辽宁省沈阳市郊联体2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题
2020-2021学年度沈阳市郊联体上学期期末考试高一试题数学考试时间：120分钟试卷总分：150分命题人：本溪县高级中学王伟杰校题人：本溪县高级中学于福群注意事项：本试卷由第Ⅰ卷和第Ⅱ卷组成。
第Ⅰ卷为选择题，一律答在答题卡上；第Ⅱ卷为非选择题，按要求答在答题纸的相应位置上。
第Ⅰ卷（选择题60分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，计40分）1．已知向量(1,2)a = ，(6,)b k =- ，若//a b ，则k =（）A ．-12B ．12C ．3D ．-32．疫情期间，各地教育部门及学校为了让学生在家中学习之外可以更好地参与活动，同时也可以增进与家人之间的情感交流，鼓励学生在家多做家务运动，因为中学生在家务劳动中能更密切地与家人接触交流，也可缓解压力、休息大脑．经调查，某校学生有70％的学生认为自己参与家务劳动能使家庭关系更融洽，30%的学生认为自己是否参与家务劳动对家庭关系无影响．现为了调查学生参加家务劳动时长情况，决定在两类同学中利用分层抽样的方法抽取100名同学参与调查，那么需要抽取认为自己参与家务劳动能使家庭关系更融洽的同学的个数是（）A ．30B ．70C ．80D ．1003．从装有大小和形状完全相同的8个红球和2个白球的口袋内任取两个球，下列各对事件中，互斥而不对立的是（）A ．“至少一个白球”和“都是红球”B ．“至少一个白球”和“至少一个红球”C ．“恰有一个白球”和“恰有一个红球”D ．“恰有一个白球”和“都是红球”4．在同一直角坐标系中，函数()(0),()log a a f x x x g x x =≥=的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．5．函数2()ln(1)f x x x =+-的零点所在的大致区间是（）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,)e D ．(3,4)6．已知0.13a =，3(0.9)b =，2log 0.2c =，则（）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．c a b<<7．某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为8的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001，002，003……899，900．若采用随机数表法抽样，并按照以下随机数表进行读取，从第一行的第5个数开始，从左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端．则样本编号的75%分位数为（）052693706022358558515103515977595678068352910570740797108823099842996461716299150651291693580577095151268785855487664754733208111244959263162956242948A ．680B ．585C ．467D ．1598．区块链，是比特币的一个重要概念，它本质上是一个去中心化的数据库，同时作为比特币的底层技术，是一串使用密码学方法相关联产生的数据块，每一个数据块中包含了一批次比特币网络交易的信息，用于验证其信息的有效性（防伪）和生成下一个区块.在区块链技术中，若密码的长度设定为256比特，则密码一共有2562种可能，因此，为了破解密码，最坏情况需要进行2562次哈希运算.现在有一台机器，每秒能进行112.510⨯次哈希运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为（）（参考数据lg 20.3010,lg30.477≈≈）A ．734.510⨯秒B ．654.510⨯秒C ．74.510⨯秒D ．28秒二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，计20分）9．在疫情防护知识竞赛中，对某校的2000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，则下列说法中正确的是（）A ．成绩在[70，80）的考生人数最多B ．不及格的考生人数为500C ．考生竞赛成绩的众数为75分D ．考生竞赛成绩的中位数约为75分10．下列有关向量命题，不正确的是（）A ．若{},a b 是平面向量的一组基底，则{}22a b a b --+ ,也是平面向量的一组基底B ．a b c ，，均为非零向量，若//,//a b b c ，则//a cC ．若//a b ，则存在唯一的实数λ，使得a b λ=D ．若=16a b = ，，则a b + 的取值范围[]57，11．已知函数||2()4x f x x a =++，下列命题正确的有（）A ．对于任意实数a ，()f x 为偶函数B ．对于任意实数a ，()0f x >C ．存在实数a ，()f x 在(,1)-∞-上单调递减D ．存在实数a ，使得关于x 的不等式()5f x ≥的解集为(][),11,-∞-+∞ 12．直角三角形ABC 中，P 是斜边BC 上一点，且满足2BP PC = ，点M 、N 在过点P 的直线上，若AM mAB = ，AN nAC = ，(0,0)m n >>，则下列结论正确的是（）A ．12m n +为常数B ．2m n +的最小值为3C ．m n +的最小值为169D ．m 、n 的值可以为：12m =，2n =第Ⅱ卷（非选择题）三．填空题（本大题共4个小题.每小题5分，共20分）13．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出8名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的平均分是86，乙班学生成绩的中位数是83，则x +y 的值为．14．已知()y f x =是定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的奇函数，当0x >时，2()2f x x x =-，若()0x f x ⋅≥，则x 的取值范围是____________．15．求值：221log 4238()27--+lg11lg 1)100+=____________．16．已知函数()()212210log 0(){x x x x x f x --+≤>=，若方程()f x a =有四个不同的解1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则a 的最小值是______，()41223416x x x x x ⋅++⋅的最大值是______.四．解答题：本大题共6个小题.共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译密码的概率为0.8，乙破译密码的概率为0.7，记事件A ：甲破译密码，事件B ：乙破译密码.（Ⅰ）求甲、乙二人都破译密码的概率；（Ⅱ）求恰有一人破译密码的概率；（Ⅲ）某同学在解答“求密码被破译的概率”的过程如下：解：“密码被破译”也就是“甲、乙二人中至少有一人破译密码”所以随机事件“密码被破译”可以表示为A B +，所以()()()0.80.7 1.5P A B P A P B +=+=+=请指出该同学错误的原因？并给出正确解答过程.18、（本小题满分12分）已知集合{}{}221|28,|210,|24x A x B x x mx m C x x m ⎧⎫=<≤=-+-<=-<⎨⎬⎩⎭（Ⅰ）若2m =，求集合A B ;（Ⅱ）在B ，C 两个集合中任选一个，补充在下面问题中，命题:p x A ∈，命题:q x ∈______，求使p 是q 的必要非充分条件的m 的取值范围.19．（本小题满分12分）工厂质检员从生产线上每半个小时抽取一件产品并对其某个质量指标Y 进行检测，一共抽取了36件产品，并得到如表统计表，该厂生产的产品在一年内所需的维护次数与指标Y 有关，具体见表．质量指标Y[9.8，10.2）[10.2，10.6）[10.6，11.0]频数61812年内所需维护次数201（Ⅰ）每组数据取区间的中点值，用上述样本数据估计该厂产品的质量指标Y 的平均值（保留两位小数）；（Ⅱ）用分层抽样的方法从上述样本中先抽取6件产品，再从6件产品中随机抽取2件产品，求这2件产品的指标至少有一个在[10.2，10.6）内的概率；（Ⅲ）已知该厂产品的维护费用为200元/次，工厂现推出一项服务：若消费者在购买该厂产品时每件多加50元，该产品即可一年内免费维修一次，将每件产品的购买支出和一年的维护支出之和称为消费费用，假设这36件产品每件都购买该服务，或者每件都不购买该服务，就这两种情况分别计算每件产品的平均消费费用，并以此为决策依据，判断消费者在购买每件产品时是否值得购买这项维护服务？20．（本小题满分12分）如图，在OAB ∆中，点P 为直线AB 上的一个动点，且满足13AP AB = ,Q 是OB 中点（Ⅰ）若()()80,0,1,3,,03O A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且13ON OA = ，求NQ 的坐标和模？（Ⅱ）若AQ 与OP 的交点为M ，又OM tOP = ,求实数t 的值；21．（本小题满分12分）已知函数()()33log 3log 9a x f x x =⋅（常数a R ∈）.（Ⅰ）当0=a 时，求不等式()0f x ≤的解集；（Ⅱ）当1,279x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最小值.22．（本小题满分12分）已知函数f （x ）＝()a x +2log （a ＞0）．当点M （x ，y ）在函数y ＝g （x ）图象上运动时，对应的点N （3x ，2y ）在函数y ＝f （x ）图象上运动，则称函数y ＝g （x ）是函数y ＝f （x ）的相关函数．（Ⅰ）解关于x 的不等式f （x ）＜1；（Ⅱ）对任意的x ∈（0，1），f （x ）的图象总在其相关函数图象的下方，求a 的取值范围；（Ⅲ）设函数F （x ）＝f （x ）﹣g （x ），x ∈（0，1）．当a ＝1时，求()F x 的最大值。
辽宁省沈阳市高一上学期期末数学试卷
辽宁省沈阳市高一上学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分） (共10题；共20分)1. （2分）集合A={x|0≤x＜4，且x∈N}的真子集的个数是（）A . 16B . 8C . 15D . 42. （2分） (2020高一下·惠山期中) 过点且在两坐标轴上截距相等的直线有（）A . 1条B . 2条C . 3条D . 4条3. （2分） (2016高一上·延安期中) 下列给出四组函数，表示同一函数的是（）A . f（x）=x﹣1，g（x）= ﹣1B . f（x）=2x+1，g（x）=2x﹣1C . f（x）=|x|，g（x）=D . f（x）=1，g（x）=x04. （2分）设a=0.60.6 ， b=0.61.5 ， c=1.50.6 ，则a，b，c的大小关系是（）A . a＜b＜cB . a＜c＜bC . b＜a＜cD . b＜c＜a5. （2分） (2019高一上·东台期中) 设 , , ,则下列选项中正确的是（）A .B .C .D .6. （2分）与直线平行，且到l的距离为的直线方程为（）A .B .C .D .7. （2分）(2017·辽宁模拟) 直线ax+by+1=0与圆x2+y2=1相切，则a+b+ab的最大值为（）A . 1B . ﹣1C . +D . +18. （2分）(2014·湖南理) 一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）A . 1B . 2C . 3D . 49. （2分） (2016高一上·虹口期末) 下列函数中，在其定义域既是奇函数又是减函数的是（）A . y=|x|B . y=﹣x3C . y=（）xD . y=10. （2分） (2020高二下·河南月考) 已知函数（），若方程恰有3个不同的根，则的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)11. （1分） (2017高一上·辽源月考) 已知函数的定义域为[0,1],则的定义域为________12. （1分） (2018高一上·大石桥期末) 给出下列命题，其中正确的序号是________（写出所有正确命题的序号）①函数的图像恒过定点；②已知集合，则映射中满足的映射共有1个；③若函数的值域为，则实数的取值范围是；④函数的图像关于对称的函数解析式为13. （1分）已知两圆x2＋y2＝1和(x＋2)2＋(y－a)2＝25没有公共点，则实数a的取值范围为________．14. （1分） (2017高二上·海淀期中) 将边长为的正方形沿对角线折起，使得平面平面，在折起后形成的三棱锥中，给出下列三个命题：①面是等边三角形；② ；③三棱锥的体积是其中正确命题的序号是_________.（写出所有正确命题的序号）三、解答题 (共5题；共55分)15. （10分） (2019高一上·西宁月考) 设，，求：（1）；（2）16. （10分） (2019高一上·鸡泽月考) 已知函数f（x）是定义域为R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2+2x．（1）求f（x）的解析式；（2）若不等式f（t﹣2）+f（2t+1）＞0成立，求实数t的取值范围．17. （10分） (2016高一下·包头期中) 已知，圆C：x2+y2﹣8y+12=0，直线l：ax+y+2a=0．（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；（2）当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB=2 时，求直线l的方程．18. （15分） (2016高二上·德州期中) 如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，EF∥平面ABCD，EF=1，FB=FC，∠BFC=90°，AE= ，H是BC的中点．（1）求证：FH∥平面BDE；（2）求证：AB⊥平面BCF；（3）求五面体ABCDEF的体积．19. （10分） (2020高二下·东莞月考) 设函数 .（1）讨论的单调性；（2）若对恒成立，求a的取值范围.参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分） (共10题；共20分) 1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共4题；共4分)11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共5题；共55分)15-1、15-2、16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、第11 页共11 页。
辽宁省沈阳市2021-2021学年高一上学期期末数学试卷
辽宁省沈阳市2021-2021学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（5分）已知集合A={0，1}，B={1，2}，则A∪B=（）A． ? B． {1} C． {0，2} D． {0，1，2} 2．（5分）已知函数f（x）的对应关系如表所示，则f[f（5）]的值为（） x 1 2 3 4 5 f（x） 5 4 3 1 2 A． 1 B． 2 C． 4 D． 5 3．（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，点A（��3，��4，5）关于平面xOz的对称点的坐标为（） A．（3，��4，5） B．（��3，��4，��5）C．（3，��4，��5） D．（��3，4，5） 4．（5分）过点A（2，��4）且与直线2x��y+3=0平行的直线方程为（） A． x+2y��8=0 B． 2x��y��8=0 C． x+2y��4=0 D． 2x��y=05．（5分）函数f（x）=3+x��3的零点所在的区间是（） A．（��2，��1）B．（��1，0） C．（0，1）2222xD．（1，2）6．（5分）圆C1：x+y+4x+4y+4=0与圆C2：x+y��4x��2y��4=0公切线条数为（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 7．（5分）由函数y=lg（1��2x）的图象得到函数y=lg（3��2x）的图象，只需要（） A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位C．向左平移2个单位 D．向右平移2个单位 8．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积是（） A． 42+6B． 30+6C． 66D． 449．（5分）已知幂函数f（x）=（m∈Z）在区间（0，+∞）上是单调增函数，且y=f（x）的图象关于y轴对称，则f（��2）的值为（） A． 16 B． 8 C．��16 D．��8 10．（5分）已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（） A．若m∥n，m∥α且n∥β，则α∥β??????? ??? B．若m⊥n，m∥α且n∥β，则α⊥β? C．若m∥α且n⊥m，则n⊥α?????????????? ?????? D．若m⊥n，m⊥α且n⊥β，则α⊥β11．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x+2x，若f（2��a）＞f（a），则实数a的取值范围是（） A．（��∞，��1）∪（2，+∞）B．（��2，1） C．（��1，2） D．（��∞，��2）∪（1，+∞）12．（5分）对于平面直角坐标系中任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2），我们将|x1��x2|+|y1��y2|定义为PQ两点的“耿直距离”．已知A（0，0），B（3，1），C （4，4），D（1，3），设M（x，y）是平面直角坐标系中的一个动点．若使得点M到A、B、C、D的“耿直距离”之和取得最小值，则点M应位于下列哪个图中的阴影区域之内．（）22A． B． C． D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上）13．（5分）若=，则x=．14．（5分）若直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m��2）x+（m+2）y��3=0互相垂直，则m的值为． 15．（5分）已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，这个球的表面积是4π，则这个三棱柱的体积是．16．（5分）已知f（x）=在区间（m��4m，2m��2）上能取得最大值，2则实数m的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知函数f（x）=的定义域为A，B={y|y=（），��4≤x≤0}．x（Ⅰ）求A∩B；（Ⅱ）若C={x|m��6≤x≤4m}且B?C，求m的取值范围．18．（12分）已知直线l：3x+4y+3=0和圆C：x+y��2x��2y+1=0．（Ⅰ）判断直线l与圆C的位置关系；（Ⅱ）若P是直线l上的动点，PA是圆C的一条切线，A是切点，求三角形PAC的面积S的最小值． 19．（12分）如图，在三棱锥A��BCD中，AB=AC，BC=CD，∠BCD=60°．（Ⅰ）求证：AD⊥BC；（Ⅱ）再若AB=CB=4，AD=2，求三棱锥A��BCD的体积．2220．（12分）提高五爱隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况，现将隧道内的车流速度记作υ（单位：千米/小时），车流密度记作x（单位：辆/千米）．研究表明：当隧道内的车流密度达到180辆/千米时，会造成该路段道路堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过30辆/千米时，车流速度为50千米/小时；当30≤x≤180时，车流速度υ是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0＜x≤180时，求函数υ（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多少时，车流量（单位时间内通过隧道内某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x?υ（x）可以达到最大，并求出最大值．21．（12分）如图所示，在直三棱柱ABC��A1B1C1中，D、M、N分别是AB、AA1、BC1的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面ABC；（Ⅱ）再若AC=BC，BB1=AB，试在BB1上找一点F，使A1B⊥平面CDF，并证明你的结论．22．（12分）已知圆M的圆心在x轴上，半径为1，直线l：y=3x��1被圆M所截得的弦长为，且圆心M在直线l的下方．（Ⅰ）求圆M的方程；（Ⅱ）设A（0，t），B（0，t+4）（��3≤t≤��1），过A，B两点分别做圆M的一条切线，相交于点C，求由此得到的△ABC的面积S的最大值和最小值．辽宁省沈阳市2021-2021学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（5分）已知集合A={0，1}，B={1，2}，则A∪B=（）A． ? B． {1} C． {0，2} D．{0，1，2}考点：并集及其运算．专题：集合．分析：直接利用并集的定义运算求解即可．解答：解：集合A={0，1}，B={1，2}，则A∪B={0，1，2}．故选：D．点评：本题考查并集的求法，基本知识的考查． 2．（5分）已知函数f（x）的对应关系如表所示，则f[f（5）]的值为（） x 1 2 3 4 5 f（x） 5 4 3 1 2 A． 1 B． 2 C． 4 D．5考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用函数的关系，求解函数值即可．解答：解：由表格可知：f（5）=2，f[f（5）]=f（2）=4．故选：C．点评：本题考查函数值的求法，基本知识的考查． 3．（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，点A（��3，��4，5）关于平面xOz的对称点的坐标为（） A．（3，��4，5） B．（��3，��4，��5） C．（3，��4，��5） D．（��3，4，5）考点：空间中的点的坐标．专题：空间位置关系与距离．分析：根据题意，空间直角坐标系中，点A（x，y，z）关于平面xOz对称点的坐标为（x，��y，z），直接写出对称点的坐标即可．解答：解：空间直角坐标系O��xyz中，点A（��3，��4，5）关于平面xOz的对称点的坐标是（��3，4，5）．故选：D．点评：本题考查了空间直角坐标系中点关于坐标平面的对称问题，是检查出题目． 4．（5分）过点A（2，��4）且与直线2x��y+3=0平行的直线方程为（）A． x+2y��8=0 B． 2x��y��8=0 C． x+2y��4=0 D．2x��y=0考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：求出直线方程的斜率，然后利用多项式方程求解即可．解答：解：与直线2x��y+3=0平行的直线的斜率为：2，所求直线方程为：y+4=2（x��2）．即2x��y��8=0．故选：B．点评：本题考查直线方程的求法，直线的平行关系的应用，考查计算能力．5．（5分）函数f（x）=3+x��3的零点所在的区间是（） A．（��2，��1）B．（��1，0） C．（0，1）考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；函数的性质及应用．xD．（1，2）分析：由题意可判断函数f（x）=3+x��3在R上是增函数且连续，从而由零点判定定理判断即可．解答：解：易知函数f（x）=3+x��3在R上是增函数且连续， f（0）=1+0��3＜0， f（1）=3+1��3＞0；x故函数f（x）=3+x��3的零点所在的区间是（0，1）；故选C．点评：本题考查了函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．xx感谢您的阅读，祝您生活愉快。
辽宁省2020学年高一数学上学期期末考试试题
高一第一学期期末考试数学试卷时间：120分钟满分：150分一、选择题（每道小题5分，满分60分）1、已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6}，集合A＝{0,1,2,3}，B＝{3,4,5}，则(∁U A)∩B=（）A．B． C．D．2、命题“”的否定是（）A. B.C. D.3、若直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1，1)，则a＋b的最小值等于( )A．2 B．3 C．4 D．54、直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足( )A．ab>0，bc<0 B．ab>0，bc>0 C．ab<0，bc>0 D．ab<0，bc<05、已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命（）A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则6、若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y+6＝0平行，则l1与l2之间离为( )A．B．2C．3 D．47、已知函数,则 ( )A．是奇函数,且在R上是增函数B．是偶函数,且在R上是增函数C．是奇函数,且在R上是减函数D．是偶函数,且在R上是减函数8、两个圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有( )A．1条 B．2条 C．3条 D．4条9、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则（）A. B. C. D.10、已知定义在上的函数是偶函数，它在上是减函数，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.11、设函数，则不等式的解集是( ) A．B．C．D．12、设奇函数f(x)在上为增函数，且f(2)=0，则不等式x·f(x)的解集为（）A． B．C． D．二、填空题（每道小题5分，满分20）13、已知函数f（x）=ax3+bx+1，若f（a）=8，则f（-a）= ______ ．14、已知正四棱锥V-ABCD中，底面面积为16，一条侧棱的长为2，则该棱锥的高为________．15、函数定义域______ ．16、过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则______ ．三、简答题（满分70分,17题10分，其余每题12分）17、二次函数f(x)的最小值为1,且f(0)＝f(2)＝3.(1)求f(x)的解析式;(2)若f(x)在区间[2a,a+1]上不单调,求a的取值集合．18、如图，在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求证：平面；19、已知圆C：x2+y2+x﹣6y+m=0与直线l：x+2y﹣3=0．（1）若直线l与圆C没有公共点，求m的取值范围；（2）若直线l与圆C相交于P、Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，求实数m的值．20、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，E，F分别为PC，BD的中点，平面PAD垂直平面ABCD，且.（1）求证：EF//平面PAD；（2）求三棱锥C-PBD的体积.21、已知函数是定义在上的奇函数.（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若对任意的t∈R，不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0恒成立，求k的取值范围．22、已知圆过两点，且圆心在上．(Ⅰ) 求圆的方程；(Ⅱ) 设是直线上的动点，是圆的两条切线，为切点，求四边形面积的最小值．答案和解析选择题：BDCAA DABCC AD填空题：-6 6 （-1,2） 2解答题：17.(1)∵f(x)为二次函数且f(0)＝f(2),∴对称轴为x＝1.又∵f(x)最小值为1,∴可设f(x)＝a(x-1)2＋1(a>0),∵f(0)＝3,∴a＝2,∴f(x)＝2(x-1)2＋1,即f(x)＝2x2-4x＋3.(2)由(1)知抛物线的对称轴是,∴要使f(x)在区间[2a,a＋1]上不单调,则2a<1<a＋1,∴0<a<. ∴a的取值集合为.（或a(0,)）18.（Ⅰ）证明：在三棱柱中，底面，所以.又因为，，所以平面，又平面，所以平面平面（Ⅱ）证明：取的中点，连接，.因为，，分别是，，的中点，所以，且，.因为，且，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以.又因为平面，平面，所以平面.19.（1）将圆的方程化为标准方程得：（x+）2+（y﹣3）2=9﹣m，∴圆心C（﹣，3），半径r2=9﹣m＞0，即m＜，∵圆心C到直线l的距离d2=，直线l与圆C没有公共点∴9﹣m＜，即m＞8，则m的范围为（8，）；（2）根据题意得：△OQP为直角三角形，即OP⊥OQ，5x2+10x+4m﹣27=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），∴x1+x2=﹣2，x1x2=，y1y2=•==，∵x1x2+y1y2=0，∴+=1，解得：m=3．20.（1）证明：连接，则是的中点，为的中点，故在中，，且平面，平面，∴平面.（2）取的中点，连接，∵，∴，又平面平面，平面平面，∴平面，∴.21.(1)∵f(x)为R上的奇函数,∴f(0)=0,b=1.又f(-1)=-f(1),得a=1. 经检验a=1,b=1符合题意.(2)经判断f(x)在(-∞,+∞)上为减函数.∵t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,∴f(t2-2t)<-f(2t2-k).∵f(x)为奇函数,∴f(t2-2t)<f(k-2t2)∵f(x)为减函数,∴t2-2t>k-2t2, 即k<3t2-2t恒成立,而3t2-2t=3(t-)2-≥-,∴k<-..22.(Ⅰ)设圆M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，根据题意得：解得a＝b＝1，r＝2，故所求圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.(Ⅱ) 因为四边形PAMB的面积S＝S△PAM＋S△PBM＝|AM|·|PA|＋|BM|·|PB|，又|AM|＝|BM|＝2，|PA|＝|PB|，所以S＝2|PA|，而|PA|＝＝，即S＝2.因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点P，使得|PM|的值最小，所以|PM|min＝＝3，最小值为S＝2＝2＝2.。
2020-2021学年辽宁省沈阳市郊联体高三上学期期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年辽宁省沈阳市郊联体高三（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．若集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|log3x≤1}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|0＜x≤2}C．{x|1≤x≤2}D．{x|x≤﹣1或x＞2}2．已知复数z满足z（1+2i）＝|4﹣3i|（其中i为虚数单位），则复数z的虚部为（）A．﹣2B．﹣2i C．1D．i3．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的斜率为，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．4．已知一个圆柱上，下底面的圆周都在同一个球面上，球的直径为10，圆柱底面直径为6，则圆柱的侧面积为（）A．12πB．24πC．36πD．48π5．已知某药店只有A，B，C三种不同品牌的N95口罩，甲、乙两人到这个药店各购买一种品牌的N95口罩，若甲、乙买A品牌口罩的概率分别是0.2，0.3，买B品牌口罩的概率分别为0.5，0.4，则甲、乙两人买相同品牌的N95口罩的概率为（）A．0.7B．0.65C．0.35D．0.266．（2x2﹣n）（x﹣）3的展开式的各项系数之和为3，则该展开式中含x3项的系数为（）A．2B．8C．﹣5D．﹣177．已知椭圆（a＞b＞0），过M的右焦点F（3，0）作直线交椭圆于A，B 两点，若AB中点坐标为（2，1），则椭圆M的方程为（）A．B．C．D．8．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2+y2≤3，若将军从点A（3，1）处出发，河岸线所在直线方程为x+y ＝5，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（）A．﹣B．C．2D．2二、多选题（共4小题）.9．已知m，n是不重合的直线，α，β，γ是不重合的平面，则下列命题为假命题的是（）A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βB．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC．若α∥β，γ∥β，则γ∥αD．若α⊥β，m⊥β，则m∥α10．下列说法中，正确的命题是（）A．已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），P（X＜4）＝0.8，则P（2＜X＜4）＝0.2B．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱C．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y＝，若＝2，＝1，＝3，则＝1D．若样本数据2x1+1，2x2+1，…，2x16+1的方差为8，则数据x1，x2，…，x16的方差为211．下列命题中是真命题的是（）A．“ω＝1”是“f（x）＝sin（2ωx﹣）的最小正周期为π”的必要不充分条件B．在△ABC中，点D是线段BC上任意一点（不包含端点），若＝m+n，则的最小值是9C．已知数列{a n}的各项均为正数，a1＝2，a n+1﹣a n＝，则数列{}的前24项和为2D．函数f（x）是定义在R上的偶函数且在[0，+∞）上为减函数，f（﹣2）＝1，则不等式f（x﹣1）＜1的解集为{x|﹣1＜x＜3}12．已知l1，l2是双曲线T：＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线，直线l经过T的右焦点F，且l∥l1，I交T于点M，交l2于点Q交y轴于点N，则下列说法正确的是（）A．△FOQ与△OQN的面积相等B．若T的焦距为4，则点M到两条渐近线的距离之积的最大值为C．若＝，则T的渐近线方程为y＝±xD．若∈[，]，则T的离心率e∈[2，3]三、填空题：本大题共4道小题，每小题5分，共20分.13．一批产品的次品率为0.03，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的次品件数，则E（X）＝．14．电影《夺冠》讲述中国女排姑娘们顽强奋斗、为国争光的励志故事，打造一部见证新中国体育改革40年的力作，该影片于2020年09月25日正式上映在《夺冠》上映当天，一对夫妇带着他们的两个小孩一起去观看该影片，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起为安全起见，影院要求每个小孩子要有家长相邻陪坐，则不同的坐法种数是．15．在平面直角坐标系xOy中，抛物线：y2＝6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线C上一点，PA⊥l，A为垂足，若直线AF的斜率k＝﹣2，则线段PF的长为．16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF＝，则下列结论中正确的序号是．①AC⊥BE②EF∥平面ABCD③三棱锥A﹣BEF的体积为定值④△AEF的面积与△BEF的面积相等．四、解答题：本大题共6个小题，共70分。
2020-2021学年辽宁省沈阳市郊联体高一(上)期末数学试卷
2020-2021学年辽宁省沈阳市郊联体高一（上）期末数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，计40分）1．（5分）已知向量(1,2)a =，(6,)b =-，若//a b ，则(= )A ．12-B ．12C ．3D ．3-2．（5分）中学生在家务劳动中能更密切地与家人接触交流，也可缓解压力、休息大脑．经调查，某校学生有70%的学生认为自己参与家务劳动能使家庭关系更融洽，30%的学生认为自己是否参与家务劳动对家庭关系无影响．现为了调查学生参加家务劳动时长情况，决定在两类同学中利用分层抽样的方法抽取100名同学参与调查，那么需要抽取认为自己参与家务劳动能使家庭关系更融洽的同学的个数是( )A ．30B ．70C ．80D ．1003．（5分）从装有大小和形状完全相同的8个红球和2个白球的口袋内任取两个球，下列各对事件中，互斥而不对立的是( )A ．“至少一个白球”和“都是红球”B ．“至少一个白球”和“至少一个红球”C ．“恰有一个白球”和“恰有一个红球”D ．“恰有一个白球”和“都是红球”4．（5分）若0a >且1a ≠，则在同一直角坐标系中，函数()(0)a f x x x =，()log a g x x =的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．5．（5分）函数2()(1)f x ln x x=+-的零点所在的大致区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)6．（5分）已知0.13a =，3(0.9)b =，2log 0.2c =，则( )A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．c a b <<7．（5分）某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为8的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001，002，003，⋯，899，900．若采用随机数表法抽样，并按照以下随机数表进行读取，从第一行的第5个数开始，从左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端．则样本编号的75%分位数为( )05 26 93 70 60 22 35 85 15 13 92 03 51 59 77 59 56 78 06 83 52 91 05 70 74 07 97 10 88 23 09 98 42 99 64 61 71 62 99 15 06 51 29 16 93 58 05 77 09 51 51 26 87 85 85 54 87 66 47 54 73 32 08 11 12 44 95 92 63 16 29 56 24 29 48A ．680B ．585C ．467D ．1598．（5分）区块链，是比特币的一个重要概念，它本质上是一个去中心化的数据库，同时作为比特币的底层技术，是一串使用密码学方法相关联产生的数据块，每一个数据块中包含了一批次比特币网络交易的信息，用于验证其信息的有效性（防伪）和生成下一个区块．在区块链技术中，若密码的长度设定为256比特，则密码一共有2562种可能，因此，为了破解密码，最坏情况需要进行2562次哈希运算．现在有一台机器，每秒能进行112.510⨯次哈希运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为( ) （参考数据：20.3010lg ≈，30.477)lg ≈A ．734.510⨯秒B ．654.510⨯秒C ．74.510⨯秒D ．28秒二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，计20分）9．（5分）在疫情防护知识竞赛中，对某校的2000名生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，则下列说法中正确的是( )A ．成绩在[70，80)的考生人数最多B ．不及格的考生人数为500C ．考生竞赛成绩的众数为75分D ．考生竞赛成绩的中位数约为75分10．（5分）下列有关向量命题，不正确的是( )A ．若{a ，}b 是平面向量的一组基底，则{2a b -，2}a b -+也是平面向量的一组基底B ．a ，b ，c 均为非零向量，若//a b ，//b c ，则//a cC ．若//a b ，则存在唯一的实数λ，使得a b λ=D ．若||1a =，||6b =，则||a b +的取值范围[5，7]11．（5分）已知函数||2()4x f x x a =++，下列命题正确的有( )A ．对于任意实数a ，()f x 为偶函数B ．对于任意实数a ，()0f x >C ．存在实数a ，()f x 在(,1)-∞-上单调递减D ．存在实数a ，使得关于x 的不等式()5f x 的解集为(-∞，1][1-⋃，)+∞12．（5分）直角三角形ABC 中，P 是斜边BC 上一点，且满足2BP PC =，点M ，N 在过点P 的直线上，若AM mAB =，AN nAC =，(0,0)m n >>，则下列结论正确的是( )A ．12m n +为常数B ．2m n +的最小值为3C ．m n +的最小值为169D ．m ，n 的值可以为：12m =，2n = 三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出8名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的平均分是86，乙班学生成绩的中位数是83，则x y +的值为 ．14．（5分）已知()y f x =是定义在(-∞，0)(0⋃，)+∞上的奇函数，当0x >时，2()2f x x x =-，若()0x f x ⋅，则x 的取值范围是15．（5分）求值：221134812()(21)27100log lg lg --++= ．16．（5分）已知函数20.521,0()|log |,0x x x f x x x ⎧--+⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则a 的最小值是 ，41223416()x x x x x ⋅++⋅的最大值是 ． 四.解答题：本大题共6个小题共70分。
辽宁省高一上学期期末考试数学试题(解析版)
高一数学注意事项：1.本试卷考试时间为120分钟，满分150分.2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.3.答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答题标号；答非选择题时，将答案写在答题卡上相应区域内，超出答题区域或写在本试卷上无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）{}2,1,0,1,2A =--{}21B x x =-<≤A. B.C.D.{}2,1--{}2,2-{}0,1{}1,0,1-【答案】B 【解析】【分析】根据韦恩图确定集合的运算关系为，在根据补集与交集的运算即可得答案. ()R B A ⋂ð【详解】集合，，韦恩图中表示的集合为， {}2,1,0,1,2A =--{}21B x x =-<≤()R B A ⋂ð则或，所以. R {|1B x x =≤-ð1}x >(){}R 2,2B A ⋂=-ð故选：B.2. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） 2log 0.7a =0.21.2b -=0.43c =a b c A. B.C.D.b c a <<b a c <<a c b <<a b c <<【答案】D 【解析】【分析】根据对数函数与指数函数的性质，并借助中间值即可比较大小. 【详解】由题可知，，，故，，的大小关系为.a<001,1b c <<>a b c a b c <<故选：D3. 甲、乙、丙3位同学每位同学都要从即将开设的3门校本课程中任选一门学习，则他们选择的校本课程各不相同的概率为（ ） A.B.C.D.293882789【答案】A 【解析】【分析】利用古典概型的概率公式即可求解.【详解】甲，乙，丙3位同学从开设的3门校本课程中任选一门参加的事件数为， 33甲，乙，丙3位同学参加的校本课程各不相同的事件数为， 3216⨯⨯=故所求概率为 36239P ==故选：A4. 降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室内，空气中微生物密度随开窗通风换气时间的关系如图所示，则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度()c ()t 最快的是（ ）A. B. C. D.[]5,10[]15,20[]25,30[]30,35【答案】B 【解析】【分析】连接图上的点，利用直线的斜率与平均变化率的定义判断即可；【详解】如图分别令、、、、、、所对应的点为5t =10t =15t =20t =25t =30t =35t =,,,,,,,A B C D E F G0,0,0,AB CD EF CD FG CD k k k k k k >>>>>>所以内空气中微生物密度变化的平均速度最快； []15,20故选：B5. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足关系式，其中星等为的星的亮度为．已知牛郎星的星等是0.75，织21552111lg lg 22m m E E -=-k m ()1,2k E k =女星的星等是0，则牛郎星与织女星的亮度的比值为（ ） A .B.C. D. 3101031010-3lg1010lg3【答案】B 【解析】【分析】根据题目中所给公式直接计算可得.【详解】因为，所以． 55212211115lg lg lg0.75222E m m E E E -=-==-3210110E E -=故选：B6. 已知向量，，且，则为（ ）()2,0a = ()1,2b =()()()3//2R a b a kb k -+∈2a kb + A. B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】首先求出、的坐标，再根据向量共线的坐标表示得到方程，求出参数的值，最3a b - 2a kb +k 后根据向量模的坐标表示计算可得.【详解】因为，，所以， ()2,0a = ()1,2b =()1,63a b ---= ，()()()222,01,24,2a kb k k k +=+=+又，所以，解得，()()3//2a b a kb -+()1264k k -⨯=-⨯+6k =-所以，则.()22,12a kb +=-- 2a kb +== 故选：A7. 分别抛掷3枚质地均匀的硬币，设事件“至少有2枚正面朝上”，则与事件M 相互独立的是M =（ ）A. 3枚硬币都正面朝上B. 有正面朝上的，也有反面朝上的C. 恰好有1枚反面朝上D. 至多有2枚正面朝上【答案】B 【解析】【分析】由已知运用列举法列出样本空间，事件M 、选项A 、B 、C 、D 的事件，再利用古典概率公式和检验事件独立性的概率公式逐一检验可得选项.【详解】解：样本空间为{（正，正，正），（正，正，反）．（正，反，正）．（正，反，反），（反，Ω=正，正）（反，正，反）（反，反，正）．（反，反，反）}，而事件{（正，正，正），（正，正，反）．（正，反，正），（反，正，正）}，设“有正面朝上的，M =B =也有反面朝上的”，对于A 选项：设事件{（正，正，正）}． A =∴，，， ()4182P M ==()18P A =()18P AM =∴，事件A 与M 不相互独立，故A 不正确；()()()P AM P M P A ≠对于B 选项：设事件{（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，B =反），（反，反，正）}． ∴，，， ()4182P M ==()6384P B ==()38P BM =∴，事件B 与M 相互独立，故B 正确；()()()P BM P M P B =对于C 选项：设事件{（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）}． C =∴，，， ()4182P M ==()38P C =()38P CM =∴，事件C 与M 不相互独立，故C 不正确；()()()P CM P M P C ≠对于D 选项：设事件{（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，D =反），（反，反，正），（反，反，反）}． ∴，，， ()4182P M ==()78P D =()38P DM =∴，事件D 与M 不相互独立，故D 不正确； ()()()P DM P M P D ≠故选：B.8. 若，则（ ） 3322x y x y --->-A.B.C.D.ln 0x y ->ln 0x y -<1ln01y x <-+1ln01y x >-+【答案】C 【解析】【分析】构造函数，由其单调性可得，结合选项可得答案.()32x x f x -=-x y >【详解】令，因为为增函数，为减函数，所以为减函数； ()32x x f x -=-2x y =3x y -=()f x 因为，所以，所以. 3322x y x y --->-()()f x f y >x y <由于与1无法确定大小，所以A,B 均不正确； x y -因为，所以，所以，C 正确，D 不正确；11y x -+>1011y x <<-+1ln 01y x <-+故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知，则下列不等式中成立的是（ ） 0a b <<A. B.C.D. a b ab +<2ab b <11b b a a +<+11a b b a+<+【答案】AD 【解析】【分析】利用不等式的性质可得正误，利用特值可得C 的正误，利用作差比较法可得D 的正误. 【详解】对于A ，因为，所以，所以，A 正确； 0a b <<0,0ab a b >+<a b ab +<对于B ，因为，所以，B 错误； 0a b <<2ab b >对于C ，当，，C 错误； 2,1a b =-=-11b b a a +>+对于D ，， ()1111a b a b b a ab ⎛⎫⎛⎫+-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为，所以，，所以，即，D 正确. 0a b <<0ab >0a b -<()110a b ab ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭11a b b a+<+故选：AD.10. 为了解某地区经济情况，对该地区家庭年收入进行抽样调查，将该地区家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：则下列结论正确的是（ ） A. 图中的值是0.16a B. 估计该地区家庭年收入的中位数为7.5万元 C. 估计该地区家庭年收入的平均值不超过7万元D. 估计该地区家庭年收入不低于9.5万元的农户比例为20% 【答案】BD 【解析】【分析】根据频率分布直方图频率和为1即可求,可结合选项逐一计算中位数,平均值以及所占的比重判断a 得解.【详解】对于A ， 根据频率分布直方图频率和为1,得(0.130.0420.024+0.22)11,0.14a a ⨯+⨯+⨯⨯+⨯==，故A 错误；对于B ，设该地农户家庭年收入的中位数为万元，x 则，即，则中位数是，故B 正确;0.020.040.100.140.20.5++++=7.5x =7.5对于C ，该地农户家庭年收入的平均值为 30.0240.0450.1060.1470.280.290.1x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，故C 错误；100.1110.04120.02130.02140.027.68+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=对于D ，设该地家庭年收入不低于9.5万元的农户比例为 ，故D 正确；0.10.040.0230.2++⨯=故选：BD. 11. 关于的方程的解集中只含有一个元素，则的可能取值是（ ） x 241x k x x x x-=--k A. B. 0C. 1D. 54-【答案】ABD 【解析】【分析】由方程有意义可得且，并将方程化为；根据方程解集中仅含有一个元素0x ≠1x ≠240x x k +-=可分成三种情况，由此可解得所有可能的值.k【详解】由已知方程得：，解得：且；2100x x x -≠⎧⎨-≠⎩0x ≠1x ≠由得：； 241x k xx x x-=--240x x k +-=若的解集中只有一个元素，则有以下三种情况： 241x k x x x x-=--①方程有且仅有一个不为和的解，，解得：， 240x x k +-=011640k ∴∆=+=4k =-此时的解为，满足题意；240x x k +-=2x =-②方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为；240x x k +-=01由得：，，此时方程另一根为，满足题意； 0400k +⨯-==0k 240x x ∴+=4x =-③方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为；240x x k +-=10由得：，，此时方程另一根为，满足题意； 1410k +⨯-=5k =2450x x ∴+-=5x =-综上所述：或或. 4k =-05故选：ABD12. 已知是函数的零点（其中为自然对数的底数），下列说法正确的是0x ()e 2xf x x =+-e 2.71828= （ ） A. B.C.D.()00,1x ∈()00ln 2x x -=00e0x x --<020e x x ->【答案】ABC 【解析】【分析】根据给定条件确定所在区间，再逐一分析各个选项即可判断作答. 0x 【详解】函数在上单调递增，而，()e 2xf x x =+-R ()00e 210f =-=-<， 12113(e 20222f =+-=->而是方程的零点，则，即，A 正确；0x ()e 2xf x x =+-01(0,)2x ∈()00,1x ∈由得：，整理得：，B 正确；()00f x =002e xx -=00)n(2l x x -=因，且在上单调递增,则有，C 正确; 0102x <<e x y x -=-10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭001e 02xx --<<当，，则， D 不正确. 0102x <<021x ->02001xx x -<<故选：ABC .三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知命题：，为假命题，则实数的取值范围是______. p R x ∀∈220x x λ-+≥λ【答案】或λ<-λ>【解析】【分析】利用给定条件为假命题，说明有解，结合二次函数图象可得答案. 220x x λ-+<【详解】因为，为假命题，所以有解， R x ∀∈220x x λ-+≥220x x λ-+<所以，解得或280λ->λ<-λ>故答案为：或λ<-λ>14. 某厂生产A ，B 两种充电电池.现采用分层随机抽样从某天生产的产品中抽取样本，并分别计算所抽取的A ，B 两种产品的样本可充电次数的均值及方差，结果如下：则由20个产品组成的总样本的平均数为______；方差为______. 【答案】 ①. 204 ②. 28【解析】【分析】结合平均数与方差的概念推导即可求解.【详解】设A 产品可充电次数分别为：，A 产品可充电次数平均数为，方差为，B 产品1238,,,a a a a a 21s 可充电次数分别为，B 产品可充电次数平均数为，方差为，则，12312,,,,b b b b b 22s 8182101680ii a==⨯=∑，()()()22222118148s a aa aa a ⎡⎤=-+-++-=⎢⎥⎣⎦即，，()2221281288232a a a a a a a a ++++-+++= 222128832a a a a +++-= ，2222128328352832a a a a +++=+=同理，，121200122400i i b ==⨯=∑()()()2222212121412s b b b bb b ⎡⎤=-+-++-=⎢⎥⎣⎦即，()21222211222112248b b b b b b b b +-++++++= ，222121224812480048b b b b =+++=+ 则20个产品组成的总样本的平均数： ， ()()128121211168024002042020x a a a b b b =+++++++=+= 方差为：()()()()()()22222221281212120s a x axa xb x bxb x ⎡⎤=-+-++-+-+-++-=⎢⎥⎣⎦()221228122222221218112120220x x a a a b b b a a a b b b ⎡⎤++-+++++++⎣⎦++++++ ()2222222212811212020a a ab b x b =++-+++++ ()21352832480048202042820=+-⨯=故答案为：204；2815. 实数，满足，则的最小值是______.a b 22431a b b +=22a b +【解析】【分析】根据条件可得，代入，结合基本不等式求解. 42213b a b-=22a b +【详解】因为，所以， 22431a b b +=42213b a b-=所以 22221233b a b b +=+≥=当且仅当时，等号成立； 22a b ==. 16. 函数是定义在上的偶函数，且，若对任意两个不相等的正数，()f x {}R0x x ∈≠∣()11f =-1x 2x ，都有，则不等式的解集为______.()()2112121x f x x f x x x ->-()102f x x +<-【答案】 ()(),11,2∞--⋃【解析】【分析】设，则由可得，即在120x x >>()()2112121x f x x f x x x ->-()()121211f x f x x x ++>()()1f xg x x+=上单调递增，然后得出的奇偶性和取值情况，然后分、、三种情况解()0,∞+()g x 2x >02x <<0x <出不等式即可.【详解】设，则由可得120x x >>()()2112121x f x x f x x x ->-()()211212x f x x f x x x ->-所以，所以 ()()12122111f x f x x x x x ->-()()121211f x f x x x ++>所以可得在上单调递增()()1f x g x x+=()0,∞+因为函数是定义在上的偶函数， ()f x {}R0x x ∈≠∣所以函数是定义在上的奇函数 ()g x {}R0x x ∈≠∣因为，所以，()11f =-()10g =所以当或时，当或时， 10x -<<1x >()0g x >1x <-01x <<()0g x <所以由可得当时，，，此时无解()102f x x +<-2x >()10f x +<()()10f x g x x+=<当时，，，此时.02x <<()10f x +>()()10f x g x x+=>12x <<当时，，，所以0x <()10f x +>()()10f x g x x+=<1x <-综上：不等式的解集为.()102f x x +<-()(),11,2∞--⋃故答案为：.()(),11,2∞--⋃四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知函数的定义域为集合，集合. ()()2lg 3f x x x=-A 313a B x x a -⎧⎫=≤≤+⎨⎬⎩⎭（1）若，求； 0a =A B ⋃（2）“”是“”的充分不必要条件.求实数的取值范围.x A ∈x B ∈a 【答案】（1） {}13x x -≤<（2）{}23a a ≤≤【解析】【分析】（1）先化简集合然后用并集的定义即可求解；,,A B （2）利用题意可得到 ，然后列出对应不等式即可A B 【小问1详解】由题意集合，{}{}23003A x x x x x =->=<<当时，，0a ={}11B x x =-≤≤所以{}13A B x x ⋃=-≤<【小问2详解】因为“”是“”的充分不必要条件，所以 ，x A ∈x B ∈A B 因为，， {}03A x x =<<313a B x x a -⎧⎫=≤≤+⎨⎬⎩⎭所以，解得，30313a a -⎧≤⎪⎨⎪+≥⎩23a ≤≤所以实数的取值范围是. a {}23a a ≤≤18. 为普及消防安全知识，某学校组织相关知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；4535在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，，甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响. 2334（1）甲在比赛中恰好赢一轮的概率；（2）从甲、乙两人中选1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？（3）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.【答案】（1） 25（2）派甲参赛获胜的概率更大（3） 223300【解析】【分析】（1）根据独立事件的乘法公式计算即可；（2）利用独立事件的乘法公式分别求出甲乙赢的概率，据此即可得出结论；（3）先求出两人都没有赢得比赛，再根据对立事件的概率公式即可得解.【小问1详解】设“甲在第一轮比赛中胜出”，“甲在第二轮比赛中胜出”，1A =2A =“乙在第一轮比赛中胜出”，“乙在第二轮比赛中胜出”，1B =2B =则，，，相互独立，且，，，， 1A 2A 1B 2B ()145P A =()223P A =()135P B =()234P B =设“甲在比赛中恰好赢一轮”C =则； ()()()()121212124112625353155P C P A A A P A A P A =+=+=⨯+⨯==【小问2详解】因为在两轮比赛中均胜出赢得比赛，则“甲赢得比赛”，“乙赢得比赛”，12A A =12B B =所以， ()()()12124285315P A A P A P A ==⨯=， ()()()12123395420P B B P B P B ==⨯=因为，所以派甲参赛获胜的概率更大； 891520>【小问3详解】设“甲赢得比赛”，“乙赢得比赛”，D =E =于是“两人中至少有一人赢得比赛”，D E = 由（2）知，， ()()12815P D P A A ==()()12920P E P B B ==所以， ()()87111515P D P D =-=-=， ()()911112020P E P E =-=-=所以. ()()()()7112231111520300P D E P DE P D P E =-=-=-⨯= 19. 已知函数是奇函数. ()321x a f x =-+（1）求的值； a （2）判断在上的单调性，并证明；()f x R （3）求关于的不等式的解集. x ()()2251240f x x f x --+-<【答案】（1）6（2）单调递增，证明见解析 （3） 5|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义即可求的值；a （2）判断函数在的定义取值、作差、变形、定号、下结论即可证明单调性； R （3）结合函数的奇偶性与单调性，可将不等式转化为一元二次不等式即可得解集.【小问1详解】由函数是奇函数 ()()3R 21x a f x x =-∈+所以即， ()()f x f x -=-332121x x a a -⎛⎫-=-- ⎪++⎝⎭化简可得，解得. 262121x x x a a ⋅+=++6a =【小问2详解】函数在上单调递增，理由如下：()f x R 在上任取两个实数，，设，R 1x 2x 12x x <则 ()()()()()1212211212622666633212121212121x x x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=---=-= ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭因为，所以，所以，，，12x x <12022x x <<12220x x -<1210x +>2210x +>所以，即，()()120f x f x -<()()12f x f x <所以在上单调递增.()f x R 【小问3详解】由得， ()()2251240f x x f x --+-<()()225124f x x f x --<--由得，所以 ()()f x f x -=-()()2424f x f x --=-+()()225124f x x f x --<-+又在上单调递增，在恒成立，()f x R 225124x x x --<-+R 即，解得， 22350x x --<512x -<<所以原不等式解集为. 5|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭20. 在中，点，分别在边和边上，且，，交于点，ABC A D E BC AB 2DC BD =2BE AE =AD CE P 设，. BC a = BA b =（1）若，试用，和实数表示；EP tEC = a b t BP （2）试用，表示； a b BP（3）在边上有点，使得，求证：，，三点共线.AC F 5AC AF = B P F 【答案】（1） ()213BP ta t b =+- （2） 1477BP a b =+ （3）证明见解析【解析】【分析】(1)根据向量加减法运算即可;(2)根据向量的数量关系及向量加减法表示;(3)应用向量共线且有公共点证明即可.【小问1详解】由题意，所以， 2233BE BA b == 23EC EB BC a b =+=- ① ()2221333BP BE EP BE tEC b t a b ta t b ⎛⎫=+=+=+-=+- ⎪⎝⎭ 【小问2详解】设，由，， DP k DA = 1133BD BC a == 13DA DB BA b a =+=- ② ()1111333BP BD DP a k b a k a kb ⎛⎫=+=+-=-+ ⎪⎝⎭ 由①、②得，， ()()211133ta t b k a kb +-=-+ 所以，解得，所以； ()()113213t k t k ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩1747t k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1477BP a b =+ 【小问3详解】由，得，所以， AC a b =- ()1155AF AC a b ==- 1455BF BA AF a b =+=+ 所以，因为与有公共点，所以，，三点共线. 75BF BP = BF BP B B P F 21. 某学习小组在社会实践活动中，通过对某种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足（()P x x ()1k P x x=+k 为正常数），该商品的日销售量（单位：个）与时间部分数据如下表所示： ()Q x x (天) x 510 15 20 25 30 (个)()Q x 55 60 65 70 65 60 已知第10天该商品的日销售收入为72元.（1）求的值；k（2）给出以下二种函数模型：①，②，请你根据上表中的数据，从中()Q x ax b =+()20Q x a x b =-+选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量与时间的关系，并求出该函数的解析式； ()Q x x （3）求该商品的日销售收入（，）（单位：元）的最小值.()f x 130x ≤≤*x ∈N 【答案】（1）2（2）(，) ()2070Q x x =--+130x ≤≤*x ∈N （3）64元【解析】【分析】(1)利用日销售收入等于日销售价格乘以日销售量列式计算即得.()P x ()Q x (2)由表中数据知，当时间变化时，日销售量有增有减不单调，选择模型②，再从表中任取两组值列式计算即可.(3)利用(2)的信息求出函数的解析式，再分段求出最值即可作答.()f x 【小问1详解】依题意，该商品的日销售收入，因第10天该商品的日销售收入为72元，()()()f x P x Q x =⋅则，即，解得， (10)(10)(10)f P Q =⋅(1)607210k +⨯=2k =所以的值是2.k 【小问2详解】由表中数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，则选择模型， ()20Q x a x b =-+从表中任取两组值，不妨令，解得，即，显然表中(10)1060(20)70Q a b Q b =+=⎧⎨==⎩170a b =-⎧⎨=⎩()2070Q x x =--+其它各组值均满足这个函数，所以该函数的解析式为(，).()2070Q x x =--+130x ≤≤*x ∈N 【小问3详解】由(1)知， ，由(2)知，2()1,130,N P x x x x*=+≤≤∈， ()50,120,N 207090,2030,N x x x Q x x x x x **⎧+≤≤∈=--+=⎨-+<≤∈⎩于是得， 10052,120,N ()()()18088,2030,N x x x x f x P x Q x x x x x **⎧++≤≤∈⎪⎪=⋅=⎨⎪-++<≤∈⎪⎩当时，在上单调递减，在上单调递增，当120,N x x *≤≤∈100()52f x x x=++[1,10][10,20]10x =时，取得最小值(元)，()f x (10)72f =当时，在上单调递减，当时，取得最小值2030,N x x *<≤∈180()88f x x x=-++(20,30]30x =()f x (元)，(30)64f =显然，则当，时，(元)，7264>130x ≤≤*x ∈N min ()(30)64f x f ==所以该商品的日销售收入的最小值为64元.22. 函数且，函数 . ()3x f x =(2)18f a +=()34ax xg x =-（1）求的解析式；()g x （2）若关于的方程在区间上有实数根，求实数的取值范围； x ()80xg x m -⋅=[]22-,m （3）设的反函数为，，若对任意()3x f x =()()()()23,[]log p x h x p x p x x λ=-++()21x x ϕλλ=+-的，均存在，满足 ，求实数的取值范围.1x ⎤∈⎦[]21,1x ∈-()()12h x x ϕ≤λ【答案】（1）()24x x g x =-（2）1,124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（3）)5⎡-+∞⎣【解析】【分析】（1）直接根据解得即可；(2)18f a +=32a =（2）含有参数的方程有实数根，分离参数然后求得在上的值域即可； m 222x x m --=-[]22-,（3）将问题转化为恒成立，然后根据参数的取值范围进行分类讨论，先求得()()12max h x x ϕ≤λ()2x ϕ的最大值，然后转化为恒成立问题即可【小问1详解】由，可得：(2)18f a +=2318a +=解得：32a =则有： ()24x xg x =-故的解析式为： ()g x ()24x xg x =-【小问2详解】由，可得： ()80xg x m -⋅=222x x m --=-不妨设2x t -=则有： 221124m t t t ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭又22x -≤≤则有： 144t ≤≤故当时，取得最小值为；当时，取得最大值为 1t =m 14-4t =m 12故 1124m -≤≤故实数的取值范围为： m 1,124⎡⎤-⎢⎣【小问3详解】的反函数为：()3x f x =()3log p x x =若对任意的，均存在，满足1x ⎤∈⎦[]21,1x ∈-()()12h x x ϕ≤则只需：恒成立()()12max h x x ϕ≤()()()23[]log h x p x p x x λ=-++不妨设，则设 3log x b =()()21b s b b λ=-++，则 1x ⎤∈⎦122b ≤≤在上可分如下情况讨论：()21x x ϕλλ=+-[]21,1x ∈- 当时，，此时，不满足恒成立 0λ=()1x ϕ=-()2s b b b =-+()()12max h x x ϕ≤②当时，，此时只需：在上恒成立 0λ<()()1max 11x ϕϕλ=-=-()211b b λλ-++≤-122b ≤≤则只需：在上恒成立 ()2110b b λλ++-≥-1,22b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则只需：时，不等式成立 12b =()2110b b λλ++-≥-解得：，与矛盾； 52λ≥0λ<③当时，，此时，只需保证：0λ>()()1max 131x ϕϕλ==-()2131b b λλ-++≤-则只需：在上恒成立 ()21310b b λλ++-≥-1,22b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦当时，只需保证：当时，成立 122λ+≤12b λ+=()21310b b λλ++-≥-则有：21050λλ-+≤解得：55λ-≤≤+又，故有： 122λ+≤53λ-≤≤当时，只需保证：当时，成立 122λ+>2b =()21310b b λλ++-≥-此时解得：1λ>-又故有：122λ+>3λ>故当时，0λ>5λ≥-综上所述，解得：实数的取值范围为：λ)5⎡-+∞⎣【点睛】结论：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数 ， ， ，，则有： ()y f x =[],x a b ∈()y g x =[],x c d ∈（1）若 ，， 恒成立， ； []1,x a b ∀∈[]2,x c d ∀∈()()12f x g x ≤()()12max min f x g x ≤（2）若 ，， 能成立，[]1,x a b ∀∈[]2,x c d ∃∈()()12f x g x ≤()()12max max f x g x ≤。
辽宁省沈阳市郊联体2021届高三上学期期末考试数学试题(含答案)
2020-2021学年度上学期沈阳市郊联体期末考试高三试题数 学考试时间：120分钟 满分：150分注意事项：本试卷由第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分组成.第Ⅰ卷选择题部分，一律用2B 铅笔按题号依次填涂在答题卡上；第Ⅱ卷非选择题部分，按要求答在答题卡相应位置上.第Ⅰ卷 选择题一、单选题：本大题共8道小题，每小题5分，共40分： 1. 若集合{}12A x x =-≤≤，{}3log 1B x x =≤，则A B （ ）A. {}02x x <≤B. {}12x x -≤≤C. {}12x x ≤≤D. {}13x x -≤≤2. 已知复数z 满足()1243z i i +=-（其中i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（ ） A. -2B. 2i -C. 1D. i3. 已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线的斜率为12，则此双曲线的离心率为（ ）A. 2B. 2C.D.4. 已知一个圆柱上、下底面的圆周都在同一个球面上，球的直径为10，圆柱底面直径为6，则圆柱的侧面积为（ ） A. 12πB. 24πC. 36πD. 48π5. 已知某药店只有A ，B ，C 三种不同品牌的95N 口罩，甲、乙两人到这个药店各购买一种品牌的95N 口罩，若甲、乙买A 品牌口罩的概率分别是0.2，0.3，买B 品牌口罩的概率分别为0.5，0.4，则甲、乙两人买相同品牌的95N 口罩的概率为（ ） A. 0.7B. 0.65C. 0.35D. 0.266. ()3222x n x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式的各项系数之和为3，则该展开式中含3x 项的系数为（ ）A. 2B. 8C. -5D. -177. 已知椭圆M ：()222210x y a b a b+=>>，过M 的右焦点()3,0F 作直线交椭圆于A ，B 两点，若AB 中点坐标为()2,1，则椭圆M 的方程为（ ）A. 22196x y += B. 2214x y += C.221189x y += D.221123x y += 8. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为223x y +≤，若将军从点()3,1A 处出发，河岸线所在直线方程为5x y +=，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）A.B.C. D. 二、多选题：本大题共4道小题，每小题5分，共20分.9. 已知m ，n 是不重合的直线，α，β，γ是不重合的平面，则下列命题为假命题的是（ ） A. 若αγ⊥，βγ⊥，则//αβB. 若m α⊂，n α⊂，//m β，//n β，则//αβC. 若//αβ，//γβ，则//γαD. 若αβ⊥，m β⊥，则//m α 10. 下列说法中，正确的命题是（ ）A. 已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ，()40.8P X <=，则()240.2P X <<= B. 线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱C. 已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y a bx =+，若2b =，1x =，3y =，则1a =D. 若样本数据121x +，221x +，…，1621x +的方差为8，则数据1x ，2x ，…，16x 的方差为2 11. 下列命题中是真命题的是（ ）A. “1ω=”是“()sin 26f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为π”的必要不充分条件 B. 在ABC △中，点D 是线段BC 上任意一点（不包含端点），若AD mAB nAC =+，则14m n+的最小值是9C. 已知数列{}n a 的各项均为正数，12a =，114n n n n a a a a ++-=+，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前24项和为2D. 函数()f x 是定义在R 上的偶函数且在[)0,+∞上为减函数，()21f -=，则不等式()11f x -<的解集为{}13x x -<<12. 已知1l ，2l 是双曲线T ：()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线，直线l 经过T 的右焦点F ，且1//l l ，l 交T 于点M ，交2l 于点Q ，交y 轴于点N ，则下列说法正确的是（ ）A. FOQ △与OQN △的面积相等B. 若T 的焦距为4，则点M 到两条渐近线的距离之积的最大值为14C. 若FM MQ =，则T 的渐近线方程为y x =±D. 若12,23FM FQ ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则T 的离心率[]2,3e ∈ 第Ⅱ卷 非选择题三、填空题：本大题共4道小题，每小题5分，共20分.13. 一批产品的次品率为0.03，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的次品件数，则()E X =________；14. 电影《夺冠》讲述中国女排姑娘们顽强奋斗、为国争光的励志故事，打造一部见证新中国体育改革40年的力作，该影片于2020年09月25日正式上映.在《夺冠》上映当天，一对夫妇带着他们的两个小孩一起去观看该影片，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起.为安全起见，影院要求每个小孩子要有家长相邻陪坐，则不同的坐法种数是________；15. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：26y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线C 上一点，PA l ⊥，A 为垂足，若直线AF 的斜率2k =-，则线段PF 的长为________；16. 如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E 、F ，且12EF =，则下列结论中正确的序号是__________. ①AC BE ⊥； ②//EF 平面ABCD ；③三棱锥A BEF -的体积为定值； ④AEF △的面积与BEF △的面积相等.四、解答题：本大题共6个小题，共70分.17. 已知向量3sin,12x m ⎛⎫= ⎪⎭，2cos ,cos 22x n x ⎛⎪=⎫ ⎝⎭，函数1()2f x m n =⋅-.（Ⅰ）若,36x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，求()f x 的取值范围；（Ⅱ）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若()1f B =，5a =，b =ABC △的面积.18. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12n n S a +=. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设21nn b a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n T . 19. 已知如图①，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒且2AB =，E 为AD 的中点，将ABE △沿BE 折起使AD =，得到如图②所示的四棱锥A BCDE -.（Ⅰ）求证：平面ABE ⊥平面ABC ；（Ⅱ）若P 为AC 的中点，求二面角P BD A --的余弦值.20. 某学校共有1000名学生，其中男生400人，为了解该校学生在学校的月消费情况，采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，月消费金额分布在450~950之间.根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图如图所示：将月消费金额不低于750元的学生称为“高消费群”.（Ⅰ）求a 的值，并估计该校学生月消费金额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （Ⅱ）现采用分层抽样的方式从月消费金额落在[)550,650，[)750,850内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高消费群”的学生人数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望；（Ⅲ）若样本中属于“高消费群”的女生有10人，完成22⨯列联表，并判断是否有97.5%的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关？参考公式：()21122122121212n n n n n K n n n n ++++-=，其中（11211222n n n n n =+++）21. 平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>左、右焦点分别是1F ，2F .以1F 为圆心、以3为半径的圆与2F 为圆心、以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点()1,0作直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，设OP OA OB =+，问：是否存在这样的直线l ，使得OP AB =，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.22. 已知函数()ln f x x a x =-.（Ⅰ）若曲线()(),y f x b a b R =+∈在1x =处的切线方程为30x y +-=，求a ，b 的值； （Ⅱ）求函数()1()()a g x f x a R x+=+∈的极值点； （Ⅲ）设1()()ln (0)x xh x f x ae a a a a=+-+>，若当x a >时，不等式()0h x ≥恒成立，求a 的最小值.2020－2021学年度上学期沈阳市郊联体期末考试高三试题答案数 学一、选择题： 1-5：AABDC 6-8：DCC二、多选题：9. ABD 10. CD 11. BC 12. AC 三、填空题：13. 3 14. 16 15. 15216. ①②③ 四、解答题：17.【解析】（Ⅰ）∵向量3sin,12x m ⎛⎫= ⎪⎭，2cos ,cos 22x x n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由此可得函数11()sin cos sin 2226f x m n x x x π⎛⎫=⋅-=+=+ ⎪⎝⎭， 又∵,36x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，得,663x πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，∴13sin ,622x π⎛⎫⎛⎫+∈- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()f x 的取值范围是13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）∵函数()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴()sin 16f B B π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，又∵7,666B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴62B ππ+=，可得3B π=.∵5a =，b =∴根据正弦定理sin sin a b A B=，可得5sin sin 1sin 2a B A b π⨯===， 由a b <得A B <，所以6A π=，因此()2C A B ππ=-+=，可得ABC △是以C 为直角顶点的直角三角形，∴ABC △的面积11522S ab ==⨯⨯=. 18.【解析】 （Ⅰ）当1n =时，1112S a +=，解得11a =. 因为21n n S a =-，①所以当2n ≥时，1121n n S a --=-，②①-②得，1122n n n n S S a a ---=-，所以12n n a a -=. 故数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，其通项公式为12n n a -=.（Ⅱ）由题知，(1)2nn b n =+⋅，所以123223242(1)2nn T n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++，③23412223242(1)2n n T n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++，④③-④得，()123122222(1)2nn n T n +-=++++⋅⋅⋅+-+()112122(1)2212n n n n n ++⨯-=+-+=-⋅-.所以12n n T n +=⋅.19.【解析】（Ⅰ）在图①中，连接BD ，如图所示：因为四边形ABCD 为菱形，60A ∠=︒，所以ABD △是等边三角形. 因为E 为AD 的中点，所以BE AE ⊥，BE DE ⊥. 又2AD AB ==，所以1AE DE ==.在图②中，AD =222AE ED AD +=，即AE ED ⊥.因为//BC DE ，所以BC BE ⊥，BC AE ⊥. 又BEAE E =，,AE BE ⊂平面ABE .所以BC ⊥平面ABE .又BC ⊂平面ABC ，所以平面ABE ⊥平面ABC . （Ⅱ）由（Ⅰ）知，AE DE ⊥，AE BE ⊥. 因为BEDE E =，,BE DE ⊂平面BCDE .所以AE ⊥平面BCDE .以E 为坐标原点，EB ，ED ，EA 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系：则()0,0,0E ，()0,0,1A ，)B，)C，()0,1,0D .因为P 为AC的中点，所以122P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 所以311,2PB ⎛⎫=-- ⎪⎪⎝⎭，12PD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭. 设平面PBD 的一个法向量为(),,m x y z =，由00PB mPD m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得102102x y z x z --=⎨⎪-=⎪⎩.令z =1x =-，y =(1,m =-.设平面BDA 的一个法向量为()111,,n x y z =. 因为()BA =-，()0,1,1AD =-，由00BAn AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得111100z y z ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩， 令11x =，得(1,3,n =，则1cos ,77m n m n m n⋅===-⨯⨯，又二面角P BD A --为锐角，所以二面角P BD A --的余弦值为17. 20.【解析】（Ⅰ）由题意知100(0.00150.00250.00150.001)1a ⨯++++=，解得0.0035a =，样本平均数为5000.156000.357000.258000.159000.10670x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=元. （Ⅱ）由题意，从[)550,650中抽取7人，从[)750,850中抽取3人， 随机变量X 的所有可能取值有0，1，2，3.()337310()0,1,2,3k k C C P X k k C -===. 所以随机变量X 的分布列为：随机变量X 的数学期望()2312012012010E X =+⨯+⨯=. （Ⅲ）由题可知，样本中男生40人，女生60人，属于“高消费群”的25人，其中女生10人；得出以下22⨯列联表：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++2100(10251550)50 5.024*********⨯-⨯==≈⨯⨯⨯. 所以有97.5%的把握认为该校学生属于“高消费群”与性别有关.21.【解析】（Ⅰ）由题意可知，24a =，∴2a =，又2c a =，222b a c =-，∴1b =，∴椭圆C 的方程为2214x y +=. （Ⅱ）∵OP OA OB =+，∴四边形OAPB 为平行四边形，假设存在l 使得OP AB =，则四边形OAPB 为矩形，∴0OA OB ⋅=，若l 的斜率不存在，直线l 的方程为1x =，由22114x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得1,2A ⎛ ⎝⎭， 1.B ⎛- ⎝⎭， ∴104OA OB ⋅=>，不合题意，故l 的斜率存在. 设l 的方程是()1y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ， 由22(1)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222148440k x k x k +-+-=. ∴2122814k x x k +=+，21224414k x x k-=+，① ∴()()()222121212122311114k y y k x x k x x x x k -=--=-++=⎡⎤⎣⎦+.② 由0OA OB ⋅=，得12120x x y y +=，把①，②代入得2k =±.∴存在直线l ：22y x =-+或22y x =-使得OP AB =.22.【解析】（Ⅰ）由()ln f x x a x =-，得ln y x a x b =-+，∴''()1a y f x x ==-. 由已知可得：'(1)1(1)2f f b =-⎧⎨+=⎩，即1112a b -=-⎧⎨+=⎩，∴2a =，1b =. （Ⅱ）11()()ln a a g x f x x a x x x ++=+=-+， ∴[]22(1)(1)1'()1(0)x x a a a g x x x x x+-++=--=>. 当10a +≤，即1a ≤-时，'()0g x >，()g x 在()0,+∞上为增函数，无极值点.当10a +>，即1a >-时，则有：当01x a <<+时，'()0g x <，当1x a >+时，'()0g x >，∴()g x 在()0,1a +为减函数，在()1,a ++∞上为增函数，∴1x a =+是()g x 极小值点，无极大值点；综上可知：当1a ≤-时，函数()g x 无极值点，当1a >-时，函数()g x 的极小值点是1a +，无极大值点. （Ⅲ）1()()ln ln ln (0)x x x h x f x ae a ae x a a a a=+-+=-+>， 由题意知：当x a >时，ln ln 0x ae x a -+≥恒成立，又不等式ln ln 0x ae x a -+≥等价于：ln x x ae a ≥，即1ln x x e a a≥， 即ln xx x xe a a ≥①，①式等价于ln ln x x a x xe e a ≥， 由0x a >>知，1x a>，ln 0x a >. 令()(0)x x xe x ϕ=>，则原不等式即为：()ln x x a ϕϕ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， 又()(0)x x xe x ϕ=>在(0,)+∞上为增函数，所以，原不等式等价于：lnx x a ≥②， 又②式等价于x x e a ≥，即：(0)x x a x a e≥>>. 设()(0)x x F x x e =>，1'()xx F x e -=，∴()F x 在()0,1上为增函数，在()1,+∞上为减函数， 又0x a >>，∴当01a <<时，()F x 在(),1a 上为增函数，在()1,+∞上为减函数， ∴1()(1)F x F e ≤=.要使原不等式恒成立，须使11a e≤<， 当1a ≥时，则()F x 在(),a +∞上为减函数，1()(1)F x F e <=， 要使原不等式恒成立，须使1a e≥，∴1a ≥时，原不等式恒成立.综上可知：a 的取值范围是1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，a 的最小值为1e .。
沈阳市高一(上)期末数学试卷(1)含答案解析
高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每个小题5分）1．（5分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={x|x2﹣3x＜0}，则A∩B为（）A．{1，2，3}B．{2，3}C．{1，2}D．（0，3））2．（5分）已知角α在第三象限，且sinα=﹣，则tanα=（）A．B．C．D．3．（5分）的值为（）A．B．C．1 D．﹣14．（5分）已知△ABC的三边a，b，c满足a2+b2=c2+ab，则△ABC的内角C为（）A．150°B．120°C．60°D．30°5．（5分）设函数f（x）=，则f（2）+f（﹣log23）的值为（）A．4 B．C．5 D．66．（5分）若sin（）=，sin（2）的值为（）A．B．C．D．7．（5分）已知f（x）=sin2x+2cosx，则f（x）的最大值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．28．（5分）已知函数f（x）=cos2x﹣，则下列说法正确的是（）A．f（x）是周期为的奇函数B．f（x）是周期为的偶函数C．f（x）是周期为π的奇函数D．f（x）是周期为π的偶函数9．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x+6）=f（x），当x∈（0，3）时，f（x）=x2，则f（64）=（）A．﹣4 B．4 C．﹣98 D．9810．（5分）函数的图象如图所示，为了得到g（x）=sin（3x+）的图象，只需将f（x）的图象（）A．向右平移π个单位长度B．向左平移π个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度11．（5分）奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式x[f （x）﹣f（﹣x）]＞0的解集为（）A．（﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣1，0）∪（1，+∞）12．（5分）将函数f（x）=2sin（x+2φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位长度之后，所得图象关于直线x=对称，且f（0）＞0，则φ=（）A．B． C．D．二、填空题（本大题共4个小题，每个小题5分）13．（5分）已知f（x）=x+log a x的图象过点（2，3），则实数a=．14．（5分）已知sin，且α∈（0，），则tan的值为．15．（5分）已知f（x）=x2﹣ax+2a，且在（1，+∞）内有两个不同的零点，则实数a的取值范围是．16．（5分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，cosC=﹣，sinB=sinC，则边c=．三、解答题（本大题共6个小题，共70分）17．（10分）已知函数f（x）=2x﹣sin2x﹣．（I）求函数f（x）的最小正周期及对称轴方程；（II）求函数f（x）的单调区间．18．（12分）若0，0，sin（）=，cos（）=．（I）求sinα的值；（II）求cos（）的值．19．（12分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（2a﹣c）cosB=bcosC．（I）求角B的大小；（II）若b=2，求△ABC周长的最大值．20．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，函数的图象关于点（）中心对称，且过点（）．（I）求函数f（x）的解析式；（II）若方程2f（x）﹣a+1=0在x∈[0，]上有解，求实数a的取值范围．21．（12分）在△ABC中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C，且a＞c，若△ABC的面积为2，sin（A﹣B）+sinC=sinA，b=3．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）求边a，c的值．22．（12分）设函数f（x）=a2x+ma﹣2x（a＞0，a≠1）是定义在R上的奇函数．（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）若f（1）=，且g（x）=f（x）﹣2kf（）+2a﹣2x在[0，1]上的最小值为2，求实数k的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每个小题5分）1．（5分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={x|x2﹣3x＜0}，则A∩B为（）A．{1，2，3}B．{2，3}C．{1，2}D．（0，3））【解答】解：∵集合A={1，2，3，4，5}，B={x|x2﹣3x＜0}={x|0＜x＜3}，∴A∩B={1，2}．故选：C．2．（5分）已知角α在第三象限，且sinα=﹣，则tanα=（）A．B．C．D．【解答】解：∵角α在第三象限，且sinα=﹣，∴cosα=﹣．∴．故选：C．3．（5分）的值为（）A．B．C．1 D．﹣1【解答】解：==．故选：B．4．（5分）已知△ABC的三边a，b，c满足a2+b2=c2+ab，则△ABC的内角C为（）A．150°B．120°C．60°D．30°【解答】解：△ABC中，a2+b2=c2+ab，∴a2+b2﹣c2=ab，∴cosC===，C∈（0°，180°），∴C=60°．故选：C．5．（5分）设函数f（x）=，则f（2）+f（﹣log23）的值为（）A．4 B．C．5 D．6【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（2）=log22=1，f（﹣log23）==3，∴f（2）+f（﹣log23）=1+3=4．故选：A．6．（5分）若sin（）=，sin（2）的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵sin（）=，∴sin（2）=cos[﹣（2）]=cos（）=cos2（）=．故选：A．7．（5分）已知f（x）=sin2x+2cosx，则f（x）的最大值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【解答】解：f（x）=sin2x+2cosx，=1﹣cos2x+2cosx，=﹣（cosx﹣1）2+2，当cosx=1时，f（x）max=2，故选：D8．（5分）已知函数f（x）=cos2x﹣，则下列说法正确的是（）A．f（x）是周期为的奇函数B．f（x）是周期为的偶函数C．f（x）是周期为π的奇函数D．f（x）是周期为π的偶函数【解答】解：函数f（x）=cos2x﹣=（2cos2x﹣1）=cos2x，∴f（x）是最小正周期为T==π的偶函数．故选：D．9．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x+6）=f（x），当x∈（0，3）时，f（x）=x2，则f（64）=（）A．﹣4 B．4 C．﹣98 D．98【解答】解：由（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x+6）=f（x），∴f（x）是以6为周期的周期函数，又∵又当x∈（0，3）时，f（x）=x2，∴f（64）=f（6×11﹣2）=f（﹣2）=f（2）=22=4．故选：B．10．（5分）函数的图象如图所示，为了得到g（x）=sin（3x+）的图象，只需将f（x）的图象（）A．向右平移π个单位长度B．向左平移π个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度【解答】解：根据函数的图象，可得A=1，=﹣，∴ω=3，再根据五点法作图可得3×+φ=π，∴φ=，f（x）=sin（3x+）．为了得到g（x）=sin（3x+）的图象，只需将f（x）的图象向左平移个单位长度，故选：D．11．（5分）奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式x[f （x）﹣f（﹣x）]＞0的解集为（）A．（﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣1，0）∪（1，+∞）【解答】解：若奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，则函数f（x）在（﹣∞，0）上也为增函数，又∵f（1）=0，∴f（﹣1）=0，则当x∈（﹣∞，﹣1）∪（0，1）上时，f（x）＜0，f（x）﹣f（﹣x）＜0；当x∈（﹣1，0）∪（1，+∞）上时，f（x）＞0，f（x）﹣f（﹣x）＞0，则不等式x[（f（x）﹣f（﹣x）]＞0的解集为（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1），故选：C．12．（5分）将函数f（x）=2sin（x+2φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位长度之后，所得图象关于直线x=对称，且f（0）＞0，则φ=（）A．B． C．D．【解答】解：将函数f（x）=2sin（x+2φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位长度之后，可得y=2sin（x++2φ）的图象，根据所得图象关于直线x=对称，可得++2φ=kπ+，即φ=﹣，k ∈Z．根据且f（0）=2sin2φ＞0，则φ=，故选：B．二、填空题（本大题共4个小题，每个小题5分）13．（5分）已知f（x）=x+log a x的图象过点（2，3），则实数a=2．【解答】解：∵已知f（x）=x+log a x的图象过点（2，3），故有2+log a2=3，求得a=2，故答案为：2．14．（5分）已知sin，且α∈（0，），则tan的值为2．【解答】解：由sin，得，∴sin（）=1，∵α∈（0，），∴∈（），则=，即，∴tanα=tan．∴tan=1+1=2．故答案为：2．15．（5分）已知f（x）=x2﹣ax+2a，且在（1，+∞）内有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（8，+∞）．【解答】解：∵二次函数f（x）=x2﹣ax+2a在（1，+∞）内有两个零点，∴，即，解得8＜a．故答案为：（8，+∞）．16．（5分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，cosC=﹣，sinB=sinC，则边c=3．【解答】解：△ABC中，a=2，cosC=﹣，sinB=sinC，∴b=c，∴c2=a2+b2﹣2abcosC=22+c2﹣2×2×c×（﹣），化简得5c2﹣3c﹣36=0，解得c=3或c=﹣（不合题意，舍去），∴c=3．故选：3．三、解答题（本大题共6个小题，共70分）17．（10分）已知函数f（x）=2x﹣sin2x﹣．（I）求函数f（x）的最小正周期及对称轴方程；（II）求函数f（x）的单调区间．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=2x﹣sin2x﹣=（1+cos2x）﹣sin2x﹣=﹣sin2x+cos2x=﹣2sin（2x﹣）；﹣﹣﹣﹣（3分）∴f（x）的最小正周期为π，﹣﹣﹣﹣（4分）对称轴方程为x=+，k∈Z；﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）令+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，∴f（x）的单调递增区间为[+kπ，+kπ]（k∈Z）；﹣﹣﹣﹣（8分）令﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，∴f（x）的单调递减区间为[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）．﹣﹣﹣﹣（10分）18．（12分）若0，0，sin（）=，cos（）=．（I）求sinα的值；（II）求cos（）的值．【解答】解：（Ⅰ）∵0，∴，又sin（）=，∴cos（）=，∴sinα=sin[﹣（）]=sin cos（）﹣cos sin（）=；（Ⅱ）∵0，∴，又cos（）=，∴sin（）=．∴cos（）=cos[（）+（）]=cos（）cos（）﹣sin（）sin（）=．19．（12分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（2a﹣c）cosB=bcosC．（I）求角B的大小；（II）若b=2，求△ABC周长的最大值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵由（2a﹣c）cosB=bcosC，可得：（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，∴2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC，可得：2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，∵A∈（0，π），sinA＞0，∴可得：cosB=，∴由B=，B∈（0，π），B=．﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）∵2R==，a=sinA，c=sinC，﹣﹣﹣﹣（6分）∴可得三角形周长：a+b+c=sinA+sinC+2=sinA+sin（﹣A）+2=4sin（A+）+2，﹣﹣﹣﹣（9分）∵0＜A＜，＜A+＜，可得：sin（A+）∈（，1]．﹣﹣﹣﹣（11分）∴周长的最大值为6．﹣﹣﹣﹣（12分）20．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，函数的图象关于点（）中心对称，且过点（）．（I）求函数f（x）的解析式；（II）若方程2f（x）﹣a+1=0在x∈[0，]上有解，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=Asin（ωx+φ）的最小正周期为T==π，由ω＞0，得ω=2；由函数f（x）的图象关于点（）中心对称，∴2×+φ=kπ，φ=﹣+kπ，k∈Z；又|φ|＜，∴φ=﹣；又f（x）过点（），∴Asin（2×﹣）=1，解得A=2，∴函数f（x）=2sin（2x﹣）；（II）方程2f（x）﹣a+1=0，∴a=4sin（2x﹣）+1；又x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]，∴4sin（2x﹣）+1∈[﹣1，5]，∴实数a的取值范围是[﹣1，5]．21．（12分）在△ABC中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C，且a＞c，若△ABC的面积为2，sin（A﹣B）+sinC=sinA，b=3．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）求边a，c的值．【解答】解：（Ⅰ）由sin（A﹣B）+sinC=sinA，得sinAcosB﹣cosAsinB+sin（A+B）=sinA即2sinAcosB=sinA，∵sinA≠0，∴cosB=．sinB=（Ⅱ）由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2ac•cosB=a2+c2﹣ac⇒a2+c2﹣ac=9…①又∵s=ac•sinB=2，∴ac=6…②△ABC由①②解得，∵a＞c，∴a=3，c=2．22．（12分）设函数f（x）=a2x+ma﹣2x（a＞0，a≠1）是定义在R上的奇函数．（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）若f（1）=，且g（x）=f（x）﹣2kf（）+2a﹣2x在[0，1]上的最小值为2，求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得f（0）=0，1+m=0，解得m=﹣1，则f（x）=a2x﹣a﹣2x，f（﹣x）=a﹣2x﹣a2x=﹣f（x），可得f（x）为奇函数，则m=﹣1成立；（Ⅱ）由f（x）=a2x﹣a﹣2x，f（1）=，可得a2﹣a﹣2=，解得a=2，则f（x）=22x﹣2﹣2x，设y=g（x）=22x+2﹣2x﹣2k（2x﹣2﹣x）=（2x﹣2﹣x）2﹣2k（2x﹣2﹣x）+2，设t=2x﹣2﹣x，y=t2﹣2kt+2x∈[0，1]，可得t∈[0，]，当k＜0时，y min=2成立；当0≤k≤时，y min=2﹣k2=2，解得k=0成立；当k≥时，ymin=﹣3k+=2，解得k=不成立，舍去．综上所述，实数k的取值范围是（﹣∞，0]．。
2022-2023学年辽宁省重点高中沈阳市郊联体高一年级上册学期期末考试数学试题【含答案】
2022-2023学年辽宁省重点高中沈阳市郊联体高一上学期期末考试数学试题一、单选题1．设集合{}20A x x =-≥，{}2280B x x x =--<，全集U =R ，则U B A ⋃=ð（）A ．()4,+∞B ．(),4-∞C ．[)4,+∞D ．(],4-∞-【答案】B【分析】解不等式可求得集合,A B ，由补集和并集定义可求得结果.【详解】由20x -≥得：2x ≥，则[)2,A =+∞，(),2U A ∴=-∞ð；由2280x x --<得：24-<<x ，则()2,4B =-，(),4U B A ∴=-∞ ð.故选：B.2．若a ，b 均为实数，则“ln ln a b >”是“e e a b >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据函数ln y x =与e x y =解不等式，即可判断.【详解】解：因为ln ln a b >，由函数ln y x =在()0,+∞上单调递增得：0a b >>又e e a b >，由于函数e x y =在R 上单调递增得：a b >由“0a b >>”是“a b >”的充分不必要条件可得“ln ln a b >”是“e e a b >”的充分不必要条件.故选：A.3．从高一某班（男、女生人数相同）抽三名学生参加数学竞赛，记事件A 为“三名学生都是女生”，事件B 为“三名学生都是男生”，事件C 为“三名学生至少有一名是男生”，事件D 为“三名学生不都是女生”，则以下错误的是（）A ．()18P A =B ．()()PC PD ≠C ．事件A 与事件B 互斥D ．事件A 与事件C 对立【答案】B【分析】由独立乘法公式求()P A ，根据事件的描述，结合互斥、对立事件的概念判断B 、C 、D 即可.【详解】由所抽学生为女生的概率均为12，则311()28P A ⎛⎫== ⎪⎝⎭，A 正确；,A B 两事件不可能同时发生，为互斥事件，C 正确；C 事件包含：三名学生有一名男生、三名学生有两名男生、三名学生都是男生，其对立事件为A ，D 正确；D 事件包含：三名学生都是男生、三名学生有一名男生、三名学生有两名男生，与C 事件含义相同，故()()P C P D =，B 错误；故选：B.4．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：137960197925271815952683829436730257，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）A ．14B ．38C ．512D ．58【答案】A【分析】明确随机数代表的含义，根据古典概型的概率公式即可求得答案.【详解】由题意可知经随机模拟产生的12组随机数中，137271,436，这三组表示三次投篮恰有两次命中，故该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为31124P ==，故选：A5．如图，已知函数()13x f x -=，则它的反函数()1y f x -=的大致图像是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】直接利用反函数的性质写出解析式，得()13log 1y f x x -==+，再由解析式选择图像即可.【详解】由题意得，函数()13x f x -=的反函数是()13log 1y f x x -==+，这是一个在()0,∞+上的单调递增函数，且1311log 1033y f -⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，所以只有选项C 的图像符合.故选：C.6．某科研小组研发一种水稻新品种，如果第1代得到1粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代15粒种子，则种子数量首次超过1000万粒的是（）（参考数据：lg 20.3,lg30.48≈≈）A ．第5代种子B ．第6代种子C ．第7代种子D ．第8代种子【答案】C【分析】设第x 代种子的数量为115x -，根据题意列出不等式，对不等式化简代入数值即可得到结果.【详解】设第x 代种子的数量为115x -，由题意得171510x -≥，得715log 101x ≥+．因为7715lg1077log 101111 6.9lg15lg3lg5lg31lg 2+=+=+=+≈++-，故种子数量首次超过1000万粒的是第7代种子．故选：C.7．已知2log 0.50.2a ba ==，则（）A ．a ＞b ＞1B ．b ＞a ＞1C ．b ＞1＞aD ．a ＞1＞b【答案】D【分析】根据0.50>a 得出2log 0a >，从而得出122<<<a ，0.20.2>b 得出1b <可得答案.【详解】因为0a >，所以2log 00.5aa =>，可得1a >，0.50.5<a ，221log log 22<=a ，所以122<<<a ，20.50.50.2>>a ，0.20.2>b ，所以1b <，所以1a b >>.故选：D.8．设()11f x x =--，关于x 的方程()()210f x k f x +⋅+=⎡⎤⎣⎦，给出下列四个命题，其中假命题的个数是（）①存在实数k ，使得方程恰有3个不同的实根；②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根；③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k ，使得方程恰有6个不同的实根.A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】作出函数图象，令210x kx ++=，对根的判别式分类讨论即可得解.【详解】解：()11x f x =-- 可作函数图象如下所示：令210x kx ++=，24k ∴∆=-（1）当240k ∆=-=时，解得2k =或2k =-①当2k =-时，210x kx ++=解得1x =由图可知，存在3个不同的实数使得()1f x =，即方程()()210f x k f x +⋅+=⎡⎤⎣⎦有3个不同的实数根；②当2k =时，210x kx ++=解得=1x -由图可知，不存在实数使得()1f x =-，即方程()()210f x k f x +⋅+=⎡⎤⎣⎦无实数根；（2）当240k ∆=->时，解得2k >或2k <-，①当2k >时，方程210x kx ++=有两不相等的实数根，设为1x ，2x ，则120x x k +=-<，121=x x 1x ∴，2x 均为负数，由函数图象知()0f x ≥，故不存在实数使得()0f x <，即方程()()210f x k f x +⋅+=⎡⎤⎣⎦无实数根；②当2k <-时，方程210x kx ++=有两不相等的实数根，设为1x ，2x ，则120x x k +=->，121=x x 1x ∴，2x 均为正数且121x x =，设21x >则101x <<，由图可知，存在2个不同的实数使得()1f x >，存在4个不同的实数使得()01f x <<，即方程()()210f x k f x +⋅+=⎡⎤⎣⎦有6个不同的实数根；（3）当240k ∆=-<时，方程无解，则方程()()210f x k f x +⋅+=⎡⎤⎣⎦无实数根；综上可得正确的有①④，错误的有②③故选：C【点睛】本题考查了分段函数，以及函数与方程的思想，数形结合的思想，属于难题．二、多选题9．秋季开学前，某学校要求学生提供由当地社区医疗服务站或家长签字认可的返校前一周（7天）的体温测试记录，已知小明在一周内每天自测的体温（单位：C ）依次为36.0,36.2,36.1,36.4,36.3,36.1,36.3，则该组数据的（）A ．极差为0.4CB ．平均数为36.2C C ．中位数为36.1CD ．第75百分位数为36.3C【答案】ABD【分析】根据极差、平均数、中位数和百分位数的定义判断即可.【详解】体温从低到高依次为36.0,36.1,36.1,36.2,36.3,36.3,36.4，极差为36.436.00.4C -= ，故A 正确；平均数为3636.236.336.2C 7+++= ，故B 正确；中位数为36.2C ，故C 错误；因为775% 5.25⨯=，所以体温的第75百分位数为从小到大排列的第6个数，是36.3C ，故D 正确.故选：ABD.10．设a ，b是两个非零向量，则下列描述错误的有（）A ．若a b a b +=- ，则存在实数0λ>，使得a b λ=.B ．若a b ⊥，则a b a b +=- .C ．若a b a b +=+ ，则a ，b反向.D ．若a b ∥，则a ，b一定同向【答案】ACD【分析】根据向量加法的意义判断选项A ，C ；根据平面向量加法的平行四边形法则可判断选项B ；根据平面向量平行的性质可判断选项D.【详解】对于选项A ：当a b a b +=- ，由向量加法的意义知a ，b方向相反且a b ≥ ，则存在实数0λ<，使得a b λ=，故选项A 错误；对于选项B ：当a b ⊥ ，则以a ，b为邻边的平行四边形为矩形，且a b + 和a b - 是这个矩形的两条对角线长，则a b a b +=-，故选项B 正确；对于选项C ：当a b a b +=+ ，由向量加法的意义知a ，b 方向相同，故选项C 错误；对于选项D ：当a b ∥时，则a ，b同向或反向，故选项D 错误；综上所述：选项ACD 错误，故选：ACD.11．下列命题正确的有（）A ．命题“1x ∀>，210x ->”的否定“1x ∀≤，210x ->”B ．函数()212()log 62f x x x =+-单调递增区间是1,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．函数()(),1322,1ax f x x a x x ⎧-≤-⎪=⎨⎪-+>-⎩是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为31,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．函数23()log f x x x=-的零点所在区间为()2,3且函数()f x 只有一个零点【答案】BD【分析】对于A ，由全称命题的否定为特称命题即可；对于B ，先求函数的定义域，再利用换元法结合复合函数单调性进行判断即可；对于C ，由分段函数为增函数，则每一段上都为增函数，再考虑端点处的函数值，列出不等式求解即可；对于D ，先判断函数()f x 的单调性，再利用零点存在性定理判断即可.【详解】对于A ，命题“1x ∀>，210x ->”的否定“1x ∃>，210x -≤”，故A 选项错误；对于B ，由2620x x +->，得322x -<<，令262x t x +-=，则12log y t =，因为262x t x +-=在31,24⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,24⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，又12log y t =在定义域内单调递减，所以()f x 在31,24⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递减，在1,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，故B 选项正确；对于C ，因为函数()(),1322,1ax f x x a x x ⎧-≤-⎪=⎨⎪-+>-⎩是R 上的增函数，所以()()032032121a a aa ⎧⎪>⎪->⎨⎪⎪-⋅-+≥--⎩，解得：312a ≤<，故C 选项错误；对于D ，因为函数3y x=和函数2log y x =-在区间()2,3上单调递减，所以函数23()log f x x x=-在区间()2,3上单调递减，又因为()()()232311log 302f f ⎛⎫⋅=-⋅-< ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在区间()2,3上只有一个零点，故D 选项正确.故选：BD.12．在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各项中，一定符合上述指标的是（）A ．平均数3x ≤B ．标准差2s ≤C ．平均数3x ≤且极差小于或等于2D ．众数等于1且极差小于或等于4【答案】CD【解析】根据题目条件，只需满足连续7天每日新增比例数不超过5即可，仅通过平均数和标准差不能确保每天的新增病例数不超过5，可判断A ，B 错误；再根据平均数及极差综合判断C ，D 中数据的可能取值，分析是否符合条件.【详解】对于A 选项，若平均数3x ≤，不能保证每天新增病例数不超过5人，不符合题意；对于B 选项，标准差反映的是数据的波动大小，例如当每天感染的人数均为10，标准差是0，显然不符合题意；对于C 选项，若极差等于0或1，在3x ≤的条件下，显然符合指标；若极差等于2，假设最大值为6，最小值为4，则3x >，矛盾，故每天新增感染人数不超过5，符合条件，C 正确；对于D 选项，若众数等于1且极差小于或等于4，则最大值不超过5，符合指标.故选：CD.【点睛】本题考查统计的数据特征，解答本题时，一定要注意平均数、标准差等对数据的影响，其中C 、D 选项的判断是难点，可采用假设法判断.三、填空题13．当()0,x ∈+∞时，幂函数()22231mm y m m x--=--为减函数，则m =_________．【答案】2【分析】利用幂函数定义即可得到结果.【详解】 函数为幂函数，则211m m --=，解得1m =-或2m =，又因为函数在(0,)+∞上单调递减，可得2230m m --<，可得2m =，故答案为：214．已知函数()()e e 2,(0)x xf x a bx ab -=-++≠，若()2019f h =-，则()f h -=______．【答案】2023【分析】根据解析式可得()()4f x f x -+=，然后把()2019f h =-代入即可得答案.【详解】()()e e 2,(0)x xf x a bx ab -=-++≠ ，()()e e 2,(0)x x f x a bx ab -∴-=--+≠，()()4f x f x ∴-+=，即()()4()420192023f h f h -=-=--=.故答案为：2023.15．已知ABC 中，14AN NC = ，M 为线段BN 上的一个动点，若AM xAB y AC =+（x 、y 均大于0），则15x y+的最小值______．【答案】36【分析】首先转化向量表示5AM x AB y AN =+，再结合平面向量基本定理的推论得51x y +=，再利用基本不等式求最值.【详解】由条件可知5AC AN =，所以5AM x AB y AN =+ ，点,,M B N 三点共线，所以51x y +=，且0,0x y >>，()1515555552626236y x y x x y x y x y x y x y⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭，当16x y ==时，等号成立.故答案为：3616．已知函数()22()ln f x x e =+（e 为自然常数， 2.718e ≈），2()21g x ax x a =+++，若1x ∀∈R ，总2[0,)x ∃∈+∞，使得()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围为_________．【答案】[0,1]【分析】设函数()f x 、()g x 的值域分别为集合A 、B ，易得,[)2A =+∞，再根据对任意的1R x ∈，总存在实数2[0,)x ∈+∞，使得()()12f x g x =成立，由A B ⊆，结合二次函数的值域求解.【详解】设函数()f x 、()g x 的值域分别为集合A 、B ，当x R ∈时，()[2,)∈+∞f x ，所以,[)2A =+∞，因为对任意的1R x ∈，总存在实数2[0,)x ∈+∞，使得()()12f x g x =成立，所以应有A B ⊆，故当a<0显然不合要求．当0a =时，在[0,)+∞上()21[1,)g x x =+∈+∞符合要求．当0a >时，211()1g x a x a a a ⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭在[0,)+∞上递增，所以()[1,)g x a ∈++∞，故12a +≤，解得1a ≤，综上，[0,1]a ∈故答案为：[0,1]四、解答题17．计算下列各式的值.(1)62211332127(3)233π-⎛⎫⎛⎫+--+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)()7log 2252log 8lg4lg25log 8log 57-+-⋅+.【答案】(1)125(2)0【分析】（1）按照指数运算进行计算即可；（2）按照对数运算进行计算即可；【详解】（1）()622211203233323127(3)23331239914271253π-⎛⎫⎛⎫+--+⨯=+-+⨯=+-+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()7log 22522l 03og 8lg4lg25log 8log 57lg100log 823232-+-⋅+=--+=--+=.18．设:24p x ≤<，q ：实数x 满足()222300x ax a a --<>.(1)若1a =，且,p q 都为真命题，求x 的取值范围；(2)若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【答案】(1){}23x x ≤<；(2)4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【分析】（1）求得q 命题对应的不等式解集，与p 命题对应的不等式取交集即可；（2）求得q 命题对应的不等式解集，根据集合之间的关系，列出不等式，即可求得结果.【详解】（1）当1a =时，可得22230x ax a --<，可化为2230x x --<，解得13x -<<，又由命题p 为真命题，则24x ≤<.所以p ，q 都为真命题时，则x 的取值范围是{}23x x ≤<（2）由22230,(0)x ax a a --<>，解得3a x a -<<，因为:24p x ≤<，且p 是q 的充分不必要条件，即集合{}24x x ≤<是{}3x a x a -<<的真子集，则满足2340a a a -<⎧⎪≥⎨⎪>⎩，解得43a ≥，所以实数a 的取值范围是4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.19．平面内给定三个向量()()()3,2,1,2,4,1a b c ==-= .()1求满足c ma nb =+的实数,m n ；()2设(),d x y = ，满足()()//d c a b -+ .且1d c -= ，求向量d .【答案】()19588m n ==-，()25254,155d ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭ 或5254,155d ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭.【解析】（1）根据c ma nb =+ 即可得出()()4,13,22m n m n =-+，从而得出34221m n m n -=⎧⎨+=⎩，解出m ，n 即可；（2）根据()()//d c a b -+ ，1d c -= ，得到方程组，解得.【详解】解:()1()()()3,2,1,,24,1a b c ==-= 且c ma nb=+ ()()4,13,22m n m n =-+∴34221m n m n -=⎧∴⎨+=⎩9858m n ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=-⎪⎩()2()()4,1,2,4d c x y a b -=--+= 又()()//d c a b -+ ，1d c -= ，()()()()2244210411x y x y ⎧---=⎪∴⎨-+-=⎪⎩，解得5452515x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩或5452515x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以5254,155d ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭ 或5254,155d ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了向量坐标的加法和数乘运算，平行向量的坐标关系，根据向量的坐标求向量长度的方法，考查了计算能力，属于基础题．20．某校高二（5）班在一次数学测验中，全班N 名学生的数学成绩的频率分布直方图如下，已知分数在110~120分的学生数有14人.(1)求总人数N 和分数在120~125的人数n ；(2)利用频率分布直方图，估算该班学生数学成绩的众数和中位数各是多少？(3)现在从分数在115~120分的学生（男女生比例为1：2）中任选2人，求其中至多含有1名男生的概率.【答案】(1)4；(2)众数和中位数分别是107．5，110；(3)14 15﹒【分析】(1)先求出分数在110120-内的学生的频率，由此能求出该班总人数，再求出分数在120125-内的学生的频率，由此能求出分数在120125-内的人数．(2)利用频率分布直方图，能估算该班学生数学成绩的众数和中位数．(3)由题意分数在115120-内有学生6名，其中男生有2名．设女生为1A ，2A ，3A ，4A ，男生为1B ，2B ，从6名学生中选出2名，利用列举法能求出其中至多含有1名男生的概率．【详解】（1）分数在110120-内的学生的频率为1(0.040.03)50.35P =+⨯=，∴该班总人数为14400.35N ==．分数在120125-内的学生的频率为：21(0.010.040.050.040.030.01)50.10P =-+++++⨯=，分数在120125-内的人数为400.104n =⨯=．（2）由频率直方图可知众数是最高的小矩形底边中点的横坐标，即为105110107.52+=．设中位数为a ，0.0150.0450.0550.50⨯+⨯+⨯= ，110a ∴=．∴众数和中位数分别是107.5，110．（3）由题意分数在115120-内有学生40(0.035)6⨯⨯=名，其中男生有2名．设女生为1A ，2A ，3A ，4A ，男生为1B ，2B ，从6名学生中选出2名的基本事件为：1(A ，2)A ，1(A ，3)A ，1(A ，4)A ，1(A ，1)B ，1(A ，2)B ，2(A ，3)A ，2(A ，4)A ，2(A ，1)B ，2(A ，2)B ，3(A ，4)A ，3(A ，1)B ，3(A ，2)B ，3(A ，1)B ，4(A ，1)B ，3(A ，1)B ，4(A ，2)B ，3(A ，1)B ，1(B ，2)B ，共15种，其中至多有1名男生的基本事件共14种，∴其中至多含有1名男生的概率为1415P =．21．某中学为了丰富学生的业余生活，开展了一系列文体活动，其中一项是同学们最感兴趣的3对3篮球对抗赛，现有甲乙两队进行比赛，甲队每场获胜的概率为25.且各场比赛互不影响.()1若采用三局两胜制进行比赛，求甲队获胜的概率；()2若采用五局三胜制进行比赛，求乙队在第四场比赛后即获得胜利的概率.【答案】()144 125()2162625【解析】（1）三局两胜制甲胜，则包括三个基本事件，甲胜前两场比赛，第一（二）场比赛甲输了，其他两场比赛赢了，根据相互独立事件的概率计算公式计算可得.（2）五局三胜制，乙队在第四场比赛后即获得胜利，即第四场比赛乙赢，前三场比赛乙赢了二场比赛，根据相互独立事件的概率公式计算可得.【详解】解:设()1,2,3,4,5i A i =表示甲队在第i 场比赛获胜()1所求概率为:()()()221212312323244 2555125P A A P A A A P A A A ⎛⎫⎛⎫++=+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2所求概率为:()()()312341234123423162355625P A A A A P A A A A P A A A A ⎛⎫++=⨯⨯= ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查相互独立事件的概率计算问题，属于基础题.22．若函数()f x 对于定义域内的某个区间I 内的任意一个x ，满足()()f x f x -=-，则称函数()f x 为I 上的“局部奇函数”；满足()()f x f x -=，则称函数()f x 为I 上的“局部偶函数”.已知函数()22,x x f x k -=+⨯其中k 为常数.（1）若()f x 为[]3,3-上的“局部奇函数”，当[]3,3x ∈-时，求不等式3()2f x >的解集；（2）已知函数()f x 在区间[]1,1-上是“局部奇函数”，在区间[3,1)(1,3]--⋃上是“局部偶函数”，(),[1,1]()(),[3,1)(1,3]f x x F x f x x ∈-⎧=⎨∈--⋃⎩（i ）求函数()F x 的值域；（ii ）对于[3,3]-上的任意实数123,,,x x x 不等式123()()5()F x F x mF x ++>恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}13x x <≤；（2）（i ）33565[,][,]2228-⋃；（ii ）416,365⎛⎫- ⎪⎝⎭.【解析】（1）根据局部奇函数性质得1k =-，进而2x t =，即23102t t -->，由于20x t =>，[3,3]x ∈-，故3()2f x >的解集为{}13x x <≤；（2）（i ）由题得)22,[1,1]()22,[3,1(1,3]x x x x x F x x --⎧-∈-⎪=⎨+∈--⋃⎪⎩，故分别求各段的函数值域，求并集即可得函数()F x 的值域；（ii ）根据题意分当0m >时，当0m =时，当0m <时三种情况讨论求解.【详解】解：（1）()()f x f x -=-对[3,3]x ∈-上成立，即2222,1x x x x k k k --+⨯=--⨯=-，所以()22x x f x -=-，故3()222x x f x -=->等价于132022x x -->，令2x t =，即23102t t -->，解得2t >或21t <-，又20x t =>，22x ∴>，1x ∴>，又[3,3]x ∈-3()2f x ∴>的解集为{}13x x <≤.（2）（i ）)22,[1,1]()22,[3,1(1,3]x x x x x F x x --⎧-∈-⎪=⎨+∈--⋃⎪⎩①当[1,1]x ∈-时，令2x t =，1[,2]2t ∈，由反比例函数与一次函数的单调性得函数1y t t=-在[1,1]-上单调递增，所以33[,]22y ∈-；②当[3,1)(1,3]x ∈--⋃，令2x t =，1y t t =+为对勾函数，11[,)(2,8]82t ∈⋃，所以565[,]28y ∈.()F x ∴的值域为33565[,][,]2228-⋃（ii ）①当0m >时，min max 2()5()F x mF x +>，3652()528m ⨯-+>⋅，16065m ∴<<②当0m =时，min 2()50F x +>，32()5202⨯-+=>成立，0m ∴=③当0m <时，min min 2()5()F x mF x +>，332()5()22m ⨯-+>-，403m ∴-<<综上，m 的取值范围是416,365⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查函数的奇偶性，不等式恒成立问题，考查分类讨论思想，化归转化思想，数学运算求解能力，是中档题.其中本题第二问的第一个问题的解题的关键在于借助对勾函数的单调性求解值域，第二个问题在于分类讨论求解，即分当0m >时，当0m =时，当0m <时三种情况讨论求解.。
辽宁省沈阳市高一(上)期末数学试卷(含解析)
高一（上）期末数学试卷注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
1. 已知集合，集合，则( ) A ={x|log 2x <1}B ={y|y =2−x }A ∪B =A.B.C.D.(0,+∞)[0,2)(0,2)[0,+∞)2. 设函数的定义域为，则函数的定义域为( ) f(x)(−1,3)g(x)=f(1+x)ln (1−x)A.B. C.D.(−2,1)(−2,0)∪(0,1)(0,1)(−∞,0)∪(0,1)3. 在人类中，双眼皮由显性基因控制，单眼皮由隐性基因控制，当一个人的基因型为A a 或时，这个人就是双眼皮，当一个人的基因型为时，这个人就是单眼皮．随机从父AA Aa aa 母的基因中各选出一个或者基因遗传给孩子组合成新的基因．根据以上信息，则“父母A a 均为单眼皮”是“孩子为单眼皮”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 当时，函数( ) x <0y =x +A. 有最大值B. 有最小值C. 有最大值D. 有最小值−4−4445. 设，，，则( ) a =log 32b =log 64c =log 3e (2e)A.B.C.D.c <b <a a <b <c b <a <c a <c <b 6. 某商场推出抽奖活动，在甲抽奖箱中有四张有奖奖票．六张无奖奖票；乙抽奖箱中有三张有奖奖票，七张无奖奖票．每人能在甲乙两箱中各抽一次，以表示在甲抽奖箱中中奖的A 事件，表示在乙抽奖箱中中奖的事件，表示两次抽奖均末中奖的事件．下列结论中正确B C 的是( )A.B. 事件与事件相互独立 A BC. 与和为D. 事件与事件互斥P(AB)P(C)54%A B7. 我国东汉末数学家赵爽在周髀算经中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后《》人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵副弦图”中，已知，，，则( ) ⃗AE =3⃗EF ⃗AB =⃗a ⃗AD =⃗b ⃗AE=A. B. C. D.8. 已知函数，若互不相等，f(x)={|log 2x|,x >0|x +1|,x ≤0f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=f(x 4)(x 1,x 2,x 3,x 4)则的取值范围是注：函数在上单调递减，在上单x 1+x 2+x 3+x 4(ℎ(x)=x +1x (0,1](1,+∞)调递增( ))A. (−12,0)B. [−12,0]C. [0,12)D.(0,12]9. 若某地区规定在一段时间内没有发生大规模群体病毒感染的标准为“连续天，每天新10增疑似病例不超过人”，根据该地区下列过去天新增疑似病例的相关数据，可以认为该710地区没有发生大规模群体感染的是( )A. 平均数为，中位数为 23B. 平均数为，方差大于 10.5C. 平均数为，众数为 22D. 平均数为，方差为2310. 如图，由到的电路中有个元件，分别标为元件，元件，元件，元件，电流能M N 41234通过元件，元件的概率都是，电流能通过元件，元件的概率都是，电流能否通过各12p 340.9元件相互独立．已知元件，元件中至少有一个能通过电流的概率为，则( )120.96A.B. 元件和元件恰有一个能通的概率为 12C. 元件和元件都通的概率是 340.81D. 电流能在与之间通过的概率为M N 0.950411. 在中，是中线，，则下列等式中一定成立的是( ) △ABC AD ⃗AG =2⃗GD A. ⃗AB +⃗AC =2⃗AD B. ⃗AG=13⃗AB +13⃗ACC.S △ABC =3S △GBC D. ⃗AG=13⃗AB +23⃗AC12. 氡又名氭，是一种化学元素，符号是氡元素对应的单质是氡气，为无色、(Radon)Rn.无臭、无味的惰性气体，具有放射性．已知放射性元素氡的半衰期是天，经天衰变后3.82x 变为原来的且，取，则( )a'(a >0a ≠1)0.8347.64=A. 经过天以后，空元素会全部消失 7.64B. 经过天以后，氡元素变为原来的 15.28C.a =0.834D. 经过天以后剩下的氡元素是经过天以后剩下的氡元素的3.827.6413. 袋子中有四个小球，分别写有“中、华、民、族”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”华”两个字都取到才停止．用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率，利用电脑随机产生到之间取整数值的随机数，分别用，，，代表“中、华，030123民、族”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取三次的结果，经随机模拟产生了以下18组机数：232ㅤ321ㅤ230ㅤ023ㅤ123ㅤ021ㅤ132ㅤ220ㅤ001231ㅤ130ㅤ133ㅤ231ㅤ031ㅤ320ㅤ122ㅤ103ㅤ233由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为______．14. 设，且，则______．2a =5b =m 2a +1b =1m =15. 北京冬奥会期间，吉祥物冰墩墩成为“顶流”，吸引了许多人购买，使一“墩”2022难求．甲、乙、丙人为了能购买到冰墩墩，商定人分别去不同的官方特许零售店购买，若33甲、乙人中至少有人购买到冰墩墩的概率为，丙购买到冰墩墩的概率为，则甲、乙、丙211213人中至少有人购买到冰墩墩的概率为______． 3116. 在中，点为线段上任一点不含端点，若，则△ABC F BC ()⃗AF =x ⃗AB +2y ⃗AC(x >0,y >0)的最小值为______．17. 已知，． ⃗a=(1,0)⃗b =(2,1)当为何值时，与共线；(1)k k ⃗a+⃗b ⃗a −2⃗b 若，且，，三点共线，求的值．(2)⃗AB =⃗a +3⃗b ⃗BC =⃗a −m ⃗b A B C m18. 年月日召开的国务院常务会议明确将进一步推动网络提速降费工作落实，推动201844我国数字经济发展和信息消费，今年移动流量资费将再降以上，为响应国家政策，某通30%讯商计划推出两款优惠流量套餐，详情如下： 套餐名称月套餐费元/月套餐流量/M A 30 3000B506000这两款套餐均有以下附加条款：套餐费用月初一次性收取，手机使用流量一旦超出套餐流量，系统就会自动帮用户充值流量，资费元；如果又超出充值流量，系统再次自2000M 20动帮用户充值流量，资费元，以此类推．此外，若当月流量有剩余，系统将自动2000M 20清零，不可次月使用．小张过去个月的手机月使用流量单位：的频数分布表如下： 50(M)月使用流量分组 [2000,3000] (3000,4000] (4000,5000] (5000,6000] (6000,7000](7000,8000]频数451116122根据小张过去个月的手机月使用流量情况，回答以下几个问题：50若小张选择套餐，将以上频率作为概率，求小张在某一个月流量费用超过元的概(1)A 50率．小张拟从或套餐中选定一款，若以月平均费用作为决策依据，他应订购哪一种套餐？(2)A B 说明理由．19. 已知函数，，其中，且，f(x)=log a x g(x)=log a (2x +m−2)x ∈[1,3]a >0a ≠1m ∈R．若且函数的最大值为，求实数的值．(1)m =5F(x)=f(x)+g(x)2a 当时，不等式在有解，求实数的取值范围．(2)0<a <1f(x)<2g(x)x ∈[1,3]m 20. 甲、乙两人进行围棋比赛，比赛要求双方下满五盘棋，已知第一盘棋甲赢的概率为，由于心态不稳，若甲赢了上一盘棋，则下一盘棋甲赢的概率依然为，若甲输了上一盘棋，则下一盘棋甲赢的概率就变为已知比赛没有和棋，且前两盘棋都是甲赢． .求第四盘棋甲赢的概率；(1)求比赛结束时，甲恰好赢三盘棋的概率．(2)21. 已知定义域为的函数是奇函数．R f(x)=n−3x3+3x +1(1)y=f(x)求的解析式；(2)f(log4x⋅log28x)+f(4−2a)>0a若恒成立，求实数的取值范围．y=f(x)[a,b]x0(a<x0<b)22. 定义：如果函数在定义域内给定区间上存在，满足；，则y=f(x)[a,b]x0称函数是上的“平均值函数”，是它的平均值点．(1)y=2x2[−1,1]函数是否是上的“平均值函数”，如果是请求出它的平均值点，如果不是，请说明理由；(2)y=−22x+1+m⋅2x+1+1[−1,1]m现有函数是上的平均值函数，求实数的取值范围．答案和解析1.【答案】D 【解析】解：集合， ∵A ={x|log 2x <1}={x|0<x <2}集合， B ={y|y =2−x }={y|y ≥0} ∴A ∪B =[0,+∞)故选：．D 求出集合，集合，再根据并集的定义，求出．A B A ∪B 本题考查对数不等式的解法，并集及其运算，考查运算求解能力，属于基础题．2.【答案】B 【解析】解：函数的定义域为，则对于函数， ∵f(x)(−1,3)g(x)=f(1+x)ln (1−x)应有，求得或， {−1<1+x <31−x >01−x ≠1−2<x <00<x <1故函数的定义域为， g(x)(−2,0)∪(0,1)故选：．B 由题意，利用函数的定义域的定义和求法，得出结论． 本题主要考查函数的定义域的定义和求法，属于基础题．3.【答案】A 【解析】解：若“父母均为单眼皮”，即父母的基因型都是，所以孩子的基因型也一定为aa aa ，所以一定有“孩子为单眼皮”，若“孩子为单眼皮”，则孩子的基因型，但是父母的基因型可能都是或一个是，一个是aa Aa Aa ，所以父母中有可能有双眼皮，aa 所以“父母均为单眼皮”是“孩子为单眼皮”的充分不必要条件． 故选：．A 根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题．4.【答案】A∵x<0∴−x>0【解析】解：，，∴x=−2，当且仅当时等号成立，A故选：．利用基本不等式可直接得到函数的最值．本题主要考查了利用基本不等式求最值，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：由已知得，a−b==ln6−ln9<0a−b<0a<b A C，显然，故，，排除，；b−c===，1−ln2>0ln2−ln3<0b−c<0b<c显然，，故，得，a<b<c故．B故选：．a b c因为，，都大于零，可先换底，然后利用作差或作商法比较大小．本题考查对数运算性质和换底公式，以及对数的大小比较问题，属于中档题．6.【答案】ABC【解析】解：由题意可知，，，A对于，，故A正确；B A B B对于，在甲抽奖箱抽奖和在乙抽奖箱抽奖互不影响，故事件和事件相互独立，项正确；C B P(AB)对于，由可知，所以，故C正确；D A B对于，事件与事件相互独立而非互斥，故D错误．ABC故选：．P(A)P(B)P(C)P(AB)AC分别求出，，进一步求出与，判断选项，在甲抽奖箱抽奖和在乙抽奖箱A B BD抽奖互不影响，故事件和事件相互独立，判断选项．本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了独立事件和对立事件的定义，属于基础题．7.【答案】A 【解析】解：因为，⃗AE =3⃗EF 所以， ⃗AF =⃗AB +⃗BF =⃗AB +⃗ED =⃗AB +(⃗EA +⃗AD )=⃗AB +(−⃗AE +⃗AD )所以，整理得，．⃗AE =⃗AB +⃗AD −⃗AE ⃗AE =(⃗AB +⃗AD )=⃗a +⃗b 故选：．A 根据平面向量的线性运算法则，即可得解．本题考查平面向量的线性运算，熟练掌握平面向量的加法和数乘的运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．8.【答案】D 【解析】 【分析】本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合以及计算能力，是中档题．画出函数的图象，利用，转化求解f(x)={|log 2x|,x >0|x +1|,x ≤0f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=f(x 4)x 1+x 2+x 3的取值范围． +x 4【解答】解：作出函数的图象，如下图，f(x)={|log 2x|,x >0|x +1|,x ≤0或时，，x =122f(x)=1令，t =f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=f(x 4)设，则有，，且， x 1<x 2<x 3<x 4x 1+x 2=−2x 3⋅x 4=112≤x 3<1故，x 1+x 2+x 3+x 4=−2+x 3+x 4=−2+x 3+1x 3因为函数在上单调递减，在上单调递增， ℎ(x)=x +1x (0,1](1,+∞)故．x 3+1x 3∈(2,52]的取值范围是， x 1+x 2+x 3+x 4(0,12]故选：．D9.【答案】AD 【解析】解：对于，因个数的平均数为，中位数为，将个数从小到大排列，设后面个A 1023104数从小到大依次为，，，，显然有，而，则的最大值a b c d d ≥c ≥b ≥a ≥3a +b +c +d ≤14d 为，符合条件；5A 对于，平均数为，方差大于，可能存在大于的数，如连续天的数据为：，，，，B 10.571000000，，，，，，其平均数为，方差大于，不符合；00001010.5B 对于，平均数为，众数为，可能存在大于的数，如连续天的数据为：，，，，，C 22710000222，，，，，其平均数为，众数为，不符合；222822C 对于，设连续天的数据为，，，因平均数为，方差为，D 10x i i ∈N ∗i ≤1023则有，于是得，而，，，因此，11010i =1(x i −2)2=3(x i −2)2≤30x i ∈N i ∈N ∗i ≤10x i ≤7i ∈N ∗，，符合条件． i ≤10D 故选：．AD 根据给定条件，利用平均数、中位数、方差的意义计算推理判断，；举例说明判断，作A D B C 答．本题考查了求平均数、众数、中位数与方差的问题，是中档题．10.【答案】ACD 【解析】解：对于，由题意，可得，整理可得，则A C 12p(1−p)+p 2=0.96p 2−2p +0.96=0，则，故A 正确； (p−1.2)(p−0.8)=0对于，，故B 错误；B 对于，，故C 正确；C 0.9×0.9=0.81对于，元件，元件中至少有一个能通过电流的概率为，D 34C 12×0.9×(1−0.9)+C 22×0.92=0.99则电流能在与之间通过的概率为，故D 正确．M N 0.96×0.99=0.9504故选：．ACD 根据独立事件的概率乘法公式以及互斥事件的概率的加法公式，可得答案．本题主要考查了独立事件的概率乘法公式以及互斥事件的概率的加法公式，属于基础题．11.【答案】ABC 【解析】解：，在中，是中线，，A 正确，A ∵△ABC AD ∴⃗AB +⃗AC =2⃗AD ∴，在中，是中线，，，B 正确，B ∵△ABC AD ⃗AG =2⃗GD ∴⃗AG =23⃗AD =23×12(⃗AB +⃗AC )=13⃗AB +13⃗AC ∴D 错误，，设的高为，，则的高为， C △GBC ℎ∵⃗AG =2⃗GD △ABC 3ℎ，C 正确，∴S △ABC =12BC ⋅3ℎ=3⋅12BC ⋅ℎ=3S △GBC ∴故选：．ABC 利用平面向量的线性运算，中线的性质判断，利用三角形的面积公式判断．ABD D 本题考查平面向量的线性运算，中线的性质，三角形的面积公式，属于中档题．12.【答案】BC 【解析】解：因为天后，氡元素变为原来的，A 错误；7.64=2×3.82经过天以后剩下的氡元素是原来的，经过天以后剩下的氡元素是原来的，D 错误； 3.827.64要使得氡元素变为原来的，需要经过天，B 正确；=()44×3.82=15.28因为放射性元素氡的半衰期是天，则，3.82f(3.82)=m 所以，a 3.82=因为，0.8347.64=(0.8343.82)2=所以，0.8343.82=所以，C 正确．a =0.834故选：．BC 由已知结合指数的运算性质，结合指数函数的性质可求．本题主要考查了指数运算性质在实际问题中的应用，属于基础题．13.【答案】【解析】解：根据题意，随机数中只有，，，，共种情况，0210011300311035则可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为， 故答案为：，根据题意可得出满足题意的随机数，利用古典概型定义可解．本题考查古典概型定义，属于基础题．14.【答案】20【解析】解：，∵2a =5b =m >0，， ∴a =lgm lg2b =lgm lg5， ∵2a +1b=1， ∴2lg2lgm +lg5lgm=1，∴lgm =lg20则．m =20故答案为：．20把指数式化为对数式，再利用对数运算性质即可得出．本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.【答案】23【解析】解：因为甲乙人中至少有人购买到冰墩墩的概率为．2112所以甲乙人均购买不到冰墩墩的概率．2P 1=1−12=12同理，丙购买不到冰墩墩的概率．P 2=1−13=23所以，甲乙丙人都购买不到冰墩墩的概率．3P 3=P 1⋅P 2=12×23=13于是甲乙丙人中至少有人购买到冰墩墩的概率．31P =1−P 3=23故答案为：．23先算出甲乙人均购买不到冰墩墩的概率，然后算出丙购买不到冰墩墩的概率，进而算出甲乙丙23人都购买不到冰墩墩的概率，最后算出答案．本题主要考查相互独立事件的概率，属于基础题．16.【答案】9【解析】解：因为点为线段上任一点不含端点，F BC ()若，则， ⃗AF =x ⃗AB +2y ⃗AC(x >0,y >0)x +2y =1，当且仅当且，即时取等号．=()(x +2y)=5+=9x =y x +2y =1x =y =故答案为：． 9由已知结合向量共线定理可得，然后结合乘法及基本不等式即可求解．x +2y =11本题主要考查了向量共线定理，基本不等式求解最值，属于中档题．17.【答案】解：，， (1)∵⃗a=(1,0)⃗b =(2,1)，， ∴k ⃗a +⃗b=(k +2,1)⃗a −2⃗b =(−3,−2)又与共线，k ⃗a +⃗b ⃗a −2⃗b ，∴−2(k +2)−1×(−3)=0解得；，， (2)⃗AB =⃗a +3⃗b =(7,3)⃗BC =⃗a −m ⋅⃗b=(1−2m,−m)、、三点共线，，∵A B C ∴−7m−3(1−2m)=0解得．m =−3【解析】由已知求得与的坐标，再由向量共线的坐标运算列式求解；(1)k ⃗a +⃗b ⃗a −2⃗b 由已知求得的坐标，再由两向量共线的坐标运算求解．(2)⃗AB ,⃗BC 本题主要考查了向量共线的性质，考查了方程思想，属于基础题．18.【答案】解：设使用流量，流量费用为，(1)xM y 依题意，当时，；2000≤x ≤3000y =30当时，；3000<x ≤5000y =50所以流量费用超过元概率：； 50P(y >50)=16+12+250=35设表示套餐的月平均消费，设表示套餐的月平均消费，(2)y A A y B B， ∴y A =150(30×4+50×16+70×28+90×2)=61.2， y B =150(50×36+70×14)=55.6，∴y A >y B 故选套餐．B 【解析】设使用流量，流量费用为，所以流量费用超过元概率：(1)xM y 50P(y >50)=； 16+12+250=35分别求出订购套餐和订购套餐的月平均费用，比较大小后得答案．(2)A B 本题考查函数在实际问题中的应用，考查概率统计问题，是中档题．19.【答案】解：当时，，所以(1)m =5g(x)=log a (2x +3)F(x)=f(x)+g(x)=log a x +log a ，，(2x +3)=1o g a (2x 2+3x)x ∈[1,3]当时，在定义城内单调递增，，解得， a >1F(x)F(x )max =F(3)=1o g a 27=2a =33当时，在定义域内单调递减，，解得，不符合0<a <1F(x)F(x )max =F(1)=1o g a 5=2a =5题意，舍去，综上，实数的值为；a 33要使在上有意义，则，解得，(2)g(x)x ∈[1,3]2x +m−2>0m >0由，即 ，因为，所以， f(x)<2g(x)1o g a x <log a (2x +m−2)20<a <1x >(2x +m−2)2即，得，令，，记， x >2x +m−2m <−2x +x +2t =x t ∈[1,3]ℎ(t)=−2t 2+t +2对称轴为，，t =14ℎ(t )max =ℎ(14)=−2×(14)2+14+2=178若不等式在有解，则在有解f(x)<2g(x)x ∈[1,3]m <−2x +x +2x ∈[1,3]即在有解，即．m <ℎ(t )max x ∈[1,3]m <178综上所述，实数的取值薇围为m (0,178).【解析】将代入函数得出解析式，根据复合函数同增异减的性质，分类时论(1)m =5F(x)a >1和即可；由对数函数性质可得，再由对数单调性可符，利用0<a <1(2)m >0m <−2x +x +2换元法结合二次函数的性质求出不等式右边的最大值，即可得到的取值范围．m 本题考查函数性质，属于中档题．20.【答案】解：设第四盘棋甲赢为事件，第四盘棋甲赢分两种情况：(1)A 第三盘棋和第四盘棋都是甲赢，则，①P =×=第三盘棋乙赢，第四盘棋甲赢，则，②P =×=则．P(A)=+=设比赛结束时，甲恰好赢三盘棋为事件，分三种情况：(2)B 若甲赢第三盘，则概率为，①××(1−)=若甲赢第四盘，则概率为，②××(1−)=若甲赢第五盘，则概率为，③(1−)×=则．P(B)=++=【解析】第四盘棋甲赢分两种情况，再分别求出概率即可．(1)若甲恰好赢三盘棋分三种情况，再分别求出概率即可．(2)本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式，属于中档题．21.【答案】解：因为函数是奇函数， (1)f(x)=n−3x 3+3x +1所以，即， f(−x)=−f(x)n−3−x 3+3−x +1=−n−3x 3+3x +1所以，n ⋅3x −13x +1+3=−n−3x3+3x +1所以，n ⋅3x −1=−n +3x 可得，n =1所以函数．f(x)=1−3x3+3x +1由知， (2)(1)f(x)=1−3x3+3x +1=−13⋅3x −13x +1=−13+23(3x +1)易得在上单调递减，f(x)R 由，得，f(lo g 4x ⋅lo g 28x )+f(4−2a)>0f(lo g 4x ⋅lo g 28x )>−f(4−2a)因为函数是奇函数，f(x)所以，f(lo g 4x ⋅lo g 28x )>f(2a−4)所以，lo g 4x ⋅lo g 28x <2a−4整理得，12log 2x ⋅(3−log 2x)<2a−4设，， t =log 2x t ∈R则，12(3t−t 2)<2a−4当时，有最大值，最大值为，t =32y =12(3t−t 2)98所以，2a−4>98解得，a >4116即实数的取值范围是．a (4116,+∞)【解析】由是奇函数可得，从而可求得值，即可求得的解析式；(1)f(x)f(−x)=−f(x)n f(x)由复合函数的单调性判断在上单调递减，结合函数的奇偶性将不等式恒成立问题转化为(2)f(x)R ，令，利用二次函数的性质求得的最大值，即可求得12log 2x ⋅(3−log 2x)<2a−4t =log 2x 12(3t−t 2)的取值范围．a 本题主要考查函数的奇偶性，函数单调性的判断，考查不等式恒成立问题，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．22.【答案】解：若，，因为，令，解得， (1)f(x)=2x 2x ∈[−1,1]=02x 2=0x =0∈(−1,1)故是上的“平均值函数”，且平均值点为；y =2x 2[−1,1]0由题意知，(2)=假设是平均值点，则，整理得，x 0f(x 0)=2⋅22x 0+2−4m ⋅2x 0+1+6m−19=0令，显然该函数是增函数，则要使结论成立，t =2x 0+1∈(1,4)只需在上有解即可，即在上有零点即可， g(t)=2t 2−4mt +6m−19=0(1,4)g(t)(1,4)，，g(t)=2t 2−4mt +6m−19Δ=(−4m )2−8×(6m−19)=16(m−)2+116>0若在上只有一个零点时，只需，解得或；①g(t)(1,4)g(1)g(4)<0m <若在上有两个不同零点时，只需，解集为；②g(t)(1,4)⇒⌀综上可知或，故的取值范围是，．m ()∪(+∞)【解析】直接求出，令，判断该方程在上是否有解即可；(1)k =f(x)(−1,1)由题设，设是平均值点，则，令，则(2)x 02⋅22x 0+2−4m ⋅2x 0+1+6m−19=0t =2x 0+1∈(1,4)只需让在上有解即可，结合二次函数的性质，容易求得结论．2t 2−4mt +6m−19=0(1,4)本题是一个新定义问题，侧重于考查利用函数的单调性、最值等研究函数零点的存在性问题，属于较难的题目．。