2020年四川省高考理科数学模拟试题含答案
2020年四川省成都市高考数学一诊试卷(理科)(含解析)
2020年四川省成都市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数z1与z2＝−3−i（i为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则z1＝（）A.−3iB.−3+iC.3+iD.3−i2.已知集合A＝{−1, 0, m}，B＝{1, 2}，若A∪B＝{−1, 0, 1, 2}，则实数m的值为（）A.−1或0B.0或1C.−1或2D.1或23.若sinθ=√5cosθ，则tan2θ＝（）A.−√53B.√53C.−√52D.√524.某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这l00名同学的得分都在[50, 100]内，按得分分成5组：[50, 60),[60, 70),[70, 80),[80, 90),[90, 100]，得到如图所示的频率分布直方图则这100名同学的得分的中位数为（）A.72.5B.75C.77.5D.805.设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a n≠0，若a5＝3a3，则S9S5=()A.95B.59C.53D.2756.已知α，β是空间中两个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是（）A.若m // α，n // β，且α // β，则m // nB.若m // α，n // β，且α⊥β，则m // nC.若m⊥α，n // β，且α // β，则m⊥nD.若m⊥α，n // β且α⊥β，则m⊥n7.(x2+2)(x−1x)6的展开式的常数项为（）A.25B.−25C.5D.−58.将函数y＝sin(4x−π6)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象向左平移π6个单位长度，得到函数f(x)的图象，则函数f(x)的解析式为（）A.f(x)=sin(2x+π6) B.f(x)=sin(2x−π3)C.f(x)=sin(8x+π6) D.f(x)=sin(8x−π3)9.已知抛物线y2＝4x的焦点为F，M，N是抛物线上两个不同的点．若|MF|+|NF|＝5，则线段MN的中点到y轴的距离为（）A.3B.32C.5 D.5210.已知a=212,b=313,c=ln32，则（）A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a11.已知定义在R上的函数f(x)满足f(2−x)＝f(2+x)，当x≤2时，f(x)＝(x−1)e x−1．若关于x的方程f(x)−kx+2k−e+1＝0有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A.(−2, 0)∪(0, 2)B.(−2, 0)∪(2, +∞)C.(−e, 0)∪(0, +∞)D.(−e, 0)∪(0, e)12.如图，在边长为2的正方形AP1P2P3中，线段BC的端点B，C分别在边P1P2，P2P3上滑动，且P2B＝P2C＝x．现将△AP1B，△AP3C分别沿AB，AC折起使点P 1，P 3重合，重合后记为点P ，得到三棱锥P −ABC ．现有以下结论： ①AP ⊥平面PBC ；②当B ，C 分别为P 1P 2，P 2P 3的中点时，三棱锥P −ABC 的外接球的表面积为6π；③x 的取值范围为(0, 4−2√2)； ④三棱锥P −ABC 体积的最大值为13． 则正确的结论的个数为（ ）A.1B.2C.3D.4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．已知实数x ，y 满足约束条件{x +y −4≤0x −2y +2≥0y ≥0 ，则z ＝x +2y 的最大值为________．设正项等比数列{a n }满足a 4＝81，a 2+a 3＝36，则a n ＝________．已知平面向量a →，b →满足|a →|＝2，|b →|=√3，且b →⊥(a →−b →)，则向量a →与b →的夹角的大小为________．已知直线y ＝kx 与双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)相交于不同的两点A ，B ，F 为双曲线C 的左焦点，且满足|AF|＝3|BF|，|OA|＝b （O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为________．三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．bc．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2−a2=4√23 (Ⅰ)求sinA的值；(Ⅱ)若△ABC的面积为√2，且√2sinB＝3sinC，求△ABC的周长某公司有l000名员工，其中男性员工400名，采用分层抽样的方法随机抽取100名员工进行5G手机购买意向的调查，将计划在今年购买5G手机的员工称为“追光族”，计划在明年及明年以后才购买5G手机的员工称为“观望者”调查结果发现抽取的这100名员工中属于“追光族”的女性员工和男性员工各有20人．(Ⅰ)完成下列2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；(Ⅱ)已知被抽取的这l00名员工中有10名是人事部的员工，这10名中有3名属于“追光族”现从这10名中随机抽取3名，记被抽取的3名中属于“追光族”的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．附：K2=n(ad−bc)2，其中n＝a+b+c+d．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)如图，在四棱锥P−ABCD中，AP⊥平面PBC，底面ABCD为菱形，且∠ABC ＝60∘，E分别为BC的中点．(Ⅰ)证明：BC⊥平面PAE；(Ⅱ)若AB＝2．PA＝1，求平面ABP与平面CDP所成锐二面角的余弦值．已知函数f(x)＝(a−1)lnx+x+ax，a∈R．(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)当a<−1时，证明∀x∈(1, +∞)，f(x)>−a−a2．已知椭圆C:x 22+y2＝1的右焦点为F，过点F的直线（不与x轴重合）与椭圆C相交于A，B两点，直线l:x＝2与x轴相交于点H，过点A作AD⊥l，垂足为D．(Ⅰ)求四边形OAHB（O为坐标原点）面积的取值范围；(Ⅱ)证明直线BD过定点E．并求出点E的坐标请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，已知P是曲线C1:x2+(y−2)2＝4上的动点，将OP绕点O顺时针旋转90∘得到OQ，设点Q的轨迹为曲线C2以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求曲线C1，C2的极坐标方程；(Ⅱ)在极坐标系中，点M(3, π2)，射线θ=π6(ρ≥0)与曲线C1，C2分别相交于异于极点O的A，B两点，求△MAB的面积．[选修45：不等式选讲]已知函数f(x)＝|x−3|．(Ⅰ)解不等式f(x)≥4−|2x+l|；(Ⅱ)若1m +4n=2(m>0, n>0)，求证：m+n≥|x+32|−f(x)．2020年四川省成都市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数z1与z2＝−3−i（i为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则z1＝（）A.−3iB.−3+iC.3+iD.3−i【解答】∵复数z1与z2＝−3−i（i为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，∴复数z1与z2＝−3−i（i为虚数单位）的实部相等，虚部互为相反数，则z1＝−3+i．2.已知集合A＝{−1, 0, m}，B＝{1, 2}，若A∪B＝{−1, 0, 1, 2}，则实数m的值为（）A.−1或0B.0或1C.−1或2D.1或2【解答】集合A＝{−1, 0, m}，B＝{1, 2}，A∪B＝{−1, 0, 1, 2}，因为A，B本身含有元素−1，0，1，2，所以根据元素的互异性，m≠−1，0即可，故m＝1或2，3.若sinθ=√5cosθ，则tan2θ＝（）A.−√53B.√53C.−√52D.√52【解答】若sinθ=√5cosθ，则tanθ=√5，则tan2θ=2tanθ1−tan2θ=−√52，4.某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这l00名同学的得分都在[50, 100]内，按得分分成5组：[50, 60),[60, 70),[70, 80),[80, 90),[90, 100]，得到如图所示的频率分布直方图则这100名同学的得分的中位数为（）A.72.5B.75C.77.5D.80【解答】由频率分布直方图得：[50, 70)的频率为：(0.010+0.030)×10＝0.4，[70, 80)的频率为：0.040×10＝0.4，∴这100名同学的得分的中位数为：70+0.5−0.40.4×10=72.(5)5.设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a n≠0，若a5＝3a3，则S9S5=()A.95B.59C.53D.275【解答】依题意，S9S5=a1+a92×9a1+a52×5=9a55a3，又a5a3=3，∴S9S5=95×3=275，6.已知α，β是空间中两个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是（）A.若m // α，n // β，且α // β，则m // nB.若m // α，n // β，且α⊥β，则m // nC.若m⊥α，n // β，且α // β，则m⊥nD.若m⊥α，n // β且α⊥β，则m⊥n【解答】由m // α，n // β，且α // β，得m // n或m与n异面，故A错误；由m // α，n // β，且α⊥β，得m // n或m与n相交或m与n异面，故B错误；由m⊥α，α // β，得m⊥β，又n // β，则m⊥n，故C正确；由m⊥α，n // β且α⊥β，得m // n或m与n相交或m与n异面，故D错误．7.(x2+2)(x−1x)6的展开式的常数项为（）A.25B.−25C.5D.−5【解答】(x−1x )6的通项公式为T r+1=∁6r x6−r(−1x)r＝(−1)r∁6r x6−2r，r＝0，1，2， (6)则(x 2+2)(x −1x )6的展开式的常数项须6−2r ＝0或者6−2r ＝−2⇒r ＝3或者r ＝4：∴常数项为(−1)4∁64+2×(−1)3∁63=15−40＝−(25)8.将函数y ＝sin(4x −π6)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象向左平移π6个单位长度，得到函数f(x)的图象，则函数f(x)的解析式为（ ） A.f(x)=sin(2x +π6) B.f(x)=sin(2x −π3) C.f(x)=sin(8x +π6) D.f(x)=sin(8x −π3)【解答】函数y ＝sin(4x −π6)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y ＝sin(2x −π6)的图象，再把所得图象向左平移π6个单位长度，得到函数f(x)＝sin(2x +π6)的图象， 9.已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，M ，N 是抛物线上两个不同的点．若|MF|+|NF|＝5，则线段MN 的中点到y 轴的距离为（ ） A.3 B.32C.5D.52【解答】由抛物线方程得，准线方程为：x ＝−1， 设M(x, y)，N(x ′, y ′)，由抛物线的性质得，MF +NF ＝x +x ′+p ＝x +x ′+2＝5， 中点的横坐标为32，线段MN 的中点到y 轴的距离为：32， 10.已知a =212,b =313,c =ln 32，则（ ） A.a >b >c B.a >c >b C.b >a >c D.b >c >a【解答】∵a =√2=√86，b =√33=√96，∴1<a <b ． c ＝ln 32<(1) ∴c <a <b ．故选：C．11.已知定义在R上的函数f(x)满足f(2−x)＝f(2+x)，当x≤2时，f(x)＝(x−1)e x−1．若关于x的方程f(x)−kx+2k−e+1＝0有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A.(−2, 0)∪(0, 2)B.(−2, 0)∪(2, +∞)C.(−e, 0)∪(0, +∞)D.(−e, 0)∪(0, e)【解答】②令f′(x)<0，解得x<0(1)③令f′(x)>0，解得0<x≤(2)∴f(x)在(−∞, 0)上单调递减，在(0, 2]上单调递增，在x＝0处取得极小值f(0)＝−(2)且f(1)＝−1；x→−∞，f(x)→(0)又∵函数f(x)在R上满足f(2−x)＝f(2+x)，∴函数f(x)的图象关于x＝2对称．∴函数y＝f(x)的大致图象如下：关于x的方程f(x)−kx+2k−e+1＝0可转化为f(x)＝k(x−2)+e−(1)而一次函数y＝k(x−2)+e−1很明显是恒过定点(2, e−1)．结合图象，当k＝0时，有两个交点，不符合题意，当k＝e时，有两个交点，其中一个是(1, −1)．此时y＝f(x)与y＝k(x−2)+e−1正好相切．∴当0<k<e时，有三个交点．同理可得当−e<k<0时，也有三个交点．实数k的取值范围为：(−e, 0)∪(0, e)．故选：D．12.如图，在边长为2的正方形AP1P2P3中，线段BC的端点B，C分别在边P1P2，P2P3上滑动，且P2B＝P2C＝x．现将△AP1B，△AP3C分别沿AB，AC折起使点P1，P3重合，重合后记为点P，得到三棱锥P−ABC．现有以下结论：①AP ⊥平面PBC ；②当B ，C 分别为P 1P 2，P 2P 3的中点时，三棱锥P −ABC 的外接球的表面积为6π；③x 的取值范围为(0, 4−2√2)； ④三棱锥P −ABC 体积的最大值为13． 则正确的结论的个数为（ ）A.1B.2C.3D.4【解答】当B ，C 分别为P 1P 2，P 2P 3的中点时，PB ＝PC ＝1，BC =√2， 所以PB 2+PC 2＝BC 2，又AP ⊥平面PBC ，所以PA ，PB ，PC 两两垂直，所以三棱锥P −ABC 的外接球与 以PA ，PB ，PC 为长宽高的长方体的外接球半径相等． 设半径为r ，所以(2r)2＝22+12+12＝6，S ＝4πr 2＝6π．即三棱锥P −ABC 的外接球的表面积为6π，②正确（1）因为P 2B ＝P 2C ＝x ，所以PB ＝PC ＝2−x ，而BC =√2x ，故2(2−x)>√2x ，解得x <4−2√2，③正确（2）因为△PBC 的面积为S =12×√2x ×√(2−x)2−(√22x)2=12√x 4−8x 3+8x 2 设f(x)＝x 4−8x 3+8x 2，f′(x)＝4x 3−24x 2+16x ＝4x(x 2−6x +4)当0<x <3−√5时，f′(x)>0，当3−√5<x <4−2√2时，f′(x)<0 f m ax ＝f(3−√5)>f(1)=12，所以S >12． V P−ABC ＝V A−PBC =13S ×2=23S >13，④错误． 故选：C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．已知实数x ，y 满足约束条件{x +y −4≤0x −2y +2≥0y ≥0 ，则z ＝x +2y 的最大值为________． 【解答】作出实数x ，y 满足约束条件{x +y −4≤0x −2y +2≥0y ≥0 对应的平面区域如图：（阴影部分）由z ＝x +2y 得y =−12x +12z ， 平移直线y =−12x +12z ，由图象可知当直线y =−12x +12z 经过点A 时，直线y =−12x +12z 的截距最大， 此时z 最大． 由{x +y −4=0x −2y +2=0，解得A(2, 2)，代入目标函数z ＝x +2y 得z ＝2×2+2＝6设正项等比数列{a n }满足a 4＝81，a 2+a 3＝36，则a n ＝________． 【解答】依题意{a 1q 3=81a 1q +a 1q 2=36 ，解得{a 1=3q =3 ，∴a n =a 1⋅q n−1=3⋅3n−1＝3n ，已知平面向量a →，b →满足|a →|＝2，|b →|=√3，且b →⊥(a →−b →)，则向量a →与b →的夹角的大小为________． 【解答】∵平面向量a →，b →满足|a →|＝2，b →=√3，且b →⊥(a →−b →)， ∴b →⋅(a →−b →)=b ¯⋅a →−b →2=0，∴a →⋅b →=b →2． 设向量a →与b →的夹角的大小为θ，则2⋅√3⋅cosθ＝3， 求得cosθ=√32，故θ=π6，已知直线y ＝kx 与双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)相交于不同的两点A ，B ，F 为双曲线C 的左焦点，且满足|AF|＝3|BF|，|OA|＝b （O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为________． 【解答】设|BF|＝m ，则|AF|＝3|BF|＝3m ， 取双曲线的右焦点F ′，连接AF ′，BF ′， 可得四边形AF ′BF 为平行四边形，可得|AF ′|＝|BF|＝m ，设A 在第一象限，可得3m −m ＝2a ，即m ＝a ， 由平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和， 可得(2b)2+(2c)2＝2(a 2+9a 2)， 化为c 2＝3a 2，则e =ca =√3．三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2+c 2−a 2=4√23bc ． (Ⅰ)求sinA 的值；(Ⅱ)若△ABC 的面积为√2，且√2sinB ＝3sinC ，求△ABC 的周长 【解答】（1）∵b 2+c 2−a 2=4√23bc ， ∴由余弦定理可得2bccosA =4√23bc ， ∴cosA =2√23， ∴在△ABC 中，sinA =√1−cos 2A =13．（2）∵△ABC 的面积为√2，即12bcsinA =16bc =√2， ∴bc ＝6√2，又∵√2sinB＝3sinC，由正弦定理可得√2b＝3c，∴b＝3√2，c＝2，则a2＝b2+c2−2bccosA＝6，∴a=√6，∴△ABC的周长为2+3√2+√6．某公司有l000名员工，其中男性员工400名，采用分层抽样的方法随机抽取100名员工进行5G手机购买意向的调查，将计划在今年购买5G手机的员工称为“追光族”，计划在明年及明年以后才购买5G手机的员工称为“观望者”调查结果发现抽取的这100名员工中属于“追光族”的女性员工和男性员工各有20人．(Ⅰ)完成下列2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；(Ⅱ)已知被抽取的这l00名员工中有10名是人事部的员工，这10名中有3名属于“追光族”现从这10名中随机抽取3名，记被抽取的3名中属于“追光族”的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．，其中n＝a+b+c+d．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)【解答】（1）由题，2×2列联表如下：∵K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(20×20−40×20)240×60×60×40=259≈2.778<3.841，∴没有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；（2）由题，随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，3，P(X＝0)=C30C73C03=724，P(X＝1)=C31C72C103=2140，P(X＝2)=C32C71C103=740，P(X＝3)=C33C103=1120，∴X的分布列为：∴E(X)＝1×2140+2×740+3×1120=910．如图，在四棱锥P−ABCD中，AP⊥平面PBC，底面ABCD为菱形，且∠ABC ＝60∘，E分别为BC的中点．(Ⅰ)证明：BC⊥平面PAE；(Ⅱ)若AB＝2．PA＝1，求平面ABP与平面CDP所成锐二面角的余弦值．【解答】（1）如图，连接AC，因为底面ABCD为菱形，且∠ABC＝60∘，所以△ABC为正三角形，因为E为BC的中点，所以BC⊥AE，又因为AP⊥平面PBC，BC⊂平面PBC，所以BC⊥AP，因为AP∩AE＝A，AP，AE⊂平面PAE，所以BC⊥平面PAE；（2）因为AP⊥平面PBC，PB⊂平面PBC，所以AP⊥PB，又因为AB＝2，PA＝1，所以PB=√3，由(Ⅰ)得BC⊥PE，又因为E为BC中点，所以PB＝PC=√3，EC＝1，所以PE =√2，如图，过点P 作BC 的平行线PQ ，则PQ ，PE ，PA 两两互相垂直，以P 为坐标原点，PE →,PQ →,PA →的方向分别为xyz 轴的正方形，建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz ，则P(0, 0, 0)，A(0, 0, 1)，B(√2, −1, 0)，C(√2, 1, 0)，D(0, 2, 1)， 设平面BAP 的一个法向量m →=(x, y, z)，又PA →=(0, 0, 1)，PB →=(√2, −1, 0)，由{m →⋅PA →=0m →⋅PB →=0，得√2x −y ＝0，z ＝0，令x ＝1，则m →=(1, √2, 0)， 设平面CDP 的一个法向量n →=(a, b, c)，又PC →=(√2, 1, 0)，PD →=(0, 2, 1)，由{m →⋅PC →=0m →⋅PD →=0，得√2a +b ＝0，2y +z ＝0，令a ＝1，则n →=(1, −√2, 2√2)， 所以cos <m →,n →>=√3⋅√11=−√3333， 即平面ABP 与平面CDP 所成锐二面角的余弦值为√3333．已知函数f(x)＝(a −1)lnx +x +ax ，a ∈R ． (Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)当a <−1时，证明∀x ∈(1, +∞)，f(x)>−a −a 2． 【解答】 （1）f′(x)=a−1x+1−ax 2=x 2+(a−1)x−ax 2=(x−1)(x+a)x 2，因为x >0，a ∈R ，所以当a ≥0时，x +a >0，所以函数在(0, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增；当−1<a <0时，0<−a <1，函数f(x)在(0, −a)上单调递增，在(−a, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增；当a ＝−1时，f′(x)=(x−1)2x 2≥0，函数f(x)在(0, +∞)上单调递增；当a <−1时，−a >1，函数f(x)在(0, 1)上单调递增，在(1, −a)上单调递减，在(−a, +∞)上单调递增；（2）当a <−1时，由(Ⅰ)得，函数f(x)在(1, −a)上单调递减，在(−a, +∞)上单调递增；函数f(x)在(1, +∞)上的最小值为f(−a)＝(a −1)ln(−a)−a −1， 欲证明不等式f(x)>−a −a 2成立，即证明−a −a 2<(a −1)ln(−a)−a −1，即证明a 2+(a −1)ln(−a)−1>0，因为a <−1，所以只需证明ln(−a)<−a −1， 令ℎ(x)＝lnx −x +1(x ≥1)，则ℎ′(x)=1x −1=−(x−1)x≤0，所以函数ℎ(x)在[1, +∞)上单调递减，则有ℎ(x)≤ℎ(1)＝0， 因为a <−1，所以−a >1，所以ℎ(−a)＝ln(−a)+a +1<0，即当a <−1时，ln(−a)<−a −1成立， 所以当a <−1时，任意x ∈(1, +∞)，f(x)>−a −a 2． 已知椭圆C:x 22+y 2＝1的右焦点为F ，过点F 的直线（不与x 轴重合）与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l:x ＝2与x 轴相交于点H ，过点A 作AD ⊥l ，垂足为D ．(Ⅰ)求四边形OAHB （O 为坐标原点）面积的取值范围； (Ⅱ)证明直线BD 过定点E ．并求出点E 的坐标 【解答】（1）由题意F(1, 0)，设直线AB 的方程：x ＝my +1，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，与抛物线联立(m 2+2)y 2+2my −1＝0，因为△＝4m 2+4(m 2+2)>0，y 1+y 2=−2m2+m 2，y 1y 2=−12+m 2，所以|y 1−y 2|=√(y 1−y 2)2−41yy 2=2√2√1+m 22+m 2， 所以四边形OAHB 的面积S =12|OH|⋅|y 1−y 2|＝|y 1−y 2|=2√2⋅√1+m 22+m 2，令t =√1+m 2≥1，S =2√2t1+t =2√2t+1t≤√2，当且仅当t ＝1时，即m ＝0时取等号，所以0<S ≤√2，所以四边形OAHB 的面积的取值范围为(0, √2,](2) B(x2, y2)，D(2, y1)，k BD=y1−y22−x2，所以直线BD的方程：y−y1=y1−y2 2−x2(x−2)，令y＝0，得x=x2y1−2y2y1−y2=my1y2+y1−2y2y1−y2由(Ⅰ)得，y1+y2=−2m2+m2，y1y2=−12+m2，所以y1+y2＝2my1y2，化简得x=12(y1+y2)+y1−2y2y1−y2=32(y1−y2)y1−y2=32，所以直线BD过定点E(32, 0)．请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，已知P是曲线C1:x2+(y−2)2＝4上的动点，将OP绕点O顺时针旋转90∘得到OQ，设点Q的轨迹为曲线C2以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求曲线C1，C2的极坐标方程；(Ⅱ)在极坐标系中，点M(3, π2)，射线θ=π6(ρ≥0)与曲线C1，C2分别相交于异于极点O的A，B两点，求△MAB的面积．【解答】（1）由题意，点Q的轨迹是以(2, 0)为圆心，以2为半径的圆，则曲线C2：(x−2)2+y2＝4，∵ρ2＝x2+y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ；（2）在极坐标系中，设A，B的极径分别为ρ1，ρ2，∴|AB|＝|ρ1−ρ2|＝4|sinπ6−cosπ6|=2(√3−1)．又∵M(3, π2)到射线θ=π6(ρ≥0)的距离ℎ=3sinπ3=3√32．∴△MAB的面积S=12|AB|⋅ℎ=9−3√32．[选修45：不等式选讲]已知函数f(x)＝|x−3|．(Ⅰ)解不等式f(x)≥4−|2x+l|；(Ⅱ)若1m +4n=2(m>0, n>0)，求证：m+n≥|x+32|−f(x)．【解答】（I ）原不等式可化为：|x −3|≥4−|2x +1|，即|2x +1|+|x −3|≥4， 当x ≤−12时，不等式−2x −1−x +3≥4，解得x ≤−23，故x ≤−23； 当−12<x <3时，不等式2x +1−x +3≥4，解得x ≥0，故0≤x <3； 当x ≥3时，不等式2x +1+x −3≥4，解得x ≥0，故x ≥3； 综上，不等式的解集为(−∞, −23]∪[0, +∞)； (II)因为f(x)＝|x −3|，所以|x +32|−f(x)＝||x +32|−|x −3|≤|x +32−x +3|=92，当且仅当(x +32)(x +3)≥0，且|x +32|≥|x −3|时，取等号， 又1m +4n =2(m >0, n >0)，所以(m +n)(1m +4n )≥(1+2)2＝9，当且仅当m ＝2n 时，取得等号， 故m +n ≥92，所以m +n ≥|x +32|−f(x)成立．。
2020年四川省成都市高考数学一模试卷(理科)
2020年四川省成都市高考数学一模试卷（理科）学校:________ 班级:________ 姓名:________ 学号:________一、单选题（共12小题）1.若复数z1与z2＝﹣3﹣i（i为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则z1＝（）A．﹣3i B．﹣3+i C．3+i D．3﹣i2.已知集合A＝{﹣l，0，m），B＝{l，2}，若A∪B＝{﹣l，0，1，2}，则实数m的值为（）A．﹣l或0 B．0或1 C．﹣l或2 D．l或23.若，则tan2θ＝（）A．﹣B．C．﹣D．4.某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这l00名同学的得分都在[50，100]内，按得分分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图则这100名同学的得分的中位数为（）A．72.5 B．75 C．77.5 D．805.设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a n≠0，若a5＝3a3，则＝（）A．B．C．D．6.已知α，β是空间中两个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥nB．若m∥α，n∥β，且α⊥β，则m∥nC．若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥nD．若m⊥α，n∥β且α⊥β，则m⊥n7.的展开式的常数项为（）A．25 B．﹣25 C．5 D．﹣58.将函数y＝sin（4x﹣）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象向左平移个单位长度，得到函数f（x）的图象，则函数f（x）的解析式为（）A．B．C．D．9.已知抛物线y2＝4x的焦点为F，M，N是抛物线上两个不同的点．若|MF|+|NF|＝5，则线段MN的中点到y轴的距离为（）A．3 B．C．5 D．10.已知，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a11.已知定义在R上的函数f（x）满足f（2﹣x）＝f（2+x），当x≤2时，f（x）＝（x﹣1）e x﹣1．若关于x的方程f（x）﹣kx+2k﹣e+1＝0有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A．（﹣2，0）∪（0，2）B．（﹣2，0）∪（2，+∞）C．（﹣e，0）∪（0，+∞）D．（﹣e，0）∪（0，e）12.如图，在边长为2的正方形AP1P2P3中，线段BC的端点B，C分别在边P1P2，P2P3上滑动，且P2B＝P2C＝x．现将△AP1B，△AP3C分别沿AB，AC折起使点P1，P3重合，重合后记为点P，得到三棱锥P ﹣ABC．现有以下结论：①AP⊥平面PBC；②当B，C分别为P1P2，P2P3的中点时，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为6π；③x的取值范围为（0，4﹣2）；④三棱锥P﹣ABC体积的最大值为．则正确的结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（共4小题）13.已知实数x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为．14.设正项等比数列{a n}满足a4＝81，a2+a3＝36，则a n＝．15.已知平面向量，满足||＝2，||＝，且⊥（﹣），则向量与的夹角的大小为．16.已知直线y＝kx与双曲线C：（a＞0，b＞0）相交于不同的两点A，B，F为双曲线C的左焦点，且满足|AF|＝3|BF|，|OA|＝b（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为．三、解答题（共7小题）17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求sin A的值；（Ⅱ）若△ABC的面积为，且sin B＝3sin C，求△ABC的周长18.某公司有l000名员工，其中男性员工400名，采用分层抽样的方法随机抽取100名员工进行5G手机购买意向的调查，将计划在今年购买5G手机的员工称为“追光族”，计划在明年及明年以后才购买5G手机的员工称为“观望者”调查结果发现抽取的这100名员工中属于“追光族”的女性员工和男性员工各有20人．（Ⅰ）完成下列2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；属于“追光族”属于“观望族”合计女性员工男性员工合计100（Ⅱ）已知被抽取的这l00名员工中有10名是人事部的员工，这10名中有3名属于“追光族”现从这10名中随机抽取3名，记被抽取的3名中属于“追光族”的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．附：K2＝，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82819.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AP⊥平面PBC，底面ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，E分别为BC的中点．（Ⅰ）证明：BC⊥平面P AE；（Ⅱ）若AB＝2．P A＝1，求平面ABP与平面CDP所成锐二面角的余弦值．20.已知函数f（x）＝（a﹣1）lnx+x+，a∈R．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＜﹣1时，证明∀x∈（1，+∞），f（x）＞﹣a﹣a2．21.已知椭圆C：+y2＝1的右焦点为F，过点F的直线（不与x轴重合）与椭圆C相交于A，B两点，直线l：x＝2与x轴相交于点H，过点A作AD⊥l，垂足为D．（Ⅰ）求四边形OAHB（O为坐标原点）面积的取值范围；（Ⅱ）证明直线BD过定点E．并求出点E的坐标22.在平面直角坐标系xOy中，已知P是曲线C1：x2+（y﹣2）2＝4上的动点，将OP绕点O顺时针旋转90°得到OQ，设点Q的轨迹为曲线C2以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）在极坐标系中，点M（3，），射线≥0）与曲线C1，C2分别相交于异于极点O的A，B两点，求△MAB的面积．23.已知函数f（x）＝|x﹣3|．（Ⅰ）解不等式f（x）≥4﹣|2x+l|；（Ⅱ）若＝2（m＞0，n＞0），求证：m+n≥|x+|﹣f（x）．2020年四川省成都市高考数学一模试卷（理科）参考答案一、单选题（共12小题）1.【分析】由已知可得复数z1与z2＝﹣3﹣i（i为虚数单位）的实部相等，虚部互为相反数，则z1可求．【解答】解：∵复数z1与z2＝﹣3﹣i（i为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，∴复数z1与z2＝﹣3﹣i（i为虚数单位）的实部相等，虚部互为相反数，则z1＝﹣3+i．故选：B．【知识点】复数代数形式的乘除运算2.【分析】因为A∪B＝{﹣l，0，1，2}，A，B本身含有元素﹣1，0，1，2，根据元素的互异性m≠﹣1，0，求出m即可．【解答】解：集合A＝{﹣l，0，m），B＝{l，2}，A∪B＝{﹣l，0，1，2}，因为A，B本身含有元素﹣1，0，1，2，所以根据元素的互异性，m≠﹣1，0即可，故m＝1或2，故选：D．【知识点】并集及其运算3.【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得要求式子的值．【解答】解：若，则tanθ＝，则tan2θ＝＝﹣，故选：C．【知识点】二倍角的正弦4.【分析】由频率分布直方图求出[50，70）的频率为0.4，[70，80）的频率为0.4，由此能求出这100名同学的得分的中位数．【解答】解：由频率分布直方图得：[50，70）的频率为：（0.010+0.030）×10＝0.4，[70，80）的频率为：0.040×10＝0.4，∴这100名同学的得分的中位数为：70+＝72.5．故选：A．【知识点】频率分布直方图5.【分析】将S9，S5转化为用a5，a3表达的算式即可得到结论．【解答】解：依题意，＝＝，又＝3，∴＝×3＝，故选：D．【知识点】等差数列6.【分析】由考查空间中直线与直线、直线与平面及平面与平面位置关系逐一核对四个选项得答案．【解答】解：由m∥α，n∥β，且α∥β，得m∥n或m与n异面，故A错误；由m∥α，n∥β，且α⊥β，得m∥n或m与n相交或m与n异面，故B错误；由m⊥α，α∥β，得m⊥β，又n∥β，则m⊥n，故C正确；由m⊥α，n∥β且α⊥β，得m∥n或m与n相交或m与n异面，故D错误．故选：C．【知识点】命题的真假判断与应用7.【分析】求出（x﹣）6的通项公式，考虑r＝3，r＝4时的系数，相加求和即可得到所求值．【解答】解：（x﹣）6的通项公式为T r+1＝x6﹣r（﹣）r＝（﹣1）r x6﹣2r，r＝0，1，2， (6)则（x2+2）（x﹣）6的展开式的常数项须6﹣2r＝0或者6﹣2r＝﹣2⇒r＝3或者r＝4：∴常数项为（﹣1）4+2×（﹣1）3＝15﹣40＝﹣25．故选：B．【知识点】二项式定理8.【分析】直接利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．【解答】解：函数y＝sin（4x﹣）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y＝sin（2x﹣）的图象，再把所得图象向左平移个单位长度，得到函数f（x）＝sin（2x+）的图象，故选：A．【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换9.【分析】抛物线到焦点的距离转化为到准线的距离，可求出横坐标之和，进而求出中点的横坐标，求出结果即可．【解答】解：由抛物线方程得，准线方程为：x＝﹣1，设M（x，y），N（x'，y'），由抛物线的性质得，MF+NF＝x+x'+p＝x+x'+2＝5，中点的横坐标为，线段MN的中点到y轴的距离为：，故选：B．【知识点】抛物线的简单性质10.【分析】利用根式的运算性质、幂函数的单调性可得a，b的大小关系，利用对数函数的单调性即可得出c＜1．【解答】解：∵a＝＝，b＝＝，∴1＜a＜b．c＝ln＜1．∴c＜a＜b．故选：C．【知识点】对数值大小的比较11.【分析】本题根据题意先利用一阶导数分析当x≤2时，f（x）＝（x﹣1）e x﹣1．的函数单调性及图象，然后根据f（2﹣x）＝f（2+x）可知函数f（x）关于x＝2对称．即可画出函数y＝f（x）的大致图象．一次函数y＝k（x﹣2）+e﹣1．很明显是恒过定点（2，e﹣1）．则只要考查斜率k的变动情况，当k＝e时，y＝f（x）与y＝k（x﹣2）+e﹣1正好在（1，﹣1）处相切，再根据数形结合法可得k的取值范围，当x＞2时也同理可得．【解答】解：由题意，当x≤2时，f（x）＝（x﹣1）e x﹣1．f′（x）＝xe x．①令f′（x）＝0，解得x＝0；②令f′（x）＜0，解得x＜0；③令f′（x）＞0，解得0＜x≤2．∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，2]上单调递增，在x＝0处取得极小值f（0）＝﹣2．且f（1）＝﹣1；x→﹣∞，f（x）→0．又∵函数f（x）在R上满足f（2﹣x）＝f（2+x），∴函数f（x）的图象关于x＝2对称．∴函数y＝f（x）的大致图象如下：关于x的方程f（x）﹣kx+2k﹣e+1＝0可转化为f（x）＝k（x﹣2）+e﹣1．而一次函数y＝k（x﹣2）+e﹣1很明显是恒过定点（2，e﹣1）．结合图象，当k＝0时，有两个交点，不符合题意，当k＝e时，有两个交点，其中一个是（1，﹣1）．此时y＝f（x）与y＝k（x﹣2）+e﹣1正好相切．∴当0＜k＜e时，有三个交点．同理可得当﹣e＜k＜0时，也有三个交点．实数k的取值范围为：（﹣e，0）∪（0，e）．故选：D．【知识点】函数的零点与方程根的关系12.【分析】根据折起形状的形成条件，分析各结论，即可判断真假．【解答】解：折起后，△CP3A≌△CP A，故AP⊥PC．同理，AP⊥PB，所以AP⊥平面PBC，①正确；当B，C分别为P1P2，P2P3的中点时，PB＝PC＝1，BC＝，所以PB2+PC2＝BC2，又AP⊥平面PBC，所以P A，PB，PC两两垂直，所以三棱锥P﹣ABC的外接球与以P A，PB，PC为长宽高的长方体的外接球半径相等．设半径为r，所以（2r）2＝22+12+12＝6，S＝4πr2＝6π．即三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为6π，②正确；因为P2B＝P2C＝x，所以PB＝PC＝2﹣x，而BC＝，故2（2﹣x）＞，解得x＜4﹣2，③正确；因为△PBC的面积为S＝＝设f（x）＝x4﹣8x3+8x2，f′（x）＝4x3﹣24x2+16x＝4x（x2﹣6x+4）当0＜x＜3﹣时，f′（x）＞0，当3﹣＜x＜4﹣2时，f′（x）＜0f max＝f（3﹣）＞f（1）＝1，所以S＞．V P﹣ABC＝V A﹣PBC＝＞，④错误．故选：C．【知识点】命题的真假判断与应用二、填空题（共4小题）13.【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出实数x，y满足约束条件对应的平面区域如图：（阴影部分）由z＝x+2y得y＝﹣x+z，平移直线y＝﹣x+z，由图象可知当直线y＝﹣x+z经过点A时，直线y＝﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得A（2，2），代入目标函数z＝x+2y得z＝2×2+2＝6故答案为：6．【知识点】简单线性规划14.【分析】将已知条件转化为基本量a1，q的方程组，解方程组得到a1，q，进而可以得到a n．【解答】解：依题意，解得，∴a n＝＝3•3n﹣1＝3n，故答案为：3n．【知识点】等比数列的通项公式15.【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，求出向量与的夹角的大小．【解答】解：∵平面向量，满足||＝2，＝，且⊥（﹣），∴•（﹣）＝•﹣＝0，∴＝．设向量与的夹角的大小为θ，则2••cosθ＝3，求得cosθ＝，故θ＝，故答案为：．【知识点】数量积判断两个平面向量的垂直关系、数量积表示两个向量的夹角16.【分析】取双曲线的右焦点F'，连接AF'，BF'，可得四边形AF'BF为平行四边形，运用双曲线的定义和平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，以及离心率公式可得所求值．【解答】解：设|BF|＝m，则|AF|＝3|BF|＝3m，取双曲线的右焦点F'，连接AF'，BF'，可得四边形AF'BF为平行四边形，可得|AF'|＝|BF|＝m，设A在第一象限，可得3m﹣m＝2a，即m＝a，由平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，可得（2b）2+（2c）2＝2（a2+9a2），化为c2＝3a2，则e＝＝．故答案为：．【知识点】双曲线的简单性质三、解答题（共7小题）17.【分析】（Ⅰ）由已知利用余弦定理可求cos A的值，进而根据同角三角函数基本关系式可求sin A的值．（Ⅱ）利用三角形的面积公式可求bc的值，由正弦定理化简已知等式可得b＝3c，解得b，c的值，根据余弦定理可求a的值，即可求解三角形的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴由余弦定理可得2bc cos A＝bc，∴cos A＝，∴在△ABC中，sin A＝＝．（Ⅱ）∵△ABC的面积为，即bc sin A＝bc＝，∴bc＝6，又∵sin B＝3sin C，由正弦定理可得b＝3c，∴b＝3，c＝2，则a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝6，∴a＝，∴△ABC的周长为2+3+．【知识点】余弦定理18.【分析】（Ⅰ）根据题意，列出列联表，计算K2，查表判断即可；（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，分布求出对应概率，列出分布列，求期望即可．【解答】解：（Ⅰ）由题，2×2列联表如下：属于“追光族”属于“观望族”合计女性员工204060男性员工202040合计4060100∵K2＝＝＝≈2.778＜3.841，∴没有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；（Ⅱ）由题，随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，∴X的分布列为：X0123P∴E（X）＝1×+2×+3×＝．【知识点】离散型随机变量及其分布列、独立性检验、离散型随机变量的期望与方差19.【分析】（Ⅰ）根据菱形基本性质得BC⊥AE，再由线面垂直得BC⊥AP，故BC⊥平面P AE；（Ⅱ）建立如图所示空间直角坐标系，分别求出两平面的法向量即可【解答】解：（Ⅰ）如图，连接AC，因为底面ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，所以△ABC为正三角形，因为E为BC的中点，所以BC⊥AE，又因为AP⊥平面PBC，BC⊂平面PBC，所以BC⊥AP，因为AP∩AE＝A，AP，AE⊂平面P AE，所以BC⊥平面P AE；（Ⅱ）因为AP⊥平面PBC，PB⊂平面PBC，所以AP⊥PB，又因为AB＝2，P A＝1，所以PB＝，由（Ⅰ）得BC⊥PE，又因为E为BC中点，所以PB＝PC＝，EC＝1，所以PE＝，如图，过点P作BC的平行线PQ，则PQ，PE，P A两两互相垂直，以P为坐标原点，的方向分别为xyz轴的正方形，建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz，则P（0，0，0），A（0，0，1），B（，﹣1，0），C（，1，0），D（0，2，1），设平面BAP的一个法向量＝（x，y，z），又＝（0，0，1），＝（，﹣1，0），由，得x﹣y＝0，z＝0，令x＝1，则＝（1，，0），设平面CDP的一个法向量＝（a，b，c），又＝（，1，0），＝（0，2，1），由，得a+b＝0，2y+z＝0，令a＝1，则＝（1，﹣，2），所以cos＜＞＝＝﹣，即平面ABP与平面CDP所成锐二面角的余弦值为．【知识点】与二面角有关的立体几何综合题、直线与平面垂直的判定20.【分析】（Ⅰ）先求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调区间；（Ⅱ）欲证明不等式f（x）＞﹣a﹣a2成立，即证明﹣a﹣a2＜（a﹣1）ln（﹣a）﹣a﹣1，设新函数h（x）＝lnx﹣x+1（x≥1），利用其单调性求出h（x）≤h（1）＝0，进而得证．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝＝＝，因为x＞0，a∈R，所以当a≥0时，x+a＞0，所以函数在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；当﹣1＜a＜0时，0＜﹣a＜1，函数f（x）在（0，﹣a）上单调递增，在（﹣a，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；当a＝﹣1时，f′（x）＝≥0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＜﹣1时，﹣a＞1，函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，﹣a）上单调递减，在（﹣a，+∞）上单调递增；（Ⅱ）当a＜﹣1时，由（Ⅰ）得，函数f（x）在（1，﹣a）上单调递减，在（﹣a，+∞）上单调递增；函数f（x）在（1，+∞）上的最小值为f（﹣a）＝（a﹣1）ln（﹣a）﹣a﹣1，欲证明不等式f（x）＞﹣a﹣a2成立，即证明﹣a﹣a2＜（a﹣1）ln（﹣a）﹣a﹣1，即证明a2+（a﹣1）ln（﹣a）﹣1＞0，因为a＜﹣1，所以只需证明ln（﹣a）＜﹣a﹣1，令h（x）＝lnx﹣x+1（x≥1），则h′（x）＝＝≤0，所以函数h（x）在[1，+∞）上单调递减，则有h（x）≤h（1）＝0，因为a＜﹣1，所以﹣a＞1，所以h（﹣a）＝ln（﹣a）+a+1＜0，即当a＜﹣1时，ln（﹣a）＜﹣a﹣1成立，所以当a＜﹣1时，任意x∈（1，+∞），f（x）＞﹣a﹣a2．【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值、利用导数研究函数的单调性21.【分析】（Ⅰ）由题意设直线AB的方程，带入椭圆整理设而不求得出纵坐标之和与之积，将四边形的面积分成2个三角形，底相同与纵坐标之差的绝对值之积的二分之一，然后又均值不等式可得面积的取值范围；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，B，D的坐标，设直线BD的方程，令纵坐标为零得横坐标是定值，即直线BD过定点．【解答】解：（Ⅰ）由题意F（1，0），设直线AB的方程：x＝my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），与抛物线联立（m2+2）y2+2my﹣1＝0，因为△＝4m2+4（m2+2）＞0，y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，所以|y1﹣y2|＝＝，所以四边形OAHB的面积S＝|OH|•|y1﹣y2|＝|y1﹣y2|＝，令t＝≥1，S＝＝≤，当且仅当t＝1时，即m＝0时取等号，所以0，所以四边形OAHB的面积的取值范围为（0，，]（Ⅱ）B（x2，y2），D（2，y1），k BD＝，所以直线BD的方程：y﹣y1＝（x﹣2），令y＝0，得x＝＝由（Ⅰ）得，y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，所以y1+y2＝2my1y2，化简得x＝＝＝，所以直线BD过定点E（，0）．【知识点】直线与椭圆的位置关系22.【分析】（Ⅰ）由题意，点Q的轨迹是以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，写出其普通方程，再结合ρ2＝x2+y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，可得曲线C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）在极坐标系中，设A，B的极径分别为ρ1，ρ2，求得|AB|＝|ρ1﹣ρ2|，再求出M（3，）到射线≥0）的距离h＝，代入三角形面积公式求△MAB的面积．【解答】解：（Ⅰ）由题意，点Q的轨迹是以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，则曲线C2：（x﹣2）2+y2＝4，∵ρ2＝x2+y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ；（Ⅱ）在极坐标系中，设A，B的极径分别为ρ1，ρ2，∴|AB|＝|ρ1﹣ρ2|＝4||＝．又∵M（3，）到射线≥0）的距离h＝．∴△MAB的面积S＝．【知识点】简单曲线的极坐标方程23.【分析】（I）原不等式可化为：|x﹣3|≥4﹣|2x+1|，即|2x+1|+|x﹣3|≥4，分段讨论求出即可；（II）根据绝对值的性质求出|x+|﹣f（x）≤，m+n，证明即可．【解答】解：（I）原不等式可化为：|x﹣3|≥4﹣|2x+1|，即|2x+1|+|x﹣3|≥4，当x≤时，不等式﹣2x﹣1﹣x+3≥4，解得x，故x；当﹣＜x＜3时，不等式2x+1﹣x+3≥4，解得x≥0，故0≤x＜3；当x≥3时，不等式2x+1+x﹣3≥4，解得x≥0，故x≥3；综上，不等式的解集为（﹣∞，﹣]∪[0，+∞）；（II）因为f（x）＝|x﹣3|，所以|x+|﹣f（x）＝||x+|﹣|x﹣3|≤|x+﹣x+3|＝，当且仅当（x+）（x+3）≥0，且|x+|≥|x﹣3|时，取等号，又＝2（m＞0，n＞0），所以（m+n）（）≥（1+2）2＝9，当且仅当m＝2n时，取得等号，故m+n，所以m+n≥|x+|﹣f（x）成立．【知识点】绝对值不等式的解法、不等式的证明。
2020年四川省高考数学(理科)模拟试卷(5)
优秀
非优秀
合计
男生
40
女生
50
合计
100
参考公式及数据：
??2 =
??(????-??2??)
，??=
(??+??)(??+??)(??+??)(??+??)
??+
??+
??+
??．
P（ K2≥ k0） 0.05
0.01 0.005 0.001
k0
3.841 6.635 7.879 10.828
18．（ 12 分）如图，已知四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 是菱形，∠ ABC＝ 60°， PA⊥平面 ABCD ， AB＝ 2， PD 与平面 ABCD 所成的角为 45°，点 M 为 PC 的中点．
第 1页（共 19页）
A ．2
B．3
C． 4
D．5
??2 ??2
6．（5 分）已知点 （ 1，2）在双曲线 ??2 - ??2 = 1 的渐近线上， 则该双曲线的离心率为 （
）
3 A．
2
B ．√5
√5 C．
2
√6 D．
2
7．（ 5 分）设 x∈R，则“ x＞ 12”是“（1﹣ 2x）（ x+1）＜ 0”的（
应赔偿多少粟？在这个问题中，牛主人比羊主人多赔偿（
）
50 A ． 斗粟
7
10 B ． 斗粟
7
20 C． 斗粟
7
1 【解答】 解：由题意可知 x， y， z 依次成公比为 的等比数列，
2
则 x+y+z＝4z+2z+z＝ 5，
15 D． 斗粟
7
四川省成都市2020届高考一诊试卷数学(理科)(含答案)
四川省成都市2020届高考一诊模拟试卷数学（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x∈N|x＞1}，B={x|x＜5}，则A∩B=（）A. {x|1＜x＜5}B. {x|x＞1}C. {2，3，4}D. {1，2，3，4，5}2.已知复数z满足iz=1+i，则z的共轭复数=（）A. 1+iB. 1-iC.D. -1-i3.若等边△ABC的边长为4，则•=（）A. 8B. -8C.D. -84.在（2x-1）（x-y）6的展开式中x3y3的系数为（）A. 50B. 20C. 15D. -205.若等比数列{a n}满足：a1=1，a5=4a3，a1+a2+a3=7，则该数列的公比为（）A. -2B. 2C. ±2D.6.若实数a，b满足|a|＞|b|，则（）A. e a＞e bB. sin a＞sin bC.D.7.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=4，AB=2，点E，F分别为棱BB1，CC1上两点，且BE=BB1，CF=CC1，则（）A. D1E≠AF，且直线D1E，AF异面B. D1E≠AF，且直线D1E，AF相交C. D1E=AF，且直线D1E，AF异面D. D1E=AF，且直线D1E，AF相交8.设函数，若f（x）在点（3，f（3））的切线与x轴平行，且在区间[m-1，m+1]上单调递减，则实数m的取值范围是（）A. m≤2B. m≥4C. 1＜m≤2D. 0＜m≤39.国际羽毛球比赛规则从2006年5月开始，正式决定实行21分的比赛规则和每球得分制，并且每次得分者发球，所有单项的每局获胜分至少是21分，最高不超过30分，即先到21分的获胜一方赢得该局比赛，如果双方比分为20：20时，获胜的一方需超过对方2分才算取胜，直至双方比分打成29：29时，那么先到第30分的一方获胜．在一局比赛中，甲发球赢球的概率为，甲接发球赢球的概率为，则在比分为20：20，且甲发球的情况下，甲以23：21赢下比赛的概率为（）A. B. C. D.10.函数f（x）=的图象大致为（）A. B.C. D.11.设圆C：x2+y2-2x-3=0，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则线段PC长度的最大值为（）A. B. 2 C. 4 D.12.设函数f（x）=cos|2x|+|sin x|，下述四个结论：①f（x）是偶函数；②f（x）的最小正周期为π；③f（x）的最小值为0；④f（x）在[0，2π]上有3个零点．其中所有正确结论的编号是（）A. ①②B. ①②③C. ①③④D. ②③④二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若等差数列{a n}满足：a1=1，a2+a3=5，则a n=______．14.今年由于猪肉涨价太多，更多市民选择购买鸡肉、鸭肉、鱼肉等其它肉类．某天在市场中随机抽出100名市民调查，其中不买猪肉的人有30位，买了肉的人有90位，买猪肉且买其它肉的人共30位，则这一天该市只买猪肉的人数与全市人数的比值的估计值为______．15.已知双曲线C：x2-=1的左，右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l分别与两条渐进线交于A，B两点，若•=0，=λ，则λ=______．16.若函数f（x）=恰有2个零点，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，消费次第第1次第2次第3次第4次≥5次收费比例10.950.900.850.80该公司从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据如表：消费次第第1次第2次第3次第4次第5次频数60201055假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题：（1）估计该公司一位会员至少消费两次的概率；（2）某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；（3）以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，设该公司为一位会员服务的平均利润为X元，求X 的分布列和数学期望E（X）．18.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．（Ⅰ）求sin B；（Ⅱ）若△ABC的周长为8，求△ABC的面积的取值范围．19.如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的菱形，且∠ADC=60°，，．（Ⅰ）证明：平面CDD1⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角D1-AD-C的余弦值．20.设椭圆，过点A（2，1）的直线AP，AQ分别交C于不同的两点P，Q，直线PQ恒过点B（4，0）．（Ⅰ）证明：直线AP，AQ的斜率之和为定值；（Ⅱ）直线AP，AQ分别与x轴相交于M，N两点，在x轴上是否存在定点G，使得|GM|•|GN|为定值？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由．21.设函数，，．（Ⅰ）证明：f（x）≤0；（Ⅱ）当时，不等式恒成立，求m的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，直线l：（t为参数）与曲线C：（m为参数）相交于不同的两点A，B．（Ⅰ）当α=时，求直线l与曲线C的普通方程；（Ⅱ）若|MA||MB|=2||MA|-|MB||，其中M（，0），求直线l的倾斜角．23.已知函数f（x）=|x+1|+|ax-1|．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≤4的解集；（Ⅱ）当x≥1时，不等式f（x）≤3x+b成立，证明：a+b≥0．答案和解析1.【答案】C2.【答案】A3.【答案】A4.【答案】B5.【答案】B6.【答案】C7.【答案】A8.【答案】C9.【答案】B10.【答案】D11.【答案】C12.【答案】B13.【答案】n14.【答案】0.415.【答案】116.【答案】[，1）∪{2}∪[e，+∞）17.【答案】解：（1）100位会员中，至少消费两次的会员有40人，∴估计一位会员至少消费两次的概率为．（2）该会员第一次消费时，公司获得利润为200-150=50（元），第2次消费时，公司获得利润为200×0.95-150=40（元），∴公司这两次服务的平均利润为（元）．（3）由（2）知，一位会员消费次数可能为1次，2次，3次，4次，5次，当会员仅消费1次时，利润为50元，当会员仅消费2次时，平均利润为45元，当会员仅消费3次时，平均利润为40元，当会员仅消费4次时，平均利润为35元，当会员仅消费5次时，平均利润为30元，故X的所有可能取值为50，45，40，35，30，X的分布列为：X5045403530P0.60.20.10.050.05X数学期望为E（X）=50×0.6+45×0.2+40×0.1+35×0.05+30×0.05=46.25（元）．【解析】（1）100位会员中，至少消费两次的会员有40人，即可得出估计一位会员至少消费两次的概率．（2）该会员第一次消费时，公司获得利润为200-150=50（元），第2次消费时，公司获得利润为200×0.95-150=40（元），即可得出公司这两次服务的平均利润．（3）由（2）知，一位会员消费次数可能为1次，2次，3次，4次，5次，当会员仅消费1次时，利润为50元，当会员仅消费2次时，平均利润为45元，当会员仅消费3次时，平均利润为40元，当会员仅消费4次时，平均利润为35元，当会员仅消费5次时，平均利润为30元，故X的所有可能取值为50，45，40，35，30，即可得出X的分布列．本题考查了频率与概率的关系、随机变量的分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（1）∵且sin（A+C）=sin B∴，又∵∴，∴，∴，∴，∴．（2）由题意知：a+b+c=8，故b=8-（a+c）∴，∴∴，，∴∴，或（舍），即∴（当a=c时等号成立）综上，△ABC的面积的取值范围为．【解析】（1）直接利用三角函数关系式的变换的应用和倍角公式的应用求出结果．（2）利用余弦定理和不等式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．19.【答案】（1）证明：令CD的中点为O，连接OA，OD1，AC，∵，∴D1O⊥DC且又∵底面ABCD为边长为2的菱形，且∠ADC=60°，∴AO=，又∵，∴，∴D1O⊥OA，又∵OA，DC⊆平面ABCD，OA∩DC=O，又∵D1O⊆平面CDD1，∴平面CDD1⊥平面ABCD．（2）过O作直线OH⊥AD于H，连接D1H，∵D1O⊥平面ABCD，∴D1O⊥AD，∴AD⊥平面OHD1，∴AD⊥HD1，∴∠D1HO为二面角D1-AD-C所成的平面角，又∵OD=1，∠ODA=60°，∴，∴，∴．【解析】（1）令CD的中点为O，连接OA，OD1，AC，证明D1O⊥DC，D1O⊥OA，然后证明平面CDD1⊥平面ABCD．（2）过O作直线OH⊥AD于H，连接D1H，说明∠D1HO为二面角D1-AD-C所成的平面角，通过求解三角形，求解即可．本题考查平面与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线PQ、AP、AQ的斜率分别为k，k1，k2，由得（1+4k2）x2-32k2x+64k2-8=0，△＞0，可得：，，，==；（Ⅱ）设M（x3，0），N（x4，0），由y-1=k1（x-2），令y=0，得x3=2-，即M（2-，0），同理，即N（2-，0），设x轴上存在定点G（x0，0），=|（x0-2）2+（x0-2）（）+|=，要使|GM|•|GN|为定值，即x0-2=1，x0=3，故x轴上存在定点G（3，0）使|GM|•|GN|为定值，该定值为1．【解析】（Ⅰ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线y=k（x-4）和椭圆方程，运用韦达定理，直线PQ、AP、AQ的斜率分别为k，k1，k2，运用直线的斜率公式，化简整理即可得到得证；（Ⅱ）设M（x3，0），N（x4，0），由y-1=k1（x-2），令y=0，求得M的坐标，同理可得N的坐标，再由两点的距离公式，化简整理可得所求乘积．本题考查椭圆的方程和运用，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查直线的斜率公式，以及存在性问题的解法，考查化简运算能力，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=-cos x在x∈[0，]上单调递增，f′（x）∈[-1，]，所以存在唯一x0∈（0，），f′（x0）=0．当x∈（0，x0），f′（x）＜0，f（x）递减；当x∈（x0，），f′（x）＞0，f（x）递增．所以f（x）max=max=0，∴f（x）≤0，0≤x≤；（Ⅱ）g′（x）=-sin x+m（x-），g″（x）=-cos x+m，当m≥0时，g′（x）≤0，则g（x）在[0，]上单调递减，所以g（x）min=g（）=，满足题意．当-＜m＜0时，g″（x）在x上单调递增．g''（0）=+m＞0，所以存在唯一x1∈（0，），g″（x1）=0．当x∈（0，x1），g″（x）＜0，则g′（x）递减；当x∈（x1，），g″（x）＞0，则g′（x）递增．而g′（0）=-m＞0，g′（）=0，所以存在唯一x2，g′（x2）=0，当x∈（0，x2），g′（x）＞0，则g（x）递增；x，g′（x）＜0，则g（x）递减．要使g（x）≥恒成立，即，解得m≥，所以≤m＜0，当m≤-时，g″（x）≤0，当x∈[0，]，g′（x）递减，又，g′（x）≥0，所以g（x）在递增．则g（x）≤g（）=与题意矛盾．综上：m的取值范围为[，+∞）．【解析】（Ⅰ）利用f（x）的导数可先判断出其单调区间，比较可求出函数的最大值，即可证；（Ⅱ）对g（x）二次求导判断出m≥0时，可求出g（x）min=g（）=，当-＜m＜0时，与题意矛盾，综合可求出m的取值范围．本题考查利用导数求函数单调区间，求函数最值问题，还涉及函数恒成立问题，属于中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）当α=时，直线l：（t为参数）化为，消去参数t，可得直线l的普通方程为y=x-；由曲线C：（m为参数），消去参数m，可得曲线C的普通方程为y2=2x；（Ⅱ）将直线l：（t为参数）代入y2=2x，得．，．由|MA||MB|=2||MA|-|MB||，得|t1t2|=2|t1+t2|，即，解得|cosα|=．∴直线l的倾斜角为或．【解析】（Ⅰ）当α=时，直线l：（t为参数）化为，消去参数t，可得直线l的普通方程；直接把曲线C的参数方程消去参数m，可得曲线C的普通方程；（Ⅱ）将直线l：（t为参数）代入y2=2x，化为关于t的一元二次方程，利用根与系数的关系结合已知等式列式求得|cosα|=，则直线l的倾斜角可求．本题考查参数方程化普通方程，关键是直线参数方程中参数t的几何意义的应用，是中档题．23.【答案】（Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=|x+1|+|x-1|=．∵f（x）≤4，∴或-1≤x≤1或，∴1＜x≤2或-1≤x≤1或-2≤x＜-1，∴-2≤x≤2，∴不等式的解集为{x|-2≤x≤2}．（Ⅱ）证明：当x≥1时，不等式f（x）≤3x+b成立，则x+1+|ax-1|≤3x+b，∴|ax-1|≤2x+b-1，∴-2x-b+1≤ax-1≤2x+b-1，∴，∵x≥1，∴，∴，∴a+b≥0．【解析】（Ⅰ）将a=1代入f（x）中，然后将f（x）写出分段函数的形式，再根据f（x）≤4分别解不等式即可；（Ⅱ）根据当x≥1时，不等式f（x）≤3x+b成立，可得|ax-1|≤2x+b-1，然后解不等式，进一步得到a+b≥0．本题考查了绝对值不等式的解法和利用综合法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。
2020届四川省高考数学(理)模拟试题(word版,有答案)
普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题），第I 卷1至2页，第II 卷3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟，考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿上答题无效，考试结束 后，将本试题卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1.设集合{|22}A x x =-≤≤，Z 为整数集，则A I Z 中元素的个数是（ ）（A ）3（B ）4（C ）5（D ）62.设i 为虚数单位，则6(i)x +的展开式中含x 4的项为（ ）（A ）－15x 4（B ）15x 4（C ）－20i x 4（D ）20i x 43.为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点（ ） （A ）向左平行移动π3个单位长度（B ）向右平行移动π3个单位长度 （C ）向左平行移动π6个单位长度（D ）向右平行移动π6个单位长度 4.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（ ） （A ）24（B ）48（C ）60（D ）725.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ） （参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30） （ A ）2018年（B ）2019年（C ）2020年（D ）2021年6.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为（ ）（A ）9 （B ）18 （C ）20 （D ）357.设p ：实数x ，y 满足(x –1)2+(y –1)2≤2，q ：实数x ，y 满足1,1,1,y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则p 是q 的（ ）（A ）必要不充分条件（B ）充分不必要条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件8.设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(p 0)y px =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为（ ）（A 3（B ）23（C 2（D ）1 9.设直线l 1，l 2分别是函数f (x )=ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△P AB 的面积的取值范围是（ ） （A ）(0,1) （B ）(0,2) （C ）(0,+∞) （D ）(1,+∞)10.在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA u u u r =DB u u u r =DC u u u r ,DA u u u r g DB u u u r =DB u u u r g DC u u u r =DC u u u r g DA u u u r=-2，动点P ，M满足AP u u u r =1，PM u u u u r =MC u u uu r ，则2BM u u u u u r 的最大值是（ ）（A ）434（B ）494（C 3763+D 37233+第II 卷（非选择题 100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
2020年四川省乐山市高考数学三模试卷(理科)(有答案解析)
2020年四川省乐山市高考数学三模试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.设集合M={-1，0，1}，N={x|x2-2x＜0}，则M∩N=（）A. {0}B. {1}C. {0，1}D. {-1，0，1}2.i是虚数单位，复数在复平面上对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知tanα=，则cos2α的值为（）A. B. C. D.4.已知向量，满足•=0，||=1，||=3，则|-|=（）A. 0B. 2C. 2D.5.已知抛物线y2=ax上的点M（1，m）到其焦点的距离为2，则该抛物线的标准方程为（）A. y2=2xB. y2=4xC. y2=3xD. y2=5x6.设随机变量X的概率分布表如表，则P（|X-2|=1）=（）X1234P mA. B. C. D.7.已知f（x）=e x-x，命题p：∀x∈R，f（x）＞（0），则（）A. p是真命题，￢p：∃x0∈R，f（x0）＜0B. p是真命题，￢p：∃x0∈R，f（x0）≤0C. p是假命题，￢p：∃x0∈R，f（x0）＜0D. p是假命题，￢p：∃x0∈R，f（x0）≤08.已知函数f（x）=A sinωx（A＞0，ω＞0）与g（x）=cosωx的部分图象如图所示，则（）A. A=1，ω=B. A=2，ω=C. A=1，ω=D. A=2，ω=9.函数y=2|x|sin2x的图象可能是（）A. B.C. D.10.三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法，所谓割圆术，就是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法．按照这样的思路，刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.1415和 3.1416这两个近似数值．如图所示是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若输出的n=24，则p的值可以是（参考数据：=1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305，sin3.75°≈0.0654）（）A. 2.6B. 3C. 3.1D. 3.1411.如图，边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC的中点，将△ADE，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使得A、B、C三点重合于点A′，若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（）A. 8πB. 6πC. 11πD. 5π12.设双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=2c，过F2作x轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A，已知，|F2Q|＞|F2A|，点P是双曲线C右支上的动点，且|PF1|+|PQ|＞|恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.在（2x-）6的展开式中，二项式系数最大的项为______．14.若正实数a，b满足2a+b=1，则的最小值为______．15.已知函数f（x）=的定义城为R，数列{a n}（n∈N*）满足a n=f（n），且{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是______．16.在△ABC中，AC=6，BC=7，，O是△ABC的内心，若，其中0≤x≤1，0≤y≤1，则动点P的轨迹所覆盖的面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知等差数列{a n}中，a2=5，a1，a4，a13成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和为S n．18.每年圣诞节，各地的餐馆都出现了用餐需预定的现象，致使--些人在没有预定的情况下难以找到用餐的餐馆，针对这种现象，专家对人们“用餐地点“以及“性别”作出调查，得到的情况如在家用餐在餐馆用餐总计女性30男性40总计50100（）完成上述列联表；（2）根据表中的数据，试通过计算判断是否有99.9%的把握说明“用餐地点”与“性别“有关；（3）若在接受调查的所有人男性中按照“用餐地点”进行分层抽样，随机抽取6人，再在6人中抽取3人赠送餐馆用餐券，记收到餐馆用餐券的男性中在餐馆用餐的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．附：P（K2≥k0）0.050.0100.001k0 3.841 6.63510.828K2=n =a+b+c+d19.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥CD，∠ABC=90°，AD=SD，BC=CD=AB，侧面SAD⊥底面ABCD．（1）求证：平面BD⊥平面SAD；（2）若∠SDA=120°，求二面角C-SB-D的余弦值．20.设椭圆（a＞b＞0）的离心率为，圆O：x2+y2=2与x轴正半轴交于点A，圆O在点A处的切线被椭圆C截得的弦长为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设圆O上任意一点P处的切线交椭圆C于点M，N，试判断|PM|•|PN|是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．21.已知函数f（x）=（1+a）x2-ln x-a+1．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若a＜1，求证：当x＞0时，函数y=xf（x）的图象恒在函数y=ln x+（1+a）x3-x2的图象上方．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C1的参数方程为（θ为参数），以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（Ⅰ）分别求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l交曲线C1于O，A两点，交曲线C2于O，B两点，求|AB|的长．23.已知函数f（x）=|x|+|x-1|．（Ⅰ）若f（x）≥|m-1|恒成立，求实数m的最大值；（Ⅱ）记（Ⅰ）中m的最大值为M，正实数a，b满足a2+b2=M，证明：a+b≥2ab．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：N={x|0＜x＜2}；∴M∩N={1}．故选：B．可求出集合N，然后进行交集的运算即可．考查一元二次不等式的解法，描述法、列举法表示集合的概念，以及交集的运算．2.答案：C解析：解：z==-1-i，所以对应的点在第三象限；故选：C．首先化简复数为最简形式，然后根据复数的实部和虚部符号判断位置．本题考查了复数的运算以及其几何意义；属于基础题．3.答案：D解析：解：cos2α=cos2α-sin2α====．故选：D．利用余弦的二倍角公式可求得cos2α=cos2α-sin2α，进而利用同角三角基本关系，使其除以sin2α+cos2α，分子分母同时除以cos2a，转化成正切，然后把tanα的值代入即可．本题主要考查了同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦函数的公式．解题的关键是利用同角三角函数中的平方关系，完成了弦切的互化．4.答案：D解析：解：∵•=0，||=1，||=3，∴=．故选：D．直接利用向量的模的公式求解．本题主要考查向量的模的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，是基础题．5.答案：B解析：解：由题得点M（1，m）到准线的距离为2，所以1-，∴a=4．所以该抛物线的标准方程为y2=4x．故选：B．根据点M（1，m）到其焦点的距离为2得到点M到准线的距离为2，解方程组即得解．本题主要考查抛物线的定义和标准方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．6.答案：C解析：解：由|X-2|=1可解得x=3或x=1，再由分布列的性质可得m=1-（++）=，∴P（|X-2|=1）=P（X=1）+P（X=3）=+=故选：C．由题意可得X和的值，代入P（|X-2|=1）=P（X=1）+P（X=3）计算可得．本题考查离散型随机变量及其分布列，属基础题．7.答案：B解析：解：f（x）=e x-x，命题p：∀x∈R，f（x）＞（0），是真命题，它的否定是：∃x0∈R，f（x0）≤0．故选：B．判断命题的真假，然后利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的真假的判断，命题的否定，基本知识的考查．8.答案：B解析：解：由图象可知，A=1，=1.5，∴A=2，T=6，又6=T=，∴ω=，故选：B．结合图象可知，A=1，=1.5，然后再由周期公式即可求解ω本题主要考查了利用函数的图象求解函数解析式中的参数，属于基础试题．9.答案：D解析：【分析】本题考查函数的性质和赋值法的应用,属于中档题．直接利用函数的奇偶性和特殊值求出结果．【解答】解：根据函数的解析式y=2|x|sin2x，,得到函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除A和B．当x=时，函数的值为0，故排除C．故选D．10.答案：C解析：解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥p，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥p，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥p，退出循环，输出n的值为24，故p=3.1，故选：C．列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题．11.答案：B解析：【分析】本题考查几何体的折叠问题，几何体的外接球的半径的求法，考查球的表面积，考查空间想象能力．把棱锥扩展为正四棱柱，求出正四棱柱的外接球的半径就是三棱锥的外接球的半径，从而可求球的表面积．【解答】解：由题意可知△A′EF是等腰直角三角形，且A′D⊥平面A′EF．三棱锥的底面A′EF扩展为边长为1的正方形，然后扩展为正四棱柱，三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球，正四棱柱的对角线的长度就是外接球的直径，直径为：=．∴球的半径为，∴球的表面积为=6π．故选：B．12.答案：B解析：【分析】本题考查双曲线的离心率的范围，注意运用双曲线的定义和三点共线的性质，考查运算能力，属于中档题．将x=c代入双曲线的方程，求得A的纵坐标，由|F2Q|＞|F2A|，结合a，b，c和离心率公式可得e的范围；再由双曲线的定义和恒成立思想，讨论F2，P，Q共线时，|PF2|+|PQ|取得最小值|F2Q|，结合离心率公式可得e的范围，再由e＞1，取交集即可得到所求范围．【解答】解：令x=c代入双曲线的方程可得y=±b=±，由|F2Q|＞|F2A|，可得＞，即为3a2＞2b2=2（c2-a2），即有e=＜①又|PF1|+|PQ|＞|F1F2|恒成立，由双曲线的定义，可得2a+|PF2|+|PQ|＞3c恒成立，由F2，P，Q共线时，|PF2|+|PQ|取得最小值|F2Q|=，可得3c＜2a+，即有e=＜②由e＞1，结合①②可得，e的范围是（1，）．故选：B．13.答案：-20x3解析：解：因为（2x-）6的展开式中，共有7项，所以二项式系数最大的项是中间项，即第4项．所以二项式系数最大的项为T4=•（2x）3•=-20x3，故答案为：-20x3．判断二项展开式的项数，即可判断二项式系数最大的项．本题考查二项式定理系数的性质，展开式是奇数项，则中间项二项式系数最大，偶数项，中间两项二项式系数相等且最大，属于基础题．14.答案：解析：解：=（）（2a+b）=2++=．∵a，b是正实数，∴．即的最小值为．当且仅当，即a=b=时“=”成立．故答案为：．把看作（）•1，然后把1换为2a+b，展开后利用基本不等式求最值．本题考查了利用基本不等式求最值，关键是对“1”的代换，利用基本不等式求最值要注意：“一正、二定、三相等”，是基础题．15.答案：（3，+∞）解析：解：由题得，∴，解得a＞3．∴实数a的取值范围是（3，+∞）．故答案为：（3，+∞）．根据已知得到关于a的不等式组，求解不等式组可得实数a的取值范围．本题主要考查分段函数和数列的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，是中档题．16.答案：解析：解：∵，其中0≤x≤1，0≤y≤1，∴动点P的轨迹所覆盖的面积是以OA，OB为邻边的平行四边形∴S=AB×r，其中r为△ABC的内切圆的半径在△ABC中，由余弦定理可得cos A=∴5AB2-12AB-65=0∴AB=5∴∵O是△ABC的内心，∴O到△ABC各边的距离均为r，∴∴r=∴S=AB×r==．故答案为：．根据，其中0≤x≤1，0≤y≤1，可得动点P的轨迹所覆盖的面积是以OA，OB为邻边的平行四边形，S=AB×r，r为△ABC的内切圆的半径，计算AB及r，即可得到结论．本题考查向量知识的运用，考查余弦定理，考查三角形面积的计算，属于中档题．17.答案：解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，a2=5，a1，a4，a13成等比数列，所以a1+d=5，a42=a1a13，即（a1+3d）2=a1（a1+12d），化简得d2=2d，则d=0或d=2，当d=0时，a n=5；当d=2时，a1=5-d=3，a n=3+2（n-1）=2n+1；（2）由（1）知当a n=5时，S n=5n；当 an=2n+1 时，则 Sn==2n+n2．解析：（1）设等差数列{an}的公差为 d，由等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程得到 d 和首项的值，即得数列的通项公式；（2）利用等差数列的前 n 项和公式可得所求和．本题主要考查等差数列的通项的求法和等比数列的性质，考查等差数列的前 n 项和的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．18.答案：解：（1）所求的 2×2 列联表如下：在家用餐在餐馆用餐总计女性103040男性402060总计5050100（2）K2==16.67＞10.828，故有 99.9%的把握说明“用餐地点”与“性别”有关． （3）由题意可知 ξ 的可能值为 0，1，2，P（ξ=0）= = ，P（ξ=1）= = ，P（ξ=2）= = ，∴ξ 的分布列为：ξ012P∴Eξ=0× +1× +2× =1．解析：（1）根据表格中数据的关系，完善 2×2 列联表； （2）根据表中数据，计算观测值，对照临界值即可得出结论； （3）由题意可知 ξ 的可能值为 0，1，2，求出相应的概率值，即可得到 ξ 的分布列和数学期望． 本题考查频率分布直方图的应用，独立性检验以及离散型随机变量的期望的求法，分布列的求法， 考查计算能力．19.答案：证明：（1）因为∠ABC=90°，BC=CD，所以∠CBD=45°，△BCD 是等腰直角三角形， 故 BD= ，因为 AB= ，∠ABD=45°， 所以△ABD∽△BCD，∠ADB=90°，即 BD⊥AD， 因为侧面 SAD⊥底面 ABCD，交线为 AD， 所以 BD⊥平面 SAD，所以平面 SBD⊥平面 SAD． 解：（2）过点 S 作 SE⊥AD，交 AD 的延长线于点 E， 因为侧面 SAD⊥底面 ABCD，所以 SE⊥底面 ABCD， 所以∠SDE 是底面 SD 与底面 ABCD 所成的角，即∠SDE=60°， 过点 D 在平面 SAD 内作 DF⊥AD， 因为侧面 SAD⊥底面 ABCD，所以 DF⊥底面 ABCD，第 11 页，共 15 页如图建立空间直角坐标系 D-xyz，设 BC=CD=1，则 B（0，），C（- ， ，0），S（- ，0， ），则 =（0，）， =（- ，- ， ）， =（- ，- ，0），设 =（x，y，z）是平面 SBD 法向量，则，取 x= ，得 =（），设 =（x，y，z）是平面 SBC 的法向量，则，取 x= ，得 =（），|cos＜ ＞|= = = ， 所以二面角 C-SB-D 的余弦值为 ．解析：（1）取 AB 中点 M，连接 DM，可得 DB⊥AD 又侧面 SAD⊥底面 ABCD，可得 BD⊥平面 SAD， 即可得平面 SBD⊥平面 SAD． （2）以 D 为原点，DA，DB 所在直线分别为 x，y 轴建立空间直角坐标系，求出设面 SCB 的法向量 和面 SBD 的法向量．利用向量法即可求解． 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关 系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.答案：解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为 c，由椭圆的离心率为 知，，∴椭圆 C 的方程可设为．易求得，∴点在椭圆上，∴，解得，∴椭圆 C 的方程为；（Ⅱ）当过点 P 且与圆 O 相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为 ，，由（Ⅰ）知，，，则，∴OM⊥ON．当过点 P 且与圆 O 相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为 y=kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），∴，即 m2=2（k2+1）．第 12 页，共 15 页联立直线和椭圆的方程得 x2+2（kx+m）2=6，∴（1+2k2）x2+4kmx+2m2-6=0，得．∵，，∴OM⊥ON．∴=x1x2+（kx1+m）（kx2+m）==，综上所述，圆 O 上任意一点 P 处的切线交椭圆 C 于点 M，N，都有 OM⊥ON． 在 Rt△OMN 中，由△OMP 与△NOP 相似得，|OP|2=|PM|•|PN|=2 为定值．解析：（Ⅰ）根据离心率得到，代入椭圆方程，根据题意得知点在椭圆上，并将该点的坐标代入椭圆，可求出 b 的值，进而得出 a 的值，从而求出椭圆 C 的方程；（Ⅱ）对圆 O 在点 P 处的切线的斜率是否存在进行分类讨论．一是斜率不存在时，可得出点 M、N 的坐标，从而求出|PM|•|PN|的值；二是斜率存在时，设该切线方程为 y=kx+m，设点 M（x1，y1），N（x2，y2），由直线 MN 与圆 O 相切得出 m 与 k 之间所满足的关系式，并将直线 MN 的方程与椭圆 C 的方程联立，列出韦达定理，利用向量数量积的运算得出，得出 OM⊥ON，由△OMP 与△NOP 相似得，|OP|2=|PM|•|PN|，于是证出结论． 本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆的方程以及韦达定理法在椭圆中的应用，并结合向量运 算一起考查，考查计算能力，属于难题．21.答案：解：（1）函数 f（x）=（1+a）x2-lnx-a+1 的定义域为：（0，+∞）且 f′（x）=2（1+a）xー =当 a≤-1 时，f′（x）＜0，函数 f（x）在（0，+∞）上为增函数；当 a＞-1 时，令 f′（x）=0，解得：x=，此时 f（x）在（0，）上递减，在（，+∞）上递增（2）证明：若 a＜1，则当 x＞0，时，问题转化为不等式： xf（x）＞lnx+（1+a）x3-x2 在（0，+∞）上恒成立， 只需要证明： x[（1+a）x-lnx-a+1]＞lnx+（1+a）x3-x2 在（0，+∞）上恒成立，即证：lnx-x＜- -a+1 在（0，+∞）上恒成立，令 F（x）=lnx-x，g（x）=- -a+1第 13 页，共 15 页因为 F′（x）= -1= ，易得 F（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）上单调递减， ∴F（x）≤F（1）=-1 又因为：g′（x）=- = ，当 0＜x＜e 时，g′（x）＜0，当 x＞e 时，g′（x）＞0， 所以 g（x）在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，所以 g（x）≥g（e）=- -a+1，∵a＜1 时，所以- -a+1＞- ＞-1，即 F（x）max＜g（x）min，所以 lnx-x＜- -a+1 在（0，+∞）上恒成立∴当 x＞0 时，函数 y=xf（x）的图象恒在函数 y=lnx+（1+a）x3-x2 的图象上方． 故答案为：（1）当 a≤-1 时，f′（x）＜0，函数 f（x）在（0，+∞）上为增函数；当 a＞-1 时，令 f′（x）=0，解得：x=，此时 f（x）在（0， （2）见证明．）上递减，在（，+∞）上递增，解析：（1）求出函数求 f′（x），x＞0，由此利用导数性质讨论函数 f（x）的单调性； （2）问题转化为不等式 xf（x）＞lnx+（1+a）x3-x2 在（0，+∞）上恒成立，即证 F（x）max＜g（x） min，恒成立即可． 本题考查函数的单调性质的讨论，考查不等式恒成立问题，考查两函数最值的关系，解题时要认真 审题，注意导数性质和构造法的合理运用．是难题，22.答案：解：（Ⅰ）直线 l 的参数方程为（t 为参数），转换为直角坐标方程为：，所以直线的倾斜角为 ．所以：，曲线 C1 的参数方程为（θ 为参数），转换为直角坐标方程为：（x-2）2+y2=4．转换为极坐标方程为：ρ=4cosθ，曲线 C2 的极坐标方程为，转换为直角坐标的方程为：，整理得：，第 14 页，共 15 页线 l 交曲线 C1 于 O，A 两点，则：，解得：A（2 ， ），直线和曲线 C2 于 O，B 两点则：，解得：B（4， ），所以：|AB|=|ρ1-ρ2|=4-2 ．解析：（Ⅰ）直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换． （Ⅱ）利用直线和曲线的位置关系，建立方程组，利用极径的应用求出结果． 本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学 生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.答案：解：（Ⅰ）由 f（x）=，得 f（x）min=1，要使 f（x）≥|m-1|恒成立， 只要 1≥|m-1|，即 0≤m≤2，实数 m 的最大值为 2； （Ⅱ）由（Ⅰ）知 a2+b2=2，又 a2+b2≥2ab，故 ab≤1， （a+b）2-4a2b2=a2+b2+2ab-4a2b2=2+2ab-4a2b2=-2（ab-1）（2ab+1）， ∵0＜ab≤1，∴（a+b）2-4a2b2=-2（ab-1）（2ab+1）≥0， ∴a+b≥2ab．解析：（Ⅰ）求出 f（x）的最小值，得到关于 m 的不等式，求出 m 的范围即可； （Ⅱ）求出 0＜ab≤1，根据其范围证明即可． 本题考查了绝对值不等式问题，考查不等式的证明，是一道中档题．第 15 页，共 15 页。
2020年四川省高考数学(理科)模拟试卷(6)
4．（ 5 分）设曲线 ??= ????+-21在点 （1，﹣ 2）处的切线与直线
?? ax+by+c＝ 0 垂直， 则 =（
??
）
1 A．
3
1 B．- 3
C． 3
D．﹣ 3
5．（ 5 分）执行如图所示的程序框图， 若输出 k 的值为 8，则判断框内可填入的条件是 （ ）
A
．S≤
3 4
？
B ．S≤ 11 ？ 12
∴ A∩ B＝ {2 ， 8} ．
故选： D ．
??+??
2．（ 5 分）设 x， y∈R，若复数 是纯虚数，则点 P（ x， y）一定满足（
）
??-??
A ．y＝ x
1 B ．??= ??
C． y＝﹣ x
??+?? (??+??)(??+??) ????-1 ??+??
【解答】 解：由
=
??-??
的概率为
．
3
14．（ 5 分）设函数 f（ x）＝ atanx+x +1 （ a∈R ）．若 f（ 2）＝ 5，则 f（﹣ 2）＝
→
→
→→
→
15．（ 5 分）已知 ??=（ 1，2），??=（x，1），且 ??⊥ ??，则与 ??方向相同的单位向量的坐标为
16．（ 5 分）数学家狄里克雷对数论，数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始
解：由 ??=
????+-21，得 ??′ =
(??-2)-(??+1) (??-2) 2
=
-3 (??-2)
2，
D．﹣ 3
∴ y′ |x＝1＝﹣ 3，
2020年四川省绵阳市高考数学一诊试卷(理科)(含解析)
2020年四川省绵阳市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知A ＝{x ∈N ∗|x ≤3}，B ＝{x|x 2−4x ≤0}，则A ∩B ＝（ ） A.{1, 2, 3} B.{1, 2} C.(0, 3] D.(3, 4]2.若b <a <0，则下列结论不正确的是（ ） A.1a <1bB.ab >a 2C.|a|+|b|>|a +b|D.√a 3>√b 33.下列函数中的定义域为R ，且在R 上单调递增的是（ ） A.f(x)＝x 2 B.f(x)=√x C.f(x)＝ln|x|D.f(x)＝e 2x4.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝2，S 3＝3，则a 6＝（ ） A.4 B.5 C.10 D.155.已知函数f(x)=2x2x −1，若f(−m)＝2，则f(m)＝（ ） A.−2 B.−1 C.0D.126.已知命题p ：函数y =2sinx +sinx,x ∈(0,π)的最小值为2√2；命题q ：若向量a →，b →，满足a →⋅b →=b →⋅c →，则a →=c →．下列正确的是（ ） A.￢p ∧q B.p ∨q C.p ∧￢q D.￢p ∧￢q7.若a =(13)0.6，b ＝3−0.8，c ＝ln3，则a ，b ，c 的大小关系（ ） A.b >c >a B.c >a >b C.c >b >a D.a >c >b8.已知x ，y 满足约束条件{2x −y ≤0x −y +1≥0x +y −1≥0 ，则z ＝2x +y 的最小值为（ ）9.设函数f(x)＝ae x −lnx （其中常数a ≠0）的图象在点（1, f(1)）处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为（ ） A.1 B.2 C.ae −1 D.1−2ae10.某数学小组进行社会实践调查，了解某公司为了实现1000万元利率目标，准备制定激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过10万元时，按销售利润超过10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y （单位：万元）随销售利润x （单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．同学们利用函数知识，设计了如下的函数模型，其中符合公司要求的是（参考数据：1.0021000≈7.37，lg7≈0.845）（ ） A.y ＝0.25x B.y ＝1.002x C.y ＝log 7x +1 D.y =tan(x10−1)11.函数f(x)=sin(ωx +π6)(ω>0)在(−π2,π2)上单调递增，且图象关于x ＝−π对称，则ω的值为（ ） A.23 B.53C.2D.8312.在△ABC 中，角A 为π3，角A 的平分线AD 交BC 于点D ，已知AD =2√3，且λAB →=AD →−13AC →(λ∈R)，则AB →在AD →方向上的投影是（ ） A.1 B.32C.3D.3√32二、选择题：本大题共4小题，每小题5分．共20分．13.已知函数f(x)的定义域为R ，且满足f(x)＝f(x +2)，当x ∈[0, 2]时，f(x)＝e x ，则f(7)＝________．14.已知向量a →=(−2, 2)，向量b →的模为1，且|a →−2b →|＝2，则a →与b →的夹角为________．15.2019年10月1日，在庆祝新中国成立70周年阅兵中，由我国自主研制的军用飞机和军用无人机等参阅航空装备分秒不差飞越天安门，状军威，振民心，令世人瞩目．飞行员高超的飞行技术离不开艰苦的训练和科学的数据分析．一次飞行训练中，地面观测站观测到一架参阅直升机以72√2千米/小时的速度在同一高度向正东飞行，如图，第一次观测到该飞机在北偏西60∘的方向上，1分钟后第二次观测到该飞机在北偏东75∘的方向上，仰角为30∘，则直升机飞行的高度为________（结果保留根号）．x2+m(lnx−x)−x有且仅有一个零点，则实数m的取值16.若函数f(x)=12范围________．三、填空题：共70分．17.已知函数f(x)＝(cosx−sinx)2−2sin2x．（1）求函数f(x)的最小正周期与单调递减区间；)，求x0的值．（2）若f(x0)＝−1，且x0∈(−π,−π218.已知数列{a n}满足a n+2+a n=2a n+1,n∈N∗，且a1＝1，a4＝7，数列{b n}的前n项和S n=2n+1−2．（1）求数列{a n}{b n}的通项公式；（2）设c n=2a n+log2b n，求数列{c n}的前n项和T n．19.已知△ABC 中三个内角A ，B ，C 满足√2cosB =sin(A +C)+1． （1）求sinB ；（2）若C −A =π2，b 是角B 的对边，b =√3，求△ABC 的面积．20.已知函数f(x)=lnx−2lnx+2．（1）求函数f(x)在区间[1, +∞)上的值域；（2）若实数x 1，x 2均大于1且满足f(x 1)+f(x 2)=12，求f(x 1x 2)的最小值．21.已知函数f(x)＝e x −ax 2，a ∈R ，x ∈(0, +∞)． （1）若f(x)存在极小值，求实数a 的取值范围； （2）若0<a ≤e 22，求证：f(x)>ax(lnx −x)．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =cosα+√3sinα,y =sinα−√3cosα （α为参数），以坐标原点0为极点，x 的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程ρcos(θ−π6)=3． （1）求曲线C 的普通方程与极坐标方程；（2）设射线OM:θ=π3与曲线C 交于点A ，与直线l 交于点B ，求线段AB 的长．[选修4-5：不等式选讲]23.设函数f(x)＝|x −m|+|x +1|−5(m ∈R)． （1）当m ＝2时，求不等式f(x)≥0的解集； （2）若f(x)≥−2，求实数m 的取值范围．2020年四川省绵阳市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知A ＝{x ∈N ∗|x ≤3}，B ＝{x|x 2−4x ≤0}，则A ∩B ＝（ ） A.{1, 2, 3} B.{1, 2} C.(0, 3] D.(3, 4]【解答】由题意得：A ＝{x ∈N ∗|x ≤3}＝{1, 2, 3}，B ＝{x|x 2−4x ≤0}＝{x|0≤x ≤4}，∴所以A ∩B ＝{1, 2, 3}，2.若b <a <0，则下列结论不正确的是（ ） A.1a <1bB.ab >a 2C.|a|+|b|>|a +b|D.√a 3>√b 3【解答】∵b <a <0，∴1a <1b ，ab >a 2，由函数y =√x 3在R 上单调递增，可得：√b 3<√a 3．设a ＝−2，b ＝−1时，|a|+|b|＝|a +b|与C 矛盾． 因此只有C 错误．3.下列函数中的定义域为R ，且在R 上单调递增的是（ ） A.f(x)＝x 2 B.f(x)=√x C.f(x)＝ln|x|D.f(x)＝e 2x【解答】由f(x)=√x 的定义域为[0, +∞)，不符合题意， C ：函数的定义域x ≠0，不符合题意，A:y ＝x 2在(−∞, 0]单调递减，在[0, +∞)单调递增，不符合题意， 4.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝2，S 3＝3，则a 6＝（ ） A.4 B.5 C.10 D.15【解答】 由题意得{a 3=a 1+2d =2S 3=3a 1+3×22d =3，∴a 6＝a 1+5d ＝5． 5.已知函数f(x)=2x 2x −1，若f(−m)＝2，则f(m)＝（ ）A.−2B.−1C.0D.12【解答】 ∵f(x)=2x2−1，∴f(−x)+f(x)=2−x2−x −1+2x2x −1=11−2x +2x2x −1=1， ∵f(−m)＝2，∴f(m)＝−1．6.已知命题p ：函数y =2sinx +sinx,x ∈(0,π)的最小值为2√2；命题q ：若向量a →，b →，满足a →⋅b →=b →⋅c →，则a →=c →．下列正确的是（ ） A.￢p ∧q B.p ∨q C.p ∧￢q D.￢p ∧￢q【解答】由题意得：命题p ：函数y =2sinx +sinx,x ∈(0,π)，由基本不等式成立的条件，y ≥2√2sinx ⋅sinx =2√2，知等号取不到，所以p 命题是假的； 命题q ：若向量a →，b →，满足a →⋅b →=b →⋅c →，∴b →⋅(a →−c →)=0，b →，a →−c →有可能是零向量或者b →⊥(a →−c →)，所以q 是错误的．∴￢p ∧q ，p ∨q ，p ∧￢q ，是假命题，￢p ∧￢q 为真命题； 7.若a =(13)0.6，b ＝3−0.8，c ＝ln3，则a ，b ，c 的大小关系（ ） A.b >c >a B.c >a >b C.c >b >a D.a >c >b【解答】由指数函数y =(13)x 在R 上单调递减，又a =(13)0.6，b ＝3−0.8=(13)0.8， ∴1>a >b ． c ＝ln3∈(1, 2) ∴c >a >b ．8.已知x ，y 满足约束条件{2x −y ≤0x −y +1≥0x +y −1≥0 ，则z ＝2x +y 的最小值为（ ）A.4B.2C.1D.13先根据x，y满足线性约束条件{2x−y≤0x−y+1≥0x+y−1≥0画出可行域，平移直线0＝2x+y，当直线z＝2x+y过点B(0, 1)时，z取最小值为1．9.设函数f(x)＝ae x−lnx（其中常数a≠0）的图象在点（1, f(1)）处的切线为l，则l在y轴上的截距为（）A.1B.2C.ae−1D.1−2ae【解答】由f(x)＝ae x−lnx，得f′(x)=ae x−1x，∴f′(1)＝ae−1，又x＝1时，f(1)＝ae，∴f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程为y−(ae)＝(ae−1)(x−1)，取x＝0，得在y轴上截距y＝(ae−1)(0−1)+ae＝1．故选：A．10.某数学小组进行社会实践调查，了解某公司为了实现1000万元利率目标，准备制定激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过10万元时，按销售利润超过10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．同学们利用函数知识，设计了如下的函数模型，其中符合公司要求的是（参考数据：1.0021000≈7.37，lg7≈0.845）（）A.y＝0.25xB.y＝1.002xC.y＝log7x+1D.y=tan(x10−1)【解答】由题意得：有两个条件①奖金y≤5；②奖金y≤0.25x．且10≤x≤1000．A选项，当x≥20时，y≥5，不符合题意．B选项，当x＝1000时，1.0021000≈7.37，也超出了5，不符合题意．D选项，当x＝1000时，y=tan(x10−1)=y＝tan(2)是一个负数，不符合题意．11.函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)在(−π2,π2)上单调递增，且图象关于x＝−π对称，则ω的值为（）A.23B.53C.2D.83要使函数f(x)=sin(wx +π6)(w >0)的递增，则−π2+2kπ≤ωx +π6≤π2+2kπ(k ∈Z)，化简得：−2π3ω+2kπω≤x ≤π3ω+2kπω(k ∈Z)，已知在(−π2,π2)单增，所以{−2π3ω≤−π2π3ω≥π2 ，故0≤ω≤23， 又因为图象关于x ＝−π对称，ωx +π6=π2+kπ(k ∈Z)，所以ω=−13−k ， 因为ω>0，此时k ＝−1，所以ω=23，12.在△ABC 中，角A 为π3，角A 的平分线AD 交BC 于点D ，已知AD =2√3，且λAB →=AD →−13AC →(λ∈R)，则AB →在AD →方向上的投影是（ ） A.1 B.32C.3D.3√32【解答】由λAB →=AD →−13AC →可得：AD →=λAB →+13AC →， ∵B ，C ，D 三点共线，故λ+13=1，即λ=23． ∴AD →=23AB →+13AC →．以A 为原点，以AB 为x 轴建立平面直角坐标系如图所示，则D(3, √3)， 设B(m, 0)，C(n, √3n)， 由AD →=23AB →+13AC →得：{3=23m +13n √3=√33n ，解得m ＝3，n ＝3．故B(3, 0)，∴AB →在AD →上的投影为|AB|cos30∘=3√32． 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分．共20分．已知函数f(x)的定义域为R ，且满足f(x)＝f(x +2)，当x ∈[0, 2]时，f(x)＝e x ，则f(7)＝________． 【解答】因为f(x)＝f(x +2)，周期T ＝2， 当x ∈[0, 2]时，f(x)＝e x ，故答案为：e ．已知向量a →=(−2, 2)，向量b →的模为1，且|a →−2b →|＝2，则a →与b →的夹角为________． 【解答】由已知得：|a →|＝2√2，|b →|＝1，|a →−2b →|＝2，a →2−4a →⋅b →+4b →2＝4， ∴设a →与b →的夹角为θ，θ∈[0, π]，a →⋅b →=2＝2√2⋅1⋅cosθ，∴cosθ=√22，θ=π4，2019年10月1日，在庆祝新中国成立70周年阅兵中，由我国自主研制的军用飞机和军用无人机等参阅航空装备分秒不差飞越天安门，状军威，振民心，令世人瞩目．飞行员高超的飞行技术离不开艰苦的训练和科学的数据分析．一次飞行训练中，地面观测站观测到一架参阅直升机以72√2千米/小时的速度在同一高度向正东飞行，如图，第一次观测到该飞机在北偏西60∘的方向上，1分钟后第二次观测到该飞机在北偏东75∘的方向上，仰角为30∘，则直升机飞行的高度为________（结果保留根号）．【解答】如图由题上条件可得线AC 平行于东西方向 ，∠ABD ＝60∘，∠CBD ＝75∘；AC ＝72√2； ∴∠ABC ＝135∘；∠BAC ＝30∘； 在△ABC 中，BC sin∠BAC=AC sin∠ABC⇒BC sin30=72√2sin135⇒BC =72√2×12√22=72．如图D 1C ⊥平面ABC ，在直角△BD 1 C 中，tan∠D 1 BC =D 1C BC=ℎBC ⇒ℎ＝BC ⋅tan∠D BC ＝72×tan∠30∘=72√3若函数f(x)=12x2+m(lnx−x)−x有且仅有一个零点，则实数m的取值范围________．【解答】于是u(x)＝x−lnx在(0, 1)上递减，在(1, +∞)上递增；最小值为u(1)＝1> 0，∴∀x∈(0, +∞)，x−lnx>0(1)由f(x)＝0，即12x2+m(lnx−x)−x＝0，解得：m=12x2−xx−lnx(2)设g(x)=12x2−xx−lnx，y＝m(3)由于函数f(x)=12x2+m(lnx−x)−x有且仅有一个零点（4）所以直线y＝m与函数g(x)有且只有一个交点（5）由g′(x)=12(x−1)(x+2−2lnx)(x−lnx)2，此时不能完全判断导函数值的正负（6）再令ℎ(x)＝x+2−2lnx，得ℎ′(x)=x−2x，当x∈(0, 2)时，ℎ′(x)<0；当x∈(2, +∞)时，ℎ′(x)>0(7)于是，ℎ(x)在(0, 2)上递减，(2, +∞)上递增．那么ℎ(x)≥ℎ(2)＝2(2−ln2)>0．由此，g′(x)的正负只同x−1有关，由此得g(x)在(0, 1)上递减，在(1, +∞)上递增，且g(x)的极小值为g(1)=−12(8)又x→0时，g(x)→0；x→+∞时，g(x)→+∞(9)g(x)图象大值如图所示，结合g(x)的图象，得m≥0或m=−12．故答案为：{m|m=−12或m≥0}．三、填空题：共70分．已知函数f(x)＝(cosx−sinx)2−2sin2x．（1）求函数f(x)的最小正周期与单调递减区间；（2）若f(x0)＝−1，且x0∈(−π,−π2)，求x0的值．【解答】＝1−2sinxcosx−2⋅1−cos2x2＝cos2x−sin2x=√2cos(2x+π4)，所以函数f(x)的最小正周期为T=2π2=π，又函数y＝cosx的单调减区间为[2kπ, 2kπ+π]，k∈Z；令2kπ≤2x+π4≤2kπ+π，k∈Z；解得kπ−π8≤x≤kπ+3π8，k∈Z；所以f(x)的单调递减区间为[kπ−π8, kπ+3π8]，k∈Z；若f(x0)＝−1，则√2cos(2x0+π4)＝−1，即cos(2x0+π4)=−√22，再由x0∈(−π,−π2)，可得2x0+π4∈(−7π4, −3π4)；所以2x0+π4=−5π4，解得x0=−3π4．已知数列{a n}满足a n+2+a n=2a n+1,n∈N∗，且a1＝1，a4＝7，数列{b n}的前n项和S n=2n+1−2．（1）求数列{a n}{b n}的通项公式；（2）设c n=2a n+log2b n，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】数列{a n}满足a n+2+a n=2a n+1,n∈N∗，可得a n+2−a n+1＝a n+1−a n，即{a n}为等差数列，a1＝1，a4＝7，可得公差d=a4−a14−1=2，则a n＝1+2(n−1)＝2n−1；数列{b n}的前n项和S n=2n+1−2，可得b1＝S1＝4−2＝2；n≥2时，b n＝S n−S n−1＝2n+1−2−2n+2＝2n，则b n＝2n，n∈N∗；c n=2a n+log2b n=22n−1+n，则前n项和T n＝(2+8+...+22n−1)+(1+2+...+n)=2(1−4n)1−4+12n(n+1)=23(4n−1)+12(n2+n)．已知△ABC中三个内角A，B，C满足√2cosB=sin(A+C)+1．（1）求sinB；（2）若C−A=π2，b是角B的对边，b=√3，求△ABC的面积．【解答】∵√2cosB=sin(A+C)+1．sin(A+C)＝sinB，∴√2cosB＝sinB+1，又sin2B+cos2B＝1，化为：3sin2B+2sinB−1＝0，1>sinB>0．联立解得sinB=13．C−A=π2，又A+B+C＝π，可得：2A=π2−B，C为钝角．∴sin2A＝cosB．又b=√3，∴asinA =csinC=√313=3√3，∴a＝3√3sinA，c＝3√3sinC，B为锐角，∴cosB=2√23．∴△ABC的面积S=12acsinB=12×3√3sinA×3√3sinC×13=92sinAsin(π2+A)=92sinAcosA=94sin2A=94cosB=94×2√23=3√22．∴∴△ABC的面积S为3√22．已知函数f(x)=lnx−2lnx+2．（1）求函数f(x)在区间[1, +∞)上的值域；（2）若实数x1，x2均大于1且满足f(x1)+f(x2)=12，求f(x1x2)的最小值．【解答】由题意得f(x)=lnx+2−4lnx+2=1−4lnx+2，由x≥1，知lnx≥0，于是lnx+2≥2，∴0<1lnx+2≤12，即−2≤−4lnx+2<0，∴−1≤1−4lnx+2<1，∴f(x)的值域为[−1, 1)．f(x1)+f(x2)＝1−4lnx1+2+1−4lnx2+2=12，所以4lnx1+2+4lnx2+2=32，又x1>1，x2>1，∴lnx1x2＝lnx1+lnx2＝lnx1+2+lnx2+2−4=23[(lnx1+2)+(lnx2+2)]⋅(4lnx1+2+4lnx2+2)−4，=23[8+4(lnx2+2)lnx1+2+4(lnx1+2)lnx2+2]−4≥23(8+2√16)−4=203，当且仅当4(lnx2+2)lnx1+2=4(lnx1+2)lnx2+2，即x1＝x2时，取“＝”，故(x1x2)min＝e 20 3，∵f(x)在(1, +∞)上是增函数，∴f(x1x2)min=713．已知函数f(x)＝e x−ax2，a∈R，x∈(0, +∞)．（1）若f(x)存在极小值，求实数a的取值范围；（2）若0<a≤e 22，求证：f(x)>ax(lnx−x)．【解答】：∵f′(x)＝e x−2ax＝x(e xx−2a)，令H(x)=e xx，则H′(x)=(x−1)e xx，当0<x<1时，H′(x)<0，H(x)单调递减，且x→0时，H(x)→+∞，当x>1时，H′(x)>0，H(x)单调递增，且x→+∞时，H(x)→+∞，∴H(x)min＝H(1)＝e，①当2a≤e即a≤12e时，f′(x)≥0，f(x)在(0, +∞)上单调递增，没有极值，②当a>12e时，存在0<x1<1<x2，使得f′(x1)＝f′(x2)＝0，当x∈(0, x1)，(x2, +∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(x1, x2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，∴x2是f(x)的极小值，综上可得，a>12e要证f(x)>ax(lnx−x)，即证e x>axlnx，①当0<x ≤1时，e x >1，axlnx ≤0，显然成立，②当x >1时，xlnx >0，结合已知0<a ≤12e 2可得，0<axlnx ≤12e 2xlnx ，于是问题转化为e x >12e 2lnx ， 即证2e x−2x−lnx >0，令g(x)=2e x−2x−lnx ，则g′(x)=2e x−2(x−1)−xx 2，令ℎ(x)＝2e x−2(x −1)−x ，则ℎ′(x)＝2xe x−2−1，且在(0, +∞)上单调递增， ∵ℎ′(1)=2e −1<0，ℎ′(2)＝3>0，存在x 0∈(1, 2)使得ℎ(x 0)＝0，即2x 0e x 0−2=1， ∴ℎ(x)在(1, x 0)上单调递减，在(x 0, +∞)上单调递增， 又ℎ(1)＝−1<0，ℎ(2)＝0，故当x ∈(1, 2)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，当x ∈(2, +∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，∴g(x)≥g(2)＝1−ln2>0， 故g(x)>0，得证．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =cosα+√3sinα,y =sinα−√3cosα （α为参数），以坐标原点0为极点，x 的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程ρcos(θ−π6)=3． （1）求曲线C 的普通方程与极坐标方程；（2）设射线OM:θ=π3与曲线C 交于点A ，与直线l 交于点B ，求线段AB 的长． 【解答】 由{x =cosα+√3sinαy =sinα−√3cosα，两边平方作和得，x 2+y 2=(cosα+√3sinα)2+(sinα−√3cosα)2=4， ∴曲线C 的普通方程为x 2+y 2＝4．∵x2+y2＝ρ2，∴ρ2＝4，则ρ＝2；把θ=π3代入ρcos(θ−π6)=3，可得ρcos(π3−π6)=3，解得ρ=2√3．即B点的极径为ρB=2√3．由（1）得ρA＝2，∴|AB|＝|ρA−ρB|=2√3−2．[选修4-5：不等式选讲]设函数f(x)＝|x−m|+|x+1|−5(m∈R)．（1）当m＝2时，求不等式f(x)≥0的解集；（2）若f(x)≥−2，求实数m的取值范围．【解答】当m＝2时，f(x)＝|x−2|+|x+1|−5，当x≤−1，f(x)＝−(x−2)−(x+1)−5≥0，解得x≤−2；当−1<x<2，f(x)＝−(x−2)+x+1−5≥0，无解；当x≥2时，f(x)＝x−2+x+1−5≥0，解得x≥3；综上，不等式的解集为(−∞, −2]∪[3, +∞)．由f(x)＝|x−m|+|x+1|−5≥|(x−m)−(x+1)|−5＝|m+1|−5≥−2，所以|m+1|≥3，即m≥2或者m≤−4．。
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第 1 页 共 10 页 2020年四川省高考理科数学模拟试题
注意事项：
1．本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己
的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上．
2．回答第1卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的
1．已知集合A ＝{x |y ＝lg(2x －x 2)}，B ＝{y |y ＝2x ，x >0}，R 是实数集，则(∁R B )∩A 等于
A ．
B ．(0,1]
C ．(－∞，0]
D ．以上都不对
2. 已知复数1()1ai z a R i
+=∈-，若z 为纯虚数，则a 的值为 A. 1- B. 12- C. 12
D. 1 3．下列说法中，正确的是
A ．命题“若am 2＜bm 2，则a ＜b ”的逆命题是真命题
B ．命题“存在x ∈R ，x 2﹣x ＞0”的否定是：“任意x ∈R ，x 2
﹣x ≤0”
C ．命题“p 或q ”为真命题，则命题“p ”和命题“q ”均为真命题
D ．已知x ∈R ，则“x ＞1”是“x ＞2”的充分不必要条件
4. 若等差数列{a n }的公差d ≠0，前n 项和为S n ，若∀n ∈N *，都有S n ≤S 10，则
A ．∀n ∈N *，都有a n ＜a n ﹣1
B ．a 9•a 10＞0
C ．S 2＞S 17
D ．S 19≥0
5.某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为k ∶5∶
3，现用分层抽样方法抽出一个容量为120的样本，已知A 种型号产品共
抽取了24件，则C 种型号产品抽取的件数为
A.24
B.30
C.36
D.40。