4更新过程

定理1.2.5 (基本更新定理 基本更新定理) 定理 基本更新定理
m(t ) 1 lim t = µ t →∞
1 (其中 ∞ = 0 )
引理1.2.6 对于任意的常数h>0,m(t+h)-m(t)是一个关于t的有 引理
界函数，事实上, m(t+h)-m(t) ≤1+m(h).
定理1.2.7(Blackwell定理 设X1是一个连续型随机变量，则 定理) 定理 定理
第四章 更新过程
更新过程定义 若干极限行为
定义
是一列非负的、 设{Xk,k≥1}是一列非负的、独立同分布的随机变量序列，分布函 是一列非负的 独立同分布的随机变量序列， 数为F(·)。 定义部分和 。 数为
n
S0 = 0，Sn = ∑ X k , n = 1,2,...
k =1
与计数过程{N(t),t≥0}，其中 ， 与计数过程 N(t)=max{n:Sn≤t}. 称计数过程{N(t),t≥0}为更新过程。 为更新过程。 称计数过程 为更新过程
P(t)=Pr(时刻 系统处于开状态 时刻t系统处于开状态 时刻 系统处于开状态)
定理1.2.10 若Y1和Z1都是连续型随机变量，E[Z1 +Y1]< ∞,则 定理
lim P(t ) =
t →∞
EZ1 . EY1 + EZ 1
考虑一个更新过程，以Y(t)记从时A(t)记从时刻t之前的最后一次更新时刻到 时刻t之间的时间间隔，即 Y(t)=SN(t)+1-t, A(t)=t-SN(t)， 称Y(t)为时刻t的剩余寿命，A(t)为时刻t的年龄。
(1.1.2)
为更新函数。 令m(t)=EN(t)。称m(t)为更新函数。 。 为更新函数
定理1.1.1 定理
∞ 对于任意的t≥0, m(t ) = ∑ Fn (t ) ,并且 并且m(t)< ∞ 对于任意的 并且 n =1
定理1.1.2 更新函数 更新函数m(t)满足积分方程 定理 满足积分方程
=µ a.s..
lim
t →∞
SN (t )+1 N (t )
由两面夹定理可证得结论。 由两面夹定理可证得结论。
2 2 定理1.2.2 令 σ = E(X1 − µ ) ，我们有 定理
N (t) − t / µ < y = lim Pr t →∞ σ t / µ3
1 2π
µ
定理1.2.9 设X1是一个连续型随机变量，则 定理
Pr (SN (t ) ≤ s ) = [1 − F (t )] + ∫ [1 − F (t − y )dm( y )], t ≥ s ≥ 0.
s 0
交错更新定理
考虑一个具有“开”和“关”两个状态的系统，不妨设在初 始零时刻系统处于开状态，并保持开的持续时间是Z1；之后处于 关状态并保持关的持续时间Y1；之后又处于开的状态，并保持开 的持续时间是Z2；之后处于关状态并保持关的持续时间Y2；如此 反复继续下去。 如果我们假设(Zn，Yn)，n ≥1是独立同分布的随机向量序列， 这样得到的一个随机过程就是一个交错更新过程。 设Y1具有分布函数G，Z1具有分布函数H，Y1+Z1具有分布函 数F。并令
SN(t) ≤ t < SN(t)+1
X1 S0 S1 X2 S2 … SN(t) XN(t)+1 t SN(t)+1
(1.2.4)
定理1.2.1 定理
N (t ) 1 lim t = µ t →∞
S N (t )
a.s..
证明：由(1.2.4)得 由 得
S N (t )+1 t ≤ < N (t ) N (t ) N (t )
lim [m(t + a) − m(t )] =
t →∞
a
µ
.
定理1.2.8(关键更新定理 设X1是一个连续型随机变量，h(·) 关键更新定理) 定理 关键更新定理
是一非负非增函数满足 ∫0 h (t )dt < ∞ ，则
∞
lim ∫
t →∞
t
0
∫ h(t − x)dm( x) =
∞
0
h (t ) dt
个事件发生与第n个事件发生之间的间隔 注：通常将Xn解释为第 通常将 解释为第n-1个事件发生与第 个事件发生之间的间隔 个事件发生与第 事件，Sn就是第n个事件的发生时刻，N(t)是到时刻 为止已发生的事件 事件， 就是第 个事件的发生时刻， 是到时刻t为止已发生的事件 个事件的发生时刻 是到时刻 个数
因为SN(t)/N(t)是前N(t)个到达间隔时间的平均值，更具强大数定律有， N(t) → ∞时， SN(t)/N(t) →µ。又因为N(t)是单调增加趋于正无穷的，所以
又因为
lim N (t ) = µ
t →∞
SN ( t )
a.s..
S N (t )+1 N (t )
类似前面分析有
=
N (t ) + 1 N (t ) + 1 N (t ) S N (t )+1 •
称N(t)是平稳的。如果更新过程N(t)是平稳的，则m(t)=t/µ。
定理1.2.12 更新过程N(t) 是平稳的充分必要条件是µ< ∞ ，并且 定理
初始分布为
x
∫
1 - F(t)
0
µ
dt
U (t ) = F (t ) + ∫ U (t − τ )dF (τ )
0
t
（1.1.3）
并且，对于任意的 有界,则 是唯一解。 并且，对于任意的t<∞,若(1.1.3)有界 则m(t)是唯一解。 若 有界 是唯一解
SN(t)的具体含义：当N(t)=3时， SN(t) = S3表示第三个更新发生的 的具体含义： 时 时刻。同样表示在时刻 或者时刻 之前最后一次发生更新的时刻。 或者时刻t之前最后一次发生更新的时刻 时刻。同样表示在时刻t或者时刻 之前最后一次发生更新的时刻。 因此， 表示时刻t之前最后一次更新发生的时刻 之前最后一次更新发生的时刻， 因此， SN(t)表示时刻 之前最后一次更新发生的时刻， SN(t)+1表示 时刻t之后第一次更新发生的时刻。因此有： 时刻 之后第一次更新发生的时刻。因此有： 之后第一次更新发生的时刻
E ∑ X k =E ∑ X k I { N ≥ k }
k =1 k =1 N ∞ ∞
= ∑ E X k I {N ≥k }
k =1 ∞
[
]
= ∑ EX k × EI { N ≥ k }
k =1
= EX1 ⋅ ∑ Pr (N ≥ n )
k =1
∞
= EX1 × EN
推论1.2.4 推论
ESN(t)+1=µ[m(t)+1]
−1 / 2 S −rµ yσ r t = Pr t > − y 1 + σ r µt t
由中心极限定理， 由中心极限定理，当t → ∞时， σ 时 的正态随机变量。 为1的正态随机变量。又因为 的正态随机变量
S rt − rt µ rt
定理1.2.3 (Wald等式 设{Xn，n ≥1}是一列非负的，独立 等式) 是一列非负的， 定理 等式 是一列非负的
同分布随机变量序列， 是其停时 并且EN< ∞,则 是其停时， 同分布随机变量序列，N是其停时，并且
E ∑ X k =EN × EX 1 .
k =1 N
证明 设IB 表示集合B的示性函数，则
可得结论。 可得结论。
∞
−y
e
− x2 / 2
dx = ∫ e
−∞
y
− x2 / 2
dx
定义1.2.1 定义
的停时。 的停时。
如果对于任意的n=1,2,…,事件 事件{N=n}与 如果对于任意的 事件 与
Xn+1,Xn+2,…独立，则称整随机变量 为随机变量序列 1,X2,… 独立， 为随机变量序列X 独立 则称整随机变量N为随机变量序列
∫
y
−∞
e
x2 − 2
dx
(1.2.5)
证明.设 证明 指出
rt =
t
µ
+ yσ
t
µ3
N (t ) − t / µ Pr < y = Pr (N (t ) < rt ) = Pr( S rt > t ) σ t / µ3 S rt − rt µ t − rt µ = Pr > σ r σ rt t
注 设{Xn,n≥1}是更新过程N(t)的更新间隔时间。对于任意的t ≥0,我
们说N(t)+1是随机变量序列{Xn,n≥1}的停时。事实上， {N(t)+1=n}={N(t)=n-1} ={X1+ …+ Xn-1 ≤t且X1+ …+ Xn >t} 即事件{N(t)+1=n}仅依赖于X1, …, Xn,独立于Xn+1, Xn+2, …,因此 N(t)+1是一个停时。
收敛到一个均值为0方差 收敛到一个均值为 方差
1 + yσ −y µt
我们得到
−1 / 2
→ − y, t → ∞.
N (t) − t / µ < y = limPr σ t / µ 3 t →∞
结合
1 2π
∫
∞
−y
e
− x2 / 2
dx
∫
定理1.2.11设X1是一个连续型随机变量，则 定理
lim Pr (Y (t ) ≤ x ) = lim Pr ( A(t ) ≤ x ) = µ ∫ [1 − F ( y)dy ].