导数在使用函数中的应用

导数在使用函数中的应用一．解答题（共30小题）1．如图所示，等腰△ABC的底边AB=6，高CD=3，点E是线段BD上异于点B、D的动点，点F在BC边上，且EF⊥AB，现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE，记BE=x，V（x）表示四棱柱P﹣ACFE的体积．（1）求证：面PEF⊥面ACFE；（2）求V（x）的表达式，并求当x为何值时V（x）取得最大值？2．已知函数．（I）当a=1时，求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）若f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（Ⅲ）求证：（n∈N*）．3．已知f（x）=3﹣4x+2xln2，数列{a n}满足：（1）求f（x）在[，0]上的最大值和最小值；（2）用数学归纳法证明：．4．已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数），（1）若a=﹣2，求函数f（x）的单调递增区间；（2）当a＜﹣2时，求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求a的取值范围．5．已知函数f（x）=x（x﹣a）2+b在x=2处有极大值．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若过原点有三条直线与曲线y=f（x）相切，求b的取值范围；（Ⅲ）当x∈[﹣2，4]时，函数y=f（x）的图象在抛物线y=1+45x﹣9x2的下方，求b的取值范围6．已知函数，（其中常数m＞0）（1）当m=2时，求f（x）的极大值；（2）试讨论f（x）在区间（0，1）上的单调性；（3）当m∈[3，+∞）时，曲线y=f（x）上总存在相异两点P（x1，f（x1））、Q（x2，f（x2）），使得曲线y=f（x）在点P、Q处的切线互相平行，求x1+x2的取值范围．7．设函数（1）若函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）的单调递减区间为（m，n），且{x|x＜0}∩{m，n}≠∅．求实数a的取值范围．8．设函数f（x）=x3+ax2﹣a2x+m（a＞0）．（I）若函数f（x）在x=2时取得极值，求a的值；（II）若函数f（x）在x∈[﹣1，1]内没有极值点，求a的取值范围；（III）当a∈[3，6]时，不等式f（x）≤1对于任意x∈[﹣2，2]时恒成立，求m的取值范围．9．设函数f（x）=x2+bln（x+1），其中b≠0．（1）若b=﹣12，求f（x）在[1，3]的最小值；（2）如果f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，求实数b的取值范围；（3）是否存在最小的正整数N，使得当n≥N时，不等式恒成立．10．已知函数，（1）当a=﹣1时，求函数f（x）的单调递增区间；（2）若函数f（x）在x=x1和x=x2处有极值，且，求实数a的取值范围．11．把函数y=lnx﹣2的图象按向量平移得到函数y=f（x）的图象．（I）若x＞0，试比较的大小，并说明理由；（II）若不等式．当x，b∈[﹣1，1]时恒成立，求实数m的取值范围．12．已知函数f（x）=xlnx﹣2x+a，其中a∈R．（1）求f（x）的单调区间；（2）若方程f（x）=0没有实根，求a的取值范围；（3）证明：ln1+2ln2+3ln3+…+nlnn＞（n﹣1）2，其中n≥2．13．已知函数（a，b，c∈R）在点（1，f（1））处的切线斜率为，且a＞2c＞b．（1）证明：．（2）证明：函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个极值点．14．已知函数f（x）=bx，g（x）=ax2+1，h（x）=lnx．（a，b∈R）（1）若M={x|f（x）+g（x）≥0}，﹣1∈M，2∈M，z=3a﹣b，求z的取值范围；（2）设，且b＜0，试判断函数F（x）的单调性；（3）试证明：对∀n∈N*，不等式恒成立．15．已知的定义域为R，函数的定义域为[0，2]．（1）设a≠0，求f（x）的单调区间；（2）求g（x）的值域；（3）设a＞0，若对任意x1∈[0，2]，总存在x0∈[0，2]，使g（x1）﹣f（x0）=0，求实数a的取值范围．16．已知函数（e为自然对数的底数）设方程f（x）=x的一个根为t，且a＞t，f（a）=b．（1）求函数f（x）的导函数f′（x）；求导函数f′（x）的值域；（2）证明：①a＞b，②a+f（a）＞b+f（b）．17．已知函数．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）在区间（0，+∞）上恒成立，求实数k的取值范围．18．已知函数，g（x）=﹣ax2+4x﹣m，a，m∈R．（I）当a=1，x∈[0，3]时，求f（x）的最大值和最小值；（Ⅱ）若a＜2时关于x的方程f（x）=g（x）总有三个不同的根，求m的取值范围．19．函数f（x）=xlnx﹣ax2﹣x（a∈R）．（I）若函数f（x）在x=1处取得极值，求a的值；（II）若函数f（x）的图象在直线y=﹣x图象的下方，求a的取值范围；（III）求证：．20．设函数f（x）=xlnx（x＞0）．（1）求函数f（x）的最小值；（2）设F（x）=ax2+f′（x）（a∈R），讨论函数F（x）的单调性；（3）斜率为k的直线与曲线y=f′（x）交于A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1＜x2）两点，求证：．21．设函数f（x）=2x3+3ax2+3bx在x=1时取得极大值5（1）求函数f（x）的解析式；（2）对于任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜m2﹣8m成立，求m的取值范围．22．设函数f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）（1）若定义域内存在x0，使得不等式f（x0）﹣m≤0成立，求实数m的最小值；（2）g（x）=f（x）﹣x2﹣x﹣a在区间[0，3]上恰有两个不同的零点，求a范围．23．已知函数，（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设a＞0，求函数f（x）在[2a，4a]上的最小值．24．函数f（x）=x3﹣ax2+的极值点是x1，x2，函数g（x）=x﹣alnx的极值点是x0，若x0+x1+x2＜2．（I ）求实数a的取值范围；（II）若存在实数a，使得对∀x3，x4∈[1，m]，不等式f（x3）≤g（x4）恒成立，求实数m的取值范围．25．已知函数f（x）=lnx﹣x2+x+2（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a＞0，求f（x）在区间（0，a]上的最大值；（III）设函数g（x）=x3﹣（1+2e）x2+（m+1）x+2，（m∈R），试讨论函数f（x）与g（x）图象交点的个数．26．设函数f（x）=＞0（1）若f（x）在[2，+∞﹚上单调递增，求a的取值范围；（2）求f（x）在区间﹙0，1]上的最小值；（3）当a=2时，方程f（x）﹣m=0在[，e]上有两个不同的根，求m的范围．27．已知函数f（x）=log a（8﹣x﹣）在区间[1，2]上恒有意义．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）把函数f（x）在区间[1，2]上的最大值与最小值的差M表示成实数a的函数．28．已知a∈R，函数f（x）=ax﹣lnx，，x∈（0，e]，（其中e是自然对数的底数，为常数），（1）当a=1时，求f（x）的单调区间与极值；（2）在（1）的条件下，求证：；（3）是否存在实数a，使得f（x）的最小值为3．若存在，求出a的值，若不存在，说明理由．29．设函数，f（x）=x2﹣alnx，g（x）=x2﹣x+m，令F（x）=f（x）﹣g（x）（Ⅰ）当m=0，x∈（1，+∞）时，试求实数a的取值范围使得F（x）的图象恒在x轴上方（Ⅱ）当a=2时，若函数F（x）在[1，3]上恰好有两个不同零点，求实数m的取值范围（Ⅲ）是否存在实数a的值，使函数f（x）和函数g（x）在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出a的值，若不存在，说明理由．30．定义在R上的奇函数f（x）=x3+bx2+cx+d，在x=±1处取得极值（1）求函数f（x）的解析式；（2）求y=f（x）在[﹣1，m]（m＞﹣1）上的最大、最小值．导数在使用函数中的应用参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．如图所示，等腰△ABC的底边AB=6，高CD=3，点E是线段BD上异于点B、D的动点，点F在BC边上，且EF⊥AB，现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE，记BE=x，V（x）表示四棱柱P﹣ACFE的体积．（1）求证：面PEF⊥面ACFE；（2）求V（x）的表达式，并求当x为何值时V（x）取得最大值？=9（6﹣）=﹣3122．已知函数．（I）当a=1时，求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）若f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（Ⅲ）求证：（n∈N*）．，可得，若时，⇒，再构造函数，令，问题可解决；，再去证明时，，定义域为（，（Ⅱ）∵，解得．时，，即，则有，∴时，时，，即，则有，用放缩法证得结论，法二通过数学归纳法，其中也有构造函数的思想，属于难题．3．已知f（x）=3﹣4x+2xln2，数列{a n}满足：（1）求f（x）在[，0]上的最大值和最小值；（2）用数学归纳法证明：．[＜[，（﹣=时，命题成立，即）得=f（．4．已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数），（1）若a=﹣2，求函数f（x）的单调递增区间；（2）当a＜﹣2时，求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求a的取值范围．）由题设条件知）由得，，（）在递减，在时，，（ⅰ）当（ⅱ）当递减，（ⅲ）当5．已知函数f（x）=x（x﹣a）2+b在x=2处有极大值．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若过原点有三条直线与曲线y=f（x）相切，求b的取值范围；（Ⅲ）当x∈[﹣2，4]时，函数y=f（x）的图象在抛物线y=1+45x﹣9x2的下方，求b的取值范围6．已知函数，（其中常数m＞0）（1）当m=2时，求f（x）的极大值；（2）试讨论f（x）在区间（0，1）上的单调性；（3）当m∈[3，+∞）时，曲线y=f（x）上总存在相异两点P（x1，f（x1））、Q（x2，f（x2）），使得曲线y=f（x）在点P、Q处的切线互相平行，求x1+x2的取值范围．时，，可得，可得，和（）上单调递减，在）∪，，，时，则，有时，则；）在）上单调递减，在⇒对对）上单调递增，∴对“的取值范围为7．设函数（1）若函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）的单调递减区间为（m，n），且{x|x＜0}∩{m，n}≠∅．求实数a的取值范围．，8．设函数f（x）=x3+ax2﹣a2x+m（a＞0）．（I）若函数f（x）在x=2时取得极值，求a的值；（II）若函数f（x）在x∈[﹣1，1]内没有极值点，求a的取值范围；（III）当a∈[3，6]时，不等式f（x）≤1对于任意x∈[﹣2，2]时恒成立，求m的取值范围．时，∵）在上单调递增，在9．设函数f（x）=x2+bln（x+1），其中b≠0．（1）若b=﹣12，求f（x）在[1，3]的最小值；（2）如果f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，求实数b的取值范围；（3）是否存在最小的正整数N，使得当n≥N时，不等式恒成立．时，由，解之即可求，最后令时，由，得）由题意在（﹣，则，解之得，则有时，不等式10．已知函数，（1）当a=﹣1时，求函数f（x）的单调递增区间；（2）若函数f（x）在x=x1和x=x2处有极值，且，求实数a的取值范围．x+=t=，且+=t+，此函数在（+﹣，11．把函数y=lnx﹣2的图象按向量平移得到函数y=f（x）的图象．（I）若x＞0，试比较的大小，并说明理由；（II）若不等式．当x，b∈[﹣1，1]时恒成立，求实数m的取值范围．）图象按向量）原不等式∴12．已知函数f（x）=xlnx﹣2x+a，其中a∈R．（1）求f（x）的单调区间；（2）若方程f（x）=0没有实根，求a的取值范围；（3）证明：ln1+2ln2+3ln3+…+nlnn＞（n﹣1）2，其中n≥2．13．已知函数（a，b，c∈R）在点（1，f（1））处的切线斜率为，且a＞2c＞b．（1）证明：．（2）证明：函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个极值点．）由函数+cx）处的切线斜率为，根据导数∴∴∴，∴且考查不等式的基本性质，由一个等式和一个不等式，探讨14．已知函数f（x）=bx，g（x）=ax2+1，h（x）=lnx．（a，b∈R）（1）若M={x|f（x）+g（x）≥0}，﹣1∈M，2∈M，z=3a﹣b，求z的取值范围；（2）设，且b＜0，试判断函数F（x）的单调性；（3）试证明：对∀n∈N*，不等式恒成立．，我们易得，且）上恒有，即证法二：构造函数）恒有，即﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（得）∵﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣时函数有最小值）上恒有∴且，不等式恒成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣：构造函数，）恒有，即且，不等式恒成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣15．已知的定义域为R，函数的定义域为[0，2]．（1）设a≠0，求f（x）的单调区间；（2）求g（x）的值域；（3）设a＞0，若对任意x1∈[0，2]，总存在x0∈[0，2]，使g（x1）﹣f（x0）=0，求实数a的取值范围．]⊆）和（，减区间为（﹣，•••=．]]⊆﹣x+或﹣（a解得a，[16．已知函数（e为自然对数的底数）设方程f（x）=x的一个根为t，且a＞t，f（a）=b．（1）求函数f（x）的导函数f′（x）；求导函数f′（x）的值域；（2）证明：①a＞b，②a+f（a）＞b+f（b）．=，利用基本不等式可求导函数=17．已知函数．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）在区间（0，+∞）上恒成立，求实数k的取值范围．，知，由此能求出函数k，令，知的单调递增区间为（（Ⅱ）∵k，解得）有最大值，且最大值为．18．已知函数，g（x）=﹣ax2+4x﹣m，a，m∈R．（I）当a=1，x∈[0，3]时，求f（x）的最大值和最小值；（Ⅱ）若a＜2时关于x的方程f（x）=g（x）总有三个不同的根，求m的取值范围．，则，）的极大值为）的极小值为时恒有解，，）的极大值为）的极小值为19．函数f（x）=xlnx﹣ax2﹣x（a∈R）．（I）若函数f（x）在x=1处取得极值，求a的值；（II）若函数f（x）的图象在直线y=﹣x图象的下方，求a的取值范围；（III）求证：．，所以≤≤，，．=，所以≤≤=2013，即．20．设函数f（x）=xlnx（x＞0）．（1）求函数f（x）的最小值；（2）设F（x）=ax2+f′（x）（a∈R），讨论函数F（x）的单调性；（3）斜率为k的直线与曲线y=f′（x）交于A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1＜x2）两点，求证：．）要证，即证，等价于证，令则只要证．时，，，解得，解得）在上单调递增，在上单调递减．）证：，即证，等价于证，令则只要证，则21．设函数f（x）=2x3+3ax2+3bx在x=1时取得极大值5（1）求函数f（x）的解析式；（2）对于任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜m2﹣8m成立，求m的取值范围．，知+12x22．设函数f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）（1）若定义域内存在x0，使得不等式f（x0）﹣m≤0成立，求实数m的最小值；（2）g（x）=f（x）﹣x2﹣x﹣a在区间[0，3]上恰有两个不同的零点，求a范围．，故，由此导出=，23．已知函数，（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设a＞0，求函数f（x）在[2a，4a]上的最小值．，令时，；f时，，则，此时，此时时，24．函数f（x）=x3﹣ax2+的极值点是x1，x2，函数g（x）=x﹣alnx的极值点是x0，若x0+x1+x2＜2．（I ）求实数a的取值范围；（II）若存在实数a，使得对∀x3，x4∈[1，m]，不等式f（x3）≤g（x4）恒成立，求实数m的取值范围．，是方程的两个根，，，）由=﹣+是方程的两个根，，，）∵x=，）在（25．已知函数f（x）=lnx﹣x2+x+2（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a＞0，求f（x）在区间（0，a]上的最大值；（III）设函数g（x）=x3﹣（1+2e）x2+（m+1）x+2，（m∈R），试讨论函数f（x）与g（x）图象交点的个数．只需讨论方程…在（==→时，的图象，并作出函数，即＞，即，即26．设函数f（x）=＞0（1）若f（x）在[2，+∞﹚上单调递增，求a的取值范围；（2）求f（x）在区间﹙0，1]上的最小值；（3）当a=2时，方程f（x）﹣m=0在[，e]上有两个不同的根，求m的范围．，在x=，）时，，在[=lnx+﹣=在）时，≤，，即[，≤）时，（（=ln+1．在[﹣，][，）=ln+）=ln+＜=lne+=1+=，27．已知函数f（x）=log a（8﹣x﹣）在区间[1，2]上恒有意义．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）把函数f（x）在区间[1，2]上的最大值与最小值的差M表示成实数a的函数．）在区间﹣，（故导函数的符号取决于＜a＞（，时＜＞综上所述当a，当，当．﹣28．已知a∈R，函数f（x）=ax﹣lnx，，x∈（0，e]，（其中e是自然对数的底数，为常数），（1）当a=1时，求f（x）的单调区间与极值；（2）在（1）的条件下，求证：；（3）是否存在实数a，使得f（x）的最小值为3．若存在，求出a的值，若不存在，说明理由．，由，所以，由此进行分类讨论能推导出存在）．，时，=时，）在29．设函数，f（x）=x2﹣alnx，g（x）=x2﹣x+m，令F（x）=f（x）﹣g（x）（Ⅰ）当m=0，x∈（1，+∞）时，试求实数a的取值范围使得F（x）的图象恒在x轴上方（Ⅱ）当a=2时，若函数F（x）在[1，3]上恰好有两个不同零点，求实数m的取值范围（Ⅲ）是否存在实数a的值，使函数f（x）和函数g（x）在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出a的值，若不存在，说明理由．）存在）的单调递增区间为．30．定义在R上的奇函数f（x）=x3+bx2+cx+d，在x=±1处取得极值（1）求函数f（x）的解析式；（2）求y=f（x）在[﹣1，m]（m＞﹣1）上的最大、最小值．。