北师大版公式法 PPT
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初中数学北师大版九年级上册《用公式法解一元二次方程第一课时》课件
∴原方程没有实数根.
3. 解方程：2x2 -
x+3=0
解： 这里 a = 2 , b = - 3 3 , c = 3 . ∵ b2 - 4ac = 27 - 4×2×3 = 3 > 0 ,
∴ x3 3 3.
4
即 x1= 3 x2= 3 .
2
4.不解方程，判别方程5y2+1=8y的根的情况. 解：化为一般情势为：5y2-8y+1=0.
(2) Δ = (-1 )2 – 4×2×2= -15 < 0 , ∴无的实数根.
(3) Δ = ( 12 )2 – 4×9×4= = 0, ∴有两个相等的实数根.
根的判别式使用方法 1、化为一般式，确定a,b,c的值.
2、计算的值，确定 的符号.
3、判别根的情况，得出结论.
例3 若关于x的一元二次方程(k-1)x2+4x+1=0有两个不相 等的实数根，则k的取值范围是（ B ） A. k＜5 B.k＜5且k≠1 C. k≤5且k≠1 D. k＞5
解：将原方程化为一般情势,得
4x2 -4x + 1 = 0 .
这里a = 4 , b = -4, c = 1.
∵ b2 - 4ac = ( -4 )2 - 4×4×1 = 0 ,
∴
x (4) 0 1 . 24 2
即
x1 = x2 =
1. 2
例2 解方程：4x2-3x+2=0
解： a 4,b 3,c 2. b2 4ac (3)2 4 4 2 9 32 23 0.
对于一元二次方程 ax2 + bx +c = 0(a≠0) , 当 b2- 4ac ≥ 0时，
x b b2 4ac 2a
北师大版2.3公式法解一元二次方程PPT课件 第二课时
2014年8月18日星期 一6时56分36秒
3
学习是件很愉快的事
公式法
程为一般形式;
例1、用公式法解方程 5x2-4x-12=0 1.变形:化已知方 解: a 5, b 4, c 12
b 4ac 4 4 5 (12) 256 0.
2 2
a=1，b=-2 b2-4ac=(-2 ∴x= x1 = x 2 =
2014年8月18日星期 一6时56分36秒
6
二，思考题：m取什 么值时，方程
2 2 x +(2m+1)x+m -4=0
有两个相等的实数解
2014年8月18日星期 一6时56分36秒 7
三，想一想：
关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。 当a，b，c 满足什么条件时，方程的两根为互为相反数？
一元二次方程 解：
x1 b
ax 2 bx c 0 a 0 的解为：
b 2 4ac b b 2 4ac , x2 2a 2a
x1 x2
b b 2 4ac b b 2 4ac 2a 2a
b b 2a 2a
2014年8月18日星期 一6时56分36秒
2014年8月18日星期 一6时56分36秒 10
五，根据题意，列出方程： 1.《九章算术》“勾股”章中有一题:“今有户高多于广六尺八寸 ,两相去适一丈.问户高,广各几何.” 大意是说:已知长方形门的高比宽多6尺8寸,门的对角线长1丈, 那么门的高和宽各是多少? 解：设门的高为 x 尺，根据题意得 2 10 x x 2 x 6.8 102.
2014年8月18日星期 一6时56分36秒
3
学习是件很愉快的事
公式法
程为一般形式;
例1、用公式法解方程 5x2-4x-12=0 1.变形:化已知方 解: a 5, b 4, c 12
b 4ac 4 4 5 (12) 256 0.
2 2
a=1，b=-2 b2-4ac=(-2 ∴x= x1 = x 2 =
2014年8月18日星期 一6时56分36秒
6
二，思考题：m取什 么值时，方程
2 2 x +(2m+1)x+m -4=0
有两个相等的实数解
2014年8月18日星期 一6时56分36秒 7
三，想一想：
关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。 当a，b，c 满足什么条件时，方程的两根为互为相反数？
一元二次方程 解：
x1 b
ax 2 bx c 0 a 0 的解为：
b 2 4ac b b 2 4ac , x2 2a 2a
x1 x2
b b 2 4ac b b 2 4ac 2a 2a
b b 2a 2a
2014年8月18日星期 一6时56分36秒
2014年8月18日星期 一6时56分36秒 10
五，根据题意，列出方程： 1.《九章算术》“勾股”章中有一题:“今有户高多于广六尺八寸 ,两相去适一丈.问户高,广各几何.” 大意是说:已知长方形门的高比宽多6尺8寸,门的对角线长1丈, 那么门的高和宽各是多少? 解：设门的高为 x 尺，根据题意得 2 10 x x 2 x 6.8 102.
2014年8月18日星期 一6时56分36秒
八年级数学北师大版初二下册--第四单元 4.3《公式法》课件
(1)解：16 25x2
42 (5x)2
=(4+5x)(4-5x)
第一步，将两 项写成平方的 形式；找出a、b 第二步，利用
a2-b2=(a-b)(a+b) 分解因式
学会了吗？
(2)4a2 1 b2 9
(2a)2 (1 b)2
第一步， 将两项写 成平方的 形式；找 出a、b
3
第二步，
判断下列各式能否用平方 差公式分解因式：
(1) a2+4b2
(
)
(2) -x2-4y2
(
)
(3) x-4y2
(
)
(4) -4+0.09m2 ( )
答：一个多项式如果是由两项组成，两部 分是两个式子(或数)的平方，并且这两 项的符号为异号.
运用a2-b2=(a+b)(a-b)公式时,如何区分 a、b?
反思总结
1、今天主要学习了利用平 方差公式进行因式分解
2、当多项式的各项有公因 式时,通常先提出这个公因式, 然后进行因式分解
在多项式x²+y², x²-y²,x²+y², -x²-y²中,能利用平
方差公式分解的有( B )
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
判断正误
(1)x²+y²=(x+y)(x+y) ( ) (2)x²-y²=(x+y)(x-y) ( ) (3)-x²+y²=(-x+y)(-x-y)( )
(4)-x²-y²=-(x+y)(x-y)( )
16-x⁴分解因式( C )
A.(2-x)⁴ B.(4+x²)(4-x²) C.(4+x²)(2+x)(2-x) D.(2+x)³(2-x)
《用公式法求解一元二次方程》PPT课件 (公开课获奖)2022年北师大版 (7)
在一块长为１６m，宽为１２m的矩形荒地 上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒 地面积的一半。你觉得这个方案能实现吗？若
可以实现，你能给出具体的设计方案吗？
练习巩固
在一幅长90cm、宽60cm的风景画的 四周外围镶上一条宽度相同的金色 纸边，制成一幅挂图，如果要求风 景画的面积是整个挂图面积的72%， 那么金边的宽应该是多少？
例 填空
1 4
___ ____
11700 ___ ___
3018
____
________
201536 ___________
想一想:
时钟在8点20分 时,时钟的时针与 分针所成的角是多 少度?
4时15分呢？ 2时48分呢？
钟表上的数学
确定相应钟表上时针与分针所成的
角度
4：00
第二章 一元二次方程
第3节 用公式法求解一元二次方程(二)
学习目标
• 知道有些一元二次方程没有根， 会用判别式判定一个一元二次 方程根的情况
• 熟悉用求根公式解一元二次方 程
温故知新
1.你能举例说明什么是 方法求解一元二次方程？ 怎样用公式法求解一元二次方程？
A 共有10个角
D
E
E D
C
B
B
图1
C
O
A
图2
1、角是指( ) A.由两条线段组成的图形; B.由两条射线组成的图形 C.由两条直线组成的图形; D.有公共端点的两条射线组成的图形
2、如图所示，从点O出发有
三条射线，则图中有 个
角，它们分别是
．
C B
OA
D O AC B
(3)哈尔滨在北京的北 偏东大约多少度？
钟表上有12大格， 每小时时针走1大
北师大版八年级数学下册《公式法(第1课时)》精品课件
把乘法公式反过来用,可以把符 合公式特点的多项式因式分解, 这种方法叫公式法。
新知讲解 平方差公式的特点： a2−b2= (a+b)(a−b) ①左边 两个数的平方差；只有两项
②右边 两数的和与差相积 思考：什么形式的多项式可以用平方差公式分解因式？ （1）两项 （2）平方 （3）异号
新知讲解
你对平方差公式认识有多深？
新知讲解
1：选择题
1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（ D ）
A. 4m²+n² B. 4m- (-n)² C. -4 m²-n³ D. - m²+ n²
2) -4a² +1分解因式的结果应是 （ D ）
A. -(4a+1)(4a-1)
B. -( 2a –1)(2a –1)
C. -(2a +1)(2a+1)
D. -(2a+1) (2a-1)
新知讲解
2：把多项式9(a+b)2-4(a-b)2因式分解. 解：9(a+b)2-4(a-b)2
=[3(a+b)]2-[2(a-b)]2
=[3(a+b)+2(a-b)] [3(a+b)-2(a-b)] =(3a+3b+2a-2b) (3a+3b-2a+2b) =(5a+b)(a+5b)
公式法（一）
北师大版八年级下册
新知导入
问题1：你能叙述多项式因式分解的定义吗？
把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这样 式子的变形，叫做因式分解(或分解因式)。 问题2：我们已学过哪一种分解因式的方法?
提公因式法 问题3：把下列各式因式分解 (1)am-an (2)7x3-21x2 (3)a(x-y)+b(x-y)
新知讲解 平方差公式的特点： a2−b2= (a+b)(a−b) ①左边 两个数的平方差；只有两项
②右边 两数的和与差相积 思考：什么形式的多项式可以用平方差公式分解因式？ （1）两项 （2）平方 （3）异号
新知讲解
你对平方差公式认识有多深？
新知讲解
1：选择题
1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（ D ）
A. 4m²+n² B. 4m- (-n)² C. -4 m²-n³ D. - m²+ n²
2) -4a² +1分解因式的结果应是 （ D ）
A. -(4a+1)(4a-1)
B. -( 2a –1)(2a –1)
C. -(2a +1)(2a+1)
D. -(2a+1) (2a-1)
新知讲解
2：把多项式9(a+b)2-4(a-b)2因式分解. 解：9(a+b)2-4(a-b)2
=[3(a+b)]2-[2(a-b)]2
=[3(a+b)+2(a-b)] [3(a+b)-2(a-b)] =(3a+3b+2a-2b) (3a+3b-2a+2b) =(5a+b)(a+5b)
公式法（一）
北师大版八年级下册
新知导入
问题1：你能叙述多项式因式分解的定义吗？
把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这样 式子的变形，叫做因式分解(或分解因式)。 问题2：我们已学过哪一种分解因式的方法?
提公因式法 问题3：把下列各式因式分解 (1)am-an (2)7x3-21x2 (3)a(x-y)+b(x-y)
用公式法求解一元二次方程课件北师大版数学九年级上册
程ax2＋bx＋ Δ=b2－4ac=0 方程有两个相等的实数根
c=0
Δ=b2－4ac<0 方程没有实数根
知2－讲
特别说明：(1)由Δ=b2－4ac 的符号可判定ax2＋bx＋c=
0(a ≠ 0)的根的情况. 反之，由ax2＋bx＋c= 0(a ≠ 0)的根的
情况也可得到Δ=b2－4ac 的符号.
(2)一元二次方程有实数根(或有两个实数根)包括有两
2k－1=0 的根的情况为(
A. 有两个相等的实数根
B. 没有实数根
C. 有两个不等的实数根
D. 无法判断
)
知2－练
思路导引：
解：∵ a=1，b=－2(k＋1)，c=－k2＋2k－1，
∴ Δ =b2－4ac=［－2(k＋1)］2－4×1×(－k2＋2k－
1)=8＋8k2>0.
当方程中的a，b，c含有字母时，求出
第二章 一元二次方程
3 用公式法求解一元二次方程
1 课时讲授 用公式法解一元二次方程
一元二次方程根的判别式
2 课时流程
逐点
导讲练
课堂
小结
作业
提升
知识点 1 用公式法解一元二次方程
知1－讲
1. 求根公式：对于一元二次方程ax2＋bx＋c= 0(a ≠ 0)，当
b2－4ac
≥ 0 时，它的根是x =
知1－练
(3)x2－2x＋3=0.
解：这里a=1，b=－2，c=3 .
∵ b2 －4ac=(－2)2 －4×1×3=－8<0，
∴方程无实数根.
知1－练
知1－练
1-1. 用公式法解下列方程：
(1)y2－2y－2=0；
解：这里 a＝1，b＝－2，c＝－2.
c=0
Δ=b2－4ac<0 方程没有实数根
知2－讲
特别说明：(1)由Δ=b2－4ac 的符号可判定ax2＋bx＋c=
0(a ≠ 0)的根的情况. 反之，由ax2＋bx＋c= 0(a ≠ 0)的根的
情况也可得到Δ=b2－4ac 的符号.
(2)一元二次方程有实数根(或有两个实数根)包括有两
2k－1=0 的根的情况为(
A. 有两个相等的实数根
B. 没有实数根
C. 有两个不等的实数根
D. 无法判断
)
知2－练
思路导引：
解：∵ a=1，b=－2(k＋1)，c=－k2＋2k－1，
∴ Δ =b2－4ac=［－2(k＋1)］2－4×1×(－k2＋2k－
1)=8＋8k2>0.
当方程中的a，b，c含有字母时，求出
第二章 一元二次方程
3 用公式法求解一元二次方程
1 课时讲授 用公式法解一元二次方程
一元二次方程根的判别式
2 课时流程
逐点
导讲练
课堂
小结
作业
提升
知识点 1 用公式法解一元二次方程
知1－讲
1. 求根公式：对于一元二次方程ax2＋bx＋c= 0(a ≠ 0)，当
b2－4ac
≥ 0 时，它的根是x =
知1－练
(3)x2－2x＋3=0.
解：这里a=1，b=－2，c=3 .
∵ b2 －4ac=(－2)2 －4×1×3=－8<0，
∴方程无实数根.
知1－练
知1－练
1-1. 用公式法解下列方程：
(1)y2－2y－2=0；
解：这里 a＝1，b＝－2，c＝－2.
《用公式法求解一元二次方程》PPT课件 (公开课)2022年北师大版 (4)
b b2 4ac
x 2a
(b2-4ac≥0 )
练一练，巩固新知
一、判断下列方程解的情况： （1）x2-7x=18 （2）2x2+3=7x
（3）3x2+2x+1=0 （4）9x2+6x+1=0 （5）16x2+8x=3 （6） 2x2-9x+8=0
比一比谁简洁
（3）3x2+2x+1=0
解:a=3,b=2,c=1
1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式是什么？
2、如何判断一元二次方程根的情况？ 3、用公式法解方程应注意的问题是什么？ 4、你在解方程的过程中有哪些小技巧？
作业
1、课本47页1,2题.
2、已知长方形城门的高比宽多6尺8寸,门的对角线长1丈,那么,门的高和宽各是 多少?
3、一张桌子长4米,宽2米,台布的面积是桌面面积的2倍,铺在桌子上时,各边下 垂的长度相同,求台布的长和宽
第二章 一元二次方程
第3节 用公式法求解一元二次方程(一)
回忆巩固
用配方法解下列方程：
(1)2x2+3=7x
(2)3x2+2x+1=0
解:
73 x2 x 0
22
x2 7 x (7)2 49 3 0
2 4 16 2
(x 7)2 25 0 4 16
(x 7)2 25 4 16
x 1 22
练一练，巩固新知
二、解下列方程 （1） x2-7x=18 （2）2x2+3=7x
（3）3x2+2x+1=0 （4）9x2+6x+1=0 （5）16x2+8x=3 （6） 2x2-9x+8=0
北师大版九年级数学上册 用公式法求解一元二次方程 第1课时 课件
1.判断下列方程解的情况：
（1）x2 –7x=-18；
（2）2x2 +3=7x；
（3）3x2+2x+2=0 ；
（4）9x2+6x+1=0；
（5）16x2+8x=3；
（6）2x2–9x+8=0.
当堂训练
答案：（1）没有实数根；（2）有两个不相等的实数根；
（3）没有实数根； （4）有两个相等的实数根；
两边开平方，得
即
b
b2 4ac
x+ =
,
2
2a
4a
b 2 4ac
时， 2
4a
是一个非负数，此时
b
b2 4ac
x=
.
2
2a
4a
b b 2 4ac
x=
.
2a
这就是说，对于一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)，当 b2-4ac≥0 时，
它的根是：
b b 2 4ac
﹣± 2−4
∴x=
2
=
即
7± 25 7±5
= .
2×2
4
1
x1=3，x2=
2
.
归纳小结
对于一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a ≠ 0)，
当 b2 –4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；
当 b2–4ac=0时，方程有两个相等的实数根；
当 b2–4ac＜0时，方程没有实数根.
当堂训练
配方，得 x 2 b x b b c 0 ,
a
2 a 2a a
b b2 4ac
（1）x2 –7x=-18；
（2）2x2 +3=7x；
（3）3x2+2x+2=0 ；
（4）9x2+6x+1=0；
（5）16x2+8x=3；
（6）2x2–9x+8=0.
当堂训练
答案：（1）没有实数根；（2）有两个不相等的实数根；
（3）没有实数根； （4）有两个相等的实数根；
两边开平方，得
即
b
b2 4ac
x+ =
,
2
2a
4a
b 2 4ac
时， 2
4a
是一个非负数，此时
b
b2 4ac
x=
.
2
2a
4a
b b 2 4ac
x=
.
2a
这就是说，对于一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)，当 b2-4ac≥0 时，
它的根是：
b b 2 4ac
﹣± 2−4
∴x=
2
=
即
7± 25 7±5
= .
2×2
4
1
x1=3，x2=
2
.
归纳小结
对于一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a ≠ 0)，
当 b2 –4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；
当 b2–4ac=0时，方程有两个相等的实数根；
当 b2–4ac＜0时，方程没有实数根.
当堂训练
配方，得 x 2 b x b b c 0 ,
a
2 a 2a a
b b2 4ac
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的多项式称为完全平方式.
完全平方式的特点：
1、总含有三项； 2、其中两项可写成两数的平方和的形式，另一项刚好是两项积的2倍 ； 3、a和b即可以是数，也可以是单项式或多项式；
a2 2ab b2； a2 2ab b2
平方差公式法和完全平方公式 法统称公式法 1.平方差公式:a2－b2＝(a＋b)(a－b)
2.完全平方公式:a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2 a2－2ab＋b2＝(a－b)2
第三环节 落实基础
1．判别下列各式是不是完全平方式．
(1) x2 y2；不是 (2) x2 2xy y2； 是 (3) x2 2xy y2； 是 (4) x2 2xy y2； 不是 (5) x2 2xy y2．是
第六环节 联系拓广
1. 用简便方法计算：
20052 4010 2003 20032
第六环节 联系拓广
1. 用简便方法计算：
20052 4010 2003 20032
2. 若a²＋b²－6a＋4b＋13＝0,
求a＋b的值
3.将 4 x 2 1 再加上一个整式，使它成为完全平
方式，你有几种方法？
现在我们把完全平方公式反过来，可得：
两个数的平方和，加上（或减去）这两个数的 积的两倍，等于这两数和（或者差）的平方．
第二环节 学习新知
a2 2ab b2 (a b)2
a2 2ab b2 (a b)2
两个数的平方和，加上（或减去）这两个数
的积的两倍，等于这两数和（或者差）的平方．
形如
(1)x2 14x 49
(2)4a2 12ab 9b2
解:原式
解：原式
找到完全平方式中的 “头”和“尾”，确 定中间项的符号。
(3)(m n)2 6(m n) 9 完全平方式中的“头”
和“尾”，可以是数
解:原式
字、字母，也可以是
单项式或多项式。
(4)(m 2n)2 2(2n m)(m n) (m n)2 解：原式
解：原式
若多项式中有公因式， 应先提取公因式，然后 再进一步分解因式。 注意：一提二套三检查
例2.把下列各式分解因式: (1)3ax2 6axy 3ay 2
解:原式
(2) x2 4 y2 4xy
解：原式
若多项式中有公因式， 应先提取公因式，然后 再进一步分解因式。 注意：一提二套三检查
第五环节 随堂练习
相应的 a、b各表示什么？
(1) x2 6x 9；
(2) 1 4a2；不是 (3) x2 2x 4； 不是 (4) 4x2 4x 1；不是
(5) 1 m2 m； 4
(6) 4 y2 12xy 9x2．
2. 把下列各式分解因式：
(1)x2 12xy 36 y 2 ; (2)16a4 24a2b2 9b4 ; (3) 2xy x2 y 2 ; (4)4 12(x y) 9(x y)2.
北师大版：第四章分解因式
公式法
（第二课时）
学习目标：
（1）会用完全平方公式进行因式分解； （2）了解分解因式先考虑提公因式法，
再考虑用公式法分解因式.
教学重点：掌握完全平方公式的特点，熟记公式。 教学难点：学会观察多项式的特点，恰当地安排步骤，
恰当地选用不同方法分解因式.
第一环节 复习回顾
完全平方公式：(a b)2 a2 2ab b2 (a b)2 a2 2ab b2
1.判别下列各式是不是完全平方式，若是说出 相应的 a、b各表示什么？
(1) x2 6x 9； (2) 1 4a2； (3) x2 2x 4； (4) 4x2 4x 1； (5) 1 m2 m；
4 (6) 4 y2 12xy 9x2．
第五环节 随堂练习
1.判别下列各式是不是完全平方式，若是说出
2.请补上一项，使下列多项式成为完全平方式．
1 x2 (__2_x_y_) y2； 2 4a2 9b2 _1_2_a_b__； 3 x2 _(__4_y_) 4 y2；
4 a2 (__a__b_) 1 b2；
4
5 x4 2x2 y __y_2__．
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第四环节 范例学习
例1.把下列完全平方式分解因式:
第七环节自主小结
从今天的课程中，你学到了哪些知识？ 掌握了 哪些方法？
• 完全平方公式:
(a b)2 a2 2ab b2 (a b)2 a2 2ab b2
完全平方式的特点：
1、总含有三项,a,b既可以是数，也可以是单项式或多项式； 2、其中两项可写成两数的平方和的形式，另一项刚好是两项积 的2倍；
(3)(m n)2 6(m n) 9 完全平方式中的“头”
和“尾”，可以是数
解:原式
字、字母，也可以是
单项式或多项式。
(4)(m 2n)2 2(2n m)(m n) (m n)2 解：原式
例2.把下列各式分解因式: (1)3ax2 6axy 3ay 2
解:原式
(2) x2 4 y2 4xy
（1）形如________________形式的多项式可以 用完全平方公式分解因式。
（2）因式分解通常先考虑__提_取__公__因__式__法___方法。 再考虑_运__用__公__式__法___方法。 （3）因式分解要___彻__底___注意：一提二套三检查
课本P103第1、2、3题