2019届湘赣十四校高三联考第二次考试数学(理)试题(解析版)
B 选项，当
时， 与 不垂直；
C 选项， 或 为真命题说明 和 至少有一个为真命题，“ 且 为真命题” 说明 和 皆 为真命题，∴“ 或 为真命题”是“ 且 为真命题”的必要不充分条件；
D 选项，根据正态密度曲线对称性可知：
.
故选： A 【点睛】 本题考查了命题真假的判断，涉及到全称命题、平面向量垂直、充要条件、正态分布等 知识，属于基础题 .
在解题时， 关键是正确地画出平
面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件 的点的坐标，即可求出答案． 14．已知有 7 把椅子摆成一排， 现有 3 人随机就座， 那么任何两人不相邻的坐法种数为 ________. （请用数字作答） 【答案】 60 【解析】 利用 “插空法 “，先把没有人坐的 4 把椅子排好，形成 5 个间隔，然后插入有人 坐的 3 把椅子即可得到答案． 【详解】
5．已知 A． -56
，则多项式 B． -15
的展开式中 的系数为（ C． 15
） D． 56
【答案】 C
【解析】 先利用定积分计算出 n 的值，并写出展开式的通项，求出相应的参数的值，代
入即可求出所求项的系数．
【详解】
，
所以
，故
，
所以
，即
，所以系数为
故选： C
【点睛】 本题考查利用二项式定理求指定项的系数， 解与应用，属于中等题．
11 ．过抛物线
的焦点 的直线交该抛物线于 ， 两点， 为坐标原点 .若
，
则
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】 C
【解析】 由 标，即可得到
可得 的面积 .
，设直线 AB 为
【详解】
方法一：易知直线 的斜率存在，设为
，
由
得
.
，联立方程解出 A，B 的坐
∴
，又∵
，∴
，∴
或
，
从而
.
方法二：由
∴
或
【点睛】
.
7．如图，网格纸上小正方形的边长为
体的表面积为（
）
1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该几何
A．
B．
C．
D．
【答案】 D
【解析】 由三视图知该几何体是三棱锥，且三棱锥的四个面中有两组全等的三角形，由
此求出三棱锥的表面积．
【详解】
由三视图还原几何体为如图所示的三棱锥
，取 的中点 ，连接 ， ，在
中，
9．已知等比数列
的前 项和
（ 为常数），则数列 的前 项和为 （ ）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A．
B．
C．
D．
【答案】 A
【解析】 由题意得到等比数列 项和公式得到结果 . 【详解】
的通项，数列
也是等比数列，结合等比数列前 n
，当
时，
，所以
，即
.
所以
，前 项和
.
故选： A
【点睛】 本题考查了数列递推关系、 等比数列的通项公式与求和公式， 考查了推理能力与计算能 力，属于中档题．
10 ．已知
，
，若
，则
的最小值为（
）
A． 1
B． 2
C．
D．
【答案】 B
【解析】 设
，所以
新函数，研究单调性与最值即可 . 【详解】
，
，所以
，构建
设
，所以
，
，所以
，
令 所以 在
，则
，
上单调递减，在
上单调递增，
所以
.
故选： B
【点睛】
本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．
.
3．下列说法正确的是（
）
A． “
，
”是一个假命题
B． “若 ，
，则
”是真命题
C． “或 为真命题 ”是“ 且 为真命题 ”的充分不必要条件
D．已知随机变量
，若
，则
【答案】 A
【解析】 利用特值法，向量垂直的定义，充分必要性的概念及正态分布知识判断正误
.
【详解】
A 选项，当
时，
，故命题是假命题， A 正确；
.
2．已知复数 满足 A．第一象限
，则 在复平面内对应的点位于（
B．第四象限
C．第二象限
） D．第三象限
【答案】 B
【解析】 利用复数代数形式的运算法则化简复数 z，根据复数的几何意义得到结果 .
【详解】
因为
，所以 在复平面内对应的点位于第四象限 .
故选： D
【点睛】
本题考查复数代数形式的运算，考查复数的几何意义，属于基础题
A．
B．
C． 【答案】 C 【解析】 分别求出阴影的面积与三角形 【详解】
D． ABC 的面积，作商即可得到结果 .
如图所示，取 的中点 ， 的中点 ，连接 ， ，
设
，在
中，
，
，
，
∴
，
在扇形
中，
，
，
，
∴
，∴
.
故选： C
【点睛】 本题考查几何概型中的面积概型， 考查扇形面积公式， 解题关键合理计算出阴影的面积 .
得 ，从而
，所以
， .
本题考查直线与抛物线的位置关系，考查设而不求法，考查三角形面积的求法，考查计 算能力与转化能力 .
二、填空题 12．若两个单位向量 ， 的夹角为 ，则
_________．
【答案】 【解析】 利用平面向量运算法则及定义即可得到结果 . 【详解】
. 【点睛】
本题考查平面向量的定义，平面向量运算法则，考查计算能力，属于基础题
，
，
.
在
中，
在
中，
，
，
.
，
.
在
中，
，
.
在
中，
，
.
∴三棱锥
的表面积为
.
故选： D
【点睛】 本题考查了几何体三视图的应用问题， 何体是解题的关键．
考查多面体的表面积的计算， 由三视图还原出几
8．如图，在等腰三角形
中，已知
，阴影部分是以 为直径的圆与以
为直径的圆的公共部分， 若在
内部任取一点， 则此点取自阴影部分的概率为 （ ）
4．已知 是等差数列
的前 项和，若
，
，则
（）
A． 40
B． 14
【答案】 A
【解析】 利用等差数列的通项公式可得公差
【详解】
C． 36
D． 80
d，从而得到前 5 项和 .
设等差数列
的公差为 ，
故选： A 【点睛】 本题考查了等差数列的通项公式性质及其前 属于中档题．
. n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，
， .
同时也考查了定积分的计算， 考查公式的理
6．已知焦点在 轴上的双曲线
的离心率为 ，则 的值为（ ）
A． -2
B．
C．
【答案】 A
【解析】 把双曲线方程化为标准形式，由离心率建立关于
【详解】
D． 2 m 的方程，从而得到 m 值 .
双曲线的标准方程为
，
故
，
所以
.
故选： A
【点睛】
本题考查双曲线的标准方程及几何性质，考查离心率的计算，属于基础题
.
13．设实数 ， 满足 【答案】 -2
，则
的最小值是 __________．
【解析】 先画出满足约束条件的平面区域，然后分析 出最小值． 【详解】
的几何意义，进而得
由约束条件作出可行域如图所示，∵
，设 的坐标为
，
∴
，由图可得 的坐标为
的最小值为 -2.
故答案为： -2
时， 取最小值， 此时
，所以
【点睛】 平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，
2019 届湘赣十四校高三联考第二次考试数学（理）试题
一、单选题 1．已知全集 A． 【答案】 D
，集合 B．
， C．
，则 D．
【解析】 解二次不等式化简集合 B，求出其补集，进而可得
.
【详解】
因为
，
（）
所以
，
所以
.
故选： D
【点睛】
本题考查集合交并补运算，考查一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于基础题
2019届湖南省三湘名校高三上学期第二次大联考数学理试题(word版)
三湘名校教育联盟·2019届高三第二次大联考理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已经集合{|40}A x x =-<，{}1x B x e =，则A B ?A. RB. (,4]-?C. (0,4)D. (4,)+? 【答案】C2.复数z =的共轭复数为A. 22i +B. 22i -C. 1i +D. 1i - 【答案】C3.下列有关命题的说法正确的是A. 若""p q Ù为假命题，则,p q 均为假命题B. "1"x =-是2"560"x x --=的必要不充分条件C. 命题"若1,x >则11x< "的逆否命题为真命题 D. 命题0",x R $?使得20010"x x ++<的否定是：",x R $?均有210x x ++?"【答案】C4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，44a =，515S =，则数列11n n a a +禳镲睚镲铪的前2018项和为A.20182019 B. 20162019 C. 20162017 D. 20192018【答案】A5.将甲、乙、丙、丁四位老师分配到三个班级，每个班级至少一位老师，则共有分配方案 A. 81种 B. 256种 C. 24种 D. 36种 【答案】D6.2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x 的素数个数大约可以表示为()ln xx xp »的结论.若根据欧拉得出的结论，估计10000以内的素数的个数为（素数即质数，lg 0.43429e »，计算结果取整数） A. 1089 B. 1086 C. 434 D. 145 【答案】B7.已知{}n a 满足12n n a a n +=+，且132a =，则na n的最小值为 （ ）A. 1B. 525C. 313D. 10 【答案】C8.某几何体的三视图如图所示，其中，正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为A. 4643p-B. 64－4πC. 64－6πD. 64－8π 【答案】B9.已知直线1:1l x =-，2:10l x y -+=，点P 为抛物线24y x =上的任一点，则P 到直线l 1，l 2的距离之和的最小值为【答案】B10.已知x ，y 满足约束条件1010220x y x y x y ì+-?ïï-+?íï--?ïî，若z mx y =+的取值集合为A ，且[1,8]A Í，则实数m 的取值范围是A. 12[,]33 B. [1,8] C. 114[,]93- D. 4[1,]3【答案】D11.已知函数22,0(),0x x x f x e x ì£ï=í>ïî，若方程2[()]f x a =恰有两个不同的实数根1x ，2x 则12x x +的最大值是A. -1B. 3ln 22-C. 2ln 22-D. 22ln 2- 【答案】B12.已知函数()3sin()(0,0)f x x w j w j p =+><<，()03f p-=，对任意的x R Î恒有()()3f x f p £，且在区间(0,)2p上有且只有一个0x 使得0()3f x =，则w 的最大值为 A. 274 B. 8 C. 214 D. 154【答案】C二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知倾斜角为a 的直线的斜率等于双曲线2213y x -=的离心率，则sin()p a -=__________．【答案】514.在区间[0,1]内任取一个实数x ，在区间[0,3]内任取一个实数y ，则点(,)x y 位于曲线x y e =的图像上方的概率为__________． 【答案】43e- 15.如图，在同一平面内，点P 位于两平行直线1l ，2l 同侧，且P 到1l ，2l 的距离分别为1，2.点M ，N 分别在1l ，2l 上，5PM PN +=，则PM PN ×的最大值为__________．【答案】616.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为棱11A D 、11C D 的中点，N 是线段1BC 上的点，且114BN BC =，若P 、M 分别为线段1D B 、EF 上的动点，则PM PN +的最小值为__________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：60分17.在ABC D 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，已知3cos ()cos 0,cos 5a Bb A B +-==.（1）求cos C 的值；（2）若15,a D =为边AB 上的点，且2AD BD =，求CD 的长.【答案】(Ⅰ)cos C =; (Ⅱ)CD = 13． 【解析】试题分析:（1）先根据正弦定理将边角关系化为角的关系，再根据三角形内角关系以及两角和正弦公式化简可得cos 2A =，最后根据两角和余弦公式求cos C 的值；（2）先根据正弦定理求得BD ，再根据余弦定理求CD 的长.试题解析：(Ⅰ)解：由()cos cos 0a B b A +-=得：()sin cos sin cos 0A B B C A +-=即()sin cos cos sin sin sin sin A B A B A C A B A C +?sin sin C A C ?∵A 、B 、C 是△ABC 的内角，∴sin 0C ¹因此，cos A 0A p <<，故4A p = 由3cos 5B =得：4sin 5B ==∴()()cos cos cos coscos sin sin 4410C A B A B B B p p p 轾=-+=-+=-+=臌(Ⅱ)解：由cos 10C =得：sin C =由正弦定理得：1521sin410c p ?，∴2143BD c ==在△BCD 中，22231514215141695CD =+-创? ∴CD = 13．18.如图，菱形ABCD 与正BCE D 所在平面互相垂直，FD ^平面ABCD ，2BC =，FD（1）证明：EF 平面ABCD ； （2）若60CBA??，求直线EF 与平面AFB 所成角的正弦值.【答案】(1)证明过程详见解析（2）28【解析】 【分析】（1）过点E 作EH BC ^于H ，由面面垂直的性质可知EH ^平面ABCD ，又FD ^平面ABCD ，可得//FD EH ，即四边形EHDF 为平行四边形，得到线线平行，从而得到线面平行；（2）分别以HB ，HA ，HE 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系H xyz -，求出平面ABF 的法向量，利用线面角的向量公式进行计算即可得到答案.【详解】解：（1）如图，过点E 作EH BC ^于H ，连接EH ，∴EH =. ∵平面ABCD ^平面BCE ，EH Í平面BCE ，平面ABCD Ç平面BCE 于BC ， ∴ EH ^平面ABCD .又∵FD ^平面ABCD ，FD =//FD EH ， ∴四边形EHDF 为平行四边形. ∴//EF HD ， ∵EF Ë平面ABCD ，HD Í平面ABCD ， ∴//EF 平面ABCD .（2）连接HA .由（1）得H 为BC 中点，又60CBA??，ABC D 为等边三角形，∴HA BC ^.分别以HB ，HA ，HE 为,,x y z 轴建立 如图所示的空间直角坐标系H xyz -.则()1,0,0B，(F -，(E，()A.(BF =-，()BA =-，=(EF -EF ，设平面ABF 的法向量为()2222,,n x y z =.由2200n BF n BA ì?ïíï?î，得22222300x x ì-=ïíï-=î令21y =，得)22n =. 42sin cos ,28EF n a ==， 直线EF 与平面AFB . 【点睛】本题考查线面平行的判定定理和利用空间向量求线面角，利用空间向量解题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19.某种产品的质量以其质量指标值来衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标值为k ，当85k ³时，产品为一等品；当7585k ?时，产品为二等品；当7075k ?时，产品为三等品.现有甲、乙两条生产线，各生产了100件该产品，测量每件产品的质量指标值，得到下面的试验结果.（以下均视频率为概率）甲生产线生产的产品的质量指标值的频数分布表：乙生产线产生的产品的质量指标值的频数分布表：（1）若从乙生产线生产的产品中有放回地随机抽取3件，求至少抽到2件三等品的概率；（2）若该产品的利润率y 与质量指标值k 满足关系：22,855,7585,7075t k y t k t k ì³ïï=?íï?ïî，其中105t <<，从长期来看，哪条生产线生产的产品的平均利润率更高？请说明理由. 【答案】（1）7250（2）甲 【解析】 【分析】（1）先求出随机抽取一次抽中三等品的概率，然后利用互斥事件的概率公式计算所求概率值；（2）分别计算甲、乙生产线生产产品的利润分布列，作差比较大小即可得到结论.【详解】解：（1）由题意知，从乙生产线生产的产品中随机抽取一次抽中三等品的概率为110， 所以23231917101010250P C 骣骣琪琪=创+=琪琪桫桫. （2）甲生产线生产的产品的利润分布列为所以()E y 甲 20.62t t =+，乙生产线生产的产品的利润分布列为所以 ()20.5 2.1E y t t =+乙，因为105t <<，所以()()()20.10.10.110E y E y t t t t -=-=-<乙甲 所以从长期来看，甲生产线生产的产品平均利润率较大．【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法.20.已知椭圆2222:1(1)y x C a b a b+=>?其上焦点到直线20bx ay +-=（1）求椭圆C 的方程；（2）过点1(,0)3P 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点.试探究以线段AB 为直径的圆是否过定点？若过，求出定点坐标，若不过，请说明理由.【答案】（1）2212y x +=（2）详见解析【解析】 【分析】（1）由椭圆离心率结合222a b c =+得到a,b,c 之间的关系，计算焦点到直线的距离得到a,b 的值，从而得到椭圆方程;（2）当直线l 斜率不存在时，得到AB 为直径的圆的方程，当直线l 斜率为0时，得到AB 为直径的圆的方程，从而得到两圆的交点Q ，然后只需证明当直线l 的斜率存在且不为0时AB 以为直径的圆恒过点Q 即可.【详解】解：（1）由题意，2c e a ==，222212a b e a -==，所以a ，c b ＝.3=，1a b >?，所以1b ＝，22a ＝，故椭圆C 的方程为2212y x += （2）当AB x ^轴时，以AB 为直径的圆的方程为2211639x y 骣琪-+=琪桫 当AB y ^轴时，以AB 为直径的圆的方程为221x y ＋＝. 可得两圆交点为()10Q -，．由此可知，若以AB 为直径的圆恒过定点，则该定点必为()10Q -，． 下证()10Q -，符合题意．设直线l 的斜率存在，且不为0，则方程为13y k x 骣琪=-琪桫，代入2212y x +=并整理得()22222122039k x k x k +-+-=， 设()11A x y ，，()22B x y ，， 则()2122232k x x k +＋＝， ()21221892k x x k -+＝， 所以()()121211QA QB x x y y ?++＝ 1212x x x x +＝＋ 21211133k x x 骣骣琪琪++--琪琪桫桫 ()()22212121111139k x x k x x k骣琪=+-+琪桫＋＋＋()()22218192k kk -+＝＋ 2113k 骣琪+-琪桫 ()22232k k + 21109k ++= 故QA QB ^，即()10Q -，在以AB 为直径的圆上． 综上，以AB 为直径的圆恒过定点()10-，．【点睛】本题主要考查椭圆标准方程、直线与椭圆的位置关系以及曲线过定点问题，解决曲线过定点问题一般有两种方法：① 探索曲线过定点时，可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点，或者利用方程恒成立列方程组求出定点坐标.② 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.21.已知函数2(ln )3ln 3()x x f x x++=.（1）求函数()f x 在区间1[,3]()a a a e+?上的最大值； （2）证明：(0,)x "??，22((ln )3ln 3)30x e x x x ++->.【答案】（1）()2max13,1ln 3ln 3,1a e f xa a a a ì＃ïï=í++ï>ïî（2）证明过程详见解析 【解析】 【分析】（1）对函数求导，判断单调性，由单调性即可得到函数的最值; （2）由题意可知只需证明()3x xf x e>，结合（1）的单调性和最值即可得到证明. 【详解】解：（1）()2ln 3ln 3x x f x x ++=，()()2ln ln 1x x f x x¢-+=，()101f x x e¢>?<知：()f x 在10,e骣琪琪桫和()1,+?上递减，在1,1e 骣琪琪桫上递增，当11a e＃时，()()max 13f x f ==； 当1a >时，()()2maxln 3ln 3a a f xf a a++==， 故()2max13,1ln 3ln 3,1a e f x a a a a ì＃ïï=í++ï>ïî（2）由（1）知()f x 在10,e骣琪琪桫和()1,+?上递减，在1,1e 骣琪琪桫上递增，①当()0,1x Î时，()1f x f e e 骣琪?琪桫，而()'313xxx xe e 骣-琪=琪桫，故3x xe在()0,1上递增， ∴33x x e e e <<，∴()3xx f x e>，即()22ln 3ln 330x e x x x ++->； ②当[)1,x ??时，2ln 3ln 30033x x ++?+=，令()23x x g x e =，则()()232xx x g x e=¢-， 故()g x 在[)1,2上递增，()2,+?上递减，∴()()21223g x g e?< ∴223ln 3ln 3x x x x e++>，即()22ln 3ln 330X e x x x ++->，综上，0x ">，()22ln 3ln 330x e x x x ++->.【点睛】本题考查利用导数求函数的最值和证明不等式问题,考查学生的综合分析能力.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为142x ty ì=+ïïíïïî（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标，曲线C 的极坐标方程为2cos r q =. （1）写出曲线C 的直角坐标方程与直线l 的极坐标方程； （2）若直线()6R pq r =?与曲线C 交于点A （不同于原点），与直线l 交于点B ，求AB 的值.【答案】（1）2220x y x +-=cos sin q r q -= （2）.【解析】【分析】(1) 先根据极坐标与直角坐标的对应关系得出极坐标方程C ，将直线参数方程化为普通方程；(2) 将6p q =分别代入直线l 和曲线C 的极坐标方程求出A ，B 到原点的距离，作差得出|AB|．【详解】（1）∵2cos r q =，∴22cos r r q =，∴曲线C 的直角坐标方程为2220x y x +-=．∵直线l的参数方程为1422x t y t ì=+ïïíï=ïî（t 为参数）y -=． ∴直线lcos sin q r q -=（2）将π6q =代入曲线C 的极坐标方程2cos r q =得r = ∴A点的极坐标为π6． 将π6q =代入直线l的极坐标方程得3122r r -=r =． ∴B点的极坐标为π6，∴AB =【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数的几何意义，属于基础题．23.已知函数()211f x x x =+--.（1）求不等式()2f x <的解集；（2）若不等式1()123m f x x x -?-+-有解，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）243x x 禳镲-<<睚镲铪；（2）3m ?或5m ³ 【解析】【分析】(1)去掉绝对值得到分段函数形式，分段求解即可；（2）()123=2123f x x x x x +-+-++-，根据绝对值三角不等式求得最值.【详解】（1）()211f x x x =+-- 12,21=3,122,1x x x x x x ì--<-ïïïï-＃íïï+>ïïî , 1222x x ì<-ï\íï--<î或11232x x ì-＃ïíï<î或122x x ì>ïí+<ïî， 解得：142x -<<-或1223x -?或无解， 综上，不等式()2f x <的解集是243x x 禳镲-<<睚镲铪 （2）()123f x x x +-+- =211+1+23x x x x +---- =2123x x ++- ()21234x x ?--=，当1322x -＃时等号成立， 不等式()112-3m f x x x -?-+有解，()min 1123m f x x x 轾\-?-+-臌14m \-?，14m \-?或14m -?，即3m ?或5m ³，\实数m 的取值范围是3m ?或5m ³【点睛】这个题目考查了绝对值不等式的解法，通常是去掉绝对值分段解决；考查到了绝对值三角不等式求最值的应用，不等式求最值常见的做法有绝对值三角不等式的应用，均值不等式的应用.。
【百强名校】湘赣十四校(湖南省长郡中学)、(江西省南昌市第二中学)2019届高三下学期第二次联考理数答案
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湖南省三湘名校2019届高三第二次大联考数学理试题(解析版)
三湘名校教育联盟·2019届高三第二次大联考理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已经集合{|40}A x x =-<，{}1x B x e =，则A B ?A. RB. (,4]-?C. (0,4)D. (4,)+? 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，先求出集合{|4}A x x =<，{}0B x x =，再根据集合的交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合{|40}{|4}A x x x x =-<=<，{}{}10x B x e x x ==， 则{|04}A B x x ?<<，故选C.【点睛】本题主要考查了集合的交集的运算问题，其中解答中正确求解集合,A B ，再根据集合的交集的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.复数z 的共轭复数为A. 22i +B. 22i -C. 1i +D. 1i - 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．【详解】∵3i z -=＝21i += ()21221(1)(1)2i i i i i --==-+-∴复数z 的共轭复数z ＝1+i ．故选：C ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查共轭复数概念和复数模的求法．3.下列有关命题的说法正确的是A. 若""p q Ù为假命题，则,p q 均为假命题B. "1"x =-是2"560"x x --=的必要不充分条件C. 命题"若1,x >则11x< "的逆否命题为真命题 D. 命题0",x R $?使得20010"x x ++<的否定是：",x R $?均有210x x ++?"【答案】C 【解析】 【分析】对每一个命题逐一判断得解.【详解】A. 若""p q Ù为假命题，则,p q 中至少有一个假命题，所以该选项是错误的；B. "1"x =-是2"560"x x --=的充分不必要条件，因为由2"560"x x --=得到“x=-1或x=6”，所以该选项是错误的；C. 命题"若1,x >则11x< "的逆否命题为真命题，因为原命题是真命题，而原命题的真假性和其逆否命题的真假是一致的，所以该选项是正确的；D. 命题0",x R $?使得20010"x x ++<的否定是：",x R Î均有210x x ++?"，所以该选项是错误的.故答案为：C【点睛】本题主要考查复合命题的真假和充要条件的判断，考查逆否命题及其真假，考查特称命题的否定，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，44a =，515S =，则数列11n n a a +禳镲睚镲铪的前2018项和为A.20182019 B. 20162019 C. 20162017 D. 20192018【答案】A 【解析】 【分析】设等差数列{a n }的公差为d ，由a 4=4，S 5=15，可得a 1=d=1，可得a n ，利用裂项相消法求解数列的和即可． 【详解】设等差数列{a n }的公差为d,55a315?,?a33,? S ==\=又a 4=4，∴d=1， a 4=a 1+3d=4，解得a 1=d=1，∴a n =1+（n-1）=n ． ∴11n n a a +=()11111n n n n =-++，则数列11n n a a +禳镲睚镲铪的前2018项和为 1111112018112232018201920192019-+-+鬃?-=-=故答案为：20182019．【点睛】本题考查等差数列的通项公式与求和公式、主要考查分式“裂项相消求和”方法，考查了推理能力与计算能力．5.将甲、乙、丙、丁四位老师分配到三个班级，每个班级至少一位老师，则共有分配方案 A. 81种 B. 256种 C. 24种 D. 36种 【答案】D 【解析】 【分析】分配的方法分为两步求解，先将四位老师分为三组，再分到三个班，由乘法原理求解即可计算出答案. 【详解】第一步，将4名老师分成三组，不同的分法种数是C 42=6种 第二步，分到三个班的不同分法有A 33=6种 故不同的分配方案为6×6=36种 故选：D ．【点睛】排列组合的应用问题，一般按先选再排，先分组再分配的处理原则．对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏．6.2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x 的素数个数大约可以表示为()ln xx xp »的结论.若根据欧拉得出的结论，估计10000以内的素数的个数为（素数即质数，lg 0.43429e »，计算结果取整数）A. 1089B. 1086C. 434D. 145 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知10000以内的素数的个数为()1000010000ln10000p »，计算即可得到答案.【详解】由题可知小于数字x 的素数个数大约可以表示为()ln x x x p »，则10000以内的素数的个数为()1000010000ln10000p »=100004ln10=10000lg 4e=2500lg 0.4342925001086e 换， 故选：B.【点睛】本题考查对数运算性质的简单应用，考查学生的审题能力. 7.已知{}n a 满足12n n a a n +=+，且132a =，则na n的最小值为 （ ）A. 1B. 525C. 313D. 10 【答案】C 【解析】{}n a 满足12n n a a n +=+，即12n n a a n +-=，∴()()()()()11221121222132n n n n n a a a a a a a a n n ---=-+-++-+=-+-+?()()2111232322n n n n +--=?=-+.则232n a n n =-+，32n 1n a n n=+- 令()()321,1f x x x x=+-…,则()22232321x f x x x -=-=¢,在x éÎêë上单调递减;在)32,x ??上单调递增.()()()32523231551,6555563f f f =+-==+=<. ∴n=6时,f(x)取得最小值,因此n a n 的最小值为313.故选C.8.某几何体的三视图如图所示，其中，正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为A. 4643p-B. 64－4πC. 64－6πD. 64－8π 【答案】B 【解析】 【分析】首先确定空间几何体的结构特征，然后利用体积公式确定其体积即可.【详解】由题意可知，题中的结合体是一个正方体去掉四分之一圆柱所得的组合体， 其中正方体的棱长为4，圆柱的底面半径为2，高为4， 则组合体的体积：()3214246444V p p =-创?-.本题选择B 选项.【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．9.已知直线1:1l x =-，2:10l x y -+=，点P 为抛物线24y x =上的任一点，则P 到直线l 1，l 2的距离之和的最小值为A. 2 C. 1 D. 22【答案】B 【解析】 【分析】1l 是抛物线的准线，利用抛物线的定义可把P 到准线的距离转化为P 到焦点的距离，故可得P 到两条直线的距离之和的最小值就是焦点到直线2l 的距离.【详解】抛物线24y x =，其焦点坐标()1,0F ，准线为1x =-也就是直线1l ，故P 到直线1l 的距离就是P 到F 的距离.如图所示，设P 到直线2l 的距离为d，则d PF +?，当且仅当,,P E F 三点共线时等号成立，故选B.【点睛】抛物线上的动点满足到焦点的距离等于它到准线的距离，我们常常利用这个性质实现两类距离的转换.10.已知x ，y 满足约束条件1010220x y x y x y ì+-?ïï-+?íï--?ïî，若z mx y =+的取值集合为A ，且[1,8]A Í，则实数m 的取值范围是 A. 12[,]33 B. [1,8] C. 114[,]93- D. 4[1,]3【答案】D 【解析】 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，求出最优解，然后推出m 的范围．【详解】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中()1,0A ，()0,1B ，()3,4C ，z mx y =+的最值一定在顶点处取到，所以181348m m ì＃ïí??ïî，解得：41,3m 轾Î犏犏臌 【点睛】简单的线性规划问题常有以下几种类型：（1）平面区域的确定问题；（2）区域面积问题；（3）最值问题；（4）逆向求参数问题．而逆向求参数问题，是线性规划中的难点，其主要是依据目标函数的最值或可行域的情况决定参数取值．由于约束条件中存在参数，所以可行域无法确定，此时一般是依据所提供的可行域的面积或目标函数的最值，来确定含有参数的某不等式所表示的坐标系中的某区域，从而确定参数的值．11.已知函数22,0(),0x x x f x e x ì£ï=í>ïî，若方程2[()]f x a =恰有两个不同的实数根1x ，2x 则12x x +的最大值是A. -1B. 3ln 22-C. 2ln 22-D. 22ln 2- 【答案】B 【解析】 【分析】作出()f x 图像, 由已知得()f x t用t 表示出两个实数根1x ，2x ，然后令12x x +=g(t) ln t =-对函数g(t)求导即可得到所求最大值. 【详解】作出()f x 的函数图像如图所示：由()2f x a 轾=臌可得()f x a 1a >，即1a >.不防设12x x <，则2212x x e a =，(1)t t =>，则12tx =，2ln x t =， ∴12ln 2tx x t +=-()ln 2t g t t =-()42t g t -¢= ∴当18t <<时，()0g t ¢>，当8t >时，()0g t ¢<，∴当8t =时，()g t 取得最大值()8ln823ln22g =-=-.【点睛】本题考查了函数与方程的关系，考查了数形结合的思想方法应用，属于中档题． 12.已知函数()3sin()(0,0)f x x w j w j p =+><<，()03f p-=，对任意的x R Î恒有()()3f x f p £，且在区间(0,)2p上有且只有一个0x 使得0()3f x =，则w 的最大值为A. 274B. 8C. 214D. 154【答案】C 【解析】 【分析】由()033f f x f p p 骣骣琪琪-=?琪琪桫桫和知03p 骣琪-琪桫，为函数对称中心，x 3p =为函数对称轴，从而得到()321424k k w p p j ì+ï=ïí¢ï=+ïî，要使f （x ）在区间0,2p 骣琪琪桫上有且只有一个最大值，且要求ω最大，则0,2p 骣琪琪桫区间包含的周期应该最多，所以22T p£，得到0＜ω≤8，从而可得k≤4，然后分别取k=4，k=3进行检验即可得ω最大值．【详解】由题意知12332k k p w j pp p w j p ì-+=ïïíï+=+ïî，1k ，2k Z Î，则()321424k k w p pj ì+ï=ïí¢ï=+ïî，k ，k Z ¢Î，其中21k k k =-，1212k k k k k =+=+¢，故k 与k ¢同为奇数或同为偶数. ()f x 在0,2p 骣琪琪桫上有且只有一个最大值，且要求w 最大，则区间0,2p 骣琪琪桫包含的周期应该最多，所以22T p£，得08w <?，即()32184k +£，所以4k £当4k =时，274w =，k ¢为偶数，4pj =，此时2729,4444x p p p 骣琪+?琪桫，当1270.544x pp +=或2.5p 或6.5p 时，()03f x =都成立，舍去；当3k =时，244w =，k ¢为奇数，34p j =，此时213327,4448x p p p 骣琪+?琪桫，当且仅当213 2.544x pp +=时，()03f x =成立.【点睛】本题考查y=Asin （ωx+φ）型函数的性质，考查逻辑思维能力与推理运算能力，考查分类讨论的数学思想方法．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知倾斜角为a 的直线的斜率等于双曲线2213y x -=的离心率，则sin()p a -=__________．【解析】 【分析】求出双曲线的离心率e ，由已知得tan e a =，再由诱导公式和同角三角函数关系式即可得到答案.【详解】由2213y x -=知双曲线的离心率e=2, 即tan e a ==2，且倾斜角[)0,a p Î，所以sin a =， 则()sin p a -= 25sin a =.【点睛】本题考查诱导公式和同角三角函数关系式的应用，同时考查了双曲线离心率的求法，属于基础题. 14.在区间[0,1]内任取一个实数x ，在区间[0,3]内任取一个实数y ，则点(,)x y 位于曲线x y e =的图像上方的概率为__________． 【答案】43e- 【解析】 【分析】由已知点(),x y 满足的区域是一个长方形，利用定积分求出长方形内位于y=e x 上方的面积，根据几何概型的概率公式可求出答案.【详解】由题意在区间[0，1]内任取一个实数x ，在区间[0，3]内任取一个实数y ， 则（x ，y ）满足的区域是一个长方形且面积为3，在此范围内位于y=e x上方部分的面积为110033|4x x e dx e e-=-=-ò，则所求概率为43e-． 故答案为：43e-． 【点睛】本题主要考查几何概型的概率计算，根据积分的知识求出对应的面积是解决本题的关键．15.如图，在同一平面内，点P 位于两平行直线1l ，2l 同侧，且P 到1l ，2l 的距离分别为1，2.点M ，N 分别在1l ，2l 上，5PM PN +=，则PM PN ×的最大值为__________．【答案】6 【解析】 【分析】建立适当的坐标系，利用坐标表示向量PM ，PN ，根据5PM PN +=求出PM PN ×的解析式，再利用基本不等式即可求出最大值．【详解】解：过点P 作1l 的垂线为y 轴，以1l 为x 轴，建立平面直角坐标系，1:0l y =，2:1l y =，()0,1P -，设(),0M a ，(),1N b ，所以(),1PM a =，(),2PN b =，(),3PM PN a b +=+， 由5PM PN +=，可知()2925a b++=，∴4a b +=或4a b +=-，()22264a b PM PN ab +?+?=【点睛】本题主要考查平面向量的数量积公式以及向量坐标形式的运算问题，同时考查了利用基本不等式求函数的最值.16.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为棱11A D 、11C D 的中点，N 是线段1BC 上的点，且114BN BC =，若P 、M 分别为线段1D B 、EF 上的动点，则PM PN +的最小值为__________．【解析】 【分析】连接B 1D 1交EF 于G ，通过证明 EF ⊥平面B 1D 1DB 可知EF ⊥PG ，从而PM 的最小值为PG ，连接BD ，设其中点为H ，通过△D 1DB ≌△D 1C 1B ，得到PN=PH ，由GH 交BD 1于K ，则当P 为K 时，PM+PN 取得最小值，所求最小值为GH ，即可得出结论．【详解】解：首先PM 的最小值就是P 到EF 的距离.连接11B D 交EF 于G ，连接PG ，则EF ^平面11B D DB ，故E F P G ^，从而PM 的最小值PG ，可知G 为EF 的中点，1D G 为11D B 的四分之一.其次，连接BD ，在线段BD 上取点H ，使BH BN =，连接PH ，则111D DB D C B D @D ，从而PN PH =，最后，连接GH 交1BD 于K ，则当P 为K 时，PM PN +取得最小值，所求最小值为GH .∵正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，∴GH =.【点睛】本题考查多面体和旋转体表面上的最短距离问题，考查学生分析解决问题的能力.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：60分17.在ABC D 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知3cos (2)cos 0,cos 5a Bbc A B +-==.（1）求cos C 的值；（2）若15,a D =为边AB 上的点，且2AD BD =，求CD 的长.【答案】(Ⅰ)2cos 10C =; (Ⅱ)CD = 13． 【解析】试题分析:（1）先根据正弦定理将边角关系化为角的关系，再根据三角形内角关系以及两角和正弦公式化简可得cos 2A =，最后根据两角和余弦公式求cos C 的值；（2）先根据正弦定理求得BD ，再根据余弦定理求CD 的长. 试题解析：(Ⅰ)解：由()cos 2cos 0a B b c A +-=得：()sin cos sin 2sin cos 0A B B C A +-=即()sin cos cos sin 2cos sin sin 2cos sin A B A B A C A B A C +?sin sin C A C ?∵A 、B 、C 是△ABC 的内角，∴sin 0C ¹因此，2cos A =0A p <<，故4A p =由3cos 5B =得：4sin 5B =∴()()cos cos cos coscos sin sin 4410C A B A B B B p p p 轾=-+=-+=-+=臌(Ⅱ)解：由2cos C 得：2272sin 11010C 骣琪=-=琪桫由正弦定理得：152172sin410c p =?，∴2143BD c ==在△BCD 中，22231514215141695CD =+-创? ∴CD = 13．18.如图，菱形ABCD 与正BCE D 所在平面互相垂直，FD ^平面ABCD ，2BC =，3FD =（1）证明：EF 平面ABCD ； （2）若60CBA??，求直线EF 与平面AFB 所成角的正弦值.【答案】(1)证明过程详见解析（2）4228【解析】 【分析】（1）过点E 作EH BC ^于H ，由面面垂直的性质可知EH ^平面ABCD ，又FD ^平面ABCD ，可得//FD EH ，即四边形EHDF 为平行四边形，得到线线平行，从而得到线面平行；（2）分别以HB ，HA ，HE 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系H xyz -，求出平面ABF 的法向量，利用线面角的向量公式进行计算即可得到答案.【详解】解：（1）如图，过点E 作EH BC ^于H ，连接EH ，∴3EH =. ∵平面ABCD ^平面BCE ，EH Í平面BCE ， 平面ABCD Ç平面BCE 于BC ，∴ EH ^平面ABCD .又∵FD ^平面ABCD，FD =∴//FD EH ， ∴四边形EHDF 为平行四边形. ∴//EF HD ， ∵EF Ë平面ABCD ，HD Í平面ABCD ， ∴//EF 平面ABCD .（2）连接HA .由（1）得H 为BC 中点，又60CBA??，ABC D 为等边三角形，∴HA BC ^.分别以HB ，HA ，HE 为,,x y z 轴建立 如图所示的空间直角坐标系H xyz -.则()1,0,0B ，()3,3F -，()0,03E ，()3,0A.()3BF =-，()3,0BA =-，=(2,3,0)EF - =(-2,3,0)EF ，设平面ABF 的法向量为()2222,,n x y z =.由2200n BF n BA ì?ïíï?î，得22222333030x y z x ì-=ïíï-=î令21y =，得)23,1,2n =. 42sin cos ,28EF n a ==， 直线EF 与平面AFB 42. 【点睛】本题考查线面平行的判定定理和利用空间向量求线面角，利用空间向量解题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19.某种产品的质量以其质量指标值来衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标值为k ，当85k ³时，产品为一等品；当7585k?时，产品为二等品；当7075k ?时，产品为三等品.现有甲、乙两条生产线，各生产了100件该产品，测量每件产品的质量指标值，得到下面的试验结果.（以下均视频率为概率）甲生产线生产的产品的质量指标值的频数分布表：乙生产线产生的产品的质量指标值的频数分布表：（1）若从乙生产线生产的产品中有放回地随机抽取3件，求至少抽到2件三等品的概率；（2）若该产品的利润率y 与质量指标值k 满足关系：22,855,7585,7075t k y t k t k ì³ïï=?íï?ïî，其中105t <<，从长期来看，哪条生产线生产的产品的平均利润率更高？请说明理由. 【答案】（1）7250（2）甲 【解析】 【分析】（1）先求出随机抽取一次抽中三等品的概率，然后利用互斥事件的概率公式计算所求概率值；（2）分别计算甲、乙生产线生产产品的利润分布列，作差比较大小即可得到结论.【详解】解：（1）由题意知，从乙生产线生产的产品中随机抽取一次抽中三等品的概率为110，所以23231917101010250P C 骣骣琪琪=创+=琪琪桫桫. （2）甲生产线生产的产品的利润分布列为所以()E y 甲 20.62t t =+，乙生产线生产的产品的利润分布列为所以 ()20.5 2.1E y t t =+乙， 因为105t <<，所以()()()20.10.10.110E y E y t t t t -=-=-<乙甲 所以从长期来看，甲生产线生产的产品平均利润率较大．【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法.20.已知椭圆2222:1(1)y x C a b a b+=>?的离心率为22，其上焦点到直线220bx ay +-=的距离为3. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点1(,0)3P 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点.试探究以线段AB 为直径的圆是否过定点？若过，求出定点坐标，若不过，请说明理由.【答案】（1）2212y x +=（2）详见解析【解析】 【分析】（1）由椭圆离心率结合222a b c =+得到a,b,c 之间的关系，计算焦点到直线的距离得到a,b 的值，从而得到椭圆方程;（2）当直线l 斜率不存在时，得到AB 为直径的圆的方程，当直线l 斜率为0时，得到AB 为直径的圆的方程，从而得到两圆的交点Q ，然后只需证明当直线l 的斜率存在且不为0时AB 以为直径的圆恒过点Q 即可.【详解】解：（1） 由题意，22c e a ==，222212a b e a -==，所以2a b =，c b ＝. 23=，1a b >?，所以1b ＝，22a ＝，故椭圆C 的方程为2212y x += （2）当AB x ^轴时，以AB 为直径的圆的方程为2211639x y 骣琪-+=琪桫 当AB y ^轴时，以AB 为直径的圆的方程为221x y ＋＝.可得两圆交点为()10Q -，．由此可知，若以AB 为直径的圆恒过定点，则该定点必为()10Q -，． 下证()10Q -，符合题意．设直线l 的斜率存在，且不为0，则方程为13y k x 骣琪=-琪桫，代入2212y x += 并整理得()22222122039k x k x k +-+-=， 设()11A x y ，，()22B x y ，， 则()2122232k x x k +＋＝， ()21221892k x x k -+＝， 所以()()121211QA QB x x y y ?++＝ 1212x x x x +＝＋ 21211133k x x 骣骣琪琪++--琪琪桫桫 ()()22212121111139k x x k x x k 骣琪=+-+琪桫＋＋＋()()22218192k kk -+＝＋ 2113k 骣琪+-琪桫 ()22232k k + 21109k ++= 故QA QB ^，即()10Q -，在以AB 为直径的圆上． 综上，以AB 为直径的圆恒过定点()10-，．【点睛】本题主要考查椭圆标准方程、直线与椭圆的位置关系以及曲线过定点问题，解决曲线过定点问题一般有两种方法：① 探索曲线过定点时，可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点，或者利用方程恒成立列方程组求出定点坐标.② 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.21.已知函数2(ln )3ln 3()x x f x x++=.（1）求函数()f x 在区间1[,3]()a a a e+?上的最大值； （2）证明：(0,)x "??，22((ln )3ln 3)30x e x x x ++->.【答案】（1）()2max13,1ln 3ln 3,1a e f xa a a a ì＃ïï=í++ï>ïî（2）证明过程详见解析 【解析】【分析】（1）对函数求导，判断单调性，由单调性即可得到函数的最值; （2）由题意可知只需证明()3x xf x e>，结合（1）的单调性和最值即可得到证明. 【详解】解：（1）()2ln 3ln 3x x f x x ++=，()()2ln ln 1x x f x x ¢-+=， ()101f x x e¢>?<知：()f x 在10,e骣琪琪桫和()1,+?上递减，在1,1e 骣琪琪桫上递增，当11a e＃时，()()max 13f x f ==； 当1a >时，()()2maxln 3ln 3a a f xf a a++==， 故()2max13,1ln 3ln 3,1a e f x a a a a ì＃ïï=í++ï>ïî（2）由（1）知()f x 在10,e 骣琪琪桫和()1,+?上递减，在1,1e 骣琪琪桫上递增，①当()0,1x Î时，()1f x f e e 骣琪?琪桫，而()'313xxx xe e 骣-琪=琪桫，故3x xe在()0,1上递增， ∴33x x e e e <<，∴()3xx f x e>，即()22ln 3ln 330x e x x x ++->； ②当[)1,x ??时，2ln 3ln 30033x x ++?+=，令()23x x g x e =，则()()232xx x g x e=¢-， 故()g x 在[)1,2上递增，()2,+?上递减，∴()()21223g x g e?< ∴223ln 3ln 3x x x x e++>，即()22ln 3ln 330X e x x x ++->，综上，0x ">，()22ln 3ln 330x e x x x ++->.【点睛】本题考查利用导数求函数的最值和证明不等式问题,考查学生的综合分析能力.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为14232x ty ì=+ïïíï=ïî（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标，曲线C 的极坐标方程为2cos r q =. （1）写出曲线C 的直角坐标方程与直线l 的极坐标方程； （2）若直线()6R pq r =?与曲线C 交于点A （不同于原点），与直线l 交于点B ，求AB 的值. 【答案】（1）2220x y x +-=3cos sin 3r q r q -= （2）33. 【解析】 【分析】(1) 先根据极坐标与直角坐标的对应关系得出极坐标方程C ，将直线参数方程化为普通方程；(2) 将6pq =分别代入直线l 和曲线C 的极坐标方程求出A ，B 到原点的距离，作差得出|AB|． 【详解】（1）∵2cos r q =，∴22cos rr q =，∴曲线C 的直角坐标方程为2220x y x +-=．∵直线l 的参数方程为1423x ty ì=+ïïíïïî（t 为参数）33x y -=．∴直线l 3cos sin 43r q r q -= （2）将π6q =代入曲线C 的极坐标方程2cos r q =得3r = ∴A 点的极坐标为π3,6骣琪琪桫． 将π6q =代入直线l 的极坐标方程得314322r r -=3r = ∴B 点的极坐标为π3,6，∴AB =【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数的几何意义，属于基础题． 23.已知函数()211f x x x =+--.（1）求不等式()2f x <的解集； （2）若不等式1()123m f x x x -?-+-有解，求实数m 的取值范围.【答案】（1）243x x 禳镲-<<睚镲铪；（2）3m ?或5m ³ 【解析】 【分析】(1)去掉绝对值得到分段函数形式，分段求解即可；（2）()123=2123f x x x x x +-+-++-，根据绝对值三角不等式求得最值.【详解】（1）()211f x x x =+-- 12,21=3,122,1x x x x x x ì--<-ïïïï-＃íïï+>ïïî,1222x x ì<-ï\íï--<î或11232x x ì-＃ïíï<î或122x x ì>ïí+<ïî，解得：142x -<<-或1223x -?或无解， 综上，不等式()2f x <的解集是243x x 禳镲-<<睚镲铪（2）()123f x x x +-+- =211+1+23x x x x +---- =2123x x ++-()21234x x ?--=，当1322x -＃时等号成立， 不等式()112-3m f xx x -?-+有解，()min1123m f x x x 轾\-?-+-臌14m \-?，14m \-?或14m -?，即3m ?或5m ³，\实数m 的取值范围是3m ?或5m ³【点睛】这个题目考查了绝对值不等式的解法，通常是去掉绝对值分段解决；考查到了绝对值三角不等式求最值的应用，不等式求最值常见的做法有绝对值三角不等式的应用，均值不等式的应用.。
2019届湘赣十四校高三联考第二次考试数学(理)试题(解析版)
2019届湘赣十四校高三联考第二次考试数学（理）试题一、单选题1．已知全集，集合，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解二次不等式化简集合B，求出其补集，进而可得.【详解】因为，所以，所以.故选：D【点睛】本题考查集合交并补运算，考查一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于基础题.2．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第四象限C．第二象限D．第三象限【答案】B【解析】利用复数代数形式的运算法则化简复数z，根据复数的几何意义得到结果. 【详解】因为，所以在复平面内对应的点位于第四象限.故选：D【点睛】本题考查复数代数形式的运算，考查复数的几何意义，属于基础题.3．下列说法正确的是（）A．“，”是一个假命题B．“若，，则”是真命题C．“或为真命题”是“且为真命题”的充分不必要条件【答案】A【解析】利用特值法，向量垂直的定义，充分必要性的概念及正态分布知识判断正误. 【详解】A选项，当时，，故命题是假命题，A正确；B选项，当时，与不垂直；C选项，或为真命题说明和至少有一个为真命题，“且为真命题” 说明和皆为真命题，∴“或为真命题”是“且为真命题”的必要不充分条件；D选项，根据正态密度曲线对称性可知：.故选：A【点睛】本题考查了命题真假的判断，涉及到全称命题、平面向量垂直、充要条件、正态分布等知识，属于基础题.4．已知是等差数列的前项和，若，，则（）A．40 B．14 C．36 D．80【答案】A【解析】利用等差数列的通项公式可得公差d，从而得到前5项和.【详解】设等差数列的公差为，.故选：A【点睛】本题考查了等差数列的通项公式性质及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．已知，则多项式的展开式中的系数为（）A．-56 B．-15 C．15 D．56【答案】C【解析】先利用定积分计算出n的值，并写出展开式的通项，求出相应的参数的值，代入即可求出所求项的系数．，所以，故，，所以，即，所以系数为.故选：C【点睛】本题考查利用二项式定理求指定项的系数，同时也考查了定积分的计算，考查公式的理解与应用，属于中等题．6．已知焦点在轴上的双曲线的离心率为，则的值为（）A．-2 B．C．D．2【答案】A【解析】把双曲线方程化为标准形式，由离心率建立关于m的方程，从而得到m值. 【详解】双曲线的标准方程为，故，所以.故选：A【点睛】本题考查双曲线的标准方程及几何性质，考查离心率的计算，属于基础题.7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．【解析】由三视图知该几何体是三棱锥，且三棱锥的四个面中有两组全等的三角形，由此求出三棱锥的表面积．【详解】由三视图还原几何体为如图所示的三棱锥，取的中点，连接，，在中，，，.在中，，，.在中，，.在中，，.在中，，.∴三棱锥的表面积为.故选：D【点睛】本题考查了几何体三视图的应用问题，考查多面体的表面积的计算，由三视图还原出几何体是解题的关键．8．如图，在等腰三角形中，已知，阴影部分是以为直径的圆与以为直径的圆的公共部分，若在内部任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】分别求出阴影的面积与三角形ABC的面积，作商即可得到结果.如图所示，取的中点，的中点，连接，，设，在中，，，，∴，在扇形中，，，，∴，∴.故选：C【点睛】本题考查几何概型中的面积概型，考查扇形面积公式，解题关键合理计算出阴影的面积. 9．已知等比数列的前项和（为常数），则数列的前项和为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得到等比数列的通项，数列也是等比数列，结合等比数列前n 项和公式得到结果.【详解】，当时，，所以，即.所以，前项和.故选：A【点睛】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．A．1 B．2 C．D．【答案】B【解析】设，所以，，所以，构建新函数，研究单调性与最值即可.【详解】设，所以，，所以，令，则，所以在上单调递减，在上单调递增，所以.故选：B【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．11．过抛物线的焦点的直线交该抛物线于，两点，为坐标原点.若，则的面积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由可得，设直线AB为，联立方程解出A，B的坐标，即可得到的面积.【详解】方法一：易知直线的斜率存在，设为，由得.∴，又∵，∴，∴或，从而.方法二：由得，所以，∴或，从而.本题考查直线与抛物线的位置关系，考查设而不求法，考查三角形面积的求法，考查计算能力与转化能力.二、填空题12．若两个单位向量，的夹角为，则_________．【答案】【解析】利用平面向量运算法则及定义即可得到结果.【详解】.【点睛】本题考查平面向量的定义，平面向量运算法则，考查计算能力，属于基础题.13．设实数，满足，则的最小值是__________．【答案】-2【解析】先画出满足约束条件的平面区域，然后分析的几何意义，进而得出最小值．【详解】由约束条件作出可行域如图所示，∵，设的坐标为，∴，由图可得的坐标为时，取最小值，此时，所以的最小值为-2.故答案为：-2【点睛】面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．14．已知有7把椅子摆成一排，现有3人随机就座，那么任何两人不相邻的坐法种数为________.（请用数字作答）【答案】60【解析】利用“插空法“，先把没有人坐的4把椅子排好，形成5个间隔，然后插入有人坐的3把椅子即可得到答案．【详解】第一步先把没有人坐的4把椅子排好，再将有人坐的3把椅子插空，共种，即60种坐法.故答案为：60【点睛】本题考查排列知识的运用，考查乘法原理，先排空座位，再插入是关键．15．已知函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，若为的一条对称轴，则__________．【答案】【解析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和平移变换求出结果．【详解】设，则，，，则，，∴，即，∴，，又是的一条对称轴，∴，即.故答案为：【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数图象的平移变换问题的应用，正弦型函数的对称性．三、解答题16．已知正方体中，，为的中点，为正方形内的一个动点（含边界），且，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设的中点为，则是以为圆心，以1为半径的圆面（位于正方形内），建立平面直角坐标系，把问题转化为，结合圆的几何性质得到结果.【详解】设的中点为，连接、，则在中，，，∴. ∴是以为圆心，以1为半径的圆面（位于正方形内）.以为原点建系如图所示，则，，，设的坐标为，则，.设点的坐标为，则.故选：B【点睛】本题考查平面向量模长的最值问题，考查空间问题平面化的思想，考查利用代数方法处理平面问题的策略，属于中档题.17．在三角形中，已知内角，，所对的边分别为，，，，，（1）求边的长；（2）若为直线上的一点，且，求.【答案】（1）（2）【解析】（1）由，可得，又，从而可得，即，同时可知，故可得边的长；（2）由，分两类情况，结合平面向量数量积的运算即可得到结果.【详解】（1）方法一：∵，，∴①.又②，所以①与②平方相加得，即，∴或.又，∴为锐角，∴，∴，.∴，∴，所以为等腰直角三角形，∴.方法二：∵，∴为锐角，∴，∵，∴.∴，（也可以直接由得，即）.由正弦定理与余弦定理得：，又∵，，∴，即.（2）解法一：（i）当时，，∴；（ii）当时，，∴.解法二：（i）当时，在中，，，，（ii）当时，在中，，，，∴.【点睛】本题主要考查了正余弦定理，考查了三角恒等变换、平面向量的混合运算，考查计算能力与转化能力，属于中档题.18．在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，.（1）若，求证：平面；（2）若平面平面，求二面角的余弦值.【答案】（1）见证明；（2）【解析】(1)要证平面，即证，；(2)以为原点，为轴，为轴，为轴建系如图所示，求出两个半平面的法向量，代入公式即可得到结果.【详解】（1）在中，∵，∴，∴，∴在中，，，即，∴.又∵，，，∴，∴. （也可以在中用余弦定理先求出，再用勾股定理说明）∴，又，∴平面.（2）在平面内，过作的垂线，∵平面平面，平面平面，，∴平面，∴，，∴，，两两垂直，以为原点，为轴，为轴，为轴建系如图所示，则、、、，设平面的法向量，则，取.设平面的法向量为，则，取.∴，又由图可得二面角为锐角，∴二面角的余弦值为.【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19．我国2019年新年贺岁大片《流浪地球》自上映以来引发了社会的广泛关注，受到了观众的普遍好评.假设男性观众认为《流浪地球》好看的概率为，女性观众认为《流浪地球》好看的概率为.某机构就《流浪地球》是否好看的问题随机采访了4名观众（其中2男2女）.（1）求这4名观众中女性认为好看的人数比男性认为好看的人数多的概率；（2）设表示这4名观众中认为《流浪地球》好看的人数，求的分布列与数学期望.【答案】（1）（2）见解析【解析】设表示2名女性观众中认为好看的人数，表示2名男性观众中认为好看的人数，则，.(1)设事件表示“这4名观众中女性认为好看的人数比男性认为好看的人数多”，则,从而可得结果；(2)的可能取值为0，1，2，3，4，求出相应的概率值，即可得到分布列与期望.【详解】设表示2名女性观众中认为好看的人数，表示2名男性观众中认为好看的人数，则，.（1）设事件表示“这4名观众中女性认为好看的人数比男性认为好看的人数多”，则,.（2）的可能取值为0，1，2，3，4，，，= ，,，,，，∴的分布列为∴.【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是:“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X～B(n，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.20．已知椭圆：的离心率为，左焦点为，点是椭圆上位于轴上方的一个动点，当直线的斜率为1时，.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆的另外一个交点为，点关于轴的对称点为，求面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】(1)由题意可得，，从而得到椭圆的方程；(2)设直线的方程为联立方程利用韦达定理表示面积，结合均值不等式即可得到最值.【详解】（1）方法一：∵，∴，又，∴.∴当直线的斜率为1时，直线通过椭圆的上顶点，∴.又，，∴，椭圆的方程为.方法二：设椭圆的右焦点为，在中，，，，∴，即. ①又∵，∴. ②联立①②有，，又，∴.∴椭圆的方程为.方法三：∵，∴，又，∴.∴椭圆的方程可化为，即. ①又直线的方程为. ②联立①②有，即，∴或.直线的斜率为1且在轴上方，∴，∴的坐标为.∴，∴，又，∴.∴椭圆的方程为.（2）∵在轴上方，∴直线的斜率不为0，设直线的方程为. ∵，，三点能构成三角形，∴直线不垂直于轴，∴，设的坐标为，的坐标为，则的坐标为.联立，有，即，∴，.方法一：，当且仅当即时取等号. ∴面积的最大值为.方法二：直线的方程为，令，则，∴直线过定点，设定点为，则，当且仅当即时取等号.∴面积的最大值为.【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．21．已知函数.（1）若恒成立，求在处的切线方程；（2）若有且只有两个整数解，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】(1)由恒成立可知即，即可得到在处的切线方程；(2)可化简为.对a分类讨论，当时，显然不适合，当时，原不等式可化为，数形结合分析可得结果.【详解】（1）∵，∴.∵恒成立，∴，∴.当时，，∴在上单调递减，在上单调递增，∴恒成立，∴符合题意.∴，，故，，∴在处的切线方程为，即.（2）∵，化简即.（i）当时，时，，∴恒成立，此时有无数个整数解，不合题意；（ii）当时，原不等式可化为，令.∴，令，∴，∴在上单调递增. 又，，∴存在唯一使得.∴在上单调递减，在上单调递增，且.又，，，，∴当原不等式有且只有两个整数解时，，即.【点睛】本题考查了导数的几何意义，方程的根与函数零点的关系，导数与函数的单调性、极值、最值的综合应用，考查了转化思想、分类讨论思想以及分析、解决问题的能力．22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于，两点，且，求的普通方程.【答案】（1）（2）【解析】(1)利用，把曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程；(2)联立的参数方程与的直角坐标方程得：.借助韦达定理可得的普通方程.【详解】（1）由，得，的直角坐标方程为.（2）联立的参数方程与的直角坐标方程得：.设，两点对应的参数分别为，，∴，∴.∴，∴直线的普通方程为.【点睛】利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为，则以下结论在解题中经常用到：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ．23．选修4-5：不等式选讲已知.（1）若，求的取值范围；（2）若的图象与围成的图形的面积大于1，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】(1)依题意，分类讨论解不等式即可；(2)易知，的图象与围成的图形是三角形，，从而得到结果.【详解】（1）依题意.（i）当时，，∴，又，∴，（ii）当时，，∴，又，∴.（iii）当时，，∴，又，∴.综上所述，的取值范围是.（2）易知，的图象与围成的图形是三角形，设面积为.令，得，，则.∴，又，∴的取值范围是.【点睛】本题考查零点分段法解不等式以及三角形的面积公式，考查计算能力与转化能力，属于中档题．。
最新湖南省十四校2019届高考第二次联考数学(理)试题含答案
湖南省十四校2019届高考第二次联考数学（理）试题含答案2019届高三·十四校联考 第二次考试数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|2}A x x =≥，{|12}B x =≤，则AB =（ ）A ．(4,)-+∞B ．[4,)-+∞C ．[2,1]--D ．[4,2]--2.复数3iz i =+（i 为虚数单位）的共轭复数为（ ） A ．131010i + B ．131010i - C ．931010i + D ．931010i - 3.下列有关命题的说法中错误的是（ ）A ．设,a b R ∈，则“a b >”是“a a b b >”的充要条件B ．若p q ∨为真命题，则p ，q 中至少有一个为真命题C ．命题：“若()y f x =是幂函数，则()y f x =的图象不经过第四象限”的否命题是假命题D ．命题“*n N ∀∈，*()f n N ∈且()f n n ≤”的否定形式是“*0n N ∃∈，*0()f n N ∉且00()f n n >”4.已知不等式201x ax +<+的解集为(2,1)--，则二项式621ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的常数项是（ ） A ．15- B ．15 C ．5- D ．55.若函数())f x x πω=-5sin 2x πω⎛⎫++⎪⎝⎭，且()2f α=，()0f β=，αβ-的最小值是2π，则()f x 的单调递增区间是（ ）A ．22,233k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈ B ．52,266k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈ C ．5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈ D ．,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈ 6.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积（单位：2cm ）是（ ）A ．40+．40+C ．36+．36+7.甲、乙、丙、丁、戊五位同学相约去学校图书室借A 、B 、C 、D 四类课外书（每类课外书均有若干本），已知每人均只借阅一本，每类课外书均有人借阅，且甲只借阅A 类课外书，则不同的借阅方案种类为（ ） A ．48 B ．54 C ．60 D ．728.如图所示，圆柱形玻璃杯中的水液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为（ ）A ．12 B 9.一个算法的程序框图如下，则其输出结果是（ ）A 1B ．12+ C ．2D ．010.已知点(4,0)A ，(0,4)B ，点(,)P x y 的坐标x ，y 满足0034120x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则A P B P ⋅的最小值为（ ） A ．19625-B ．0C ．254D ．8- 11.过圆P ：221(1)4x y ++=的圆心P 的直线与抛物线C ：22y x =相交于A ，B 两点，且2PB PA =，则点A 到圆P 上任意一点的距离的最大值为（ ） A．136 C ．73 D ．7212.设函数()f x 是定义在(,0)-∞上的可导函数，其导函数为'()f x ，且有22()'()f x xf x x +>，则不等式2(2018)(2018)x f x ++4(2)0f -->的解集为（ ）A ．(2020,0)-B ．(,2020)-∞-C ．(2016,0)-D ．(,2016)-∞-第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题后后的横线上. 13.已知向量a ，b 满足5a =，6a b -=，4a b +=，则向量b 在向量a 上的投影为 ． 14.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且3log (1)1n S n +=+，则数列{}n a 的通项公式为 ．15.三棱锥P ABC -的底面ABC 是等腰三角形，120C ∠=，侧面PAB 是等边三角形且与底面ABC 垂直，2AC =，则该三棱锥的外接球表面积为 ．16.已知()f x 是以2e 为周期的R 上的奇函数，当(0,)x e ∈，()ln f x x =，若在区间[,3]e e -，关于x 的方程()f x kx =恰好有4个不同的解，则k 的取值范围是 ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知锐角ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，且a =sin sin sin B A b cC a b--=+.（1）求角A 的大小； （2）求b c +的取值范围.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，已知2PA AC ==，60PAD DAC ∠=∠=，CE AD ⊥于E .（1）求证：AD PC ⊥；（2）若平面PAD ⊥平面ABCD ，且3AD =，求二面角C PD A --的余弦值.19.随着电子产品的不断更新完善，更多的电子产品逐步走入大家的世界，给大家带来了丰富多彩的生活，但也带来了一些负面的影响，某公司随即抽取1000人对某电子产品是否对日常生活有益进行了问卷调查，并对参与调查的1000人中的年龄层次以及意见进行了分类，得到的数据如下表所示：（1）根据表中的数据，能否在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为电子产品的态度与年龄有关系？ （2）为了答谢参与问卷调查的人员，该公司对参与本次问卷调查的人员进行抽奖活动，奖金额以及发放的概率如下：现在甲、乙两人参与了抽奖活动，记两人获得的奖金总金额为Y ，求Y 的分布列和数学期望.参与公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++临界值表：20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>.（1）若椭圆的离心率为12，且过右焦点垂直于长轴的弦长为3，求椭圆C 的标准方程；（2）点(,0)P m 为椭圆长轴上的一个动点，过点P 作斜率为ba的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，试判断22PA PB +是为定值，若为定值，则求出该定值；若不为定值，说明原因.21.已知函数()ln f x x x ax =-. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）设函数()()x g x x k e k =-+，k Z ∈， 2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数.当1a =时，若1(0,)x ∃∈+∞，2(0,)x ∀∈+∞，不等式21()5()0g x f x ->成立，求k 的最大值.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线M 的参数方程为sin cos sin 2x y θθθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），若以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N 的极坐标方程为：sin 42πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（其中t 为常数）. （1）若曲线N 与曲线M 有两个不同的公共点，求t 的取值范围； （2）当2t =-时，求曲线M 上的点与曲线N 上点的最小距离. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()221f x x x =+--，x R ∈. （1）求()1f x ≤的解集；（2）若()f x x a =+有两个不同的解，求a 的取值范围.2019届高三·十四校联考 第二次考试数学（理科）参考答案一、选择题1-5: DBDBA 6-10: CCDBA 11、12：AB 二、填空题13. 1- 14. 8,123,2n nn a n =⎧=⎨⨯≥⎩ 15. 20π 16. 111,,3ee e ⎛⎤⎡⎫-∞- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭三、解答题17.【解析】（1）由sin sin sin B A b cC a b--=+及正弦定理得()()()b a b a b c c -+=-，所以222a b c bc =+-1cos 2A ⇒=，3A π=.（2）a =3A π=，所以sin sin sin a b c A B C==2sin3π==，2(sin sin )b c B C +=+22sin sin 3B B π⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦3B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，ABC ∆为锐角三角形，B 的范围为,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭，则,366B πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，∴cos 3B π⎛⎫-⎪⎝⎭的取值范围是⎤⎥⎝⎦，∴(3,b c +∈. 18.【解析】（1）连接PE ，∵PA AC =，PAD CAD ∠=∠，AE 是公共边， ∴PAE CAE ∆≅∆， ∴PEA CEA ∠=∠，∵CE AD ⊥，∴PE AD ⊥，又PE ⊂平面PCE ，CE ⊂平面PCE ，PE CE E =，∴AD ⊥平面PCE ， 又PC ⊂平面PCE ， ∴AD PC ⊥.（2）法一：过E 作EF PD ⊥于F ，连接CF ，∵平面PAD ⊥平面ABCD ，CE ⊂平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，CE AD ⊥，∴CE ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面APD ，∴CE PD ⊥，又PD EF ⊥， ∴PD ⊥平面CEF ，∴CFE ∠为二面角C PD A --的平面角，∵2PA AC ==，60PAD CAD ∠=∠=，PE AD ⊥，CE AD ⊥， ∴1AE =，PE CE ==，又3AD =，所以2DE =，∴PD =7EF =，tan 2EFC ∠=， ∴二面角C PD A --的余弦值为11.法二：由AD ⊥平面PEC ，平面PAD ⊥平面ABCD ，所以EP ，EA ，EC 两两垂直，以E 为原点，EA ，EC ，EP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示.因为2PA AC ==，60PAD CAD ∠=∠=，3AD =， 所以1AE =，PE CE ==，2DE =，则(0,0,0)E ，(2,0,0)D -，C，P，DP =，DC =. 设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z =，则00n DP n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020x x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令x =(3,2,2)n =-， 又平面PAD的一个法向量为EC =， 设二面角C PD A --所成的平面角为θ，则cos EC n EC nθ⋅===，显然二面角C PD A --是锐角，故二面角C PD A --的余弦值为11.19.【解析】（1）依题意，在本次的实验中，2K 的观测值21000(400200300100)700300500500k ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯47.61910.828=>，故可以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为对电子产品的态度与年龄有关系. （2）Y 的可能取值为0，10，20，30，40，(0)P Y =111224=⨯=，(10)P Y =1222255=⨯⨯=， (20)P Y =22111325521050=⨯+⨯⨯=， (30)P Y =212251025=⨯⨯=， (40)P Y =111=⨯=，()12E Y =.20.【解析】（1）12e =，即12c a =，2a c =， 不妨令椭圆方程为2222143x y c c+=，当x c =时，32y =，得出1c =， 所以椭圆的方程为22143x y +=. （2）令直线方程为()by x m a=-与椭圆交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，联立方程2222()1b y x m a x y a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得222222222b x b mx b m a b -+=， 即222220x mx m a -+-=，∴12x x m +=，22122m a x x -=，∴22PA PB +22221122()()x m y x m y =-++-+2212()1b x m a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭2222()1b x m a ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭2221221[()()]b x m x m a ⎛⎫=+-+- ⎪⎝⎭2222122()a b x x a +=+ 22212122[()2]a b x x x x a+=+-22a b =+为定值. 21.【解析】（1）对函数求导得'()ln 1(0)f x x a x =+->， 令'()0f x =，得1a x e -=，当10a x e -<<时，'()0f x <，此时函数()f x 单调递减；当1a x e->时，'()0f x >，此时函数()f x 单调递增，所以函数()f x 的单调递减区间是1(0,)a e-，单调递增区间是1(,)a e -+∞.（2）当1a =时，由（1）可知1()()(1)1a f x f e f -===-，1(0,)x ∃∈+∞，2(0,)x ∀∈+∞，不等式125()()0f x g x -+>成立等价于当(0,)x ∈+∞时，5()0x x k e k +-+>恒成立，即5(1)x xxe k e +>-对(0,)x ∈+∞恒成立，因为(0,)x ∈+∞时10xe ->，所以51xx xe k e +<-对(0,)x ∈+∞恒成立，即51x x k x e +<+-对(0,)x ∈+∞恒成立，设5()1xx h x x e +=+-， 则2(6)'()(1)x x x e e x h x e --=-， 令()6x F x e x =--，则'()1x F x e =-， 当(0,)x ∈+∞时，'()0F x >，所以函数()6x F x e x =--在(0,)+∞上单调递增， 而2(2)80F e =-<，3(3)90F e =->， 所以(2)(3)0F F <，所以存在唯一的0(2,3)x ∈，使得0()0F x =，即006x e x =+， 当0(0,)x x ∈时，()0F x <，'()0h x <，所以函数()h x 单调递减； 当0(,)x x ∈+∞时，()0F x >，'()0h x >，所以函数()h x 单调递增， 所以当0x x =时，函数()h x 有极小值0()h x ，同时也为最小值， 因为00005()1x x h x x e +=+-01(3,4)x =+∈，又0()k h x <，且k Z ∈， 所以k 的最大整数值是3.22.【解析】（1）由已知M ：21y x =-，x ⎡∈⎣；N ：x y t +=.联立方程有两个解，可得5,14t ⎛⎤∈-⎥⎝⎦. （2）当2t =-时，直线N ：2x y +=-，设M 上的点为200(,1)x x -，0x ≤d=2013x ⎛⎫++ ⎪=8≥，当012x =-时取等号，满足0x ≤8. 23.【解析】（1）3,1()31,113,1x x f x x x x x +≥⎧⎪=+-<<⎨⎪--≤-⎩，若()1f x ≤，...... 可得{|40}x x -≤≤.（2）结合图象易得13a -<<.。
2019届湖南省三湘名校高三上学期第二次大联考数学理试题(解析版)
三湘名校教育联盟·2019届高三第二次大联考理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已经集合{|40}A x x =-<，{}1x B x e =，则A B ?A. RB. (,4]-?C. (0,4)D. (4,)+? 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，先求出集合{|4}A x x =<，{}0B x x =，再根据集合的交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合{|40}{|4}A x x x x =-<=<，{}{}10x B x e x x ==， 则{|04}A Bx x ?<<，故选C.【点睛】本题主要考查了集合的交集的运算问题，其中解答中正确求解集合,A B ，再根据集合的交集的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.复数z =A. 22i +B. 22i -C. 1i +D. 1i - 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．【详解】∵z =21i += ()21221(1)(1)2i i i i i --==-+-∴复数z =z ＝1+i ．故选：C ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查共轭复数概念和复数模的求法． 3.下列有关命题的说法正确的是A. 若""p q Ù为假命题，则,p q 均为假命题B. "1"x =-是2"560"x x --=的必要不充分条件C. 命题"若1,x >则11x< "的逆否命题为真命题 D. 命题0",x R $?使得20010"x x ++<的否定是：",x R $?均有210x x ++?"【答案】C 【解析】 【分析】对每一个命题逐一判断得解.【详解】A. 若""p q Ù为假命题，则,p q 中至少有一个假命题，所以该选项是错误的；B. "1"x =-是2"560"x x --=的充分不必要条件，因为由2"560"x x --=得到“x=-1或x=6”，所以该选项是错误的；C. 命题"若1,x >则11x< "的逆否命题为真命题，因为原命题是真命题，而原命题的真假性和其逆否命题的真假是一致的，所以该选项是正确的；D. 命题0",x R $?使得20010"x x ++<的否定是：",x R Î均有210x x ++?"，所以该选项是错误的.故答案为：C【点睛】本题主要考查复合命题的真假和充要条件的判断，考查逆否命题及其真假，考查特称命题的否定，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，44a =，515S =，则数列11n n a a +禳镲睚镲铪的前2018项和为A.20182019 B. 20162019 C. 20162017 D. 20192018【答案】A 【解析】 【分析】设等差数列{a n }的公差为d ，由a 4=4，S 5=15，可得a 1=d=1，可得a n ，利用裂项相消法求解数列的和即可． 【详解】设等差数列{a n }的公差为d,55a315?,?a33,? S ==\=又a 4=4，∴d=1， a 4=a 1+3d=4，解得a 1=d=1，∴a n =1+（n-1）=n ．∴11n n a a +=()11111n n n n =-++， 则数列11n n a a +禳镲睚镲铪的前2018项和为1111112018112232018201920192019-+-+鬃?-=-=故答案为：20182019．【点睛】本题考查等差数列的通项公式与求和公式、主要考查分式“裂项相消求和”方法，考查了推理能力与计算能力．5.将甲、乙、丙、丁四位老师分配到三个班级，每个班级至少一位老师，则共有分配方案 A. 81种 B. 256种 C. 24种 D. 36种 【答案】D 【解析】 【分析】分配的方法分为两步求解，先将四位老师分为三组，再分到三个班，由乘法原理求解即可计算出答案. 【详解】第一步，将4名老师分成三组，不同的分法种数是C 42=6种 第二步，分到三个班的不同分法有A 33=6种 故不同的分配方案为6×6=36种 故选：D ．【点睛】排列组合的应用问题，一般按先选再排，先分组再分配的处理原则．对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏．6.2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x 的素数个数大约可以表示为()ln xx xp »的结论.若根据欧拉得出的结论，估计10000以内的素数的个数为（素数即质数，lg 0.43429e »，计算结果取整数） A. 1089 B. 1086 C. 434 D. 145 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知10000以内的素数的个数为()1000010000ln10000p »，计算即可得到答案. 【详解】由题可知小于数字x 的素数个数大约可以表示为()ln xx xp »，则10000以内的素数的个数为()1000010000ln10000p »=100004ln10=10000lg 4e=2500lg 0.4342925001086e 换，故选：B.【点睛】本题考查对数运算性质的简单应用，考查学生的审题能力. 7.已知{}n a 满足12n n a a n +=+，且132a =，则na n的最小值为 （ ）A. 1B. 525C. 313D. 10 【答案】C 【解析】{}n a 满足12n n a a n +=+，即12n n a a n +-=，∴()()()()()11221121222132n n n n n a a a a a a a a n n ---=-+-++-+=-+-+?()()2111232322n n n n +--=?=-+.则232n a n n =-+，32n 1n a n n=+- 令()()321,1f x x x x =+-…,则()22232321x f x x x-=-=¢,在x éÎêë上单调递减;在)x ??上单调递增.()()()32523231551,6555563f f f =+-==+=<. ∴n=6时,f(x)取得最小值,因此n a n 的最小值为313.故选C.8.某几何体的三视图如图所示，其中，正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为A. 4643p-B. 64－4πC. 64－6πD. 64－8π 【答案】B 【解析】 【分析】首先确定空间几何体的结构特征，然后利用体积公式确定其体积即可.【详解】由题意可知，题中的结合体是一个正方体去掉四分之一圆柱所得的组合体， 其中正方体的棱长为4，圆柱的底面半径为2，高为4， 则组合体的体积：()3214246444V p p =-创?-.本题选择B 选项.【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．9.已知直线1:1l x =-，2:10l x y -+=，点P 为抛物线24y x =上的任一点，则P 到直线l 1，l 2的距离之和的最小值为【答案】B 【解析】 【分析】1l 是抛物线的准线，利用抛物线的定义可把P 到准线的距离转化为P 到焦点的距离，故可得P 到两条直线的距离之和的最小值就是焦点到直线2l 的距离.【详解】抛物线24y x =，其焦点坐标()1,0F ，准线为1x =-也就是直线1l ，故P 到直线1l 的距离就是P到F 的距离.如图所示，设P 到直线2l 的距离为d ，则d P F +?当且仅当,,P E F 三点共线时等号成立，故选B.【点睛】抛物线上的动点满足到焦点的距离等于它到准线的距离，我们常常利用这个性质实现两类距离的转换.10.已知x ，y 满足约束条件1010220x y x y x y ì+-?ïï-+?íï--?ïî，若z mx y =+的取值集合为A ，且[1,8]A Í，则实数m 的取值范围是A. 12[,]33 B. [1,8] C. 114[,]93- D. 4[1,]3【答案】D 【解析】 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，求出最优解，然后推出m 的范围．【详解】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中()1,0A ，()0,1B ，()3,4C ，z mx y =+的最值一定在顶点处取到，所以181348m m ì＃ïí??ïî，解得：41,3m 轾Î犏犏臌【点睛】简单的线性规划问题常有以下几种类型：（1）平面区域的确定问题；（2）区域面积问题；（3）最值问题；（4）逆向求参数问题．而逆向求参数问题，是线性规划中的难点，其主要是依据目标函数的最值或可行域的情况决定参数取值．由于约束条件中存在参数，所以可行域无法确定，此时一般是依据所提供的可行域的面积或目标函数的最值，来确定含有参数的某不等式所表示的坐标系中的某区域，从而确定参数的值．11.已知函数22,0(),0x x x f x e x ì£ï=í>ïî，若方程2[()]f x a =恰有两个不同的实数根1x ，2x 则12x x +的最大值是 A. -1 B. 3ln 22- C. 2ln 22- D. 22ln 2- 【答案】B 【解析】 【分析】作出()f x 图像, 由已知得()f x ，令t=,用t 表示出两个实数根1x ，2x ，然后令12x x +=g(t) lnt =-g(t)求导即可得到所求最大值. 【详解】作出()f x 的函数图像如图所示：由()2f x a 轾=臌可得()f x1>，即1a >.不防设12x x <，则2212x x e =，(1)t t =>，则1x =2ln x t =，∴12ln x x t +=-()ln g t t =-()44g t t -¢=， ∴当18t <<时，()0g t ¢>，当8t >时，()0g t ¢<，∴当8t =时，()g t 取得最大值()8ln823ln22g =-=-.【点睛】本题考查了函数与方程的关系，考查了数形结合的思想方法应用，属于中档题． 12.已知函数()3sin()(0,0)f x x w j w j p =+><<，()03f p -=，对任意的x R Î恒有()()3f x f p £，且在区间(0,)2p上有且只有一个0x 使得0()3f x =，则w 的最大值为A.274 B. 8 C. 214 D. 154【答案】C 【解析】 【分析】 由()033f f x f pp骣骣琪琪-=?琪琪桫桫和知03p 骣琪-琪桫，为函数对称中心，x 3p=为函数对称轴，从而得到()321424k k w p p j ì+ï=ïí¢ï=+ïî，要使f （x ）在区间0,2p 骣琪琪桫上有且只有一个最大值，且要求ω最大，则0,2p 骣琪琪桫区间包含的周期应该最多，所以22T p£，得到0＜ω≤8，从而可得k≤4，然后分别取k=4，k=3进行检验即可得ω最大值．【详解】由题意知12332k k p w j pp p w j p ì-+=ïïíï+=+ïî，1k ，2k Z Î，则()321424k k w p pj ì+ï=ïí¢ï=+ïî，k ，k Z ¢Î，其中21k k k =-，1212k k k k k =+=+¢，故k 与k ¢同为奇数或同为偶数.()f x 在0,2p 骣琪琪桫上有且只有一个最大值，且要求w 最大，则区间0,2p骣琪琪桫包含的周期应该最多，所以22T p£，得08w <?，即()32184k +£，所以4k £ 当4k =时，274w =，k ¢为偶数，4p j =，此时2729,4444x pp p骣琪+?琪桫，当1270.544x p p +=或2.5p 或6.5p 时，()03f x =都成立，舍去； 当3k =时，244w =，k ¢为奇数，34p j =，此时213327,4448x p p p骣琪+?琪桫，当且仅当213 2.544x p p +=时，()03f x =成立.【点睛】本题考查y=Asin （ωx+φ）型函数的性质，考查逻辑思维能力与推理运算能力，考查分类讨论的数学思想方法．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知倾斜角为a 的直线的斜率等于双曲线2213y x -=的离心率，则sin()p a -=__________．【解析】 【分析】求出双曲线的离心率e ，由已知得tan e a =，再由诱导公式和同角三角函数关系式即可得到答案.【详解】由2213y x -=知双曲线的离心率e=2, 即tan e a ==2，且倾斜角[)0,a p Î，所以sin a ，则()sin p a -= sin a .故答案为：5. 【点睛】本题考查诱导公式和同角三角函数关系式的应用，同时考查了双曲线离心率的求法，属于基础题. 14.在区间[0,1]内任取一个实数x ，在区间[0,3]内任取一个实数y ，则点(,)x y 位于曲线x y e =的图像上方的概率为__________． 【答案】43e- 【解析】 【分析】由已知点(),x y 满足的区域是一个长方形，利用定积分求出长方形内位于y=e x上方的面积，根据几何概型的概率公式可求出答案.【详解】由题意在区间[0，1]内任取一个实数x ，在区间[0，3]内任取一个实数y ， 则（x ，y ）满足的区域是一个长方形且面积为3，在此范围内位于y=e x上方部分的面积为110033|4x x e dx e e-=-=-ò，则所求概率为43e-． 故答案为：43e-．【点睛】本题主要考查几何概型的概率计算，根据积分的知识求出对应的面积是解决本题的关键． 15.如图，在同一平面内，点P 位于两平行直线1l ，2l 同侧，且P 到1l ，2l 的距离分别为1，2.点M ，N 分别在1l ，2l 上，5PM PN +=，则PM PN ×的最大值为__________．【答案】6 【解析】 【分析】建立适当的坐标系，利用坐标表示向量PM ，PN ，根据5PM PN +=求出PM PN ×的解析式，再利用基本不等式即可求出最大值．【详解】解：过点P 作1l 的垂线为y 轴，以1l 为x 轴，建立平面直角坐标系，1:0l y =，2:1l y =，()0,1P -，设(),0M a ，(),1N b ，所以(),1PM a =，(),2PN b =，(),3PM PN a b +=+， 由5PM PN +=，可知()2925a b++=，∴4a b +=或4a b +=-，()22264a b PM PN ab +?+?=【点睛】本题主要考查平面向量的数量积公式以及向量坐标形式的运算问题，同时考查了利用基本不等式求函数的最值.16.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为棱11A D 、11C D 的中点，N 是线段1BC 上的点，且114BN BC =，若P 、M 分别为线段1D B 、EF 上的动点，则PM PN +的最小值为__________．【解析】【分析】连接B 1D 1交EF 于G ，通过证明 EF ⊥平面B 1D 1DB 可知EF⊥PG，从而PM 的最小值为PG ，连接BD ，设其中点为H ，通过△D 1DB≌△D 1C 1B ，得到PN=PH ，由GH 交BD 1于K ，则当P 为K 时，PM+PN 取得最小值，所求最小值为GH ，即可得出结论．【详解】解：首先PM 的最小值就是P 到EF 的距离.连接11B D 交EF 于G ，连接PG ，则EF ^平面11B D DB ，故EF PG ^，从而PM 的最小值PG ，可知G 为EF 的中点，1D G 为11D B 的四分之一.其次，连接BD ，在线段BD 上取点H ，使BH BN =，连接PH ，则111DD B DC B D @D ，从而PN PH =，最后，连接GH 交1BD 于K ，则当P 为K 时，PM PN +取得最小值，所求最小值为GH .∵正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，∴GH . 【点睛】本题考查多面体和旋转体表面上的最短距离问题，考查学生分析解决问题的能力.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：60分17.在ABC D 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知3cos ()cos 0,cos 5a Bb A B +-==.（1）求cos C 的值；（2）若15,a D =为边AB 上的点，且2AD BD =，求CD 的长.【答案】(Ⅰ)cos 10C =; (Ⅱ)CD = 13． 【解析】试题分析:（1）先根据正弦定理将边角关系化为角的关系，再根据三角形内角关系以及两角和正弦公式化简可得cos A =cos C 的值；（2）先根据正弦定理求得BD ，再根据余弦定理求CD 的长.试题解析：(Ⅰ)解：由()cos cos 0a B b A +-=得：()sin cos sin cos 0A B B C A +-=即()sin cos cos sin sin sin sin A B A B A C A B A C +?sin sin C A C ?∵A 、B 、C 是△ABC 的内角，∴sin 0C ¹因此，cos A =0A p <<，故4A p =由3cos 5B =得：4sin 5B =∴()()cos cos cos coscos sin sin 44C A B A B B B p p p 轾=-+=-+=-+臌(Ⅱ)解：由cos 10C =得：sin 10C ==由正弦定理得：1521sin4c p ?，∴2143BD c ==在△BCD 中，22231514215141695CD =+-创? ∴CD = 13．18.如图，菱形ABCD 与正BCE D 所在平面互相垂直，FD ^平面ABCD ，2BC =，FD =（1）证明：EF 平面ABCD ；（2）若60CBA??，求直线EF 与平面AFB 所成角的正弦值.【答案】(1)证明过程详见解析（2【解析】【分析】（1）过点E 作EH BC ^于H ，由面面垂直的性质可知EH ^平面ABCD ，又FD ^平面ABCD ，可得//FD EH ，即四边形EHDF 为平行四边形，得到线线平行，从而得到线面平行；（2）分别以HB ，HA ，HE 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系H xyz -，求出平面ABF 的法向量，利用线面角的向量公式进行计算即可得到答案.【详解】解：（1）如图，过点E 作EH BC ^于H ，连接EH，∴EH . ∵平面ABCD ^平面BCE ，EH Í平面BCE ，平面ABCD Ç平面BCE 于BC ， ∴ EH ^平面ABCD . 又∵FD ^平面ABCD，FD //FD EH ， ∴四边形EHDF 为平行四边形. ∴//EF HD ， ∵EF Ë平面ABCD ，HD Í平面ABCD ， ∴//EF 平面ABCD .（2）连接HA .由（1）得H 为BC 中点，又60CBA??，ABC D 为等边三角形，∴HA BC ^.分别以HB ，HA ，HE 为,,x y z 轴建立 如图所示的空间直角坐标系H xyz -.则()1,0,0B，(F -，(E，()A.(BF =-，()BA =-，=(EF -EF ，设平面ABF 的法向量为()2222,,n x y z =.由2200n BF n BA ì?ïíï?î，得222223300x y x ì-+=ïíï-=î令21y =，得)22n =.42sin cos ,EF n a ==，直线EF 与平面AFB所成角的正弦值为28. 【点睛】本题考查线面平行的判定定理和利用空间向量求线面角，利用空间向量解题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19.某种产品的质量以其质量指标值来衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标值为k ，当85k ³时，产品为一等品；当7585k ?时，产品为二等品；当7075k ?时，产品为三等品.现有甲、乙两条生产线，各生产了100件该产品，测量每件产品的质量指标值，得到下面的试验结果.（以下均视频率为概率）甲生产线生产的产品的质量指标值的频数分布表：乙生产线产生的产品的质量指标值的频数分布表：（1）若从乙生产线生产的产品中有放回地随机抽取3件，求至少抽到2件三等品的概率；（2）若该产品的利润率y 与质量指标值k 满足关系：22,855,7585,7075t k y t k t k ì³ïï=?íï?ïî，其中105t <<，从长期来看，哪条生产线生产的产品的平均利润率更高？请说明理由. 【答案】（1）7250（2）甲 【解析】 【分析】（1）先求出随机抽取一次抽中三等品的概率，然后利用互斥事件的概率公式计算所求概率值；（2）分别计算甲、乙生产线生产产品的利润分布列，作差比较大小即可得到结论.【详解】解：（1）由题意知，从乙生产线生产的产品中随机抽取一次抽中三等品的概率为110， 所以23231917101010250P C 骣骣琪琪=创+=琪琪桫桫. （2）甲生产线生产的产品的利润分布列为所以()E y 甲 20.62t t =+，乙生产线生产的产品的利润分布列为所以 ()20.5 2.1E y t t =+乙， 因为105t <<，所以()()()20.10.10.110E y E y t t t t -=-=-<乙甲 所以从长期来看，甲生产线生产的产品平均利润率较大．【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法.20.已知椭圆2222:1(1)y x C a b a b +=>?其上焦点到直线20bx ay +-=（1）求椭圆C 的方程；（2）过点1(,0)3P 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点.试探究以线段AB 为直径的圆是否过定点？若过，求出定点坐标，若不过，请说明理由.【答案】（1）2212y x +=（2）详见解析【解析】 【分析】（1）由椭圆离心率结合222a b c =+得到a,b,c 之间的关系，计算焦点到直线的距离得到a,b 的值，从而得到椭圆方程;（2）当直线l 斜率不存在时，得到AB 为直径的圆的方程，当直线l 斜率为0时，得到AB 为直径的圆的方程，从而得到两圆的交点Q ，然后只需证明当直线l 的斜率存在且不为0时AB 以为直径的圆恒过点Q 即可.【详解】解：（1）由题意，2c e a ==，222212a b e a -==，所以a ，c b ＝.3=，1a b >?，所以1b ＝，22a ＝，故椭圆C 的方程为2212y x += （2）当AB x ^轴时，以AB 为直径的圆的方程为2211639x y 骣琪-+=琪桫 当AB y ^轴时，以AB 为直径的圆的方程为221x y ＋＝. 可得两圆交点为()10Q -，．由此可知，若以AB 为直径的圆恒过定点，则该定点必为()10Q -，． 下证()10Q -，符合题意．设直线l 的斜率存在，且不为0，则方程为13y k x 骣琪=-琪桫，代入2212y x += 并整理得()22222122039k x k x k +-+-=， 设()11A x y ，，()22B x y ，， 则()2122232k x x k +＋＝， ()21221892k x x k -+＝， 所以()()121211QA QB x x y y ?++＝ 1212x x x x +＝＋ 21211133k x x 骣骣琪琪++--琪琪桫桫 ()()22212121111139k x x k x x k 骣琪=+-+琪桫＋＋＋()()22218192k kk -+＝＋ 2113k 骣琪+-琪桫 ()22232k k + 21109k ++= 故QA QB ^，即()10Q -，在以AB 为直径的圆上． 综上，以AB 为直径的圆恒过定点()10-，．【点睛】本题主要考查椭圆标准方程、直线与椭圆的位置关系以及曲线过定点问题，解决曲线过定点问题一般有两种方法：① 探索曲线过定点时，可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点，或者利用方程恒成立列方程组求出定点坐标.② 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.21.已知函数2(ln )3ln 3()x x f x x++=.（1）求函数()f x 在区间1[,3]()a a a e+?上的最大值； （2）证明：(0,)x "??，22((ln )3ln 3)30x e x x x ++->.【答案】（1）()2max13,1ln 3ln 3,1a e f xa a a a ì＃ïï=í++ï>ïî（2）证明过程详见解析 【解析】 【分析】（1）对函数求导，判断单调性，由单调性即可得到函数的最值; （2）由题意可知只需证明()3x xf x e>，结合（1）的单调性和最值即可得到证明. 【详解】解：（1）()2ln 3ln 3x x f x x ++=，()()2ln ln 1x x f x x ¢-+=， ()101f x x e¢>?<知：()f x 在10,e骣琪琪桫和()1,+?上递减，在1,1e 骣琪琪桫上递增，当11a e＃时，()()max 13f x f ==； 当1a >时，()()2maxln 3ln 3a a f xf a a++==， 故()2max13,1ln 3ln 3,1a e f x a a a a ì＃ïï=í++ï>ïî（2）由（1）知()f x 在10,e骣琪琪桫和()1,+?上递减，在1,1e 骣琪琪桫上递增，①当()0,1x Î时，()1f x f e e 骣琪?琪桫，而()'313xxx xe e 骣-琪=琪桫，故3x xe 在()0,1上递增， ∴33x x e e e <<，∴()3xx f x e>，即()22ln 3ln 330x e x x x ++->；②当[)1,x ??时，2ln 3ln 30033x x ++?+=，令()23x x g x e =，则()()232xx x g x e=¢-， 故()g x 在[)1,2上递增，()2,+?上递减，∴()()21223g x g e?< ∴223ln 3ln 3x x x x e++>，即()22ln 3ln 330X e x x x ++->，综上，0x ">，()22ln 3ln 330x e x x x ++->.【点睛】本题考查利用导数求函数的最值和证明不等式问题,考查学生的综合分析能力.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为142x ty ì=+ïïíïïî（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标，曲线C 的极坐标方程为2cos r q =. （1）写出曲线C 的直角坐标方程与直线l 的极坐标方程； （2）若直线()6R pq r =?与曲线C 交于点A （不同于原点），与直线l 交于点B ，求AB 的值. 【答案】（1）2220x y x +-=cos sin q r q -= （2）. 【解析】 【分析】(1) 先根据极坐标与直角坐标的对应关系得出极坐标方程C ，将直线参数方程化为普通方程；(2) 将6pq =分别代入直线l 和曲线C 的极坐标方程求出A ，B 到原点的距离，作差得出|AB|． 【详解】（1）∵2cos r q =，∴22cos rr q =，∴曲线C 的直角坐标方程为2220x y x +-=．∵直线l的参数方程为142x ty ì=+ïïíï=ïî（t 为参数）y -=．∴直线lcos sin q r q -=（2）将π6q =代入曲线C 的极坐标方程2cos r q =得r ∴A点的极坐标为π6． 将π6q =代入直线l的极坐标方程得3122r r -=r = ∴B点的极坐标为π6，∴AB =【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数的几何意义，属于基础题． 23.已知函数()211f x x x =+--. （1）求不等式()2f x <的解集； （2）若不等式1()123m f x x x -?-+-有解，求实数m 的取值范围.【答案】（1）243x x 禳镲-<<睚镲铪；（2）3m ?或5m ³ 【解析】 【分析】(1)去掉绝对值得到分段函数形式，分段求解即可；（2）()123=2123f x x x x x +-+-++-，根据绝对值三角不等式求得最值.【详解】（1）()211f x x x =+-- 12,21=3,122,1x x x x x x ì--<-ïïïï-＃íïï+>ïïî,1222x x ì<-ï\íï--<î或11232x x ì-＃ïíï<î或122x x ì>ïí+<ïî， 解得：142x -<<-或1223x -?或无解， 综上，不等式()2f x <的解集是243x x 禳镲-<<睚镲铪（2）()123f x x x +-+- =211+1+23x x x x +---- =2123x x ++-()21234x x ?--=，当1322x -＃时等号成立， 不等式()112-3m f xx x -?-+有解，()min1123m f x x x 轾\-?-+-臌14m \-?，14m \-?或14m -?，即3m ?或5m ³，\实数m 的取值范围是3m ?或5m ³【点睛】这个题目考查了绝对值不等式的解法，通常是去掉绝对值分段解决；考查到了绝对值三角不等式求最值的应用，不等式求最值常见的做法有绝对值三角不等式的应用，均值不等式的应用.- 21 -。
【全国校级联考】湖南省三湘名校2019届高三第二次大联考数学(理)试题
三湘名校教育联盟·2019届高三第二次大联考理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已经集合{|40}A x x =-<，{|1}x B x e =>，则A B =A ．RB ．(,4]-∞C ．(0,4)D ．(4,)+∞2.复数z = A ．22i + B ．22i - C ．1i + D ．1i -3.下列说法正确的是A ．若命题“p q ∧”为假命题，则p ，q 均为假命题B ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件C ．命题“若1x >，则11x<”的逆否命题为真命题 D ．命题“0x R ∃∈，使得20010x x ++<”的否定是：“x R ∃∈，均有210x x ++≥” 4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，44a =，515S =，则数列11{}n n a a +的前2018项和为 A ．20182019 B ．20162019 C.20162017 D ．201920185.将甲、乙、丙、丁四位老师分配到三个班级，每个班级至少一位老师，则共有分配方案A ．81种B ．256种 C. 24种 D ．36种6.2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x 的素数个数大约可以表示为()ln x x xπ≈的结论.若根据欧拉得出的结论，估计10000以内的素数的个数为（素数即质数，lg 0.43429e ≈，计算结果取整数）A ．1089B ．1086 C.434 D ．1457.已知数列{}n a 满足132a =，12n n a a n +=+，*n N ∈，则n a n 的最小值为 A．1 B ．525 C. 313D ．10 8.某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧的一部分，则该几何体的体积为A ．4643π- B ．644π- C. 646π- D ．648π- 9.已知直线1:1l x =-，2:10l x y -+=，P 为抛物线24y x =上任意一点，则点P 到直线1l 与2l 的距离之和的最小值为A ．2 B．210.已知x ，y 满足约束条件1010220x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，若z mx y =+的取值集合为A ，且[1,8]A ⊆，则实数m 的取值范围是A ．12[,]33 B ．[1,8] C.114[,]93- D ．4[1,]3。
湖南省三湘名校教育联盟2019届高三第二次大联考数学(理)试卷(有答案)
湖南省三湘名校教育联盟2019届高三第二次大联考理科数学试卷理科数学参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是10【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中 ， ， ， 的最值一定在顶点处取到，所以， 解得： 4311．【解析】作出f （x ）的函数图像如图所示：由[f （x ）]2=a 可得f （x ）= ，∴ ＞1，即a ＞1．不妨设x 1＜x 2，则2x 12=2xe = ， 令 =t （t ＞1），则x 1=x 2=lnt ， ∴x 1+x 2=lnt g （t ）=lnt g′（t ）== - ， ∴当1＜t ＜8时，g′（t ）＞0，当t ＞8时，g′（t ）＜0，∴当t=8时，g （t ）取得最大值g （8）=ln8﹣2=3ln2﹣2．12．【解析】由题意知 ， ,则，k ，其中k = ， ，故 与 同为奇数或同为偶数.在 上有且只有一个最大值，且要求 最大，则区间 包含的周期应该最多，所以 ，得 ＜ ，即，所以 当 时， ， 为偶数， ，此时，当或 或 时， 都成立，舍去；当 时，， 为奇数， ，此时 ，当且仅当 时， 成立。
二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13．5 14. 15．6 1615．6 过点P 作1l 的垂线为y 轴，以1l 为x 轴，建立平面直角坐标系，1l :y=0, 2:1l y =,P(0,-1),设()(),0,,1M a N b ， 所以()()(),1,,2,,3,PM a PN b PM PN a b ==+=+由5PM PN +=，可知()2925a b ++=， 4a b ∴+=或4a b +=-，2PM PN ab ⋅=+2()264a b +?=16首先PM 的最小值就是P 到EF 的距离．连接B 1D 1交EF 于G ，连接PG ，则EF ⊥平面B 1D 1DB ，故EF ⊥PG ，从而PM 的最小值PG ，可知G 为EF 的中点，D 1G 为D 1B 1的四分之一．其次，连接BD ，在线段BD 上取点H ，使BH=BN ，连接PH ，，则△D 1DB ≌△D 1C 1B ，从而PN=PH ．最后，连接GH 交BD 1于K ，则当P 为K 时，PM +PN 取得最小值，所求最小值为GH ．∵正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2， ∴三、解答题:本大题共70分。
2019届高三下学期高三第二次模拟联考数学(理)试题—含答案
2019届高三下学期高三第二次模拟联考数学（理）试题—含答案2019学年度第二学期高三第二次模拟联考数学（理科）试卷年级班级姓名学号注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3.请将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域书写的答案无效。
4.作图题可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破弄皱，不准使用涂改液、修正带。
第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1.已知，则（）A.{1,2}B.{1,2,3}C.{0,1,2}D.{1,2,3,4,}2.设复数满足，则复数所对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.如下图的茎叶图为某次10名学生100米跑步的成绩（s），由茎叶图可知这次成绩的平均数，中位数，众数分别为()A．51.95260B．525460C．51.95360D．5253624.已知随机变量服从正态分布，且，，等于（）A.0.2B．C．D．5.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5,2，则输出的n等于()A．4B．2C．3D．56.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化、相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆被的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．7.若函数y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是()ABCD8.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．B.C.D.9.设x，y满足约束条件，则的最大值为A.B.C.-3D.310.将函数的图象，向右平移个单位长度，再把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数，则下列说法正确的是（）A．函数的最小正周期为B．是函数的一条对称轴C．函数在区间上单调递增D．函数在区间上的最小值为11.定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过的正角．已知双曲线：，当其离心率时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（）A．B．C．D．12.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，且当x∈[－1，1]时，，则()A．B．C．D．第Ⅱ卷二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
2019届高三数学二模试卷理科附答案
2019届高三数学二模试卷理科附答案理科数学（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019•乐山调研]若与互为共轭复数，则的值为（）A．B．C．D．2．[2019•济南外国语]已知集合，，则（）A．B．C．D．3．[2019•九江一模] 的部分图像大致为（）A．B．C．D．4．[2019•榆林一模]已知向量，满足，，，则（）A．2 B．C．D．5．[2019•湘潭一模]以双曲线的焦点为顶点，且渐近线互相垂直的双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．6．[2019•武邑中学]在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则角（）A．B．C．或D．或7．[2019•新乡调研]某医院今年1月份至6月份中，每个月为感冒来就诊的人数如下表所示：（）上图是统计该院这6个月因感冒来就诊人数总数的程序框图，则图中判断框、执行框依次应填（）A．；B．；C．；D．；8．[2019•优创名校联考]袋子中有四个小球，分别写有“美、丽、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“中、国、美、丽”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：232 321 230 023 123 021 132 220 001231 130 133 231 031 320 122 103 233由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（）A．B．C．D．9．[2019•成都一诊]在各棱长均相等的四面体中，已知是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．10．[2019•长沙一模]已知是函数图象的一个最高点，，是与相邻的两个最低点．设，若，则的图象对称中心可以是（）A．B．C．D．11．[2019•湖北联考]已知偶函数满足，现给出下列命题：①函数是以2为周期的周期函数；②函数是以4为周期的周期函数；③函数为奇函数；④函数为偶函数，则其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．412．[2019•宜昌调研]已知椭圆：上存在、两点恰好关于直线：对称，且直线与直线的交点的横坐标为2，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．[2019•泉州质检]若函数的图象在点处的切线过点，则______．14．[2019•湖北联考]设，满足约束条件，则的最大值为____．15．[2019•镇江期末]若，，则_______．16．[2019•遵义联考]已知三棱锥中，面，且，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为__________．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2019•潍坊期末]已知数列的前项和为，且，，成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，求数列的前项和．18．（12分）[2019•开封一模]大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备．某高中成功开设大学先修课程已有两年，共有250人参与学习先修课程，这两年学习先修课程的学生都参加了高校的自主招生考试（满分100分），结果如下表所示：分数人数25 50 100 50 25参加自主招生获得通过的概率（1）这两年学校共培养出优等生150人，根据下图等高条形图，填写相应列联表，并根据列联表检验能否在犯错的概率不超过的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？优等生非优等生总计学习大学先修课程250没有学习大学先修课程总计150（2）已知今年全校有150名学生报名学习大学选项课程，并都参加了高校的自主招生考试，以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率．（i）在今年参与大学先修课程学习的学生中任取一人，求他获得高校自主招生通过的概率；（ii）某班有4名学生参加了大学先修课程的学习，设获得高校自主招生通过的人数为，求的分布列，试估计今年全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数．参考数据：参考公式：，其中．19．（12分）[2019•湖北联考]如图，在四棱锥中，，，，且，．（1）证明：平面；（2）在线段上，是否存在一点，使得二面角的大小为？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由．20．（12分）[2019•河北联考]在直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，且．（1）求的方程；（2）试问：在轴的正半轴上是否存在一点，使得的外心在上？若存在，求的坐标；若不存在，请说明理由．21．（12分）[2019•泉州质检]已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，，求的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019•九江一模]在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系（，），点为曲线上的动点，点在线段的延长线上，且满足，点的轨迹为．（1）求，的极坐标方程；（2）设点的极坐标为，求面积的最小值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019•湘潭一模]设函数．（1）当时，求关于的不等式的解集；（2）若在上恒成立，求的取值范围．2019届高三第二次模拟考试卷理科数学（二）答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】A【解析】∵，，又与互为共轭复数，∴，，则．故选A．2．【答案】C【解析】∵集合，，∴，，∴．故选C．3．【答案】B【解析】，则函数是偶函数，图象关于轴对称，排除A，D，，排除C，故选B．4．【答案】A【解析】根据题意得，，又，∴，∴，∴．故选A．5．【答案】D【解析】由题可知，所求双曲线的顶点坐标为，又∵双曲线的渐近线互相垂直，∴，则该双曲线的方程为．故选D．6．【答案】A【解析】∵，，，∴由正弦定理可得，∵，由大边对大角可得，∴解得．故选A．7．【答案】C【解析】∵要计算1月份至6月份的6个月的因感冒来就诊的人数，∴该程序框图要算出所得到的和，①当时，，没有算出6个月的人数之和，需要继续计算，因此变成2，进入下一步；②当时，用前一个加上，得，仍然没有算出6个月的人数之和而需要继续计算，因此变成3，进入下一步；③当时，用前一个加上，得，仍然没有算出6个月的人数之和而需要继续计算，因此变成4，进入下一步；④当时，用前一个加上，得，仍然没有算出6个月的人数之和而需要继续计算，因此变成5，进入下一步；⑤当时，用前一个加上，得，仍然没有算出6个月的人数之和而需要继续计算，因此变成6，进入下一步；⑥当时，用前一个加上，得，刚好算出6个月的人数之和，因此结束循环体，并输出最后的值，由以上的分析，可得图中判断框应填“”，执行框应填“”．故选C．8．【答案】C【解析】∵随机模拟产生18组随机数，由随机产生的随机数可知，恰好第三次就停止的有，，，共4个基本事件，根据古典概型概率公式可得，恰好第三次就停止的概率为，故选C．9．【答案】C【解析】设各棱长均相等的四面体中棱长为2，取中点，连结，，∴是棱的中点，∴，∴是异面直线与所成角（或所成角的补角），，，∴，∴异面直线与所成角的余弦值为，故选C．10．【答案】D【解析】结合题意，绘图又，，∴周期，解得，∴，，令，得到，∴，令，，得对称中心，令，得到对称中心坐标为，故选D．11．【答案】B【解析】偶函数满足，即有，即为，，可得的最小正周期为4，故①错误；②正确；由，可得，又，即有，故为奇函数，故③正确；由，若为偶函数，即有，可得，即，可得6为的周期，这与4为最小正周期矛盾，故④错误．故选B．12．【答案】C【解析】由题意可得直线与直线的交点，，设，，则，，∵、是椭圆上的点，∴①，②，①﹣②得：，∴，∴，∴，∴，故选C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【答案】1【解析】函数，可得，∴，又，∴切线方程为，切线经过，∴，解得．故答案为1．14．【答案】5【解析】作出，满足约束条件，所示的平面区域，如图：作直线，然后把直线向可行域平移，结合图形可知，平移到点时最大，由可得，此时．故答案为5．15．【答案】【解析】由得，即，又，解得，∴．16．【答案】【解析】取的中点，连结、，∵平面，平面，∴，可得中，中线，由，，，可知，又∵，、是平面内的相交直线，∴平面，可得，因此中，中线，∴是三棱锥的外接球心，∵中，，，∴，可得外接球半径，因此，外接球的表面积，故答案为．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵，，成等差数列，∴，当时，，∴，当时，，，两式相减得，∴，∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴．（2），∴，∴．18．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）列联表如下：优等生非优等生总计学习大学先修课程50 200 250没有学习大学先修课程100 900 1000总计150 **** ****由列联表可得，因此在犯错误的概率不超过的前提下认为学习先修课程与优等生有关系．（2）（i）由题意得所求概率为．（ii）设获得高校自主招生通过的人数为，则，，，1，2，3，4，∴的分布列为0 1 2 3 4估计今年全校参加大学先修课程的学生获得大学自主招生通过的人数为．19．【答案】（1）见证明；（2）见解析．【解析】（1）∵在底面中，，，且，∴，，∴，又∵，，平面，平面，∴平面，又∵平面，∴，∵，，∴，又∵，，平面，平面，∴平面．（2）方法一：在线段上取点，使，则，又由（1）得平面，∴平面，又∵平面，∴，作于，又∵，平面，平面，∴平面，又∵平面，∴，又∵，∴是二面角的一个平面角，设，则，，这样，二面角的大小为，即，即，∴满足要求的点存在，且．方法二：取的中点，则、、三条直线两两垂直∴可以分别以直线、、为、、轴建立空间直角坐标系，且由（1）知是平面的一个法向量，设，则，，∴，，设是平面的一个法向量，则，∴，令，则，它背向二面角，又∵平面的法向量，它指向二面角，这样，二面角的大小为，即，即，∴满足要求的点存在，且．20．【答案】（1）；（2）在轴的正半轴上存在一点，使得的外心在上．【解析】（1）联立，得，则，，从而．∵，∴，即，解得，故的方程为．（2）设线段的中点为，由（1）知，，，则线段的中垂线方程为，即．联立，得，解得或，从而的外心的坐标为或．假设存在点，设的坐标为，∵，∴，则．∵，∴．若的坐标为，则，，则的坐标不可能为．故在轴的正半轴上存在一点，使得的外心在上．21．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】解法一：（1），①当时，↘极小值↗∴在上单调递减，在单调递增．②当时，的根为或．若，即，0 0↗极大值↘极小值↗∴在，上单调递增，在上单调递减．若，即，在上恒成立，∴在上单调递增，无减区间．若，即，0 0↗极大值↘极小值↗∴在，上单调递增，在上单调递减．综上：当时，在上单调递减，在单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增，无减区间；当时，在，上单调递增，在上单调递减．（2）∵，∴．当时，恒成立．当时，．令，，设，∵在上恒成立，即在上单调递增．又∵，∴在上单调递减，在上单调递增，则，∴．综上，的取值范围为．解法二：（1）同解法一；（2）令，∴，当时，，则在上单调递增，∴，满足题意．当时，令，∵，即在上单调递增．又∵，，∴在上有唯一的解，记为，↘极小值↗，满足题意．当时，，不满足题意．综上，的取值范围为．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．【答案】（1）；；（2）2．【解析】（1）∵曲线的参数方程为（为参数），∴曲线的普通方程为，∴曲线的极坐标方程为，设点的极坐标为，点的极坐标为，则，，，，∵，∴，∴，，∴的极坐标方程为．（2）由题设知，，当时，取得最小值为2．23．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵，∴的解集为．（2）∵，∴，即，则，∴．。