第二十二章 二次函数 知识点总结
人教版九年级上册 第22章 二次函数复习知识点总结和题型讲解
二次函数复习知识点一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数y＝ax2+bx+c的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次多项式。
（①含自变量的代数式是整式，②自变量的最高次数是2，③二次项系数不为0.）⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、二次函数的基本形式1. y＝ax2的性质：2. y＝ax2＋k的性质：（k上加下减）3. y＝a（x-h）2的性质：（h左加右减）4. y ＝a (x －h)2＋k 的性质：5. y ＝ax2+bx+c 的性质：三、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a.(a 决定了抛物线开口的大小和方向)二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然a ≠0 ① 当0a >时，抛物线开口向上，当0a <时，抛物线开口向下；②a 的绝对值越大，开口越小，反之a 的绝对值越小，开口越大。
总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b （a 和b 共同决定抛物线对称轴的位置）.抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线abx 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；② （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③ （即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异”3. 常数项c(c 决定了抛物线与y 轴交点的位置)⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 四、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿x 轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）五、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 六、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.七、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于x 轴对称2y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．八、二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠），适用条件：已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠），适用条件：已知图像上点两坐标，且其中一点为抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 交点式（两根式）：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）， 适用条件：已知图像上三点坐标，其中两点为抛物线与x 轴的两个交点（1x ，0），（2x ，0），一般选用交点式；九、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当abx 2-=时，a b ac y 442-=最值。
九年上第二十二章 二次函数全章知识点总结
二次函数二次函数的定义：一般地，形如()0,,2≠++=a c b a c bx ax y 是常数的函数，叫做二次函数，x 是自变量，c b a ,,分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。
开口方向：二次函数c bx ax y ++=2图像是一条抛物线，二次项系数()0≠a a 决定二次函数图像的开口方向，当0>a ，二次函数图像开口向上，当0<a ，二次函数图像开口向下。
在直角坐标系中画出二次函数221x y =，2x y =，22x y =的图像，观察图像可知三个二次函数图像的顶点坐标，对称轴都相同，开口大小逐渐减小。
规律：0>a ，a 越大，抛物线的开口越小。
在直角坐标系中画出二次函数221x y -=，2x y -=，22x y -=的图像，观察图像可知三个二次函数图像的顶点坐标，对称轴都相同，开口大小逐渐减小。
规律：0<a ，a 越小，抛物线的开口越小。
抛物线的开口大小与a 有关，a 越大，开口越小；a 越小，开口越大。
对称轴：二次函数()0,,2≠++=a c b a c bx ax y 是常数图像是轴对称图形，关于对称轴对称。
它的对称轴是ab x 2-= 二次函数的单调性：二次函数图像在对称轴左、右两边单调性是相反的。
0>a ，当a b x 2-<时，y 随x 的增大而减小，当a bx 2->时，y 随x 的增大而增大。
0<a ，当abx 2-<时，y 随x 的增大而增大，当abx 2->时，y 随x 的增大而减小。
二次函数的顶点：二次函数对称轴与二次函数图像的交点便是二次函数的顶点。
二次函数的顶点坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22，当0>a 时，二次函数的顶点是图像的最低点。
0<a 时，二次函数的顶点是图像的最高点。
二次函数的最值：若二次函数的自变量是全体实数，二次函数在图像的顶点处取得最值。
人教版初中数学第二十二章二次函数知识点
第二十二章二次函数22.1 二次函数的图象和性质二次函数1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++〔a b c ，，是常数，0a ≠〕的函数，叫做二次函数.这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的构造特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二次函数2y ax =的图象和性质1. 二次函数根本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.例1．假设抛物线y=ax 2经过P 〔1，﹣2〕，那么它也经过 ( )A ．〔2，1〕B ．〔﹣1，2〕C ．〔1，2〕D ．〔﹣1，﹣2〕 【答案】 【解析】试题解析：∵抛物线y=ax 2经过点P 〔1，-2〕， ∴x=-1时的函数值也是-2， 即它也经过点〔-1，-2〕． 应选D ．考点：二次函数图象上点的坐标特征．例2．假设点(2，-1)在抛物线上，那么，当x=2时，y=_________ 【答案】-1 【解析】试题分析：先把(2，-1)直接代入即可得到解析式，再把x=2代入即可.由题意得14-=a ，41-=a ，那么241x y -=， 当2=x 时，.1441-=⨯-=y考点：此题考察的是二次函数点评：解答此题的关键是掌握二次函数图象上的点适合这个二次函数的关系式. 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减.例1．假设抛物线y=ax 2+c 经过点P 〔l ，－2〕，那么它也经过〔〕A ．P 1〔－1，－2 〕B ．P 2〔－l ， 2 〕C ．P 3〔 l ， 2〕D ．P 4〔2， 1〕【答案】A 【解析】试题分析：因为抛物线y=ax 2+c 经过点P 〔l ，－2〕，且对称轴是y 轴，所以点P 〔l ，－2〕的对称点是〔－1，－2〕，所以P 1〔－1，－2〕在抛物线上，应选：A. 考点：抛物线的性质.例2．函数y=ax+b 经过〔1，3〕，〔0，﹣2〕，那么a ﹣b=〔〕 A ．﹣1 B ．﹣3 C ．3 D ．7 【答案】D ． 【解析】试题分析：∵函数y=ax+b 经过〔1，3〕，〔0，﹣2〕，2y ax =2y ax =∴，解得．∴a ﹣b=5+2=7． 应选D ．考点：1．直线上点的坐标与方程的关系；2．求代数式的值．例3．两条直线y 1＝ax ＋b 与y 2＝bx ＋a 在同一坐标系中的图象可能是以下图中的 ( )【答案】无正确答案【解析】分析：首先根据两个一次函数的图象，分别考虑a ，b 的值，看看是否矛盾即可． 解：A 、由y 1的图象可知，a ＜0，b ＜0；由y 2的图象可知，a>0，b<0，两结论矛盾，故错误； B 、由y 1的图象可知，a ＞0，b ＞0；由y 2的图象可知，a ＞0，b<0，两结论相矛盾，故错误； C 、由y 1的图象可知，a>0，b<0；由y 2的图象可知，a ＜0，b ＜0，两结论相矛盾，故错误； D 、由y 1的图象可知，a ＞0，b ＞0；由y 2的图象可知，a<0，b<0，两结论相矛盾，故错误． 故无正确答案．点评：此题主要考察了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数y=kx+b 的图象有四种情况： ①当k ＞0，b ＞0，函数y=kx+b 的图象经过第一、二、三象限； ②当k ＞0，b ＜0，函数y=kx+b 的图象经过第一、三、四象限； ③当k ＜0，b ＞0时，函数y=kx+b 的图象经过第一、二、四象限； ④当k ＜0，b ＜0时，函数y=kx+b 的图象经过第二、三、四象限．二次函数()2y a x h k =-+的图象和性质左加右减.()2y a x h k =-+的性质：a b 3b 2+=⎧⎨=-⎩a 5b 2=⎧⎨=-⎩a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()0h ，X=hx h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0．0a < 向下()0h ，X=hx h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0．a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质例1．将二次函数y=x 2﹣2x ﹣3化成y=〔x ﹣h 〕2+k 形式，那么h+k 结果为〔 〕 A ．﹣5 B ．5 C ．3 D ．﹣3 【答案】D ． 【解析】试题分析：y=x 2-2x-3=〔x 2-2x+1〕-1-3=〔x-1〕 2-4． 那么h=1，k=-4， ∴h+k=-3． 应选D ．考点: 二次函数的三种形式．例2．把二次函数y=x 2+6x+4配方成y=a 〔x-h 〕2+k 的形式，得y=___，它的顶点坐标是___． 【答案】〔x+3〕2-5，〔-3，-5〕 【解析】试题分析：y=2x +6x+4=2(3)5x ，那么顶点坐标为〔－3，－5〕．考点：二次函数的顶点式． 例3．把二次函数y ＝a 〔x －k 〕2＋h 的形式，并写出它的图象的顶点坐标、对称轴. 【答案】y=顶点坐标〔3，-〕，对称轴方程x ＝3【解析】试题分析：y=x 2﹣3x+4=〔x ﹣3〕2﹣， 那么顶点坐标〔3，﹣〕，对称轴方程x=3， 考点：二次函数的图像及性质1、二次函数图象的平移〔1〕平移步骤：方法一：〔1〕将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； 43212+-=x x y 0a > 向上()h k ， X=hx h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值k ．0a < 向下 ()h k ，X=hx h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值k ．〔2〕保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：〔2〕平移规律在原有函数的根底上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移〞． 概括成八个字“左加右减，上加下减〞． 方法二：〔1〕c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上〔下〕平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2〔或m c bx ax y -++=2〕〔2〕c bx ax y ++=2沿轴平移：向左〔右〕平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2〔或c m x b m x a y +-+-=)()(2〕例1．将二次函数y ＝x 2的图象向下平移一个单位，那么平移以后的二次函数的解析式为() A ．y ＝x 2－1 B ．y ＝x 2＋1 C ．y ＝(x －1)2 D ．y ＝(x ＋1)2 【答案】A【解析】直接根据上加下减的原那么进展解答即可，将二次函数y ＝x 2的图象向下平移一个单位，那么平移以后的二次函数的解析式为：y ＝x 2－1.应选A.例2．将二次函数y=x 2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是 A ．y=(x–1)2+2 B ．y=(x+1)2+2 C ．y=(x–1)2–2 D ．y=(x+1)2–2 【答案】A ． 【解析】试题分析：原抛物线的顶点为〔0，0〕，向右平移1个单位，再向上平移2个单位，那么新抛物线的顶点为〔1，2〕．可设新抛物线的解析式为y=〔x ﹣h 〕2+k ，代入得y=〔x ﹣1〕2+2． 应选A ．【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位考点：二次函数图象与几何变换．例3．将二次函数的图象如何平移可得到的图象〔〕 A ．向右平移2个单位，向上平移一个单位 B ．向右平移2个单位，向下平移一个单位 C ．向左平移2个单位，向下平移一个单位 D ．向左平移2个单位，向上平移一个单位 【答案】C【解析】2243(2)1y x x x =++=+-，根据二次函数的平移性质得：向左平移2个单位，向下平移一个单位.应选C.例4．点P 〔﹣1，m 〕在二次函数y=x 2﹣1的图象上，那么m 的值为；平移此二次函数的图象，使点P 与坐标原点重合，那么平移后的函数图象所对应的解析式为． 【答案】0，y=x 2﹣2x ． 【解析】∵点P 〔﹣1，m 〕在二次函数y=x 2﹣1的图象上， ∴〔﹣1〕2﹣1=m ， 解得m=0，平移方法为向右平移1个单位，平移后的抛物线的二次函数的顶点坐标为〔1，﹣1〕，平移后的函数图象所对应的解析式为y=〔x ﹣1〕2﹣1=x 2﹣2x ， 即y=x 2﹣2x ．故答案为：0，y=x 2﹣2x ．2、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比拟从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 3、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以2x y =342++=x x y及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，〔假设与x 轴没有交点，那么取两组关于对称轴对称的点〕.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.4、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a =-时，y 有最大值244ac b a-．例1．当a < 0 时，方程ax 2+bx+c=0无实数根，那么二次函数y=ax 2+bx+c 的图像一定在〔〕 A 、x 轴上方 B 、x 轴下方 C 、y 轴右侧 D 、y 轴左侧 【答案】B 【解析】试题分析：∵方程ax 2+bx+c=0无实数根，∴b 2+4ac<0，即函数图形与x 轴没有交点 又∵a < 0，∴二次函数y=ax 2+bx+c 的图像一定在x 轴下方 应选B ．考点：二次函数的性质例2．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图，那么a 、b 、c 满足〔〕A 、a ＜0，b ＜0，c ＞0B 、a ＜0，b ＜0，c ＜0C 、a ＜0，b ＞0，c ＞0D 、a ＞0，b ＜0，c ＞0 【答案】A 【解析】试题分析：由于开口向下可以判断a ＜0，由与y 轴交于正半轴得到c ＞0，又由于对称轴x=-2ba＜0，可以得到b ＜0，所以可以找到结果．试题解析：根据二次函数图象的性质， ∵开口向下， ∴a ＜0，∵与y 轴交于正半轴， ∴c ＞0， 又∵对称轴x=-2ba＜0， ∴b ＜0， 所以A 正确．考点：二次函数图象与系数的关系．例3．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图，其对称轴x=﹣1，给出以下结果： ①b 2＞4ac ；②abc ＞0；③2a+b=0；④a+b+c ＞0；⑤a ﹣b+c ＜0， 那么正确的结论是〔〕A.①②③④B.②④⑤C.②③④D.①④⑤ 【答案】D 【解析】试题分析：根据抛物线与x 轴有两个交点，可得△=b 2﹣4ac ＞0，即b 2＞4ac ，故①正确；根据抛物线对称轴为x=﹣2ba ＜0，与y 轴交于负半轴，因此可知ab ＞0，c ＜0，abc ＜0，故②错误； 根据抛物线对称轴为x=﹣2ba=﹣1，∴2a ﹣b=0，故③错误；当x=1时，y ＞0，即a+b+c ＞0，故④正确； 当x=﹣1时，y ＜0，即a ﹣b+c ＜0，故⑤正确； 正确的选项是①④⑤． 应选D ．考点：二次函数图象与系数的关系例4．如果二次函数y ＝ax 2+bx+c 〔a≠0〕的图象如下图，那么〔〕A ．a ＜0，b ＞0，c ＞0B ．a ＞0，b ＜0，c ＞0C ．a ＞0，b ＞0，c ＜0D ．a ＞0，b ＜0，c ＜0 【答案】D 【解析】试题分析：因为抛物线开口向上，所以a ＞0，又对称轴在y 轴右侧，所以2ba-＞0，所以b ＜0，又因为抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，所以c ＜0，所以a ＞0，b ＜0，c ＜0，应选：D ． 考点：抛物线的性质．例5．抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的公共点是〔﹣4，0〕，〔2，0〕，那么这条抛物线的对称轴是直线． 【答案】x=-1． 【解析】试题分析：因为点〔-4，0〕和〔2，0〕的纵坐标都为0，所以可判定是一对对称点，把两点的横坐标代入公式x=122x x +求解即可． 试题解析：∵抛物线与x 轴的交点为〔-4，0〕，〔2，0〕， ∴两交点关于抛物线的对称轴对称， 那么此抛物线的对称轴是直线x=4212-+=-，即x=-1． 考点：抛物线与x 轴的交点．5、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++〔a ，b ，c 为常数，0a ≠〕；2. 顶点式：2()y a x h k =-+〔a ，h ，k 为常数，0a ≠〕；3. 两根式：12()()y a x x x x =--〔0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标〕.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.6、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边那么0>ab ，在y 轴的右侧那么0<ab ，概括的说就是“左同右异〞 总结： 3. 常数项c⑴当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 二次函数解析式确实定：根据条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 抛物线顶点或对称轴或最大〔小〕值，一般选用顶点式；3. 抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 抛物线上纵坐标一样的两点，常选用顶点式．7、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---； 2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++； 3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-；()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称〔即：抛物线绕顶点旋转180°〕2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a =--+-； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原那么，选择适宜的形式，习惯上是先确定原抛物线〔或表达式的抛物线〕的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．22.2二次函数与一元二次方程1. 二次函数与一元二次方程的关系〔二次函数与x 轴交点情况〕：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况.图象与x 轴的交点个数：①当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-. ②当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1'当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵求二次函数的最大〔小〕值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和一点对称的点坐标，或与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，提醒二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：例1．函数k x x y +-=632〔k 为常数〕的图象经过点A 〔0．8，1y 〕，B 〔1．1，2y 〕，C 〔2，3y 〕，那么有〔〕A ．1y ＜2y ＜3yB ．1y ＞2y ＞3yC ．3y ＞1y ＞2yD ．1y ＞3y ＞2y【答案】C【解析】试题分析：因为函数k x x y +-=632的对称轴是6126b x a -=-=-=，且抛物线开口向上，所以可以画出函数图象的草图，观察图象可得：3y ＞1y ＞2y ，应选：C ．考点：二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特点．例2．二次函数y=x 2＋2mx ＋2，当x ＞2时，y 的值随x 的增大而增大，那么实数m 的取值X 围是.【答案】m≥-2．【解析】试题分析：根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于2列式计算即可得解．试题解析：抛物线的对称轴为直线x=-221m ⨯=-m ， ∵当x ＞2时，y 的值随x 值的增大而增大，∴-m≤2，解得m≥-2．考点：二次函数的性质．例3．函数c bx x y -+=2的图象经过点〔1，2〕，那么b-c 的值为．【答案】1【解析】试题分析：把点〔1，2〕代入c bx x y -+=2，得：12b c +-=，所以1b c -=.考点：函数图象上的点.例4．抛物线y=ax 2+bx+3的对称轴是直线x=1．〔1〕求证：2a+b=0；〔2〕假设关于x 的方程ax 2+bx ﹣8=0的一个根为4，求方程的另一个根．【答案】〔1〕见解析；〔2〕x=－2【解析】试题分析：直接利用对称轴公式代入求出即可；根据〔1〕中所求，再将x=4代入方程求出a ，b 的值，进而解方程得出即可．试题解析：〔1〕证明：∵对称轴是直线x=1=﹣2b a，∴b=－2a ∴2a+b=0； 〔2〕∵ax 2+bx ﹣8=0的一个根为4，∴16a+4b ﹣8=0，∵b=﹣2a ，∴16a ﹣8a ﹣8=0，解得：a=1，那么b=﹣2，∴a 2x +bx ﹣8=0为：2x ﹣2x ﹣8=0，那么〔x ﹣4〕〔x+2〕=0，解得：1x =4，2x =﹣2，故方程的另一个根为：﹣2．考点：二次函数的性质；二次函数图象与系数的关系；抛物线与x 轴的交点例5．函数21y x bx =+-的图象经过点〔3，2〕．〔1〕求这个函数的解析式；〔2〕当0x >时，求使2y ≥的x 的取值X 围．【答案】〔1〕221y x x =--；〔2〕3x ≥．【解析】试题分析：〔1〕把〔3，2〕代入函数解析式求出b 的值，即可确定出解析式；〔2〕利用二次函数的性质求出满足题意x 的X 围即可．试题解析：〔1〕∵函数21y x bx =+-的图象经过点〔3，2〕，∴9312b +-=，解得：2b =-，那么函数解析式为：221y x x =--；〔2〕当3x =时，2y =，根据二次函数性质当3x ≥时，2y ≥，那么当0x >时，使2y ≥的x 的取值X 围是3x ≥． 考点：待定系数法求二次函数解析式．22.3 实际问题与二次函数例1．在同一坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+8x+b的图象可能是〔〕【答案】C【解析】试题分析：A、对于一次函数a＜0，对于二次函数a＞0，那么不正确；B、对于一次函数b＜0，对于二次函数b＞0，那么不正确；C、正确；D、对于一次函数b＜0，对于二次函数b＞0，那么不正确．考点：函数图象例2．学生校服原来每套的售价是100元，后经连续两次降价，现在的售价是81元，那么平均每次降价的百分数是〔〕A．9% B．8．5% C．9．5% D．10%【答案】D．【解析】试题分析：设平均每次降价的百分数是x，根据等量关系“校服原来每套的售价是100元×〔1-下降率〕2=每套校服现在的售价是81元〞，列出方程100〔1-x〕2= 81元，解得x即可，故答案选D．考点：一元二次方程的应用．。
九年级数学上册第二十二章二次函数考点总结(带答案)
九年级数学上册第二十二章二次函数考点总结单选题1、若y=（m＋1）x m2−6m−5是二次函数，则m= （）A．－1B．7C．－1或7D．以上都不对答案：B分析：令x的指数为2，系数不为0，列出方程与不等式解答即可．由题意得：m2-6m-5=2；且m+1≠0；解得m=7或-1；m≠-1，∴m=7，故选：B．小提示：利用二次函数的定义，二次函数中自变量的指数是2；二次项的系数不为0．2、已知抛物线y=x2+bx+c与x轴的两个交点之间的距离为6，对称轴为x=3，则抛物线的顶点P关于x轴对称的点P′的坐标是（）A．(3,9)B．(3,−9)C．(−3,9)D．(−3,−9)答案：A分析：根据抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为6．对称轴为直线x＝3，可以得到b、c的值，然后即可得到该抛物线的解析式，再将函数解析式化为顶点式，即可得到点P的坐标，然后根据关于x轴对称的点的特点横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得到点P关于x轴的对称点的坐标．解：设抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点坐标为（x1，0），（x2，0），∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为6，对称轴为直线x＝3，∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝36，−b=3，2×1∴（﹣b）2﹣4×c＝36，b＝﹣6，解得：c＝0，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣6x＝（x﹣3）2﹣9，∴顶点P的坐标为（3，﹣9），∴点P关于x轴的对称点的坐标是（3，9），故选：A．小提示：本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、关于x轴对称的点的坐标特点，解答本题的关键是求出点P的坐标，利用二次函数的性质解答．3、已知a是不为0的常数，函数y＝ax和函数y＝﹣ax2+a在同一平面直角坐标系内的图象可以是（）A．B．C．D．答案：C分析：根据题意分a>0,a<0两种情况讨论，结合函数图象即可求解．解：A.正比例函数中a<0，二次函数开口向上，−a>0，与y轴的交点在y轴正半轴，则a>0，矛盾，故A 不正确；B.正比例函数中a>0，二次函数开口向上，−a>0，与y轴的交点在y轴正半轴，则a>0，矛盾，故B不正确；C.正比例函数中a>0，二次函数开口向下，−a<0，与y轴的交点在y轴正半轴，则a>0，故C正确；D. .正比例函数中a<0，二次函数开口向下，−a<0，与y轴的交点在y轴正半轴，则a>0，矛盾，故D不正确；故选C小提示：本题考查了正比例函数与二次函数的图象的性质，掌握正比例函数与二次函数的图象的性质是解题的关键．4、如图，已知开口向下的抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于点(−1,0)对称轴为直线x =1．则下列结论：①abc >0；②2a +b =0；③函数y =ax 2+bx +c 的最大值为−4a ；④若关于x 的方数ax 2+bx +c =a +1无实数根，则−15<a <0．正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案：C分析：由图象可知，图像开口向下，a ＜0，对称轴为x =1，故−b 2a =1，故b ＞0，且b =−2a ，则2a +b =0 图象与y 轴的交点为正半轴，则c ＞0，由此可知abc ＜0，故①错误，由图象可知当x =1时，函数取最大值，将x =1，代入y =ax 2+bx +c ，中得：y =a +b +c ，计算出函数图象与x 轴的另一交点为（3,0）设函数解析式为：y =a(x −x 1)(x −x 2)，将交点坐标代入得化简得：y =ax 2−2ax −3a ，将x =1，代入可得：y =a −2a −3a =−4a ，故函数的最大值为-4a ，、ax 2+bx +c =a +1变形为：ax 2+bx +c −a −1=0要使方程无实数根，则b 2−4a(c −a −1)<0，将c =-3a ，b =−2a ，代入得：20a 2+4a <0，因为a ＜0，则20a +4>0，则a >−15，综上所述−15<a <0，结合以上结论可判断正确的项． 解：由图象可知，图像开口向下，a ＜0，对称轴为x =1，故−b 2a =1，故b ＞0，且b =−2a ，则2a +b =0故②正确，∵图象与y 轴的交点为正半轴，∴c ＞0，则abc ＜0，故①错误，由图象可知当x =1时，函数取最大值，将x =1，代入y =ax 2+bx +c ，中得：y =a +b +c ，由图象可知函数与x 轴交点为（﹣1,0），对称轴为将x =1，故函数图象与x 轴的另一交点为（3,0），设函数解析式为：y =a(x −x 1)(x −x 2)，将交点坐标代入得：y =a(x +1)(x −3)，故化简得：y =ax 2−2ax −3a ，将x =1，代入可得：y =a −2a −3a =−4a ，故函数的最大值为-4a ，故③正确，ax 2+bx +c =a +1变形为：ax 2+bx +c −a −1=0要使方程无实数根，则b 2−4a(c −a −1)<0，将c =-3a ，b =−2a ，代入得：20a 2+4a <0，因为a ＜0，则20a +4>0，则a >−15，综上所述−15<a <0，故④正确，则②③④正确，故选C ．小提示：本题考查二次函数的一般式，二次函数的交点式，二次函数的最值，对称轴，以及交点坐标掌握数形结合思想是解决本题的关键．5、若y ＝（a ﹣2）x 2﹣3x +2是二次函数，则a 的取值范围是（ ）A ．a ≠2B ．a ＞0C ．a ＞2D ．a ≠0答案：A分析：根据二次函数的二次项系数不为0可得关于a 的不等式，解不等式即得答案．解：由题意得： a −2≠0，则a ≠2．故选：A ．小提示：本题考查了二次函数的定义，属于基础题型，掌握二次函数的概念是关键．6、如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2m 时，水面宽度为4m ．那么水位下降1m 时，水面的宽度为（ ）A ．√6mB ．2√6mC ．(√6−4)mD ．(2√6−4)m答案：B分析：结合已知条件先建立适当的坐标系，然后设出解析式，利用点的坐标求得解析式，再将y=−3代入解析式求得相应的x的值，进而求得答案．解：以拱顶为坐标原点建立坐标系，如图：∴设抛物线解析式为：y=ax2，∵观察图形可知抛物线经过点B(2,−2)，∴−2=a⋅22，∴a=−1，2∴抛物线解析式为：y=−1x2，2∴当水位下降1米后，即当y=−2−1=−3时，有−1x2=−3，2∴x1=√6，x2=−√6，∴水面的宽度为：2√6m．故选：B．小提示：本题考查了二次函数的应用，根据已知条件建立坐标系从而求得二次函数解析式是解决问题的关键．7、某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利润y（元）与降价x（元）之间的关系是y＝－2x2＋60x＋800，则利润获得最多为（）A．15元B．400元C．800元D．1250元答案：D分析：将函数关系式转化为顶点式，然后利用开口方向和顶点坐标即可求出最多的利润．解：y＝－2x2＋60x＋800＝－2（x－15）2＋1250∵－2＜0故当x＝15时，y有最大值，最大值为1250即利润获得最多为1250元故选：D．小提示：此题考查的是利用二次函数求最值，掌握将二次函数的一般式转化为顶点式求最值是解决此题的关键．8、已知a<−1，点(a−1,y1)，(a,y2)，(a+1,y3)都在函数y=3x2−2的图象上，则（）A．y1<y2<y3B．y1<y3<y2C．y2<y1<y3D．y3<y2<y1答案：D分析：先求出抛物线的对称轴，抛物线y=3x2-2的对称轴为y轴，即直线x=0，图象开口向上，当a＜-1时，a-1＜a＜a+1＜0，在对称轴左边，y随x的增大而减小，由此可判断y1，y2，y3的大小关系．解：∵当a＜-1时，a-1＜a＜a+1＜0，而抛物线y=3x2-2的对称轴为直线x=0，开口向上，∴三点都在对称轴的左边，y随x的增大而减小，∴y1＞y2＞y3．故选：D．小提示：本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，当二次项系数a＞0时，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大；a＜0时，在对称轴的左边，y随x的增大而增大，在对称轴的右边，y随x的增大而减小．9、某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，该商品每月的销售量y（件）与销售单价x （元）之间满足函数关系式y=−5x+550，若要求销售单价不得低于成本，为每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？每月最大利润是多少？（）A．90元，4500元B．80元，4500元C．90元，4000元D．80元，4000元答案：B分析：设每月所获利润为w ，按照等量关系列出二次函数，并根据二次函数的性质求得最值即可．解：设每月总利润为w ，依题意得：w =y(x −50)=(−5x +550)(x −50)=−5x 2+800x −27500=−5(x −80)2+4500∵−5<0，此图象开口向下，又x ≥50，∴当x =80时，w 有最大值，最大值为4500元．故选：B ．小提示：本题考查了二次函数在实际生活中的应用，根据题意找到等量关系并掌握二次函数求最值的方法是解题的关键．10、下表中列出的是一个二次函数的自变量x 与函数y 的几组对应值：B ．这个函数的图象与x 轴无交点C ．这个函数的最小值小于-6D ．当x >1时，y 的值随x 值的增大而增大答案：C分析：利用表中的数据，求得二次函数的解析式，再配成顶点式，根据二次函数的性质逐一分析即可判断． 解：设二次函数的解析式为y =ax 2+bx +c ，依题意得：{4a −2b +c =6c =−4a +b +c =−6 ，解得：{a =1b =−3c =−4， ∴二次函数的解析式为y =x 2−3x −4=(x −32)2−254，∵a =1>0，∴这个函数的图象开口向上，故A 选项不符合题意；∵△=b 2−4ac =(−3)2−4×1×(−4)=25>0，∴这个函数的图象与x 轴有两个不同的交点，故B 选项不符合题意；∵a =1>0，∴当x =32时，这个函数有最小值−254<−6，故C 选项符合题意；∵这个函数的图象的顶点坐标为(32，−254)， ∴当x >32时，y 的值随x 值的增大而增大，故D 选项不符合题意；故选：C ．小提示：本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质，利用二次函数的性质解答是解题关键．填空题11、如图，抛物线y =ax 2+bx +c(a ≠0)与x 轴交于点(−1,0)和点(2,0)，以下结论：①abc <0；②4a −2b +c <0；③a +b =0；④当x <12时，y 随x 的增大而减小．其中正确的结论有___________．（填写代表正确结论的序号）答案：①②##②①分析：根据二次函数的对称轴位置和抛物线开口方向确定①③，根据x ＝-2时判定②，由抛物线图像性质判定④．解：①抛物线的对称轴在y 轴右侧，则ab ＜0，而c ＞0，故abc ＜0，故正确；②x ＝-2时，函数值小于0，则4a -2b +c ＜0，故正确；③与x 轴交于点(−1,0)和点(2,0)，则对称轴x =−b 2a =−1+22=−12，故a =b ，故③错误； ④当x <12时，图像位于对称轴左边，y 随x 的增大而减大．故④错误；综上所述，正确的为①②．所以答案是：①②．小提示：本题考查了二次函数的图像和性质，要求熟悉掌握函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．12、如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A(﹣3，6)，B(1，3)，则方程ax2﹣bx﹣c＝0的解是_________．答案：x1＝﹣3，x2＝1分析：根据抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣3，6），B（1，3），可得方程ax2＝bx+c的解为x1＝﹣3，x2＝1，即可求解．解：∵抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣3，6），B（1，3），∴方程ax2＝bx+c的解为x1＝﹣3，x2＝1，∴ax2﹣bx﹣c＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，所以答案是：x1＝﹣3，x2＝1．小提示：本题考查了一次函数与抛物线交点问题，理解交点的横坐标即为方程的解是解题的关键．13、已知抛物线y=(x−1)(x−5)与x轴的公共点坐标是A(x1,0),B(x2,0)，则x1+x2=_______．答案：6分析：令y=0，可得(x−1)(x−5)=0，解出即可求解．解：∵抛物线y=(x−1)(x−5)与x轴的公共点坐标是A(x1,0),B(x2,0)，令y=0，则(x−1)(x−5)=0，解得：x1=1,x2=5，∴x1+x2=1+5=6．所以答案是：6．小提示：本题主要考查了二次函数的图象与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．14、如图，某单位的围墙由一段段形状相同的抛物线形栅栏组成，为了牢固，每段栅栏间隔0.2米设置一根立柱（即AB间间隔0.2米的7根立柱）进行加固，若立柱EF的长为0.28米，则拱高OC为_____米答案：0.64分析：根据抛物线，建立直角坐标系，求出抛物线解析式，即可求得OC的长．解：如图，以点C为坐标系原点，OC所在直线为y轴，建立直角坐标系．设抛物线的解析式为y=ax2(a≠0)，由题意可知：点A的横坐标为－0.8，点F的横坐标为－0.6，代入y=ax2(a≠0)，有y F=(−0.6)2a=0.36a，y A=(−0.8)2a=0.64a，点A的纵坐标即为OC的长，∴0.36a＋0.28＝0.64a，解得a＝1，∴抛物线解析式为y=x2，y A=(−0.8)2=0.64，故OC的长为：0.64m．小提示：本题考查根据抛物线构建直角坐标系，解决实际问题，熟练掌握二次函数相关知识点是解题的关键．15、已知函数y=mx2+2mx+1在−3⩽x⩽2上有最大值4，则常数m的值为 __.答案：3或−38分析：分两种情况：m>0和m<0分别求y的最大值即可．解：y=mx2+2mx+1=m(x+1)2+1−m.当m>0时，当x=2时，y有最大值，∴4m+4m+1=4，∴m=3；8当m<0时，当x=−1时，y有最大值，∴m−2m+1=4，∴m=−3，或−3.综上所述：m的值为38或−3.故答案是：38小提示：本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，解题时，注意要分类讨论，以防漏解.解答题16、单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y （单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=a(x−ℎ)2+k(a<0)．某运动员进行了两次训练．(1)第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：y=a(x−ℎ)2+k(a<0)；(2)第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y=−0.04(x−9)2+23.24.记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为d2，则d1______d2（填“>”“=”或“<”）．答案：(1)23.20 m；y=−0.05(x−8)2+23.20(2)＜分析：（1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出h、k的值，运动员竖直高度的最大值；将表格中除顶点坐标之外的一组数据代入函数关系式即可求出a的值，得出函数解析式；（2）着陆点的纵坐标为t，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标，用t表示出d1和d2，然后进行比较即可．（1）解：根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：(8,23.20)，∴ℎ=8，k=23.20，即该运动员竖直高度的最大值为23.20 m，根据表格中的数据可知，当x=0时，y=20.00，代入y=a(x−8)2+23.20得：20.00=a(0−8)2+23.20，解得：a=−0.05，∴函数关系关系式为：y=−0.05(x−8)2+23.20．（2）设着陆点的纵坐标为t，则第一次训练时，t=−0.05(x−8)2+23.20，解得：x =8+√20(23.20−t )或x =8−√20(23.20−t )，∴根据图象可知，第一次训练时着陆点的水平距离d 1=8+√20(23.20−t )，第二次训练时，t =−0.04(x −9)2+23.24，解得：x =9+√25(23.24−t )或x =9−√25(23.24−t )，∴根据图象可知，第二次训练时着陆点的水平距离d 2=9+√25(23.24−t )，∵20(23.20−t )＜25(23.24−t )，∴√20(23.20−t )＜√25(23.24−t )，∴d 1＜d 2．所以答案是：＜．小提示：本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，设着陆点的纵坐标为t ，用t 表示出d 1和d 2是解题的关键．17、如图，抛物线y =−x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，直线BC 方程为y =x −3．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 为抛物线上一点，若S △PBC =12S △ABC ，请直接写出点P 的坐标；(3)点Q 是抛物线上一点，若∠ACQ =45°，求点Q 的坐标．答案：(1)y =-x 2+4x -3(2)(3+√52,−1+√52)或(3−√52,−1−√52)或（3+√132,−5+√132）或(3−√132,−5−√132) (3)(72,−54)分析：（1）先根据一次函数解析式求出点B 、C 坐标；再代入y =−x 2+bx +c ，求出b 、c 即可求解；（2）过点A作AN⊥BC于N，过点P作PM⊥BC于M，过点P作PE∥BC，交y轴于E,交抛物线于p1,p2，过点E作EF⊥BC于F，先求出AN=√2，再根据两三角形面积关系，求得PM=√22，从而求得CE=1，则点P是将直线BC向上或向下平移1个单位与抛物线的交点，联立解析式即可求出交点坐标；（3）过点Q作AD⊥CQ于D，过点D作DF⊥x轴于F财富点C作CE⊥DF于E，证△CDE≌△DAD（AAS），得DE=AF，CE=DF，再证四边形OCEF是矩形，得OF=CE，EF=OC=3，然后设DE=AF=n，则CE=DF=OF=n+1，DF=3-n，则n+1=3-n，解得：n=1，即可求出D(2,-2),用待定系数法求直线CQ解析式为y=12x-3，最后联立直线与抛物线解析式，求出交点坐标即可求解．（1）解：对于直线BC解析式y=x-3，令x=0时，y=-3，则C(0,-3)，令y=0时，x=3，则B(3,0)，把B(3,0)，C(0,-3)，分别代入y=−x2+bx+c，得{-9+3b+c=0c=−3，解得：{b=4c=−3，∴求抛物线的解析式为：y=-x2+4x-3；（2）解：对于抛物线y=-x2+4x-3，令y=0，则-x2+4x-3=0，解得：x1=1,x2=3,∴A(1,0)，B(3,0)，∴OA=1，OB=3，AB=2，过点A作AN⊥BC于N，过点P作PM⊥BC于M，如图，∵A (1,0)，B (3,0)，C (0,-3)，∴OB =OC =3，AB =2，∴∠ABC =∠OCB =45°，∴AN =√2，∵S △PBC =12S △ABC ， ∴PM =√22，过点P 作PE ∥BC ，交y 轴于E ，过点E 作EF ⊥BC 于F ，则EF = PM =√22，∴CE =1∴点P 是将直线BC 向上或向下平移1个单位，与抛物线的交点，如图P 1，P 2，P 3，P 4，∵B (3,0)，C (0,-3)，∴直线BC 解析式为：y =x -3，∴平移后的解析式为y =x -2或y =x -4,联立直线与抛物线解析式，得{y =−x 2+4x −3y =x −2 或{y =−x 2+4x −3y =x −4， 解得：{x 1=3+√52y =−1+√52 ，{x 1=3−√52y =−1−√52 ，{x 1=3+√132y =−5+√132 ，{x 1=3−√132y =−5−√132 ，∴P 点的坐标为(3+√52,−1+√52)或(3−√52,−1−√52)或（3+√132,−5+√132）或(3−√132,−5−√132)．（3） 解：如图，点Q 在抛物线上，且∠ACQ =45°，过点Q 作AD ⊥CQ 于D ，过点D 作DF ⊥x 轴于F ，过点C 作CE ⊥DF 于E ，∵∠ADC =90°，∴∠ACD =∠CAD =45°，∴CD =AD ，∵∠E =∠AFD =90°，∴∠ADF =90°-∠CDE =∠DCE ，∴△CDE ≌△DAD （AAS ），∴DE =AF ，CE =DF ，∵∠COF =∠E =∠AFD =90°，∴四边形OCEF 是矩形，∴OF =CE ，EF =OC =3，设DE =AF =n ，∵OA =1，∴CE =DF =OF =n +1∴DF =3-n ，∴n +1=3-n解得：n =1，∴DE =AF =1，∴CE =DF =OF =2，∴D (2,-2),设直线CQ 解析式为y =px -3，把D (2,-2)代入，得p =12,∴直线CQ 解析式为y =12x -3，联立直线与抛物线解析式，得{y =12x −3y =−x 2+4x −3解得：{x 1=72y 1=−54 ，{x 2=0y 2=−3 （不符合题意，舍去）， ∴点Q 坐标为(72,−54). 小提示：本题属二次函数与一次函数综合题目，考查了用待定系数法求函数解析式，一次函数图象平行，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握一次函数与二次函数的图象性质是解题的关键．18、跳绳是一项很好的健身活动，如图是小明跳绳运动时的示意图，建立平面直角坐标系如图所示，甩绳近似抛物线形状，脚底B 、C 相距20cm ，头顶A 离地175cm ，相距60cm 的双手D 、E 离地均为80cm ．点A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内，脚离地面的高度忽略不计．小明调节绳子，使跳动时绳子刚好经过脚底B 、C 两点，且甩绳形状始终保持不变．(1)求经过脚底B、C时绳子所在抛物线的解析式．(2)判断小明此次跳绳能否成功，并说明理由．答案：(1)y=110x2−90.(2)不成功，理由见解析分析：（1）建立如图所示的坐标系：结合题意可得：D(−30,0),E(30,0),由双手D、E离地均为80cm，可得C 点坐标为：(10,−80),再利用待定系数法求解解析式即可；（2）由175−80=95>80,可得跳绳不过头顶A，从而可得答案．（1）解：建立如图所示的坐标系：结合题意可得：D(−30,0),E(30,0),∵双手D、E离地均为80cm．∴C点坐标为：(10,−80),设抛物线为：y=ax2−80,{0=900a+b−80=100a+b,解得：{a=110b=−90,所以抛物线为y=110x2−90.（2）解：∵y=0.1x²－90，∴顶点为（0，－90）.即跳绳顶点到手的距离是90cm，∵175−90=85>80,∴跳绳不过头顶A，∴小明此次跳绳能不成功．小提示：本题考查的是二次函数的实际应用，理解题意，建立合适的坐标系是解本题的关键．。
第22章二次函数小结与复习
小结与复习
要点梳理
考点讲练
课堂小结
课后作业
要点梳理
1.二次函数的概念
一般地，形如 y＝ax2＋bx＋c (a，b，c 是常数，a ≠０ __)的函数，叫做二次函数．
[注意] (1)等号右边必须是整式；(2)自变量的
最高次数是2；(3)当b＝0，c＝0时，y＝ax2是特
殊的二次函数．
5.二次函数与一元二次方程的关系
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点有三
种情况:有两个交点,有两个重合的交点,没有交点.当
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴有交点时,交 点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次 方程ax2＋bx＋c=0的根.
有两个交点
有两个重合 的交点 没有交点
下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜
0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是D ( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：由图像开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧 可得b＜0，由图像与y轴交于正半轴可得 c＞0，则 abc＞0，故①正确； 由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确； 由图像上横坐标为 x＝－2的点在第三象限可得4a－2b ＋c＜0，故③正确； 由图像上横坐标为x＝1的点在第四象限得出a＋b＋c＜ 0，由图像上横坐标为x＝－1的点在第二象限得出
3.二次函数图像的平移
y＝ax2 沿x轴翻折 y＝-ax2
左、右平移 左加右减
ya(xh)2
上、下平移 上加下减
ya(xh)2k
写成一般形式
yax2 bxc
4.二次函数表达式的求法
1．一般式法：y＝ax2＋bx＋c (a≠ 0) 2．顶点法：y＝a(x－h)2＋k(a≠0) 3．交点法：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)
2024九年级数学上册“第二十二章 二次函数”必背知识点
2024九年级数学上册“第二十二章二次函数”必背知识点一、二次函数的定义与表达式定义：一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y = ax² + bx + c（a, b, c为常数，a ≠ 0）。
这样的函数称为二次函数，其中a决定函数的开口方向，b和a共同决定对称轴的位置，c决定抛物线与y轴的交点。
三种表达式：1. 一般式：y = ax² + bx + c （a, b, c为常数，a ≠ 0）。
2. 顶点式：y = a(x - h)² + k，其中(h, k)为抛物线的顶点坐标。
3. 交点式：y = a(x - x₁)(x - x₂)，仅限于与x轴有交点A(x₁, 0)和B(x₂, 0)的抛物线。
二、二次函数的图像与性质图像：二次函数的图像是一条抛物线。
开口方向与大小：由二次项系数a决定。
当a > 0时，开口向上；当a < 0时，开口向下。
|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大。
对称轴：1. 一般式：对称轴为直线x = -b/2a。
2. 顶点式：对称轴为直线x = h。
3. 交点式：对称轴为直线x = (x₁ + x₂)/2。
顶点坐标：1. 顶点式直接给出为(h, k)。
2. 一般式可通过公式计算得到(-b/2a, (4ac - b²)/4a)。
最值：1. 当a > 0时，函数有最小值，最小值为(4ac - b²)/4a，此时x = -b/2a。
2. 当a < 0时，函数有最大值，最大值为(4ac - b²)/4a，此时x = -b/2a。
三、二次函数与一元二次方程当二次函数y = ax² + bx + c中y = 0时，即转化为一元二次方程ax² + bx + c = 0。
函数图像与x轴的交点即为该方程的根。
根据判别式Δ = b² - 4ac的值，可以判断抛物线与x轴的交点个数：1. Δ > 0时，抛物线与x轴有两个交点。
二次函数知识点总结(详细)
2.已知二次函数 的图象如图所示, 有以下结论: ① ；② ；③ ；④ ；⑤ 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①②B. ①③④C. ①②③⑤D. ①②③④⑤3.二次函数 的图象如图所示, 则下列关系式中错误的是（ ） A. a ＜0 B. c ＞0 C. ＞0 4、D. ＞0图12为二次函数 的图象, 给出下列说法:① ；②方程 的根为 ；③ ；④当 时, y 随x 值的增大而增大；⑤当 时, . 其中, 正确的说法有 ．（请写出所有正确说法的序号）5.已知=次函数y ＝ax +bx+c 的图象如图. 则下列5个代数式: ac, a+b+c, 4a －2b+c, 2a+b, 2a －b 中, 其值大于0的个数为（ ） A. 2B 3C 、4D 、5四、二次函数解析式的确定 例4.求二次函数解析式:（1）抛物线过（0, 2）, （1, 1）, （3, 5）；（2）顶点M （-1, 2）, 且过N （2, 1）；（3）已知抛物线过A （1, 0）和B （4, 0）两点, 交y 轴于C 点且BC ＝5, 求该二次函数的解析式。
（1） 练习: 根据下列条件求关于x 的二次函数的解析式 当x=3时, y 最小值=－1, 且图象过（0, 7）图象过点（0, －2）（1, 2）且对称轴为直线x=图象经过（0, 1）（1, 0）（3, 0）五、二次函数与x 轴、y 轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系）11 1 Oxy已知抛物线y＝x2-2x-8,（1）求证: 该抛物线与x轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B, 且它的顶点为P, 求△ABP的面积。
2、1.二次函数y＝x2-2x-3图象与x轴交点之间的距离为如图所示, 二次函数y＝x2－4x＋3的图象交x轴于A、B两点, 交y 轴于点C,则△ABC的面积为( )A.6B.4C.3D.13.若二次函数y＝(m+5)x2+2(m+1)x+m的图象全部在x轴的上方, 则m 的取值范围是六、直线与二次函数的问题例6 已知: 二次函数为y=x2－x+m, （1）写出它的图像的开口方向, 对称轴及顶点坐标；（2）m为何值时, 顶点在x轴上方, （3）若抛物线与y轴交于A, 过A作AB∥x轴交抛物线于另一点B, 当S△AOB=4时, 求此二次函数的解析式.1.抛物线y=x2+7x+3与直线y=2x+9的交点坐标为。
第二十二章《二次函数》知识点总结人教版数学九年级上册
《二次函数》知识点总结【知识点1 二次函数的表达式】1. 一般式： . 顶点坐标： . 对称轴： .2. 顶点式： .顶点坐标： . 对称轴： . 【知识点2 二次函数的图象与性质】 1. 二次项系数a 决定抛物线的 开口方向 ；①当0>a 时，抛物线的 ； ②当0<a 时，抛物线的 ； ③ ||a 越大，抛物线的开口 .3.常数项c 决定抛物线 与y 轴 交点的位置 . ①当0=c ，抛物线与y 轴交于 ； ②当0>c ，抛物线与y 轴交于 ； ③当0<c ，抛物线与y 轴交于 .5.根据a 、b 、c 的符号，画出二次函数的草图:①已知 a <0、b <0、c <0 ②已知 a>0、b <0、c >0 6.描述下面二次函数c bx ax y ++=2的增减性： 【知识点3 抛物线与坐标轴的交点】 1. 抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的交点个数，即02=++c bx ax . ①当 ，抛物线与x 轴有两个交点； ②当 ，抛物线与x 轴有1个交点； ③当 ，抛物线与x 轴有没有交点；2.求抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的交点的过程： 3.求抛物线c bx ax y ++=2与y 轴的交点的过程：4.函数 y = ax 2 + bx + c 的图象如图，那么 ①方程 ax 2 + bx + c =2 的根是 ______________;2.系数a 和b 共同决定抛物线 对称轴的位置 . ①a 和b 同号，对称轴在原点的 ； ②a 和b 异号， .4.根据图象判断出a 、b 、c 的符号：方法总结：第一步：求出对称轴；第二步：用箭头在对称轴两侧标出上升和下降；第三步：描述增减性.①当 时，随的增大而减小； ②当 时， 随的增大而增大；∵轴上的点， 为零，∴ . ∵轴上的点， 为零，∴ .②不等式 ax 2 + bx + c >0 的解集是 ___________; ③不等式 ax 2 + bx + c <2 的解集是 _________.④ a + b + c 0 ，4a 2 b + c 0 ， 9a +3 b + c 0 .【知识点4 抛物线的平移】二次函数 y = ax 2 + bx + c 的平移口诀：“上下平移， ；左右平移， .” 【 * *知识点5 抛物线的对称 ** 】抛物线c bx ax y ++=2关于x 轴对称的解析式为 . 抛物线c bx ax y ++=2关于y 轴对称的解析式为 . 【 * *知识点6 二次函数图象的画法 ** 】 画出二次函数3-2-2x x y =的的图象.【典型例题 】1.m2+1+2x −是二次函数，则m 的值为( )C. −1D. 1或−12.【求顶点坐标 】抛物线y =2(x −3)4的顶点坐标是( ) A. (3,4)B. (−3,4)C. (3,−4)D. (2,4)3.【与坐标轴的交点 】抛物线y =−x 2+4x −4与坐标轴的交点个数为( ) A. 0B. 1C. 2D. 34.【平移】将函数y =x 2的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A(1,4)的方法是( ) A. 向左平移1个单位 B. 向右平移3个单位C. 向上平移3个单位D. 向下平移1个单位5.【平移】抛物线y =x 2+6x +7可由抛物线y =x 2如何平移得到的( )A. 先向左平移3个单位，再向下平移2个单位B. 先向左平移6个单位，再向上平移7个单位C. 先向上平移2个单位，再向左平移3个单位D. 先向右平移3个单位，再向上平移2个单位 6.【图象与性质】对于抛物线y =−3(x +1)2−2，下列说法正确的是( ) A. 抛物线开口向上 B. 当x >−1时，y 随x 的增大而减小 C. 函数最小值为−2D. 顶点坐标为(1,−2)7.【增减性】已知(−3,y 1)，(−1,y 2)，(2,y 3)是抛物线y =−3x 2+6x +m 上的三个点.则( ) A. y 1<y 3<y 2B. y 3<y 2<y 1C. y 1<y 2<y 3D. y 2<y 1<y 38.【最值】已知二次函数y=x2−4x+2，关于该函数在−1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是( )A. 有最大值−1，有最小值−2B. 有最大值0，有最小值−1C. 有最大值7，有最小值−1D. 有最大值7，有最小值−29.【系数与图象】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y=ax+c在同一坐标系中的图象大致为( )A. B. C. D.10.【求解析式】如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象，求二次函数的解析式．11.如图，已知二次函数y=ax2−4x+c的图象经过点A(−1,−1)和点B(3,−9)．(1)求该二次函数的解析式、对称轴及顶点坐标；(2)点C是抛物线与x轴的一个交点，点D是抛物线与y轴的交点，求三角形ACD 的面积；(3)已知点M（x1，y1）和N（1+x1，y2）在抛物线对称轴的右侧，判段y1和y2的大小.12.在运动会比赛时，九年级的一名男同学推铅球，已知铅球经过的路线是某二次函数图象的一部分(如图所示)，如果这名男同学的出手处A点的坐标为(0,2)，铅球路线的最高处B点的坐标为(6,5)．(1)求出这个二次函数的解析式；(2)请求出这名男同学比赛时的成绩？13.如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．(1)建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式；(2)如果水面下降1m，则水面宽度是多少米？14.某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件50元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件40.5元，求两次下降的百分率；(2)经调查，若该商品每降价2元，每天可多销售16件，那么每天要想获得最大利润，每件售价应多少元？最大利润是多少？。
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第二十二章二次函数知识点总结
【考点一】二次函数的概念和图像
1、二次函数的定义：一般地，如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，那么y 叫做x 的二次函数。
其中，)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。
2、二次函数
的性质
（3）|a|越大，抛物线的开口越小
3、
4、二次函数的图像
（1）
（2）
5、求抛物线的顶点、对称轴的方法
（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以连线的垂直平分线是抛物
线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点。
6、二次函数图像的画法——五点法
（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴
（2）求抛物线c bx ax y ++=2
与坐标轴的交点：
当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。
将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。
由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。
如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。
附：几种特殊的二次函数的图像特征如下：
【考点二】二次函数的解析式
二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：)0,,(2
≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2）顶点式：)0,,()(2
≠+-=a k h a k h x a y 是常数，
（3）
【考点三】二次函数的最值
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当a
b
x 2-
=时，a
b a
c y 442-=最值。
抛物线开口向上，顶点处取得最小值；开口向下，顶点处取得最大值。
如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，那么，首先要看a
b
2-
是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内，若在此范围内，则当x=a b
2-时，a
b a
c y 442-=最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在21x x x ≤≤范围内
的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当2x x =时，c bx ax y ++=22
2最大，当1x x =时，
c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，
当2x x =时，c bx ax y ++=222最小。
【考点四】二次函数的性质
1、二次函数)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，的性质：
函数
二次函数
)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数， 图像 a>0
a<0
x
性质
（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；
（2）对称轴是x=a b 2-
， 顶点坐标是（a b
2-，a
b a
c 442-）；
（3）在对称轴的左侧，即当x<a b 2-时，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>
a
b
2-
时，y 随x 的增大而增大，简记左减右增；
（4）抛物线有最低点，当x=a b 2-
时，y 有最小值，a b ac y 442
-=最小值
（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸； （2）对称轴是x=a
b 2-
， 顶点坐标是（a b
2-，a
b a
c 442-）；
（3）在对称轴的左侧，即当x<a
b
2-时，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>
a
b
2-
时，y 随x 的增大而减小，简记左增右减；
（4）抛物线有最高点，当x=a
b 2-时，y 有最大值，a
b a
c y 442-=最大值
2、二次函数)0,,(2
≠++=a c b a c bx ax y 是常数，中，c b 、、a 的含义：
（1）a 决定开口方向及开口大小：a >0时，抛物线开口向上；a <0时，抛物线开口向下
|a|越大，抛物线开口越小
（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置。
由于抛物线)0,,(2
≠++=a c b a c bx ax y 是常数，的对称轴是对称轴是x=a
b 2-
3、二次函数与一元二次方程的关系。