概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第五章习题参考答案
概率论与数理统计(魏宗舒)第五章答案
计算题、证明题1． 设(x 1,2x ，…，n x )及（1u ，2u ，…，n u ）为两组子样观测值，它们有如下关系i u ＝ba x i -（ab ,0≠都为常数）求子样平均值u 与x ，子样方差2u s 与2x s 之间的关系．解: b ax a x n b b a x n u i n n u i i i -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-===∑1121121 ().11122222x i i us bb a x b a x n u u n S =⎪⎭⎫ ⎝⎛---∑=-∑= 2． 若子样观测值1x ,2x ,…,m x 的频数分别为1n ,2n ,…，m n ，试写出计算子样平均值x 和子样方差2n s 的公式 (这里n =1n +2n +…+m n ).解: ∑∑∑======m j m j j j j jm j j j x f x n n x n n x 1111()()()221221x x f x x n n x x n n S j j j j m j j j n-=-=-=∑∑∑= 其中nn f j j =， m j ,,2,1 =是j x 出现的频率。
3．利用契贝晓夫不等式求钱币需抛多少次才能使子样均值ξ落在0.4到0.6之间的概率至少为0.9 ? 如何才能更精确的计算使概率接近0.9所需抛的次数 ? 是多少?解: 设需抛钱币n 次,第i 次抛钱币结果为n i i i i ,,2,101 =⎩⎨⎧=次抛出反面第次抛出正面第ξ， 则i ξ独立同分布.且有分布()1,0,21===x x P i ξ 从而41,21==i i D E ξξ。
设∑=i n ξξ1是子样均值.则n D E 41,21==ξξ. 由契贝晓夫不等式()()()().9.0410011.011.01.05.01.06.04.02=-=-≥<-=<-<-=<<nD E P P P ξξξξξ2504.0100==∴n ， 即需抛250次钱币可保证()9.06.04.0≥<<εP 为更精确计算n 值,可利用中心极限定理()()..9.012.02415.06.0415.0415.04.06.04.0≥-Φ=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-<-<-=<<n n n n P P ξξ645.12.0≥∴n 68≥∴n . 其中()x Φ是()1,0N 的分布函数.4. 若一母体ξ的方差2σ= 4, 而ξ是容量为100的子样的均值. 分别利用契夫晓夫不等式和极限定理求出一个界限, 使得ξ-μ (μ为母体ξ的数学期望E ξ) 夹在这界线之间的概率为0.9.解:设此界限为.ε由()9.012=-≥<-εξεμξD P 由此.6325.04.0.10041.022≈=∴===εσξεnD 由中心极限定理,().9.012=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛Φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-=<-ξεξεξμξεμξD D D P P.645.1.95.0=∴=⎪⎪⎭⎫⎝⎛ΦξεξεD D .329.01004645.1=⨯=ε 5．假定1ξ和2ξ分别是取自正态母体N (μ,2σ)的容量为n 的两个子样(n 11211,,,ξξξ ),和(n 22221,,,ξξξ )的均值,确定n 使得两个子样均值之差超过σ的概率大约为0.01.解: ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nN i 2,~σμξ .2,1=i 且相互独立.，所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛-n N 2212,0~σξξ于是()01.021222222121=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛>-=>-n n n P P σσσξξσξξ .005.02=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-Φ∴n .258.2⨯=n .14=n6．设母体ξ~N(μ,4 )，（n ξξξ,,,21 ）是取自此母体的一个子样, ξ为子样均值,试问：子样容量n 应取多大,才能使 (1) E ( μξ-2)1.0≤;(2) E (μξ-)1.0≤; (3) P （μξ-1.0≤)95.0≥.解: (1)().401.04.1.042=≥∴≤==-n n D E ξμξ(2)()dxe x nE nx 422221μμπμξ--∞+∞--=-⎰=.1.0242262≤=-∞∞-⎰ndu e nπμπμ.255≥∴n(3) ().95.021.021.0≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤-=≤-n n P P μεμε.96.121.0≥n 1537≥n .7. 设母体()p b ,1~ξ (两点分布), （n ξξξ,,,21 ）是取自此母体的一个子样, ξ为子样均值,若P =0.2,子样容量n 应取多大,才能使(1)P ()1.0≤-p ξ;75.0≥ (2)E (丨p -ξ丨2).01.0≤若P ()1.0∈为未知数,则对每个p ,子样容量n 应取多大才能使E (丨p -ξ丨2).01.0≤解: (1) 要()().75.03.01.01.02.0≥≤≤=≤-ξξP P当n 10=时,∑=ni i1ξ服从二项项分布().2.0,10,k b 查二项分布表知().75.07717.01074.08791.0313.01.0101>=-=⎪⎭⎫⎝⎛≤≤=≤≤∑=i i P P ξξ所以n 应取10.(2) ()np p D P E -==1.ξξ当2.0=p 时().16.01.016.02≥∴≤==-n n D p E ξξ(3) 当P 未知时,()()01.012≤-==-np p D p E ξξ由此知, ()p p n -≥1100, 要对一切()1,0∈p 此时均成立. 只要求p 值使()p p -1最大, 显然当21=p , ()411=-p p 最大,.所以当2541100=⨯≥n时,对一切p 的不等式均能成立.8 设母体ξ的k 阶原点矩和中心矩分别为k v =E ξk ,k μ=Ｅ()k E ξξ-，k ＝１,２,３,４，k 1ξ和k m 分别为容量n 的子样k 阶原点矩和中心矩, 求证:(1) E ()31νξ-＝23nμ; (2) Ｅ()41νξ-＝223nμ＋32243nμμ-.解:()()()()()1213113311313[11νξνξνξνξνξ--+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-∑∑∑≠==j i j i n i i n i E n n E E ++()()()]111γξγξγξ---∑k j iE注意到n ξξξ,,,21 独立, 且()0111=-=-νννξi E .,,2,1n i = 所以().13231μνξnE =- ()()()()()()+--+--+-=-∑∑∑≠≠=2121131414144134[1νξνξνξνξνξνξj i ji j i j i i i E E n E ()()()()()()()]111111216νξνξνξνξνξνξνξ----+---∑∑≠≠≠≠≠l k j ilk j i k j ikj i E E=().3313132242222443n n n n n n μμμμμ-+=-+ 9. 设母体ξ~N ()2,σμ,子样方差2n S =n1()21∑=-ni iξξ, 求E 2n S ,D 2n S 并证明当n 增大时,它们分别为2σ+⎪⎭⎫ ⎝⎛n 1ο和n 42σ+⎪⎭⎫⎝⎛n 1ο.解: 由于().1~222-n nS nχσ所以()()()121.1122-=--=-n n DX n n E χ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴2222222101n n n nS E n ES n nσσσσ().10212244222242⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n n nS D n DS n nσσσσ .10. 设()21,ξξ为取自正态母体ξ~N ()2,σμ的一个子样, 试证: ξ1 +ξ2, ξ1-ξ2是相互独立的. 证：(1)()()()()()()()().,cov 21212221212121212121ξξξξξξξξξξξξξξξξξξ-+--=-+--+=-+E E E E E E E由于ξ1, ξ2 ~N ()2,σμ， 所以. E 212221,ξξξξE E E ==即()0,cov 2121=-+ξξξξ 又()2212,2~σμξξN + ，().2.0~221σξξN -所以由两个变量不相关就推出它们独立. (2)11．设母体ξ的分布函数为F ()x ,()n ξξξ,,,21 是取自此母体的一个子样,若F ()x 的二阶矩存在, ξ为子样均值,试证ξ1--ξ与ξj --ξ的相关系数ρ=11--n ,j i ≠,.,,2,1,n j i = 证 由于ξ的二阶矩存在,不妨设.μξ=E 2σξ=D()()()()()j i D E D i j i i j i ≠---=---=,,cov ξξξξξξξξξξξξρ()()().11111122222221σσξξξξξξnn n n n D n D n n n D D ji j in i i i i -=-+-=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-∑∑≠=()()n E n E E E E E n j j i j i j i j i 221222σμξξμξξξξξξξξξξξ++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+--=--∑= ()[]n n n n E E E n n j i i j i 22222222212222σμσμσμξξξσμ-=-++-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=∑≠ .11122--=--=∴n nn n σσρ12. 设ξ和2n S 分别是子样()n ξξξ,,,21 的子样均值和子样方差,现又获得第n +1个观测值,试证: (1) ξn+1=ξn +11+n (ξn+1-ξn ); (2) 12+n S=()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++++212111n n n n S n n ξξ.证 (1) ()()n n n n n n i i n n n n n ξξξξξξξ-++=++=+=+++=+∑11111111111()()()()2111211121112111111111)2(⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--+=-+-+=-+=++-++-++-+∑∑∑n n n i n i n n n i n i n i n i n n n n n S ξξξξξξξξξξ()()()()()()()21211121211112{11nn n n n n n i n i n n n i ni n n n n ξξξξξξξξξξξξ-+++-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+--+-+=+++-+-∑∑=()().112122n n n n n S n n ξξ-++++ 13. 从装有一个白球、两个黑球的罐子里有放回地取球, 令ξ=0表示取到白球, ξ=1表示取到黑球.求容量为5的子样()51,,ξξ 的和的分布,并求子样均值ξ和子样方差2n S 的期望值.解: i ξ相互独立都服从二点分布,32;1⎪⎭⎫⎝⎛b E i ξ=.32 D .92=i ξ 5,2,1 =i 所以,32=ξE .4589212=⨯-=n n ES n 521ξξξη+++= 服从二项分布.32;5⎪⎭⎫ ⎝⎛b 其分布列().313255kkk k p -⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==η.5,2,1,0 =k14. 设母体ξ服从参数为λ的普哇松分布, ()n ξξξ,,,21 是取自此母体的一个子样,求： (1)子样的联合概率分布列:(2)子样均值ξ的分布列、E ξ、D ξ、和E 2n S 。
概率论与数理统计教程(魏宗舒第二版)5-6章答案_split_1
说明:本习题答案是针对魏宗舒编写的《概率论与数理统计教程》(第二版).5.1设(x l ,x 2,···,x n )及(u 1,u 2,···,u n )为两组子样的观测值,它们有如下关系:u i =x i −ab,(b =0,a 为常数)求子样均值¯u 与¯x ,子样方差S 2u 与S 2x 的关系.解：¯u =1n n ∑︁i =1u i =1n n ∑︁i =1x i −a b =1b (︃1n n ∑︁i =1x i −a )︃=1b(¯x −a )S 2u=1n n ∑︁i =1(u i −¯u )2=1n n ∑︁i =1(︂x i −a b −¯x −a b )︂2=1b 2[︃1n n ∑︁i =1(x i −¯x )2]︃=1b2S 2x.5.2若子样观测值x 1,x 2,···,x m 的频数分别为n 1,n 2,···,n m ,试写出计算子样平均数¯x 和子样方差S 2n 的公式(这里n =n 1+n 2+···+n m )解：¯x =1n m∑︁i =1m i x iS 2n=1n m∑︁i =1m i (x i −¯x )2.5.3利用切比雪夫不等式求钱币需抛掷多少次才能使子样均值¯ξ落在0.4到0.6之间的概率至少为0.9?如何才能更精确地计算是概率接近0.9所需要的次数是多少?解：设需要掷n 次,E ¯ξ=0.5,D (¯ξ)=14n.由切比雪夫不等式可得:P (0.4≤¯ξ≤0.6)=P (|¯ξ−0.5|≤0.1)≥1−14n ×(0.1)2=1−25n≥0.9⇒n ≥250.所以由切比雪夫不等式估计,至少需要掷250次才能使样本均值落在0.4到0.6之间的概率至少为0.9.¯ξ−0.5√︀1/(4n )=2√n (¯ξ−0.5)近似服从标准正态分布,所以P (0.4≤¯ξ≤0.6)=P (︀2√n (0.4−0.5)≤2√n (¯ξ−0.5)≤2√n (0.6−0.5))︀=2Φ(2√n ×0.1)−1≥0.9⇒Φ(0.2√n )≥0.95.其中Φ(x )是标准正态分布N (0,1)的分布函数,查表可得Φ(1.645)=0.95.因此0.2√n =1.647⇒n =67.65,因此至少要掷68次硬币.5.4若一母体ξ的方差σ2=4,而¯ξ是容量为100的子样的均值.分别利用切比雪夫不等式和极限定理求出一个下界,使得¯ξ−μ(μ为母体ξ的数学期望Eξ)夹在这界限之间的概率为0.9.解：设P (|¯ξ−μ|≤a )≥0.9.注意到母体的数学期望为μ,方差为σ2.所以E ¯ξ=μ,D ¯ξ=σ2/n =125.由切比雪夫不等式可知:P (|¯ξ−μ|≤a )≥1−D ¯ξa 2=1−125a2≥0.90⇒1/(25a 2)≤0.1⇒a ≥0.4.故由切比雪夫不等式得到的界限是0.4.根据大数定律可知¯ξ−μ√︀1/25=5(¯ξ−μ)近似服从标准正态分布,所以P (|¯ξ−μ|≤a )=P (5(¯ξ−μ)≤5a )=2Φ(5a )−1≥0.9⇒Φ(5a )≥0.95⇒5a ≥1.645⇒a ≥0.329.由大数定律得到的界限是0.329.5.5假定¯ξ1和¯ξ2分别是取自正态总体N(μ,σ2)的容量为n的两个独立子样(ξ11,ξ12,···,ξ1n)和(ξ21,ξ22,···,ξ2n)的均值,确定n使得两个子样均值之差超过σ的概率大约为0.01.解：由题意可知¯ξi∼N(μ,σ2/n),i=1,2,并且¯ξ1,¯ξ2相互独立.因此¯ξ1−¯ξ1∼N(0,2σ2/n),即√n¯ξ1−¯ξ2√2σ∼N(0,1).由P(|¯ξ1−¯ξ2|>σ)=0.01可得:P(√n⃒⃒⃒⃒¯ξ1−¯ξ2√2σ⃒⃒⃒⃒>√nσ√2σ)=0.01⇒P(√n⃒⃒⃒⃒¯ξ1−¯ξ2√2σ⃒⃒⃒⃒>√︂n2)=0.01⇒2(1−Φ(√︀n/2))=0.01⇒√︀n/2=2.576⇒n=13.27.所以当n=13时,可使得两个子样均值之差超过σ个概率大约为0.01.5.6设母体ξ∼N(μ,4),(ξ1,ξ2,···,ξn)是取自此母体的一个子样,¯ξ为子样均值.试问:子样容量n应取多大,才能使(1)E(|¯ξ−μ|2)≤0.1;(2)E(|¯ξ−μ|)≤0.1;(3)P(|¯ξ−μ|≤0.1)≥0.95.解：由题意可知√n2(¯ξ−μ)∼N(0,1).设η∼N(0,1),那么E(|η|2)=∫︁∞−∞1√2π|x|2e−12x2dx=2∫︁∞−∞1√2πx2e−12x2dx=Eη2=Dη+(Eη)2=1;E(|η|)=∫︁∞−∞1√2π|x|e−12x2dx=2∫︁∞1√2πxe−12x2dx=−2√2πe−12x2⃒⃒⃒∞=√︂2π.(1).E(|¯ξ−μ|2)=4nE⃒⃒⃒⃒√n2(¯ξ−μ)⃒⃒⃒⃒2=4n≤0.1⇒n≥40.所以当n取40时,可以使得E(|¯ξ−μ|2)≤0.1.(2).E(|¯ξ−μ|)=2√nE⃒⃒⃒⃒√n2(¯ξ−μ)⃒⃒⃒⃒=2√n√︂2π≤0.1⇒n≥800π.(3).P(|¯ξ−μ|≤0.1)=P(|√n2(¯ξ−μ)|≤0.1√n2)≥0.95⇒2Φ(0.1√n2)−1≥0.95⇒Φ(0.1√n2)≥0.975⇒0.1√n2≥1.96⇒n≥39.22=1536.6.即当n≥1537时,才能使P(|¯ξ−μ|≤0.1)≥0.95.5.7设母体ξ∼b(1,p)(二点分布),(ξ1,ξ2,···,ξn)为取自此母体的一个子样,¯ξ为子样均值.(1).若p=0.2,子样容量n应取多大,才能使①P(|¯ξ−p|≤0.1)≥0.75;②E(|¯ξ−p|2)≤0.01.(2).若p ∈(0,1)为未知数,则对每个p ,子样容量n 为多大时才能使E (|¯ξ−p |2)≤0.01.解：记q =1−p ,则√n (¯ξ−p )近似服从正态分布N (0,pq ).(1).P (|¯ξ−p |≤0.1)=P (⃒⃒√n (¯ξ−p )/√pq ⃒⃒≤0.1√n √pq )≈2Φ(︂0.1√n √pq)︂−1所以由P (|¯ξ−p |≤0.1)≥0.75可得Φ(︂0.1√n √pq)︂≥0.875.查表得Φ(1.15)=0.875,因此0.1√n/√pq ≥1.15⇒n ≥11.52×pq =21.16,即当n ≥22时,才能保证P (|¯ξ−p |≤0.1)≥0.75.②.E (|¯ξ−p |2)=E (¯ξ−p )2=E (¯ξ−E ¯ξ)2=D ¯ξ=Dξ/n =pq/n =0.16/p .所以要使E (|¯ξ−p |2)≤0.01,只需0.16n≤0.01⇒n ≥0.160.01=16,故只有当n ≥16,才能使E (|¯ξ−p |2)≤0.01.(2).类似于(1)中的②,E (|¯ξ−p |2)=D ¯ξ=p (1−p )n.因此要使E (|¯ξ−p |2)≤0.01,子样容量n 必须≥p (1−p )0.01=100p (1−p ).5.8设母体ξ的k 阶原点矩和中心矩分别为v k =Eξk ,μk =E (ξ−v 1)k ,k =1,2,3,4.ξk ,m k 分别为容量为n 的子样k 阶原点矩和中心矩,求证:∙E (¯ξ−v 1)3=μ3n 2;∙E (¯ξ−v 1)4=3μ2n 2+μ4−3μ22n3.解：令η=ξ−v 1=ξ−Eξ,ηi =ξi −v 1,那么η1,η2,···,ηn 就是来自总体η的子样,并且Eηki =Eηk =E (ξ−v 1)k =μk .令¯η=1n ∑︀n i =1ηi ,那么¯η=¯ξ−v 1.所以(1)E (¯ξ−v 1)3=E ¯η3=1n3∑︁i,j,kEηi ηj ηk =1n 3⎛⎜⎝n ∑︁i =1Eη3i +∑︁i,j,k 不全相等Eηi ηj ηk ⎞⎟⎠=1n 3⎛⎝nμ3+3∑︁i =j,i =kEηi (ηj ηk )⎞⎠=1n 2μ3+3n 3∑︁i =j,i =kEηi E (ηj ηk )=μ3n 2(2)E (¯ξ−v 1)4=E ¯η4=1n4∑︁i,j,k,lEηi ηj ηk ηl=1n 4⎛⎝n ∑︁i =1Eη4i +∑︁i =j =k =lEη2i η2k +∑︁i =k =j =lEη2i η2j +∑︁i =l =k =jEη2i η2j +E∑︁elseηi ηj ηk ηl ⎞⎠=1n 4(︀nμ4+3n (n −1)μ22)︀=3(n −1)μ22n 3+μ4n 3=μ4−3μ22n 3+3μ22n2其中对i,j,k,l 求和时,把这四个下标分成三类,一类是i =j =k =l ,第二类是这四个下标分成两组,在同组中的下标都相等,其余的分在第三类.注意在第三类中,我们肯定可以找到一个下边,它和其余三个下标都不同,此时Eηi ηj ηk ηl =0,这因为,比如i 不等于其余三个下标,那么Eηi ηj ηk ηl =Eηi Eηj ηk ηl ,而Eξi =0.5.9.设母体ξ∼N (μ,σ2),子样方差S 2n =1n ∑︀n i =1(ξi −¯ξ)2.求ES 2n ,DS 2n ,并证明当n 增大时,他们分别为σ2+o (1n )和2σ4n +o (︀1n )︀.解：ES 2n =(n −1)σ2n=σ2−1nσ2=σ2+o (1).(注:习题中有错误,不是o (1n ),1n 的高阶无穷小,而是o (1),即无穷小.)对于后一问,只需利用P 233的定理5.1,我们在这里这需计算μ2,μ4.μ2=Dξ=σ2,μ4=E (ξ−μ)4=∫︁∞−∞(x −μ)4p ξ(x )dx =∫︁∞−∞x 41√2πσexp {︂−12x 2σ2}︂dx =∫︁∞−∞x 31√2πσexp {︂−12x 2σ2}︂dx 22=−x 3σ√2πexp {︂−12x 2σ2}︂⃒⃒⃒∞−∞+3σ2∫︁∞−∞x 21√2πσexp {︂−12x 2σ2}︂dx=3σ4.把μ2,μ4的结果带入定理5.1,可知:DS 2n=σ4[︀2n−2n 2]︀=2σ4n+o (︀1n )︀.实际上,我们也可以这样计算:令随机变量η∼χ2(n ),那么Eη=∫︁∞0x 12n 2Γ(n 2)x n 2−1e −12x dx =2n +22Γ(n +22)2n 2Γ(n 2)=n Eη2=∫︁∞x 212n 2Γ(n 2)x n 2−1e −12x dx =n (n +2).因此Eη=n,Dη=2n .从以上可知:D (S 2n )=σ4n2D (︂nS 2n σ2)︂=2(n −1)σ4n 2=2σ2n+o(︂1n)︂.5.10设(ξ1,ξ2)为取自正态母体ξ∼N (0,σ2)的一个子样,试证:(1).ξ1+ξ2与ξ1−ξ2是相互独立的;(2).(ξ1+ξ2)2(ξ1−ξ2)2服从F (1,1)分布.解：(ξ1,ξ2)是ξ∼N (μ,σ2)的子样,从而ξ*=[︃ξ1ξ2]︃∼N(︃[︃μμ]︃,σ2I 2)︃,其中I 2表示二阶单位矩阵.那么η=[︃η1η2]︃=[︃111−1]︃ξ* Bξ*∼N (︃B [︃μμ]︃,σ2BI 2B ′)︃,即η∼N (︃[2μ,0]′,[︃2002]︃)︃.因此可知η1,η2即ξ1+ξ2,ξ1−ξ2相互独立,且分别有分布N (2μ,2),N (0,2).5.11设母体的分布函数为F (x ),(ξ1,ξ2,···,ξn )是取自该母体的一个字样.若F (x )的二阶矩存在,¯ξ为字样均值,试证(ξi −¯ξ)与(ξj −¯ξ)的相关系数为ρ=−1n −1,i =j =1,2,···,n .解：方法一:由相关系数的定义,我们先计算Cov(ξi −¯ξ,ξj −¯ξ)和D (ξi −¯ξ)=D (ξj −¯ξ).记总体ξ的期望为μ,方差为σ2.令ηi =ξi −μ,i =1,2,···,n ,那么Eηi =0,Eηi ηj =0,i =j,Eη2i=σ2.从而可知:Cov(ξi −¯ξ,ξj −¯ξ)=Cov(ηi −¯η,ηj −¯η)=Cov(ηi ,ηj )−2Cov(ηi ,¯η)+Cov(¯η,¯η)=0−2Cov(ηi ,1n ηi )+σ2/n =−1n σ2.D (ξi −¯ξ)=D (ηi −¯η)=Cov(ηi −¯η,ηi −¯η)=D (ηi )−2Cov(ηi ,¯η)+D ¯η=σ2−2Cov(ηi ,1n ηi )+σ2/n =n −1nσ2.所以ξi −¯ξ,ξj −¯ξ的相关系数为−σ2/n√︂n −1n σ2n −1nσ2=−1n −1,i =j.方法二:首先由ξ1,ξ2,···,ξn 的独立性可知:D (ξ−¯ξ)=D (n −1n ξi −1n∑︁j =iξj )=(︂n −1n )︂2Dξi +1n2∑︁j =iDξj=σ2(︃(︂n −1n )︂2+n −1n 2)︃=n −1nσ2.由对称性可知对任意的i =j ,Cov(ξi ,ξj )=Cov(ξ1,ξ2) c .同时注意到∑︀n i =1(ξi −¯ξ)=0,所以=D (n ∑︁i =1(ξi −¯ξ))=n ∑︁i =1D (ξi −¯ξ)+∑︁i =jCov(ξi −¯ξ,ξj −¯ξ)=(n −1)σ2+n (n −1)c⇒c =−n −1n (n −1)σ2=−1nσ2.因此Cov(ξi −¯ξ,ξj −¯ξ)=−1n σ2n −1nσ2=−1n −1.5.12设¯ξn ,S 2n 分别是子样(ξ1,ξ2,···,ξn )的子样均值和子样方差,现又获得第n +1个观测值,试证:(1).¯ξ=¯ξn +1n +1(ξn +1−¯ξn );(2).S 2n +1=n n +1[︁S 2n +1n +1(ξn +1−¯ξn )2]︁.解：(1).¯ξn +1=1n +1n +1∑︁i =1ξi =1n +1ξn +1+n n +11n n∑︁i =1ξi=1n +1ξn +1+n n +1¯ξn =1n +1(ξn +1−¯ξn )+¯ξn .S2n+1=1n+1n+1∑︁i=1ξ2i−¯ξ2n+1=nn+1(1nn∑︁i=1ξ2−¯ξ2n)+nn+1¯ξ2n+1n+1ξ2n+1−(︃¯ξ2n+2n+1¯ξn(ξn+1−¯ξn)+(︂1n+1)︂2(ξn+1−¯ξn)2)︃=nn+1S2n+1n+1[︀ξ2n+1−2ξn+1¯ξn+¯ξn]︀−1(n+1)2(ξn+1−¯ξn)2=nn+1[︂S2n+1n+1(ξn+1−¯ξn)2]︂.5.13从装有一个白球、两个黑球的罐子里有放回地取球.令ξ=0表示取到白球,ξ=1表示取到黑球.求容量为5的子样均值和子样方差的期望值.解：实际上,我们知道E¯ξ=Eξ,ES2n =n−1nDξ,所以我们只需计算出总体的期望和方差.由题意可知总体ξ有分布列ξ01P132 3那么Eξ=23,Dξ=1323=29,因此E¯ξ=23,ES2n=2(n−1)9n.习题5.14设母体ξ服从参数为λ的泊松分布,(ξ1,ξ2,···,ξn)是取自此母体的一个子样.求(1).子样的联合概率分布列;(2).子样均值¯ξ的分布列、E¯ξ、D(¯ξ)和ES2n.解：因为ξ1,ξ2,···,ξn是总体ξ∼P(λ)的子样,所以ξ1,ξ2,···,ξn独立同分布,且均服从参数为λ的泊松分布.故(1)子样的联合分布列为P(ξ1=x1,ξ2=x2,···,ξn=x n)=n∏︁i=1P(ξi=x i)=n∏︁i=1λx ix i!e−λ=λ∑︀ni=1x i e−nλ(︃n∏︁i=1x i!)︃−1.x i=0,1,2,···,i=1,2,···,n.(2).回顾78页例2.12,该例题说明两个相互独立的泊松分布P(λ1),P(λ2)的和服从泊松分布P(λ1+λ2),因此在本题中n∑︁i=1ξi∼P(nλ)所以¯ξ的分布列为:P(¯ξ=kn)=P(n∑︁i=1ξi=k)(nλ)kk!e−nλ.因为总体的期望和方差都是λ,因此E¯ξ=Eξ=λ,D¯ξ=Dξn=λn,ES2n=n−1nDξ=(n−1)λn.5.15设ξ1,ξ2,···,ξn是取自正态母体N(μ,σ2)的子样,求u=k∑︀i=1ξi和v=∑︀ni=rξi,0<k<r<n的联合分布列.解：由于k<r,所以u,v相互独立.又因为ξ1,ξ2,···,ξn独立同分布,均服从N(μ,σ2)分布,而u,v都是ξ1,ξ2,···,ξn的线性组合,故u,v也都服从正态分布.又Eu=k∑︁i=1Eξi=kμ,Du=k∑︁i=1Dξi=kσ2,Ev=n∑︁i=rEξi=(n−r+1)μ,Dv=n∑︁i=rDξi=(n−r+1)σ2,所以u,v 的联合分布为二维正态分布N (kμ,(n −r +1)μ,kσ2,(n −r +1)σ2,0).5.16设母体η=(ξ1,ξ2)∼N (μ1,μ2,σ21,σ22,ρ),(η1,η2,···,ηn )是取自此母体的一个子样,求子样均值¯η=(¯ξ1,¯ξ2)=(︂1nn ∑︀i =1ξ1i ,1n n∑︀i =1ξ2i )︂的分布密度函数.解：首先可知¯η服从二维正态分布.又ηi ∼N (μ1,μ2,σ21,σ22,ρ),所以Eξ1i =μ1,Eξ2=μ2,Dξ1i =σ21,Dξ2i =σ22,Cov(ξ1i ,ξ2i )=ρσ1σ2.又因为当i =j 时,ηi ,ηj 相互独立,故Cov(ξ1i ,ξ2j )=0.这样我们就有如下结果:E ¯ξ1=1n n∑︁i =1Eξ1i =μ1;E ¯ξ2=1n n∑︁i =1Eξ2i =μ2;D ¯ξ1=1n 2n ∑︁i =1Dξ1i=1n σ21;D ¯ξ2=1n 2n ∑︁i =1Dξ2i=1n σ22;Cov(¯ξ1,¯ξ2)=1n 2Cov(n ∑︁i =1ξ1i ,n ∑︁i =1ξ2i )=1n 2∑︁i,jCov(ξ1i ,ξ2j )=1n 2∑︁i Cov(ξ1i ,ξ2i)=ρσ1σ2n.并且¯ξ1,¯ξ2的相关系数为Cov(¯ξ1,¯ξ2√︀[D ¯ξ1][D ¯ξ2]=ρσ1σ2/n √︀(σ21/n )(σ22/n )=ρ.由以上结论可知¯η∼N (μ1,μ2,σ21/n,σ22/n,ρ),其密度函数为:n2πσ1σ2√︀1−ρ2exp {︂−n 2(1−ρ2)[︂(x −μ1)2σ21−2ρ(x −μ1)(y −μ2)σ1σ2+(y −mu 2)2σ22]︂}︂.5.17设母体的分布列为P (ξ=k )=1N ,k =1,2,···,N .现进行不放回抽样,¯ξ¯ξ为子样(ξ1,ξ2,···,ξn )的均值,试求E ¯ξ和D (¯ξ).解：由题意可知,母体中共有N 个个体,且取到每个个体的概率是一样的.从母体中不放回的抽样,第i 次抽到第k 个个体的概率为1/N .故ξi 也有分布列P (ξi =k )=1N ,k =1,2,···,N ,即和母体有相同的分布列.所以Eξi =1N ∑︀N k =1k =N +12,Eξ2i =1N ∑︀N k =1k 2=(N +1)(2N +1)6,Dξi =N 2−112.由于抽样是不放回抽样,所以ξi ,ξj 不是相互独立的.它们有联合分布列P (ξi =k,ξj =l )={︃1N (N −1),k =l,0,k =l 由此可知:Eξi ξj=1N (N −1)∑︁k =lkl =(N +1)(3N +2)12;Cov(ξi ,ξj )=Eξi Eξj −Eξi Eξj =−N +112.所以D(ξ1+ξ2+···+ξn)=n∑︁k=1Dξk+2∑︁1≤k<l≤nCov(ξk,ξl)=n N2−112−n(n−1)N+112=n(N+1)(N−n)12;D(¯ξ)=1n2D(n∑︁i=1ξi)=(N+1)(N−n)12n;E¯ξ=1nn∑︁i=1Eξi=N+12.5.18设母体ξ∼N(0,1),ξ1,ξ2,ξ3为取自该母体的一个子样,在子样空间中求子样到原点的距离小于1个概率.解：由于ξi,i=1,2,3独立同分布,和母体有相同的分布,故ξ1,ξ2,ξ3的联合密度函数为:p(x,y,z)=1(2π)3/2exp{︂−12(x2+y2+z2)}︂.因此子样到原点的距离小于1的概率为p=P(ξ21+ξ22+ξ23<1)=∫︁∫︁∫︁x2+y2+z2<11(2π)3/2exp{︂−12(x2+y2+z2)}︂dxdydz.做变换⎧⎪⎨⎪⎩x=r cosθ1,y=r sinθ1cosθ2, z=r sinθ1sinθ2.变化的雅克比行列式为ð(x,y,z)ð(r,θ1,θ2)=r sinθ1.所以P=(2π)−3/2∫︁π0sinθ1dθ1∫︁2πdθ2∫︁1r2exp{︂−12r2}︂=√︂2π∫︁1r2exp{−r22}dr=√︂2π[︂−r exp{−r22}⃒⃒1+∫︁1exp{−r22}dr]︂=√︂2π[︂∫︁1exp{−r22}dr−e−12]︂=√︂2π[︂√2π∫︁11√2πexp{−r22}dr−e−12]︂=√︂2π[︁√2π(Φ(1)−Φ(0))−e−12]︁=2Φ(1)−1−√︂2πe−12.其中Φ(x)是标准正态分布的分布函数.或者如下计算P.P=(2π)−3/2∫︁1−1[︂e−x22∫︁y2+z2<1−x2e−12(y2+z2)dydz]︂dx=(2π)−3/2∫︁1−1[︃e−x22∫︁2πdθ∫︁√1−x2re−12r2dr]︃dx=(2π)−1/2∫︁1−1[︂e−x22(︂−e−12r2⃒⃒⃒√1−x2)︂]︂dx=(2π)−1/2∫︁1−1e−12x2[1−e−12(1−x2)]dx=∫︁1−11√2πe−12x2dx−1√2π∫︁1−1e−12dx=2Φ(1)−1−√︂2πe−12≈0.1987.又或者利用χ2分布.注意到ξ21+ξ22+ξ23∼χ2(3),所以P =P (ξ21+ξ22+ξ23<1)=∫︁10123/2Γ(32)x 32−1e −x 2dx =1√2π∫︁10x 12e −x 2dx.在上述积分中做变换x =t 2,可以得到和前面相同的结果.5.19设(ξ1,ξ2,···,ξn )为取自正态母体N (μ,σ2)的子样,S 2n 为子样方差,分别求满足下列各式的最小n 值.(1).P (︂S 2nσ2≤1.5)︂≥0.95.(2).P (︂|S 2n −σ2|≤12Σ)︂≥0.8.解：注意到nS2n σ2∼χ2(n −1).(1).P (︂S 2n σ2≤1.5)︂=P (︂nS 2n σ2≤1.5n )︂≥0.95,故1.5n ≥χ20.95(n −1).1.5×20<χ20.95(19),而1.5×21>χ20.95(20),所以最小的n 是21.(2).P (︂|S 2n −σ2|≤12σ2)︂=P (︁⃒⃒⃒nS 2n σ2−n ⃒⃒⃒≤n 2)︁=P (︁n 2≤ns 2nσ2≤3n 2)︁.所以我们要找的n 为使得P (︂n 2≤ns 2n σ2≤3n 2)︂≥0.8的最小的n .用软件计算可知此最小的n 为13.5.20子样(ξ1,ξ2,ξ3)来自正态母体N (0,1),又η1=0.8ξ1+0.6ξ2,η2=√2(0.3ξ1−0.4ξ2−0.5ξ3),η3=√2(0.3ξ1−0.4ξ2+0.5ξ3),求(η1,η2,η3)的联合分布密度及η1,η2,η3的边际密度.解：ξ1,ξ2,ξ3相互独立,且都服从分布N (0,1),所以(ξ1,ξ2,ξ3)的联合分布是三维正态分布.其期望为(0,0,0),协方差矩阵为三阶单位矩阵I 3.记A =⎛⎜⎝0.80.600.3√2−0.4√2−0.5√20.3√2−0.4√20.5√2⎞⎟⎠,那么可知(η1,η2,η3)′=A (ξ1,ξ2,ξ3)′,即(η1,η2,η3)′是(ξ1,ξ2,ξ3)的线性变换,所以(η1,η2,η3)′也服从正态分布,其期望,协方差矩阵分别为:E ⎛⎜⎝η1η2η3⎞⎟⎠=A ⎛⎜⎝000⎞⎟⎠=0,Cov ⎛⎜⎝η1η2η3⎞⎟⎠AI 3A ′=I 3.由于η1,η2,η3的协方差矩阵是单位矩阵,故可知ηi ,ηj 的相关系数为0,所以η1,η2,η3相互独立.又Eηi =0,Dηi =1,所以ηi sin N (0,1).5.21若ξ1,ξ2,···,ξn 相互独立且服从正态分布,它们的数学期望相等,方差各为σ21,σ22,···,σ2n ,证明:u =∑︀n i =1ξiσ2i∑︀ni =11σ2i与v =n ∑︁i =1(︂ξi −u σi)︂2是相互独立的,且u 服从正态分布,v 服从自由度为n 的χ2分布.解：因为ξi ,i =1,2,···,n 有相同的数学期望,不妨用μ表示其共同的数学期望.令ηi =ξiσi,i =1,2,···,n ,那么η1,η2,···,ηn 相互独立,都服从正态分布,且Dηi =1,Eηi =a/σi ,i =1,···,n ,这样可知η=(η1,η2,···,ηn )′的协方差矩阵为n 阶单位矩阵I n .记C=√︃n∑︀i=11σ2i,令矩阵A是正交矩阵,且其第一行为(1σ1,1σ2,···,1σn)/C.设ζ=⎛⎜⎜⎜⎜⎝ζ1ζ2...ζn⎞⎟⎟⎟⎟⎠=Aη=A⎛⎜⎜⎜⎜⎝η1η2...ηn⎞⎟⎟⎟⎟⎠那么(ζ1,ζ2,···,ζn)′服从多元正态分布,且其协方差矩阵为Cov(ζ)=A Cov(η)A′=AI n A′=AA′=I n.ζ的数学期望为Eζ=AEη=A ⎛⎜⎜⎜⎜⎝aσ1aσ2...aσn⎞⎟⎟⎟⎟⎠=a⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝n∑︀i=11σ2i...⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎜⎜⎝aC2...⎞⎟⎟⎟⎟⎠.这意味着ζ1,ζ2,···,ζn相互独立,且ζ1∼N(aC2,1),ζ2∼N(0,1),i=2,3,···,n.由于矩阵A的第一行为(1σ1,1σ2,···,1σn)/C,所以ζ1=1C(η1/σ1+η2/σ2+···+ηn/σn)=1C(ξ1/σ21+ξ2/σ22+···+ξn/σ2n)=Cu.由此可知u=1C ζ1∼N(a,1C2),即N(a,(︀∑︀ni=1σ2i)︀.又v=n∑︁i=1(︂ξi−uσi)︂2=n∑︁i=1(ηi−uσi)2=n∑︁i=1η2i−2un∑︁i=1ηi/σi+u2n∑︁i=11σ2i=η′η−2u(C2u)+C2u2=η′η−C2u2 =η′η−ζ21.其中利用了∑︀ni=1ηi/σi=∑︀ni=1ξiσ2i=C2u,ζ1=Cu.因为A是正交矩阵,且ζ=Aη,所以ζ′ζ=η′A′Aη=η′η.这样可知v=ζ′ζ−ζ21=ζ22+ζ23+···+ζ2n.综合以上所述,我们已经知道ζ1,ζ2,···,ζn,相互独立,且ζi∼N(0,1),i=2,3,···,n,u∼N(a,1/C2).所以u=Cζ1与v=ζ22+ζ23+···+ζ2n相互独立,且v∼χ2(n−1).注:v的自由度是n−1,不是n.5.22设母体ξ服从正态分布N(μ,σ2),¯ξ,S2n分别为容量为n的子样均值和子样方差,又设ξn+1∼N(μ,σ2)且与ξ1,ξ2,···,ξn相互独立.试求统计量ξn+1−¯ξS n √︂n−1n+1的抽样分布.解：由定理5.4知¯ξ与S2n相互独立,¯ξ∼N(μ,σ2/n),nS2nσ2∼χ2(n−1).ξn+1与ξ1,ξ2,···,ξn相互独立,故¯ξ与¯ξ,S2n独立.且ξn+1−¯ξ∼N(0,σ2+σ2n),即ξn+1−¯ξ∼N(0,n+1nσ2).ξn+1,¯ξ都与S2n相互独立,那么ξn+1−¯ξ与S2n独立,因此ξn+1−¯ξ√n+1n σ2√︂nS2nσ2⧸︁(n−1)∼t(n−1),即ξn+1−¯ξS n√︂n−1n+1∼t(n−1).5.23(ξi,ηi),i=1,2,···,n是取自二元正态分布N(μ1,μ2,σ21,σ22,ρ)的子样.设¯ξ=1nn∑︀i=1ξi,¯η=1nn∑︀i=1ηi,S2ξ=1n∑︀ni=1(ξi−¯ξ)2,S2η=1n∑︀ni=1(ηi−¯η)2和r=∑︀ni=1(ξi−¯ξ)(ηi−¯η)√︁∑︀ni=1(ξi−¯ξ)2∑︀ni=1(ηi−¯η)2.试求统计量¯ξ−¯η−(μ1−μ2)√︁S2ξ+S2η−2rSξSη√n−1.的分布.解：一般的我们称1nn∑︁i=1(ξi−¯ξ)(ηi−¯η)为样本协方差.而把r=∑︀ni=1(ξi−¯ξ)(ηi−¯η)√︁∑︀ni=1(ξi−¯ξ)2∑︀ni=1(ηi−¯η)2=样本协方差√︁S2ξS2η为样本相关系数.设[ξ1,η1]′,[ξ2,η2]′,···,[ξn,ηn]′是从总体[ξ,η]′∼N(μ1,μ2,σ21,σ22,ρ)取到的子样.S2ξ+S2η−2rSξSη=1n(︃n∑︁i=1(ξi−¯ξ)2+n∑︁i=1(ηi−¯η)2−2n∑︁i=1(ξi−¯ξ)(ηi−¯η))︃=1nn∑︁i=1[︀(ξi−ηi)−(¯ξ−¯η)]︀2.令ζi=ξi−ηi,i=1,2,···,n.那么ζ1,ζ2,···,ζn就可以看做是从总体ξ−η∼N(μ1−μ2,σ21+σ22−2ρσ1σ2)的子样.并且这个新子样的子样均值和子样方差分别为:¯ζ=1nn∑︁i=1(ξi−ηi)=¯ξ−¯ηS2=1nn∑︁i=1(ζi−¯ζ)2=1nn∑︁i=1[︀(ξi−ηi)−(¯ξ−¯η)]︀2=S2ξ+S2η−2rSξSη.因此√n−1(¯ξ−¯η)−(μ1−μ2)√︁S2ξ+S2η−2rSξSη∼t(n−1).5.23-2解:(1)因为函数y=√x的反函数为x=y2,且dxdy=2y,所以η=√ξ的密度函数为pξ(y)=2pη(y2)|y|=⎧⎨⎩22n/2Γ(n/2)y×(y2)n2−1e−12y2=12n2−1Γ(n2)y n−1e−y22,y>0 0,y≤0(2).因为z=y√n的反函数为y=√nz,且dydz√n,所以ζ=ξ√n的密度为: pζ(z)=√npξ(√nz)=⎧⎨⎩n n22n/2−1Γ(n/2)z n−1e−nz22,z>00,z≤0(3)Eξ=E √η=∫︁∞√x12n/2Γ(n/2)x n2−1e−12x dx=2n+12Γ(n+12)2n2Γ(n2)=√2Γ(n+12)Γ(n2).Eξ2=Eη=nDξ=Eξ2−(Eξ)2=n−2(︂Γ(n+12Γ(n2))︂25.24设母体ξ以等概率取四个值0,1,2,3,现从中获得一个容量为3的子样,试分别求ξ(1)与ξ(3)的分布.解：(i).先求ξ(1)的分布(分布列).P(ξ(1)≥k)=P(min{ξ1,ξ2,ξ3}≥k)=P(ξi≥k,i=1,2,3)=3∏︁i=1P(ξi≥k)=3∏︁i=14−k4=(︂4−k4)︂3,k=0,1,2,3.P(ξ(1)=k)=P(ξ(1)≥k)−P(ξ(1)≥k+1)=(︂4−k4)︂3−(︂3−k4)︂3,k=0,1,2P(ξ(1)=3)=P(ξ(1)≥3)=(︂14)︂3=164.因此ξ(1)有如下分布列:ξ(1)0123P37641964764164(ii).再考虑ξ(3)的分布列.P(ξ(3)≤k)=P(max{ξ1,ξ2,ξ3}≤k)=P(ξi≤k,i=1,2,3)=3∏︁i=1P(ξi≤k)=3∏︁i=1k+14=(︂k+14)︂3,k=0,1,2,3P(ξ(3)=k)=P(ξ(3)≤k)−P(ξ(3)≤k−1)=(︂k+14)︂3−(︂k4)︂3,k=1,2,3P(ξ(3)=0)=P(ξ(3)≤0)=(︂14)︂3=164.因此ξ(3)有如下分布列:ξ(3)0123P164764196437645.25设母体ξ的密度函数为f(x)=3x2,0≤x≤1从中获得一个容量为5的子样ξ1,ξ2,···,ξ5,其次序统计量为ξ(1),ξ(2),···,ξ(5).(1).试分别求ξ(1)与ξ(5)的概率密度函数;(2).试证ξ(2)ξ(4)与ξ(4)相互独立.解：(1).母体有分布函数F(x)=⎧⎪⎨⎪⎩0,x≤0x3,0<x≤1,1,x>1.所以ξ(1)的概率密度函数f(1)(x),ξ(5)的概率密度函数f5(x)分别为:f(1)(x)={︃5[1−x3]4(3x2),0≤x≤1,0,else={︃15x2(1−x3)4,0≤x≤1,0,else.f(5)(x)={︃5(x3)4(3x2),0≤x≤10,else={︃15x14,0≤x≤1,0,else.(2).母体有分布函数F(x)=⎧⎪⎨⎪⎩0,x≤0x3,0<x≤1,1,x>1.因此ξ(2),ξ(4)的联合密度函数为g2,4(y,z)={︃5!9(2−1)!(4−2−1)!(5−4)!(y3)[z3−y3]4−2−1[1−z3]y2z2,0<y<z≤1.0,else={︃1080y5(z3−y3)(1−z3)z2,0<y<z≤1 0,else.令{︃U=ξ(2)/ξ(4)V=ξ(4)其对应的函数为:{︃u=y/z,v=z.其反函数为y=uv,z=v,其雅克比行列式为J=⃒⃒⃒⃒⃒v u01⃒⃒⃒⃒⃒=v.所以U,V的联合密度为pU,V (u,v)={︃1080(uv)5(v3−(uv)3)(1−v3)v2v,0<u<1,0<v<1,0,else.={︃1080v11(1−v3)u5(1−u3),0<u<1,0<v<1,0,else.U,V的联合密度函数是变量可分离的,故U,V相互独立.且U=ξ(2)/ξ(4)的密度函数为PU (u)={︃ku5(1−u3),0<u<10,else计算可知k=18.5.26设母体ξ服从韦布尔分布,其分布函数为F(x)=1−e−(xη)m,x>0,其中m>0为形状参数,η>0为尺度参数.从中获得子样ξ1,ξ2,···,ξn,证明μ=min(ξ1,ξ2,···,ξn)任服从韦布尔分布,并指出其形状参数和尺度参数.解：母体ξ的密度函数p(x)=F′(x)={︃mηmx m−1e−(xη)m,x>0 0,else.所以最小次序统计量μ=ξ(1)=min(ξ1,ξ2,···,ξn)的密度函数为:f(x)=n(1−F(x)]n−1p(x)=nmηmx m−1(︁e−(xη)m)︁n−1e−(xη)m=nmηmx m−1(︁e−n(xη)m)︁=m(cη)mx m−1(︁e−(x cη)m)︁其中c=n−1m.比较f(x)和母体的密度函数p(x)可知μ也服从韦布尔分布,其形状参数仍为m,尺度参数为ηm√n.5.27设某电子元件寿命服从参数为λ=0.0015的指数分布,其分布函数为:F(x)=1−e−λx,x>0.今从中随机抽取6个元件,测得其寿命分别为ξ1,ξ2,···,ξ6,试求下列事件的概率.(1).到800小时没有一个元件失效;(2).到300小时所有元件都失效.解：ξ1,ξ2,···,ξ6是子样,所以ξ1,ξ2,···,ξ6相互独立,且每个ξi都服从参数为λ的指数分布,所以(1).到800小时没有一个元件失效的概率为p1=P(ξ1>800,ξ2>800,···,ξ6>800)=6∏︁i=1P(ξi>800)=6∏︁i=1P(ξ<800)=6∏︁i=1[1−(1−e−800λ)]=[e−800λ]6=e−4800λ=e−7.2≈0.00075.(2).到300小时所有元件都失效的概率p2=P(ξ1<3000,ξ2<3000,···,ξ6<3000)=6∏︁i=1P(ξi<3000)=6∏︁i=1P(ξ<3000)=6∏︁i=1[1−e−3000λ)]=[1−e−3000λ]6=[1−e−4.5]6≈0.93517.5.28设母体ξ的密度函数为f(x)={︃6x(1−x),0<x<10,else由此母体中抽取一个子样(ξ1,ξ2,ξ3,ξ4,ξ5),又ξ(1)<ξ(2)<ξ(3)<ξ(4)<ξ(5)是子样的顺序统计量,求ξ(3)的密度函数.解：ξ的分布函数为F(x)=∫︁x6t(1−t)dt=x2(3−2x),(0<x<1),所以ξ(3)的密度函数为:g3(x)=5!2!2![F(x)]2[1−F(x)]2f(x)=5!2!2![x2(3−2x)]2[1−x2(3−2x)]2[6x(1−x)]=180x5(1−x)(3−2x)2(1−3x2+2x3)2,0<x<1.5.29母体ξ服从[0,1]上的均匀分布,(ξ1,ξ2,···,ξn)为取自该母体的子样,ηi=ξ(i)为次序统计量,求P(ηi> 12),i=1,2,3,4,5.解：ξ服从[,1]上的均匀分布R[0,1],所以ξ的分布函数为:F(x)=⎧⎪⎨⎪⎩x,0<x≤10,x≤01,x>1.因此第i个次序统计量ηi的概率密度函数为:g i(y)=⎧⎨⎩5!(i−1)!(5−i)!x i−1(1−x)5−i,0<y≤1 0,y≤0或者y>1故P(η1>1/2)=∫︁11/25(1−y)4dy=∫︁1/25t4dt=132P(η2>1/2)=∫︁11/220y(1−y)3dy=316P(η3>1/2)=∫︁11/230y2(1−y)2dy=12P(η4>1/2)=∫︁11/220y3(1−y)dy=1316=1−P(η2>1/2)P(η5>1/2)=∫︁11/25y4dy=3132=1−P(η1>1/2).5.30设(ξ1,ξ2)是取自具有指数分布母体的子样,其密度函数为:f(x)={︃e−x,x>00,else(ξ(1)<ξ(2)是次序统计量,求ξ(1)与η=ξ(1)+ξ(2)的联合密度函数.解：母体ξ服从参数为1的指数分布,其分布函数为F(x)=(1−e−x),x>0.因此ξ(1),ξ(2)的联合密度函数为:g1,2(x,y)=2e−x e−y,0<x<y.令U=ξ(1),V=ξ(1)+ξ(2).它对应的函数为u=x,v=x+y,其反函数为x=u,y=v−u,且雅克比行列式J=⃒⃒⃒⃒⃒ðxðuðxðvðyðuðyðv⃒⃒⃒⃒⃒=⃒⃒⃒⃒⃒10−11⃒⃒⃒⃒⃒=1.所以U,V的联合密度函数为pU,V(u,v)=2e−u e−(v−u),0<u<(v−u)=e−v,0<2u<v.5.31设母体ξ的分布函数F(x)是连续的,ξ(1),ξ(2),···,ξ(n)为取自此母体的子样的次序统计量,设ηi= F(ξ(i)),试证(1).η1≤η2≤···≤ηn,且ηi是来自均匀分布U(0,1)母体的次序统计量;(2).Eηi=in+1,D(ηi)=i(n+1−i)(n+1)2(n+2),1≤i≤n.(3).ηi和ηj的协方差矩阵为⎛⎜⎝a1(1−a1)n+2a1(1−a2)n+2a1(1−a2)n+2a2(1−a2)n+2⎞⎟⎠其中a i=in+1,a j=jn+1.证明：因为ξ(1),ξ(2),···,ξ(n)是取自母体ξ的子样的次序统计量,所以ξ(1)≤ξ(2)≤···≤ξ(n).又因为分布函数F(x)是单调不降的,所以F(ξ(1))≤F(ξ(2))≤···≤F(ξ(n))并且可看做是取自母体F(ξ)的子样的次序统计量.令C x=sup{t|F(t)≤t},0<x<1.由于F(x)是连续函数,其闭集的原像仍为闭集.而且F(x)单调不降,故可知F(C x)=x.这样可知:P(F(ξ)≤x)=P(ξ≤C x)=F(C x)=x,0<x<1.所以η=F(ξ)服从(0,1)上的均匀分布,所以η1,···,ηn可看做从(0,1)分布的母体上子样的次序统计量.(2).由(1)可知ηi有密度函数p(i)=⎧⎨⎩n!(i−1)!(n−i)![F(x)]i−1[1−F(x)]n−i,0<x<1, 0,else=⎧⎨⎩n!(i−1)!(n−i)!x i−1(1−x)n−i,0<x<1, 0,else即ηi服从beta分布Beta(i,n−i+1).注意到ηi的密度函数的形式,Eηi=∫︁1n!(i−1)!(n−i)!x i(1−x)n−i dx=n!(i−1)!(n−i)!i!(n−i)!(n+1)!∫︁1(n+1)![(i+1)−1]![(n+1)−(i+1)]!x(i+1)−1(1−x)(n+1)−(i+1)dx=n!(i−1)!(n−i)!i!(n−i)!(n+1)!=in+1.其中我们利用了(n+1)![(i+1)−1]![(n+1)−(i+1)]!x(i+1)−1(1−x)(n+1)−(i+1),0<x<1是子样容量为n+1时ηi+1的密度函数.用同样的方法可得:Eη2i=∫︁1n!(i−1)!(n−i)!x i+1(1−x)n−i dx=n!(i−1)!(n−i)!(i+1)!(n−i)!(n+2)!∫︁1(n+2)![(i+2)−1]![(n+2)−(i+2)]!x(i+2)−1(1−x)(n+2)−(i+2)dx=n!(i−1)!(n−i)!(i+1)!(n−i)!(n+2)!=i(i+1)(n+2)(n+1).其中我们利用了(n+2)![(i+2)−1]![(n+2)−(i+2)]!x(i+1)−1(1−x)(n+1)−(i+1),0<x<1是子样容量为n+2时ηi+2的密度函数.那么Dηi=Eη2i−(Eηi)2=i(n+1−i) (n+1)2(n+2).(3).不妨假定i<j.因为η1,···,ηn可看做(0,1)上均匀分布母体的子样的次序统计量.故ηi,ηj的联合密度函数为:g i,j(x,y)=n!(i−1)!(j−i−1)!(n−j)!x i−1(y−x)j−i−1(1−y)n−j,0<x<y<1.注意到E(ηiηj)=Eηi(ηj−ηi)+Eη2i.Eηi(ηj−ηi)=∫︁10∫︁1xn!(i−1)!(j−i−1)!(n−j)!x i(y−x)j−i(1−y)n−j dxdy=i(j−i)(n+2)(n+1)∫︁1∫︁1x(n+2)![(i+1)−1]![(j+2)−(i+1)−1]![(n+2)−(j+2)]!·x(i+1)−1(y−x)(j+2)−(i+1)−1(1−y)(n+2)−(j+2)dxdy=i(j−i)(n+2)(n+1),其中利用了(n+2)![(i+1)−1]![(j+2)−(i+1)−1]![(n+2)−(j+2)]!x(i+1)−1(y−x)(j+2)−(i+1)−1(1−y)(n+2)−(j+2),0<x<y<1是子样容量为n+2时,ηi+1和ηj+2的联合密度函数.所以进一步的可得Cov(ηi,ηj)=Eηiηj−(Eηi)(Eηj)=Eηi(ηj−ηi)+Eη2i−(Eηi)(Eηj)=i(j−i)(n+2)(n+1)+i(i+1)(n+2)(n+1)−ij(n+1)2=i(n+1−j)(n+2)(n+1)2=a1(1−a2n+2.从而可得ηi,ηj的协方差矩阵为Cov(ηi,ηj)=(︃Dηi Cov(ηi,ηj)Cov(ηj,ηi)Dηj)︃=⎛⎜⎝a1(1−a1)n+2a1(1−a2)n+2a1(1−a2)n+2a2(1−a2)n+2⎞⎟⎠.5.32设母体ξ∼N(0,1),从此母体获得一组子样观测值x1=0,x2=0.2,x3=0.25,x4=−0.3, x5=−0.1,x6=2,x7=0.15,x8=1,x9=−0.7,x10=−1.(1).求子样的经验分布函数F n(x).(2).计算x=0.15(即ξ(6))处E(F(ξ(6))),D(F(ξ(6)))解：(1).子样的经验分布函数为:F n(x)=⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩0,x≤−10.1,−1<x≤−0.70.2,−0.7<x≤−0.30.3,−0.3<x≤−0.10.4,−0.1<x≤00.5,0<x≤0.150.6,0.15<x≤0.20.7,0.2<x≤0.250.8,0.25<x≤10.9,1<x≤21,x>2(2).记F(x)为标准正态分布的分布函数,p(x)为标准正态分布的密度函数,那么ξ(6)的密度函数为:g6(x)=10!5!4!F5(x)[1−F(x)]4p(x),。
概率论与数理统计(第二版)课后答案
各章大体题详解习题一一、选择题1. （A ）A B A B B ⊂−−→=;（B ）B A A B A B B ⊂−−→⊂−−→=; （C ）AB A B A B B φ=−−→⊂−−→=;（D ）AB B A φ=−−→⊂ 不必然能推出A B B =（除非A B =）所以 选（D ）2. ()()()()()()()P A B P AB P AB P A P B P A P B -==--++ ()()()P A P B P AB =+-所以 选（C ）3. )()()()()()()()|(A P B P A P B P A P B P AB P B A P B A ≥−→−==−→−⊂所以 选（B ）4. 1)(0)()()()()(==−→−==B P A P B P A P AB P A P 或 所以 选（B ）5. （A ）若B A =，则φ=AB ，且φ==A A B A ，即B A ,不相容（B ）若φ≠⊃B A ，且Ω≠A ，则φ≠AB ，且φ≠=A B A ，即B A ,相容 （C ）若φφ≠=B A ,，则φ=AB ，且φ≠=B B A ，即B A ,相容 （D ）若φ≠AB ，不必然能推出φ=B A 所以 选（D ）6. （A ）若φ≠AB ，不必然能推出)()()(B P A P AB P =（B ）若1)(=A P ，且φ≠⊃B A ，则)()()()(B P A P B P AB P ==，即A,B 独立（C ）若φ=AB ，1)(0<<A P ,1)(0<<B P ，则)()()(B P A P AB P ≠ （D ）若1)(=A P ，则A 与任何事件都彼此独立 所以 选（B ）7. 射击n 次才命中k 次，即前1-n 次射击恰好命中1-k 次，且第n 次射击时命中目标，所以 选（C ）二、填空题8. C A C A C A A C A C A C A C A )())((= C C C C A A C C A C A C ==== ))(()()( 所以 C B =9. 共有44⨯种大体事件，向后两个邮筒投信有22⨯种大体事件，故所求概率为414422=⨯⨯ 10. 设事件A 表示两数之和大于21，则 样本空间}10,10|),{(<<<<=Ωy x y x ，}10,10,21|),{(<<<<>+=y x y x y x A 872121211=⋅⋅-==ΩS S P A 11. 由1.0)(,8.0)(=-=B A P A P ，得7.0)(=AB P ，故3.0)(=AB P 12. 由4.0)(,3.0)(,2.0)(===B A P B P A P ，得1.0)(=AB P ，故2.0)()()(=-=AB P B P A B P 13. 2.0)|()()(==A B P A P AB P ，故8.0)|()()(==B A P AB P B P14. )()()()()()()()(ABC P CA P BC P AB P C P B P A P C B A P +---++=)()()()()()()()()()()()(C P B P A P A P C P C P B P B P A P C P B P A P +---++=2719=15. 由于A,B 彼此独立，可得91)()()(==B P A P B A P ，)()(B A P B A P =，于是31)()(==B P A P ，故32)(=B P 三、计算题16.（1）)},,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,{(T T T H T T T H T H H T T T H H T H T H H H H H =Ω；（2）}3,2,1,0{=Ω；（3）}1|),{(22≤+=Ωy x y x ；（4）}5:0,5:1,5:2,5:3,5:4,4:5,3:5,2:5,1:5,0:5{=Ω 17.（1）C B A ； （2）)(C B A ； （3）C B A C B A C B A ； （4）AC BC AB ； （5）C B A ； （6）C B A ； （7）ABC18. 法一，由古典概率可知，所求概率为：2016420109⋅C ；法二，由伯努利定理可知，所求概率为：1644209.01.0⋅⋅C19. 只有唯一的一个六位数号码开能打开锁。
茆诗松《概率论与数理统计教程》(第2版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第4~5章【圣才出品】
（1）|φ （t）|≤φ （0）＝1．
——————
——————
（2）φ （－t）＝φ （t），其中φ （t）表示 φ （t）的共轭．
（3）若 y＝aX＋b，其中 a，b 是常数，则 φ Y（t）＝eibtφ X（at）．
（4）独立随机变量和的特征函数为每个随机变量的特征函数的积．即设 X 与 Y 相互独
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P
Xn a
P
Yn b
则有 ①
P
X n Yn a b
②
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P
X n Yn a b
③
P
Xn Yn a b(b 0)
2．按分布收敛、弱收敛
（1）按分布收敛
设随机变量 X，X1，X2，…的分布函数分别为 F（X），F1（X），F2（X），…．若对 F（x）
p(x) x e n/21 x/2 ，x 0 Γ (n / 2)2n/2
exp
it
2t 2
2
(1 it )1
(1 it )
(1 2it )n / 2
贝塔分布
Be(a，b)
p(x) Γ (a b) xa1 (1 x)b1，0 x 1 Γ (a)Γ (b)
Γ (a b)
(it)k Γ (a k)
P
Xn x
或者说，绝对偏差|Xn－x|小于任一给定量的可能性将随着 n 增大而愈来愈接近于 1， 即等价于 P（|Xn－x|＜ε）→1（n→∞）．
特别当 x 为退化分布时，即 P（X－c）＝1，则称序列{Xn}依概率收敛于 C． （2）依概率收敛于常数的四则运算性质如下： 设{Xn}，{Yn}是两个随机变量序列，a，b 是两个常数．如果
概率论与数理统计第五章习题参考答案
F = S甲2 ~ F (4,4) S乙2
由
P⎪⎨⎧ ⎪⎩
S甲2 S乙2
<
F 1−
0.05
(4,4)
U
2
S甲2 S乙2
>
F0.05
2
(4,4)⎪⎬⎫ ⎪⎭
=
0.05
查表得： F0.05 (4,4) = 9.6,
2
F 1−
0.05
2
(4,4)
=
1 F0.025 (4,4)
=
0.1042
，
故拒绝域为 (0, 0.142) U (9.6, + ∞) .
54 67 68 78 70 66 67 70 65 69 问患者与正常人的脉搏有无显著差异（患者的脉搏可视为服从正态分布。α = 0.05 ） 解：设患者的脉搏为 X , 计算其样本均值与样本方差分别为 x = 67.4, s = 5.93
在检验水平α = 0.05 下，检验假设 H 0 : µ = µ0 = 72 H1 : µ ≠ µ0 = 72
问两台机器的加工精度是否有显著差异（α = 0.05 ）？
解：在检验水平α = 0.05 下，检验假设 H 0 : µ1 = µ 2
H1 : µ1 ≠ µ2
因为
µ1，µ
2，σ
12，σ
2 2
均未知，且不知
σ
12与σ
2 2
是否相等，
故先检验假设 H 0′
:
σ
2 1
=
σ
2 2
,
H
1′
:
σ
2 1
≠
σ
2 2
。
H1 : µ1 ≠ µ2
当假设 H 0 为真时，取检验统计量
概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第五章习题参考答案
n n
4． 为估计鱼塘里有多少鱼，一位统计学家设计了一个方案如下：从鱼塘中打捞出一网鱼，计有 n 条，涂 上不会被水冲刷掉的红漆后放回，一天后再从鱼塘里打捞一网，发现共有 m 条鱼，而涂有红漆的鱼则 有 k 条，你能估计出鱼塘里大概有多少鱼吗？该问题的总体和样本又分别是什么呢？ 解：设鱼塘里有 N 条鱼，有涂有红漆的鱼所占比例为
样本标准差 s = 3.7778 ≈ 1.9437 ．
2． 证明：对任意常数 c, d，有
∑ ( x − c)( y − d ) = ∑ ( x − x )( y − y ) + n( x − c)( y − d ) ．
i =1 i i i =1 i i
n
n
证： ∑ ( xi − c)( y i − d ) = ∑ [( xi − x ) + ( x − c)][( y i − y ) + ( y − d )]
频数 9 9 5 4 4 1 1 3 4 30
频率 0.225 0.225 0.125 0.1 0.1 0.025 0.025 0.075 0.1 1
累计频率 0.225 0.45 0.575 0.675 0.775 0.8 0.825 0.9 1
6． 对下列数据构造茎叶图 472 425 400 382 418 392 429 428 381 443 解：茎叶图为
1572 − 738 ≈ 140 ， 6 区间端点可取为 735，875，1015，1155，1295，1435，1575， 频率分布表为 组序 分组区间 组中值 频数 频率 累计频率 1 (735, 875] 805 6 0.2 0.2 2 (875, 1015] 945 8 0.2667 0.4667 3 (1015, 1155] 1085 9 0.3 0.7667 4 (1155, 1295] 1225 4 0.1333 0.9
茆诗松《概率论与数理统计教程》课后习题
茆诗松《概率论与数理统计教程》课后习题本书是详解研究生入学考试指定考研参考书目为茆诗松《概率论与数理统计教程》的配套题库，每章包括以下四部分：第一部分为考研真题及详解。
本部分按教材章节从历年考研真题中挑选具有代表性的部分，并对其进行了详细的解答。
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目录第一部分考研真题第1章随机事件与概率第2章随机变量与分布第3章多维随机变量及其分布第4章大数定律与中心极限定理第5章统计量及其分布第6章参数估计第7章假设检验第8章方差分析与回归分析第二部分课后习题第1章随机事件与概率第2章随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布第4章大数定律与中心极限定理第5章统计量及其分布第6章参数估计第7章假设检验第8章方差分析与回归分析第三部分章节题库第1章随机事件与概率第2章随机变量与分布第3章多维随机变量及其分布第4章大数定律与中心极限定理第5章统计量及其分布第6章参数估计第7章假设检验第8章方差分析与回归分析第四部分模拟试题茆诗松《概率论与数理统计教程》（第2版）配套模拟试题及详解（一）茆诗松《概率论与数理统计教程》（第2版）配套模拟试题及详解（二）。
概率论与数理统计(茆诗松)课后第五章习题参考答案
第五章 统计量及其分布习题5.11． 某地电视台想了解某电视栏目（如：每日九点至九点半的体育节目）在该地区的收视率情况，于是委托一家市场咨询公司进行一次电话访查． （1）该项研究的总体是什么？ （2）该项研究的样本是什么？ 解：（1）总体是该地区的全体用户；（2）样本是被访查的电话用户．2． 某市要调查成年男子的吸烟率，特聘请50名统计专业本科生作街头随机调查，要求每位学生调查100名成年男子，问该项调查的总体和样本分别是什么，总体用什么分布描述为宜？解：总体是任意100名成年男子中的吸烟人数；样本是这50名学生中每一个人调查所得到的吸烟人数；总体用二项分布描述比较合适．3． 设某厂大量生产某种产品，其不合格品率p 未知，每m 件产品包装为一盒．为了检查产品的质量，任意抽取n 盒，查其中的不合格品数，试说明什么是总体，什么是样本，并指出样本的分布． 解：总体是全体盒装产品中每一盒的不合格品数；样本是被抽取的n 盒产品中每一盒的不合格品数；总体的分布为X ~ b (m , p )，x m x qp x m x X P −⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==}{，x = 0, 1, …, n ， 样本的分布为nn x m x n x m x x m x n n q p x m q p x m q p x m x X x X x X P −−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛====L L 2211212211},,,{ ∑∑⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛===−=∏ni tni tx mn x ni i q px m 111．4． 为估计鱼塘里有多少鱼，一位统计学家设计了一个方案如下：从鱼塘中打捞出一网鱼，计有n 条，涂上不会被水冲刷掉的红漆后放回，一天后再从鱼塘里打捞一网，发现共有m 条鱼，而涂有红漆的鱼则有k 条，你能估计出鱼塘里大概有多少鱼吗？该问题的总体和样本又分别是什么呢？ 解：设鱼塘里有N 条鱼，有涂有红漆的鱼所占比例为Nn ， 而一天后打捞出的一网鱼中涂有红漆的鱼所占比例为m k，估计mk N n ≈，故估计出鱼塘里大概有kmnN ≈条鱼；总体是鱼塘里的所有鱼；样本是一天后再从鱼塘里打捞出的一网鱼． 5． 某厂生产的电容器的使用寿命服从指数分布，为了了解其平均寿命，从中抽出n 件产品测其使用寿命，试说明什么是总体，什么是样本，并指出样本的分布． 解：总体是该厂生产的全体电容器的寿命；样本是被抽取的n 件电容器的寿命；总体的分布为X ~ e (λ )，p (x ) = λ e λ x ，x > 0，样本的分布为11212(,,,)e e e enin i x x x x n n p x x x λλλλλλλλ=∑=⋅=L L ，x i > 0．6． 美国某高校根据毕业生返校情况纪录，宣布该校毕业生的年平均工资为5万美元，你对此有何评论？ 解：返校的毕业生只是毕业生中一部分特殊群体，样本的抽取不具有随机性，不能反应全体毕业生的情况．习题5.21． 以下是某工厂通过抽样调查得到的10名工人一周内生产的产品数149 156 160 138 149 153 153 169 156 156 试由这批数据构造经验分布函数并作图． 解：经验分布函数0,138,0.1,138149,0.3,149153,()0.5,153156,0.8,156160,0.9,160169,1,169.n x x x F x x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪≤<⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≤<⎪⎪≥⎩ 作图略．2． 下表是经过整理后得到的分组样本组序 1 2 3 4 5分组区间 (38,48] (48,58] (58,68] (68,78] (78,88] 频数 3 4 8 3 2试写出此分布样本的经验分布函数．解：经验分布函数0,37.5,0.15,37.547.5,0.35,47.557.5,()0.75,57.567.5,0.9,67.577.5,1,77.5.n x x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≤<⎪≥⎪⎩3． 假若某地区30名2000年某专业毕业生实习期满后的月薪数据如下：909 1086 1120 999 1320 1091 1071 1081 1130 1336 967 1572 825 914 992 1232 950 775 1203 1025 1096 808 1224 1044 871 1164 971 950 866 738（1）构造该批数据的频率分布表（分6组）； （2）画出直方图． 解：（1）最大观测值为1572，最小观测值为738，则组距为15727381406d −=≈， 区间端点可取为735，875，1015，1155，1295，1435，1575， 频率分布表为 组序 分组区间 组中值 频数 频率 累计频率 1 (735, 875] 805 6 0.2 0.2 2 (875, 1015] 945 8 0.2667 0.4667 3 (1015, 1155] 1085 9 0.3 0.7667 4 (1155, 1295] 1225 4 0.1333 0.95 (1295,0.96672 0.066671435]13651 0.03333150516 (1435,1575]合计30 1（2）作图略．4．某公司对其250名职工上班所需时间（单位：分钟）进行了调查，下面是其不完整的频率分布表：所需时间频率0~10 0.1010~20 0.2420~3030~40 0.1840~50 0.14 （1）试将频率分布表补充完整．（2）该公司上班所需时间在半小时以内有多少人？解：（1）频率分布表为组序分组区间组中值频数频率累计频率10] 5 25 0.1 0.11 (0,20] 15 60 0.24 0.342 (10,30] 25 85 0.34 0.683 (20,40] 35 45 0.18 0.864 (30,50] 45 35 0.14 15 (40,合计250 1（2）上班所需时间在半小时以内有25 + 60 + 85 = 170人．5．40种刊物的月发行量（单位：百册）如下：5954 5022 14667 6582 6870 1840 2662 45081208 3852 618 3008 1268 1978 7963 20483077 993 353 14263 1714 11127 6926 2047714 5923 6006 14267 1697 13876 4001 22801223 12579 13588 7315 4538 13304 1615 8612 （1）建立该批数据的频数分布表，取组距为1700（百册）；（2）画出直方图．解：（1）最大观测值为353，最小观测值为14667，则组距为d = 1700，区间端点可取为0，1700，3400，5100，6800，8500，10200，11900，13600，15300，频率分布表为组序分组区间组中值频数频率累计频率1700] 850 9 0.225 0.2251 (0,25509 0.225 0.453400]2 (1700,42505 0.125 0.5755100]3 (3400,59504 0.1 0.6756800]4 (5100,76504 0.1 0.7758500]5 (6800,1 0.025 0.893506 (8500,10200]1 0.025 0.825110507 (10200,11900]3 0.075 0.9127508 (11900,13600]4 0.1 11445015300]9 (13600,合计30 1（2）作图略．6．对下列数据构造茎叶图472 425 447 377 341 369 412 399400 382 366 425 399 398 423 384418 392 372 418 374 385 439 408429 428 430 413 405 381 403 479381 443 441 433 399 379 386 387 解：茎叶图为34 135369, 6377, 2, 4, 9382, 4, 5, 1, 1, 6, 7399, 8, 2400, 5, 3412, 9, 8, 8, 3, 9425, 5, 3, 8, 9, 8439, 0, 3447, 3, 14546472, 97．根据调查，某集团公司的中层管理人员的年薪（单位：千元）数据如下：40.6 39.6 37.8 36.2 38.838.6 39.6 40.0 34.7 41.738.9 37.9 37.0 35.1 36.737.1 37.7 39.2 36.9 38.3试画出茎叶图．解：茎叶图为34.735. 136.2, 7, 937.0, 1, 738. 639.6, 6, 240.6, 8, 041.742.43.844.9, 545. 4习题5.31．在一本书上我们随机的检查了10页，发现每页上的错误数为：4 5 6 0 3 1 4 2 1 4试计算其样本均值、样本方差和样本标准差．解：样本均值3)41654(101=+++++=L x ； 样本方差7778.3])34()31()36()35()34[(91222222≈−+−++−+−+−=L s ；样本标准差9437.17778.3≈=s ．2． 证明：对任意常数c , d ，有11()()()()()()n niiiii i x c y d x x y y n x c y d ==−−=−−+−−∑∑．证：∑∑==−+−−+−=−−ni i i n i i i d y y y c x x x d y c x 11)]())][(()[())((∑=−−+−−+−−+−−=ni i i i i d y c x d y x x y y c x y y x x 1)])(())(())(())([())(()()()()())((111d y c x n x x d y y y c x y y x x ni i ni i ni i i −−+−−+−−+−−=∑∑∑===))(())(())((00))((11d y c x n y y x x d y c x n y y x x ni i i ni i i −−+−−=−−+++−−=∑∑==．3． 设x 1 , …, x n 和y 1 , …, y n 是两组样本观测值，且有如下关系：y i = 3 x i − 4，i = 1, …, n ，试求样本均值x和y 间的关系以及样本方差2x s 和2y s 间的关系．解：4343431)43(111111−=−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−==∑∑∑∑====x x n n x n x n y n y ni i n i i n i i n i i ； 212121229(19)]43()43[(11)(11x n i i n i i n i i ys x x n x x n y y n s =−−=−−−−=−−=∑∑∑===． 4． 记∑==n i i n x n x 11，∑=−−=n i i n x x n s 122)(11，n = 1, 2, …，证明 )(1111n n n n x x n x x −++=++，21221)(111n n nn x x n s n n s −++−=++． 证：)(111111111111111111n n n n n n n i i n i i n x x n x x n x n n x n x n n n x n x −++=+++=++⋅+=+=+++=+=+∑∑； ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+−−=−=++=+=++∑∑21112112121))(1()(1)(1n n n i n i n i n i n x x n x x n x x n s ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+⋅+−−+−=++=∑2122112)()1(1)1()()(1n n n n n i n i x x n n x x x x n 2122112)(111)(1)(11)1(1n n n n n n i n i x x n s n n x x n n x x n n n −++−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−++−−−=++=∑．5． 从同一总体中抽取两个容量分别为n , m 的样本，样本均值分别为1x , 2x ，样本方差分别为21s , 22s ，将两组样本合并，其均值、方差分别为x , s 2，证明：12nx mx x n m+=+，)1)(()(1)1()1(22122212−++−+−+−+−=m n m n x x nm m n s m s n s ． 证：m n x m x n x x m n x x m n x m j j n i i m j j n i i ++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++=∑∑∑∑====211211121111； ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+−−+=∑∑==m j jn i i x x x x m n s 1221212()(11 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+−+−+−−+=∑∑==221222211211)()()()(11x x m x x x x n x x m n m j j n i i ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛++−+−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛++−+−−+=221222221121)1()1(11m n x m x n x m s m m n x m x n x n s n m n 2212222122221)()()(111)1()1(m n x x mn x x nm m n m n s m s n +−+−⋅−++−+−+−=)1)(()(1)1()1(2212221−++−+−+−+−=m n m n x x nm m n s m s n ． 6． 设有容量为n 的样本A ，它的样本均值为A x ，样本标准差为s A ，样本极差为R A ，样本中位数为m A ．现对样本中每一个观测值施行如下变换：y = ax + b ，如此得到样本B ，试写出样本B 的均值、标准差、极差和中位数．解：b x a b x n a nb x a n b ax n y n y A ni i n i i n i i n i i B +=+⋅=+=+==∑∑∑∑====11111)(1)(11；A n i A i n i A i n iB i B s a x x n a b x a b ax n y y n s ||)(11||)(11)(11121212=−−⋅=−−+−=−−=∑∑∑===； R B = y (n ) − y (1) = a x (n ) + b − a x (1) − b = a [x (n ) − x (1)] = a R A ； 当n 为奇数时，b am b ax y m A n n B +=+==⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+5.021215.0，当n 为偶数时，b am b x x ab ax b ax y y m A n n n n n n B +=++=+++=+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛5.01221221225.0][2][21][21，故m B 0.5 = a m A 0.5 + b ．7． 证明：容量为2的样本x 1 , x 2的方差为2212)(21x x s −=． 证：221212221221222112)(214)(4)(])2()2[(121x x x x x x x x x x x x s −=−+−=+−++−−=． 8． 设x 1 , …, x n 是来自U (−1, 1) 的样本，试求)(X E 和Var(X ．解：因X i ~ U (−1, 1)，有0211)(=+−=i X E ，3112)11()(Var 2=+=i X ，故0)(1)1()(11===∑∑==ni i n i i X E n X n E X E ，n n nXnX n X ni in i i 31311)(Var 11Var )(Var 2121=⋅⋅==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=∑∑==． 9． 设总体二阶矩存在，X 1 , …, X n 是样本，证明X X i −与)(j i X X j ≠−的相关系数为 − (n − 1) − 1．证：因X 1 , X 2 , …, X n 相互独立，有Cov (X l , X k ) = 0，（l ≠ k ）， 则),(Cov ),(Cov ),(Cov ),(Cov ),(Cov X X X X X X X X X X X X j i j i j i +−−=−−)(Var ),1(Cov )1,(Cov 0X X X nX n X j j i i +−−= 22221111)(Var )(Var 1)(Var 1σσσσnn n n X X n X n j i −=+−−=+−−=，且)1,(Cov 21),(Cov 2)(Var )(Var )(Var 22i i i i i X nX n X X X X X X −+=−+=−σσ)(Var 1212222X X nn n n j −=−=−+=σσσσ，故11111)(Var )(Var ),(Cov ),(Corr 222−−=−⋅−−=−⋅−−−=−−n nn n n n X X X X X X X X X X X X j i j i j i σσσ． 10．设x 1 , x 2 ,…, x n 为一个样本，∑=−−=ni i x x n s 122)(11是样本方差，试证： 22)()1(1s x x n n ji j i =−−∑<． 证：因⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=−−=∑∑==21212211)(11x n x n x x n s n i i n i i ， 则⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=−+=−=−∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑==========<n i n j j i n i n j j n i n j i n i n j j i j i n i n j j i j i j i x x x x x x x x x x x x 1111211211221122221)2(21)(21)( 221212111212)1(2221221s n n x n x n x n x n x n x x x n x n n i i n i i n i n j j i n j j n i i −=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=∑∑∑∑∑∑======， 故22)()1(1s x x n n ji j i =−−∑<． 11．设总体4阶中心矩ν4 = E [X − E (X )]4存在，试对样本方差∑=−−=ni i X X n S 122(11，有 2442442442)1(3)1()2(2)1()()Var(−−+−−−−−=n n n n n S σνσνσν，其中σ 2为总体X 的方差．证：因⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−−=−−−−=∑∑==212122)()(11)]()[(11µµµµX n X n X X n S n i i n i i ，其中µ = E (X )， 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−−=∑=21222)()(Var )1(1)Var(µµX n X n S n i i⎭⎬⎫⎩⎨⎧−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=∑∑==])(Var[)(,)(Cov 2)(Var )1(12212122µµµµX n X n X X n n i i n i i ⎭⎬⎫⎩⎨⎧−+−−−−−=∑∑==22122122)Var())(,)Cov((2)Var()1(1µµµµX n X X n X n n i i n i i ， 因E (X i − µ)2 = σ 2，E (X i − µ)4 = ν4，则)(})({}])([)({)Var(441224122412σνσνµµµ−=−=−−−=−∑∑∑===n X E X E X ni ni i i ni i ，因E (X i − µ) = 0，221)Var()(σµnX X E ==−，且当i ≠ j 时，X i − µ 与X j − µ 相互独立， 则∑∑==−−−−−=−−ni i i ni i X E X E X X E X X 12222122})()(])()[({))(,)Cov((µµµµµµ∑∑==⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⋅−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⋅−=ni nk k i n X n X E 1222121)(1)(σσµµ∑∑=≠⎭⎬⎫⎩⎨⎧−⎥⎦⎤⎢⎣⎡−⋅−+−=n i i k k i i n X E X E X E n1422421)()()(1σµµµ)(11])1([144142242σνσσσν−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−⋅+=∑=n n n nni ，且224122421)(1])([)()Var(⎥⎦⎤⎢⎣⎡−⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=−−−=−∑=σµµµµn X n E X E X E X n i i42221441)()(24)(1σµµµn X X X E n j i j i n i i −⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=∑∑<= 42221441)()(6)(1σµµµn X E X E X E n j i j i ni i −⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−+−=∑∑<= 42443424444222442)3(11])1(3[11261σσνσσνσσσνn n n n n n n n n n n +−=−−+=−⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅+=， 故⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−+−⋅−−−=4244324444222)3(1)(12)()1(1)Var(σσνσνσνn n n n n n n S⎭⎬⎫⎩⎨⎧+−+−−−−=444444422)3(1)(2)()1(1σσνσνσνn n n 2442442444444442)1(3)1()2(2)1()()3(1)2(2)()1(1−−+−−−−−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−+−−−−=n n n n n n n n σνσνσνσνσνσν． 12．设总体X 的3阶矩存在，设X 1 , X 2 ,…, X n 是取自该总体的简单随机样本，X 为样本均值，S 2为样本方差，试证：nS X 32),Cov(ν=，其中ν3 = E [X − E (X )]3．证：因⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−−=−−−−=∑∑==212122)()(11)]()[(11µµµµX n X n X X n S n i i n i i ，其中µ = E (X )， 则⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−−−=−=∑=21222)()(11,Cov ),Cov(),Cov(µµµµX n X n X S X S X n i i ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−−−−=∑=))(,Cov())(,Cov(11212µµµµX X n X X n n i i ， 因0)()(=−=−µµi X E X E ，E (X i − µ)2 = σ 2，E (X i − µ)3 = ν3，且当i ≠ j 时，X i − µ 与X j − µ 相互独立，则∑∑∑∑====−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=−−n i i i ni i n k k ni i X X n X X n X X 1212112))(,Cov(1)(,)(1Cov ))(,Cov(µµµµµµ331231])()()([1ννµµµ=⋅=−−−−=∑=n nX E X E X E n n i i i i ， 且31232)(1)()()())(,Cov(⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=−−−−=−−∑=n i i X n E X E X E X E X X µµµµµµ323313313311)(1)(1ννµµn n n X E n X E n n i i n i i =⋅=−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=∑∑==，故n nn n n n n S X 333232111111),Cov(νννν=−⋅−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅−−=． 13．设1X 与2X 是从同一正态总体N (µ, σ 2)独立抽取的容量相同的两个样本均值．试确定样本容量n ，使得两样本均值的距离超过σ 的概率不超过0.01． 解：因µ==)()(21X E X E ，nX X 221)Var()Var(σ==，1X 与2X 相互独立，且总体分布为N (µ, σ 2)，则0)(21=−=−µµX X E ，n n n X X 222212)Var(σσσ=+=−，即⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−n N X X 2212,0~σ， 因01.0222212}|{|21≤⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛Φ−=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛Φ−=>−n n X X P σσσ，有995.02≥⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛Φn ，5758.22≥n ，故n ≥ 13.2698，即n 至少14个．14．利用切比雪夫不等式求抛均匀硬币多少次才能使正面朝上的频率落在 (0.4, 0.6) 间的概率至少为0.9．如何才能更精确的计算这个次数？是多少？解：设⎩⎨⎧=,,0,,1次反面朝上第次正面朝上第i i X i 有X i ~ B (1, 0.5)，且正面朝上的频率为∑==ni i X n X 11，则E (X i ) = 0.5，Var (X i ) = 0.25，且5.0(=X E ，n X 25.0)(Var =， 由切比雪夫不等式得n nX P X P 2511.025.01}1.0|5.0{|}6.04.0{2−=−≥<−=<<，故当9.0251≥−n时，即n ≥ 250时，9.0}6.04.0{≥<<X P ；利用中心极限定理更精确地计算，当n 很大时∑==ni i X n X 11的渐近分布为正态分布25.0,5.0(n N ， 则)2.0()2.0()25.05.04.0(25.05.06.0()4.0()6.0(}6.04.0{n n nnF F X P −Φ−Φ=−Φ−−Φ=−=<<9.01)2.0(2≥−Φ=n ，即95.0)2.0(≥Φn ，64.12.0≥n ，故当n ≥ 67.24时，即n ≥ 68时，9.0}6.04.0{≥<<X P ．15．从指数总体Exp (1/θ ) 抽取了40个样品，试求X 的渐近分布．解：因θ==)((X E X E ，2401)(Var )(Var θ==n X X ，故X 的渐近分布为)401,(2θθN ．16．设X 1 , …, X 25是从均匀分布U (0, 5) 抽取的样本，试求样本均值X 的渐近分布．解：因25)()(==X E X E ，1211225)05()(Var )(Var 2=×−==n X X ，故X 的渐近分布为)121,25(N ． 17．设X 1 , …, X 20是从二点分布b (1, p ) 抽取的样本，试求样本均值X 的渐近分布．解：因p X E X E ==)((，20)1()(Var )(Var p p n X X −==，故X 的渐近分布为20)1(,(p p p N −．18．设X 1 , …, X 8是从正态分布N (10, 9) 中抽取的样本，试求样本均值X 的标准差．解：因89)(Var )(Var ==n X X ，故X 的标准差为423)(Var =X ． 19．切尾均值也是一个常用的反映样本数据的特征量，其想法是将数据的两端的值舍去，而用剩下的当中的值为计算样本均值，其计算公式是][2])[()2]([)1]([αααααn n X X X X n n n n −+++=−++L ，其中0 < α < 1/2是切尾系数，X (1) ≤ X (2) ≤ … ≤ X (n ) 是有序样本．现我们在高校采访了16名大学生，了解他们平时的学习情况，以下数据是大学生每周用于看电视的时间：15 14 12 9 20 4 17 26 15 18 6 10 16 15 5 8 取α = 1/16，试计算其切尾均值．解：因n α = 1，且有序样本为4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 15, 15, 16, 17, 18, 20, 26，故切尾均值8571.12)20865(216116/1=++++−=L x ． 20．有一个分组样本如下：区间 组中值 频数 (145,155) 150 4 (155,165) 160 8 (165,175) 170 6 (175,185) 180 2试求该分组样本的样本均值、样本标准差、样本偏度和样本峰度．解：163)2180617081604150(201=×+×+×+×=x ；2338.9]2)163180(6)163170(8)163160(4)163150[(1912222=×−+×−+×−+×−=s ； 因81]2)163180(6)163170(8)163160(4)163150[(20122222=×−+×−+×−+×−=b ， 144]2)163180(6)163170(8)163160(4)163150[(20133333=×−+×−+×−+×−=b ，14817]2)163180(6)163170(8)163160(4)163150[(20144444=×−+×−+×−+×−=b ，故样本偏度1975.02/3231==b b γ，样本峰度7417.032242−=−=b b γ．21．检查四批产品，其批次与不合格品率如下：批号批量不合格品率1 100 0.052 300 0.063 250 0.04 4 150 0.03试求这四批产品的总不合格品率．解：046875.0)03.015004.025006.030005.0100(8001=×+×+×+×=p ． 22．设总体以等概率取1, 2, 3, 4, 5，现从中抽取一个容量为4的样本，试分别求X (1) 和X (4) 的分布． 解：因总体分布函数为⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<≤<=,5,1,54,54,43,53,32,52,21,51,1,0)(x x x x x x x F则F (1) (x ) = P {X (1) ≤ x } = 1 − P {X (1) > x } = 1 − P {X 1 > x , X 2 > x , X 3 > x , X 4 > x } = 1 − [1 − F (x )]4⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<≤<=,5,1,54,625624,43,625609,32,625544,21,625369,1,0x x x x x x且F (4) (x ) = P {X (4) ≤ x } = P {X 1 ≤ x , X 2 ≤ x , X 3 ≤ x , X 4 ≤ x } = [F (x )]4⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<≤<=,5,1,54,625256,43,62581,32,62516,21,6251,1,0x x x x x x故X (1) 和X (4) 的分布为6251625156256562517562536954321)1(P X ； 6253696251756256562515625154321)4(PX ． 23．设总体X 服从几何分布，即P {X = k } = pq k − 1，k = 1, 2, …，其中0 < p < 1，q = 1 − p ，X 1, X 2, …, X n 为该总体的样本．求X (n ) , X (1)的概率分布．解：因k k kj j q qq p pqk X P −=−−==≤∑=−11)1(}{11，k = 1, 2, …，故n k n k ni i ni i n n n q q k X P k X P k X P k X P k X P )1()1(}1{}{}1{}{}{111)()()(−==−−−=−≤−≤=−≤−≤==∏∏；且nk k n ni i ni i q q k X P k X P k X P k X P k X P −=>−−>=>−−>==−==∏∏)1(11)1()1()1(}{}1{}{}1{}{．24．设X 1 , …, X 16是来自N (8, 4) 的样本，试求下列概率（1）P {X (16) > 10}； （2）P {X (1) > 5}．解：（1）1616161)16()16()]2810([1)]10([1}10{1}10{1}10{−Φ−=−=≤−=≤−=>∏=F X P X P X P i i = 1 − [Φ(1)]16 = 1 − 0.841316 = 0.9370；（2）3308.09332.0)]5.1([285(1[)]5(1[}5{}5{16161616161)1(==Φ=−Φ−=−=>=>∏=F X P X P i i ． 25．设总体为韦布尔分布，其密度函数为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−mmm x mx m x p ηηηexp ),;(1，x > 0, m > 0, η > 0． 现从中得到样本X 1 , …, X n ，证明X (1) 仍服从韦布尔分布，并指出其参数． 解：总体分布函数mm mmx xt xmt xt mm xt t mtt t p x F ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−=−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛===∫∫∫ηηηηηηe1e d ed ed )()(00010，x > 0，则X (1) 的密度函数为111(1)11()[1()]()eeemmmmx x x m m m n n n mmmxmnxp x n F x p x n ηηηηη⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞−−−−−−−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠⎝⎠=−=⋅==，故X (1) 服从参数为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛m n m η,的韦布尔分布． 26．设总体密度函数为p (x ) = 6 x (1 − x ), 0 < x < 1，X 1 , …, X 9是来自该总体的样本，试求样本中位数的分布． 解：总体分布函数3203223)23(d )1(6d )()(x x t t t t t t t p x F xxx−=−=−==∫∫，0 < x < 1，因样本容量n = 9，有样本中位数)5(215.0x x m n ==⎟⎠⎞⎜⎝⎛+，其密度函数为)1(6)231()23(!4!4!9)()](1[)]([!4!4!9)(432432445x x x x x x x p x F x F x p −⋅+−−⋅=−⋅=． 27．证明公式∫∑−−=−−−−=−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛110)1()!1(!!)1(p r n r rk k n k dx x x r n r n p p k n ，其中0 ≤ p ≤ 1． 证：设总体X 服从区间(0, 1)上的均匀分布，X 1, X 2, …, X n 为样本，X (1), X (2), …, X (n )是顺序统计量，则样本观测值中不超过p 的样品个数服从二项分布b (n , p )，即最多有r 个样品不超过p 的概率为∑=−+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=>rk kn k r p p k n p X P 0)1()1(}{，因总体X 的密度函数与分布函数分别为⎩⎨⎧<<=.,0;10,1)(其他x x p ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.1,1;10,;0,0)(x x x x x F则X (r + 1)的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<−−−=−−−=−−−−+.,0,10,)1()!1(!!)()](1[)]([)!1(!!)(111其他x x x r n r n x p x F x F r n r n x p r n r r n r r 故∫∑−−+=−−−−=>=−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛11)1(0)1()!1(!!}{)1(p r n r r rk kn k dx x x r n r n p X P p p k n ． 28．设总体X 的分布函数F (x )是连续的，X (1), …, X (n )为取自此总体的次序统计量，设ηi = F (X (i ))，试证： （1）η1 ≤ η2 ≤ … ≤ ηn ，且ηi 是来自均匀分布U (0, 1)总体的次序统计量；（2）1)(+=n iE i η，)2()1()1()Var(2++−+=n n i n i i η，1 ≤ i ≤ n ； （3）ηi 和ηj 的协方差矩阵为⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛+−+−+−+−2)1(2)1(2)1(2)1(22212111n a a n a a n a a n a a 其中11+=n i a ，12+=n j a ． 注：第（3）问应要求i < j ． 解：（1）首先证明Y = F (X )的分布是均匀分布U (0, 1)，因分布函数F (x )连续，对于任意的y ∈ (0, 1)，存在x ，使得F (x ) = y ， 则F Y ( y ) = P {Y = F (X ) ≤ y } = P {F (X ) ≤ F (x )} = P {X ≤ x } = F (x ) = y ， 即Y = F (X )的分布函数是⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.1,1;10,;0,0)(y y y y y F Y可得Y = F (X )的分布是均匀分布U (0, 1)，即F (X 1), F (X 2), …, F (X n )是均匀分布总体U (0, 1)的样本， 因分布函数F (x )单调不减，ηi = F (X (i ))，且X (1) ≤ X (2) ≤ … ≤ X (n )是总体X 的次序统计量， 故η1 ≤ η2 ≤ … ≤ ηn ，且ηi 是来自均匀分布U (0, 1)总体的次序统计量； （2）因均匀分布U (0, 1) 的密度函数与分布函数分别为⎩⎨⎧<<=.,0;10,1)(其他y y p Y ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.1,1;10,;0,0)(y y y y y F Y则ηi = F (X (i ))的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<−−−=−−−=−−−−.,0,10,)1()!()!1(!)()](1[)]([)!()!1(!)(11其他y y y i n i n y p y F y F i n i n y p i n i Y in Y i Y i即ηi 服从贝塔分布Be (i , n − i + 1)，即Be (a , b )，其中a = i ，b = n − i + 1，故1)(+=+=n i b a a E i η，)2()1()1()1()()Var(22++−+=+++=n n i n i b a b a ab i η，1 ≤ i ≤ n ； （3）当i < j 时，(ηi , ηj )的联合密度函数为z y Y Y j n Y i j Y Y i Y ij z p y p z F y F z F y F j n i j i n z y p <−−−−−−−−−−=I )()()](1[)]()([)]([)!()!1()!1(!),(111011I )1()()!()!1()!1(!<<<−−−−−−−−−−=z y j n i j i z y z y j n i j i n ， 则∫∫∫∫−−−+∞∞−+∞∞−−⋅−−−−−=⋅=1001)1()()!()!1()!1(!),()(z j n i j i ij j i dy z z y z y dz j n i j i n dydz z y p yz E ηη， 令y = zu ，有dy = zdu ，且当y = 0时，u = 0；当y = z 时，u = 1，则∫∫⋅−−=−⋅−−−−−−−1101)()()1()1()(zdu zu z zu z z dy z z y z y i j i j n zj n i j ij n j j n j i j i j j n z z j i j i i j i B z z du u u z z z −+−+−−−−−−=−+⋅−=−⋅−=∫)1(!)!1(!),1()1()1()1(1111，即∫−+−−−−−−−=101)1(!)!1(!)!()!1()!1(!)(dz z z j i j i j n i j i n E jn j j i ηη )1,2(!)!1(!)!()!1()!1(!+−+−−⋅−−−−=j n j B j i j i j n i j i n)2)(1()1()!2()!()!1(!)!1(!)!()!1()!1(!+++=+−+⋅−−⋅−−−−=n n j i n j n j j i j i j n i j i n ， 可得)2()1()1(11)2)(1()1()()()(),Cov(2++−+=+⋅+−+++=−=n n j n i n j n i n n j i E E E j i j i j i ηηηηηη， 因11+=n i a ，12+=n j a ， 则2)1()2()1()1(),Cov(212+−=++−+=n a a n n j n i j i ηη， 且2)1()2()1()1()Var(112+−=++−+=n a a n n i n i i η，2)1()2()1()1()Var(222+−=++−+=n a a n n j n j jη， 故ηi 和ηj 的协方差矩阵为⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛+−+−+−+−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛2)1(2)1(2)1(2)1()Var(),Cov(),Cov()Var(22212111n a a n a a n a a n a a j j i j i i ηηηηηη． 29．设总体X 服从N (0, 1)，从此总体获得一组样本观测值x 1 = 0, x 2 = 0.2, x 3 = 0.25, x 4 = −0.3, x 5 = −0.1, x 6 = 2, x 7 = 0.15, x 8 = 1, x 9 = −0.7, x 10 = −1．（1）计算x = 0.15（即x (6)）处的E [F (X (6))]，Var[F (X (6))]； （2）计算F (X (6))在x = 0.15的分布函数值．解：（1）根据第28题的结论知1)]([)(+=n iX F E i ，)2()1()1()](Var[2)(++−+=n n i n i X F i ，且n = 10， 故116)]([)6(=X F E ，2425121156)](Var[2)6(=××=X F ； （2）因F (X (i ))服从贝塔分布Be (i , n − i + 1)，即这里的F (X (6))服从贝塔分布Be (6, 5)，则F (X (6))在x = 0.15的分布函数值为∫−⋅=15.00456)1(!4!5!10)15.0(dx x x F ， 故根据第27题的结论知0014.085.015.0101)1(!4!5!10)15.0(501015.00456=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−⋅=∑∫=−k k k k dx x x F ． 30．在下列密度函数下分别寻求容量为n 的样本中位数m 0.5的渐近分布．（1）p (x ) = 6x (1 − x )，0 < x < 1；（2）⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−=222)(exp π21)(σµσx x p ； （3）⎩⎨⎧<<=.,0;10,2)(其他x x x p （4）||e 2)(x x p λλ−=．解：样本中位数m 0.5的渐近分布为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅)(41,5.025.0x p n x N ，其中p (x )是总体密度函数，x 0.5是总体中位数， （1）因p (x ) = 6x (1 − x )，0 < x < 1，有35.025.003205.023)23()1(6)(5.05.05.0x x x x dx x x x F x x −=−=−==∫，则x 0.5 = 0.5，有nn p n 91)5.05.06(41)5.0(4122=×××=⋅， 故样本中位数m 0.5的渐近分布为⎟⎠⎞⎜⎝⎛n N 91,5.0；（2）因⎭⎫⎩⎨⎧−−=222)(exp π21)(σµσx x p ，有0.5 = F (x 0.5) = F (µ)， 则x 0.5 = µ ，有n n p n 2ππ2141)(41222σσµ=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×=⋅， 故样本中位数m 0.5的渐近分布为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n N 2π,2σµ；（3）因⎩⎨⎧<<=.,0;10,2)(其他x x x p 有25.00205.05.05.02)(5.0x x xdx x F x x ====∫， 则215.0=x ，有n n p n 8121241214122=⎟⎠⎞⎜⎝⎛××=⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅， 故样本中位数m 0.5的渐近分布为⎟⎠⎞⎜⎝⎛n N 81,21； （4）因||e 2)(x x p λλ−=，有0.5 = F (x 0.5) = F (0)，则x 0.5 = 0，有2221241)0(41λλn n p n =⎟⎠⎞⎜⎝⎛×=⋅， 故样本中位数m 0.5的渐近分布为⎟⎠⎞⎜⎝⎛21,0λn N ．31．设总体X 服从双参数指数分布，其分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−−=.,0;,exp 1)(µµσµx x x x F其中，−∞ < µ < +∞，σ > 0，X (1) ≤ … ≤ X (n )为样本的次序统计量．试证明)(2)1()1()(−−−−i i X X i n σ服从自由度为2的χ 2分布（i = 2, …, n ）． 注：此题有误，讨论的随机变量应为)(2)1()1()(−−+−i i X X i n σ．证：因(X (i − 1), X (i ))的联合密度函数为z y i n i i i z p y p z F y F i n i n z y p <−−−−−−=I )()()](1[)]([)!()!2(!),(2)1( z y in i z y z y i n i n <<−−⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−⋅⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−−−−=µσµσσµσσµσµI exp 1exp 1exp exp 1)!()!2(!2z y i n i z y y i n i n <<+−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−−⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−−−=µσµσµσµσI exp exp 1exp )!()!2(!122，则T = X (i ) − X (i − 1)的密度函数为∫+∞∞−−⋅⋅+=dy t y y p t p i i T 1),()()1(∫∞++−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎭⎬⎫⎩⎨⎧−+−⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−−⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−−−=µσµσµσµσdy t y y y i n i n i n i 122exp exp 1exp )!()!2(!∫∞+−+−+−⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎭⎫⎩⎨⎧−−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−−=µσµσσµσµσσy d y y t i n i n i i n i n exp )(exp 1exp exp )!()!2(!2112∫−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−−=−+−+−012112)()1(exp )!()!2(!du u ut i n i n i i n i n σσσ∫−+−−⎭⎬⎫⎩⎨⎧+−−−−=1021)1()1(exp )!()!2(!du u ut i n i n i n i i n σσ )1,2()1(exp )!()!2(!−+−⎭⎬⎫⎩⎨⎧+−−−−=i i n B t i n i n i n σσ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+−−+−=−+−⋅⎭⎬⎫⎩⎨⎧+−−−−=σσσσt i n i n n i i n t i n i n i n )1(exp 1!)!2()!1()1(exp )!()!2(!，t > 0，可得T i n X X i n S i i σσ2)1()(2)1()1()(+−=−+−=−的密度函数为⎭⎬⎫⎩⎨⎧−=+−⋅⎭⎬⎫⎩⎨⎧−+−=+−⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=2exp 21)1(22exp 1)1(2)1(2)(s i n s i n i n s i n p s p T S σσσσ，s > 0， 故)(2)1()1()(−−+−=i i X X i n S σ服从参数为21的指数分布，也就是服从自由度为2的χ 2分布． 32．设总体X 的密度函数为⎩⎨⎧<<=.,0;10,3)(2其他x x x p X (1) ≤ X (2) ≤ … ≤ X (5)为容量为5的取自此总体的次序统计量，试证)4()2(X X 与X (4)相互独立．z −证：因总体X 的密度函数和分布函数分别为⎩⎨⎧<<=.,0;10,3)(2其他x x x p ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.1,1;10,;0,0)(3x x x x x F 则(X (2), X (4))的联合密度函数为)4()2(I )()()](1[)]()([)]([!1!1!1!5),()4()2(1)4(1)2()4(1)2()4()2(24x x x p x p x F x F x F x F x x p <−−⋅⋅=103)4(3)2(3)4(2)4(5)2(102)4(2)2(3)4(3)2(3)4(3)2()4()2()4()2(I )1)((1080I 33)1)((120<<<<<<−−=⋅⋅−−=x x x x x x x x x x x x x x x ，设)4()2(1X X Y =，Y 2 = X (4)，有X (2) = Y 1Y 2，X (4) = Y 2，则(X (2), X (4))关于( Y 1 , Y 2 )的雅可比行列式为21221)4()2(1),(),(y y y y y x x J ==∂∂=，且0 < X (2) ≤ X (4) < 1对应于0 < Y 1 < 1, 0 < Y 2 < 1，可得(Y 1 , Y 2 )的联合密度函数为210,10323213222521221242121I )1]()([)(1080||),(),(y y y y y y y y J y y y p y y p y y ⋅−−=⋅=<<<<103211210315121I )1(I )1(1080<<<<−⋅−=y y y y y y ，由于(Y 1 , Y 2 , …, Y n )的联合密度函数p ( y 1 , y 2)可分离变量， 故)4()2(1X X Y =与Y 2 = X (4)相互独立．33．（1）设X (1)和X (n )分别为容量n 的最小和最大次序统计量，证明极差R n = X (n ) − X (1)的分布函数∫+∞∞−−−+=dy y p y F x y F n x F n R n )()]()([)(1其中F ( y )与p ( y )分别为总体的分布函数与密度函数；（2）利用（1）的结论，求总体为指数分布Exp (λ)时，样本极差R n 的分布． 注：第（1）问应添上x > 0的要求． 解：（1）方法一：增补变量法因(X (1), X (n ))的联合密度函数为z y n z y n n z p y p y F z F n n z p y p y F z F n n z y p <−<−−−=−−=I )()()]()()[1(I )()()]()([)!2(!),(221， 对于其函数R n = X (n ) − X (1)，增补变量W = X (1)，⎩⎨⎧−==.;y z r y w 反函数为⎩⎨⎧+==.;r w z w y 其雅可比行列式为11101==J ，则R n 的密度函数为∫+∞∞−>−+−+−=dw r w p w p w F r w F n n r p r n R n 02I )()()]()()[1()(，故R n = X (n ) − X (1)的分布函数为∫∫∫∞−+∞∞−>−∞−+−+−==x r n x R R dw r w p w p w F r w F n n dr dr r p x F n n 02I )()()]()()[1()()(∫∫+∞∞−∞−>−+−+−=xr n dr r w p w p w F r w F n n dw 02I )()()]()()[1(∫∫+∞∞−−+−+−=xn dr r w p w F r w F dw w p n n 02)()]()([)()1(∫∫+∞∞−−+−+−=xn r w dF w F r w F dw w p n n 02)()]()([)()1(∫+∞∞−−−+−⋅−=x n w F r w F n dw w p n n 01)]()([11)()1(∫+∞∞−−−+=dw w p w F x w F n n )()]()([1 ∫+∞∞−−−+=dy y p y F x y F n n )()]()([1，x > 0；方法二：分布函数法因(X (1), X (n ))的联合密度函数为z y n z y n n z p y p y F z F n n z p y p y F z F n n z y p <−<−−−=−−=I )()()]()()[1(I )()()]()([)!2(!),(221， 故R n = X (n ) − X (1)的分布函数为∫∫+∞∞−+∞−=≤−==xy n n n R dz z y p dy x X X R P x F n ),(}{)(1)1()(∫∫+∞∞−+−−−=xy yn dz z p y p y F z F dy n n )()()]()([)1(2∫∫+∞∞−+−−⋅−=xy yn z F d y F z F y p dy n n )]([)]()([)()1(2∫∫+∞∞−−+∞∞−+−−+=−−⋅⋅−=dy y p y F x y F n y F z F n y p dy n n n x y y n )()]()([)]()([11)()1(11，x > 0；（2）因指数分布Exp (λ)的密度函数与分布函数分别为⎩⎨⎧≤>=−.0,0;0,e )(x x x p x λλ ⎩⎨⎧≤>−=−.0,0;0,e 1)(x x x F x λ故R n = X (n ) − X (1)的分布函数为∫∫+∞−−−+−+∞∞−−⋅−−−=−+=01)(1e )]e 1()e 1[()()]()([)(dy n dy y p y F x y F n x F y n y x y n R n λλλλ101011)e 1()(e 1)e 1(e )1()e 1()(e −−+∞−−−+∞−−−−−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⋅−=−⋅−=∫n x n y n x y n x n y n n d n λλλλλλ，x > 0．34．设X 1 , …, X n 是来自U (0, θ ) 的样本，X (1) ≤ … ≤ X (n ) 为次序统计量，令)1()(+=i i i X X Y ，i = 1, …, n − 1，Y n = X (n ) ，证明Y 1 , …, Y n 相互独立．。
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（2）上班所需时间在半小时以内有 25 + 60 + 85 = 170 人． 5． 40 种刊物的月发行量（单位：百册）如下： 5954 5022 14667 6582 6870 1840 2662 4508 1208 3852 618 3008 1268 1978 7963 2048 3077 993 353 14263 1714 11127 6926 2047 714 5923 6006 14267 1697 13876 4001 2280 1223 12579 13588 7315 4538 13304 1615 8612 （1）建立该批数据的频数分布表，取组距为 1700（百册） ； （2）画出直方图． 解： （1）最大观测值为 353，最小观测值为 14667，则组距为 d = 1700， 区间端点可取为 0，1700，3400，5100，6800，8500，10200，11900，13600，15300， 频率分布表为 组序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 合计 （2）作图略．
1091 1572 775 1044 738
3． 假若某地区 30 名 2000 年某专业毕业生实习期满后的月薪数据如下： 909 1086 1120 999 1320 1071 1081 1130 1336 967 825 914 992 1232 950 1203 1025 1096 808 1224 871 1164 971 950 866 （1）构造该批数据的频率分布表（分 6 组） ； （2）画出直方图． 解： （1）最大观测值为 1572，最小观测值为 738，则组距为 d =
样本的分布为 p ( x1 , x2 , L , xn ) = λ eλ x1 ⋅ λ eλ x2 L λ eλ xn = λ n e
λ ∑ xi
i =1 n
，xi > 0．
6． 美国某高校根据毕业生返校情况纪录，宣布该校毕业生的年平均工资为 5 万美元，你对此有何评论？ 解：返校的毕业生只是毕业生中一部分特殊群体， 样本的抽取不具有随机性， 不能反应全体毕业生的情况．
i =1 i =1 n
n
n
= ∑ [( xi − x )( y i − y ) + ( x − c)( y i − y ) + ( xi − x )( y − d ) + ( x − c)( y − d )]
i =1 n n n
= ∑ ( x i − x )( y i − y ) + ( x − c)∑ ( y i − y ) + ( y − d )∑ ( x i − x ) + n( x − c)( y − d )
样本标准差 s = 3.7778 ≈ 1.9437 ．
2． 证明：对任意常数 c, d，有
∑ ( x − c)( y − d ) = ∑ ( x − x )( y − y ) + n( x − c)( y − d ) ．
i =1 i i i =1 i i
n
n
证： ∑ ( xi − c)( y i − d ) = ∑ [( xi − x ) + ( x − c)][( y i − y ) + ( y − d )]
n ， N n k k 而一天后打捞出的一网鱼中涂有红漆的鱼所占比例为 ，估计 ≈ ， m N m mn 故估计出鱼塘里大概有 N ≈ 条鱼； k 总体是鱼塘里的所有鱼；样本是一天后再从鱼塘里打捞出的一网鱼． 5． 某厂生产的电容器的使用寿命服从指数分布， 为了了解其平均寿命， 从中抽出 n 件产品测其使用寿命， 试说明什么是总体，什么是样本，并指出样本的分布． 解：总体是该厂生产的全体电容器的寿命； 样本是被抽取的 n 件电容器的寿命； 总体的分布为 X ~ e (λ )，p (x) = λ e λ x，x > 0，
x m− x 总体的分布为 X ~ b (m, p)， P{ X = x} = ⎜ ，x = 0, 1, …, n， ⎜ ⎟ ⎟p q
⎛ m⎞ ⎝ x⎠
⎛ m ⎞ x1 m − x1 ⎛ m ⎞ x2 m − x2 ⎛ m ⎞ xn m − xn 样本的分布为 P{ X 1 = x1 , X 2 = x2 , L, X n = xn } = ⎜ ⋅⎜ L⎜ ⎟p q ⎜x ⎟ ⎟p q ⎜x ⎟ ⎟p q ⎜x ⎟ ⎝ n⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 1⎠
x < 138, 138 ≤ x < 149, 149 ≤ x < 153, 153 ≤ x < 156, 156 ≤ x < 160, 160 ≤ x < 169, x ≥ 169.
作图略． 2． 下表是经过整理后得到的分组样本 组序 1 分组区间 频数 (38,48] 3
2 (48,58] 4
3 (58,68] 8
i =1 i =1 i =1 n n
= ∑ ( xi − x )( y i − y ) + 0 + 0 + n( x − c)( y − d ) = ∑ ( x i − x )( y i − y ) + n( x − c)( y − d ) ．
i =1 i =1
3． 设 x1 , …, xn 和 y1 , …, yn 是两组样本观测值，且有如下关系：yi = 3 xi − 4，i = 1, …, n，试求样本均值 x
1572 − 738 ≈ 140 ， 6 区间端点可取为 735，875，1015，1155，1295，1435，1575， 频率分布表为 组序 分组区间 组中值 频数 频率 累计频率 1 (735, 875] 805 6 0.2 0.2 2 (875, 1015] 945 8 0.2667 0.4667 3 (1015, 1155] 1085 9 0.3 0.7667 4 (1155, 1295] 1225 4 0.1333 0.9
447 366 372 430 441
377 425 418 413 433
341 399 374 405 399
369 398 385 381 379
412 423 439 403 386
399 384 408 479 387
34 1 35 36 9, 6 37 7, 2, 4, 9 38 2, 4, 5, 1, 1, 6, 7 39 9, 8, 2 40 0, 5, 3 41 2, 9, 8, 8, 3, 9 42 5, 5, 3, 8, 9, 8 43 9, 0, 3 44 7, 3, 1 45 46 47 2, 9 7． 根据调查，某集团公司的中层管理人员的年薪（单位：千元）数据如下： 40.6 39.6 37.8 36.2 38.8 38.6 39.6 40.0 34.7 41.7 38.9 37.9 37.0 35.1 36.7 37.1 37.7 39.2 36.9 38.3 试画出茎叶图． 解：茎叶图为 34. 7 35. 1 36. 2, 7, 9 37. 0, 1, 7 38. 6 39. 6, 6, 2 40. 6, 8, 0 41. 7 42. 43. 8 44. 9, 5 45. 4
2
5 6 合计
(1295, 1435] (1435, 1575]
1365 1505
2 1 30
0.06667 0.033作图略． 4． 某公司对其 250 名职工上班所需时间（单位：分钟）进行了调查，下面是其不完整的频率分布表： 所需时间 0~10 10~20 20~30 30~40 40~50 （1）试将频率分布表补充完整． （2）该公司上班所需时间在半小时以内有多少人？ 解： （1）频率分布表为 组序 1 2 3 4 5 合计 分组区间 (0, 10] (10, 20] (20, 30] (30, 40] (40, 50] 组中值 5 15 25 35 45 频数 25 60 85 45 35 250 频率 0.1 0.24 0.34 0.18 0.14 1 累计频率 0.1 0.34 0.68 0.86 1 频率 0.10 0.24 0.18 0.14
习题 5.3
1． 在一本书上我们随机的检查了 10 页，发现每页上的错误数为： 4 5 6 0 3 1 4 2 1 4 试计算其样本均值、样本方差和样本标准差．
4
解：样本均值 x =
1 ( 4 + 5 + 6 + L + 1 + 4) = 3 ； 10 1 样本方差 s 2 = [(4 − 3) 2 + (5 − 3) 2 + (6 − 3) 2 + L + (1 − 3) 2 + (4 − 3) 2 ] ≈ 3.7778 ； 9
频数 9 9 5 4 4 1 1 3 4 30
频率 0.225 0.225 0.125 0.1 0.1 0.025 0.025 0.075 0.1 1
累计频率 0.225 0.45 0.575 0.675 0.775 0.8 0.825 0.9 1
6． 对下列数据构造茎叶图 472 425 400 382 418 392 429 428 381 443 解：茎叶图为
第五章
统计量及其分布
习题 5.1
1． 某地电视台想了解某电视栏目（如：每日九点至九点半的体育节目）在该地区的收视率情况，于是委 托一家市场咨询公司进行一次电话访查． （1）该项研究的总体是什么？ （2）该项研究的样本是什么？ 解： （1）总体是该地区的全体用户； （2）样本是被访查的电话用户． 2． 某市要调查成年男子的吸烟率，特聘请 50 名统计专业本科生作街头随机调查，要求每位学生调查 100 名成年男子，问该项调查的总体和样本分别是什么，总体用什么分布描述为宜？ 解：总体是任意 100 名成年男子中的吸烟人数；样本是这 50 名学生中每一个人调查所得到的吸烟人数； 总体用二项分布描述比较合适． 3． 设某厂大量生产某种产品，其不合格品率 p 未知，每 m 件产品包装为一盒．为了检查产品的质量，任 意抽取 n 盒，查其中的不合格品数，试说明什么是总体，什么是样本，并指出样本的分布． 解：总体是全体盒装产品中每一盒的不合格品数；样本是被抽取的 n 盒产品中每一盒的不合格品数；