高一数学竞赛培训《解析几何部分》
解析几何课程教案
解析几何课程教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解解析几何的基本概念，如点、直线、圆等；（2）掌握坐标系中直线、圆的方程的求法与应用；（3）了解解析几何在实际问题中的应用。
2. 过程与方法：（1）通过实例引入解析几何的概念，培养学生的空间想象能力；（2）运用代数方法研究直线、圆的方程，提高学生解决问题的能力；（3）利用数形结合思想，分析实际问题，提升学生的应用能力。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学学科的兴趣，激发学习热情；（2）培养学生克服困难的意志，提高自主学习能力；（3）感受数学在生活中的重要性，培养学生的应用意识。
二、教学内容1. 第一课时：解析几何概述（1）点的坐标；（2）直线的方程；（3）圆的方程。
2. 第二课时：直线的方程（1）直线的一般方程；（2）直线的点斜式方程；（3）直线的截距式方程。
3. 第三课时：圆的方程（1）圆的标准方程；（2）圆的一般方程；（3）圆的方程的性质。
4. 第四课时：直线与圆的位置关系（1）直线与圆相交的条件；（2）直线与圆相切的条件；（3）直线与圆相离的条件。
5. 第五课时：解析几何在实际问题中的应用（1）线性方程组的解法；（2）最大（小）值问题；（3）几何最优化问题。
三、教学策略1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、思考、讨论，探索解析几何的基本概念和性质；2. 利用数形结合思想，引导学生将几何问题转化为代数问题，提高解决问题的能力；3. 注重实际问题的引入，激发学生的学习兴趣，培养学生的应用意识。
四、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态；2. 作业完成情况：检查学生作业的完成质量，评估学生对知识点的掌握程度；3. 课后实践：鼓励学生参加数学竞赛或研究性学习，提升学生的应用能力。
五、教学资源1. 教材：人教版《高中数学》解析几何部分；2. 教辅：同步练习册、习题集等；3. 教学软件：几何画板、数学公式编辑器等；4. 网络资源：相关教学视频、课件、论文等。
解析几何竞赛题选
25.[决赛试题]（13 分）已知两直线的方程： L : x = y = z ， L ' : x = y = z − b 。（1）问： 1a 1
参数 a, b 满足什么条件时， L 与 L ' 是异面直线？（2）当 L 与 L ' 不重合时，求 L ' 绕 L 旋转 所生成的旋转面 π 的方程，并指出曲面 π 的类型。
=
(1 a
, 0, −
1)× c
(0,1, 0)
=
(1 c
, 0,
1 ). a
若π
平行于l2 ,则λ
=
−
1 a
.在直线l2上取点M
(a,
0, 0),则M 到平面π的距离
即为l1与l2的距离2d，即
(2d )2 =
22
,⇒ 1 = 1 + 1 + 1 .
1 a2
+
1 b2
+
1 c2
d 2 a2 b2 c2
t 可以是任意的，所以，这时， π 的方程为：
⎧ x+y+z=b
⎪
⎨ ⎪⎩
x
2
+
y2
+
z2
≥
5 6
b2
，
π 的类型： a = 1 且 b ≠ 0 时， L 与 L ' 平行，π 是一柱面； a ≠ 1且 b = 0 时， L 与 L ' 相交， π 是一锥面（ a = −2 时 π 是平面）；当 a ≠ 1且 b ≠ 0 时，π 是单叶双曲面（ a = −2 时，π 是
+ +
(z (z
+ 1) 2 −1)2
，
即
高中数学奥赛经典讲解教案
高中数学奥赛经典讲解教案
主题：解析几何
目标：通过本节课的学习，学生能够掌握解析几何中常见的定理、方法和技巧，提高解题能力。
一、引言（5分钟）
介绍解析几何的概念和作用，引导学生明确本节课的学习目标。
二、知识讲解（30分钟）
1. 直线方程的一般式和点斜式，以及两点式的转化和应用；
2. 圆的一般式方程和标准式方程的求解方法；
3. 解析几何中常见的定理和性质，如相交直线垂直的判断条件、圆与直线的相交关系等。
三、例题讲解（20分钟）
1. 根据已知条件，用解析几何方法求解直线方程或圆的方程；
2. 利用解析几何中的性质和定理解决几何问题。
四、练习与讨论（20分钟）
学生独立解答几道题目，然后与同学讨论、交流解题思路，并请学生展示解题过程。
五、总结与拓展（10分钟）
总结本节课所学内容，强调解析几何在数学竞赛中的重要性，并鼓励学生多加练习。
六、作业布置（5分钟）
布置相关习题作业，巩固本节课所学内容。
七、课后反馈（5分钟）
学生提交作业并讲解答案，教师及时反馈学生的表现，帮助学生改进解题方法。
注：本教案仅为范本，实际教学过程中应根据学生的掌握程度和学习节奏做出调整。
第三讲：解析几何(基础)——江苏高中数学复赛系列课程(主讲人：刘蒋巍)
第三讲：解析几何（基础）主讲人：刘蒋巍1. 已知直线x - my + 1 = 0是圆C : x 2 + y 2 - 4x + 4y - 5 = 0的一条对称轴，则实数m= .2. 设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列，则此椭圆的离心率e ＝ .3. 在平面直角坐标系xOy 中，如果直线l 将圆x 2 + y 2 - 2x - 4y = 0平分，且不经过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是 .4. 在平面直角坐标系xOy 中，设焦距为2c 的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与椭圆x 2b 2＋y 2c2＝1有相同的离心率e ，则e 的值是 ．5. 在直角坐标系xOy 中，已知圆心在原点O 、半径为R 的圆与△ABC 的边有公共点，其中()4,0A =，()6,8B =，()2,4C =，则R 的取值范围为 .6. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线:C 221124x y -=的右焦点为F ，一条过原点O 且倾斜角为锐角的直线l 与双曲线C 交于,A B 两点. 若FAB ∆的面积为_______.7. 设k 为实数，06k <<，椭圆221():19x k E y -+=与椭圆222:19x E y +=交于点A 和C ，1E 的左顶点为B ，2E 的右顶点为D （如图），若四边形ABCD 是正方形，求实数k ．8. 在直角坐标系xOy 中，直线x －2y ＋4＝0与椭圆x 29＋y 24＝1交于A ，B 两点，F 是椭圆的左焦点. 求以O ，F ，A ，B 为顶点的四边形的面积.9. 直角坐标系xOy 中，设A 、B 、M 是椭圆22:14x C y +=上的三点. 若3455OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r，证明：线段AB 的中点在椭圆22212x y +=上.10. 已知圆221x y +=与抛物线2y x h =+有公共点，求实数h 的取值范围.11. 已知1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点，点B 的坐标为(0,)b ，直线1F B 与双曲线C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ．若21212MF F F =，求双曲线C 的离心率．12. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，圆O 1、圆O 2都与直线l ：y ＝kx 及x 轴正半轴相切．若两圆的半径之积为2，两圆的一个交点为P (2，2)，求直线l 的方程．13. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：22221x y a b-=的右焦点为F ，过点F 的直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点. 若OF ·AB = FA ·FB ，求双曲线C 的离心率e .14. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221x y a b +=()0a b >>的右焦点，直线2by =与椭圆交于,B C 两点，且90BFC ∠=︒，则该椭圆的离心率是 ．15. 在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线210()mx y m m ---=∈R 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 .16. 在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线221x y -=右支上的一个动点. 若点P 到直线10x y -+=的距离大于c 恒成立，则是实数c 的最大值为 .17. 在平面直角坐标系xOy 中，直线032=-+y x 被圆4)1()2(22=++-y x 截得的弦长为 .18. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d .若21d =，则椭圆的离心率为 .19. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 20. 设集合222{(,)|(2),,}2mA x y x y m x y R =≤-+≤∈, {(,)|221,,}B x y m x y m x y R =≤+≤+∈，若A B ≠∅U ，则实数m 的取值范围是 .21. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2+y 2 = 4四个点到直线12x －5y + c =0的距离为1，则实数c 的取值范围是 .22. 如图，在平面直角坐标系xoy 中，1212,,,A A B B 为椭圆22221(0)x y a b ab+=>>的四个顶点，F 为其右焦点，直线A 1B 1与直线B 1F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为 .(第22题) (第24题)23. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2c ，以O 为圆心，a 为半径作圆M ，若过20a P c ⎛⎫⎪⎝⎭，作圆M 的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为 .24. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，设三角形ABC 的顶点分别为A (0,a )，B (b,0)，C (c,0)，点P (0,p )在线段AO 上的一点（异于端点），这里,,,a b c p 均为非零实数，设直线,BP CP 分别与边,AC AB 交于点,E F ，某同学已正确求得直线OE 的方程为11110x y b c p a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 请你求OF 的方程：( )110x y p a ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭.。
解析几何竞赛辅导
若不允许共线。 如图，在正三角形 ABC 的内切圆上任取一点 P ，使得
向量 PA ， PB ， PC ， PO 不共线便满足要求。
A
O P B C
( PA + PB ) ⋅ ( PC + PO )
= OA + OB + 2 PO ⋅ OC + 2 PO
( (
)(
)
2 2
= 2 PO − OC ⋅ 2 PO + OC = 4 PO − OC = 0
XF1 ( x, y ) + YF2 ( x, y ) = 0
共轭方向： a11 XX ′ + a12 ( XY ′ + X ′ ) + a22YY ′ = 0 Y 主方向：即共轭又垂直的方向
⎛ a11 ⎜ ⎝ a12
a12 ⎞ ⎛ X ⎞ ⎛X ⎞ ⎟⎜ ⎟ = λ ⎜ ⎟ a22 ⎠ ⎝ Y ⎠ ⎝Y ⎠
r (u, v) = ( x(u , v), y (u , v), z (u , v))
求点运动所成的曲线方程， ( x(t ), y (t ), z (t )) 求点运动所成的曲面方程， ( x(u , v), y (u , v), z (u , v)) 求空间直线运动所成的曲面方程， 直线： ( At + x0 , Bt + y0 , Ct + z0 ) ，参数 s 直线族：( A( s )t + x0 ( s ), B ( s )t + y0 ( s ), C ( s )t + z0 ( s ) )
三、空间的直线和平面 平面方程，直线方程，相互位置关系，平面束。 直线
x − x0 y − y0 z − z0 和 = = X Y Z
高中数学联赛解析几何专题练习(详解版)
高中数学联赛解析几何专题练习（详解版)一、单选题1．已知12F F 、分别为双曲线()222210,?0x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线右支上任一点。
若212PF PF 的最小值为8a ，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )。
A ．(1, 3] B ．(1,2] C ．[2,3] D ．[3,十∞) 2．对0b a >>，取第1象限的点(),k k k A x y ()1,2,,k n =L ，使a ，1x ，2x ，L n x ，b 成等差数列，而a ，1y ，2y ，L ，n y ，b 成等比数列.则各点1A 、2A 、L 、n A 与射线():0l y x x =>的关系为（ ）.A ．各点均在射线l 的上方B ．各点均在射线l 上C ．各点均在射线l 的下方D ．不能确定 3．若直线4x π=被曲线C ：()()()()arcsin arccos arcsin arccos 0x a x a y a y a --+--=所截得的弦长为d ，当a 变化时d 的最小值是（ ）．A ．4πB ．3πC ．2πD ．π4．直线l 在平面上α，直线m 平行于平面α，并与直线l 异面.动点P 在平面上α，且到直线l 、m 的距离相等.则点P 的轨迹为（ ）.A ．直线B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线5．已知1F 、2F 为椭圆与双曲线的公共焦点，P 为它们的一个公共点，且1260F PF ∠=o .则该椭圆与双曲线的离心率之积的最小值为（）.A．3 B．2 C ．l D6．过椭圆2212x y +=的右焦点2F 作倾斜角为45︒的弦AB .则AB 为（ ）. A．3 B．3 C．3 D．37．点P （0，2）关于直线210x y +-=的对称点坐标是A ．（-2，0）B ．（-1，0）C ．（0.-1）D ．62,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 8．以双曲线2214x y m-=的离心率为半径、右焦点为圆心的圆与双曲线的渐近线相切．则m =（ ）A ．32B ．43C ．54D ．65 9．记()()()223,03x F x y x y y y ⎛⎫=-++≠ ⎪⎝⎭．则(),F x y 的最小值是（ ）． A ．125 B ．165 C ．185 D ．410．设1A 、2A 为椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右顶点．若在椭圆上存在异于点1A 、2A 的点P ，使得20PO PA ⋅=u u u v u u u u v ，其中，O 为坐标原点，则椭圆的离心率e 的取值范围是（ ）．A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．⎛ ⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．⎫⎪⎪⎝⎭二、填空题11．若实数x 、y 满足x -=，则x 的取值范围是______.12．在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(,)x y 为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点②如果k 与b 都是无理数，则直线y kx b =+不经过任何整点③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点④直线y kx b =+经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数⑤存在恰经过一个整点的直线13．抛物线22y x =的一条弦被()4,2A 平分，那么这条弦所在的直线方程是__________. 14．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=＞＞的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点1F 作圆222x y a +=的切线，与双曲线的右支交于点P ，且1245F PF o ∠=。
高中数学竞赛教练入门教案
高中数学竞赛教练入门教案
主题：解析几何初步
目标：通过本节课的学习，学生将能够掌握解析几何基本知识，能够灵活运用解析几何知
识解决问题，并提高解决问题的思维能力。
教学过程：
一、引入（5分钟）
教师引导学生思考：解析几何与几何的其他分支有哪些区别？解析几何在哪些领域有应用？为什么解析几何在数学竞赛中占有重要地位？
二、讲解基础知识（15分钟）
1. 介绍解析几何的基本概念和方法。
2. 讲解解析几何中常用的坐标系及其性质。
3. 引导学生理解解析几何中直线、圆的方程及性质。
三、例题讲解（20分钟）
1. 给出一道基础的解析几何题目，在黑板上解题过程。
2. 鼓励学生积极参与讨论，思考不同解题方法的异同。
四、练习与巩固（15分钟）
1. 学生进行解析几何的练习题，巩固所学的知识。
2. 指导学生解决一些较难的问题，提高解决问题的能力。
五、课堂小结（5分钟）
1. 教师总结本节课的主要内容，强调学生需要掌握的重点知识。
2. 鼓励学生在课后及时复习巩固所学的知识。
扩展活动：对于有兴趣的学生，可以提供更复杂的解析几何问题，挑战他们的思维能力。
教学资源：课件、练习题目、解析几何教科书。
备注：本教案为解析几何初步内容，后续将会有更深入的解析几何知识讲解。
高中数学奥林匹克小丛书解析几何
《探究高中数学奥林匹克小丛书解析几何》1. 引言在数学领域，解析几何一直是一个具有挑战性而又精彩的研究领域。
而在高中数学奥林匹克中，解析几何更是成为了考察学生深度思维和创造性解题能力的重要一环。
对高中数学奥林匹克小丛书解析几何的深入探究具有重要意义。
2. 解析几何的基础知识在探究高中数学奥林匹克小丛书解析几何之前，我们先来了解一下解析几何的基础知识。
解析几何是一门研究几何图形的位置、形状和大小关系的数学学科，它将几何图形和代数符号相结合，使得几何问题可以用代数的方法进行分析和解决。
在解析几何中，我们通常会涉及到直线、圆和其他曲线的方程、距离、角度等概念，并通过代数方法进行推导和证明。
对于解析几何的学习，需要具备扎实的代数知识和几何直观。
3. 高中数学奥林匹克小丛书解析几何的价值掌握高中数学奥林匹克小丛书解析几何，对于学生来说具有重要的意义。
解析几何的学习可以培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力，另解析几何的知识点往往是高考和数学竞赛的重点考察内容，能够帮助学生在竞赛中取得更好的成绩。
高中数学奥林匹克小丛书的解析几何部分，往往囊括了一些高阶的难题和深度思考题，对于学生的数学素养提升也具有重要的促进作用。
深入探究高中数学奥林匹克小丛书解析几何是非常有价值的。
4. 深度解析高中数学奥林匹克小丛书解析几何在深度解析高中数学奥林匹克小丛书解析几何的过程中，我们可以从几何基本概念的深入理解、解析几何与数学竞赛的关系以及高中数学奥林匹克小丛书中不同题型的解析等多个角度进行探讨。
我们可以通过几何基本概念的深入理解，来揭示解析几何背后的数学本质和思想方法。
以直线、圆和曲线的方程、性质等基础知识为切入点，通过反复训练和复习，建立起对几何图形特征和代数表达的深刻理解。
我们可以就解析几何与数学竞赛的关系展开讨论。
解析几何是高中数学竞赛中的必考内容，通过对于高中数学奥林匹克小丛书解析几何部分的逐题解析和归纳总结，可以更加清晰地了解数学竞赛中解析几何题型的特点和解题技巧。
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高一上期数学竞赛培训资料（16）
——解析几何部分（4）——与圆有关的点的轨迹问题
一、知识要点——求点的轨迹方程的基本步骤：
（1）建：建立直角坐标系；
（2）设：设立动点坐标P （x ，y ）；
（3）现：将动点的等量关系呈现出来；
（4）代：代入点的坐标；
（5）化：化简上述等式。
应注意：所求方程的完备性！
二、题型示例：
1、ABC ∆的两顶点A 、B 的坐标分别为(0,0)A 、(6,0)B ，顶点C 在曲线23y x =+上运动，求ABC ∆重心的轨迹方程。
2、过原点作曲线2
1y x =+的割线12OPP ，求弦12PP 中点的
P 的轨迹方程。
3、已知两点(2,2)P -、(0,2)Q 以及一直线:l y x =，AB 在直线l 上移动，试求直线PA
和QB 的交点M
4、已知ABC ∆的顶点A 是定点，边BC 在定直线上滑动，且||4BC =，BC 边上的高为3，求ABC ∆的外心M 的轨迹方程。
5、设定点(6,0)P ，圆229x y +=上一点Q ，M 是PQ 上一点，满足
12
PM MQ =，当点Q 在圆上运动时，试求点M 的轨迹方程。
6、ABC ∆中，边||6BC =，且0135B C ∠+∠=，试求顶点A 的轨迹方程。
7、过定点(,)M a b 任作两条互相垂直的直线1l 和2l ，分别与x 轴、y 轴交于A B 、两点，试求线段AB 的中点P 的轨迹方程。
8、已知圆222:O x y r +=，点M 为圆O 上任意一点，又点(,0)A r -、(,0)B r ，过B 作BP ∥OM 交AM 的延长线于点P ，试求点P 的轨迹方程。
9、过圆22:4O x y +=与y 轴的交点A 作圆的切线l ，M 为直线l 上任意一点，过M 作圆O 的另一条切线，切点为Q ，试求MAQ ∆垂心的轨迹方程。
10、已知点P 是圆22
:4O x y +=上一动点，定点(4,0)Q 。
（1）试求线段PQ 中点的轨迹方程；
（2）设POQ ∠的角平分线交PQ 于点R ，求点R 的轨迹方程。
11、已知点A 是圆222:(0)O x y r r +=>任意一点，AB x ⊥轴于点B ，以A 为圆心，||AB 为半径的圆交已知圆O 于C 、D 两点，连结CD 交AB 于点M ，试求点M 的轨迹方程。
12、两直线分别绕点(,0)(,0)A a B a -、 (0)a >旋转，它们在y 轴上的截距b 、c 的乘积等于常数2
a ，试求两直线交点M 的轨迹方程。
13、已知1A 、2A 是一个圆的一条定直径的两个端点，12PP 是与直径12A A 垂直的弦，试求两直线11A P 、22A P 交点P 的轨迹方程。