高一数学竞赛专题培训讲解
高中数学竞赛培训教程 初等代数
高中数学竞赛培训教程初等代数第一章代数基础整数是数学中最基本的数，包括正整数、负整数和零。
在代数中，我们经常使用整数来进行运算和表示未知数。
1.2 有理数有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括整数和分数。
在代数中，我们常常使用有理数来计算方程的根，解方程组等。
实数是包括有理数和无理数的数集。
在代数中，我们必须了解实数的性质和运算法则，才能进行更复杂的数学运算和证明。
第二章一次方程与不等式2.1 一次方程一次方程是指最高次项为一次的代数方程。
我们需要学习如何解一次方程，并利用解方程的方法解决实际问题。
2.2 一次不等式一次不等式是指最高次项为一次的不等式。
我们需要学习如何解一次不等式，并应用不等式来解决实际问题。
2.3 一次方程与一次不等式的应用一次方程与一次不等式在实际问题中的应用非常广泛。
我们需要学会如何将实际问题转化为一次方程或一次不等式，并利用解方程和解不等式的方法得出问题的解。
第三章二次方程与不等式3.1 二次方程的定义与性质二次方程是指最高次项为平方项的代数方程。
我们需要学习二次方程的基本性质，如判别式、根的性质等。
3.2 二次方程的解法解二次方程是数学中非常重要的一部分。
我们需要学会使用求根公式、配方法等解二次方程，以及利用因式分解、完全平方式解二次方程。
3.3 二次不等式的解法解二次不等式是在二次方程的基础上进一步扩展的。
我们需要学会使用判别式、区间判断等方法来解二次不等式，并应用它们来解决实际问题。
第四章分式与分式方程4.1 分式的定义与性质分式是指一个整数与一个非零整数的比值。
我们需要学习分式的基本性质，如约分、通分、化简等。
4.2 分式的运算分式的加减乘除是数学中常见的运算。
我们需要学习如何进行分式的加减乘除，并应用它们解决实际问题。
4.3 分式方程的解法分式方程是包含分式的方程。
我们需要学会解分式方程，并利用解方程的方法解决实际问题。
第五章根式与根式方程5.1 根式的定义与性质根式是指包含根号的数。
高中一年级数学竞赛培训教学方案设计
高中一年级数学竞赛培训教学方案设计一、引言数学竞赛在培养学生逻辑思维能力、提高解决问题的能力、激发学生对数学的兴趣方面起着重要的作用。
为了使高中一年级学生有更好的竞赛表现，设计了本教学方案。
本方案旨在通过系统的培训，提高学生的数学素养，为数学竞赛打下坚实的基础。
二、培训目标本培训方案的目标是：1. 培养学生对数学竞赛的兴趣和热情；2. 提高学生的数学知识和解题技巧；3. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力；4. 培养学生的团队协作和竞争意识。
三、教学内容为了全面提高学生的数学能力，本培训方案将包括以下内容：1. 数学基础知识的系统学习：从代数、几何、概率、数论等方面，全面复习和扩展学生在初中阶段所学的数学知识，并引入一些高年级的数学概念；2. 解题技巧的训练：通过讲解和实践，培养学生的数学思维和解题逻辑，包括分析问题、制定解题计划、选择解题方法等；3. 竞赛题型的针对性训练：根据历年的数学竞赛试题，针对不同题型进行详细的解题讲解和练习，帮助学生熟悉各类竞赛题目；4. 团队协作与竞争：组织学生参与团队合作活动和竞赛，培养学生的合作和竞争意识，增加他们在数学竞赛中的成功率。
四、教学方法为了使学生能够更好地掌握所学内容，本培训方案将采用以下教学方法：1. 讲授与练习相结合：通过讲解数学知识点，引导学生理解和掌握相关概念，然后通过一定数量的练习题来巩固所学；2. 解题引导法：针对不同题型，引导学生从各个角度分析问题，并提供解题思路和方法，引导学生独立解题；3. 分组合作学习：组织学生参与小组合作学习，通过合作解题来培养他们的团队协作和竞争意识；4. 真题模拟训练：定期组织学生参加数学竞赛模拟考试，让学生在竞赛环境下进行实战演练，提高应试能力。
五、教学安排根据培训内容和目标，本培训方案的教学安排如下：1. 基础知识学习阶段：每周进行两次90分钟的课堂讲授，帮助学生夯实数学基础知识；2. 解题技巧训练阶段：每周进行一次120分钟的训练课程，通过解题例题和练习题帮助学生提高解题技巧；3. 竞赛题型训练阶段：每周进行一次150分钟的讲解和练习课程，围绕不同的竞赛题型进行详细讲解和练习；4. 团队合作活动阶段：每月组织一次团队合作活动，让学生在合作中提升自己，并通过竞赛形式评选出优秀团队；5. 模拟考试阶段：定期组织模拟考试，模拟真实竞赛环境，让学生提前适应竞赛的紧张氛围。
高一数学竞赛重点知识点
高一数学竞赛重点知识点导语：数学竞赛在我国被视为培养学生逻辑思维和解决问题能力的有效方式之一。
对于高一的学生来说，参加数学竞赛不仅可以提升数学水平，还能培养思维灵活性和创新性问题解决能力。
本篇文章将介绍高一数学竞赛中的一些重点知识点，希望对广大参赛学生有所帮助。
1. 排列组合在高一数学竞赛中，排列组合是一个经常出现的题型。
它涉及到计算某些对象的不同排列或组合方式。
常见的排列组合题型包括排列、组合以及排列组合的应用。
在解题时，首先需要明确题目中所涉及的对象和要求的条件，然后按照排列组合的原理进行计算。
需要注意的是，排列和组合的计算公式和性质都需要熟记于心，并能够熟练运用。
2. 函数函数是高一数学竞赛中的另一个重要知识点。
函数的概念是数学中的基础，理解函数的性质和特点对于解题非常关键。
在解答函数相关的题目时，需要明确函数的定义域、值域、奇偶性等基本属性，并能够根据给定条件进行函数的构造和推导。
此外，对于函数的图像和性质也需要有一定的了解，以便进行函数的综合分析和求解。
3. 三角函数三角函数是高一数学竞赛中的难点之一。
几乎所有与三角函数相关的题目都会涉及到角度的变化和三角函数的基本关系。
解答这类题目需要熟悉常用角度的三角函数值以及三角函数之间的基本关系，如正弦、余弦、正切等。
在解题时，可以利用三角函数的周期性和性质进行推导和计算，需要通过大量的练习来巩固对三角函数的理解与应用。
4. 数列与数列极限数列与数列极限是数学竞赛中的常见题型，也是高一时数学重点考察的内容之一。
数列的概念和数列的收敛性是解题的核心，而数列的性质和数列运算也是解题的基础。
在解答数列相关的问题时，需要通过给定的条件构造数列，并利用极限的定义和定理进行计算和推导。
同时，数列的等差、等比、递推关系等也需要掌握，以便进行数列的综合分析和求解。
5. 解析几何解析几何是高一数学竞赛中的复杂而重要的知识点。
解析几何将代数和几何有机地结合起来，通过坐标系将几何图形与代数方程相联系。
数学竞赛完整课程教案高中
数学竞赛完整课程教案高中1. 学生能够掌握数学竞赛中常见的解题技巧和方法；2. 学生能够熟练运用数学知识解决竞赛中的问题；3. 学生能够提升自信心和解决问题的能力。
教学内容：1. 数论2. 代数3. 几何4. 统计教学过程：第一课：数论1. 介绍数论的基本概念和常见的解题技巧；2. 给出一些数论题目并引导学生解决；3. 分析解题思路和方法，引导学生总结经验。
第二课：代数1. 讲解代数的基本知识和解题技巧；2. 给出一些代数题目供学生练习；3. 分析解题思路和方法，帮助学生提升解题能力。
第三课：几何1. 引导学生理解几何知识和解题技巧；2. 给出一些几何题目供学生练习；3. 分析解题思路和方法，帮助学生提升几何解题能力。
第四课：统计1. 讲解统计知识和解题技巧；2. 给出一些统计题目供学生练习；3. 分析解题思路和方法，帮助学生提升统计解题能力。
第五课：综合练习1. 给出一些综合性的竞赛题目供学生练习；2. 帮助学生分析解题思路和方法；3. 鼓励学生多练习，提高解题速度和准确性。
评价方法：1. 平时的课堂练习；2. 期中和期末的考试；3. 数学竞赛的模拟比赛。
教学资源：1. 数学竞赛教材和习题集；2. 电子教学资源；3. 纸质习题和答案。
教学建议：1. 鼓励学生多练习，勤奋钻研；2. 注重引导学生理解数学知识，而不是死记硬背；3. 鼓励学生互相合作，相互学习。
以上是数学竞赛完整课程教案的高中范本，希朅能对您有所帮助。
高一数学竞赛知识点
高一数学竞赛知识点在高中阶段，数学竞赛成为了学生们展示才华和水平的重要途径之一。
参加数学竞赛不仅可以考验学生的数学能力，还可以培养他们的思维逻辑和问题解决能力。
然而，能够在数学竞赛中脱颖而出并不容易，需要学生们掌握一些重要的数学知识点。
本文将介绍高一数学竞赛的一些重要知识点，帮助学生们在竞赛中取得优异的成绩。
一、函数与方程在数学竞赛中，函数与方程是最基本也是最重要的知识点之一。
学生们应该熟悉各种类型的函数，如线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等，以及它们的性质与图像。
此外，掌握方程的解法也非常重要。
学生们需要理解方程的基本概念和性质，能够灵活地应用不同的解法求解各种类型的方程。
二、排列与组合排列与组合是高一数学竞赛中常见的题型。
学生们需要了解排列与组合的基本定义和计算公式，并能够熟练地应用到各种实际问题中。
在解答排列与组合问题时，学生们应该注意题目中的条件限制，灵活运用计数原理和容斥原理等方法，确保得出正确的结果。
三、数列与数列极限数列与数列极限也是高一数学竞赛中常见的考点。
学生们需要对数列的概念和性质有清晰的认识，能够计算数列的通项公式和前n项和。
此外，理解数列极限的概念和性质也非常重要。
学生们需要学会判断数列的收敛性，并能够计算收敛数列的极限值。
四、不等式不等式在高一数学竞赛中也扮演着重要的角色。
学生们需要熟悉不等式的基本性质和解法，并能够应用到各种实际问题中。
掌握不等式的加减乘除运算规则、平方与开方不等式、绝对值不等式等是解决不等式问题的关键。
五、平面几何平面几何是数学竞赛中常见的另一大考点。
学生们需要掌握平面几何中的基本定义和性质，能够灵活运用各种几何定理和公式解决各种几何问题。
熟练掌握平面几何的计算方法以及对称性质和相似性质等是高中数学竞赛中得分的关键。
六、立体几何除了平面几何，立体几何也是高一数学竞赛中重要的考点之一。
学生们需要了解立体几何中的基本概念和性质，能够运用立体几何的公式和计算方法解决各种立体几何问题。
高中数学竞赛培训教案
高中数学竞赛培训教案
教学目标：通过本次培训，学生能够掌握竞赛所需的数学知识和解题技巧，提高数学竞赛
的应试能力。
教学内容：本次培训主要围绕高中数学竞赛的常见题型展开，包括数列、概率、几何、代
数等知识点。
教学步骤：
第一步：复习基础知识
讲解数学竞赛常见题型，包括选择题、填空题、解答题等，帮助学生理清基础知识，打好
基础。
第二步：讲解数学竞赛解题技巧
介绍数学竞赛解题的基本思路和方法，包括适时放弃、灵活运用、多角度思考等技巧。
第三步：解析典型题目
通过解析一些典型的数学竞赛题目，引导学生掌握解题技巧，提高解题速度和正确率。
第四步：练习题目
让学生进行有针对性的练习，巩固所学知识和技巧，提高解题能力。
第五步：总结反思
让学生对本次培训进行总结和反思，查漏补缺，为下次培训做好准备。
教学方法：讲解结合练习、小组合作、讨论交流等方式，激发学生学习兴趣，提高学习效果。
教学工具：教材、习题、黑板、投影仪等。
教学评价：通过练习题目和考试测验，评估学生的学习情况和提高空间，及时调整教学方案，确保教学效果。
教学改进：根据学生的反馈和评价意见，不断改进教学方法和内容，提高竞赛培训的质量
与效果。
以上是本次高中数学竞赛培训教案范本，希最能达到预期目标，提高学生的数学竞赛能力。
高一数学竞赛培训讲座(函数的性质)
函数的基本性质基础知识：函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等，在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题时，巧妙利用函数及其图象的相关性质，可以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的.关于函数的有关性质，这里不再赘述，请大家参阅高中数学教材及竞赛教材：陕西师范大学出版社 刘诗雄《高中数学竞赛辅导》、刘诗雄、罗增儒《高中数学竞赛解题指导》. 例题：1. 已知f(x)＝8＋2x －x 2，如果g(x)＝f(2－x 2)，那么g(x)( )A.在区间(－2，0)上单调递增B.在(0，2)上单调递增C.在(－1，0)上单调递增D.在(0，1)上单调递增提示：可用图像，但是用特殊值较好一些.选C 2. 设f(x)是R 上的奇函数，且f(x ＋3)＝－f(x)，当0≤x≤23时，f(x)＝x ，则f(2003)＝( ) A.－1B.0C.1D.2003解：f(x ＋6)＝f(x ＋3＋3)＝－f(x ＋3)＝f(x) ∴ f(x)的周期为6f(2003)＝f(6×335－1)＝f(－1)＝－f⑴＝－1 选A3. 定义在实数集上的函数f(x)，对一切实数x 都有f(x ＋1)＝f(2－x)成立，若f(x)＝0仅有101个不同的实数根，那么所有实数根的和为( ) A.150 B.2303C.152D.2305提示：由已知，函数f(x)的图象有对称轴x ＝23 于是这101个根的分布也关于该对称轴对称.即有一个根就是23，其余100个根可分为50对，每一对的两根关于x ＝23对称 利用中点坐标公式，这100个根的和等于23×100＝150 所有101个根的和为23×101＝2303.选B 4. 实数x ，y 满足x 2＝2xsin(xy)－1，则x 1998＋6sin 5y ＝______________.解：如果x 、y 不是某些特殊值，则本题无法(快速)求解 注意到其形式类似于一元二次方程，可以采用配方法 (x －sin(xy))2＋cos 2(xy)＝0 ∴ x＝sin(xy) 且 cos(xy)＝0 ∴ x＝sin(xy)＝±1 ∴ siny＝1 xsin(xy)＝1 原式＝75. 已知x ＝9919+是方程x 4＋bx 2＋c ＝0的根，b ，c 为整数，则b ＋c ＝__________.解：(逆向思考：什么样的方程有这样的根？) 由已知变形得x －9919= ∴ x 2－219x ＋19＝99 即 x 2－80＝219x再平方得x 4－160x 2＋6400＝76x 2即 x 4－236x 2＋6400＝0 ∴ b＝－236，c ＝6400 b ＋c ＝61646. 已知f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)，f(x)＝0有实数根，且f(x)＝1在(0，1)内有两个实数根，求证：a ＞4.f(0)＝c ＞1 ③ 0＜－a2b＜1 ④ b 2≥4ac b ＞1－a －c c ＞1b ＜0(∵ a＞0) 于是－b≥2ac所以a ＋c －1＞－b≥2ac ∴ (c a -)2＞1 ∴ c a -＞1 于是c a >＋1＞2 ∴ a＞4证法二：设f(x)的两个根为x 1，x 2， 则f(x)＝a(x －x 1)(x －x 2) f⑴＝a(1－x 1)(1－x 2)＞1 f(0)＝ax 1x 2＞1 由基本不等式 x 1(1－x 1)x 2(1－x 2)≤[41(x 1＋(1－x 1)＋x 2＋(1－x 2))]4＝(41)2 ∴ 16a 2≥a 2x 1(1－x 1)x 2(1－x 2)＞1∴ a 2＞16 ∴ a＞47. 已知f(x)＝x 2＋ax ＋b(－1≤x≤1)，若|f(x)|的最大值为M ，求证：M≥21. 解：M ＝|f(x)|max ＝max{|f⑴|，|f(－1)|，|f(－2a)|}⑴若|－2a|≥1 (对称轴不在定义域内部) 则M ＝max{|f⑴|，|f(－1)|} 而f⑴＝1＋a ＋b f(－1)＝1－a ＋b|f⑴|＋|f(－1)|≥|f⑴＋f(－1)|＝2|a|≥4 则|f⑴|和|f(－1)|中至少有一个不小于2 ∴ M≥2＞21 ⑵|－2a|＜1 M ＝max{|f⑴|，|f(－1)|，|f(－2a)|} ＝max{|1＋a ＋b|，|1－a ＋b|，|－4a 2＋b|}＝max{|1＋a ＋b|，|1－a ＋b|，|－4a 2＋b|，|－4a 2＋b|}≥41(|1＋a ＋b|＋|1－a ＋b|＋|－4a 2＋b|＋|－4a 2＋b|)≥41[(1＋a ＋b)＋(1－a ＋b)－(－4a 2＋b)－(－4a 2＋b)]＝)2a 2(412≥21 综上所述，原命题正确. 8. ⑴解方程:(x ＋8)2001＋x2001＋2x ＋8＝0⑵解方程：2)1x (222221)1x (1x 1x 4x 2-=++++++⑴解：原方程化为(x ＋8)2001＋(x ＋8)＋x2001＋x ＝0即(x ＋8)2001＋(x ＋8)＝(－x)2001＋(－x)构造函数f(x)＝x 2001＋x原方程等价于f(x ＋8)＝f(－x)而由函数的单调性可知f(x)是R 上的单调递增函数 于是有x ＋8＝－x x ＝－4为原方程的解 ⑵两边取以2为底的对数得x)1x x (log )x (f )1x ()1)1x (1x (log x 2)1x 4x 2(log 1x 2x )1)1x (1x (log )1x 4x 2(log )1x (1)1x (1x 1x 4x 2log 2222222222222222222222+++=++++++=++++-=++++-++-=++++++构造函数即即 于是f(2x)＝f(x 2＋1)易证：f(x)世纪函数，且是R 上的增函数， 所以：2x ＝x 2＋1 解得：x ＝19. 设f(x)＝x 4＋ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，f⑴＝1，f⑵＝2，f⑶＝3，求41[f⑷＋f(0)]的值. 解：由已知，方程f(x)＝x 已知有三个解，设第四个解为m ， 记 F(x)＝f(x)－x ＝(x －1)(x －2)(x －3)(x －m) ∴ f(x)＝(x －1)(x －2)(x －3)(x －m)＋x f⑷＝6(4－m)＋4 f(0)＝6m∴41[f⑷＋f(0)]＝7 10. 设f(x)＝x 4－4x 3＋213x 2－5x ＋2，当x∈R 时，求证：|f(x)|≥21 证明：配方得： f(x)＝x 2(x －2)2＋25(x －1)2－21 ＝x 2(x －2)2＋25(x －1)2－1＋21 ＝(x 2－2x)2＋25(x －1)2－1＋21 ＝[(x －1)2－1]2＋25(x －1)2－1＋21 ＝(x －1)4－2(x －1)2＋1＋25(x －1)2－1＋21 ＝(x －1)4＋21(x －1)2＋21 ≥21练习：1. 已知f(x)＝ax 5＋bsin 5x ＋1，且f⑴＝5，则f(－1)＝( )A.3B.－3C.5D.－5解：∵ f⑴＝a ＋bsin 51＋1＝5设f(－1)＝－a ＋bsin 5(－1)＋1＝k 相加：f⑴＋f(－1)＝2＝5＋k ∴ f(－1)＝k ＝2－5＝－3 选B 2. 已知(3x ＋y)2001＋x2001＋4x ＋y ＝0，求4x ＋y 的值.解：构造函数f(x)＝x2001＋x ，则f(3x ＋y)＋f(x)＝0逐一到f(x)的奇函数且为R 上的增函数， 所以3x ＋y ＝－x 4x ＋y ＝03. 解方程：ln(1x 2+＋x)＋ln(1x 42+＋2x)＋3x ＝0解：构造函数f(x)＝ln(1x 2+＋x)＋x 则由已知得：f(x)＋f(2x)＝0不难知，f(x)为奇函数，且在R 上是增函数(证明略) 所以f(x)＝－f(2x)＝f(－2x) 由函数的单调性，得x ＝－2x 所以原方程的解为x ＝04. 若函数y ＝log 3(x 2＋ax －a)的值域为R ，则实数a 的取值范围是______________.解：函数值域为R ，表示函数值能取遍所有实数，则其真数函数g(x)＝x 2＋ax －a 的函数值应该能够取遍所有正数 所以函数y ＝g(x)的图象应该与x 轴相交 即△≥0 ∴ a 2＋4a≥0 a≤－4或a≥0解法二：将原函数变形为x 2＋ax －a －3y＝0 △＝a 2＋4a ＋4·3y≥0对一切y∈R 恒成立 则必须a 2＋4a≥0成立 ∴ a≤－4或a≥05. 函数y ＝8x 4x 5x 4x 22+-+++的最小值是______________.提示：利用两点间距离公式处理y ＝2222)20()2x ()10()2x (-+-++++表示动点P(x ，0)到两定点A(－2，－1)和B(2，2)的距离之和 当且仅当P 、A 、B 三点共线时取的最小值，为|AB|＝56. 已知f(x)＝ax 2＋bx ＋c ，f(x)＝x 的两根为x 1，x 2，a ＞0，x 1－x 2＞a1，若0＜t ＜x 1，试比较f(t)与x 1的大小.解法一：设F(x)＝f(x)－x ＝ax 2＋(b －1)x ＋c ， ＝a(x －x 1)(x －x 2) ∴ f(x)＝a(x －x 1)(x －x 2)＋x作差：f(t)－x 1＝a(t －x 1)(t －x 2)＋t －x 1 ＝(t －x 1)[a(t －x 2)＋1] ＝a(t －x 1)(t －x 2＋a1) 又t －x 2＋a1＜t －(x 2－x 1)－x 1＝t －x 1＜0 ∴ f(t)－x 1＞0 ∴ f(t)＞x 1解法二：同解法一得f(x)＝a(x －x 1)(x －x 2)＋x 令g(x)＝a(x －x 2)∵ a＞0，g(x)是增函数，且t ＜x 1 ⇒ g(t)＜g(x 1)＝a(x 1－x 2)＜－1 另一方面：f(t)＝g(t)(t －x 1)＋t ∴1x t t)t (f --＝a(t －x 2)＝g(t)＜－1 ∴ f(t)－t ＞x 1－t ∴ f(t)＞x 17. f(x)，g(x)都是定义在R 上的函数，当0≤x≤1，0≤y≤1时.求证：存在实数x ，y ，使得 |xy －f(x)－g(y)|≥41 证明：(正面下手不容易，可用反证法) 若对任意的实数x ，y ，都有|xy －f(x)－g(y)|＜41记|S(x ，y)|＝|xy －f(x)－g(y)| 则|S(0，0)|＜41，|S(0，1)|＜41，|S(1，0)|＜41，|S(1，1)|＜41 而S(0，0)＝－f(0)－g(0) S(0，1)＝－f(0)－g(1) S(1，0)＝－f(1)－g(0) S(1，1)＝1－f(1)－g(1)∴ |S(0，0)|＋|S(0，1)|＋|S(1，0)|＋|S(1，1)| ≥|S(0，0)－S(0，1)－S(1，0)＋S(1，1)| ＝1 矛盾！ 故原命题得证！8. 设a ，b ，c∈R，|x|≤1，f(x)＝ax 2＋bx ＋c ，如果|f(x)|≤1，求证：|2ax ＋b|≤4.解：(本题为1914年匈牙利竞赛试题) f⑴＝a ＋b ＋c f(－1)＝a －b ＋c f(0)＝c ∴ a＝21[f⑴＋f(－1)－2f(0)] b ＝21[f⑴－f(－1)] c ＝f(0)|2ax ＋b|＝|[f⑴＋f(－1)－2f(0)]x ＋21[f⑴－f(－1)]| ＝|(x ＋21)f⑴＋(x －21)f(－1)－2xf(0)| ≤|x＋21||f⑴|＋|x －21||f(－1)|＋2|x||f(0)|≤|x＋21|＋|x －21|＋2|x| 接下来按x 分别在区间[－1，－21]，(－21，0)，[0，21)，[21，1]讨论即可 9. 已知函数f(x)＝x 3－x ＋c 定义在[0，1]上，x 1，x 2∈[0，1]且x 1≠x 2.⑴求证：|f(x 1)－f(x 2)|＜2|x 1－x 2|； ⑵求证：|f(x 1)－f(x 2)|＜1.证明：⑴|f(x 1)－f(x 2)|＝|x 13－x 1＋x 23－x 2| ＝|x 1－x 2||x 12＋x 1x 2＋x 22－1|需证明|x 12＋x 1x 2＋x 22－1|＜2 ………………① x 12＋x 1x 2＋x 22＝(x 1＋4x 32x 22222 )≥0∴ －1＜x 12＋x 1x 2＋x 22－1＜1＋1＋1－1＝2 ∴ ①式成立 于是原不等式成立 ⑵不妨设x 2＞x 1由⑴ |f(x 1)－f(x 2)|＜2|x 1－x 2| ①若 x 2－x 1∈(0，21] 则立即有|f(x 1)－f(x 2)|＜1成立. ②若1＞x 2－x 1＞21，则－1＜－(x 2－x 1)＜－21 ∴ 0＜1－(x 2－x 1)＜21(右边变为正数) 下面我们证明|f(x 1)－f(x 2)|＜2(1－x 2＋x 1) 注意到：f(0)＝f⑴＝f(－1)＝c|f(x 1)－f(x 2)|＝|f(x 1)－f⑴＋f(0)－f(x 2)| ≤|f(x 1)－f⑴|＋|f(0)－f(x 2)|＜2(1－x 2)＋2(x 2－0) (由⑴) ＝2(1－x 2＋x 1)＜1综合⑴⑵，原命题得证.10. 已知f(x)＝ax 2＋x －a(－1≤x≤1) ⑴若|a|≤1，求证：|f(x)|≤45 ⑵若f(x)max ＝817，求a 的值. 解：分析：首先设法去掉字母a ，于是将a 集中 ⑴若a ＝0，则f(x)＝x ，当x∈[－1，1]时，|f(x)|≤1＜45成立 若a≠0，f(x)＝a(x 2－1)＋x∴ |f(x)|＝|a(x 2－1)＋x|≤|a||x 2－1|＋|x|≤|x 2－1|＋|x| (∵ |a|≤1) ≤1－|x 2|＋|x|＝45－(|x|－21)2 ≤45 ⑵a＝0时，f(x)＝x≤1≠817 ∴ a≠0∵ f(x)max ＝max{f⑴，f(－1)，f(－a 21)}又f(±1)＝±1≠817 ∴ f(x)max ＝f(－a 21)＝817 a(－a 21)2＋(－a 21)－a ＝817 a ＝－2或a ＝－81 但此时要求顶点在区间[－1，1]内，应舍去－81 答案为－2。
高一数学竞赛知识点总结归纳
高一数学竞赛知识点总结归纳概述：高一数学竞赛是对学生数学能力的全面检测和提升，具有一定的难度和深度。
在竞赛备考过程中，需要对各个知识点进行有效的总结和归纳，以便更好地复习和应对考试。
本文将对高一数学竞赛的知识点进行分类总结和归纳，帮助同学们更好地掌握和理解这些知识点。
一、函数与方程1. 函数的定义和性质- 定义函数的概念和符号表示- 求解函数的定义域和值域- 判断函数的奇偶性和周期性2. 一次函数与二次函数- 求解一次函数和二次函数的零点和解析式- 理解一次函数和二次函数的图象与性质- 应用一次函数和二次函数解决实际问题3. 不等式与方程- 解一元一次不等式和方程- 解一元二次不等式和方程- 组合不等式和方程的解集二、数与集合1. 复数与向量- 复数的定义和运算法则- 解复数方程和不等式- 向量的定义和运算法则- 应用向量解决几何问题2. 集合与运算- 集合的基本概念和表示方法- 集合的运算及其性质- 应用集合解决实际问题三、数列与数列极限1. 等差数列与等比数列- 定义等差数列和等比数列- 求解等差数列和等比数列的通项公式 - 求解数列的和与项数2. 数列的极限- 了解数列极限的概念和性质 - 求解常见数列的极限值- 应用数列极限解决实际问题四、概率与统计1. 概率基础知识- 概率的定义和性质- 概率的计算和应用2. 统计基础知识- 数据的收集和整理- 数据的分析和表示- 统计推断和误差分析五、几何与三角学1. 平面几何- 直线与角的性质- 三角形的定义和性质- 四边形和多边形的性质- 圆的定义和性质2. 空间几何- 空间几何中的直线和平面- 空间几何中的几何体3. 三角函数- 三角函数的基本概念和性质 - 三角函数的图像与变换- 三角函数的应用六、解析几何1. 坐标与向量- 二维坐标系和向量的概念- 坐标和向量的运算- 向量的共线和垂直性- 向量的线性运算2. 直线与曲线- 直线的方程与性质- 圆的方程与性质- 抛物线和双曲线的方程与性质七、数理逻辑与证明1. 命题与命题连接词- 命题的概念和符号表示- 命题连接词的真值表和性质- 命题的等价、否定和充分必要条件2. 数学归纳法与证明方法- 数学归纳法的基本思想和步骤- 证明方法的基本规则和技巧- 应用证明解决实际问题总结：通过对高一数学竞赛知识点的总结和归纳，同学们可以更清晰地了解各个知识点的要点和考点，进一步提升数学竞赛的应试能力。
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高一数学竞赛专题培训讲解
以下是小编为大家整理的关于《高一数学竞赛专题培训讲解》的文章，供大家学习参考！
方程理论及应用
一．一元一次同余方程
1．形式：不能整除 (1)
2．讨论的解
分析：1）
设是模m的完系，因为，所以也是模m的完系。
因此，其中必有且只有一个树与零同余，即，即（1）有解。
由（1）得：，由欧拉定理知：，所以
2）＞1
设（1）有解，则d︱b；反过来，设d︱b，因为，所以……（2）有解，所以（1）有解。
所以，（1）和（2）是等价的。
下面求（2）的解即可。
但是要注意，（1）和（2）的模不同，所以（2）的相同的解不一定也是（1）的相同的解，下面我们在（2）的所有解中来求（1）的所有不相同的解。
设（2）的解为：，则所以形如（t为任意整数）的数都是（2）的解，因此这些数中所有关于模m不同余的数就是（1）的所有解。
因为当……（3）时，有，所以；反之也成立，所以（3）成立的充要条件是
因此，在所有形如的数中只要t取关于模d不同余的数，所得到的数就关于模m不同余，所以就是（1）的所有解。
定理1 一元一次同余方程中，
当，有解，
＞1，有解 d︱b，，其中是的解。
定理2 （中国剩余定理）设两两互质，
则同余方程组（4）
对于模有解：
其中：，
二．二元一次不定方程。
1．形式：
2．定理：有解︱c
三．例题讲解。
例1．解同余式。
1）
2）
3）
4）
例2．解同余方程组。
1） 2） 3）
例3．求出最小的正整数，它的一半是整数的平方，它的是整数的三次方，它的是整数的五次方。
例4．解二元一次不定方程。
1）
2）求：的整数解
高斯函数
一．定义。
叫高斯函数，定义域为R，y是不超过_的整数。
注：1）
2）
二．性质。
1）定义：为_的小数部分，所以
2）是不减函数，当时，
3）中整数部分可以外拿，
4）有
5）若则
6）在中，m的倍数有个
三．应用技巧。
1）充分利用的定义，根据定义，任意实数，而0≤ ＜1，于是，将关于任意实数_的问题，归结到讨论区间（0，1）上的关于的问题。
2）有意识的利用的性质，特别是前四个性质，因为这四个性质是直接由定义派生出来的，可以说是函数的本质属性的推论。
3）充分利用典型区间，设m= ，p= ，则_=m+p，其中0≤p＜1，于是，问题归纳到在[0，1]上讨论。
为此需要对区间（0，1）进行划分，分段讨论，又常分成几个相等的小段：，于是问题的讨论只要在典型区间上进行即可。
四．例题讲解
例1．任何实数_，y，
求证：
例2．求：
例3．设r是实数且满足条件：
求：（第9届美国数学邀请赛AIME试题）
例4．在数列 = 中每个奇数k出现k次，设有整数p,q,r存在，对所有正整数n，满足，其中表示不大于_的整数，
求：的值。
（《数学通讯》问题征解题）
高一数学竞赛专题培训讲解.。