确定二次函数的表达式
确定二次函数的表达式
求出a 的值即可．范例1：抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标是(－1，3)，且过点(0，5)，那么二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的表达式为y ＝2x 2＋4x ＋5．仿例1：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则此二次函数表达式为( A )A ．y ＝－x 2＋2x ＋2B ．y ＝x 2－2x －2C ．y ＝－x 2－2x ＋2D ．y ＝－x 2－2x －2仿例2：抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则此抛物线的表达式是y ＝－x 2＋2x ＋3．,(仿例1题图)) ,(仿例2题图)),(仿例3题图))仿例3：如图所示的抛物线是二次函数y ＝ax 2－(a 2－1)x ＋1的图象，那么a 的值是－1．知识模块二 已知任意两点求二次函数表达式 阅读教材P 42～P 43，完成下面的内容：范例2：已知二次函数y ＝ax 2＋bx －6的图象经过点A(1，－3)，B(－1，－3)，则二次函数的表达式为( A )A ．y ＝3x 2－6B ．y ＝x 2＋2x －6C ．y ＝9x 2＋6x －6D ．y ＝9x 2－6x －6仿例：小聪做作业时不小心将题目：“已知二次函数y ＝x 2■x■的图象如图所示”污染，则题目中二次函数的表达式为y ＝x 2－73x －2．第2课时情景导入 生成问题旧知回顾：1．已知一个二次函数的图象的顶点为(8，9)且经过点(0，1)，则二次函数表达式为y ＝－18x 2＋2x ＋1．2．已知抛物线y ＝ax 2－2x ＋c 过点(1，－4)和(2，－7)，则二次函数仿例2：二次函数图象过A ，B ，C 三点，点A 的坐标为(－1，0)，点B 的坐标为(4，0)，点C 在y 轴正半轴上，且AB ＝OC ，求二次函数的表达式．解：∵A(－1，0)，B(4，0)，∴AO ＝1，OB ＝4，AB ＝AO ＋OB ＝1＋4＝5. ∴OC ＝5，即点C 的坐标为(0，5)．∵A(－1，0)，B(4，0)的纵坐标都为0，∴设二次函数的表达式为y ＝a(x ＋1)(x －4)． ∵点C 的坐标为(0，5)，∴5＝a(0＋1)(0－4)，解得a ＝－54.∴所求的二次函数表达式为：y ＝－54(x －4)(x ＋1)．教学 反思。
已知三点确定二次函数的表达式
解法一: 设所求二次函数关系式为：y = ax2+bx+c.
又抛物线过点（1，0），（3，0），（2，-1），
依题意得: a+b+c=0
a 1
9a+3b+c = 0 解得 b 4
4a + 2b + c=-1
c3
∴所求的函数关系式为
y x2 。4x 3
解法二 ∵点（1，0）和（3，0）是抛 物线与x轴的两个交点， ∴设二次函数关系式为：y=a(x-1)(x-3), 又抛物线过点（2，-1）， ∴ -1=a（2-1)（2-3） 解得a 1
确定二次函数的关系式
①设 设二次函数的关系式 ②代 将相关数值代入关系式得到方程或
方程组 ③解 解方程或方程组得出待定系数的值 ④写 写出该二次函数的关系式
例1：已知抛物线图象上三个点的坐标（1，0）， （3，0），（2，-1）求二次函数关系式。
例1：已知抛物线图象上三个点的坐标（1，0）， （3，0），（2，-1），求二次函数关系式。
小 结：
如何选择不同形式的二次函数的关系式？
1.一般式：y ax2 bx c(a 0)
（已知抛物线上三点或三对x、y的值，用一般式.）
2．顶点式： y a x h2 k(a 0)
（已知抛物线的顶点或对称轴或最值，用顶点式.）
3．交点式 ： y a(x x1)(x x2 )(a 0)
求c的值
∴设二次函数的关系式为y=a(x-1)2+2
∵图象经过点（3，-6）
∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2 ∴二次函数的关系式为y=-2(x-1)2+2
即： y=-2x2+4x
用顶点式确定二次函数表达式
(2,5) (0,1)
知识迁移
抛物线 y 2 x bx c（a≠0），经过向左平移 3个单位，向下平移2个单位，得到新的顶点为 （-2，3）；求抛物线原解析式。
2
知识迁移
已知抛物线C1的解析式为 y 2 x 4 x 5
2
抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，则抛物线C2的解 析式为：_________________ _； 若抛物线C3关于抛物线C1 y轴对称，则抛2 9 8
知识迁移
1.已知二次函数的对称轴为直线x=2,函数的最小值 是-3，且过（0，1），求二次函数解析式？
知识迁移
2.已知抛物线对称轴是直线x＝2，且经过(3，1) 和(0，－5)两点，求二次函数的关系式。
知识迁移
3.抛物线如图所示，请求出抛物线的解析式。
综合应用
要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安 装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水 头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的 水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱 落地处离池中心3m,水管应多长?
解:由题可得, 点(1,3)是图中这段抛 y B(1，3) 物线的顶点.因此可设这段抛物线 3 对应的函数是 A 2 y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3) ∵这段抛物线经过点(3,0) 3 1 2 a= － ∴ 0=a(3－1) ＋3 解得: 4 因此抛物线的解析式为: 2 1 3 O y=－4(x－1)2＋3 (0≤x≤3) 当x=0时,y=2.25 答:水管长应为2.25m.
数形结合 双壁辉映
曾鹏志
顶点式确定二次函数
知识回顾
用待定系数法求二次函数的解析式 常见类型
本节重点 运用
1.顶点式：y a( x h) k (a 0)
二次函数的表达式常见的三种形式
二次函数的表达式常见的三种形式：
1、一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 为常数，且，
当已知抛物线上任意三点坐标时，通常设其函数表达式为一般式，然后列出关于c b a ,,的三元一次方程组求解；
2、顶点式：)0,,(2≠++=a k h a k h x a y 为常数，且）（，当已知抛物线的顶点坐标和抛
物线上另一点的坐标时，通常先设函数的表达式为顶点式，然后将另一点的坐标带入，解关于a 的一元一次方程；
3、交点式（拓展）：)0,,)()((2121≠--=a x x a x x x x a y 为常数，且，其中21,x x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标.当已知抛物线与x 轴的交点及抛物线上另一点坐标时，通常先设其函数表达式为))((21x x x x a y --=，然后将另一点的坐标带入求出待定系数a .。
二次函数的四种表达式求法推导
爱上数学 提高素养二次函数的四种表达式求法推导整理于 2018.4.18 夜(1)如果二次函数的图像经过已知三点，则设表达式为 y = ax 2 + bx + c ，把已知三点坐标代入其中构造 三元一次方程组求 a 、b 、c 。
(2)二次函数顶点式：如果二次函数的顶点坐标为(h ，k )，则二次函数的表达式为： y = a ( x - h )2 + k 推导如下：y = ax 2 + bx + c= a (x 2 + b x + c ) aa= a [x 2 + b x + ( b )2 - ( b )2 + c ] a 2a 2 a ab 2 4ac - b 2= a ( x + ) +2a 4a 顶点式的变形：设二次函数y =ax 2 + bx + c (a 0)的图像交 x 轴于点 A (x 1,o ) 和 B (x 2,0)，则 x 1 +x 2 =-b ，1 2 1 2 a cx 1 • x 2 = a点 A 、B 的距离为 d ，=a (x + 2a ) -4ad已知二次函数与x 轴两个交点间的距离d ，则设二次函数的表达式为：y =(x -x 0)[x -(x 0 +d )]a [(x +b )2- b 2 + 2a 4a 2 c] a=a [(x + 2a ) + 4ac - b 24a 24ac - b 24ad = x 2-x 1 = (x 2 - x 1)= (x 1 + x 2)2 -4x 1 •x 2 = (-b )2 -4c aa y = ax 2 + bx + c= a (x 2 + b x + c )aa b 2 - 4ac a 2 b 2 - 4ac = a [x 2 + b x + (b )2 -( b )2+ c ] a 2 a 2 aa = a [(x +b )2- b 2 + c] 2a 4a 2 ab 2 b 2 - 4ac=a [(x + )2 - 2 ] 2a 4a 2= a [(x + b )2- 1 d 2]2a 4 2a爱上数学 提高素养3)二次函数两根式：如果二次函数的图像与 x 轴交于点(x 1,.0)和(x 2,0)，则二次函数的表达式为： y = a (x - x )(x - x ) 推导如下：设二次函数的图像交 x y = ax 2 +bx +c (a 0)于点(x 1,o ) 和(x 2,0)， 则 x ,1和x 2 是一元二次方程bc ax 2 +x +c =0(a 0)的两个实数根，由一元二次方程根与系数的关系得：x 1 + x 2 = -b ，x 1 •x 2 = c1 2 a 1 2 a 所以，y = ax 2 + bx + c= a (x 2+ b x + c ) aa= a [x 2 -(x + x )+ x •x ] = a ( x - x )(x - x )4)二次函数对称点式：如果二次函数的图像过点(x 1,m )和(x 2,m )(它们关于抛物线对称轴x = 函数的表达式对称点式： y =(x -x )(x -x )+m (a 0) ，推导如下： 方法 1 二次函数的图像过点(x 1,m )和(x 2,m )，那么x 1和x 2是 x 的一元二次方程 ax 2 +bx +c = m (即ax 2bx + c - m = 0)的两根，则有 ax 2 +bx +c -m = a (x -x )(x -x ) ∴ ax 2 + bx + c = a (x - x )(x - x + m )即 y = a ( x - x )(x - x ) + m方法 2 二次函数 y = ax 2 +bx +c 的图像经过点(x 1,m )和(x 2,m )，则有b =-a (x 1+x 2)c = ax 1x 2 + m代入 y = ax 2 +bx +c 中，得 y = ax 2 - a ( x + x ) + ax x +m = a [x 2 -(x + x )+ x x ]+m = a ( x - x )(x - x ) + m 对称)，则可以得到二次 m =ax 12 +bx 1 +cm =ax 22 +bx 2 + c。
基础题：确定二次函数的表达式
确定二次函数的表达式1．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的交点为(－1，0)、(3，0)，其形状与抛物线y ＝－2x 2相同，则抛物线的解析式为 ( )A ．y ＝－2x 2－x ＋3B ．y ＝－2x 2＋4x ＋5C ．y ＝－2x 2＋4x ＋8D ．y ＝－2x 2＋4x ＋62．抛物线的形状、开口方向与y ＝12x 2－4x ＋3相同，顶点为(－2，1)，则该抛物线的解析式为 ( )A ．y ＝12(x －2)2＋1B ．y ＝12(x －2)2－1C ．y ＝12(x ＋2)2＋1D ．y ＝12(x ＋2)2－13．如图，已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过点A (－1，0)，B (1，－2)，该图象与x 轴的另一个交点为C ，则AC 长为______．4．已知二次函数图象的顶点坐标为(1，－1)，且过原点(0，0)，求该函数解析式．5．二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过点(4，3)，(3，0)．(1)求解析式；(2)求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；确定二次函数的表达式1．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的交点为(－1，0)、(3，0)，其形状与抛物线y ＝－2x 2相同，则抛物线的解析式为 ( )A ．y ＝－2x 2－x ＋3B ．y ＝－2x 2＋4x ＋5C ．y ＝－2x 2＋4x ＋8D ．y ＝－2x 2＋4x ＋62．抛物线的形状、开口方向与y ＝12x 2－4x ＋3相同，顶点为(－2，1)，则该抛物线的解析式为 ( )A ．y ＝12(x －2)2＋1B ．y ＝12(x －2)2－1C ．y ＝12(x ＋2)2＋1D ．y ＝12(x ＋2)2－13．如图，已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过点A (－1，0)，B (1，－2)，该图象与x 轴的另一个交点为C ，则AC 长为______．4．已知二次函数图象的顶点坐标为(1，－1)，且过原点(0，0)，求该函数解析式．5．二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过点(4，3)，(3，0)．(1)求解析式；(2)求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；参考答案1．D 2.C 3.34．函数解析式为y＝(x－1)2－1.5．(1)b＝－4，c＝3；(2)二次函数图象的顶点坐标为(2，－1)，对称轴为直线x＝2；。
北师版九年级数学下册_2.3确定二次函数的表达式
抛物线于点 H，则 yH＝－530×72＋6＝ 3.06>3.所以其中的一侧行车道能并排
行驶宽 2 m、高 3 m 的三辆卡车．
课堂小结
确定二次函数的 表达式
确定二次函 数的表达式
一般式 顶点式 交点式
关键 已知条件的 呈现方式
知2－练
感悟新知
知2－练
(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2 m 的隔 离带)，其中的一侧行车道能否并排行驶宽2 m、高3 m 的三辆卡车(卡车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由.
感悟新知
解：能. 理由如下：
知2－练
如图所示，设 DE 是隔离带的宽，EG 是三辆卡车的宽
度和，则点 G 的坐标是(7，0)．过点 G 作 HG⊥AB，交
4-1. 一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图所示)，拱高6 m，跨 度是20 m，相邻两支柱间的距离均为5 m.
感悟新知
知2－练
(1)将抛物线放在直角坐标系中，并根据所给数据求出抛物 线的函数表达式. 解：(答案不唯一)将抛物线放在 如图所示的直角坐标系中，根 据已知条件，知A，B，C三点 的坐标分别是(－10，0)，(10， 0)，(0，6)．
1
标－2∵为x)－分3+517别(.－x722＜为+172(01xx，4)2+.－则∴2xxl当=，)=Ax－0D=)，+7722D(Cx时12+4+，C－2Bxlx+=有，1(4最－－=－大177 值72xx22+(+，x22－x最x ))72大+，)(值+1(x432，－5 .
2
感悟新知
知2－练
得5a＝5，解得a＝1，
∴y＝x(x－4)＝x2－4x，
中考二次函数常见题型
中考二次函数常见题型
中考二次函数常见题型包括：
1. 确定二次函数的表达式：根据已知条件，如顶点坐标、与x轴的交点坐标等，使用待定系数法求出二次函数的表达式。
2. 二次函数与一元一次方程的关系：根据二次函数图象与x轴的交点，求得一元二次方程的根。
3. 二次函数的增减性：根据二次函数的开口方向以及对称轴，判断函数的增减性。
4. 二次函数图象的平移：通过平移规则，将一个二次函数图象平移到指定位置，再根据平移后的顶点坐标求得新的二次函数表达式。
5. 二次函数的最值问题：根据二次函数的顶点和开口方向，求得函数的最大值或最小值。
6. 二次函数与几何图形的综合题：例如，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上的动点，探究四边形ABCP的面积的最大值等。
这些题型涵盖了中考中二次函数的主要考点，可以通过针对性的练习加以掌握。
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2.3 确定二次函数的表达式
学习目标:
经历三种方式表示变量之间二次函数关系的过程，体会三种方式之间的联系和各自不同点；掌握变量之间的二次函数关系，解决二次函数所表示的问题；掌握根据二次函数不同的表达方式，从不同的侧面对函数性质进行研究．
学习重点:
能够根据二次函数的不同表示方式，从不同的侧面对函数进行研究．函数的综合题目，往往是三种方式的综合应用，由三种不同方式，都能把握函数性质，才会正确解题．
学习难点:
用三种方式表示二次函数的实际问题时，忽略自变量的取值范围是常见的错误．
学习过程:
一、做一做：
已知矩形周长20cm,并设它的一边长为xcm,面积为ycm2，y随x的而变化的规
律是什么？你能分别用函数表达式，表格和图象表示出来吗？比较三种表示方式,
你能得出什么结论?与同伴交流.
二、试一试：
两个数相差2,设其中较大的一个数为x,那么它们的积y是如何随x的变化而变化的? ？你能分别用函数表达式,表格和图象表示这种变化吗?
表示方法优点缺点
解析法
表格法
图像法
三者关系
【例1】已知函数y=x2＋bx＋1的图象经过点（3，2）．
（1）求这个函数的表达式；
（2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；
（3）当x＞0时，求使y≥2的x的取值范围．
【例2】一次函数y=2x＋3，与二次函数y=ax2＋bx＋c的图象交于A（m，5）和B（3，n）两点，且当x=3时，抛物线取得最值为9．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在同一坐标系中画出两个函数的图象；
（3）从图象上观察，x为何值时，一次函数与二次函数的值都随x的增大而增大．
（4）当x为何值时，一次函数值大于二次函数值？
【例3】 行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑动一段距离才停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过130km/h ），对这种汽车进行测试，测得数据如下表： 刹车时车速（km/h ） 0 10 20 30 40 50 60 70
刹车距离（m ） 0 1．1 2．4 3．9 5．6 7．5 9．6 11．9
（1）以车速为x 轴，刹车距离为y 轴，在下面的方格图中建立坐标系，描出这些数据所表示的点，并用平滑曲线连接这些点，得到函数的大致图象；
（2）观察图象，估计该函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数表达式；
（3）该型号汽车在国道上发生了一次交通事故，现测得刹车距离为26．4m ，问在事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶，请说明理由．
【例4】 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图①中的一条折线表示，西红柿的种植成本与上市时间关系用图②中的抛物线表示．（1）写出图①中表示的市场售价与时间的函数表达式P=f （t ），写出图②中表示的种植成本与时间函数表达式Q=g （t ）；
（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价和种植
成本的单位：元/102kg ，时间单位：天）
五、随堂练习：
1．已知函数y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象，如图①所示，则下列关系式中成立的是（ ）
A ．0＜－a b 2＜1
B ．0＜－a b 2＜2
C ．1＜－a b 2＜2
D ．－a b 2=1
图① 图②
2．抛物线y=ax 2
＋bx ＋c （c ≠0）如图②所示，回答：
（1）这个二次函数的表达式是 ；
（2）当x= 时，y=3；
（3）根据图象回答：当x 时，y＞0．
3．已知抛物线y=－x2＋（6－2k）x＋2k－1与y轴的交点位于（0，5）上方，则k的取值范围是
．
六、课后练习
1．若抛物线y=ax2＋b不经过第三、四象限，则抛物线y=ax2＋bx＋c（）
A．开口向上，对称轴是y轴B．开口向下，对称轴是y轴
C．开口向上，对称轴平行于y轴D．开口向下，对称轴平行于y轴
2．二次函数y=－x2＋bx＋c图象的最高点是（－1，－3），则b、c的值是（）
A．b=2，c=4 B．b=2，c=4 C．b=－2，c=4 D．b=－2，c=－4．
3．二次函数y= ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①c＜0；②b＞0；③4a＋2b＋c＞0；
④（a＋c）2＜b2．其中正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．两个数的和为8，则这两个数的积最大可以为，若设其中一个数为x，积为y，
则y与x的函数表达式为．
5．一根长为100m的铁丝围成一个矩形的框子，要想使铁丝框的面积最大，边长分别为
．
6．若两个数的差为3，若其中较大的数为x，则它们的积y与x的函数表达式为，它有最值，即当x= 时，y= ．
7．边长为12cm的正方形铁片，中间剪去一个边长为x的小正方形铁片，剩下的四方框铁片的面积y （cm2）与x（cm）之间的函数表达式为．
8．等边三角形的边长2x与面积y之间的函数表达式为．
9．抛物线y=x2＋kx－2k通过一个定点，这个定点的坐标为．
10．已知抛物线y=x2＋x＋b2经过点（a，－1/4）和（－a，y1），则y1的值是．
11．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程．图中二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润S（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和S与t之间的关系）．
根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润S（万元）与时间t（月）之间的函数表达式；
（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；
（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？。