《24.3 正多边形和圆》课件
3 2 2S AOC ) ( )a 3 2
2 8 A. B. 3 3 ②如图， 连结OC, OB, 设AC, BO交于点D.
由同底等高知 , S OCD S ADB
10. A是半径为2的⊙O外的一点,OA=4,AB 是⊙O的切线,点B是切点,弦BC∥OA,边结AC, 则图中阴影部分的面积等于 ( A )
回顾旧知
正多边形
各边相等，各角也相等的多边形.
几种常见的正多边形
生活中的正多边形图案
生活中的正多边形图案
正多边形的性质 每条边都相等 每个角都相等
60°
108°
135° 正n边形内角和： (n－2)180°
正多边形的性质
正五边形
正八边形
正三边形
轴对称图形， 什么叫中心？ 一个正n边形共有n条对称轴， 每条对称轴都通过n边形的中心.
2
B
边心距r
a ， ） R（ 2
2
1 1 面积S L 边心距（r） na 边心距（r） 2 2
内接正多边形与外接圆的联系 A D
B 正多边形 多边形的边相等
C 外接圆 弦相等
多边形的角相等 圆周角相等
把正n边形的边数无限增多，就接近于圆.
正多边形
由圆怎样得到 正多边形？
你能用尺规作出正六边形、正三角形、 正十二边形吗？
F O · E
A
B
D C
以半径长在圆周上截取 六段相等的弧，依次连结各 等分点，则作出正六边形. 先作出正六边形，则可 作正三角形，正十二边形， 正二十四边形………
例题
有一个亭子它的地基是半径为4m的正六边形， 求地基的周长和面积（精确到0.1平方米）. 解: 由于ABCDEF是正六边形，所以
半径 ，它是正 3. OB叫正△ABC的________ △ABC的________ 外接 圆的半径. 边心距 ，它是 4. OD叫作正△ABC的________ A 正△ABC的________ 内切 圆的半径。
.O B D C
5. 求证：正五边形的对角线相等. 证明：连结BD、CE，则 在△BCD和△CDE中
.
线，偶数边的正多边形的对称轴是对边中点的
连线，当正多边形的边数为奇数时，它不是中
心对称图形，当边数为偶数时，它是中心对称
图形，对称中心就是这个正多边形的中心.
应用
Hale Waihona Puke 随堂练习（n 2） 180 1. 正n边形的一个内角的度数是____________; n 360 中心角是___________；正多边形的中心角与外角的 n
大小关系是________. 相等
2. O是正△ABC的中心，它是△ABC的 外接 圆与________ 内切 圆的圆心. ________
A
S阴 S 正六边形 6 S扇形AGH 3 2 120 12 6 2 6 4 360 6 3 2 4.1(cm )
2
G B ● O C D
H F
E
习题答案
3. 至少是
4. 正多边形是轴对称图形，奇数边的正多 边形的对称轴是各个顶点和它的对边中点的连
2 a 2
D
F
中心O
C
正多边形的边心距： 中心到正多边形的一边的距离.
正多边形的有关计算 E 边心距OG把△AOB分成 2个全等的直角三角形.
180 F AOG BOG n
D
中心角 中心角 360
n
O .. R A G a
C
设正多边形的边长为a ，半径为R，它的周长 为L = na.
定理证明
证明：连结OA、OB、OC，则： ∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB ∵TP、PQ、QR分别是以A、B、C 为切点的⊙O的切线 B ∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ ∴∠PAB= ∠PBA=∠QBC=∠QCB ⌒⌒ Q 又∵AB=BC ∴AB=BC ∴△PAB与△QBC是全等的等腰三角形。 ∴∠P=∠Q PQ=2PA 同理∠Q=∠R=∠S=∠T QR=RS=ST=TP=2PA
正多边形的性质
正八边形
正六边形
边数是偶数的正多边形 是中心对称图形， 它的中心就是对称中心.
小练习
菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？
×
菱形的四个角不相等.
×
矩形的四条边不相等.
正多边形和圆的关系非常密切， 把一个圆分成相等的一些弧，就可以 作出这个圆的内接正多边形，这个圆 就是这个正多边形的外接圆.
内接正多边形
把圆分成 n（n≥3）等份：
依次连结各分点所得的多边形是 这个圆的内接正多边形.
正多边形及外接圆中的有关概念 中心: 一个正多边形的外接圆的圆心. 正多边形的半径: 外接圆的半径. 正多边形的中心角: 正多边形的每一条边 所对的圆心角.
E
中心角 半径R . .边 心 距 r
2
1 1 2 Lr 24 2 3 41.6(m ) 2 2
小练习
已知点A、B、C、D、E是⊙O 的5等分点， 画出⊙O的内接正五边形和外切正五边形. A B O C D E
外切正多边形
把圆分成 n（n≥3）等份： 经过各分点作圆的切线，以相邻 切线的交点为顶点的多边形是这个圆 的外切正多边形.
E
D
F A B
C
2 4 6 ⌒ ED) 2( a a ) 2(l EA a 3 3
9. 等边△ABC的边长为 a ,以各边为弦 作弧交于△ABC的外心O. 求:菊形的面积.
解 : 如图, 设AOC的圆心为O, 连结OA, OC , 则AOC AOC 120, AOC AOC 2S小弓形 S弓形AOC S AOC ( S扇形OAOC S AOC ) S AOC S扇形OAOC 2S AOC S阴影 6S小弓形 3( S扇形OAOC
A O · 90° B C C
D B
A E A D
F O ·
E D
O·
72°
B
60°
C
探究
A
O · B D
尺规作图
你能用尺规作出正四边形、正八边形吗？
作出已知⊙O的互相垂直的直 C 径即得圆内接正方形，再过圆心作 各边的垂线与⊙O相交，或作各中 心角的角平分线与⊙O相交，即得 圆接正八边形，照此方法依次可作 正十六边形、正三十二边形、正六 十四边形……
A M R F O E D C B
1 1 S 6 6 AB OM 4 3R R 2 3R 2 2 2
8. 正六边形ABCDEF的边长是a，分别以C、F为 圆心，a为半径作弧，则图中阴影部分的周长是 _____.
解 : ① 正六边形ABCDEF中, F C 120 120 a 2 ⌒ l EA a 180 3 C阴影
E
A
D
B
C
定理证明
证明：∵AB=BC=CD=DE=EA ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴AB=BC=CD=DE=EA ∵BCE=CDA=3AB ⌒ ⌒ ⌒ ∴∠1=∠2
3 C B 2
A 1
5
4 D
E
同理∠2=∠3=∠4=∠5
又∵顶点A、B、C、D、E都在⊙O上，
∴五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形
. ⊙O是五边形ABCDE的外接圆.
∵BC=CD
∠BCD=∠CDE CD=DE ∴△BCD≌△CDE ∴BD=CE 同理可证对角线相等. C B
A E
D
6. 正六边形ABCDEF外切于⊙O，⊙O的半 径为R，则该正六边形的周长和面积各是多少？
解 : 如图, 设AB切 ⊙ O于M， 连结OA、 OB OM , 则OM AB于M , AM BM . 在RtAOM中, 1 AOM AOB 30, 2 AM OM R ，tan30 , OM 1 AM OM tan30 3R 3 P6 6 AB 12AM 4 3R
360 它的中心角等于 60， 6 A OBC是等边三角形，从而正 六边形的边长等于它的 半径.
F
E
O . .
D
r R
B P C
∴亭子的周长 L=6×4=24(m)
在RtOPC中，OC 4，PC BC 4 2 2 2
根据勾股定理，可得边 心距r 亭子的面积S
4
2
2 2 3
又∵五边形PQRST的各边都与⊙O相切， ∴五边形PQRST的是O外切正五边形。
P
A
T O
E
S
C R
D
课堂小结
正多边形与圆的关系
概念
正多边形的中心、半径、边心距、中心角 正多边形的对称性、相似性 半径、边心距、中心角的计算
正 多 边 形
计算 画法
边长、面积的计算 量角器等分圆周画正多边形 尺规作正方形、正六边形等 圆的周长、弧长及组合图形周长的计算 圆面积、扇形面积及组合图形面积的计算
圆
探究
把一个圆4等分，并依次连接这些点, 得到正多边形吗??
正方形
探究
A
量角器作图
已知⊙O的半径为2cm，求作圆的内接正三角形
120 ° O
C B
①用量角器度量，使 ∠AOB=∠BOC=∠COA =120°．
一题多解
②用量角器或30°角的三 角板度量，使 ∠BAO=∠CAO=30°．
小练习
你能用以上方法画出正四边形、正五边形、 正六边形吗？
C. 2 D. 3 3
O D C B
A
OA 4, OB 2, BD ∥OA COD 60 S阴影 S扇形COB 故选 A. 60 2 2 2 360 3
人教版数学《正多边形和圆》_精美课件
【获奖课件ppt】人教版数学《正多边 形和圆 》_精 美课件1 -课件 分析下 载
1.半径为R的圆内接正三角形的面积是 ( D )
A. 3 R 2
B.πR2
C.3 3 R2 2
D.3 3 R2 4
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写出答案). (般的正n
边形情况(n为大于2的偶数)?若能，写出推广问题和结论；若不 能，请说明理由.
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由勾股定理，得OG= 3 . ∴正六边形ABCDEF的各个顶点的坐标分别为 A(-2，0)，B(-1，- 3 )，C(1，- 3 )，D(2，0)，E(1， 3 )，F(-1，3 ).
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解:如图24 - 111所示，连接OE， 设EF交y轴于点G. 由于正六边形是轴对称图形， ∴在Rt△OGE中，∠GOE=30°，OE=2， ∴GE=1.
解:(1)如图(1)所示，连接OA，OB， 过点O作OM⊥AB，垂足为M.
2.(常德中考)阅读理解:如图(1)所示，在平面内选一
人教版九年级上册2正多边形和圆形课件
24.3 正多边形和圆
人教版 九年级上册
学习目标
1.理解正多边形和圆的关系，知道把圆分成相等的一些弧， 就可以得到这个圆的内接正多边形； 2.了解正多边形的中心，半径、边心距、中心角等概念； 3.会计算正多边形的边长、半径、边心距、中心角、周长 和面积．
情境导入
视察这些图片，你能否看到正多边形？
3.正n边形的半径和边心距把正n边形分成 的直角三角形；
个全等
4.正三角形的半径为6，则边长为_____，边心距为____，
面积为________．
5.若正三角形边长为 12，则半径为______；
当堂检测
6.正 n 边形的一个外角为 30°，则它的边数为____， 它的内角和为______； 7.如果一个正多边形的一个外角等于一个内角的三分之 二，则这个正多边形的边数 n =____；
在Rt△OPC中,OC=4,PC=2.
r 42 22 2 3.
亭子地基的面积是
S 1 24 2 3 24 3 2
F
E
A
O
D
rR
BP C
本课小结
正多边形的中心:
一个正多边形的外接圆的圆心.
正多边形的半径:
F
外接圆的半径
正多边形的边心距： 中心到正多边形的一边的距离.
E
D
半径R
0..
C
边心距r
A
B
本课小结
E
D
正多边形的中心角：
正多边形的边所对的圆心角. F
O..
C
正n边形 当n为奇数时，它是轴对称图形.
中心角
A
B
当n为偶数时，它既是轴对称图形，也是中心对称图形.
人教版数学九年级上册第二十四章《24.3 正多边形和圆》课件(共19张PPT)
对于一些特殊的正多边形，还可以用圆规和直尺来作图. 再如，用直尺和圆规作两条互相垂直的直径，就可以把圆四等分，从而作 出正方形.
用尺规等分圆： 用尺规作图的方法等分圆周，然后依次连接圆上各分点得到正多边形，这 种方法有局限性，不是任意正多边形都能用此法作图，这种方法从理论上 讲是一种准确方法．
2.如图，正五边形ABCDE的对角线AC和BE相交于点M. 求证：(1) AC//ED；(2) ME=AE.
如图，正五边形ABCDE的对角线AC和BE相交于点M. 求证：(1) AC//ED；(2) ME=AE.
归纳新知
正多边形 的画法
用量角器等分圆 用尺规等分圆
此方法可将圆任意n等分，所以用 该方法可作出任意正多边形，但边 数很大时，容易产生较大的误差.
度量法③：
用圆规在⊙O 上顺次截取6条长度等于半径(2 cm)的弦，连接其中的 AB， BC，CA 即可．
B
O
A
C
对于一些特殊的正多边形，还可以用圆规和直尺来作图. 例如，我们也可以这样来作正六边形.由于正六边形的边长等于半径，所以 在半径为R的圆上依次截取等于R的弦，就可以把圆六等分，顺次连接各分 点即可得到半径为R的正六边形.
课堂练习
1.画一个半径为2 cm的正五边形，再作出这个正五边形的各条对角线，画 出一个五角星.
2.面积相等的正三角形与正六边形的边长之比为
.
中考实题
1.已知⊙O如图所示. (1) 求作⊙O的内接正方形(要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)； (2) 若⊙O的半径为4，求它的内接正方形的边长.
此方法是一种比较准确的等分圆的方 法，但有局限性，不能将圆任意等分.
再见
合作探究
已知⊙O 的半径为 2 cm，画圆的内接正三角形． 度量法①： 用量角器或 30°角的三角板度量，使∠BAO=∠CAO=30°．
24.3 多边形和圆 第1课时 初中数学人教版九年级上册教学课件
△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于 它半径.
因此，亭子地基的周长 l 6 4 24(m)
例
解：如图，连接OB，OC.因为六边形ABCDE是正六边形，所 以它的中心角等于 360 60
6 △OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它半径.
因此，亭子地基的周长 l 6 4 24(m)
边形ABCDE的 边心距 ， 它是正五边形ABCDE的 内切 圆的半径
2.∠AOB叫做正五边形ABCDE的 中心 角， 它的度数是 72°.
例
如图，有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边形， 求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）.
解：如图，连接OB，OC.因为六边形ABCDE是 正六边形，所以它的中心角等于 360 60
∴OA=OB=OC=OD.
∴正方形ABCD有一个以点O为圆 心的外接圆.
问题3
任何正多边形都有一个外接圆和内切圆
以正四边形为例,根据对称轴的性质，你能得出什么结论？
A
E
B
O
G
H
DF
C
AC是∠DAB及∠DCB的角平分线， BD是∠ABC及∠ADC的角平分线， ∴OE=OH=OF=OG.
∴正方形ABCD还有一个以点O为圆心 的内切圆.
（3）OD叫作正△ABC 边心距，它是正△ABC的 内切圆的半径
（4）∠BOC是正△ABC 中心 角，∠BOC＝120 度； ∠BOD＝ 60 度
及时练
1.正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD
的 内心 .
2.正方形ABCD的内切圆的半径OE叫
做正方形ABCD的 边心距 .
及时练
1. O是正五边形ABCDE的外接圆，弦心距OF叫正五
24.3.正多边形和圆课件PPT(共22张)
点击页面即可演示
第1页，共22页。
观察下列图形它们有什么(shén 特 me) 点？
第2页，共22页。
三条边相等,
四条边相等,四
正三 三个角相等 角形 (60°).
正方形 个角相等 (90°).
一、正多边形的定义
各边相等,各角也相等的多边形叫做(jiàozuò)正多边 形.
边形ABCDE的 内切圆的半径(bànjìng). D
7.∠AOB叫做正五边形
ABCDE的 中心角,
它的度数是 72°.
E
C
.O
AF
B
第12页，共22页。
8.图中正(zhōnɡ zhènɡ)六边形ABCDEF的中心角∠是AOB
它的度数是 60°
9.你发现正六边形
ABCDEF的半径
与边长具有什么
数量关系?
第5页，共22页。
A
D
B
C
弧相等
弦相等 (多边形的边相等 ) (xiāngděng)
(xiāngděng)
圆周角相等(多边形的角相等)
—多边形是正多边形
第6页，共22页。
A
E B
H D
G
C
弧相等
F
全等三角形
边相等
(xiāngděng)
角相等
多边形是正多边形
第7页，共22页。
定理：
把圆分成n(n≥3)等份： ⑴依次连接各分点所得(suǒ dé)的多边形是这个圆 的
相等
E F
D
.O
C
A
B
第13页，共22页。
判断题
①各边都相等的多边形是正多边形.( ) ×
24.3.正多边形和圆 (19张PPT)
360 360 90 , AOE 60 ∵ AOD 4 6
∴ ∠DOE= ∠AOD - ∠AOE=90 °- 60 °=30 ° ∴ DE是⊙O的内接正十二边形的边.
试用等分弧的办法画一个圆的内接正六边形（见图）
正多边形的中心: 就是外接圆的圆心（即O点）. 正多边形的半径: 就是外接圆的半径. 正多边形的中心角: 就是正多边形的每一条边所对的圆心角. 正多边形的边心距： 就是中心到正多边形的一边的距离.
问：以中心为圆心,边心距为半径的圆与各边有何位置关系? 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆 是同心圆.
例.探究圆内接正五边形（新人教版九年级数学上册105页） 如图,把⊙O分成把⊙O分成相等的5段弧,依次连接各分点得到正 五边形ABCDE.
∵
∴AB=BC=CD=DE=EA ∴ ∠A=∠B. 同理∠B=∠C=∠D=∠E. 又五边形ABCDE的顶点都在⊙O上. ∴ 五边形ABCD是⊙O的内接正五边形, ⊙O是五边形ABCD 的外接圆.
5. 周长： P na ； 6. 面积 S Pr nar .
1 2 1 2
例1. （新人教版九年级数学上册106页）有一个亭子,它的地基半径为4m 的正六边形,求地基的周长和面积(结果保留小数后一位). 解：连接OB、OC；因为六边形ABCDEF是正 360 六边形，所以其中心角为 6 60 ,△OBC是等 边三角形，所以正六边形的边长等于它的半径. 因此亭子地基的周长为l 6 4 24 m .
4.如图，有一圆的内接正八边形ABCDEFGH，若 △ADE的面积为10，则正八边形ABCDEFGH的 面积为 40 .
24.3_正多边形和圆(沈贵芬)共2课时
用尺规作图法还可以画正四边形
用圆规和直尺作两 条互相垂直的直径， 就可以把圆4等分， 从而作出正方形． 这就是用尺规作 图法画正四边形 就好方法！
A
D
· O
B
C
你能尺规作出正八边形吗？
据此你还能作出哪些正多边形？
A O ·
D
只要作出已知⊙O的互相垂 直的直径即得圆内接正方形， 再过圆心作各边的垂线与⊙O 相交，或作各中心角的角平 分线与⊙O相交，即得圆接正 八边形，照此方法依次可作 正十六边形、正三十二边形、 正六十四边形……
D
R2 2 2 OE 2 2OE R 2 2 边心距OE R 2
2 边长BC 2 BE 2 R 2R 2
B
E
C
S正方形ABCD ABBC
2R
2
2R 2
抢答题：
1.o是正△ABC的中心，它是△ABC的外接圆 与 内切圆 的圆心。 A 2、OB叫正△ABC的 半径
2 2
E O r R C
亭子地基的面积
A
D
1 1 S lr 24 2 3 41.6(m 2 ). 2 2
B
P
当堂训练 1.课本P107第1题
正多边形 内 中心 角 角 边数 3 60° 120 90 90 4 120 60 6
半 径
边 边心 周 面 长 距 长 积
2 2 3 2 2 2 2
360 解: 如图由于ABCDEF是正六边形,所以它的中心角等于 60， 6
△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径.
因此,亭子地基的周长 l =4×6=24(m). BC 4 2， 在Rt△OPC中,OC=4, PC= 2 2 利用勾股定理,可得边心距
人教版九年级上册数学24.3《正多边形和圆》(第1课时)课件
5．课堂小结
（1）正多边形与圆有什么关系？ （2）本节课学习了哪些与正多边形有关的概念？ 在解决有关的计算问题时，关键是什么？
6．布置作业
教科书习题 24.3 第 1，6 题．
• 不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面 上的话，另一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二上午9时26分50秒09:26:5022.4.12
有一个亭子，它的地基是半径为 4 m的正六边形， 求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）．
3．探究学习
亭子的地基是什么图形？求地基的周长和面积也就 是求什么图形的周长和面积？
正六边形的半径，分别将它分割成多少个什么样子 的三角形？
观察图形中所得的三角形具有什么关系？为什么？ 将上图中的结论推而广之，你得出了什么结论？哪 位同学说说自己的想法？
3．探究学习
正 n 边形的 n 条半径、n 条边心距将正 n 边形分割 成全等直角三角形的个数是多少？
每个直角三角形都由正多边形的哪些元素组成？
4．强化练习
（1）正 n 边形的半径和边心距把正 n 边形分成___ 个全等的直角三角形；
（2）正三角形的半径为 R，则边长为_____，边心 距为______，面积为________．若正三角形边长为 a， 则半径为______；
2．小组合作学习
正多边形的边有什么性质、角有什么性质？ 各边相等，各角相等． 什么叫正多边形的中心角？ 正多边形的一边所对正多边形外接圆的圆心角．
2．小组合作学习
正 n 边形的中心角度数如何计算？ 中心角的度数= 360
24.3 正多边形和圆(共2课时)
24．3 正多边形和圆（共2课时）第一课时：正多边形和圆教学目标1、了解正多边形与圆的关系，了解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念．重点：探索正多边形与圆的关系，了解正多边形的有关概念，并能进行计算．难点：探索正多边形与圆的关系．教学过程一、问题与情境，引入新课观看下列美丽的图案．问题1这些美丽的图案，都是在日常生活中我们经常能看到的、利用正多边形得到的物体．你能从这些图案中找出正多边形来吗？问题2你知道正多边形和圆有什么关系吗？你能借助圆做出一个正多边形吗？引入新课。
二、探究新知探究一：将一个圆五等分，依次连接各分点得到一个五边形，这五边形一定是正五边形吗？如果是请你证明这个结论．关注（1）学生能否看出：将圆分成五等份，可以得到5段相等的弧，这些弧所对的弦也是相等的，这些弦就是五边形的各边，进而证明五边形的各边相等；（2）学生能否观察发现圆内接五边形的各内角都是圆周角；（3）学生能否发现每一个圆周角所对弧都是三等份的弧；（4）学生能否利用这些圆周角所对的弧都相等，证明五边形的各内角相等，从而证明圆内接五边形是正五边形．探究二如果将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这n边形一定是正n边形吗？将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这n边形一定是正n边形．探究三各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形呢？如果是，说明为什么？如果不是，举出反例．[活动3]学生观看课件，理解概念．例题1 有一个亭子（如图）它的地基是半径为4 m的正六边形，求地基的周长和面积（精确到0.1 m2）．解：如图所示，由于ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于3606=60°，•△OBC 是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径． 因此，所求的正六边形的周长为6a 在Rt △OAM 中，OA=a ，AM=12AB=12a 利用勾股定理，可得边心距∴所求正六边形的面积=6×12×AB ×OM=6×12×a ×a=32三、 课堂练习完成教材第105练习页习题24．3第1题． 四、课堂小结1．正多边和圆的有关概念：正多边形的中心，正多边形的半径，•正多边形的中心角，正多边的边心距．2．正多边形的半径、正多边形的中心角、边长、•正多边的边心距之间的等量关系． 五、布置作业1．教科书第107页习题24．3第3、5、6题．2．思考题1、正n 边形的一个内角的度数是多少？中心角呢？正多边形的中心角与外角的大小有什么关系？2、正n 边形的半径，边心距，边长又有什么关系？第二课时： 正多边形和圆教学内容1、在经历探索正多边形与圆的关系过程中，学会运用圆的有关知识解决问题，并能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题．2．在正多边形和圆中，圆的半径、边长、边心距中心角之间的等量关系． 3．正多边形的画法．重点：并能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题．难点：通过例题使学生理解四者：正多边形半径、中心角、•弦心距、边长之间的关系． 教学过程一、 复习回顾：1、 一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的中心．2、外接圆的半径叫做正多边形的半径．3、正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．4、中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．二、探究新知:现在我们利用正多边形的概念和性质来画正多边形． 例2．利用你手中的工具画一个边长为3cm 的正五边形．分析：要画正五边形，首先要画一个圆，然后对圆五等分，因此，•应该先求边长为3的正五边形的半径．解：正五边形的中心角∠AOB=3605︒=72°， 如图，∠AOC=30°，OA=12AB ÷sin36°=1.5÷sin36°≈2.55（cm ）画法（1）以O 为圆心，OA=2.55cm 为半径画圆；（2）在⊙O 上顺次截取边长为3cm 的AB 、BC 、CD 、DE 、EA ． （3）分别连结AB 、BC 、CD 、DE 、EA ．则正五边形ABCDE 就是所要画的正五边形，如图所示． 三、巩固练习教材P107 练习 四、应用拓展例3．在直径为AB 的半圆内，划出一块三角形区域，如图所示，使三角形的一边为AB ，顶点C 在半圆圆周上，其它两边分别为6和8，现要建造一个内接于△ABC•的矩形水池DEFN ，其中D 、E 在AB 上，如图24-94的设计方案是使AC=8，BC=6．（1）求△ABC 的边AB 上的高h ．（2）设DN=x ，且h DN NFh AB-=，当x 取何值时，水池DEFN 的面积最大？ （3）实际施工时，发现在AB 上距B 点1．85的M 处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为了保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树．hF DEC AN分析：要求矩形的面积最大，先要列出面积表达式，再考虑最值的求法，初中阶段，尤其现学的知识，应用配方法求最值．（3）的设计要有新意，•应用圆的对称性就能圆满解决此题． 解：（1）由AB 〃CG=AC 〃BC 得h=8610AC BC AB ⨯= =4.8 （2）∵h=h DN NF h AB -=且DN=x ∴NF=10(4.8)4.8x - 则S 四边形DEFN =x 〃104.8（4.8-x ）=-2512x 2+10x =-2512（x 2-12025x ）=-2512 [（x-6025）2-3600625]=-25x （x-2.4）2+12∵-25x （x-2.4）2≤0 ∴-25x（x-2.4）2+12≤12 且当x=2.4时，取等号 ∴当x=2.4时，S DEFN 最大．（3）当S DEFN 最大时，x=2.4，此时，F 为BC 中点，在Rt △FEB 中，EF=2.4，BF=3．= ∵BM=1.85，∴BM>EB ，即大树必位于欲修建的水池边上，应重新设计方案．∵当x=2.4时，DE=5∴AD=3.2，由圆的对称性知满足条件的另一设计方案，如图所示:.cFD C B AG此时，•AC=6，BC=8，AD=1.8，BE=3.2，这样设计既满足条件，又避开大树．五、归纳小结（学生小结，老师点评） 1．画正多边形的方法．2．运用以上的知识解决实际问题．六、布置作业一、选择题1．如图1所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（）．A．60° B．45° C．30° D．22．5°(1) (2) (3) 2．圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB的度数是（）．A．36° B．60° C．72° D．108°3．若半径为5cm的一段弧长等于半径为2cm的圆的周长，•则这段弧所对的圆心角为（）A．18° B．36° C．72° D．144°二、填空题1．已知正六边形边长为a，则它的内切圆面积为_______．2．在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，以C为圆心，CA长为半径的圆交AB于D，如图2所示，若AC=6，则AD的长为________．3．四边形ABCD为⊙O的内接梯形，如图3所示，AB∥CD，且CD为直径，•如果⊙O的半径等于r，∠C=60°，那图中△OAB的边长AB是______；△ODA的周长是_______；∠BOC的度数是________．三、综合提高题1．等边△ABC的边长为a，求其内切圆的内接正方形DEFG的面积．2．如图所示，•已知⊙O•的周长等于6 cm，•求以它的半径为边长的正六边形ABCDEF的面积．3．如图所示，正五边形ABCDE的对角线AC、BE相交于M．（1）求证：四边形CDEM是菱形；（2）设MF2=BE〃BM，若AB=4，求BE的长．。
人教版初中九年级全一册数学素养课件 第二十四章 圆 正多边形和圆
人教版·数学 九年级全
第二十四章 圆
24.3 正多边形和圆
知识点 正多边形及其外接圆
蜂窝构造非常精巧,蜂房由许多大小、形 状都相同的房孔组成,房孔都是正六边形,正六 边形的六个顶点在同一圆上,该圆的圆心就是 这个正六边形的中心.
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知识点 正多边形及其外接圆
不是任何多边形(边数大于3)都有外接圆和内切圆, 但任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个 圆是同心圆.
知识点 正多边形的画法
设计美丽的图案:
(1)以圆的三等分点为圆心,圆的半径为半径作三 条弧; (2)以正六边形各边的中点为圆心,正六边形的边 长为直径向圆外画半圆; (3)作圆的内接正五边形,再以正五边形的各个顶 点为圆心,边长为半径画十条弧.
知识点 正多边形及其外接圆
(1)正多边形的对称性:所有的正多边形都是轴对称图形,一个正 n边形共有n条对称轴,每条对称轴都通过正n边形的中心.n为偶 数时,它还是中心对称图形,它的中心就是对称中心. (2)圆的外切正n边形:把圆分成n(n≥3)等份,经过各分点作圆的 切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边 形.一定要注意正多边形的半径是指外接圆的半径而不是内切圆 的半径. (3)边心距与弦心距的关系:边心距是正多边形的中心到正多边 形一边的距离,此时的边心距也可以看作正多边形的外接圆中, 圆心到多边形的边(即外接圆的弦)的距离,即边心距也是弦心距; 但弦心距不一定是边心距.