光栅衍射实验的MATLAB仿真

届．别．2012届学号************毕业设计光栅衍射实验的MATLAB仿真姓名吴帅系别、专业物理与电子信息工程系应用物理专业导师姓名、职称姚敏教授完成时间2012年5月16日目录摘要 (I)ABSTRACT (II)1 引言 (1)1.1 国内外研究动态 (1)2理论依据 (2)2.1 平面光栅衍射实验装置 (2)2.2 原理分析 (3)2.3 MATLAB主程序的编写 (6)2.4 仿真图形的用户界面设计 (7)3 光栅衍射现象的分析 (8)3.1 缝数N对衍射条纹的影响 (8)3.2 波长λ对衍射条纹的影响 (10)3.3 光栅常数d对衍射光强的影响 (12)3.4 条纹缺级现象 (13)4 总结 (14)参考文献 (16)致谢 (17)附录 (18)摘要平面光栅衍射实验是大学物理中非常重要的实验，实验装置虽然简单，但实验现象却是受很多因素的影响，例如波长λ，缝数N，以及光栅常数d。

本文利用惠更斯一菲涅耳原理，获得了衍射光栅光强的解析表达式，再运用Matlab软件，将模拟的界面设计成实验参数可调gui界面,能够连续地改变波长λ，缝数N，光栅常数d，从而从这 3个层面对衍射光栅的光强分布和谱线特征进行了数值模拟，并讨论了光栅衍射的缺级现象，不仅有利于克服试验中物理仪器和其他偶然情况等因素给实验带来的限制和误差.并而且通过实验现象的对比，能够加深对光栅衍射特征及规律的理解,这些都很有意义。

关键词：平面光栅衍射；惠更斯-菲涅尔原理；gui；光强分布；MatlabABSTRACTPlane grating diffraction experiment is very important in the College physics experiment, though the experimental equipment is simple, the result will be influenced by many factors, such as wavelengthλand slot number N, and grating number d. The paper takes advantage of Huygens-Fresnel principle, then fugures the fomula of diffraction light intensity distribution. At last the experiment is simulated by Matlab software. The user can continuously change parameter wavelengthλ, slot number N, grating number d, so as to get the different experimental phenomenon，and the missing order of grating diffraction phenomena will be discussed. Not only the matlab simulation can be used to overcome the limitations of experimental equipment and other incidental factors. but also through the comparison of experimental phenomenon, it can deepen the understanding of grating diffraction characters and rules. As a whole, it is of significance.Key words: diffraction of plane gratings; Huygens-Fresnel principle, GUI, and light intensity distribution; Matlab1 引言荷兰物理学家惠更斯（Huygens）是光的波动说创始人，1690年他提出了关于波如何传播的惠更斯原理，即认为波前上每一点都可看为是新的球面子波源，子波的包络面就是新的波前。

根据这一原理可导出反射和折射定律，也能得出光波经过小孔后偏离几何光学规律向各方向传播，但不能区别光的直线传播和衍射现象产生的条件，更不能定量计算沿不同方向传播的光波的振幅，因而无法确定衍射图样中的光强分布，只是一种几何作图法。

1818年，菲涅尔（Fresnel）吸收了惠更斯原理中的“子波”概念，在杨氏干涉实验的启发下对惠更斯原理进行了补充，认为子波之间还存在相干叠加。

这样用干涉原理补充的惠更斯原理称为惠更斯-菲涅尔原理。

1882年，基尔霍夫（Kirchhoff）进一步研究了惠更斯-菲涅尔原理，用标量近似法得到了菲涅尔-基尔霍夫积分公式[1]，为原理奠定了比较完善的数学基础,因而能依此计算得出光栅衍射图样中光强分布规律的数学表达式。

另外光栅衍射光强的计算还可采用另外一种方法—振幅矢量法[2]。

本文将采用的此种方法计算出光强表达式，进一步编写出matlab仿真光栅衍射的主程序。

1.1国内外研究动态对光学实验进行计算机仿真，具有两个方面的意义：一方面，利用仿真结果指导实际实验，前期投资少，且可以减少贵重仪器的损伤等；另一方面，在教学上，将抽象难懂的概念、规律通过实验仿真生动、形象地表现出来，使学生更易于接受，具有明显的教学效果[3]。

波动光学实验内容比较抽象，如不借助实验，学生很难理解。

国外著名的光学教材配有大量的图片(包括计算和实验获得的图片)，来形象地说明光学中抽象难懂的理论。

波动光学实验一般需要稳定的环境，高精密的仪器，因此在教室里能做的光学实验极为有限，而且也受到授课时间的限制。

为了克服光学实验对实验条件要求比较苛刻的缺点，可采用计算机仿真光学实验，特别是光学演示实验，配合理论课的进行，把光学课程涉及的大多数现象展示在学生面前，以加深对光学内容的理解。

我国光学教材在利用计算机仿真方面相对落后，至今没有同类教材出现。

在2003年北京举行的网络教育软件展上，有关光学实验的网络教学软件都偏重于理论分析方面，对计算机应用于光学实验的仿真方面未给与充分重视[4]。

在计算机日益普及的今天，计算机仿真技术作为虚拟实验手段己经成为计算机应用的一个重要分支，它是继理论分析和物理实验之后，认识客观世界规律性的一种新型手段。

1.2 Matlab 简介Matlab 是MathWorks 公司于1982年推出的一套高性能的数值计算和可视化软件。

它集数值分析、矩阵运算、信号处理和图形显示于一体，构成了一个方便、界面友好的用户环境。

它还包括了ToolBox 工具箱)的各类问题的求解工具，可用来求解特定学科的问题。

其特点是:(1)可扩展性:Matlab 最重要的特点是易于扩展，它允许用户自行建立指定功能的M 文件。

对于一个从事特定领域的工程师来说，不仅可利用Matlab 所提供的函数及基本工具箱函数，还可方便地构造出专用的函数，从而大大扩展了其应用范围。

当前支持Matlab 的商用Toolbox 工具箱)有数百种之多。

而由个人开发的Toolbox 则不可计数。

(2)易学易用性:Matlab 不需要用户有高深的数学知识和程序设计能力，不需要用户深刻了解算法及编程技巧。

(3)高效性:Matlab 语句功能十分强大，一条语句可完成十分复杂的任务。

如fft 语句可完成对指定数据的快速傅里叶变换，这相当于上百条C 语言语句的功能。

它大大加快了工程技术人员从事软件开发的效率。

据MathWorks 公司声称，Matlab 软件中所包含的Matlab 源代码相当于70万行C 代码。

由于Matlab 具有如此之多的特点，在欧美高等院校，Matlab 己成为应用于线性代数、自动控制理论、数理统计、数字信号处理、时间序列分析、动态系统仿真等高级课程的基本教学工具;在研究单位、工业部门，Matlab 也被广泛用于研究和解决各种工程问题[5]。

2理论依据2.1平面光栅衍射实验装置平面衍射光栅是由大量相互平行、等宽、等距的狭缝(或刻痕)组成；它能达到的刻槽密度需要具备亚微米的加工设备和工艺技术，达到纳米级的精度要求，是属于光、机、电结合的高技术项目．以衍射光栅为色散元件组成摄谱仪或单色仪是物质光谱分析的极其精密的光谱分析仪器，在研究谱线结构、特征谱线的波长和强度，特别是研究物质结构和对元素作定量与定性的分析中有极其广泛的应用。

平面光栅衍射的实验装置如图1所示，S 为点光源或与纸面垂直的狭缝光源，它位于透镜1L 的焦平面上，屏幕放在物镜2L 的焦平面上。

该装置衍射屏上有一系列等宽等间隔的平行狭缝，设每条缝的宽度为b ，相邻两缝问不透明部分的宽度为a,则相邻狭缝上对应点之问的距离(即光栅常数)d=a+b ，其倒数表示每毫米内有多少条狭缝，称为光栅密度；θ是衍射角，透射光栅总缝数为N 。

图2-1 光栅衍射实验装置2.2原理分析本文用一种在普通物理阶段严格计算光栅衍射光强分布的振幅矢量方法[5]，此方法回避了困难的菲涅耳－基尔霍夫积分，该积分复杂难懂，故不采纳。

用振幅矢量法计算有两个显著的优点，一个是物理概念清楚，另一个是计算简单严格。

实际上, 衍射的本质就是无穷多个子波干涉的结果. 下面通过把光栅的N 个缝的每一个缝都分割成n 个子波带, 最后让n →∞, 考虑这无穷多个子波的干涉, 用振幅矢量法严格计算出光栅衍射的光强分布表达式. 设这N 个缝的宽度都是b, 相距都为a,波长为λ的光垂直照射到这N 个缝前时, 每条缝单独衍射时的最大光强为0I ,其相应的振幅为0A 。

现在将每条缝分为n 等份, 每一等份的振幅都为0C = 0A /n . 当衍射光以θ角出射时, 以第1个缝的第1等份子波的位相为零作基准, 则第2, 3, ⋯⋯, n 等份子波与基准子波的位相差为ϕ∆, 2ϕ∆ ⋯⋯, (n -1)ϕ∆。

2sin b n πθϕλ∆=，第二个缝的第1，2，3，…，n 等分子波与基准子波的位相差为α∆，α∆+ϕ∆，α∆+2ϕ∆，……，α∆+（n-1）ϕ∆.。

()2sin a b παθλ+∆=。

第j 个缝的第k 等份子波与基准子波的位相差为()()11j k αϕ-∆+-∆⎡⎤⎣⎦ 其振幅0C 的x 和y 分量为：()()0cos 11xjk A C j k αϕ=-∆+-∆⎡⎤⎣⎦ (1)()()0sin 11yjk A C j k αϕ=-∆+-∆⎡⎤⎣⎦ (2)设所有子波带在屏上干涉的合振幅为n A , 并且把n A 表示成下式, 省略等式右边的下标n()()222n x y x y x y A A A A iA A iA =+=+-其中i 为虚数单位，而()()01111cos 11m n m nx xjk j k j k A A C j k αϕ======-∆+-∆⎡⎤⎣⎦∑∑∑∑ (3)()()01111sin 11m n m ny yjk j k j k A A C j k αϕ======-∆+-∆⎡⎤⎣⎦∑∑∑∑ (4)于是得到屏上的光强分布，得：()()()()1111200111120222021*******sin sin 22sin sin 22N n N n j k j k i i nj k j k iN in iN in i i i i I A C e C e e e e e C e e e e N n A n αϕαϕαϕαϕαϕαϕαϕαϕ-∆+-∆-∆+-∆⎡⎤⎡⎤-⎣⎦⎣⎦====∆∆-∆-∆∆∆-∆-∆⎧⎫⎧⎫∝=•⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭----=•••----∆∆⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=•⎢⎥⎢⎥∆∆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑ (5)上式运用了复变函数论的欧拉公式以及等比数列的求和公式。