小升初教案·工程问题类应用题
【小升初】18.工程问题教案讲义及练习
18.工程问题知识要点梳理一、根本概念1．工程问题：做某件事，制造某种产品，完成某项任务或工程等，都叫做工程问题。
2．工程问题的三个根本量是工作效率、工作时间和工作总量。
〔1〕工作效率：单位时间内完成的工作量，它是衡量一个人工作快慢的量。
〔2〕工作时间：完成工作总量所需的时间。
〔3〕工作总量：完成一项工作的总量。
一般都是把工作总量看做单位“1〞。
二、根本数量关系1．一般公式：工作总量＝工作效率×工作时间工作效率＝工作总量÷工作时间工作时间＝工作总量÷工作效率甲工效＋乙工效＝甲乙合作工效之和特别注意：工作量和工作效率都可以直接相加求和，但工作时间不能。
2．巧解工程问题：一般不知道工作总量的时候，我们常常用假设法求解。
我们把工作总量假设为单位“1〞，这个巧解方法的公式有：〔1〕一般给出工作时间，工作效率＝1工作时间。
〔2〕一般给出工作效率1a，就可以知道工作时间为a。
三、根本方法算术方法、比例方法、方程方法。
考点精讲分析典例精讲考点1 简单的工程问题【例1】 一件工作，甲单独10天完成，乙单独15天完成，甲乙合做〔 〕天完成。
【精析】 根据题意，把这件工作总量看作单位“1〞，甲的工作效率是110，乙的工作效率是115，甲、乙的工作效率和是110+115，再用工作总量除以工作效率和就等于合作的工作时间。
【答案】 把这件工作总量看作单位“1〞， 1÷(110+115)=1÷3+230=1÷16=6〔天〕 【归纳总结】 此题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，要求甲乙合做需要多少天可以完成，应求出甲乙工作效率和。
考点2 合作工程问题【例2】 一件工作，甲、乙合作需4小时完成，甲、丙合作需5小时完成，乙、丙合作需6小时完成，乙单独做这件工作需多少个小时完成？【精析】 首先把这件工作看作单位“1〞，根据工作效率＝工作量÷工作时间，分别求出甲乙、甲丙、乙丙的工作效率，再把它们求和，即可求出三人的工作效率之和的2倍，进而求出三人的工作效率之和是多少；然后用三人的工作效率之和减去甲丙的工作效率，求出乙的工作效率；最后根据工作时间＝工作量÷工作效率，用1除以乙的工作效率，求出乙单独做这件工作需多少个小时完成即可。
小升初数学学案第2讲工程问题
第二讲工程问题有些工程题中，工作效率、工作时间和工作总量三者之间的数量关系很不明显，这时我们就可以考虑运用一些特殊的思路，如综合转化、整体思考等方法来解题。
解题方法：三个关系式：工作量=工作效率×工作时间，工作时间=工作量÷工作效率，工作效率=工作量÷工作时间注意事项：工程问题，工作效率往往隐藏在条件中，工作过程也较为复杂，要仔细梳理工作过程、灵活运用基本数量关系。
一项工程，甲、乙两队合作15天完成，若甲队做5天，乙队做3天，只能完成工程的730，乙队单独完成全部工程需要几天？【解析】：此题已知甲、乙两队的工作效率和是115，只要求出甲队货乙队的工作效率，则问题可解，然而这正是本题的难点，用“组合法”将甲队独做5天，乙队独做3天，组合成甲、乙两队合作了3天后，甲队独做2天来考虑，就可以求出甲队2天的工作量730－115×3＝130，从而求出甲队的工作效率。
所以1÷【115－（730－115×3）÷（5－3）】＝20（天）答：乙队单独完成全部工程需要20天。
1、甲乙两名打字员合作24天可以完成一份书籍。
现在由甲先打16天，然后乙再打12天，完成了这份书籍的35。
已知甲每天比乙每天多打300个字，求这份书籍有多少个字?2、甲、乙两个工程队共同完成一项工程需18天，如果甲队干3天、乙队干4天则完成工程的15。
问甲、乙两队独立完成该工程个需要多少天？一项工作，甲、乙、丙3人合做6小时可以完成。
如果甲工作6小时后，乙、丙合做2小时，可以完成这项工作的23；如果甲、乙合做3小时后，丙做6小时，也可以完成这项工作的23。
如果由甲、丙合做，需几小时完成？ 【解析】：将条件“甲工作6小时后，乙、丙合做2小时，可以完成这项工作的23”组合成“甲工作4小时，甲、乙、丙合做2小时可以完成这项工作的23”，则求出甲的工作效率。
同理，运用“组合法”再求出丙的工作效率。
六年级数学教案——工程问题应用题.doc
小学六年级数学教课设计——工程问题应用题教课目的：1、理解比较抽象的工作总量、工作效率、工作时间的数目关系。
2、掌握一般工程问题的构造特色。
3、学会解题方法，会正确解答一般的工程问题。
教课要点：学会解题方法，会正确解答一般的工程问题。
教课难点：理解比较抽象的工作总量、工作效率、工作时间的数目关系。
教课准备：投电影。
教课过程：一、复习准备：1、口答，并说出数目关系式。
甲乙合做60件产品，甲每日做 3件，乙每日做2件。
他们要几天达成？60=12天工作总量工作效率=工作时间加工80个部件，甲用4小时达成。
均匀每小时加工多少个部件？804=20工作总量工作时间=工作效率2、回答，谈谈你是怎么想的。
加工一批部件，甲用4小时达成。
均匀每小时达成这批部件的几分之几？14=一项工程，甲独自修筑，需要4天达成，乙独自修筑，需要8天达成。
①甲队独修，每日达成全工程的。
②乙队独修，每日达成全工程的。
③两队合修，每日达成全工程的。
小结：方才这几道题中，工作总量因此用1表示，由于工作总量不再是一个详细的数目，而工作效率是一个分数，这个分数实质上是单位时间达成了工作总量的几分之几。
二、教课新课。
1、出示例2.一项工程，由甲工程队独自施工，需8天达成。
由乙工程队独自施工，需要12天达成。
两队共同施工需要多少天达成？审题后，想：这道题需我们求什么？你能够依据哪个关系式来解答？学生试试做，并同桌沟通。
反应说明。
1=1=1=4教师：假如不把工作总量看作1，而是看作2、3、5、10结果会如何？学生任选一个数列式计算。
小结：计算结果是同样的。
可是看作1是最简捷、最常用的。
2、练一练。
填空。
①甲做一项工作需5天达成，每日达成这项工作的，3天达成这项工作的。
②一项工程，甲队独做需要36天达成，乙队独做需要45天达成。
两队合做，一天能够达成这项工程的，天能够达成。
分页标题#e#修一条公路，甲队独做需10天，乙队独做需15天，甲乙两队合做，几日能够达成？3、小结：四人小组议论。
小升初工程问题(一)
工程问题（一）知识要点一、基本概念完成某一项工程所需的所有工作的数量和，常用“1”来表示。
工作效率：单位时间内所完成的工作量。
二、基本关系工作量= 工作效率×工作时间；三者之间的关系，可以类比路程、速度和时间的关系。
三、常用工具和方法（1）基本关系；（2）整体化归思想；（3）对比分析的方法。
重难点（1）重点：利用整体化归思想和对比分析方法解决较为复杂的工程问题。
（2）难点：复杂问题中整体化归思想、比例思想、方程思想与对比分析方法的综合运用。
模块一根据基本关系解题【例1】一项工程，甲单独做需要15小时，乙单独做需要30小时，如果甲、乙合作需要多少时间？【练习】一项工程，甲单独做需要21天时间，甲、乙合作需要12天时间，如果乙单独做需要多少时间？1，乙【练习】甲乙两名打字员，打字速度一样快，甲30 分钟打了A 材料的42A、B 两份材料中谁的内容多？40 分钟打了B 材料的7【例2】一项工程，甲队单独完成需36天。
若乙队先做8天，余下的工程由甲、乙两队合作，又需18天可完成。
如果乙队单独完成此工程，则需多少天？【练习1】一项工程，甲队单独做20 天可以完成，甲队做了12天后，由于甲另有任务，剩下的工作由乙队单独做16天完成。
问：乙队单独完成这项工作需多少天？【练习2】一项工作，甲、乙两人合做8 天完成，乙、丙两人合做9天完成，丙、甲两人合做18天完成。
那么丙一个人来做，完成这项工作需要多少天?【练习3】修筑一条高速公路。
若甲、乙、丙合作，90 天可完工。
若甲、乙、丁合作，120 天可完工；若丙、丁合作，180 天可完工，若甲、乙合作36 天后，剩下的工程由甲、乙、丙、丁合作。
还需多少天可完工？模块二运用整体化归思想解题【例3】甲、乙、丙三人同时分别在两个条件和工作量相同的仓库工作，搬完货物甲用10小时，乙用12 小时，丙用15小时。
甲在A仓库，乙在B 仓库，丙先帮甲后帮乙，用了16 个小时将两个仓库同时搬完。
小学北师大版六年级数学小升初工程问题应用题典型例题
工程问题经典题库姓名：1.一件工程，甲独做10天竣工，乙独做15天竣工，二人合做几天竣工？2.一批零件，王师傅单独做要15小时完毕，李师傅单独做要20小时完毕，两人合做，几小时能加工完这批零件旳34？3.一项工作，甲单独做要10天完毕，乙单独做要15天完毕。
甲、乙合做几天可以完毕这项工作旳80％？(浙江温岭市)4.一项工程，甲独做要12天完毕，乙独做要18天完毕，二人合做多少天可以完毕这件工程旳2/3？5.一项工程，甲独做要18天，乙独做要15天，二人合做6天后，其他旳由乙独做，还要几天做完？6.修一条路，甲单独修需16天，乙单独修需24天，假如乙先修了9天，然后甲、乙二人合修，还要几天？7. 一项工程，甲单独做16天可以完毕，乙单独做12天可以完毕。
目前由乙先做3天，剩余旳由甲来做，还需要多少天能完毕这项工程？(石家庄市长安区)8. 一项工程，甲独做要12天，乙独做要16天，丙独做要20天，假如甲先做了3天，丙又做了5天，其他旳由乙去做，还要几天？9. 一批货品，由大、小卡车同步运送，6小时可运完，假如用大卡车单独运，10小时可运完。
用小卡车单独运，要几小时运完？(浙江常山县)10. 小王和小张同步打一份稿件，5小时打了这份这稿件旳65。
假如由小王单独打，10小时可以打完。
求假如由小张单独打，几小时可以打完。
(湖北当阳市)11. 一项工程，甲队独做15天完毕，乙队独做12天完毕。
目前甲、乙合作4天后，剩余旳工程由丙队8天完毕。
假如这项工程由丙队独做，需几天完毕？(浙江德清县)12. 甲和乙两队合修一条公路，完毕任务时，甲队修了这条公路旳158。
假如乙队单独完毕要24天，甲队单独做几天完毕？(武汉市青山区)13.一项工程，甲独做要10天，乙独做要15天，丙独做要20天。
三人合做期间，甲因病请假，工程6天竣工，问甲请了几天病假？14.一袋米，甲、乙、丙三人一起吃，8天吃完，甲一人24天吃完，乙一人36天吃完，问丙一人几天吃完？15.一条公路长1500米，单独修好甲要15天，乙要10天，两队合修需几天才能完毕？(浙江江山市)16.师徒共同完毕一件工作，徒弟独做20天完毕，比师傅多用4天完毕，假如师徒合作需几天完毕？(银川市试验小学)17.一项工程，由甲工程队修建，需要20天完毕；由乙工程队修建，需要旳天数是甲工程队旳1.5倍才能完毕。
《工程问题应用题》教案-2021-2022学年数学六年级上册人教版
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“工程问题在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考，比如如何优化工程进度，减少资源浪费等。
在实践活动方面，我发现学生对实验操作表现出较高的兴趣，但实验过程中的观察和总结能力还有待加强。为此，我计划在以后的课堂中，增加一些简单的实验操作，引导学生关注实验现象，培养他们的观察力和逻辑思维能力。
此外，教学过程中的语言表达也是一个需要注意的问题。我发现在解释难点问题时，自己的语言可能不够简洁明了，导致学生难以理解。为了改善这一点，我将在备课时更加注重教学语言的锤炼，力求用简单易懂的语言讲解复杂问题。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了工程问题的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对工程问题的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用它们来解决问题。如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
2.学会使用分数除法解决工程问题，能根据工作效率和合作情况求解问题。
3.能解决实际生活中的工程问题，培养学以致用的能力。
二、核心素养目标
《工程问题应用题》教案-2021-2022学年数学六年级上册人教版
1.培养学生运用数学知识解决实际工程问题的能力，提高学生数学应用的核心素养。
六年级小升初奥数工程问题应用题
1、一项工程,甲独做15天完成,乙独做10天完成;现在甲先干一天后,乙接替甲再干一天,然后甲接替乙干一天,乙再接替甲干一天……如此往复,直到完成任务;这项任务需多少天完成2、一项工程,乙单独做20天可以完成;如果第一天甲做,第二天乙做,这样轮流交替做,也恰好用整数天完成;如果第一天乙做,第二天甲做,这样轮流交替做,比上次轮流做要多半天才能完成;这项工程由甲独做几天可以完成3、一项工程,甲独做要50天完成,乙独做要60天完成;现在自某年的3月1日两人一起开工,甲每工作3天则休息1天,乙每工作5天休息1天,完成全部任务的错误!时为几月几日4、一项工程,乙单独做20天可以完成;如果第一天甲做,第二天乙做,这样轮流交替做,也恰好用整数天完成;如果第一天乙做,第二天甲做,这样轮流交替做,比上次轮流做要多半天才能完成;这项工程由甲独做几天可以完成5、一项工程,甲单独做6天可以完成;如果第一天甲做,第二天乙做,这样轮流交替做,恰好也用整数天完成;如果第一天乙做,第二天甲做,这样轮流交替做,比上次轮流做要多错误!天才能完成;这项工程由甲、乙合作合作几天可以完成6、一项工程,甲、乙合作12错误!小时可以完成;如果第一小时甲做,第二小时乙做,这样轮流交替做,也恰好用整数小时完成;如果第一小时乙做,第二小时甲做,这样轮流交替做,比上次轮流做要多错误!小时才能完成;这项工程由甲独做几小时可以完成7、做一批零件,若单独做甲需要6小时,比乙所用的时间多1小时,比丙所用的时间少错误!错误!;如果三人合作,多少小时可以完成8、一份稿件,甲独抄需15小时,乙独抄需12小时,丙独抄需20小时;如果三人合作了2小时后,剩下的由甲、乙两人合抄,还需几小时才能抄完9、一条公路,甲、乙两队合修30天可以完成,如果甲、乙两队合修12天后;余下的由乙队单独修,还要24天才能完成,那么甲、乙单独修各需要多少天才能完成10、生产一批零件,甲独做10天完成,乙独做8天完成,甲先做了若干天,剩下的甲、乙合做2天完成全部任务,甲先做了多少天11、从甲地到乙地,慢车要行15小时,快车要行10小时,慢车从乙地开出5小时后,快车从甲地开出,再经过几小时两车相遇12、一件工作,甲单独做10小时完成,乙的工作效率是甲的1错误!,丙的工作效率是甲的一半,先由甲、乙合做2小时后,丙再加入,还要几小时做完13、一项工程,甲单独做12天可以完成;如果甲单独做3天,余下工作由乙去做,乙再做6天可以做完;问若甲单独做6天,余下工作乙要做多少天14、甲、乙、丙三个工程队一起修一条水渠;甲队单独修需要14天才能完成；乙队单独修要7天可以完成；丙队单独修,只要6天就可以完成;现在先由乙、丙两队干两天后,甲队再加入共同修,还要几天可以完成15、某项工程,甲单独做要20天完成,乙单独做要30天完成,开始时两人合做,中途因甲有事离开几天,经过15天才完成工程;那么甲离开了几天13、某村挖一条水渠,若甲乙两个生产队各单独挖,甲队要12天挖完,乙队要15天挖完;现在甲、乙两队合挖2天后;丙队也来参加,自丙队加入后3天便完工;若丙队单独挖,需几天可完工16、一项工程,由甲、乙合做12天完成;现在由甲、乙合做4天后,余下的工程先由甲独做10天后,再由乙独做5天,正好完成这项工程;求甲、乙独做各需多少天完成17、老刘和小李合做一件工作,要12天完成;如果让老刘先做8天,剩下的工作由小李单独做,小李还要14天才能完成;小李单独做这件工作需几天完成18、挖一条水渠,甲乙两队合挖要6天完成,甲队先挖了3天,乙队接着挖一天,共挖了这条水渠的错误!;两队单独挖各需几天19、甲、乙两个打字员,如果合打一部稿件,12小时可以打完;现在他们合打3小时后,单独由乙继续打,乙又工作了21小时才完成,问甲、乙单独打完各需几小时17、蓄水池有甲、乙、丙三个进水管,注满一池水单开甲管需10小时,单开乙管需12小时,单开丙管需15小时;上午8时3个管同时开,中间甲管因故关闭,结果到下午2时水池被注满;问甲管在何时被关闭20、蓄水池有甲、乙两个进水管,单放甲管需12小时注满,单放乙管需18小时注满;现在要求10小时注满全池,问甲、乙两管至少要合开多长时间21、水池上装有甲、乙两个水管,齐开两管12小时注满水池,但甲管开了5小时,乙管开了6小时,只装了水池的错误!,若单独开甲、乙两管,各要几小时注满水池22、水池安装了一个进水管和一个出水管;单开进水管,6小时可将水池注满；单开出水管,15小时可将满池水排光;现将进水管和出水管同时打开,多少小时可将空水池注满水23、一个大水池有两个进水管,单开甲管1错误!小时可以注满全池；单开乙管1小时可以注满全池;水池还有一个出水管,它40分钟可以放完满池的水;三个管子一齐开,多少分钟可以把水池注满24、一个大蓄水池安装了三个进水管,甲、乙两管同开,5小时可以将这个大水池的空池注满；乙、丙两管同开,只要4小时也可以将空池注满;如果先单独开乙管6小时,然后关闭乙管,并同时打开甲、丙两管,还需2小时才能将空池注满;那么,单独开乙管要多少小时才能将这个蓄水池灌满呢25、一个蓄水池装了一根进水管和三根放水速度一样的出水管;单开一根进水管20分钟可注满空池,单开一根出水管,45分钟可以放完满池的水;现有错误!池水,如果四管齐开,多少分钟后池水还剩错误!26、一个水池,装有甲与乙两个注水管,下面装有丙管放水;池空时,单开甲管5分钟可注满,单开乙管10分钟可注满；水池装满水后,单开丙管15分钟可将水放完;如果在空池时,将甲、乙、丙三管齐开,2分钟关闭乙管,还要多少分钟可注满水池27、摩托车驾驶员以每小时20千米的速度行了60千米,回来时每小时行30千米;往返全程的平均速度是多少千米28、一辆汽车由甲城开往乙城,从出发到两城中点,平均每小时40千米,从中点到乙城,平均每小时行50千米;这辆汽车从甲城开往乙城,平均每小时行多少千米29、一件工作,甲单独做需要12小时完成,甲、乙合作4小时后,乙又用了6小时才完成这件工作,则乙单独做需要几小时30、某工程先由甲单独做63天,再由乙单独做28天即可完成;如果由甲、乙两人合做,需48天完成;现在甲先单独做42天,然后再由乙来单独做,那么还需要做几天31、有一项工程,甲、乙两人合做12小时完工;现由甲1人单独做2小时,乙又继续独做3小时,两人一共做了全部工程的错误!;问这项工程如果由甲、乙两人分别独做,各需几小时完工32、完成一批零件,单独做甲需要10天,乙需要15天,现在甲、乙二人合作4天后,甲离去,乙又做了120个,完成全部任务;这批零件共有多少个33、两个生产小组,加工一批零件,若第一组独立完成需要15小时,第二组独做需要10小时,现在两组合做,完成任务时第一组比第二组少做42个,这批零件有多少个34、师傅和徒弟两人共同完成一批零件的加工任务;他们加工4小时后,师傅完成了这批零件的错误!,他们又加工了8小时,正好完成任务;徒弟每小时加工80个零件;求这批零件一共有多少个。
小升初工程问题(分类)
小升初工程问题(分类)1、一项工程需要甲乙合作8天完成，已知甲乙的工作效率比是2:3，求甲乙各自独立完成这项工程需要多少天？2、一根绳子用去了15米后，剩下的是用去的长度的几倍？求这根绳子的长度。
例1：（简易工程问题）甲队单独完成某项工程需要100天，乙队单独完成需要150天。
甲、乙两队合作50天后，问乙队独立完成这项工程还需要多少天？练：1、甲队单独完成某项工程需要36天，乙队单独完成需要45天。
如果在开始时甲、乙两队合作，中途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做了18天才完成任务。
问：甲队干了多少天？2、甲队单独完成某项工程需要10天，乙队需要15天，丙队需要20天。
开始三个队一起干，因工作需要甲队中途撤走了，结果一共用了6天完成这项工程。
问：甲队实际工作了几天？3、甲、乙二人同时从两地出发，相向而行。
走完全程甲需要60分钟，乙需要40分钟。
出发后5分钟，甲因忘带东西而返回出发点，取东西又耽误了5分钟。
甲再出发后多长时间两人相遇？例2：（统一时间法）甲队每天修8小时，5天完成修路工程；乙队每天修10小时，6天完成修路工程。
两队合作，每天工作6小时，需要几天才能完成？练：1、甲队每天修6小时，4天可以完成修路工程；乙队每天修8小时，5天可以完成修路工程。
现在让甲、乙两队合修，要求2天完成，每天应修几小时？2、甲组3人8天能完成一项工作，乙组4人7天也能完成。
现在由甲组2人和乙组7人合作，需要多少天才能完成？3、货场上有一堆沙子，如果用3辆卡车4天可以完成运输，用4辆马车5天可以完成运输，用20辆小板车6天可以完成运输。
现在用2辆卡车、3辆马车和7辆小板车共同运输两天后，全改用小板车运输，必须在两天内运完。
问：后两天需要多少辆小板车？例3：（整体法）有两个同样大小的仓库A和B，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时分别搬运一个仓库里的货物。
甲和丙在A仓库，乙在B仓库，同时开始搬运。
中途丙转向帮助乙搬运。
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工程问题
工作量=工作效率×工作时间 工作时间=工作量÷工作效率 工作效率=工作量÷工作时间
例1：一项工程，由甲工程队修建，需要做10天完工，乙独做15天完工，二人合做几天完工？
练习1：一批零件，王师傅单独做要15小时完成，李师傅单独做要20小时完成，两人合做，几小时能加工完成？
:例2：一批零件，王师傅单独做要15小时完成，李师傅单独做要20小时完成，两人合做，几小时能加工完这批零件的34 ？
练习2：一项工程，甲独做要12天完成，乙独做要18天完成，二人合做多少天可以完成这件工程的2/3？
例3：一项工程，甲独做要18天，乙独做要15天，二人合做6天后，其余的由乙独做，还要几天做完？
练习3：修一条路，甲单独修需16天，乙单独修需24天，如果乙先修了9天，然后甲、乙二人合修，还要几天？
例4：一批货物，由大、小卡车同时运送，6小时可运完，如果用大卡车单独运，10小时可运完。
用小卡车单独运，要几小时运完？
练习4：一项工程，甲乙合作要6天完成，甲单独做要18天完成，问乙单独做几天完成？
例5：一项工程，甲独做要10天，乙独做要15天，丙独做要20天。
三人合做几天完成？
练习5：一份文件，甲单独打印要3小时，乙单
独打印要4小时，丙单独打印要5小时，甲乙丙三人合作，几小时完成？
例6：:一袋米，甲、乙、丙三人一起吃，8天吃完，甲一人24天吃完，乙一人36天吃完，问丙一人几天吃完？
例7：一项工程，甲独做要12天，乙独做要16天，丙独做要20天，如果甲先做了3天，丙又做了5天，其余的由乙去做，还要几天？
例8：一项工程，甲队独做15天完成，乙队独做12天完成。
现在甲、乙合作4天后，剩下的工程由丙队8天完成。
如果这项工程由丙队独做，需几天完成？
例9：小王和小张同时打一份稿件，5小时打了这份这稿件的
6
5。
如果由小王单独打，10小时可以打完。
求如果由小张单独打，几小时可以打完。
例10：一套家具，由一个老工人做40天完成，由一个徒工做80天完成。
现由2个老工人和4个徒工同时合做，几天可以完成？
例11：一件工作，甲单独做需要12天，乙的工
作效率是甲的
4
3
，两个合做，几天能完成这件
工作的
5
4
？
例12：师徒共同完成一件工作，徒弟独做20天完成，比师傅多用4天完成，如果师徒合作需几天完成？。