大数据结构课程设计-最小生成树
数据结构(Java版)图2(最小生成树)
最小生成树举例
A
50 60 52 65 50
C
45 42 30 50
A
C
45
B
40
D
G
B
40 50
D
42 30
G
E
70
F
E
F
(a) 无向带权连通图G
(b) 无向带权图G 的最小生成树T
从最小生成树的定义可知，构造n个顶点的无向带权连 通图的最小生成树，必须满足如下三个条件： ① 必须包含n个顶点。 ② 有且仅有n-1条边。 ③ 没有回路。
）
将ej边加入到tree中；
}
实践项目
设计一个程序实现Prim和Kruskal算法.
表5-1 lowcost[ ]数组数据变化情况 表5-2 closest[ ]数组数据变化情况
扫描次数
closest[0]
closest[1]
closest[2]
closest[3]
closest[4]
closest[5]
求最小生成树算法
普里姆算法（Prim） (从点着手)
适合于求边稠密的最小生成树 适合于求边稀疏的最小生成树
克鲁斯卡尔算法（Kruskal）（从边着手）
普里姆算法（Prim）思想
1.
2.
3.
4.
令集合U=｛u0｝（即从顶点u0开始构造最小生 成树），集合T=｛｝。 从所有顶点u∈U和顶点v∈V-U的边权中选择最 小权值的边(u,v)，将顶点v加入到集合U中，边 (u,v)加入到集合T中。 如此重复下去，直到U=V时则最小生成树构造完 毕。 此时集合U就是最小生成树的顶点集合，集合T 就是最小生成树的边集。
生成树类型
生成树类型
生成树是计算机科学中的一种基本数据结构，用于解决与图相关的许多问题。
生成树可以分为以下几类：
1. 最小生成树：在一个加权无向连通图中找到一棵包含所有顶点的树，并且总权值最小。
2. 最大生成树：在一个加权无向连通图中找到一棵包含所有顶点的树，并且总权值最大。
3. 最近公共祖先树：在一棵树中找到两个节点的最近公共祖先，并建立一棵包含这两个节点以及它们的所有祖先节点的子树。
4. Huffman编码树：用于数据压缩，建立一棵二叉树，由该树的叶子节点表示待压缩的数据，通过该树的路径表示压缩后的数据。
5. B-树：用于数据库和文件系统中，能够存储大量数据且支持高效的查找、插入、删除等操作的平衡树。
生成树是计算机科学中非常重要的一种数据结构，具有广泛的应用。
最小生成树问题的算法实现及复杂度分析—天津大学计算机科学与技术学院(算法设计与分析)
算法设计与分析课程设计报告学院计算机科学与技术专业计算机科学与技术年级2011姓名XXX学号2013年5 月19 日题目：最小生成树问题的算法实现及复杂度分析摘要：该程序操作简单，具有一定的应用性。
数据结构是计算机科学的算法理论基础和软件设计的技术基础，在计算机领域中有着举足轻重的作用，是计算机学科的核心课程。
而最小生成树算法是算法设计与分析中的重要算法，最小生成树也是最短路径算法。
最短路径的问题在现实生活中应用非常广泛，如邮递员送信、公路造价等问题。
本设计以Visual Studio 2010作为开发平台，C/C++语言作为编程语言，以邻接矩阵作为存储结构，编程实现了最小生成树算法。
构造最小生成树有很多算法，本文主要介绍了图的概念、图的遍历，并分析了PRIM 经典算法的算法思想，最后用这种经典算法实现了最小生成树的生成。
引言：假设要在n个城市之间建立通信联络网，则连接n个城市只需要n-1条线路。
这时，自然会考虑这样一个问题，如何在节省费用的前提下建立这个通信网？自然在每两个城市之间都可以设置一条线路，而这相应的就要付出较高的经济代价。
n个城市之间最多可以设置n（n-1）/2条线路，那么如何在这些可能的线路中选择n-1 条使总的代价最小呢？可以用连通网来表示n 个城市以及n个城市之间可能设置的通信线路，其中网的顶点表示城市，边表示两个城市之间的线路，赋予边的权值表示相应的代价。
对于n个顶点的连通网可以建立许多不同的生成树，每一个生成树都可以是一个通信网。
现在要选择这样一棵生成树，也就是使总的代价最小。
这个问题便是构造连通网的最小代价生成树（简称最小生成树）的问题。
最小生成树是指在所有生成树中，边上权值之和最小的生成树，另外最小生成树也可能是多个，他们之间的权值之和相等。
一棵生成树的代价就是树上各边的代价之和。
而实现这个运算的经典算法就是普利姆算法。
正文普里姆（Prim）算法思想普里姆算法则从另一个角度构造连通网的最小生成树。
PRIM算法求最小生成树
xx学院《数据结构与算法》课程设计报告书课程设计题目 PRIM算法求最小生成树院系名称计算机科学与技术系专业（班级）姓名（学号）指导教师完成时间一、问题分析和任务定义在该部分中主要包括两个方面：问题分析和任务定义；1 问题分析本次课程设计是通过PRIM（普里姆）算法，实现通过任意给定网和起点，将该网所对应的所有生成树求解出来。
在实现该本设计功能之前，必须弄清以下三个问题：1．1 关于图、网的一些基本概念1．1．1 图图G由两个集合V和E组成，记为G=（V，E），其中V是顶点的有穷非空集合，E是V中顶点偶对的有穷集，这些顶点偶对称为边。
通常，V（G）和E（G）分别表示图G的顶点集合和边集合。
E（G）也可以为空集。
则图G只有顶点而没有边。
1．1．2 无向图对于一个图G，若边集E（G）为无向边的集合，则称该图为无向图。
1．1．3 子图设有两个图G=（V，E）G’=（V’，）,若V’是V的子集，即V’⊆V ，且E’是E的子集，即E’⊆E，称G’是G的子图。
1．1．4 连通图若图G中任意两个顶点都连通，则称G为连通图。
1．1．5 权和网在一个图中，每条边可以标上具有某种含义的数值，该数值称为该边的权。
把边上带权的图称为网。
如图1所示。
1．2 理解生成树和最小生成树之间的区别和联系1．2．1 生成树在一个连通图G中，如果取它的全部顶点和一部分边构成一个子图G’，即：V（G’）= V（G）和E（G’）⊆E（G），若边集E（G’）中的边既将图中的所有顶点连通又不形成回路，则称子图G’是原图G的一棵生成树。
1．2．2 最小生成树图的生成树不是唯一的，把具有权最小的生成树称为图G的最小生成树，即生成树中每条边上的权值之和达到最小。
如图1所示。
图1．网转化为最小生成树1．3 理解PRIM（普里姆）算法的基本思想1．3．1 PRIM算法（普里姆算法）的基本思想假设G =（V，E）是一个具有n个顶点的连通网，T=(U,TE)是G的最小生成树，其中U是T的顶点集，TE是T的边集，U和TE的初值均为空集。
《数据结构》课程设计
《数据结构》课程设计一、课程目标《数据结构》课程旨在帮助学生掌握计算机科学中基础的数据组织、管理和处理方法，培养其运用数据结构解决实际问题的能力。
课程目标如下：1. 知识目标：（1）理解基本数据结构的概念、原理和应用，如线性表、栈、队列、树、图等；（2）掌握常见算法的设计和分析方法，如排序、查找、递归、贪心、分治等；（3）了解数据结构在实际应用中的使用，如操作系统、数据库、编译器等。
2. 技能目标：（1）能够运用所学数据结构解决实际问题，具备良好的编程实践能力；（2）掌握算法分析方法，能够评价算法优劣，进行算法优化；（3）能够运用数据结构进行问题建模，提高问题解决效率。
3. 情感态度价值观目标：（1）激发学生对计算机科学的兴趣，培养其探索精神和创新意识；（2）培养学生团队合作意识，学会与他人共同解决问题；（3）增强学生的责任感和使命感，使其认识到数据结构在信息技术发展中的重要性。
本课程针对高中年级学生，结合学科特点和教学要求，将目标分解为具体的学习成果，为后续教学设计和评估提供依据。
课程注重理论与实践相结合，旨在提高学生的知识水平、技能素养和情感态度价值观。
二、教学内容《数据结构》教学内容依据课程目标进行选择和组织，确保科学性和系统性。
主要包括以下部分：1. 线性表：- 线性表的定义、特点和基本操作；- 顺序存储结构、链式存储结构及其应用；- 线性表的相关算法，如插入、删除、查找等。
2. 栈和队列：- 栈和队列的定义、特点及基本操作；- 栈和队列的存储结构及其应用；- 栈和队列相关算法，如进制转换、括号匹配等。
3. 树和二叉树：- 树的定义、基本术语和性质；- 二叉树的定义、性质、存储结构及遍历算法；- 线索二叉树、哈夫曼树及其应用。
4. 图：- 图的定义、基本术语和存储结构；- 图的遍历算法，如深度优先搜索、广度优先搜索；- 最短路径、最小生成树等算法。
5. 排序和查找：- 常见排序算法，如冒泡、选择、插入、快速等；- 常见查找算法，如顺序、二分、哈希等。
最小生成树的算法
最小生成树的算法王洁引言：求连通图的最小生成树是数据结构中讨论的一个重要问题．在现实生活中，经常遇到如何得到连通图的最小生成树，求最小生成树不仅是图论的基本问题之一 ,在实际工作中也有很重要的意义，,人们总想寻找最经济的方法将一个终端集合通过某种方式将其连接起来 ,比如将多个城市连为公路网络 ,要设计最短的公路路线;为了解决若干居民点供水问题 ,要设计最短的自来水管路线等.而避开这些问题的实际意义 ,抓住它们的数学本质 ,就表现为最小生成树的构造。
下面将介绍几种最小生成树的算法。
一，用“破圈法”求全部最小生成树的算法1 理论根据1.1 约化原则给定一无向连通图 G =（V ,E ）（ V 表示顶点，E 表示边），其中 V={ 1v , 2v ,3v …… n v },E= { 1e , 2e , 3e …… n e }对于 G 中的每条边 e ∈ E 都赋予权ω（i e ）>0，求生成树 T = （V ,H ），H ⊆ E ，使生成树所有边权最小，此生成树称为最小生成树．（1） 基本回路将属于生成树 T 中的边称为树枝，树枝数为n -1，不属于生成树的边称为连枝．将任一连枝加到生成树上后都会形成一条回路．把这种回路称为基本回路，记为()cf e 。
基本回路是由 T 中的树枝和一条连枝构成的回路．（2） 基本割集设无向图 G 的割集 S （割集是把连通图分成两个分离部分的最少支路集合） ，若 S 中仅包含有T 中的一条树枝，则称此割集为基本割集，记为()S e 。
基本割集是集合中的元素只有一条是树枝，其他的为连枝．（3） 等长变换设T=(V,H),为一棵生成树，e ∈ H, 'e ∈ E, 'e ∉ H,当且仅当'e ∈()cf e ，也就是说e ∈()S e ，则'T =T ⊕{e, 'e }也是一棵生成树。
当()e ω='()e ω时，这棵生成树叫做等长变换。
最小生成树
如此进行下去，每次往生成树里并入一 个顶点和一条边，直到n-1次后，把所有 n 个顶点都并入生成树T的顶点集U中， 此时U=V，TE中包含有（n-1）条边；
图
图6.10 图G 及其生成树
无向连通图 G 图
➢ 生成树
图6.10 图G 及其生成树
生成树
➢ 最小生成树
图
1.1 普里姆(prim)算法
假设G=(V,E)是一个具有n 个顶点的连通网络， T=(U,TE)是G的最小生成树，其中U是T的顶点 集，TE是T的边集，U和TE的初值均为空。
算法开始时，首先从V中任取一个顶点（假定 为V1），将此顶点并入U中，此时最小生成树 顶点集U={V1}；
这样，T就是最后得到的最小生成树。
普里姆算法中每次选取的边两端，总是 一个已连通顶点（在U集合内）和一个未 连通顶点（在U集合外），故这个边选取 后一定能将未连通顶点连通而又保证不 会形成环路。
图
图6.11 普里姆算法例子
图
为了便于在顶点集合U和V-U之间选择权 最小的边，建立两个数组closest和 lowcost,closest[i]表示U中的一个顶点，该 顶点与V-U中的一个顶点构成的边具有最 小的权；lowcost表示该边对应的权值。
姆
{
算
min=lowcost[j];
法
k=j;
续
} printf(“(%d,%d)”,k,closest[j]);
/* 打印生成树的一条边*/
最小生成树问题
榆林学院12届课程设计《最小生成树问题》课程设计说明书学生姓名：赵佳学号：1412210112院系：信息工程学院专业：计算机科学与技术班级：计14本1指导教师：答辩时间：年月日最小生成树问题一、问题陈述最小生成树问题设计要求：在n个城市之间建设网络，只需保证连通即可，求最经济的架设方法。
存储结构采用多种。
求解算法多种。
二、需求分析1.在n个城市之间建设网络，只需保证连通即可。
2.求城市之间最经济的架设方法。
3.采用多种存储结构，求解算法也采用多种。
三、概要设计1、功能模块图2、功能描述（1)CreateUDG()创建一个图：通过给用户信息提示，让用户将城市信息及城市之间的联系关系和连接权值写入程序，并根据写入的数据创建成一个图。
（2)Switch()功能选择：给用户提示信息，让用户选择相应功能。
（3)Adjacency_Matrix()建立邻接矩阵：将用户输入的数据整理成邻接矩阵并显现在屏幕上。
（4)Adjacency_List()建立邻接表：将用户输入的数据整理成临接表并显现在屏幕上。
（5)MiniSpanTree_KRSL()kruskal算法：利用kruskal算法求出图的最小生成树，即：城市之间最经济的连接方案。
（6)MiniSpanTree_PRIM()PRIM算法：利用PRIM算法求出图的最小生成树，即：城市之间最经济的连接方案。
四、详细设计本次课程设计采用两种存储结构以及两种求解算法。
1、两种存储结构的存储定义如下：typedef struct Arcell{double adj;}Arcell,AdjMatrix[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM];typedef struct{char vexs[MAX_VERTEX_NUM]; //节点数组AdjMatrix arcs; //邻接矩阵int vexnum,arcnum; //图的当前节点数和弧数}MGraph;typedef struct Pnode //用于普利姆算法{ char adjvex; //节点double lowcost; //权值}Pnode,Closedge[MAX_VERTEX_NUM];//记录顶点集U到V-U的代价最小的边的辅助数组定义typedef struct Knode//用于克鲁斯卡尔算法中存储一条边及其对应的2个节点{char ch1; //节点1char ch2; //节点2double value;//权值}Knode,Dgevalue[MAX_VERTEX_NUM];2、求解算法采用Prim算法和Kruskal算法。
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《数据结构》期末课程设计题目第8题：最小生成树问题学院计算机学院专业班别学号姓名陈聪2015年7月6日一、需求分析1、问题描述若要在n个城市之间建设通讯网络，只需要架设n-1条线路即可。
如何以最低的经济代价建设这个通讯网，是一个网的最小生成树问题。
2、基本要求（1）利用克鲁斯卡尔算法求网的最小生成树。
（2）实现并查集。
以此表示构造生成树过程中的连通分量。
（3）以文本形式输出生成树中各条边以及他们的权值。
3、实现提示通讯线路一旦建立，必然是双向的。
因此，构造最小生成树的网一定是无向网。
设图的顶点数不超过30个，并为简单起见，网中边的权值设成小于100的整数，可利用C语言提供的随机数函数产生。
图的存储结构的选取应和所作操作向适应。
为了便于选择权值最小的边，此题的存储结构既不选用邻接矩阵的数组表示法，也不选用邻接表，而是以存储边(带权)的数组即边集数组表示图。
二、详细设计根据课设题目要求，拟将整体程序分为三大模块，分别是：图的存储结构，并查集的实现，克鲁斯卡尔算法的实现。
1、边集数组的类型定义：typedef struct{int x, y;int w;}edge;x表示起点，y表示终点，w为权值。
2、并查集功能的实现由以下函数实现：Make_Set(int x)初始化集合；Find_Set(int x) 查找x元素所在的集合,回溯时压缩路径；Union(int x, int y, int w)合并x,y所在的集合。
3、克鲁斯卡尔算法的实现该算法的实现位于主函数中：qsort(e, n, sizeof(edge), cmp); //将边排序printf("最小生成树的各条边及权值为：\n");for (i = 0; i < n; i++){x = Find_Set(e[i].x);y = Find_Set(e[i].y);if (x != y ){printf("%c - %c : %d\n", e[i].x + 'A', e[i].y + 'A', e[i].w);Union(x, y, e[i].w);}}4、设计中还包含以下函数：（1）/* 比较函数，按权值(相同则按x坐标)非降序排序*/ int cmp(const void *a, const void *b){if ((*(edge *)a).w == (*(edge *)b).w){return (*(edge *)a).x - (*(edge *)b).x;}return (*(edge *)a).w - (*(edge *)b).w;}（2）快排函数qsort,包含在stdlib.h头文件里qsort(e, n, sizeof(edge), cmp);（3）C语言提供的随机数函数srand( unsigned int seed );使用随机数函数如下：srand( (unsigned)time( NULL ) );for( i = 0; i < n;i++ ){e[i].w=rand()%100+1;e[i].x = chx - 'A';if(chy==h+48) chx++;e[i].y = (chy++) - 'A';if(chy==h+49) chy=chx+1;Make_Set(i);}输出1～100之间的随机数，使用rand()%100+1。
5 Array三、调试分析调试过程中遇到的问题：随机产生权值时，通过边数不能确定起点和终点。
解决：通过顶点数对所有边取随机数。
四、用户使用说明及测试结果1、打开界面：（1）人为输入权值，输入1，回车：输入7，回车：输入边的信息及结果如下：（2）随机生成权值，输入0：输入顶点数5，结果如下：五、经验和体会通过本次课程设计，我学会了利用克鲁斯卡尔算法求最小生成树。
另外学会了利用随机函数产生随机数，以及课本没有提到的边集数组的定义和使用。
六、附录源代码#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include "time.h"#define MAX 435/* 定义边(x,y)，权为w */typedef struct{int x, y;int w;}edge;edge e[MAX];/* rank[x]表示x的秩*/int rank[MAX];/* father[x]表示x的父节点*/int father[MAX];/* 比较函数，按权值(相同则按x坐标)非降序排序*/ int cmp(const void *a, const void *b){if ((*(edge *)a).w == (*(edge *)b).w){return (*(edge *)a).x - (*(edge *)b).x;}return (*(edge *)a).w - (*(edge *)b).w;}/* 初始化集合*/void Make_Set(int x){father[x] = x;rank[x] = 0;}/* 查找x元素所在的集合,回溯时压缩路径*/int Find_Set(int x){while(father[x]){x=father[x];}return x;}/* 合并x,y所在的集合*/void Union(int x, int y, int w){if (x == y) return;/* 将秩较小的树连接到秩较大的树后*/if (rank[x] > rank[y]){father[y] = x;}else{if (rank[x] == rank[y]){rank[y]++;}father[x] = y;}}/* 主函数*/int main(){printf("*最小生成树问题：\n");int i, n,h,k=0;int x, y;char chx, chy;printf("\n人为输入权值请输入1，随机生成权值请输入0：\n");scanf("%d",&k);if(k==1){/* 读取边的数目*/printf("请输入边的条数（小于436）:\n");scanf("%d", &n);getchar();/* 读取边信息并初始化集合*/printf("请输入边的信息（起点，终点，权值(<100)）分别用空格隔开:\n");for (i = 0; i < n; i++){scanf("%c %c %d", &chx, &chy, &e[i].w);getchar();e[i].x = chx - 'A';e[i].y = chy - 'A';Make_Set(i);}}else{printf("请输入顶点数（<=30）:\n");scanf("%d", &h);getchar();srand( (unsigned)time( NULL ) );n=(h-1)*h/2;chx=49;chy=50;for( i = 0; i < n;i++ ){e[i].w=rand()%100+1;e[i].x = chx - 'A';if(chy==h+48) chx++;e[i].y = (chy++) - 'A';if(chy==h+49) chy=chx+1;Make_Set(i);}printf("随机生成的各条边及权值为：\n");for (i = 0; i < n; i++){printf("%c - %c : %d\n", e[i].x + 'A', e[i].y + 'A', e[i].w);}}/* 将边排序*/qsort(e, n, sizeof(edge), cmp);printf("最小生成树的各条边及权值为：\n");for (i = 0; i < n; i++){x = Find_Set(e[i].x);y = Find_Set(e[i].y);if (x != y ){printf("%c - %c : %d\n", e[i].x + 'A', e[i].y + 'A', e[i].w);Union(x, y, e[i].w);}}return 0;}。