(精心整理)三角函数之平移
三角函数平移
三角函数平移三角函数是数学中重要的一类函数，它描述的是三角形的有关关系。
三角函数的平移是将三角函数的输入发生改变，加一个常数偏移，而输出不变的操作。
三角函数的平移在函数图像中有重要的作用，它以不同的形式对三角函数的描述产生重要的影响，这部分的数学可以说是很有趣的。
首先，要理解三角函数的平移，就必须先了解三角函数本身。
三角函数是定义在实数上的函数，它可以用来描述一个给定角度的三角形的边长和角度的关系。
常用的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。
这三个函数对应的是三角形的弧长、边长以及角度的关系，它们的求值可以用三角函数表表示。
其次，研究三角函数的平移必须知道平移之后三角函数的描述方式。
三角函数的平移可以使输入发生改变，也可以使输出发生改变，具体取决于实际情况。
直观地理解，这种改变会使三角函数的描述发生变化，如在坐标系中将三角函数发生位移；同时，也会改变三角函数定义域的内容，也会影响到定义域内的函数值。
第三，要深入了解三角函数的平移，还需要研究它的几何意义。
它不仅能够改变函数的图像，而且还能改变三角函数的定义域和值域，这种改变是一种对三角函数的线性变换，具有一定的几何意义。
最后，要详细了解三角函数的平移，就必须研究三角函数的变换，包括旋转、拉伸等等。
这些变换都可以描述三角函数的平移，它们也可以被称为参数变换。
参数变换用来改变三角函数的描述，它使三角函数对于角度的变化有形象地描述，它们也可以用来改变定义域及值域。
总之，三角函数的平移是一种数学现象，它提供了一种简单方便的方法来描述三角形的有关关系，它可以改变定义域及值域，也可以用于改变函数图像。
它与旋转、拉伸息息相关，对研究三角函数有重要的意义，是三角函数数学研究中重要的环节。
三角函数的平移与伸缩变换_整理
函数)sin(A ϕω+=x y 的图像（1）物理意义：sin()y A x ωϕ=+（A ＞0，ω＞0），x ∈［0，+ ∞）表示一个振动量时，A 称为振幅，T =ωπ2，1f T=称为频率，x ωϕ+称为相位，ϕ称为初相。
（2）函数sin()y A x k ωϕ=++的图像与sin y x =图像间的关系：① 函数sin y x =的图像纵坐标不变,横坐标向左（ϕ>0）或向右（ϕ<0）平移||ϕ个单位得()sin y x ϕ=+的图像；② 函数()sin y x ϕ=+图像的纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω，得到函数()sin y x ωϕ=+的图像；③ 函数()sin y x ωϕ=+图像的横坐标不变,纵坐标变为原来的A 倍，得到函数sin()y A x ωϕ=+的图像；④ 函数sin()y A x ωϕ=+图像的横坐标不变，纵坐标向上（0k >）或向下（0k <），得到()sin y A x k ωϕ=++的图像。
要特别注意，若由()sin y x ω=得到()sin y x ωϕ=+的图像，则向左或向右平移应平移||ϕω个单位。
ϕ对)sin(ϕ+=x y 图像的影响一般地，函数)sin(ϕ+=x y 的图像可以看做是把正弦函数曲线上所有的点向____（当ϕ〉0时）或向______(当ϕ〈0时）平移ϕ个单位长度得到的 注意：左右平移时可以简述成“______________”ω对x y ωsin =图像的影响函数x y ωsin =)10(≠>∈ωω且R x ，的图像可以看成是把正弦函数上所有的点的横坐标______)1(>ω或_______)10(<<ω到原来的ω1倍（纵坐标不变）。
A 对x y sin A =的影响函数x y sin A =，)1A 0A (≠>∈且R x 的图像可以看成是把正弦函数上所有的点的纵坐标_______)1A (>或_______)1A 0(<<到原来的A 倍得到的由x y sin =到)sin(A ϕω+=x y 的图像变换 先平移后伸缩：先伸缩后平移：【典型例题】例1 将sin y x =的图象怎样变换得到函数π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．练习：将x y cos =的图象怎样变换得到函数πcos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象．例2、把)342cos(3π+=x y 作如下变换： （1）向右平移2π个单位长度； (2）纵坐标不变，横坐标变为原来的31；（3）横坐标不变，纵坐标变为原来的43；(4）向上平移1。
三角函数中的平移与伸缩变换
三角函数中的平移与伸缩变换三角函数是数学中的重要概念之一，通过平移和伸缩变换可以对三角函数图像进行调整和变化。
本文将探讨三角函数中的平移与伸缩变换，并说明它们对函数图像的影响。
一、平移变换平移变换是指将函数图像沿着坐标轴平行移动的过程。
在三角函数中，平移变换会改变函数的水平位置。
具体而言，对于三角函数y = f(x)，平移变换可以表示为y = f(x ± b)，其中b为平移量。
1. 正弦函数的平移变换正弦函数y = sin(x)在平移变换下，可以写作y = sin(x ± b)。
当b为正值时，图像向左平移；当b为负值时，图像向右平移。
平移量b的绝对值越大，图像平移的距离越远。
2. 余弦函数的平移变换余弦函数y = cos(x)的平移变换形式为y = cos(x ± b)。
与正弦函数类似，当b为正值时，图像向左平移；当b为负值时，图像向右平移。
平移量b的绝对值越大，图像平移的距离越远。
3. 正切函数的平移变换正切函数y = tan(x)在平移变换下，可以写作y = tan(x ± b)。
与正弦函数和余弦函数不同，正切函数的平移变换会导致图像的水平拉伸与压缩。
当b为正值时，图像向左平移；当b为负值时，图像向右平移。
平移量b的绝对值越大，图像平移的距离越远。
二、伸缩变换伸缩变换是指将函数图像在x轴或y轴上进行拉伸或压缩的过程。
在三角函数中，伸缩变换会改变函数图像的形状和振幅。
具体而言，对于三角函数y = f(x)，伸缩变换可以表示为y = af(bx)，其中a为纵向伸缩因子，b为横向伸缩因子。
1. 正弦函数的伸缩变换正弦函数y = sin(x)在伸缩变换下，可以写作y = a sin(bx)。
纵向伸缩因子a决定了函数图像的振幅，a越大，则振幅越大；a越小，则振幅越小。
横向伸缩因子b决定了函数图像的周期，b越大，则周期越短；b越小，则周期越长。
2. 余弦函数的伸缩变换余弦函数y = cos(x)的伸缩变换形式为y = a cos(bx)。
三角函数平移变换问题左加右减
三角函数平移变换问题，左加右减，这是一个有关数学中三角函数变换的重要概念，它指的是在三角函数变换中，左边加上一个常数，右边减去同一个常数。
这个概念可以用数学表达式来表示，即：y=f(x+a)-f(x-a)，其中a为常数，f(x)表示三角函数，y表示变换后的结果。
它的意义在于，在三角函数变换中，左边加上常数a，右边减去常数a，就可以改变角度，改变函数的形状。
这个概念在三角函数的应用中尤为重要，一般来说，三角函数的图像都是曲线，通过平移变换，可以改变这些曲线的形状，让曲线更加符合实际需求。
此外，对于三角函数变换中的左加右减这一概念，还有一个很重要的应用，就是可以用它来计算三角函数的导数。
由于三角函数的导数的计算比较复杂，因此可以利用左加右减的概念，将求导问题转化为一个求函数值的问题，这样就可以较为容易地求出三角函数的导数了。
总之，三角函数平移变换问题，左加右减，是一个在数学中重要的概念，它不仅可以用来改变函数的形状，还可以用来计算三角函数的导数，在数学中具有重要的应用价值。
三角函数的像变换与平移
三角函数的像变换与平移三角函数是数学中非常重要的概念之一，在三角函数中，像变换与平移是两个重要的概念。
它们描述了函数图像在坐标系中的移动和变形过程。
本文将重点介绍三角函数的像变换与平移。
1. 像变换（Image Transformation）像变换是指通过特定的变换规则，改变函数图像的形状、位置或尺寸等性质。
对于三角函数而言，常见的像变换包括拉伸、压缩、翻转和反转等。
1.1 拉伸（Stretch）拉伸是指改变函数图像在横轴和纵轴方向上的尺寸，使其变得更长或更短。
对于正弦函数（sin）和余弦函数（cos）而言，拉伸可以分别沿横轴和纵轴方向进行。
例如，当正弦函数的图像被沿横轴方向拉伸时，函数的周期将变得更长，波峰和波谷之间的距离增加；而当余弦函数的图像被沿纵轴方向拉伸时，函数的振幅（波峰或波谷与横轴的距离）增加。
1.2 压缩（Compression）压缩是指改变函数图像在横轴和纵轴方向上的尺寸，使其变得更短或更窄。
与拉伸相反，压缩使函数的周期变短，波峰和波谷之间的距离缩小；同时，压缩会使函数的振幅减小。
1.3 翻转（Reflection）翻转是指将函数图像相对于横轴或纵轴进行对称变换，以改变图像的朝向。
对于正弦函数和余弦函数而言，翻转可以使波形上下颠倒或左右翻转。
1.4 反转（Inversion）反转是指将函数图像的正负进行翻转，使得原本正值的部分变为负值，负值的部分变为正值。
对于正弦函数和余弦函数而言，反转会使波形关于横轴或纵轴进行对称。
2. 平移（Translation）平移是指将函数图像在坐标系中沿横轴或纵轴方向上移动，以改变图像的位置。
对于正弦函数和余弦函数而言，平移可以使波形向左或向右平移一定的距离，或者向上或向下平移。
2.1 横向平移（Horizontal Translation）横向平移是指将函数图像沿横轴方向上移动，通常用参数h表示平移的距离。
当h为正值时，函数图像向右平移；当h为负值时，函数图像向左平移。
数学公式知识：三角函数图像的平移与缩放
数学公式知识：三角函数图像的平移与缩放三角函数图像的平移与缩放是数学中常见的一个话题，也是高中数学课程中的重要内容。
三角函数是数学中的基本概念之一，在大学数学中被广泛应用到各种领域。
三角函数具有一定的规律性和对称性，三角函数图像的平移和缩放是基于这些规律性和对称性而实现的，因此掌握三角函数图像的平移和缩放是理解三角函数及其应用的前提。
一、三角函数图像的基本概念三角函数是指正弦函数、余弦函数和正切函数三种函数的统称，它们都是以角度或弧度为自变量的函数，其中正弦函数的函数值为对边与斜边之比，余弦函数的函数值为邻边与斜边之比，正切函数的函数值为对边与邻边之比。
三角函数关系着三角形中的几何关系，因此在三角形几何中也十分重要。
三角函数图像是把三角函数的函数值和自变量进行映射后得到的图像，它可以帮助我们更好的理解三角函数的性质和应用。
二、三角函数图像的平移平移是指在坐标系中把图形沿着固定的方向移动一定的距离，平移前后图形形状不会改变，只是位置改变了。
对于三角函数图像的平移，其实就是在自变量上加或减一个常数，或在函数值上加或减一个常数，使得图像整体向左、向右、向上或向下平移。
这样可以使得图像的位置在坐标系上发生变化，但是形状不会发生变化。
三角函数图像的平移可以用下列公式来描述：1、正弦函数图像的平移设f(x)为正弦函数，a为常数。
当a>0时, y=f(x- a)图像向右平移a个单位。
当a<0时, y=f(x+ a)图像向左平移a个单位。
2、余弦函数图像的平移设f(x)为余弦函数，a为常数。
当a>0时, y=f(x- a)图像向右平移a个单位。
当a<0时, y=f(x+ a)图像向左平移a个单位。
3、正切函数图像的平移设f(x)为正切函数，a为常数。
当a>0时, y=f(x- a)图像向右平移a个单位。
当a<0时, y=f(x+ a)图像向左平移a个单位。
三、三角函数图像的缩放缩放是指把图形沿着某个方向缩小或放大一定的比例，缩放后图形的形状和位置都会发生变化。
(完整版)三角函数图像平移变换
三角函数图像平移变换由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ）的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。
利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形,请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量"起多大变化，而不是“角变化”多少.途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换）先将y ＝sin x 的图象向左(ϕ＞0)或向右（ϕ＜0＝平移｜ϕ｜个单位,再将图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍（ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象. 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。
先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，再沿x 轴向左（ϕ＞0）或向右(ϕ＜0＝平移ωϕ||个单位，便得y ＝sin （ωx ＋ϕ)的图象。
1。
为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像,只需将函数sin 2y x =的图像( A ）A ．向左平移5π12个长度单位B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位2.要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象（ D ）A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π3个单位 D ．向左平移π6个单位3.为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ B ）(A ）向右平移6π个单位长度 （B)向右平移3π个单位长度(C)向左平移6π个单位长度 （D)向左平移3π个单位长度4.把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是CA sin(2)3y x π=-，x R ∈B sin()26x y π=+，x R ∈C sin(2)3y x π=+，x R ∈D sin(2)32y x π=+,x R ∈5.为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像B（A)向左平移4π个长度单位 （B ）向右平移4π个长度单位 （C ）向左平移2π个长度单位 （D ）向右平移2π个长度单位6.已知函数()sin()(,0)4f x x x R πϖϖ=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ϖ=的图象，只要将()y f x =的图象AA 向左平移8π个单位长度 B 向右平移8π个单位长度 C 向左平移4π个单位长度 D 向右平移4π个单位长度7。
三角函数变换规律
三角函数变换规律三角函数是数学中的重要概念，它涉及到角度和直角三角形的关系。
在学习三角函数的过程中，我们会遇到变换规律，也就是函数的性质和特点。
本文将重点讨论三角函数的变换规律，包括正弦函数、余弦函数和正切函数的性质。
一、正弦函数的变换规律正弦函数是三角函数中的一种，用记号sin(x)表示，其中x为角度。
正弦函数的图像是一条连续的波浪线，其对称轴为y轴，振幅为1。
有以下几个变换规律：1. 垂直方向平移：正弦函数在y轴上的平移可以用公式sin(x + b)来表示。
其中b为平移的距离。
若b为正数，曲线向左平移；若b为负数，曲线向右平移。
例如，sin(x + π/2)的图像比sin(x)的图像向左平移了π/2个单位。
2. 水平方向压缩或拉伸：正弦函数在x轴上的压缩或拉伸可以用公式sin(ax)来表示。
其中a为拉伸或压缩的倍数。
若a大于1，曲线被压缩；若a小于1，曲线被拉伸。
例如，sin(2x)的图像比sin(x)的图像在x轴上收缩了一倍。
3. 垂直方向伸缩：正弦函数在y轴上的伸缩可以用公式a*sin(x)来表示。
其中a为伸缩的比例。
若a大于1，曲线纵坐标增大；若a小于1，曲线纵坐标减小。
例如，2*sin(x)的图像比sin(x)的图像在y轴上伸缩了两倍。
二、余弦函数的变换规律余弦函数是三角函数中的另一种，用记号cos(x)表示。
余弦函数的图像是一条连续的波浪线，其对称轴为x轴，振幅为1。
与正弦函数类似，余弦函数也有相应的变换规律。
1. 垂直方向平移：余弦函数在y轴上的平移可以用公式cos(x + b)来表示。
其中b为平移的距离。
若b为正数，曲线向左平移；若b为负数，曲线向右平移。
2. 水平方向压缩或拉伸：余弦函数在x轴上的压缩或拉伸可以用公式cos(ax)来表示。
其中a为拉伸或压缩的倍数。
若a大于1，曲线被压缩；若a小于1，曲线被拉伸。
3. 垂直方向伸缩：余弦函数在y轴上的伸缩可以用公式a*cos(x)来表示。
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三角函数图像的平移、变换
一、 引入
以简单函数为例，讲解“左加右减、上加下减”。
讲清横移的实质是把所有x 替换为x+a ； 二、三角函数图像的平移之历年高考真题
1、（2010全国卷2理）（7）为了得到函数sin(2)3y x π=-
的图像，
只需把函数sin(2)6
y x π
=+的图像（ ）向左平移4π个长度单位 （B ）向右平移4
π
个长度单位
（C ）向左平移2π个长度单位 （D ）向右平移2π
个长度单位
2、（2010四川理）（6）将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动10
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是 （A ）sin(2)10y x π=-
（B ）sin(2)5y x π
=- （C ）1sin()210y x π=- （D ）1sin()220
y x π
=-
3、（2010天津文）（8）
5y Asin x x R 66ππωϕ⎡⎤
=∈⎢⎥⎣⎦
右图是函数（+）（）在区间-，上的图象，为了得到这个函数的图象，只
要将y sin x x R =∈（）的图象上所有的点
(A)向左平移3
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的
1
2
倍，纵坐标不变 (B) 向左平移3
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原
来的2倍，纵坐标不变
(C) 向左平移6
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变
(D) 向左平移6
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
4、(2009山东卷理)将函数sin 2y x =的图象向左平移4
π
个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解
析式是( ).A.cos 2y x = B.2
2cos y x = C.)4
2sin(1π++=x y
D.2
2sin y x =
5、（2009全国卷Ⅱ理）若将函数()tan 04y x πωω⎛
⎫
=+
> ⎪⎝
⎭
的图像向右平移
6
π
个单位长度后，与函数tan 6y x πω⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图像重合，则ω的最小值为
A ．
1
6
B.
1
4
C.
13
D.
12
解析：6tan tan[(]ta )6446n y x y x x π
ππππωωω⎛⎫⎛
⎫=+−−−−−−
→=-=+ ⎝
+⎪ ⎪⎝⎭⎭向右平移个单位 164
()6
62k k k Z π
π
ωπωπ
+=
∴=+∈∴
-
，又min 1
02
ωω>∴=.故选D 答案 D 6、(2009湖南卷理)将函数y=sinx 的图象向左平移ϕ(0 ≤ϕ＜2π)的单位后，得到函数y=sin ()6
x π
-的
图象，则ϕ等于 （ ）
A ．
6
π
B ．56π C. 76π D.116π
sin()y x ϕ=+可化为函数sin()6y x π=-，易知比较各答案，只有11sin()6y x π=+
sin()6
x π
=- 7、（2009天津卷理）已知函数()sin()(,0)4
f x x x R π
ϖϖ=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数
()cos g x x ϖ=的图象，只要将()y f x =的图象
A 向左平移
8π个单位长度 B 向右平移8π
个单位长度 C 向左平移4π个单位长度 D 向右平移4
π
个单位长度8、(2009湖北卷理)函数cos(2)26
y x π=+-的图象F 按向量a 平移到'F ,'
F 的函数解析式为(),
y f x =当()y f x =为奇函数时，向量a 可以等于
.(,2)6
A π
-
- .(,2)6B π
-
.(,2)6
C π- .(,2)6
D π
二、 三角函数图像的平移之历年模拟题
1、（2009福建省）为了得到函数y=x x x cos sin 3sin 2
+的图象,可以将函数y=sin2x 的图象( )
A.向左平移
6
π
个单位长度,再向下平移21个单位长度
B.向右平移6
π
个单位长度,再向上平移21个单位长度
C.向左平移12π个单位长度,再向下平移21
个单位长度
D.向右平移12π个单位长度,再向上平移2
1
个单位长度
2.（2009厦门一中）把函数2
(cos3sin 3)2
y x x =-的图象适当变化就可以得到sin3y x =-的图象，这个变化可以是 （ ） A.沿x 轴方向向右平移
4π B.沿x 轴方向向左平移4
π C.沿x 轴方向向右平移
12π D.沿x 轴方向向左平移12
π 3、（浙江省衢州市2010年4月高三年级教学质量检测试卷理科）要得到函数sin y x =-的图像，只需
将函数cos y x =的图像 （ ） A ．右移
2
π
个单位 B ．右移π个单位 C ．左移π个单位
D ．左移
2
π
个单位 4、(浙江省金华十校2010 年 高 考 模 拟 考 试文理科)函数cos sin y x x =-的图象可由函数
2sin y x =的图象
（ ）
A ．向左
4π
平移个长度单位 B ．向左
34π
平移个长度单位 C ．向右4
π
平移个长度单位
D ．向右34
π
平移个长度单位
5、（浙江省嵊州一中2010年3月高三月考试卷理科）将函数cos 2y x =的图象作平移变换，得到函数
sin(2)6y x π
=-的图象，则这个平移变换可以是 （ ）
A. 向左平移6π个单位长度
B. 向左平移3π
个单位长度
C. 向右平移6π个单位长度
D. 向右平移3
π
个单位长度
6、(湖北省赤壁一中2010届高三年级3月质量检测理科A 试题)将函数()sin 2cos 2f x x x =-的图象按向量a 平移后所得图象关于y 轴对称，则a 的最小值为（ ） A.
38π B. 8π C. 34
π D. 4π 7、（湖北省八校2010 届 高 三 第 二 次 联 考理科）为得到函数cos(2)3
y x π
=+
的图象，只需将函数
sin 2y x =的图象
（ ）
A ．向左平移
512π
个长度单位 B ．向右平移
512π
个长度单位
C ．向左平移56π
个长度单位
D ．向右平移56
π
个长度单位
8、(江苏通州市2010年3月高三素质检测)将函数sin 2y x =的图象向左平移4
π
个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是____________▲________________ .。