C的方程为．（Ⅱ）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），①当直线AB的斜率不存在时，则由椭圆的对称性知x1＝x2，y1＝﹣y2，∵以AB为直线的圆经过坐标原点，∴＝0，∴x1x2+y1y2＝0，∴，又点A在椭圆C上，∴＝1，解得|x1|＝|y1|＝．此时点O到直线AB的距离．（2）当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y＝kx+m，联立，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，∴，，∵以AB为直径的圆过坐标原点O，∴OA⊥OB，∴＝x1x2+y1y2＝0，∴（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2＝0，∴（1+k2）•，整理，得5m2＝4（k2+1），∴点O到直线AB的距离＝，综上所述，点O到直线AB的距离为定值．（3）设直线OA的斜率为k0，当k0≠0时，OA的方程为y＝k0x，OB的方程为y＝﹣，联立，得，同理，得，∴△AOB的面积S＝＝2，令1+＝t，t＞1，则S＝2＝2，令g（t）＝﹣++4＝﹣9（）2+，（t＞1）∴4＜g（t），∴，当k0＝0时，解得S＝1，∴，∴S的最小值为．20．【解答】（1）证明：取AP中点M，连接DM，BM，∵DA＝DP，BA＝BP，∴P A⊥DM，P A⊥BM，∵DM∩BM＝M，∴P A⊥平面DMB．又∵BD⊂平面DMB，∴P A⊥BD；（2）解：∵DA＝DP，BA＝BP．DA⊥DP，∠ABP＝60°，∴△DAP是等腰三角形，△ABP是等边三角形．∵BA＝BP＝BD＝2，∴DM＝1，BM＝．∴BD2＝MB2+MD2，∴MD⊥MB．以MP，MB，MD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（﹣1，0，0），B（0，，0），P（1，0，0），D（0，0，1），从而得＝（1，0，﹣1），＝（1，，0），＝（1，，0），＝（1，0，1），设平面DPC的法向量，则，即，令y 1＝1，得，∴＝（，1，），设平面PCB的法向量，由，得，令y 2＝1，得，，∴＝（，1，），∴cos＜＞＝．设二面角D﹣PC﹣B为α，∴．21．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝x2﹣2，函数g（x）＝f（x）+2（x+1）+alnx在区间（0，1）上单调，∴0＜x＜1时，若g（x）单调递增，则g′（x）＝2x+2+＞0恒成立，即a＞﹣2x2﹣2x＝﹣2+，而m（x）＝﹣2+在区间（0，1）上单调递减，∴﹣2+＜m（0）＝0，∴a≥0．若g（x）单调递减，则g′（x）＝2x+2+＜0恒成立，即a＜﹣2x2﹣2x＜﹣2+，而m（x）＝﹣2+在区间（0，1）上单调递减，∴﹣2+＞m（1）＝﹣4，∴a≤﹣4．综上可得，实数a的取值范围为{a|a≥0，或a≤﹣4 }．（2）∵函数＝ln（1+x2）﹣（x2﹣2）﹣k＝ln（1+x2）﹣x2+1﹣k的定义域为R，h′（x）＝﹣x﹣0＝，令h′（x）＝0，求得x＝0，或x＝1 或x＝﹣1，列表：当1﹣k ＞0且ln 2+﹣k ＞0时，即 k ＜1时，函数h （x ）有2个零点； 当1﹣k ＝0且 ln 2+﹣k ＞0时，即k ＝1时，函数h （x ）有3个零点； 当1﹣k ＜0且ln 2+﹣k ＞0时，即1＜k＜ln 2+ 时，函数h （x ）有4个零点； 当1﹣k ＜0且ln 2+﹣k ＜0时，即 k ＞ln 2+ 时，函数h （x ）有没有零点． [选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．【解答】解：（1）∵曲线C 的参数方程为（α为参数），∴曲线C 的普通方程为x 2+（y ﹣1）2＝1， ∴曲线C 是圆心为（0，1），半径为r ＝1的圆． （2）∵直线l 的极坐标方程为4ρcos θ+3ρsin θ﹣8＝0， ∴直线l 的直角坐标方程为4x +3y ﹣8＝0，∵直线1与x 轴的交点为P ，Q 为曲线C 上一动点， ∴P （2，0），圆心C （0，1）到P （2，0）的距离|PC |＝＝，∵Q 是圆C 上的动点，圆C 的半径为r ＝1， ∴PQ 的最大值为．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（1）f （x ）＝|x +1|+|x ﹣a |＝，函数f （x ）如图所示．（2）由题设知：|x+1|+|x﹣a|≥5，如图，在同一坐标系中作出函数y＝5的图象（如图所示）又解集为（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）．由题设知，当x＝﹣2或3时，f（x）＝5且a+1＜5即a＜4，由f（﹣2）＝﹣2（﹣2）﹣1+a＝5得：a＝2．。
陕西省榆林市一中2019届高考模拟考试理科数学 (含解析)
陕西省榆林市一中2019届高考模拟考试理科数一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．[2019·乐山调研]若iia b +(),a b ∈R 与()21i -互为共轭复数，则a b -的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．3- D ．3【答案】A 【解析】∵()()2i i i i i i a b a b b a +-+==--，()21i 2i -=-， 又i ia b +与()21i -互为共轭复数，∴0b =，2a =-，则2a b -=-．故选A ． 2．[2019·济南外国语]已知集合{}2A x x =<，{}220x B x x =-->，则A B =（ ）A ．{}2x x << B ．{}12x x -<<C ．{}1x x <- D ．{}12x x -<<【答案】C【解析】∵集合{}2A x x =<，{}220x B x x =-->，∴{}2A x x =<，{}12B x x x =<->或，∴{}21Ax x B =-<<-．故选C ．3．[2019·九江一模]()2ln cos πx f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的部分图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】()()f x f x -=，则函数()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，排除A ，D ，()πln πcos πln π10f =-=+>，排除C ，故选B ．4．[2019·榆林一模]已知向量a ，b 满足1=a ，2=b ，6+=a b -=a b （ ） A ．2B 2C 3D 5【答案】A【解析】根据题意得，()2222-=+-⋅a b a b a b ，又()22221426+=+⋅+=++⋅=a b a a b b a b ，∴21⋅=a b ， ∴()21414-=+-=a b ，∴2-=a b ．故选A ．5．[2019·湘潭一模]以双曲线22145x y -=的焦点为顶点，且渐近线互相垂直的双曲线的标准方程为（ ）A ．221x y -=B ．2219x y -= C ．22193x y -= D ．22199x y -=【答案】D【解析】由题可知，所求双曲线的顶点坐标为()3,0±， 又∵双曲线的渐近线互相垂直，∴3a b ==，则该双曲线的方程为22199x y -=．故选D ．6．[2019·武邑中学]在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1a =，2b 45B =︒，则角A =（ ） A ．30︒ B ．60︒ C ．30︒或150︒ D ．60︒或120︒【答案】A【解析】∵1a =，2b 45B =︒，∴由正弦定理可得21sin 12sin 22a BA b===，∵12a b =<=045A ︒<<︒，∴解得30A =︒．故选A ．7．[2019·新乡调研]某医院今年1月份至6月份中，每个月为感冒来就诊的人数如下表所示：（ ）上图是统计该院这6个月因感冒来就诊人数总数的程序框图，则图中判断框、执行框依次应填（ ）A ．6i <；i s s a =+B ．6i ≤；i s a =C ．6i ≤；i s s a =+D ．6i >；12i s a a a =+++【答案】C【解析】∵要计算1月份至6月份的6个月的因感冒来就诊的人数， ∴该程序框图要算出126s a a a =+++所得到的和，①当1i =时，1s a =，没有算出6个月的人数之和，需要继续计算，因此i 变成2，进入下一步； ②当2i =时，用前一个s 加上2a ，得12s a a =+，仍然没有算出6个月的人数之和而需要继续计算，因此i 变成3，进入下一步； ③当3i =时，用前一个s 加上3a ，得123s a a a =++，仍然没有算出6个月的人数之和而需要继续计算，因此i 变成4，进入下一步； ④当4i =时，用前一个s 加上4a ，得1234s a a a a =+++，仍然没有算出6个月的人数之和而需要继续计算，因此i 变成5，进入下一步； ⑤当5i =时，用前一个s 加上5a ，得12345s a a a a a =++++，仍然没有算出6个月的人数之和而需要继续计算，因此i 变成6，进入下一步； ⑥当6i =时，用前一个s 加上6a ，得123456s a a a a a a =+++++， 刚好算出6个月的人数之和，因此结束循环体，并输出最后的s 值， 由以上的分析，可得图中判断框应填“6i ≤”，执行框应填“i s s a =+”． 故选C ．8．[2019·优创名校联考]袋子中有四个小球，分别写有“美、丽、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“中、国、美、丽”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：232 321 230 023 123 021 132 220 001 231 130 133 231 031 320 122 103 233由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（ ） A ．19B ．318C ．29D ．518【答案】C【解析】∵随机模拟产生18组随机数，由随机产生的随机数可知，恰好第三次就停止的有021，001，031，130共4个基本事件， 根据古典概型概率公式可得，恰好第三次就停止的概率为42189=，故选C ． 9．[2019·成都一诊]在各棱长均相等的四面体A BCD -中，已知M 是棱AD 的中点，则异面直线BM 与AC 所成角的余弦值为（ ）A B 2C 3 D 2 【答案】C【解析】设各棱长均相等的四面体A BCD -中棱长为2，取CD 中点N ，连结MN ，BN ，∴M 是棱AD 的中点，∴MN AC ∥，∴BMN ∠是异面直线BM 与AC 所成角（或所成角的补角）， 413BM BN =-1MN =，∴2223cos 2231BM MN BN BMN BM MN +-∠===⨯⨯⨯⨯，∴异面直线BM 与AC 3，故选C ． 10．[2019·长沙一模]已知()1,2P 是函数()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>图象的一个最高点，B ，C 是与P 相邻的两个最低点．设BPC θ∠=，若3tan 24θ=，则()f x 的图象对称中心可以是（ ） A ．()0,0 B ．()1,0C ．3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】结合题意，绘图又132tan 244BC θ==，6BC =，∴周期2π6T ω==，解得π3ω=，∴πsin 13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，πππ2π2π236k k ϕ=+-=+，令0k =，得到π6ϕ=，∴ππ2sin 36y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令πππ36x m +=，m ∈Z ，得对称中心13,02m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， 令1m =，得到对称中心坐标为5,02⎛⎫⎪⎝⎭，故选D ．11．[2019·湖北联考]已知偶函数()f x 满足()()20f x f x +-=，现给出下列命题：①函数()f x 是以2为周期的周期函数；②函数()f x 是以4为周期的周期函数；③函数()1f x -为奇函数；④函数()3f x -为偶函数，则其中真命题的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】偶函数()f x 满足()()20f x f x +-=， 即有()()()2f x f x f x -==--，即为()()2f x f x +=-，()()()42f x f x f x +=-+=， 可得()f x 的最小正周期为4，故①错误；②正确； 由()()2f x f x +=-，可得()()11f x f x +=--，又()()11f x f x --=+，即有()()11f x f x --=--，故()1f x -为奇函数，故③正确； 由()()33f x f x --=+，若()3f x -为偶函数，即有()()33f x f x --=-，可得()()33f x f x +=-，即()()6f x f x +=，可得6为()f x 的周期，这与4为最小正周期矛盾，故④错误． 故选B ．12．[2019·宜昌调研]已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>上存在A 、B 两点恰好关于直线l ：10x y --=对称，且直线AB 与直线l 的交点的横坐标为2，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．13B 3C 2D ．12【答案】C【解析】由题意可得直线AB 与直线l 的交点()2,1P ，1AB K =-， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x +=，122y y +=，∵A 、B 是椭圆22221x y a b+=上的点，∴2211221x y a b +=①，2222221x y a b +=②，①﹣②得：()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=，∴()1212222x x y y a b --=-，∴21221221AB y y b K x x a -==-=--，∴222a b =，∴2221c b a a =-，故选C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．[2019·泉州质检]若函数()ln f x x x a =+的图象在点()()1,1f 处的切线过点()2,2，则a =______． 【答案】1【解析】函数()ln f x x x a =+，可得()ln 1f x x '=+，∴()11f '=，又()1f a =，∴切线方程为1y x a =-+，切线经过()2,2，∴221a =-+，解得1a =． 故答案为1．14．[2019·湖北联考]设x ，y 满足约束条件230101x y x y y -+≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则34z x y =-+的最大值为____．【答案】5【解析】作出x ，y 满足约束条件230101x y x y y -+≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，所示的平面区域，如图：作直线340x y -+=，然后把直线L 向可行域平移，结合图形可知，平移到点A 时z 最大， 由23010x y x y -+=⎧⎨-+=⎩可得()1,2A ，此时5z =．故答案为5．15．[2019·镇江期末]若π2cos 2sin 4αα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 2α=_______．【答案】78-【解析】由π2cos 2sin 4αα⎛⎫=- ⎪⎝⎭得ππ2sin 2sin 24αα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即πππ4sin cos sin 444ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又πsin 04α⎛⎫-≠ ⎪⎝⎭，解得π1cos 44α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴2ππ7sin 2cos 22cos 1248ααα⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．16．[2019·遵义联考]已知三棱锥S ABC -中，SA ⊥面ABC ，且6SA =，4AB =，23BC =，30ABC ∠=︒，则该三棱锥的外接球的表面积为__________． 【答案】52π【解析】取SB 的中点O ，连结OA 、OC ，∵SA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∴SA AB ⊥，可得Rt ASB △中，中线12OA SB =，由4AB =，23BC =，30ABC ∠=︒，可知AC BC ⊥，又∵SA BC ⊥，SA 、AB 是平面SAB 内的相交直线，∴BC ⊥平面SAC ，可得BC SC ⊥，因此Rt BSC △中，中线12OC SB =，∴O 是三棱锥S ABC -的外接球心，∵Rt SBA △中，4AB =，6SA =，∴213SB =，可得外接球半径1132r SB ==因此，外接球的表面积24π52πS r ==， 故答案为52π．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）[2019·潍坊期末]已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2，n a ，n S 成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足21222log log log n n b a a a =++⋅⋅⋅+，求数列的1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和n T ．【答案】（1）2n n a =；（2）21nn +． 【解析】（1）∵2，n a ，n S 成等差数列，∴22n n a S =+， 当1n =时，1122a a =+，∴12a =， 当2n ≥时，22n n S a =-，1122n n S a --=-， 两式相减得122n n n a a a -=-，∴12nn a a -=， ∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列， ∴2n n a =．（2）()212221log log log 122n n n n b a a a n +=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=，∴()1211211n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， ∴1211111111122121223111n n n T b b b n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 18．（12分）[2019·开封一模]大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备．某高中成功开设大学先修课程已有两年，共有250人参与学习先修课程，这两年学习先修课程的学生都参加了高校的自主招生考试（满分100分），结果如下表所示：（1）这两年学校共培养出优等生150人，根据下图等高条形图，填写相应列联表，并根据列联表检验能否在犯错的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？（2）已知今年全校有150名学生报名学习大学选项课程，并都参加了高校的自主招生考试，以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率．（i ）在今年参与大学先修课程学习的学生中任取一人，求他获得高校自主招生通过的概率；（ii ）某班有4名学生参加了大学先修课程的学习，设获得高校自主招生通过的人数为X ，求X 的分布列，试估计今年全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数． 参考数据：参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）列联表如下：由列联表可得()212505090020010018.939 6.63525010001501100k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，因此在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系．（2）（i ）由题意得所求概率为2550100502530.90.80.60.40.32502502502502505P =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． （ii ）设获得高校自主招生通过的人数为X ，则34,5X ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，()4432C 55k kk P X k -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0k =，1，2，3，4，∴X 的分布列为估计今年全校参加大学先修课程的学生获得大学自主招生通过的人数为3150905⨯=．19．（12分）[2019·湖北联考]如图，在四棱锥P A B C D -中，A B P C ⊥，AD BC ∥，AD CD ⊥，且222P C B C A D C D ====2PA =．（1）证明：PA ⊥平面ABCD ；（2）在线段PD 上，是否存在一点M ，使得二面角M AC D --的大小为60︒？如果存在，求PMPD的值；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）见证明；（2）见解析．【解析】（1）∵在底面ABCD 中，AD BC ∥，AD CD ⊥，且2222BC AD CD === ∴2AB AC ==，22BC =AB AC ⊥， 又∵AB PC ⊥，ACPC C =，AC ⊂平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，∴AB ⊥平面PAC ，又∵PA ⊂平面PAC ，∴AB PA ⊥， ∵2PA AC ==，22PC =PA AC ⊥， 又∵PA AB ⊥，ABAC A =，AB ⊂平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥平面ABCD ．（2）方法一：在线段AD 上取点N ，使2AN ND =，则MN PA ∥，又由（1）得PA ⊥平面ABCD ，∴MN ⊥平面ABCD ， 又∵AC ⊂平面ABCD ，∴MN AC ⊥，作NO AC ⊥于O ， 又∵MNNO N =，MN ⊂平面MNO ，NO ⊂平面MNO ，∴AC ⊥平面MNO ，又∵MO ⊂平面MNO ，∴AC MO ⊥，又∵AC NO ⊥，∴MON ∠是二面角M AC D --的一个平面角， 设PMx PD=，则()122MN x AP x =-=-，22ON xAD x ==， 这样，二面角M AC D --的大小为60︒， 即22tan tan 603MN x MON ON x -∠===︒=423PMx PD==- ∴满足要求的点M 存在，且423PMPD=- 方法二：取BC 的中点E ，则AE 、AD 、AP 三条直线两两垂直 ∴可以分别以直线AE 、AD 、AP 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，且由（1）知()0,0,2AP =是平面ACD 的一个法向量， 设()0,1PMx PD=∈，则()122MN x AP x =-=-，2AN xAD x ==，∴(),22AM x =-，()2,2,0AC =，设(),,AQ a b c =是平面ACM 的一个法向量， 则()2220220AQ AM xb x c AQ AC a b ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅==⎪⎩，∴2a b x c =-⎧⎪⎨=⎪⎩，令22b x =-，则()22,22AQ x x x =-+-，它背向二面角， 又∵平面ACD 的法向量()0,0,2AP =，它指向二面角， 这样，二面角M AC D --的大小为60︒， 即()()()222221cos cos602222222,AP AQxAP AQ AP AQx x x===︒=⋅-++-⋅+⋅， 即4x =-∴满足要求的点M 存在，且423PMPD=- 20．（12分）[2019·河北联考]在直角坐标系xOy 中，直线4y x =+与抛物线()2:20C x py p =>交于A ，B 两点，且OA OB ⊥．（1）求C 的方程；（2）试问：在x 轴的正半轴上是否存在一点D ，使得ABD △的外心在C 上？若存在，求D 的坐标；若不存在，请说明理由．．【答案】（1）24x y =；（2）在x 轴的正半轴上存在一点()42,0D +，使得ABD △的外心在C 上． 【解析】（1）联立224x py y x ⎧=⎨=+⎩，得2280x px p --=，则122x x p +=，128x x p =-，从而()()()1212121244416y y x x x x x x =++=+++．∵OA OB ⊥，∴()1212121224160OA OB x x y y x x x x ⋅=+=+++=， 即168160p p -++=，解得2p =，故C 的方程为24x y =． （2）设线段AB 的中点为()00,N x y ， 由（1）知，12022x x x +==，0046y x =+=， 则线段AB 的中垂线方程为()62y x -=--，即8y x =-+． 联立248x y y x ⎧=⎨=-+⎩，得24320x x +-=，解得8x =-或4，从而ABC △的外心P 的坐标为()4,4或()8,16-． 假设存在点()(),00D m m >，设P 的坐标为()4,4，∵21664410AB =+，∴43PA =，则()241643DP m =-+．∵0m >，∴442m =+． 若P 的坐标为()8,16-，则2215PA PN AN=+415DP =>P 的坐标不可能为()8,16-．故在x 轴的正半轴上存在一点()442,0D +，使得ABD △的外心在C 上． 21．（12分）[2019·泉州质检]已知函数()2e 2x a f x x x ax =--． （1）讨论()f x 的单调性； （2）当1x ≥-时，()2102a f x x a +-+≥，求a 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）(],1-∞．【解析】解法一：（1）()()()1x x x f x e xe ax a e a x =+--=-+'， ①当0a ≤时，∴()f x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞单调递增． ②当0a >时，()0f x '=的根为ln x a =或1x =-． 若ln 1a >-，即1ea >，x(),1-∞-1-()1,ln a -ln a()ln ,a +∞()f x ' +0 -+()f x↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗∴()f x 在(),1-∞-，()ln ,a +∞上单调递增，在()1,ln a -上单调递减． 若ln 1a =-，即1ea =，()0f x '≥在(),-∞+∞上恒成立，∴()f x 在(),-∞+∞上单调递增，无减区间．若ln 1a <-，即10a <<，∴()f x 在(),ln a -∞，()1,-+∞上单调递增，在()ln ,1a -上单调递减． 综上：当0a ≤时，()f x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞单调递增； 当10ea <<时，()f x 在(),ln a -∞，()1,-+∞上单调递增，在()ln ,1a -上单调递减； 当1ea =时，()f x 在(),-∞+∞上单调递增，无减区间；当1ea >时，()f x 在(),1-∞-，()ln ,a +∞上单调递增，在()1,ln a -上单调递减．（2）∵e 10x x ax a --+≥，∴()1e 1x a x x +≤+． 当1x =-时，101e≤-+恒成立．当1x >-时，e 11x x a x +≤+．令()e 11x x g x x +=+，()()()22e 111x x x g x x ++-=+'， 设()()2e 11x h x x x =++-，∵()()()e 120x h x x x =++>'在()1,x ∈-+∞上恒成立， 即()()2e 11x h x x x =++-在()1,x ∈-+∞上单调递增．又∵()00h =，∴()e 11x x g x x +=+在()1,0-上单调递减，在()0,+∞上单调递增，则()()min 01g x g ==，∴1a ≤． 综上，a 的取值范围为(],1-∞． 解法二：（1）同解法一；（2）令()()21e 12x ag x f x x a x ax a =+-+=--+，∴()()e e e 1x x x g x x a x a =+-=+-'，当0a ≤时，()0g x '≥，则()g x 在[)1,-+∞上单调递增， ∴()()1110eg x g ≥-=-+>，满足题意．当01a <≤时，令()e e x x h x x a =+-，∵()2e e 0x x h x x ='+>，即()e e x x h x x a =+-在[)1,-+∞上单调递增． 又∵()10h a -=-<，()010h a =-≥，∴()e e 0x x h x x a =+-=在[]1,0-上有唯一的解，记为0x ，x()01,x -0x()0,x +∞()g x '-+()g x↘ 极小值 ↗()()()()0000000000000min e 1e e e e e 1x x x x x x g x g x x ax a x x x x ==--+=-+-++02013e 1e 1024x x x ⎡⎤⎛⎫=-+++≥-+≥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，满足题意．当1a >时，()010g a =-+<，不满足题意．综上，a 的取值范围为(],1-∞．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·九江一模]在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系（0ρ>，[)0,2πθ∈），点A 为曲线1C 上的动点，点B 在线段OA 的延长线上，且满足8OA OB ⋅=，点B 的轨迹为2C ． （1）求1C ，2C 的极坐标方程；（2）设点C 的极坐标为π2,2⎛⎫⎪⎝⎭，求ABC △面积的最小值．【答案】（1）12:cos C ρθ=；2co 4:s C ρθ=；（2）2．【解析】（1）∵曲线1C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），∴曲线1C 的普通方程为2220x y x -+=，∴曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=， 设点B 的极坐标为(),ρθ，点A 的极坐标为()00,ρθ， 则OB ρ=，0OA ρ=，002cos ρθ=，0θθ=， ∵8OA OB ⋅=，∴08ρρ⋅=，∴82cos θρ=，cos 4ρθ=，∴2C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（2）由题设知2OC =，212cos cos 42cos ABC OBC OAC B A S S S OC ρθρθθ=-=⋅-=-△△△， 当0θ=时，ABC S △取得最小值为2． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 [2019·湘潭一模]设函数()1f x x x a =++-． （1）当1a =时，求关于x 的不等式()3f x ≥的解集； （2）若()4f x ≤在[]0,2上恒成立，求a 的取值范围． 【答案】（1）33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；（2）13a ≤≤．【解析】（1）∵()2,1112,112,1x x f x x x x x x -<-⎧⎪=++-=-≤<⎨⎪≥⎩，∴()3f x ≥的解集为33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭． （2）∵[]0,2x ∈，∴14x x a ++-≤，即3x a x -≤-，则332a x -≤-≤-， ∴13a ≤≤．。
陕西省2019届高三第一次模拟联考理科数学试卷附答案解析
陕西省2019届高三第一次模拟联考理科数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|-1≤x＜2}，B={x|0≤x≤3}，则A∩B=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用集合的交集的定义，直接运算，即可求解.【详解】由题意，集合A={x|-1≤x＜2}，B={x|0≤x≤3}，∴A∩B={x|0≤x＜2}．故选：B．【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中熟记集合的交集定义和准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.2.复数的模是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先将复数化成形式，再求模。
【详解】所以模是故选D.【点睛】本题考查复数的计算，解题的关键是将复数化成形式，属于简单题。
3.若抛物线y2=2px的焦点坐标为（2，0），则准线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】抛物线y2=2px的焦点坐标为（2，0），求得的值，即可求解其准线方程．【详解】由题意，抛物线y2=2px的焦点坐标为（2，0），∴，解得p=4，则准线方程为：x=-2．故选：A．【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其性质，其中解答中熟记抛物线的标准方程，及其简单的几何性质，合理计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.4.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. 64B.C. 80D.【答案】B【解析】【分析】根据三视图画出几何体的直观图，判断几何体的形状以及对应数据，代入公式计算即可．【详解】几何体的直观图是：是放倒的三棱柱，底面是等腰三角形，底面长为4，高为4的三角形，棱柱的高为4，所求表面积：．故选：B．【点睛】本题主要考查了几何体的三视图，以及几何体的体积计算，其中解答中判断几何体的形状与对应数据是解题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。
5.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）A. 12B. 24C. 48D. 96【答案】B【解析】【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件，即可结束循环，得到答案．【详解】模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：B．【点睛】本题主要考查了循环框图的应用，其中解答中根据给定的程序框图，逐次循环，注意判断框的条件的应用是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。
陕西省榆林市2019年高考数学一模试卷(理科)
陕西省榆林市2019年高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1、已知全集，{2430}A x x x =-+≤， {3log 1}B x x =≥，则A B =（ ）．A ．{3}B ．C ．D ． 2、已知复数412iz i+=+，则z 在复平面上对应的点在第（ ）象限． A ．一 B ．二 C ．三 D ．四3、汉中最美油菜花节期间，5名游客到四个不同景点游览，每个景点至少有一人，则不同的游览方法共有（ ）种。
A ．120 B ．625 C ． 240 D ．10244、设向量(1,)x x =-a ，(2,4)b x x =+-，则“a b ⊥”是“2x =”的( )条件．A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要 5、平面直角坐标系中，在直线x =1，y =1与坐标轴围成的正方形内任取一点，则此点落在曲线2y x =下方区域的概率为（ ）．A ．13B ．23C ．49D ．596、如图所示，三个直角三角形是一个体积为320cm 的几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积（单位：2cm ）等于( )． A ．75π B ．77π C ．65π D ．55π7、公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了割圆术.利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的为（ ）（参考数据：,）．A ．12B ．4C ．36D ．24U R =1{|1}2x x <≤{|1}x x <{|01}x x <<n 1.732≈sin150.2588≈°8、在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边，若3a A π==，则b c +的最大值为( ) A ．4 B． C． D ．29、如图，F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的两支分别交于点A 、B .若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为( )A ．7 B. 4 C.233 D. 310、已知函数f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x －m 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个零点x 1，x 2，则tan x 1＋x 22的值为 ( )．A ． 3 B ．33 C ．32 D ．2211、已知实数x ，y 满足240220340x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪--⎩≥≥≤，则22z x y =+的的最小值为（ ）．A ． 1 B．C ．45D ． 4 12、已知函数，若，且，则的取值范围是（ ）．A ．B ．C ．D ．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）ln(1),0()11,02x x f x x x +>⎧⎪=⎨+≤⎪⎩m n <()()f m f n =n m -[1,2)e -[32ln 2,2]-[1,2]e -[32ln2,2)-第9题图第7题图13．定积分．14．已知单位向量，的夹角为60°，则向量与的夹角为．15．不等式a2+8b2≥λb（a+b）对于任意的a，b∈R恒成立，则实数λ的取值范围为．16．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，若P是C的左支上一点，A（0，6）是y轴上一点，则△APF面积的最小值为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c．已知a+c=3，b=3．（I）求cosB的最小值；（Ⅱ）若=3，求A的大小．18．“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目．选手面对1～8号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．在一次场外调查中，发现参赛选手大多在以下两个年龄段：21～30，31～40（单位：岁），统计这两个年龄段选手答对歌曲名称与否的人数如图所示．（1）写出2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为答对歌曲名称与否和年龄求3名幸运选手中在21～30岁年龄段的人数的分布列和数学期望．（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）19．如图①，在△ABC中，已知AB=15，BC=14，CA=13．将△ABC沿BC边上的高AD折成一个如图②所示的四面体A﹣BCD，使得图②中的BC=11．（1）求二面角B﹣AD﹣C的平面角的余弦值；（2）在四面体A﹣BCD的棱AD上是否存在点P，使得？若存在，请指出点P的位置；若不存在，请给出证明．20．设O是坐标原点，椭圆C：x2+3y2=6的左右焦点分别为F1，F2，且P，Q是椭圆C上不同的两点，（I）若直线PQ过椭圆C的右焦点F2，且倾斜角为30°，求证：|F1P|、|PQ|、|QF1|成等差数列；（Ⅱ）若P，Q两点使得直线OP，PQ，QO的斜率均存在．且成等比数列．求直线PQ的斜率．21．设函数f（x）=e x﹣lnx．（1）求证：函数f（x）有且只有一个极值点x0；（2）求函数f（x）的极值点x0的近似值x′，使得|x′﹣x0|＜0.1；（3）求证：f（x）＞2.3对x∈（0，+∞）恒成立．（参考数据：e≈2.718，ln2≈0.693，ln3≈1.099，ln5≈1.609，ln7≈1.946）．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2+y2=4，圆C2：（x﹣2）2+y2=4．（Ⅰ）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别求圆C1与圆C2的极坐标方程及两圆交点的极坐标；（Ⅱ）求圆C1与圆C2的公共弦的参数方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x|．（1）求不等式f（x）≤﹣6的解集；（2）若存在实数x满足f（x）=log2a，求实数a的取值范围．陕西省榆林市2019年高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．定积分．【考点】定积分．【分析】根据定积分的计算法则计算即可．【解答】解：（x2+sinx）|=故答案为：．14．已知单位向量，的夹角为60°，则向量与的夹角为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】分别求出|+|，||，（ +）（），从而代入求余弦值，从而求角．【解答】解：∵单位向量，的夹角为60°，∴|+|===，||==，（+）（）=﹣•﹣2+=﹣﹣2+1=﹣，设向量与的夹角为θ，则cosθ==﹣，故θ=，故答案为：．15．不等式a2+8b2≥λb（a+b）对于任意的a，b∈R恒成立，则实数λ的取值范围为[﹣8，4] ．【考点】函数恒成立问题．【分析】由已知可得a2﹣λba﹣（λ﹣8）b2≥0，结合二次不等式的性质可得△=λ2+4（λ﹣8）=λ2+4λ﹣32≤0，可求【解答】解：∵a2+8b2≥λb（a+b）对于任意的a，b∈R恒成∴a2+8b2﹣λb（a+b）≥0对于任意的a，b∈R恒成即a2﹣（λb）a+（8﹣λ）b2≥0恒成立，由二次不等式的性质可得，△=λ2+4（λ﹣8）=λ2+4λ﹣32≤0∴（λ+8）（λ﹣4）≤0解不等式可得，﹣8≤λ≤4故答案为：[﹣8，4]16．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，若P是C的左支上一点，A（0，6）是y轴上一点，则△APF面积的最小值为6+9．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的焦点，直线AF的方程以及AF的长，设直线y=﹣2x+t 与双曲线相切，且切点为左支上一点，联立双曲线方程，消去y，由判别式为0，求得m，再由平行直线的距离公式可得三角形的面积的最小值．【解答】解：双曲线C：x2﹣=1的右焦点为（3，0），由A（0，6），可得直线AF的方程为y=﹣2x+6，|AF|==15，设直线y=﹣2x+t与双曲线相切，且切点为左支上一点，联立，可得16x2﹣4tx+t2+8=0，由判别式为0，即有96t2﹣4×16（t2+8）=0，解得t=﹣4（4舍去），可得P到直线AF的距离为d==，即有△APF的面积的最小值为d•|AF|=××15=6+9．故答案为：6+9．三、解答题（共5小题，满分60分）17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c．已知a+c=3，b=3．（I）求cosB的最小值；（Ⅱ）若=3，求A的大小．【考点】平面向量数量积的运算；正弦定理；余弦定理．【分析】（I）根据基本不等式求出ac的最大值，利用余弦定理得出cosB的最小值；（II）利用余弦定理列方程解出a，c，cosB，使用正弦定理得出sinA．【解答】解：（I）在△ABC中，由余弦定理得cosB===．∵ac≤（）2=．∴当ac=时，cosB取得最小值．（II）由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB．∵=accosB=3．∴9=a2+c2﹣6，∴a2+c2=15．又∵a+c=3，∴ac=6．∴a=2，c=或a=，c=2．∴cosB=，sinB=．由正弦定理得，∴sinA==1或．∴A=或A=．18．“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目．选手面对1～8号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．在一次场外调查中，发现参赛选手大多在以下两个年龄段：21～30，31～40（单位：岁），统计这两个年龄段选手答对歌曲名称与否的人数如图所示．（1）写出2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为答对歌曲名称与否和年龄求3名幸运选手中在21～30岁年龄段的人数的分布列和数学期望．（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）【考点】独立性检验的应用．【分析】（1）根据所给的二维条形图得到列联表，利用公式求出k2=3＞2.706，即可得出结论．（2）设3名选手中在20～30岁之间的人数为ξ，可能取值为0，1，2，3，求出概率，列出分布列，求解期望即可．合计20 100 120∴K2==3＞2.706有90%的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）按照分层抽样方法可知：21～30（岁）抽取3人，31～40（岁）抽取6人．设3名选手中在21～30岁之间的人数为ξ，可能取值为0，1，2，3﹣﹣﹣﹣P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）= =．﹣﹣﹣﹣﹣0 1 2 3E（ξ）=0×+1×+2×+3×=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣19．如图①，在△ABC中，已知AB=15，BC=14，CA=13．将△ABC沿BC边上的高AD折成一个如图②所示的四面体A﹣BCD，使得图②中的BC=11．（1）求二面角B﹣AD﹣C的平面角的余弦值；（2）在四面体A﹣BCD的棱AD上是否存在点P，使得？若存在，请指出点P的位置；若不存在，请给出证明．【考点】二面角的平面角及求法；平面向量数量积的运算．【分析】（1）根据图象折之前和折之后的边长关系，结合二面角的定义进行求解．（2）假设在四面体A﹣BCD的棱AD上存在点P，使得根据向量数量积的定义结合向量的运算法则进行化简求解．【解答】解：（1）由已知AD⊥BD，AD⊥CD，故二面角B﹣AD﹣C的平面角为∠BDC，在图①，设BD=x，AD=h，则CD=14﹣x，在△ABD与△ACD中，分别用勾股定理得x2+h2=152，（14﹣x）2+h2=132，得x=9，h=12，从而AD=12，BD=9，CD=5，在图②的△BCD中，由余弦定理得BC2=BD2+CD2﹣2BD•CDcos∠BDC，即112=92+52﹣2×9×5cos∠BDC，则cos∠BDC=﹣，即二面角B﹣AD﹣C的平面角的余弦值是﹣．（2）假设在四面体A﹣BCD的棱AD上存在点P，使得，则0==（+）•（+）=2+•+•+•=2+0+0+9×5×（﹣）=2﹣，则||=＜12，符号题意，即在棱AD上存在点P，使得，此时||=．20．设O是坐标原点，椭圆C：x2+3y2=6的左右焦点分别为F1，F2，且P，Q是椭圆C上不同的两点，（I）若直线PQ过椭圆C的右焦点F2，且倾斜角为30°，求证：|F1P|、|PQ|、|QF1|成等差数列；（Ⅱ）若P，Q两点使得直线OP，PQ，QO的斜率均存在．且成等比数列．求直线PQ的斜率．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）求得椭圆的a，b，c，设出直线PQ的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式可得|PQ|，再由椭圆的定义可得|F1P|+|PQ|+|QF1|=4a，由等差数列的中项的性质，可得结论；（Ⅱ）设出直线PQ的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，由等比数列的中项的性质，结合直线的斜率公式，化简整理，解方程即可得到直线PQ的斜率．【解答】解：（I）证明：x2+3y2=6即为+=1，即有a=，b=，c==2，由直线PQ过椭圆C的右焦点F2（2，0），且倾斜角为30°，可得直线PQ的方程为y=（x﹣2），代入椭圆方程可得，x2﹣2x﹣1=0，即有x1+x2=2，x1x2=﹣1，由弦长公式可得|PQ|=•=•=，由椭圆的定义可得|F1P|+|PQ|+|QF1|=4a=4，可得|F1P|+|QF1|=4﹣==2|PQ|，则有|F1P|、|PQ|、|QF1|成等差数列；（Ⅱ）设直线PQ的方程为y=kx+m，代入椭圆方程x2+3y2=6，消去y得：（1+3k2）x2+6kmx+3（m2﹣2）=0，则△=36k2m2﹣12（1+3k2）（m2﹣2）=12（6k2﹣m2+2）＞0，x1+x2=﹣，x1x2=，故y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2，∵直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列，∴•==k2，即km（x1+x2）+m2=0，即有﹣+m2=0，由于m≠0，故k2=，∴直线PQ的斜率k为±．21．设函数f（x）=e x﹣lnx．（1）求证：函数f（x）有且只有一个极值点x0；（2）求函数f（x）的极值点x0的近似值x′，使得|x′﹣x0|＜0.1；（3）求证：f（x）＞2.3对x∈（0，+∞）恒成立．（参考数据：e≈2.718，ln2≈0.693，ln3≈1.099，ln5≈1.609，ln7≈1.946）．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出f（x）的导数，根据导函数的单调性，求出零点的范围，从而证出极值点的个数；（2）求出函数的导数，求出零点的范围，即极值点的范围，求出满足条件的零点的近似值即可；（3）求出函数的导数，得到函数零点的范围，结合函数的单调性证明即可．【解答】（1）证明：f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=e x﹣，∵函数y=e x和y=﹣在（0，+∞）均递增，∴f′（x）在（0，+∞）递增，而f′（）=﹣2＜0，f′（1）=e﹣1＞0，∴f′（x）在（，1）上存在零点，记x0，且f′（x）在x0左右两侧的函数值异号，综上，f′（x）有且只有一个零点x0，即函数f（x）有且只有一个极值点x0；（2）解：∵ln=ln5﹣ln3≈0.51＜⇒＞，且f′（x）在[，]上的图象连续，f′（）＜0，f′（）=﹣＞0，∴f′（x）的零点x0∈（，），即f（x）的极值点x0∈（，），即x0∈（0.5，0.6），∴x0的近似值x′可以取x′=0.55，此时的x′满足|x′﹣x0|＜0.6﹣.05=0.1；（3）证明：∵ln=ln7﹣2ln2≈0.56＜⇒＞，且f′（x）在[，]上图象连续，f′（）＜0，f′（）=﹣＞0，∴f′（x）的零点x0∈（，），f（x）的极值点x0∈（，）⇒x0＜，由（1）知：f′（x0）=﹣=0，且f（x）的最小值是f（x0）=﹣lnx0=﹣lnx0，∵函数g（x）=﹣lnx在（0，+∞）递减，且x0＜，∴g（x0）＞g（）=1.75﹣（2ln2﹣ln7）≈2.31＞2.3，∴f（x）≥f（x0）=﹣lnx0＞2.3对x∈（0，+∞）恒成立．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2+y2=4，圆C2：（x﹣2）2+y2=4．（Ⅰ）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别求圆C1与圆C2的极坐标方程及两圆交点的极坐标；（Ⅱ）求圆C1与圆C2的公共弦的参数方程．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）首先把直角坐标方程转化成极坐标方程，进一步建立极坐标方程组求出交点坐标，再转化成极坐标．（Ⅱ）利用二元二次方程组解得交点坐标再转化成参数方程．【解答】解：（Ⅰ）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2+y2=4，转化成极坐标方程为：ρ=2．圆C2：（x﹣2）2+y2=4．转化成极坐标方程为：ρ=4cosθ，所以：解得：ρ=2，，（k∈Z）．交点坐标为：（2，2kπ+），（2，2k）．（Ⅱ）已知圆C1：x2+y2=4①圆C2：（x﹣2）2+y2=4②所以：①﹣②得：x=1，y=，即（1，﹣），（1，）．所以公共弦的参数方程为：．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x|．（1）求不等式f（x）≤﹣6的解集；（2）若存在实数x满足f（x）=log2a，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）求出f（x）的最大值，问题转化为≤1，解出即可．【解答】解：（1）x≥0时，f（x）=x+1﹣2x=﹣x+1≤﹣6，解得：x≥7，﹣1＜x＜0时，f（x）=x+1+2x≤﹣6，无解，x≤﹣1时，f（x）=﹣x﹣1+2x≤﹣6，解得：x≤﹣7，故不等式的解集是{x|x≥7或x≤﹣7}；（2）x≥0时，f（x）=﹣x+1≤1，﹣1＜x＜0时，f（x）=3x+1，﹣2＜f（x）＜1，x≤﹣1时，f（x）=x﹣1≤﹣2，故f（x）的最大值是1，若存在实数x满足f（x）=log2a，只需≤1即可，解得：0＜a≤2。
2019-2020学年陕西省榆林市高考数学一模试卷(理科)
是等差数列；
（2）若
，求 T2n．
19．（12 分）在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 为平行四边形，∠ABD=90°，
EB⊥平面 ABCD，EF∥AB，AB=2，EB=
，且 M 是 BD 的中点．
（1）求证：EM∥平面 ADF；
（2）求二面角 A﹣FD﹣B 的余弦值的大小．
！
功
成 20．（12 分）已知抛物线 E：y2=2px（p＞0）的准线与 x 轴交于点 k，过点 k 做圆
！
功 A．把 C1 上各点横坐标伸长到原来的 2 倍，再把得到的曲线向右平移 ，得到
曲线 C2
成 B．把 C1 上各点横坐标伸长到原来的 2 倍，再把得到的曲线向右平移
曲线 C2
，得到
C．把 C1 向右平移 C2
到 ，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的 ，得到曲线
D．把 C1 向右平移 C2
马 ，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的 ，得到曲线
．
祝请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选
修 4-4：坐标系与参数方程] 22．（10 分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建
立极坐标系，点 A 的极坐标为
，直线 l 的极坐标方程为
，且 l 过点 A，曲线 C1 的参考方程为
（θ 为参数）．
考 【解答】解：根据曲线
=sin（ x﹣
把 C1 上各点横坐标伸长到原来的 2 倍，可得 y=sin（ x）的图象；
），
高 再把得到的曲线向右平移 ，得到曲线 C2：y=sin（ x﹣
） 的图象，
您 故选：B． 祝7．（5 分）《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，
2019年陕西省高考数学全真模拟试卷(理科)
2019年陕西省高考数学全真模拟试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．集合P={x|x2﹣9＜0}，Q={x∈Z|﹣1≤x≤3}，则P∩Q=（）A．{x|﹣3＜x≤3}B．{x|﹣1≤x＜3}C．{﹣1，0，1，2，3}D．{﹣1，0，1，2}3．已知cosα=﹣，且α∈（，π），则tan（α+）等于（）A．﹣B．﹣7 C．D．74．若命题p：对任意的x∈R，都有x3﹣x2+1＜0，则￢p为（）A．不存在x∈R，使得x3﹣x2+1＜0B．存在x∈R，使得x3﹣x2+1＜0C．对任意的x∈R，都有x3﹣x2+1≥0D．存在x∈R，使得x3﹣x2+1≥05．在等比数列{a n}中，a1=4，公比为q，前n项和为S n，若数列{S n+2}也是等比数列，则q等于（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣36．已知向量=（1，1），2+=（4，2），则向量，的夹角的余弦值为（）A．B．C．D．7．函数f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）的图象关于原点对称的充要条件是（）A．φ=2kπ﹣，k∈Z B．φ=kπ﹣，k∈Z C．φ=2kπ﹣，k∈Z D．φ=kπ﹣，k∈Z8．执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的结果是（）A．9 B．121 C．130 D．170219．双曲线的离心率为2，则的最小值为（）A．B． C．2 D．110．5的展开式中，x5y2的系数为（）A．﹣90 B．﹣30 C．30 D．9011．已知不等式组表示平面区域D，现在往抛物线y=﹣x2+x+2与x 轴围成的封闭区域内随机地抛掷一小颗粒，则该颗粒落到区域D中的概率为（）A．B．C．D．12．定义在R上的函数f（x）满足（x﹣1）f′（x）≤0，且y=f（x+1）为偶函数，当|x1﹣1|＜|x2﹣1|时，有（）A．f（2﹣x1）≥f（2﹣x2）B．f（2﹣x1）=f（2﹣x2）C．f（2﹣x1）＜f（2﹣x2）D．f（2﹣x1）≤f（2﹣x2）第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量(),0a t =r ，()1,3b =-r，若4a b ⋅=r r ，则2a b -=r r ． 14．若()52132x a x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为80，则a = ．15．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且ABC ∆的外接圆半径为1，若6abc =，则ABC ∆的面积为 ．16．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，O 为坐标原点，点4,2p M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,2p N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，射线,MO NO 分别交抛物线C 于异于点O 的点,A B ，若,,A B F 三点共线，则p = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17． 已知正项数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为2的等差数列，且12,9,a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .18． 2018年2月22日，在韩国平昌冬奥会短道速滑男子500米比赛中，中国选手武大靖以连续打破世界纪录的优异表现，为中国代表队夺得了本届冬奥会的首枚金牌，也创造中国男子冰上竞速项目在冬奥会金牌零的突破.根据短道速滑男子500米的比赛规则，运动员自出发点出发进入滑行阶段后，每滑行一圈都要依次经过4个直道与弯道的交接口()1,2,3,4k A k =.已知某男子速滑运动员顺利通过每个交接口的概率均为34，摔倒的概率均为14.假定运动员只有在摔倒或到达终点时才停止滑行，现在用X 表示一名顺利进入最后一圈的运动员在滑行结束后，在最后一圈顺利通过的交接口数.（1）求该运动员停止滑行时恰好已顺利通过3个交接口的概率； （2）求X 的分布列及数学期望()E X .19． 如图，在三棱锥P ABC -中，D 为棱PA 上的任意一点，,,F G H 分别为所在棱的中点.（1）证明：BD ∥平面FGH ；（2）若CF ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，2AB =，45BAC ∠=︒，当二面角C GF H --的平面角为3π时，求棱PC 的长.20． 已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的焦距为2c ，且b =，圆()222:0O x y r r +=>与x 轴交于点,,M N P 为椭圆E 上的动点，2PM PN a +=，PMN ∆（1）求圆O 与椭圆E 的方程；（2）设圆O 的切线l 交椭圆E 于点,A B ，求AB 的取值范围.21． 已知函数()()326,f x x x ax b a b =-++∈R 的图象在与x 轴的交点处的切线方程为918y x =-. （1）求()f x 的解析式； （2）若()()212910kx x f x x k -<<+对()2,5x ∈恒成立，求k 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为3cos ρθ=. （1）求圆C 的参数方程；（2）设P 为圆C 上一动点，()5,0A ，若点P 到直线sin 3πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭求ACP ∠的大小.23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()3121f x x x a =--++. （1）求不等式()f x a >的解集；（2）若恰好存在4个不同的整数n ，使得()0f n <，求a 的取值范围.2019年陕西省高考数学全真模拟试卷（理科）一、选择题1．复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，求出复数在复平面上对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：=，则复数在复平面上对应的点的坐标为：（，），位于第一象限．故选：A．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．集合P={x|x2﹣9＜0}，Q={x∈Z|﹣1≤x≤3}，则P∩Q=（）A．{x|﹣3＜x≤3}B．{x|﹣1≤x＜3}C．{﹣1，0，1，2，3}D．{﹣1，0，1，2}【考点】交集及其运算．【分析】求出集合P中一元二次不等式的解集确定出集合P，取集合Q中解集的整数解确定出集合Q，然后找出既属于P又属于Q的元素即可确定出两集合的交集．【解答】解：由集合P中的不等式x2﹣9＜0，解得：﹣3＜x＜3，∴集合P={x|﹣3＜x＜3}；由集合Q中的解集﹣1≤x≤3，取整数为﹣1，0，1，2，3，∴集合Q={﹣1，0，1，2，3}，则P∩Q={﹣1，0，1，2}．故选D【点评】此题属于以不等式解集为平台，考查了交集的元素，是一道基础题，也是高考中常考的题型．3．已知cosα=﹣，且α∈（，π），则tan（α+）等于（）A．﹣B．﹣7 C．D．7【考点】两角和与差的正切函数；弦切互化．【分析】先根据cosα的值求出tanα的值，再由两角和与差的正切公式确定答案．【解答】解析：由cosα=﹣且α∈（）得tanα=﹣，∴tan（α+）==，故选C．【点评】本题主要考查两角和与差的正切公式．属基础题．4．若命题p：对任意的x∈R，都有x3﹣x2+1＜0，则￢p为（）A．不存在x∈R，使得x3﹣x2+1＜0B．存在x∈R，使得x3﹣x2+1＜0C．对任意的x∈R，都有x3﹣x2+1≥0D．存在x∈R，使得x3﹣x2+1≥0【考点】命题的否定．【分析】利用全称命题的否定是特称命题，去判断．【解答】解：因为命题是全称命题，根据全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定￢p为：存在x∈R，使得x3﹣x2+1≥0故选：D【点评】本题主要考查全称命题的否定，要求掌握全称命题的否定是特称命题．5．在等比数列{a n}中，a1=4，公比为q，前n项和为S n，若数列{S n+2}也是等比数列，则q等于（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3【考点】等比关系的确定．【分析】由数列{S n+2}也是等比数列可得s1+2，s2+2，s3+2成等比数列，即（s2+2）2=（S+2）（S3+2）1代入等比数列的前n项和公式整理可得（6+4q）2=24（1+q+q2）+12解方程即可求解【解答】解：由题意可得q≠1由数列{S n+2}也是等比数列可得s1+2，s2+2，s3+2成等比数列则（s2+2）2=（S1+2）（S3+2）代入等比数列的前n项和公式整理可得（6+4q）2=24（1+q+q2）+12解可得q=3故选C．【点评】等比数列得前n项和公式的应用需要注意公式的选择，解题时要注意对公比q=1，q≠1的分类讨论，体现了公式应用的全面性．6．已知向量=（1，1），2+=（4，2），则向量，的夹角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】利用向量的坐标运算求出；利用向量的数量积公式求出两个向量的数量积；利用向量模的坐标公式求出两个向量的模；利用向量的数量积公式求出两个向量的夹角余弦．【解答】解：∵∴∴∵∴两个向量的夹角余弦为故选C【点评】本题考查向量的数量积公式，利用向量的数量积公式求向量的夹角余弦、考查向量模的坐标公式．7．函数f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）的图象关于原点对称的充要条件是（）A．φ=2kπ﹣，k∈Z B．φ=kπ﹣，k∈Z C．φ=2kπ﹣，k∈Z D．φ=kπ﹣，k∈Z【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】先利用辅助角公式对函数化简可得，f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）=2sin（2x+φ+），由函数的图象关于原点对称可知函数f（x）为奇函数，由奇函数的性质可得，f（0）=0代入可得sin（φ）=0，从而可求答案．【解答】解：∵f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）=2sin（2x+φ+）的图象关于原点对称∴函数f（x）为奇函数，由奇函数的性质可得，f（0）=0∴sin（φ）=0∴φ=kπ∴φ=故选：D【点评】本题主要考查了利用辅助角公式把不同名的三角函数化为y=Asin（x+）的形式，进而研究函数的性质；还考查了奇函数的性质（若奇函数的定义域内有0，则f（0）=0）的应用，灵活应用性质可以简化运算，减少运算量．8．执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的结果是（）A．9 B．121 C．130 D．17021【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b，c的值，当c=16900时，不满足条件c＜2016，退出循环，输出a的值为121．【解答】解：模拟执行程序，可得a=1，b=2，c=3满足条件c＜2016，a=2，b=9，c=11满足条件c＜2016，a=9，b=121，c=130满足条件c＜2016，a=121，b=16900，c=17021不满足条件c＜2016，退出循环，输出a的值为121．故选：B．【点评】本题主要考察了程序框图和算法，正确理解循环结构的功能是解题的关键，属于基本知识的考查．9．双曲线的离心率为2，则的最小值为（）A．B． C．2 D．1【考点】双曲线的简单性质；基本不等式．【分析】根据基本不等式，只要根据双曲线的离心率是2，求出的值即可．【解答】解：由于已知双曲线的离心率是2，故，解得，所以的最小值是．故选A．【点评】本题考查双曲线的性质及其方程．双曲线的离心率e和渐近线的斜率之间有关系，从这个关系可以得出双曲线的离心率越大，双曲线的开口越大．10．（x2+3x﹣y）5的展开式中，x5y2的系数为（）A．﹣90 B．﹣30 C．30 D．90【考点】二项式系数的性质．=（﹣y）5﹣r（x2+3x）r，令5【分析】（x2+3x﹣y）5的展开式中通项公式：T r+1﹣r=2，解得r=3．展开（x2+3x）3，进而得出．=（﹣y）5﹣r（x2+3x）r，【解答】解：（x2+3x﹣y）5的展开式中通项公式：T r+1令5﹣r=2，解得r=3．∴（x2+3x）3=x6+3（x2）2•3x+3（x2）×（3x）2+（3x）3，∴x5y2的系数=×9=90．故选：D．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．已知不等式组表示平面区域D，现在往抛物线y=﹣x2+x+2与x轴围成的封闭区域内随机地抛掷一小颗粒，则该颗粒落到区域D中的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】根据积分的知识可得先求y=﹣x2+x+2与x轴围成的封闭区域为曲面MEN，的面积，然后根据线性规划的知识作出平面区域D，并求面积，最后代入几何概率的计算公式可求．【解答】解：根据积分的知识可得，y=﹣x2+x+2与x轴围成的封闭区域为曲面MEN，面积=等式组表示平面区域D即为△AOB，其面积为根据几何概率的计算公式可得P=故选：C【点评】本题主要考查了利用积分求解曲面的面积，还考查了几何概率的计算公式的应用，属于基础试题．12．定义在R上的函数f（x）满足（x﹣1）f′（x）≤0，且y=f（x+1）为偶函数，当|x1﹣1|＜|x2﹣1|时，有（）A．f（2﹣x1）≥f（2﹣x2）B．f（2﹣x1）=f（2﹣x2）C．f（2﹣x1）＜f（2﹣x2）D ．f （2﹣x 1）≤f （2﹣x 2）【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】①若函数f （x ）为常数，可得当|x 1﹣1|＜|x 2﹣1|时，恒有f （2﹣x 1）=f （2﹣x 2）．②若f （x ）不是常数，可得y=f （x ）关于x=1对称．当x 1≥1，x 2≥1，则由|x 1﹣1|＜|x 2﹣1|可得f （x 1）＞f （x 2）．当x 1＜1，x 2＜1时，同理可得f （x 1）＞f （x 2）．综合①②得出结论．【解答】解：①若f （x ）=c ，则f'（x ）=0，此时（x ﹣1）f'（x ）≤0和y=f （x +1）为偶函数都成立，此时当|x 1﹣1|＜|x 2﹣1|时，恒有f （2﹣x 1）=f （2﹣x 2）．②若f （x ）不是常数，因为函数y=f （x +1）为偶函数，所以y=f （x +1）=f （﹣x +1）， 即函数y=f （x ）关于x=1对称，所以f （2﹣x 1）=f （x 1），f （2﹣x 2）=f （x 2）． 当x ＞1时，f'（x ）≤0，此时函数y=f （x ）单调递减，当x ＜1时，f'（x ）≥0，此时函数y=f （x ）单调递增．若x 1≥1，x 2≥1，则由|x 1﹣1|＜|x 2﹣1|，得x 1﹣1＜x 2﹣1，即1≤x 1＜x 2，所以f （x 1）＞f （x 2）．同理若x 1＜1，x 2＜1，由|x 1﹣1|＜|x 2﹣1|，得﹣（x 1﹣1）＜﹣（x 2﹣1），即x 2＜x 1＜1，所以f （x 1）＞f （x 2）．若x 1，x 2中一个大于1，一个小于1，不妨设x 1＜1，x 2≥1，则﹣（x 1﹣1）＜x 2﹣1， 可得1＜2﹣x 1＜x 2，所以f （2﹣x 1）＞f （x 2），即f （x 1）＞f （x 2）． 综上有f （x 1）＞f （x 2），即f （2﹣x 1）＞f （2﹣x 2）， 故选A ．【点评】本题主要考查函数的导数与函数的单调性的关系，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．二、填空题13．()2,6-- 14．-2 15．3216．2 三、解答题17．解：（1）因为数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为2的等差数列，所以212233a a -=， 则21318a a =+，又12,9,a a 成等比数列，所以()212113189a a a a =+=，解得13a =或19a =-，因为数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为正项数列，所以13a =.所以()3212133n n a n n =+-=-， 故()213n n a n =-⋅.（2）由（1）得()21333213n n S n =⨯+⨯++-⋅L ， 所以()23131333213n n S n +=⨯+⨯++-⋅L ，所以()231332333213n n n n S S n +⎡⎤-=+⨯+++--⋅⎣⎦L ，即()2133323221313n n n S n +-⨯-=+⨯--⋅-()1136123n n n ++=-+-⋅()12236n n +=-⋅-， 故()1133n n S n +=-⋅+.18．解：（1）由题意可知：3312744256P ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭.（2）X 的所有可能值为0,1,2,3,4.则()()31,2,3,44k P A k ==，且1234,,,A A A A 相互独立. 故()()1104P X P A ===，()()121P X P A A ==⋅=3134416⨯=，()()1232P X P A A A ==⋅⋅=23194464⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，()()12343P X P A A A A ==⋅⋅⋅=3312744256⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，()()12344P X P A A A A ==⋅⋅⋅=43814256⎛⎫=⎪⎝⎭.从而X 的分布列为所以()139********E X =⨯+⨯+⨯+278152534256256256⨯+⨯=.19．（1）证明：因为,G H 分别为,AC BC 的中点， 所以AB GH ∥，且GH ⊂平面FGH ，AB ⊄平面FGH ，所以AB ∥平面FGH .又因为,F G 分别为,PC AC 的中点，所以有GF AP ∥，FG ⊂平面FGH ， 且AP ⊄平面FGH ，所以AP ∥平面FGH . 又因为AP AB A =I ，所以平面ABP ∥平面FGH . 因为BD ⊂平面ABP ，所以BD ∥平面FGH .（2）解：在平面ABC 内过点C 作CM AB ∥，如图所示，以C 为原点，,,CB CM CF 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系C xyz -.由ABC ∆为等腰直角三角形知BG AC ⊥，又BG C F ⊥，AC CF C =I ，所以有BG ⊥平面PAC .设CF a =，则()2,0,0B ，()1,1,0G -，所以()1,1,0BG =--uuu r为平面PAC 的一个法向量.又()0,0,F a ，()1,0,0H ，所以()1,0,FH a =-uuu r ，()1,1,FG a =--uuu r，设(),,m x y z =u r 为平面FGH 的一个法向量，则有0m FH m FG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r uuu r u r uu u r，即有0x az x y az -=⎧⎨--=⎩，所以可取(),0,1m a =u r .由1cos ,2m BG ==u r uu u r，得1a =，从而22a =. 所以棱PC 的长为2.20．解：（1）因为b =，所以2a c =.①因为2PM PN a +=，所以点,M N 为椭圆的焦点，所以，22214r c a ==. 设()00,P x y ，则0b x b -≤≤，所以0012PMN S r y a y ∆=⋅=， 当0y b =时，()max 12PMN S ab ∆== 由①，②解得2a =，所以b =1c =，所以圆O 的方程为221x y +=，椭圆E 的方程为22143x y +=. （2）①当直线l 的斜率不存在时，不妨取直线l 的方程为1x =，解得31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，3AB =.②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，()11,A x kx m +，()22,B x kx m +.因为直线l1=，即221m k =+，联立22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 可得()2224384120k x kmx m +++-=， ()224843k m ∆=+-=()248320k +>，122843kmx x k +=-+，212241243m x x k -=+.AB ===24k+=令2134t k =+，则214034t k <=≤+，所以AB =，403t <≤，所以AB =33AB <≤.综上，AB 的取值范围是⎛ ⎝⎦.21．解：（1）由9180x -=得2x =，∴切点为()2,0. ∵()2312f x x x a '=-+，∴()2129f a '=-=，∴21a =，又()282420f a b =-++=，∴26b =-，()3262126f x x x x =-+-. （2）由()9f x x k <+得()9k f x x >-=3262126x x x -+-，设()3261226g x x x x =-+-，()()2344g x x x '=-+=()2320x ->对()2,5x ∈恒成立，∴()g x 在()2,5上单调递增，∴()59k g ≥=.∵()()32612892f x x x x x =-+-+-=()()3292x x -+-，∴由()()21210kx x f x -<对()2,5x ∈恒成立得()129102x k x x x -<+-213212x x x -=+-对()2,5x ∈恒成立，设()()21321252x h x x x x -=+<<-，()()22213132x x h x x x -+'=-， 当25x <<时，213130x x -+<，∴()0h x '<，∴()h x 单调递减，∴()165105k h ≤=，即12k ≤. 综上，k 的取值范围为[]9,12.22．解：（1）∵3cos ρθ=，∴23cos ρρθ=，∴223x y x +=，即223924x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，∴圆C 的参数方程为33cos ,223sin 2x y αα⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（α为参数）.（2）由（1）可设333cos ,sin 222P θθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，[)0,2θπ∈，sin 3πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭0y -+=， 则P到直线sin 3πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭=3sin 23πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭， ∴sin 03πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵[)0,2θπ∈，∴3πθ=或43π，故3ACP π∠=或23ACP π∠=. 23．解：（1）由()f x a >，得3121x x ->+， 不等式两边同时平方得，22961441x x x x -+>++， 即2510x x >，解得0x <或2x >.所以不等式()f x a >的解集为()(),02,-∞+∞U .（2）设()3121g x x x =--+=12,2115,2312,3x x x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪--<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩，作出()g x 的图象，如图所示，因为()()020g g ==，()()()34213g g g <=<-=， 又恰好存在4个不同的整数n ，使得()0f n <，所以()()30,40,f f <⎧⎪⎨≥⎪⎩即1020a a +<⎧⎨+≥⎩，故a 的取值范围为[)2,1--.。
2019年榆林市高考数学第一次模拟试题(带答案)
2019年榆林市高考数学第一次模拟试题(带答案)一、选择题1．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是（ ） A ．110B ．310C ．35D ．252．给出下列说法：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； ③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等. 其中正确说法的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．33．一个频率分布表（样本容量为30）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[)2060,上的频率为0.8，则估计样本在[)40,50、[)50,60内的数据个数共有（ ）A ．14B ．15C ．16D ．174．如图，12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．23y x =±B ．22y x =±C ．3y x =±D ．2y x =±5．已知非零向量a b ，满足2a b =，且b a b ⊥（–），则a 与b 的夹角为 A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π66．已知π,4αβ+=则(1tan )(1tan )αβ++的值是（ ） A ．-1B ．1C ．2D ．47．甲、乙、丙、丁四名同学组成一个4100米接力队，老师要安排他们四人的出场顺序，以下是他们四人的要求:甲：我不跑第一棒和第二棒；乙：我不跑第一棒和第四棒；丙：我也不跑第一棒和第四棒；丁：如果乙不跑第二棒，我就不跑第一棒.老师听了他们四人的对话，安排了一种合理的出场顺序，满足了他们的所有要求，据此我们可以断定在老师安排的出场顺序中跑第三棒的人是( ) A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁8．已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．108cm 3B ．100cm 3C ．92cm 3D ．84cm 39．已知非零向量AB 与AC 满足0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭且12AB AC AB AC ⋅=，则ABC 的形状是（ ） A ．三边均不相等的三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形D ．以上均有可能10．设集合(){}2log 10M x x =-<，集合{}2N x x =≥-，则M N ⋃=（ ）A ．{}22x x -≤<B ．{}2x x ≥-C ．{}2x x <D ．{}12x x ≤<11．设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ） A ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥ B ．若a αβ∥，b ∥，αβ∥，则a b ∥ C ．若a b a b αβ⊂⊂，，，则αβ∥ D ．若a b αβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b ⊥12．把红、黄、蓝、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是 A ．对立事件 B ．互斥但不对立事件 C ．不可能事件D ．以上都不对二、填空题13．在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x|≤m 的概率为，则m= _________ ．14．函数()22,026,0x x f x x lnx x ⎧-≤=⎨-+>⎩的零点个数是________．15．设正数,a b 满足21a b +=，则11a b+的最小值为__________． 16．已知(13)n x + 的展开式中含有2x 项的系数是54，则n=_____________. 17．设a R ∈，直线20ax y -+=和圆22cos ,12sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）相切，则a 的值为____.18．已知复数z=1+2i （i 是虚数单位），则|z|= _________ ． 19．设函数21()ln 2f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 取值范围为_______________.20．三个数成等差数列，其比为3:4:5，又最小数加上1后，三个数成等比数列，那么原三个数是三、解答题21．已知()()ln 1f x x a x =+-. (1)讨论()f x 的单调性；(2)当()f x 有最大值，且最大值大于22a -时，求a 的取值范围. 22．设函数()15,f x x x x R =++-∈. （1）求不等式()10f x ≤的解集；（2）如果关于x 的不等式2()(7)f x a x ≥--在R 上恒成立，求实数a 的取值范围.23．已知函数()2f x m x =--，m R ∈，且()20f x +≥的解集为[]1,1- （1）求m 的值； （2）若,,a b c ∈R ，且11123m a b c++=，求证239a b c ++≥ 24．已知矩形ABCD 的两条对角线相交于点20M （，），AB 边所在直线的方程为360x y --=，点11T -（，）在AD 边所在直线上. （1）求AD 边所在直线的方程； （2）求矩形ABCD 外接圆的方程.25．已知函数()32f x x ax bx c =+++，过曲线()y f x =上的点()()1,1P f 处的切线方程为31y x =+．（1）若函数()f x 在2x =-处有极值，求()f x 的解析式； （2）在（1）的条件下，求函数()y f x =在区间[]3,1-上的最大值．26．随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现。
【精品解析】陕西省榆林市2019届高三高考模拟第一次测试数学理试卷 (附解析)
榆林市2019届高考模拟第一次测试数学（理科）试题第Ⅰ卷一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数，则其虚部为（）A. B. C. -2 D. 2【答案】D【解析】【分析】先化简复数z，即可得出虚部.【详解】,故选D.【点睛】本道题考查了复数的四则运算，基础题.2.若集合，，则中元素的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】A【解析】【分析】结合一元二次不等式的解法，得到集合B，然后结合集合交集运算性质，即可。
【详解】化简B集合，得到，因而，故选A。
【点睛】本道题考查了集合的交集运算性质，较容易。
3.函数的图像的大致形状是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意得，又由可得函数图象选B。
4.已知向量满足，，，则（）A. 2B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据题意明确•，进而求出的值.【详解】根据题意得，（）222﹣2•又（）22+2•2＝1+4+2• 6∴2•1，∴（）2＝1+4﹣1＝4，∴2．故选：A．【点睛】平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数.5.若都是锐角，且，，则（）A. B. C. 或 D. 或【答案】A【解析】【分析】先计算出，再利用余弦的和与差公式，即可.【详解】因为都是锐角，且，所以又，所以，所以，，故选A.【点睛】本道题考查了同名三角函数关系和余弦的和与差公式，难度较大。
6.若变量满足约束条件，则的最大值为（）A. 0B. 2C. 4D. 6【答案】C【解析】试题分析：本题主要考察线性约束条件下的最值问题，的最大值就是直线纵截距的最小值，必在可行域的端点（即围成可行域的几条直线的交点）处取得，由不等式组可知端点为，直线过时所对应的纵截距依次为，所以的最大值为，故本题的正确选项为C.考点：线性约束条件.【方法点睛】求解关于满足线性约束条件的最值时，可以现根据约束条件在直角坐标系中画出可行域，再将所求函数写作一次函数（直线）的形式，将直线在可行域中进行平行（旋转），然后确定纵截距（斜率）的最值，由这些最值便可确定待求量的最值；也可直接求得可行域边界处的端点，即两条直线的交点，而直线的纵截距（斜率）的最值必定会在这些端点处取得，所以将这些端点值代入直线方程便可求得待求量的值，从中选择最大（小）值即可.7.《九章算术》是我国古代数学文化的优秀遗产，数学家刘徽在注解《九章算术》时，发现当圆内接正多边行的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，为此他创立了割圆术，利用割圆术，刘徽得到了圆周率精确到小数点后四位3.1416，后人称3.14为徽率，如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若结束程序时，则输出的为（）（，，）A. 6B. 12C. 24D. 48【答案】C【解析】【分析】列出循环过程中s与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【详解】模拟执行程序，可得：n＝3，S3×sin120°，不满足条件S＞3，执行循环体，n＝6，S6×sin60°，不满足条件S＞3，执行循环体，n＝12，S12×sin30°＝3，不满足条件S＞3，执行循环体，n＝24，S24×sin15°≈12×0.2588＝3.1056，满足条件S＞3，退出循环，输出n的值为24．故选：C．【点睛】本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题．8.如图所示，在正方体中，若点为的中点，点为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本道题结合空间坐标系，计算各点坐标，结合空间向量数量积，计算夹角余弦值，即可。
陕西省榆林市2019届高考模拟第一次测试数学(理)试题 解析版
2019年陕西省榆林市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若复数z＝，则其虚部为（）A．i B．2i C．﹣2 D．22．（5分）若集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x2﹣5x+6＜0，x∈Z}，则A∩B中元素的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．33．（5分）函数的图象的大致形状是（）A．B．C．D．4．（5分）已知向量、满足||＝1，||＝2，||＝，则||＝（）A．2 B．C．D．5．（5分）设α、β都是锐角，且cosα＝，sin（α+β）＝，则cosβ＝（）A．B．C．或D．或6．（5分）设x，y满足约束条件，则Z＝3x﹣2y的最大值是（）A．0 B．2 C．4 D．67．（5分）《九章算术》是我国古代数学文化的优秀遗产，数学家刘徽在注解《九章算术》时，发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，为此他创立了割圆术，利用割圆术，刘徽得到了圆周率精确到小数点后四位3.1416，后人称3.14为徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若结束程序时，则输出的n 为（ ）（≈1.732，sin15°≈0.258，sin7.5°≈0.131）A ．6B ．12C ．24D ．488．（5分）如图所示，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若点E 为BC 的中点，点F 为B 1C 1的中点，则异面直线AF 与C 1E 所成角的余弦值为（ ）9．（5分）在等比数列{a n }中，a 1+a n ＝34，a 2•a n ﹣1＝64，且前n 项和S n ＝62，则项数n 等于（ ） A ．4B ．5C ．6D ．710．（5分）已知定义域为R 的偶函数f （x ）在（﹣∞，0]上是减函数，且＝2，则不等式f （log 4x ）＞2的解集为（ ）A ．B ．（2，+∞）11．（5分）设f （x ）＝x 3+log 2（x +），则对任意实数a 、b ，若a +b ≥0，则（ ）A ．f （a ）+f （b ）≤0B ．f （a ）+f （b ）≥0C ．f （a ）﹣f （b ）≤0D ．f （a ）﹣f （b ）≥012．（5分）已知F 1，F 2分别为双曲线C ：﹣＝1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，若|AB|：|BF2|：|AF2|＝3：4：5，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸中相应的機线上）13．（5分）我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为．若a2sin C＝4sin A，（a+c）2＝12+b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为．14．（5分）已知函数f（x）＝﹣+4x﹣3lnx在[t，t+1]上不单调，则t的取值范围是．15．（5分）已知不等式e x﹣1≥kx+lnx，对于任意的x∈（0，+∞）恒成立，则k的最大值16．（5分）已知G为△ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q，若AP＝λAB，则当△ABC 与△APQ的面积之比为时，实数λ的值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答）17．（12分）已知数列{a n}中，a1＝4，a n＞0，前n项和为S n，若a n＝+，（n∈N*，n≥2）．（l）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{}前n项和为T n，求证18．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且（2a﹣c）（a2﹣b2+c2）＝2abc cos C．（1）求角B的大小；（2）若sin A+1﹣（cos C）＝0，求的值．19．（12分）设椭圆C：的离心率e＝，左顶点M到直线＝1的距离d＝，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，证明：点O到直线AB的距离为定值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求△AOB的面积S的最小值．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为平行四边形，DA＝DP，BA＝BP．（1）求证：PA⊥BD；（2）若DA⊥DP，∠ABP＝60°，BA＝BP＝BD＝2，求二面角D﹣PC﹣B的正弦值．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣2．（1）已知函数g（x）＝f（x）+2（x+1）+alnx在区间（0，1）上单调，求实数a的取值范围；（2）函数有几个零点？[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）已知曲线C的参数方程为（α为参数），设直线l的极坐标方程为4ρcosθ+3ρsinθ﹣8＝0．（1）将曲线C的参数方程化为普通方程．并指出其曲线是什么曲线．（2）设直线1与x轴的交点为P，Q为曲线C上一动点，求PQ的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+1|+|x﹣a|（a＞0）．（1）作出函数f（x）的图象；（2）若不等式f（x）≥5的解集为（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞），求a值．2019年陕西省榆林市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若复数z＝，则其虚部为（）A．i B．2i C．﹣2 D．2【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z＝＝，∴z的虚部为2．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2．（5分）若集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x2﹣5x+6＜0，x∈Z}，则A∩B中元素的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】化简集合B，根据交集的定义写出A∩B，再判断其中元素个数．【解答】解：集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x2﹣5x+6＜0，x∈Z}＝{x|2＜x＜3，x∈Z}＝∅，则A∩B＝∅，其中元素的个数为0．故选：A．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．3．（5分）函数的图象的大致形状是（）A．B．C．D．【分析】f（x）中含有|x|，故f（x）是分段函数，根据x的正负写出分段函数的解析式，对照图象选择即可．【解答】解：f（x）是分段函数，根据x的正负写出分段函数的解析式，f（x）＝，∴x＞0时，图象与y＝a x在第一象限的图象一样，x＜0时，图象与y＝a x的图象关于x轴对称，故选：C．【点评】本题考查识图问题，利用特值或转化为比较熟悉的函数，利用图象变换或利用函数的性质是识图问题常用的方法．4．（5分）已知向量、满足||＝1，||＝2，||＝，则||＝（）A．2 B．C．D．【分析】运用向量模长的计算可得结果．【解答】解：根据题意得，（﹣）2＝2+2﹣2•又（+）2＝2+2•+2＝1+4+2•＝6∴2•＝1，∴（﹣）2＝1+4﹣1＝4，∴＝2．故选：A．【点评】本题考查向量模长的计算．5．（5分）设α、β都是锐角，且cosα＝，sin（α+β）＝，则cosβ＝（）A．B．C．或D．或【分析】由α、β都是锐角，且cosα值小于，得到sinα大于0，利用余弦函数的图象与性质得出α的范围，再由sin（α+β）的值大于，利用正弦函数的图象与性质得出α+β为钝角，可得出cos（α+β）小于0，然后利用同角三角函数间的基本关系分别求出sinα和cos（α+β）的值，将所求式子中的角β变形为（α+β）﹣α，利用两角和与差的余弦函数公式化简后，把各自的值代入即可求出值．【解答】解：∵α、β都是锐角，且cosα＝，∴cos（α+β）＝﹣＝﹣，sinα＝＝，则cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα＝＝．故选：A．【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，正弦、余弦函数的图象与性质，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．6．（5分）设x，y满足约束条件，则Z＝3x﹣2y的最大值是（）A．0 B．2 C．4 D．6【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数Z＝3x﹣2y为，由图可知，当直线过A（0，﹣2）时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为3×0﹣2×（﹣2）＝4．故选：C．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．7．（5分）《九章算术》是我国古代数学文化的优秀遗产，数学家刘徽在注解《九章算术》时，发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，为此他创立了割圆术，利用割圆术，刘徽得到了圆周率精确到小数点后四位3.1416，后人称3.14为徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若结束程序时，则输出的n 为（ ）（≈1.732，sin15°≈0.258，sin7.5°≈0.131）A ．6B ．12C ．24D ．48【分析】列出循环过程中s 与n 的数值，满足判断框的条件即可结束循环． 【解答】解：模拟执行程序，可得：n ＝3，S ＝3×sin120°＝，不满足条件S ＞3，执行循环体，n ＝6，S ＝6×sin60°＝，不满足条件S ＞3，执行循环体，n ＝12，S ＝×12×sin30°＝3，不满足条件S ＞3，执行循环体，n ＝24，S ＝×24×sin15°≈12×0.2588＝3.1056， 满足条件S ＞3，退出循环，输出n 的值为24． 故选：C ．【点评】本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题．8．（5分）如图所示，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若点E 为BC 的中点，点F 为B 1C 1的中点，则异面直线AF 与C 1E 所成角的余弦值为（ ）【分析】以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AF 与C 1E 所成角的余弦值．【解答】解：以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，棱长为2，则A （0，0，0），F （2，1，2），C 1（2，2，2），E （2，1，0），＝（2，1，2），＝（0，﹣1，﹣2），设异面直线AF 与C 1E 所成角为θ，则cos θ＝＝＝，∴异面直线AF 与C 1E 所成角的余弦值为故选：B ．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9．（5分）在等比数列{a n }中，a 1+a n ＝34，a 2•a n ﹣1＝64，且前n 项和S n ＝62，则项数n 等于（ ） A ．4B ．5C ．6D ．7【分析】根据等比数列的性质得到a 2•a n ﹣1＝a 1•a n ＝64，与已知的a 1+a n ＝34联立，即可求出a 1与a n 的值，然后利用等比数列的前n 项和公式表示出S n ，把求出的a 1与a n 的值代入即可求出公比q 的值，根据a n 的值，利用等比数列的通项公式即可求出项数n 的值．【解答】解：因为数列{a n }为等比数列，则a 2•a n ﹣1＝a 1•a n ＝64①， 又a 1+a n ＝34②，联立①②，解得：a 1＝2，a n ＝32或a 1＝32，a n ＝2，当a 1＝2，a n ＝32时，s n ＝＝＝＝62，解得q ＝2，所以a n ＝2×2n ﹣1＝32，此时n ＝5； 同理可得a 1＝32，a n ＝2，也有n ＝5． 则项数n 等于5 故选：B ．【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式及前n 项和公式化简求值，掌握等比数列的性质，是一道基础题．10．（5分）已知定义域为R 的偶函数f （x ）在（﹣∞，0]上是减函数，且＝2，则不等式f （log 4x ）＞2的解集为（ ）A ．B ．（2，+∞）【分析】由题意知不等式即f （log 4x ）＞，即 log 4x ＞，或 log 4x ＜﹣，利用对数函数的定义域和单调性求出不等式的解集．【解答】解：由题意知 不等式f （log 4x ）＞2，即 f （log 4x ）＞，又偶函数f （x ）在（﹣∞，0]上是减函数，∴f （x ）在[0，+∞）上是增函数，∴log 4x ＞＝log 42，或 log 4x ＜﹣＝，∴0＜x ＜，或 x ＞2， 故选：A ．【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的应用，对数函数的单调性及特殊点．11．（5分）设f （x ）＝x 3+log 2（x +），则对任意实数a 、b ，若a +b ≥0，则（ ）A ．f （a ）+f （b ）≤0B ．f （a ）+f （b ）≥0C ．f （a ）﹣f （b ）≤0D ．f （a ）﹣f （b ）≥0【分析】求解函数f （x ）的定义域，判断其奇偶性和单调性，利用奇偶性和单调性可得答案．【解答】解：设，其定义域为R ，＝＝﹣f （x ），∴函数f （x ）是奇函数．且在（0，+∞）上单调递增， 故函数f （x ）在R 上是单调递增， 那么：a +b ≥0，即a ≥﹣b ， ∴f （a ）≥f （﹣b ）， 得f （a ）≥﹣f （b ）， 可得：f （a ）+f （b ）≥0． 故选：B ．【点评】本题考查了函数的奇偶性和单调性的判断及其运用能力．属于基础题．12．（5分）已知F 1，F 2分别为双曲线C ：﹣＝1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线C 的左右两支分别交于A ，B 两点，若|AB |：|BF 2|：|AF 2|＝3：4：5，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．2D ．【分析】设|AF 1|＝t ，|AB |＝3x ，根据双曲线的定义算出t ＝3a ，x ＝a ，Rt △ABF 2中算出 cos ∠BAF 2＝＝，可得cos ∠F 2AF 1＝﹣，在△F 2AF 1中，利用余弦定理与双曲线的离心率公式加以计算，可得答案． 【解答】解：|AB |：|BF 2|：|AF 2|＝3：4：5， 设|AF 1|＝t ，|AB |＝3x ，则|BF 2|＝4x ，|AF 2|＝5x ， 根据双曲线的定义，得|AF 2|﹣|AF 1|＝|BF 1|﹣|BF 2|＝2a ， 即5x ﹣t ＝（3x +t ）﹣4x ＝2a ， 解得t ＝3a ，x ＝a ， 即|AF 1|＝3a ，|AF 2|＝5a ，∵|AB |：|BF 2|：|AF 2|＝3：4：5，得△ABF 2是以B 为直角的Rt △，∴cos ∠BAF 2＝＝，可得cos ∠F 2AF 1＝﹣，△F 2AF 1中，|F 1F 2|2＝|AF 1|2+|AF 2|2﹣2|AF 1|•|AF 2|cos ∠F 2AF 1＝9a 2+25a 2﹣2×3a ×5a ×（﹣）＝52a 2，可得|F 1F 2|＝2a ，即c ＝a ，因此，该双曲线的离心率e ＝＝．故选：A ．【点评】本题着重考查了双曲线的定义与简单几何性质、直角三角形的判定与性质、利用余弦定理解三角形等知识，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸中相应的機线上）13．（5分）我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC 三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为．若a 2sin C ＝4sin A ，（a +c ）2＝12+b 2，则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为．【分析】由已知利用正弦定理可求ac 的值，可求a 2+c 2﹣b 2＝4，代入“三斜求积”公式即可计算得解． 【解答】解：根据正弦定理：由a 2sin C ＝4sin A ，可得：ac ＝4， 由于（a +c ）2＝12+b 2，可得：a 2+c 2﹣b 2＝4，可得：＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．14．（5分）已知函数f（x）＝﹣+4x﹣3lnx在[t，t+1]上不单调，则t的取值范围是0＜t＜1或2＜t ＜3 ．【分析】先由函数求f′（x）＝﹣x+4﹣，再由“函数在[t，t+1]上不单调”转化为“f′（x）＝﹣x+4﹣＝0在区间[t，t+1]上有解”从而有在[t，t+1]上有解，进而转化为：g （x）＝x2﹣4x+3＝0在[t，t+1]上有解，用二次函数的性质研究．【解答】解：∵函数∴f′（x）＝﹣x+4﹣∵函数在[t，t+1]上不单调，∴f′（x）＝﹣x+4﹣＝0在[t，t+1]上有解∴在[t，t+1]上有解∴g（x）＝x2﹣4x+3＝0在[t，t+1]上有解∴g（t）g（t+1）≤0或∴0＜t＜1或2＜t＜3．故答案为：0＜t＜1或2＜t＜3．【点评】本题主要考查导数法研究函数的单调性，基本思路：当函数是增函数时，导数大于等于零恒成立，当函数是减函数时，导数小于等于零恒成立，然后转化为求相应函数的最值问题．注意判别式的应用．15．（5分）已知不等式e x﹣1≥kx+lnx，对于任意的x∈（0，+∞）恒成立，则k的最大值e﹣1【分析】不等式e x﹣1≥kx+lnx，对于任意的x∈（0，+∞）恒成立．等价于对于任意的x∈（0，+∞）恒成立．求得，（x＞0），的最小值即可k的取值．【解答】解：不等式e x﹣1≥kx+lnx，对于任意的x∈（0，+∞）恒成立．等价于对于任意的x∈（0，+∞）恒成立．令，（x＞0），，令g（x）＝e x（x﹣1）+lnx，（x＞0），则，∴g（x）在（0，+∞）单调递增，g（1）＝0，∴x∈（0，1）时，g（x）＜0，x∈（1，+∞）时，g（x）＞0．∴x∈（0，1）时，f′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0．∴x∈（0，1）时，f（x）单调递减，x∈（1，+∞）时，f（x）单调递增．∴f（x）min＝f（1）＝e﹣1∴k≤e﹣1．故答案为：e﹣1．【点评】本题考查不等式恒成立问题的解法，考查构造函数法，以及导数的运用：求单调性和最值，考查运算能力，属于中档题．16．（5分）已知G为△ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q，若AP＝λAB，则当△ABC与△APQ的面积之比为时，实数λ的值为或．【分析】利用重心定理，用，把向量表示为，再利用A，P，Q共线，可得x+y＝1，最后代入面积公式即可得解．【解答】解：∵设AQ＝μACG为△ABC的重心，∴＝＝．∵P，G，Q三点共线，∴．△ABC与△APQ的面积之比为时，．∴或，故答案为：或．【点评】本题考查的知识点是向量的线性运算性质及几何意义，向量的共线定理，及三角形的重心，其中根据向量共线，根据共线向量基本定理知，进而得到λ、μ，y的关系式，是解答本题的关键．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答）17．（12分）已知数列{a n}中，a1＝4，a n＞0，前n项和为S n，若a n＝+，（n∈N*，n≥2）．（l）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{}前n项和为T n，求证．【分析】（1）运用数列的递推式和等差数列的定义、通项公式，即可得到所求通项，注意检验首项；（2）求得＝＝（﹣），由裂项相消求和，结合数列的单调性和不等式的性质，即可得证．【解答】解：（1）数列{a n}中，a1＝4，a n＞0，前n项和为S n，若a n＝+，（n∈N*，n≥2），由a n＝S n﹣S n﹣1＝（﹣）（+），可得﹣＝1，即有＝+n﹣1＝2+n﹣1＝n+1，即S n＝（n+1）2，当n≥2时，a n＝+＝n+1+n＝2n+1；则a n＝；（2）n≥2时，可得列＝＝（﹣），则前n项和为T n＝+（﹣+﹣+…+﹣）【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列递推式和等差数列的定义、通项公式，考查数列的裂项相消求和，属于中档题．18．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且（2a﹣c）（a2﹣b2+c2）＝2abc cos C．（1）求角B的大小；（2）若sin A+1﹣（cos C+）＝0，求的值．【分析】（1）由已知利用余弦定理，正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得cos B＝，结合范围B∈（0°，180°），可求B的值；（2）利用三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得cos（A+30°）＝，结合范围A+30°∈（30°，150°），可求A＝30°，由正弦定理即可求得的值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵（2a﹣c）（a2﹣b2+c2）＝2abc cos C．∴（2a﹣c）2ac cos B＝2abc cos C．∴（2a﹣c）cos B＝b cos C…3分∴，∵由正弦定理可得：，∴a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C，∴，∴2sin A cos B﹣sin C cos B＝sin B cos C，∴2sin A cos B＝sin C cos B+sin B cos C＝sin（B+C）＝sin A，∵sin A≠0，∴cos B＝，∵B∈（0°，180°），∴B＝60°…6分（2）∵sin A+1﹣（cos C+）＝0，∴sin A+1﹣cos C﹣＝0，可得：sin A﹣cos C＝，∵B＝60°，C＝180°﹣B﹣A＝120°﹣A，∴sin A﹣cos（120°﹣A）＝，可得： cos A﹣sin A＝，∴cos（A+30°）＝，∵A∈（0°，120°），∴A+30°∈（30°，150°），∴A＝30°，∵由正弦定理，B＝60°，A＝30°，∴可得：＝…12分【点评】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，三角函数恒等变换的应用在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19．（12分）设椭圆C：的离心率e＝，左顶点M到直线＝1的距离d＝，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，证明：点O到直线AB的距离为定值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求△AOB的面积S的最小值．【分析】（Ⅰ）由已知得，又a 2＝b 2+c 2，由此能求出椭圆C 的方程．（Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），当直线AB 的斜率不存在时，x 1x 2+y 1y 2＝0，点O 到直线AB 的距离为．当直线AB 的斜率存在时，设AB 的方程为y ＝kx +m ，联立，得（1+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣4＝0，由此利用韦达定理结合已知条件推导出点O 到直线AB 的距离为，由此能证明点O 到直线AB 的距离为定值．（3）设直线OA 的斜率为k 0，OA 的方程为y ＝k 0x ，OB 的方程为y ＝﹣，联立，得，同理，得，由此能求出△AOB 的面积S 的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由已知得，又a 2＝b 2+c 2，解得a ＝2，b ＝1，c ＝，∴椭圆C 的方程为．（Ⅱ）证明：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），①当直线AB 的斜率不存在时，则由椭圆的对称性知x 1＝x 2，y 1＝﹣y 2，∵以AB 为直线的圆经过坐标原点，∴＝0，∴x 1x 2+y 1y 2＝0，∴，又点A 在椭圆C 上，解得|x 1|＝|y 1|＝．此时点O 到直线AB 的距离．（2）当直线AB 的斜率存在时，设AB 的方程为y ＝kx +m ，联立，得（1+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣4＝0，∵以AB 为直径的圆过坐标原点O ，∴OA ⊥OB ，∴＝x 1x 2+y 1y 2＝0，∴（1+k 2）x 1x 2+km （x 1+x 2）+m 2＝0，∴（1+k 2）•，整理，得5m 2＝4（k 2+1），∴点O 到直线AB 的距离＝，综上所述，点O 到直线AB 的距离为定值．（3）设直线OA 的斜率为k 0，当k 0≠0时，OA 的方程为y ＝k 0x ，OB 的方程为y ＝﹣，联立，得，同理，得，∴△AOB 的面积S ＝＝2，令1+＝t ，t ＞1，则S＝2＝2，令g（t）＝﹣++4＝﹣9（）2+，（t＞1）∴4＜g（t），∴，＝0时，解得S＝1，当k【点评】本题考查椭圆的方程的求法，考查点到直线AB的距离为定值的证明，考查三角形的面积的最小值的求法，解题时要注意韦达定理、弦长公式的合理运用．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为平行四边形，DA＝DP，BA＝BP．（1）求证：PA⊥BD；（2）若DA⊥DP，∠ABP＝60°，BA＝BP＝BD＝2，求二面角D﹣PC﹣B的正弦值．【分析】（1）取AP中点F，连接DM，BM，由已知可证PA⊥DM，PA⊥BM，又DM∩BM＝M，可得PA⊥平面DMB，因为BD⊂平面DMB，可证PA⊥BD；（2）由已知可得△DAP是等腰三角形，△ABP是等边三角形，求出MD⊥MB，以MP，MB，MD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．求出平面DPC与平面PCB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角D﹣PC﹣B的余弦值，进一步求得正弦值．【解答】（1）证明：取AP中点M，连接DM，BM，∵DA＝DP，BA＝BP，∴PA⊥DM，PA⊥BM，∵DM∩BM＝M，∴PA⊥平面DMB．又∵BD⊂平面DMB，∴PA⊥BD；（2）解：∵DA＝DP，BA＝BP．DA⊥DP，∠ABP＝60°，∴△DAP是等腰三角形，△ABP是等边三角形．∵BA＝BP＝BD＝2，∴DM＝1，BM＝．∴BD2＝MB2+MD2，∴MD⊥MB．以MP，MB，MD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（﹣1，0，0），B（0，，0），P（1，0，0），D（0，0，1），从而得＝（1，0，﹣1），＝（1，，0），＝（1，，0），＝（1，0，1），设平面DPC的法向量，则，即，＝1，得，∴＝（，1，），令y1设平面PCB的法向量，由，得，＝1，得，，∴＝（，1，），令y2∴cos＜＞＝．设二面角D﹣PC﹣B为α，∴．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查了利用空间向量求解空间角，考查计算能力，是中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣2．（1）已知函数g（x）＝f（x）+2（x+1）+alnx在区间（0，1）上单调，求实数a的取值范围；（2）函数有几个零点？【分析】（1）由题意可得0＜x＜1时，g′（x）＝2x+2+＞0恒成立，即a＞﹣2x2﹣2x＝﹣2+，求得2+ 的最大值，可得a 的范围．（2）利用导数研究函数的单调性以极值，再根据极值的符号确定函数的零点符号．【解答】解：（1）∵函数f （x ）＝x 2﹣2，函数g （x ）＝f （x ）+2（x +1）+alnx 在区间（0，1）上单调， ∴0＜x ＜1时，g ′（x ）＝2x+2+＞0恒成立，即a ＞﹣2x 2﹣2x ＝﹣2+，而m （x ）＝﹣2+ 在区间（0，1）上单调递减，∴﹣2+＜m （0）＝0，∴a ≥0．（2）∵函数＝ln （1+x 2）﹣（x 2﹣2）﹣k ＝ln （1+x 2）﹣x 2+1﹣k 的定义域为R ，h ′（x）＝﹣x ﹣0＝，令h ′（x ）＝0，求得x ＝0，或x ＝1 或x ＝﹣1，列表：﹣﹣当1﹣k ＞0且ln 2+﹣k ＞0时，即 k ＜1时，函数h （x ）有2个零点； 当1﹣k ＝0且 ln 2+﹣k ＞0时，即k ＝1时，函数h （x ）有3个零点； 当1﹣k ＜0且ln 2+﹣k ＞0时，即1＜k ＜ln 2+ 时，函数h （x ）有4个零点； 当1﹣k ＜0且ln 2+﹣k ＜0时，即 k ＞ln 2+ 时，函数h （x ）有没有零点．【点评】本题主要考查函数的零点，函数的单调性与导数的关系，利用导数求函数的最值，属于难题． [选修4-4：坐标系与参数方程选讲] 22．（10分）已知曲线C 的参数方程为（α为参数），设直线l 的极坐标方程为4ρcos θ+3ρsin θ﹣8＝0．（1）将曲线C 的参数方程化为普通方程．并指出其曲线是什么曲线． （2）设直线1与x 轴的交点为P ，Q 为曲线C 上一动点，求PQ 的最大值．【分析】（1）曲线C的参数方程消去参数，得到曲线C的普通方程，由此求出曲线C是圆心为（0，1），半径为r＝1的圆．（2）直线l的直角坐标方程为4x+3y﹣8＝0，求出P（2，0），从而得到圆心C（0，1）到P（2，0）的距离|PC|＝，再由Q是圆C上的动点，圆C的半径为r＝1，能求出PQ的最大值．【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程为（α为参数），∴曲线C的普通方程为x2+（y﹣1）2＝1，∴曲线C是圆心为（0，1），半径为r＝1的圆．（2）∵直线l的极坐标方程为4ρcosθ+3ρsinθ﹣8＝0，∴直线l的直角坐标方程为4x+3y﹣8＝0，∵直线1与x轴的交点为P，Q为曲线C上一动点，∴P（2，0），圆心C（0，1）到P（2，0）的距离|PC|＝＝，∵Q是圆C上的动点，圆C的半径为r＝1，∴PQ的最大值为．【点评】本题考查圆的普通方程的求法，考查线段的最大值的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+1|+|x﹣a|（a＞0）．（1）作出函数f（x）的图象；（2）若不等式f（x）≥5的解集为（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞），求a值．【分析】（1）f（x）＝|x+1|+|x﹣a|＝，如图所示．（2）由题设知：|x+1|+|x﹣a|≥5，在同一坐标系中作出函数y＝5的图象，当x＝﹣2或3时，f（x）＝5，且a+1＜5即a＜4，由f（﹣2）＝5 求得a的值．【解答】解：（1）f（x）＝|x+1|+|x﹣a|＝，函数f（x）如图所示．（2）由题设知：|x+1|+|x﹣a|≥5，如图，在同一坐标系中作出函数y＝5的图象（如图所示）又解集为（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）．由题设知，当x＝﹣2或3时，f（x）＝5且a+1＜5即a＜4，由f（﹣2）＝﹣2（﹣2）﹣1+a＝5得：a＝2．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，函数图象的特征，体现了数形结合的数学思想，画出函数f（x）的图象，是解题的关键．。
陕西省2019届高三第一次大检测数学试题(理)
陕西省2019届高三第一次大检测数学试题（理）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.把正确选项的代号填在答题卡上1．设集合A={0，2，a}，B={2，a2}．若A∪B={0，2，4，16}，则实数a的值为（）A．0 B．1 C．2 D．42．已知复数在夏平面上对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知数列的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．对于任意向量a、b、c，下列命题中正确的是5．执行如图所示的程序框图，会输出一列数，则这个数列的第3项是A．870 B．30C．6 D．36．设（5x﹣）n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M﹣N=240，则n的值为（）A．4 B．6C．8 D．107．一几何体的三视图如图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为8．已知实数的取值范围是9．定义行列式运算的图象向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则n的最小值为10．已知两点A（0，2）、B（2，0），若点C在函数的图像上，则使得的面积为2的点C的个数为A．4 B．3 C．2 D．111．函数f(x)的图像如图所示，下列数值排序正确的是12．已知双曲线的右焦点为F，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若线段FH的中点M在双曲线C上，则双曲线C的离心率为二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上13．若（1+x+x2）6=a0+a1x+a2x2+…+a12x12，则a2+a4+…+a12=．14．一个无上盖容器的三视图如图所示，则该几何体的表面积为．15．如图，是一程序框图，则输出结果为．16．已知双曲线x2﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2，P为双曲线右支上一点，点Q的坐标为（﹣2，3），则|PQ|+|PF1|的最小值为．三、解答题：解答题须写出文字说明、证明过程或演算步骤18．三角形ABC中，已知sin2A+sin2B+sinAsinB=sin2C，其中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求的取值范围．19．某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图直方图：（Ⅰ）若直方图中前三组的频数成等比数列，后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；（Ⅱ）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？（Ⅲ）在（Ⅱ）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1～．20．如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=DE=2，F为线段DE的中点．（Ⅰ）求证：BE∥平面ACF；（Ⅱ）求二面角C﹣BF﹣E的平面角的余弦值．21．已知抛物线G的顶点在原点，焦点在y轴的正半轴上，抛物线上的点P（m，4）到焦点的距离等于5（Ⅰ）求抛物线G的方程；（2）若正方形ABCD的三个顶点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜0≤x2＜x3）在抛物线上，可设直线BC的斜率k，求正方形ABCD面积的最小值．22．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣2（Ⅰ）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（Ⅱ）若函数y=f（x）+g（x）有两个不同的极值点x1，x2（x1＜x2）且x2﹣x1＞ln2，求实数a的取值范围．请考生在22、23题中任选一题做大，如果多做，则按所做的第一题计分。
陕西省榆林市2019届高考模拟第一次测试数学(理)试题 精品解析版
2019年陕西省榆林市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若复数z＝，则其虚部为（）A．i B．2i C．﹣2 D．22．（5分）若集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x2﹣5x+6＜0，x∈Z}，则A∩B中元素的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．33．（5分）函数的图象的大致形状是（）A．B．C．D．4．（5分）已知向量、满足||＝1，||＝2，||＝，则||＝（）A．2 B．C．D．5．（5分）设α、β都是锐角，且cosα＝，sin（α+β）＝，则cosβ＝（）A．B．C．或D．或6．（5分）设x，y满足约束条件，则Z＝3x﹣2y的最大值是（）A．0 B．2 C．4 D．67．（5分）《九章算术》是我国古代数学文化的优秀遗产，数学家刘徽在注解《九章算术》时，发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，为此他创立了割圆术，利用割圆术，刘徽得到了圆周率精确到小数点后四位3.1416，后人称3.14为徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若结束程序时，则输出的n为（）（≈1.732，sin15°≈0.258，sin7.5°≈0.131）A ．6B ．12C ．24D ．488．（5分）如图所示，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若点E 为BC 的中点，点F 为B 1C 1的中点，则异面直线AF 与C 1E 所成角的余弦值为（ ）9．（5分）在等比数列{a n }中，a 1+a n ＝34，a 2•a n ﹣1＝64，且前n 项和S n ＝62，则项数n 等于（ ） A ．4B ．5C ．6D ．710．（5分）已知定义域为R 的偶函数f （x ）在（﹣∞，0]上是减函数，且＝2，则不等式f （log 4x ）＞2的解集为（ ）A ．B ．（2，+∞）11．（5分）设f （x ）＝x 3+log 2（x +），则对任意实数a 、b ，若a +b ≥0，则（ ）A ．f （a ）+f （b ）≤0B ．f （a ）+f （b ）≥0C ．f （a ）﹣f （b ）≤0D ．f （a ）﹣f （b ）≥012．（5分）已知F 1，F 2分别为双曲线C ：﹣＝1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线C 的左右两支分别交于A ，B 两点，若|AB |：|BF 2|：|AF 2|＝3：4：5，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．2D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸中相应的機线上）13．（5分）我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC 三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为．若a 2sin C ＝4sin A ，（a +c ）2＝12+b 2，则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为 ．14．（5分）已知函数f （x ）＝﹣+4x ﹣3lnx 在[t ，t +1]上不单调，则t 的取值范围是 ．15．（5分）已知不等式e x ﹣1≥kx +lnx ，对于任意的x ∈（0，+∞）恒成立，则k 的最大值 16．（5分）已知G 为△ABC 的重心，过点G 的直线与边AB ，AC 分别相交于点P ，Q ，若AP ＝λAB ，则当△ABC 与△APQ 的面积之比为时，实数λ的值为 ．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答）17．（12分）已知数列{a n }中，a 1＝4，a n ＞0，前n 项和为S n ，若a n ＝+，（n ∈N *，n ≥2）．（l ）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{}前n 项和为T n ，求证18．（12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且（2a ﹣c ）（a 2﹣b 2+c 2）＝2abc cos C ． （1）求角B 的大小；（2）若sin A +1﹣（cos C）＝0，求的值．19．（12分）设椭圆C ：的离心率e ＝，左顶点M 到直线＝1的距离d ＝，O 为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过坐标原点，证明：点O 到直线AB 的距离为定值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求△AOB 的面积S 的最小值．20．（12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 为平行四边形，DA ＝DP ，BA ＝BP ． （1）求证：PA ⊥BD ；（2）若DA ⊥DP ，∠ABP ＝60°，BA ＝BP ＝BD ＝2，求二面角D ﹣PC ﹣B 的正弦值．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣2．（1）已知函数g（x）＝f（x）+2（x+1）+alnx在区间（0，1）上单调，求实数a的取值范围；（2）函数有几个零点？[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]（10分）已知曲线C的参数方程为（α为参数），设直线l的极坐标方程为4ρcosθ+3ρsinθ22．﹣8＝0．（1）将曲线C的参数方程化为普通方程．并指出其曲线是什么曲线．（2）设直线1与x轴的交点为P，Q为曲线C上一动点，求PQ的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+1|+|x﹣a|（a＞0）．（1）作出函数f（x）的图象；（2）若不等式f（x）≥5的解集为（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞），求a值．2019年陕西省榆林市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若复数z＝，则其虚部为（）A．i B．2i C．﹣2 D．2【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z＝＝，∴z的虚部为2．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2．（5分）若集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x2﹣5x+6＜0，x∈Z}，则A∩B中元素的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】化简集合B，根据交集的定义写出A∩B，再判断其中元素个数．【解答】解：集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x2﹣5x+6＜0，x∈Z}＝{x|2＜x＜3，x∈Z}＝∅，则A∩B＝∅，其中元素的个数为0．故选：A．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．3．（5分）函数的图象的大致形状是（）A．B．C．D．【分析】f（x）中含有|x|，故f（x）是分段函数，根据x的正负写出分段函数的解析式，对照图象选择即可．【解答】解：f（x）是分段函数，根据x的正负写出分段函数的解析式，f（x）＝，∴x＞0时，图象与y＝a x在第一象限的图象一样，x＜0时，图象与y＝a x的图象关于x轴对称，故选：C．【点评】本题考查识图问题，利用特值或转化为比较熟悉的函数，利用图象变换或利用函数的性质是识图问题常用的方法．4．（5分）已知向量、满足||＝1，||＝2，||＝，则||＝（）A．2 B．C．D．【分析】运用向量模长的计算可得结果．【解答】解：根据题意得，（﹣）2＝2+2﹣2•又（+）2＝2+2•+2＝1+4+2•＝6∴2•＝1，∴（﹣）2＝1+4﹣1＝4，∴＝2．故选：A．【点评】本题考查向量模长的计算．5．（5分）设α、β都是锐角，且cosα＝，sin（α+β）＝，则cosβ＝（）A．B．C．或D．或【分析】由α、β都是锐角，且cosα值小于，得到sinα大于0，利用余弦函数的图象与性质得出α的范围，再由sin（α+β）的值大于，利用正弦函数的图象与性质得出α+β为钝角，可得出cos（α+β）小于0，然后利用同角三角函数间的基本关系分别求出sinα和cos（α+β）的值，将所求式子中的角β变形为（α+β）﹣α，利用两角和与差的余弦函数公式化简后，把各自的值代入即可求出值．【解答】解：∵α、β都是锐角，且cosα＝，∴cos（α+β）＝﹣＝﹣，sinα＝＝，则cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα＝＝．故选：A．【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，正弦、余弦函数的图象与性质，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．6．（5分）设x，y满足约束条件，则Z＝3x﹣2y的最大值是（）A．0 B．2 C．4 D．6【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数Z＝3x﹣2y为，由图可知，当直线过A（0，﹣2）时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为3×0﹣2×（﹣2）＝4．故选：C．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．7．（5分）《九章算术》是我国古代数学文化的优秀遗产，数学家刘徽在注解《九章算术》时，发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，为此他创立了割圆术，利用割圆术，刘徽得到了圆周率精确到小数点后四位3.1416，后人称3.14为徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若结束程序时，则输出的n为（）（≈1.732，sin15°≈0.258，sin7.5°≈0.131）A ．6B ．12C ．24D ．48【分析】列出循环过程中s 与n 的数值，满足判断框的条件即可结束循环． 【解答】解：模拟执行程序，可得：n ＝3，S ＝3×sin120°＝，不满足条件S ＞3，执行循环体，n ＝6，S ＝6×sin60°＝，不满足条件S ＞3，执行循环体，n ＝12，S ＝×12×sin30°＝3，不满足条件S ＞3，执行循环体，n ＝24，S ＝×24×sin15°≈12×0.2588＝3.1056， 满足条件S ＞3，退出循环，输出n 的值为24． 故选：C ．【点评】本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题．8．（5分）如图所示，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若点E 为BC 的中点，点F 为B 1C 1的中点，则异面直线AF 与C 1E 所成角的余弦值为（ ）【分析】以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AF 与C 1E 所成角的余弦值．【解答】解：以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，棱长为2，则A （0，0，0），F （2，1，2），C 1（2，2，2），E （2，1，0），＝（2，1，2），＝（0，﹣1，﹣2），设异面直线AF 与C 1E 所成角为θ，则cos θ＝＝＝，∴异面直线AF 与C 1E 所成角的余弦值为故选：B ．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9．（5分）在等比数列{a n }中，a 1+a n ＝34，a 2•a n ﹣1＝64，且前n 项和S n ＝62，则项数n 等于（ ） A ．4B ．5C ．6D ．7【分析】根据等比数列的性质得到a 2•a n ﹣1＝a 1•a n ＝64，与已知的a 1+a n ＝34联立，即可求出a 1与a n 的值，然后利用等比数列的前n 项和公式表示出S n ，把求出的a 1与a n 的值代入即可求出公比q 的值，根据a n 的值，利用等比数列的通项公式即可求出项数n 的值．【解答】解：因为数列{a n }为等比数列，则a 2•a n ﹣1＝a 1•a n ＝64①， 又a 1+a n ＝34②，联立①②，解得：a 1＝2，a n ＝32或a 1＝32，a n ＝2，当a 1＝2，a n ＝32时，s n ＝＝＝＝62，解得q ＝2，所以a n ＝2×2n ﹣1＝32，此时n ＝5； 同理可得a 1＝32，a n ＝2，也有n ＝5． 则项数n 等于5故选：B ．【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式及前n 项和公式化简求值，掌握等比数列的性质，是一道基础题．10．（5分）已知定义域为R 的偶函数f （x ）在（﹣∞，0]上是减函数，且＝2，则不等式f （log 4x ）＞2的解集为（ ）A ．B ．（2，+∞）【分析】由题意知不等式即f （log 4x ）＞，即 log 4x ＞，或 log 4x ＜﹣，利用对数函数的定义域和单调性求出不等式的解集．【解答】解：由题意知 不等式f （log 4x ）＞2，即 f （log 4x ）＞，又偶函数f （x ）在（﹣∞，0]上是减函数，∴f （x ）在[0，+∞）上是增函数，∴log 4x ＞＝log 42，或 log 4x ＜﹣＝，∴0＜x ＜，或 x ＞2， 故选：A ．【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的应用，对数函数的单调性及特殊点．11．（5分）设f （x ）＝x 3+log 2（x +），则对任意实数a 、b ，若a +b ≥0，则（ ）A ．f （a ）+f （b ）≤0B ．f （a ）+f （b ）≥0C ．f （a ）﹣f （b ）≤0D ．f （a ）﹣f （b ）≥0【分析】求解函数f （x ）的定义域，判断其奇偶性和单调性，利用奇偶性和单调性可得答案．【解答】解：设，其定义域为R ，＝＝﹣f （x ），∴函数f （x ）是奇函数．且在（0，+∞）上单调递增， 故函数f （x ）在R 上是单调递增， 那么：a +b ≥0，即a ≥﹣b ， ∴f （a ）≥f （﹣b ），得f （a ）≥﹣f （b ）， 可得：f （a ）+f （b ）≥0． 故选：B ．【点评】本题考查了函数的奇偶性和单调性的判断及其运用能力．属于基础题．12．（5分）已知F 1，F 2分别为双曲线C ：﹣＝1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线C 的左右两支分别交于A ，B 两点，若|AB |：|BF 2|：|AF 2|＝3：4：5，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．2D ．【分析】设|AF 1|＝t ，|AB |＝3x ，根据双曲线的定义算出t ＝3a ，x ＝a ，Rt △ABF 2中算出 cos ∠BAF 2＝＝，可得cos ∠F 2AF 1＝﹣，在△F 2AF 1中，利用余弦定理与双曲线的离心率公式加以计算，可得答案． 【解答】解：|AB |：|BF 2|：|AF 2|＝3：4：5， 设|AF 1|＝t ，|AB |＝3x ，则|BF 2|＝4x ，|AF 2|＝5x ， 根据双曲线的定义，得|AF 2|﹣|AF 1|＝|BF 1|﹣|BF 2|＝2a ， 即5x ﹣t ＝（3x +t ）﹣4x ＝2a ， 解得t ＝3a ，x ＝a ， 即|AF 1|＝3a ，|AF 2|＝5a ，∵|AB |：|BF 2|：|AF 2|＝3：4：5，得△ABF 2是以B 为直角的Rt △，∴cos ∠BAF 2＝＝，可得cos ∠F 2AF 1＝﹣，△F 2AF 1中，|F 1F 2|2＝|AF 1|2+|AF 2|2﹣2|AF 1|•|AF 2|cos ∠F 2AF 1＝9a 2+25a 2﹣2×3a ×5a ×（﹣）＝52a 2，可得|F 1F 2|＝2a ，即c ＝a ，因此，该双曲线的离心率e ＝＝．故选：A ．【点评】本题着重考查了双曲线的定义与简单几何性质、直角三角形的判定与性质、利用余弦定理解三角形等知识，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸中相应的機线上）13．（5分）我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为．若a2sin C＝4sin A，（a+c）2＝12+b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为．【分析】由已知利用正弦定理可求ac的值，可求a2+c2﹣b2＝4，代入“三斜求积”公式即可计算得解．【解答】解：根据正弦定理：由a2sin C＝4sin A，可得：ac＝4，由于（a+c）2＝12+b2，可得：a2+c2﹣b2＝4，可得：＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．14．（5分）已知函数f（x）＝﹣+4x﹣3lnx在[t，t+1]上不单调，则t的取值范围是0＜t＜1或2＜t＜3 ．【分析】先由函数求f′（x）＝﹣x+4﹣，再由“函数在[t，t+1]上不单调”转化为“f′（x）＝﹣x+4﹣＝0在区间[t，t+1]上有解”从而有在[t，t+1]上有解，进而转化为：g（x）＝x2﹣4x+3＝0在[t，t+1]上有解，用二次函数的性质研究．【解答】解：∵函数∴f′（x）＝﹣x+4﹣∵函数在[t，t+1]上不单调，∴f′（x）＝﹣x+4﹣＝0在[t，t+1]上有解∴在[t，t+1]上有解∴g（x）＝x2﹣4x+3＝0在[t，t+1]上有解∴g（t）g（t+1）≤0或∴0＜t＜1或2＜t＜3．故答案为：0＜t＜1或2＜t＜3．【点评】本题主要考查导数法研究函数的单调性，基本思路：当函数是增函数时，导数大于等于零恒成立，当函数是减函数时，导数小于等于零恒成立，然后转化为求相应函数的最值问题．注意判别式的应用．15．（5分）已知不等式e x﹣1≥kx+lnx，对于任意的x∈（0，+∞）恒成立，则k的最大值e﹣1【分析】不等式e x﹣1≥kx+lnx，对于任意的x∈（0，+∞）恒成立．等价于对于任意的x∈（0，+∞）恒成立．求得，（x＞0），的最小值即可k的取值．【解答】解：不等式e x﹣1≥kx+lnx，对于任意的x∈（0，+∞）恒成立．等价于对于任意的x∈（0，+∞）恒成立．令，（x＞0），，令g（x）＝e x（x﹣1）+lnx，（x＞0），则，∴g（x）在（0，+∞）单调递增，g（1）＝0，∴x∈（0，1）时，g（x）＜0，x∈（1，+∞）时，g（x）＞0．∴x∈（0，1）时，f′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0．∴x∈（0，1）时，f（x）单调递减，x∈（1，+∞）时，f（x）单调递增．∴f（x）min＝f（1）＝e﹣1∴k≤e﹣1．故答案为：e﹣1．【点评】本题考查不等式恒成立问题的解法，考查构造函数法，以及导数的运用：求单调性和最值，考查运算能力，属于中档题．16．（5分）已知G为△ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q，若AP＝λAB，则当△ABC与△APQ的面积之比为时，实数λ的值为或．【分析】利用重心定理，用，把向量表示为，再利用A，P，Q共线，可得x+y＝1，最后代入面积公式即可得解．【解答】解：∵设AQ＝μACG为△ABC的重心，∴＝＝．∵P，G，Q三点共线，∴．△ABC与△APQ的面积之比为时，．∴或，故答案为：或．【点评】本题考查的知识点是向量的线性运算性质及几何意义，向量的共线定理，及三角形的重心，其中根据向量共线，根据共线向量基本定理知，进而得到λ、μ，y的关系式，是解答本题的关键．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答）＝4，a n＞0，前n项和为S n，若a n＝+，（n∈N*，n≥2）．17．（12分）已知数列{a n}中，a1（l）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{}前n项和为T n，求证．【分析】（1）运用数列的递推式和等差数列的定义、通项公式，即可得到所求通项，注意检验首项；（2）求得＝＝（﹣），由裂项相消求和，结合数列的单调性和不等式的性质，即可得证．＝4，a n＞0，前n项和为S n，【解答】解：（1）数列{a n}中，a1若a n＝+，（n∈N*，n≥2），＝（﹣）（+），由a n＝S n﹣S n﹣1可得﹣＝1，即有＝+n﹣1＝2+n﹣1＝n+1，即S n＝（n+1）2，当n≥2时，a n＝+＝n+1+n＝2n+1；则a n＝；（2）n≥2时，可得列＝＝（﹣），则前n项和为T n＝+（﹣+﹣+…+﹣）【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列递推式和等差数列的定义、通项公式，考查数列的裂项相消求和，属于中档题．18．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且（2a﹣c）（a2﹣b2+c2）＝2abc cos C．（1）求角B的大小；（2）若sin A+1﹣（cos C+）＝0，求的值．【分析】（1）由已知利用余弦定理，正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得cos B＝，结合范围B∈（0°，180°），可求B的值；（2）利用三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得cos（A+30°）＝，结合范围A+30°∈（30°，150°），可求A＝30°，由正弦定理即可求得的值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵（2a﹣c）（a2﹣b2+c2）＝2abc cos C．∴（2a﹣c）2ac cos B＝2abc cos C．∴（2a﹣c）cos B＝b cos C…3分∴，∵由正弦定理可得：，∴a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C，∴，∴2sin A cos B﹣sin C cos B＝sin B cos C，∴2sin A cos B＝sin C cos B+sin B cos C＝sin（B+C）＝sin A，∵sin A≠0，∴cos B＝，∵B∈（0°，180°），∴B＝60°…6分（2）∵sin A+1﹣（cos C+）＝0，∴sin A+1﹣cos C﹣＝0，可得：sin A﹣cos C＝，∵B＝60°，C＝180°﹣B﹣A＝120°﹣A，∴sin A﹣cos（120°﹣A）＝，可得： cos A﹣sin A＝，∴cos（A+30°）＝，∵A∈（0°，120°），∴A+30°∈（30°，150°），∴A＝30°，∵由正弦定理，B＝60°，A＝30°，∴可得：＝…12分【点评】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，三角函数恒等变换的应用在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19．（12分）设椭圆C ：的离心率e ＝，左顶点M 到直线＝1的距离d ＝，O 为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过坐标原点，证明：点O 到直线AB 的距离为定值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求△AOB 的面积S 的最小值．【分析】（Ⅰ）由已知得，又a 2＝b 2+c 2，由此能求出椭圆C 的方程．（Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），当直线AB 的斜率不存在时，x 1x 2+y 1y 2＝0，点O 到直线AB 的距离为．当直线AB 的斜率存在时，设AB 的方程为y ＝kx +m ，联立，得（1+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣4＝0，由此利用韦达定理结合已知条件推导出点O 到直线AB 的距离为，由此能证明点O 到直线AB 的距离为定值．（3）设直线OA 的斜率为k 0，OA 的方程为y ＝k 0x ，OB 的方程为y ＝﹣，联立，得，同理，得，由此能求出△AOB 的面积S 的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由已知得，又a 2＝b 2+c 2，解得a ＝2，b ＝1，c ＝，∴椭圆C 的方程为．（Ⅱ）证明：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），①当直线AB 的斜率不存在时，则由椭圆的对称性知x 1＝x 2，y 1＝﹣y 2，∵以AB 为直线的圆经过坐标原点，∴＝0，∴x 1x 2+y 1y 2＝0，∴，又点A 在椭圆C 上，解得|x 1|＝|y 1|＝．此时点O 到直线AB 的距离．（2）当直线AB 的斜率存在时，设AB 的方程为y ＝kx +m ，联立，得（1+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣4＝0，∵以AB 为直径的圆过坐标原点O ，∴OA ⊥OB ，∴＝x 1x 2+y 1y 2＝0，∴（1+k 2）x 1x 2+km （x 1+x 2）+m 2＝0，∴（1+k 2）•，整理，得5m 2＝4（k 2+1），∴点O 到直线AB 的距离＝，综上所述，点O 到直线AB 的距离为定值．（3）设直线OA 的斜率为k 0，当k 0≠0时，OA 的方程为y ＝k 0x ，OB 的方程为y ＝﹣，联立，得，同理，得，∴△AOB 的面积S ＝＝2，令1+＝t ，t ＞1，则S ＝2＝2，令g （t ）＝﹣++4＝﹣9（）2+，（t ＞1）∴4＜g （t ），∴，当k 0＝0时，解得S ＝1，【点评】本题考查椭圆的方程的求法，考查点到直线AB 的距离为定值的证明，考查三角形的面积的最小值的求法，解题时要注意韦达定理、弦长公式的合理运用．20．（12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 为平行四边形，DA ＝DP ，BA ＝BP ． （1）求证：PA ⊥BD ；（2）若DA ⊥DP ，∠ABP ＝60°，BA ＝BP ＝BD ＝2，求二面角D ﹣PC ﹣B 的正弦值．【分析】（1）取AP 中点F ，连接DM ，BM ，由已知可证PA ⊥DM ，PA ⊥BM ，又DM ∩BM ＝M ，可得PA ⊥平面DMB ，因为BD ⊂平面DMB ，可证PA ⊥BD ；（2）由已知可得△DAP 是等腰三角形，△ABP 是等边三角形，求出MD ⊥MB ，以MP ，MB ，MD 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．求出平面DPC 与平面PCB 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角D ﹣PC ﹣B 的余弦值，进一步求得正弦值．【解答】（1）证明：取AP中点M，连接DM，BM，∵DA＝DP，BA＝BP，∴PA⊥DM，PA⊥BM，∵DM∩BM＝M，∴PA⊥平面DMB．又∵BD⊂平面DMB，∴PA⊥BD；（2）解：∵DA＝DP，BA＝BP．DA⊥DP，∠ABP＝60°，∴△DAP是等腰三角形，△ABP是等边三角形．∵BA＝BP＝BD＝2，∴DM＝1，BM＝．∴BD2＝MB2+MD2，∴MD⊥MB．以MP，MB，MD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（﹣1，0，0），B（0，，0），P（1，0，0），D（0，0，1），从而得＝（1，0，﹣1），＝（1，，0），＝（1，，0），＝（1，0，1），设平面DPC的法向量，则，即，＝1，得，∴＝（，1，），令y1设平面PCB的法向量，由，得，＝1，得，，∴＝（，1，），令y2∴cos＜＞＝．设二面角D﹣PC﹣B为α，∴．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查了利用空间向量求解空间角，考查计算能力，是中档题．21．（12分）已知函数f （x ）＝x 2﹣2．（1）已知函数g （x ）＝f （x ）+2（x +1）+alnx 在区间（0，1）上单调，求实数a 的取值范围；（2）函数有几个零点？【分析】（1）由题意可得0＜x ＜1时，g ′（x ）＝2x+2+＞0恒成立，即a ＞﹣2x 2﹣2x ＝﹣2+，求得2+ 的最大值，可得a 的范围．（2）利用导数研究函数的单调性以极值，再根据极值的符号确定函数的零点符号．【解答】解：（1）∵函数f （x ）＝x 2﹣2，函数g （x ）＝f （x ）+2（x +1）+alnx 在区间（0，1）上单调， ∴0＜x ＜1时，g ′（x ）＝2x+2+＞0恒成立，即a ＞﹣2x 2﹣2x ＝﹣2+， 而m （x ）＝﹣2+ 在区间（0，1）上单调递减，∴﹣2+＜m （0）＝0，∴a ≥0． （2）∵函数＝ln （1+x 2）﹣（x 2﹣2）﹣k ＝ln （1+x 2）﹣x 2+1﹣k 的定义域为R ， h ′（x）＝﹣x ﹣0＝，令h ′（x ）＝0，求得x ＝0，或x ＝1 或x ＝﹣1， 列表：﹣当1﹣k ＞0且ln 2+﹣k ＞0时，即 k ＜1时，函数h （x ）有2个零点；当1﹣k ＝0且 ln 2+﹣k ＞0时，即k ＝1时，函数h （x ）有3个零点；当1﹣k ＜0且ln 2+﹣k ＞0时，即1＜k ＜ln 2+ 时，函数h （x ）有4个零点；当1﹣k ＜0且ln 2+﹣k ＜0时，即 k ＞ln 2+ 时，函数h （x ）有没有零点．【点评】本题主要考查函数的零点，函数的单调性与导数的关系，利用导数求函数的最值，属于难题．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）已知曲线C的参数方程为（α为参数），设直线l的极坐标方程为4ρcosθ+3ρsinθ﹣8＝0．（1）将曲线C的参数方程化为普通方程．并指出其曲线是什么曲线．（2）设直线1与x轴的交点为P，Q为曲线C上一动点，求PQ的最大值．【分析】（1）曲线C的参数方程消去参数，得到曲线C的普通方程，由此求出曲线C是圆心为（0，1），半径为r＝1的圆．（2）直线l的直角坐标方程为4x+3y﹣8＝0，求出P（2，0），从而得到圆心C（0，1）到P（2，0）的距离|PC|＝，再由Q是圆C上的动点，圆C的半径为r＝1，能求出PQ的最大值．【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程为（α为参数），∴曲线C的普通方程为x2+（y﹣1）2＝1，∴曲线C是圆心为（0，1），半径为r＝1的圆．（2）∵直线l的极坐标方程为4ρcosθ+3ρsinθ﹣8＝0，∴直线l的直角坐标方程为4x+3y﹣8＝0，∵直线1与x轴的交点为P，Q为曲线C上一动点，∴P（2，0），圆心C（0，1）到P（2，0）的距离|PC|＝＝，∵Q是圆C上的动点，圆C的半径为r＝1，∴PQ的最大值为．【点评】本题考查圆的普通方程的求法，考查线段的最大值的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+1|+|x﹣a|（a＞0）．（1）作出函数f（x）的图象；（2）若不等式f（x）≥5的解集为（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞），求a值．【分析】（1）f（x）＝|x+1|+|x﹣a|＝，如图所示．（2）由题设知：|x+1|+|x﹣a|≥5，在同一坐标系中作出函数y＝5的图象，当x＝﹣2或3时，f（x）＝5，且a+1＜5即a＜4，由f（﹣2）＝5 求得a的值．【解答】解：（1）f（x）＝|x+1|+|x﹣a|＝，函数f（x）如图所示．（2）由题设知：|x+1|+|x﹣a|≥5，如图，在同一坐标系中作出函数y＝5的图象（如图所示）又解集为（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）．由题设知，当x＝﹣2或3时，f（x）＝5且a+1＜5即a＜4，由f（﹣2）＝﹣2（﹣2）﹣1+a＝5得：a＝2．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，函数图象的特征，体现了数形结合的数学思想，画出函数f（x）的图象，是解题的关键．。