高考数学理科试题及参考答案新课标I卷新浪微博高考直通车

2014年普通高等学校招生全国统一考试全国课标1理科数学注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1.已知集合A={x |2230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2＝，则A B ⋂=A .[-2,-1]B .[-1,2）C .[-1,1]D .[1,2）2.32(1)(1)i i +-= A .1i + B .1i - C .1i -+ D .1i --3.设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 时奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是A .()f x ()g x 是偶函数B .|()f x |()g x 是奇函数C .()f x |()g x |是奇函数D .|()f x ()g x |是奇函数4.已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为A .3B .3C .3mD .3m位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率A .18B .38C .58D .786.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为7.执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =A .203 B .165 C .72 D .1588.设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则 A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=9.不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D .有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥, 3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-.其中真命题是 A .2p ，3P B .1p ，4p C .1p ，2p D .1p ，3P 10.已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个焦点，若4FP FQ =u u u r u u u r，则||QF =A .72 B .52C .3D .2 11.已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为A .（2，+∞）B .（-∞，-2）C .（1，+∞）D .（-∞，-1）12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为A .62B .42C .6D .4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。

第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。

第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。

二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。

13.8()()x y x y -+的展开式中22x y 的系数为 .(用数字填写答案)14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一个城市. 由此可判断乙去过的城市为 .15.已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，则AB u u u r 与AC u u ur 的夹角为 .16.已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，a =2，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为 .三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分12分)已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数.(Ⅰ)证明：2n n a a λ+-=；（Ⅱ）是否存在λ，使得{n a }为等差数列？并说明理由.18. (本小题满分12分)从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s （同一组数据用该区间的中点值作代表）； （Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布2(,)N μδ，其中μ近似为样本平均数x ，2δ近似为样本方差2s .(i )利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<；（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值为于区间（,）的产品件数，利用（i ）的结果，求EX .附：150≈. 若Z ～2(,)N μδ，则()P Z μδμδ-<<+=，(22)P Z μδμδ-<<+=.19. (本小题满分12分)如图三棱锥111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1AB B C ⊥. (Ⅰ) 证明：1AC AB =；（Ⅱ）若1AC AB ⊥，o160CBB ∠=，AB=Bc ，求二面角111A A B C --的余弦值.20. (本小题满分12分) 已知点A （0，-2），椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>，F 是椭圆的焦点，直线AF 的斜率为3，O 为坐标原点. (Ⅰ)求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程.21. (本小题满分12分)设函数1(0ln x xbe f x ae x x-=+，曲线()y f x =在点（1，(1)f 处的切线为(1)2y e x =-+. (Ⅰ)求,a b ； （Ⅱ）证明：()1f x >.请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。

注意：只能做所选定的题目。

如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。

22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB=CE .(Ⅰ)证明：∠D=∠E ；（Ⅱ）设AD 不是⊙O 的直径，AD 的中点为M ，且MB=MC ，证明：△ADE 为等边三角形.23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为 参数）. (Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值.24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 若0,0a b >>，且11ab a b+=. (Ⅰ) 求33a b +的最小值；（Ⅱ）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由.理科数学试题答案一、1-5A DBAD 6-10BDBCC 11-12CC 二、（13）-20 （14）A （15）90° （16）3 三、（17）解：（I ）由题设，11211, 1.n n n n n n a a S a a S λλ++++=-=- 两式相减得 121().n n n a a a a λ+++-=由于10n a +≠，所以 2.n n a a λ+-=————————————————————————6分 （II ）由题设，11a =，1211a a S λ=-，可得2 1.a λ=- 由（I ）知，3 1.a λ=+ 令2132a a a =+，解得 4.λ= 故24n n a a +-=，由此可得{}21n a -是首项为1，公差为4的等差数列，2143n a n -=-；{}2n a 是首项为3，公差为4的等差数列，241n a n =-.所以21n a n =-，12n n a a --=.因此存在4λ=，使得数列{}n a 为等差数列.——————————————————————12分 （18）解：（I ）抽取产品的质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s 分别为1700.021800.091900.222000.33x =⨯+⨯+⨯+⨯2100.242200.082300.02+⨯+⨯+⨯=200 2222(30)0.02(20)0.09(10)0.22s =-⨯+-⨯+-⨯22200.33100.24200.08300.02150.+⨯+⨯+⨯+⨯= ————————————————————6分 （II ）（i ）由（I ）知，~(200,150)Z N ，从而(187.8212.2=(20012.220012.2)0.6826.P Z P Z <<-<<+=）—————————————9分（ii ）由（i ）知，一件产品的质量指标值位于区间（,）的概率为 6，依题意知X-B(100， 6)，所以1000.682668.26.EX =⨯=——————————————12分 （19）解：（I ）连接1BC ，交1B C O 于点，连接AO ，因为侧面11BB C C 为菱形，所以1111,B C BC O B C BC ⊥且为及的中点.又111,..AB B C B C ABO AO ABO B C AO ⊥⊥⊂⊥所以平面由于平面，故 又11,=.B O CO AC AB =故（II ）因为11,.AC AB O B C AO CO ⊥=且为的中点，所以又因为1,,,,,AB BC BOA BOC OA OB OA OB OB =∆≅∆⊥所以故从而两两相互垂直，以.O OB x OB O xyz =为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系因为1160,.CBB CBB AB BC ∠=︒∆=所以为等边三角形又，则111111(00(100),(0,(0,),(1,0,(1,3333A B B C AB A B AB B C BC =-==-==--u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r ，，11111(,,)=00,0,0.3n x y z AA B y z n AB n A B x z n =⎧⋅=⎪⎨⎨⋅=⎪⎪⎩-=⎪⎩=u u u r u u u ur 设是平面的法向量，则，即所以可取11111110,0,(1,m A B m A B C m B C m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩=u u u u ru u u u r设是平面的法向量，则同理可取 则1111cos ,.71.7n m n m n m A A B C ⋅==--所以二面角的余弦值为————————————————————12分（20）解：222222(c,0)a=2, b 1.1.4F c c c a c a x E y ==-=+=（I ）设，由条件知，又所以故的方程为 ——————————5分 112222:=2,(,),(,).214x y kx P x y Q x y x y kx y ιι⊥-=-+=（II ）当轴时不合题意，故设将代入得22(14)16120.k x kx +-+=221,2123=16(43)0,4k k x PQ x O PQ d OPQ ∆->>==-==∆当即时，从而又点到直线的距离所以的面积1=2OPQ S d PQ ∆⋅= ——————————————————————————9分224443,0,.44474,20.7722OPQ t k t t S t t tt t k t OPQ y x y x ι∆-=>==+++≥==±∆>∆=-=--设则因为当且仅当，即时等号成立，且满足所以，当的面积最大时，的方程为或—————————12分（21）解：112()'()1.(1)2,'(1).a 1, 2.x x x x a b b f x f x ae nx e e e x x xf f e b ==∞=+-+====（I ）函数的定义域为(0,+),由题意可得故————————5分 122()1,()11.()1,'()1.x x x f x e n e f x x nx xe x e g x x nx g x nx =-=+>>-==（II ）由（I ）知从而等价于设函数则11(0,)'()0;(,)'()0.x g x x g x e e∈<∈+∞>所以当时，当时，11(),()11.g x g x e ee e+∞∞故在（0,）单调递减，在（）单调递增，从而在(0,)的最小值为g()=-—8分2(),'()(1).(0,1)'()0;(1,)'()0.()1()(0,)(1).0()(),() 1.x x h x xe h x e x ex h x x h x h x h x h ex g x h x f x --=-=-∈>∈+∞<∞∞=->>>设函数则所以当时当时，故在（0,1）单调递增，在(1,+)单调递减，从而在的最大值为综上，当时，即———12分（22）解：（I ）由题设知,,,=A B C D D CBE CBE E D E ∠∠∠∠∠=∠四点共圆，所以，由已知得=，故。