第11课 函数及其图象
函数及其图像典型例题
函数及其图像典型例题例1、已知点()p x y ,的坐标满足方程x y ++-=120，则点p 在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限分析：这道题首先考察了平面内点的坐标，在各象限内的横纵坐标的特点，其次是绝对值，算术平方根，互为相反数的性质与概念的理解。
由x y ++-=120，可知：x y =-=12,，所以点()p x y ,，在第二象限，应选（B ）。
例2、已知点M m -⎛⎝ ⎫⎭⎪123,关于原点对称的点在第一象限，那么m 的取值范围是 ；分析：这道题考查对称点的特点，关于原点对称的点，它们的横纵坐标互为相反数，与点M关于原点对称的点在第一象限，说明点M 在第三象限，则30m <,，即m <0例3、求函数自变量的取值范围 （1）函数y xx =--532自变量x 的取值范围是 ；（2）函数y x x =++-25自变量x 的取值范围是 ；分析：由解析式给出的函数表达式，自变量x 的取值范围应使解析式有意义，即二次根式的被开方式要大于等于零，分式的分母不能等于零，等。
解：（1） 50320235-≥->⎧⎨⎩∴<<x x x（2） x x x +≥-≥⎧⎨⎩∴-≤≤205025例4、平行四边形相邻的两边长是x y ,，它的周长是30，则y 关于x 的函数关系式是 。
解：平行四边形对边相等，所以周长为2230x y +=，得到x y +=15，则y 关于x 的函数关系式为：()y x x =-+<<15015例5、已知，如图，正方形ABCD 中，E 是BC 边上的点，F 是CD 边上的点，且AE =AF ，AB =4，设三角形AEF 的面积为y ，EC 为x ，求y 与x 之间的函数关系式，并在直角坐标系中画出这个函数的图象。
简解： ABCD AB AD B D 是正方形,,∴=∠=∠=∠Rtx FC EC CD BC DF BE ADF ABE AF AE ==∴==∆≅∆∴=,,,, 且 BE DF x ==-4则正方形S S S S AEF ABE CEF ∆∆∆∆=--2即()y x x =-⨯⨯⨯--1621244122整理合并为：y x x =-+1242，因为E 点在BC 上，F 是CD 上的点，当E 与C 点重合时三角形AEF 不存在，所以x 的取值范围是()04<≤x （图象略）例6、已知：y －1与x 成正比例，当x =2时，y =9那么y 与x 之间的函数关系是 。
函数及其图象PPT课件
s
s
s
s
t
t
O
O
A
B
O
t
C
t
O D
3、（09湖州市）如图，一只蚂蚁从 O 点出发，沿着扇形 OAB 的边缘匀速
爬行一周，设蚂蚁的运动时间为 t ，蚂蚁到 O 点的距离为 S ，则 S 关于 t 的函数图象大致为（ C ）
A
S
S
S
S
O
O
tO
tO
tO
t
第（3）题
B
A.
B.
C.
D.
4、(09内江市)打开某洗衣机开关（洗衣机内无水），在洗涤衣服时，洗衣机 经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗
（2）（09大连）函数y x 2 中，自变量x的取值范围是 ( D )
A．x < 2 B．x ≤2 C．x > 2 D．x≥2
x x 2
（3）（09哈尔滨）函数y＝
的自变量 的取值范围是_____________．
x2
x （4）（09齐齐哈尔）函数 y x 的自变量 的取值范围是_x_≥_0_且__x_≠1 ___． x 1
5000
4000 3000 2000
乙
甲
A
1000
O
5
10 15
20 x(分)
(3)解: x 15 时，甲的路程是: 25015 5000 1250 米，
乙的路程是2000米， 两人相距：2000 — 1250 = 750米
在15＜x＜20的时段内， 乙速：2000÷（20 — 15）= 400 米/分 两人速度之差： 400 — 250 = 150米/分
热身练习：
函数及其图象函数的图像函数的图象
2023函数及其图象•函数的基本概念•函数的图像•不同类型函数的图像目录•函数图像的应用•函数图像的艺术01函数的基本概念设x和y是两个变量，D是一个给定的集合，在D上有唯一确定的y值与x对应，则称y是x的函数，记作y=f(x)。
集合D称为函数的定义域，x称为自变量，y称为因变量。
函数的定义函数的表示方法图象法用图象表示函数，如f(x)=x^2的图象为开口向上的抛物线。
表象法用表格表示函数，如t=sin(x)。
解析法用等式表示函数，如y=2x+1。
函数的分类•常数函数：f(x)=c(c为常数)•一次函数：f(x)=kx+b(k,b为常数，k≠0)•二次函数：f(x)=ax^2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)•反比例函数：f(x)=k/x(k为常数，k≠0)•幂函数：f(x)=x^a(a为常数)•指数函数：f(x)=a^x(a为常数，a>0且a≠1)•对数函数：f(x)=log_a x(a为常数，a>0且a≠1)•复合函数：f(x)=u(x)+g(x)，其中u和g都是简单函数。
02函数的图像1函数图像的概念23将函数表达式中自变量与因变量之间的关系用图形表示出来。
函数图像在平面直角坐标系中，以横轴表示自变量，纵轴表示因变量。
坐标系根据函数表达式的性质，图像呈现不同形状，如直线、曲线、折线等。
函数图像的形状描点法根据函数表达式，求出一些自变量对应的因变量值，然后在坐标系上描出对应的点，最后用平滑的曲线或直线将这些点连接起来。
图示法利用计算器或编程语言，直接在计算机上绘制出函数图像。
绘制函数图像的方法函数图像的变换伸缩将函数图像按比例进行缩放，可以是横向或纵向。
平移将函数图像沿横轴或纵轴方向移动一定距离。
翻折将函数图像以某一条直线或点为对称中心进行翻折。
复合变换以上变换可以同时进行，也可以多次进行。
旋转将函数图像按一定角度顺时针或逆时针旋转一定角度。
03不同类型函数的图像线性函数一次函数的图像是直线，表达式为$y=kx+b$，其中$k$是斜率，$b$是截距。
函数及其图象
4、已知a是整数，点A（2a+1，2+a）在第二象限内， 则a= -1 ，
2、函数自变量的取值范围 （只要使式子有意义）
函数形式
自变量的取值范围
整式
全体实数
分式
分母不为零的实数
二次根式
被开方数≥0
实际问题
使实际问题有意义
1、函数y＝ x 3中自变量的取值范围是 x≥3且x≠4
用水量（吨） 不超过10吨 超过10吨
水费（元） 每吨1．2元 超过的部分按每吨1.8元收费
（1）该市某户居民5月份用水x吨（x＞10），
应交水费y（元）表示为
1、 点的位置及其坐标特征:
y
①.各象限内的点:
Q(0,b) Q(b,-b) C(m,n)
②.各坐标轴上的点:
(-,+)
M(a,b)
(+,+)
P(a,0)
o
x
N(a,-b()-,-)
(+,-)
③.各象限角平分线上的点:
D(-m,-n) P(a,a)
A(x,y)
B(-x,y)
④.对称于坐标轴的两点:
x 1 4
2．函数y= A．x≠0
Bx．x1＞的1自变C量．xx的≥1取值范D．围x是＞（0
B
）
3、已知等腰三角形的周长为10cm，将底边长y(cm)表示成腰长 x(cm)的函数关系式是y＝10－2x，则其自变量x的取值范围是：
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⑤.对称于原点的两点:
1、点P（-3， 3 ）到x轴的距离是 3 ，
到y轴的距离是 3 ，到原点的距离是 2 3 。
八年级第十七章《函数及其图象》知识点
.精品文档.八年级第十七章《函数及其图象》知识点八年级第十七《函数及其图象》知识点（2）一、一次函数（一）一次函数的概念：形如y=kx+b （其中k工0）,两个特征：①k工0，②x的次数为1正比例函数的概念：当b=0时的一次函数成为正比例函数，此时称y与x成正比例【注意】两个变量成正比例，即y=kx.例题1、若函数y=（-1）x|| 是一次函数，则=.2、若y-1与x+3成正比例，且当x=1时，y=2，求y与x 的函数关系式.（二）一次函数的图象及其性质：y=kx+b （" 0）1、一次函数的图象是一条直线，故使用待定系数法求直线解析式时一般需要两个点.特殊直线：直线y=x或直线y= -x上的点到两坐标轴距离相等.2、一次函数的性质（与系数k、b相关）① k决定着函数的增减性当k > 0时，y随x的增大而增大（增函数），必过第一三象限当k v 0时，y随x的增大而减小（减函数），必过第二四象限② b决定着直线与y轴交点的位置：在原点的基础上“上加下减”当b=0时，必过原点；当b>0时，沿y轴向上平移；当b v 0时，沿y轴向下平移.补充口诀：上加下减改变b, y=kx+b —y=kx+b+左加右减改变x, y=kx+b —y=k（x+）+b③斜率k的性质：平移k不变；|k|越大，直线的倾斜程度越大；k=【可用于待定系数法求解析式中的k 1④截距b的性质：与y轴交点（0, b）,与x轴交点（, 0）⑤四种特殊位置关系的直线：两直线平行k相等；两直线相互垂直--> k1 • k2= -1 ；两直线关于x轴对称--> k与b均互为相反数；两直线关于y轴对称k互为相反数，b相等.⑥点（x0, y0）到直线ax+by+=0的距离d公式：d=（三）一次函数的应用1、解题关键：点的坐标，尤其是交点的坐标三种交点：①与x轴交点，y坐标为0,即（x, 0）②与y轴交点，x坐标为0,即（0, y）③两个图象的交点：联立解析式，方程组的解即为交点的x坐标和y坐标2、解题思路：①与三角形全等、直角三角形、面积、周长、线段有关的问题均转化为点的坐标【数形结合很重要，注意运用“全等（含对称）、勾股定理、等面积法（含同底等高）”等知识】②求函数解析式（含求函数值或自变量的值）均用待定系数法，其中k、b注意利用性质求得.【待定系数法思路：几个未知系数，就用几个条件构造方程】③比较大小的三种方法：【含两种方案的比较问题】代入计算法（对函数解析式已知的题目适用）增减性分析法（对k的符号已知的适用）图象分析法（对能画出大致图形的适用，借助交点和坐标轴分析）④最值问题（如最大利润）：先求出自变量的取值范围（常以“有几种方案”的问题出现，需根据题意列不等式组求出）；再列出关于利润的函数表达式（要化简整理成y=kx+b 的形式），最后根据增减性结合具体方案（自变量取值范围），找出最值.⑤行程问题（常以两车同向或相向为背景）图象交点的意义：两车相遇(或追上)两车的距离即为：s=y1-y2例题1、已知直线y=(k+2)x+k2-4 的图象经过原点，贝U k=.2、若一次函数y=(k+2)x-2k+3的图象不经过第四象限，则k的取值范围是.3、已知直线平行于直线y=2x，且与y轴交点到原点的距离为2,则该直线的解析式是.4、把直线y=-x+3向上平移个单位后，与直线y=2x+4的交点在第一象限，则的取值范围是.5、函数y=ax-2与y=bx+3的图象交于x轴上的一点，则=.6、一次函数y=(3a-7)x+a-2 的图象与y轴交点在x轴上方，且y随x的增大而减小，求a的取值范围.7、正比例函数y=-kx的图象经过第一三象限，在函数y=(k-2)x 的图象上有三个点(x1 , y1 )、(x2, y2)、(x3, y3), 且x1 >x2 > x3时，贝» y1、y2、y3的大小关系为.&若直线y=kx+b交坐标轴于(-2,0) 、(0,3)两点，则不等式kx+b > 0的解集是.9、函数y= -x+3，当图象在第一象限时，x的取值范围是；当-1 < x < 3时，函数的最小值是.10、直线AB过点A (0,6 )、B (-3,0 ),直线D与直线AB相互垂直，且过点（0,1 ）.（1）求两直线的解析式；（2）求直线D与x轴的交点D 的坐标；（3）求直线AB上到y轴距离等于4的点的坐标；（4）求两直线的交点P的坐标；（5）求厶PAD的面积；（6）在y 轴上的是否存在点，使得S A PA=S^ PAD.11、点A为直线y=-2x+2上的点，点A到两坐标轴的距离相等，则点A的坐标为.12、把Rt △ AB放在平面直角坐标系中，点A （1,0 ）、点B（ 4,0 ）, / AB=90°, B=5.将厶AB沿x轴向右平移，当点落在直线y=2x-6上时，求线段B扫过的面积.13、某工厂投入生产一种机器，当该机器生产数量至少为10台，但不超过70台时，每台成本y与生产数量x之间是一次函数关系，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x （单位：台）102030y （单位：万元/台）605550（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的50取值范围；(2)市场调查发现，这种机器每月销售量z (台)与售价a (万元/台)之间满足如图所示的函数关系.该厂生产这种机器后第一个月按同一售价共卖出这种机器25台，请你求出该厂第一个月销售这种机器的利润. (注：利润=售价-成本)14、现从A, B两个蔬菜市场向甲、乙两地运送蔬菜，A, B 两个蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，乙地需要蔬菜13吨，从A地到甲地的运费为50元/吨，到乙地的运费为30元/吨；从B地到甲地的运费为60元/吨，到乙地的运费为45元/吨.(1) 设从A地往甲地运送蔬菜x吨，请完成下表：运往甲地(单位：吨)运往乙地(单位：吨)AxB(2) 设总运费为元，请写出与x的函数关系式；(3) 共有多少种运送方案？哪种方案运费最少？15、一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1 (k),出租车离甲地的距离为y2 ( k),客车行驶时间为x ( h), y1 , y2 与x 的函数关系图象如图所示：(1)根据图象，求出y1 , y2关于x的函数关系式。
指数函数的图象及其性质 说课稿
2、指数函数的图象及其性质说课稿一、教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学（1）》（人教A版）第二章第一节第二课（2.1.2）《指数函数及其性质》。
根据我所任教的学生的实际情况，我将《指数函数及其性质》划分为两节课（探究图象及其性质，指数函数及其性质的应用），这是第一节课“探究图象及其性质”。
指数函数是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究。
二、学生学习况情分析指数函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，是学生对函数概念及性质的第一次应用。
教材在之前的学习中给出了两个实际例子（GDP的增长问题和炭14的衰减问题），已经让学生感受到指数函数的实际背景，但这两个例子背景对于学生来说有些陌生。
本节课先设计一个看似简单的问题，通过超出想象的结果来激发学生学习新知的兴趣和欲望。
三、设计思想1.函数及其图象在高中数学中占有很重要的位置。
如何突破这个即重要又抽象的内容，其实质就是将抽象的符号语言与直观的图象语言有机的结合起来，通过具有一定思考价值的问题，激发学生的求知欲望――持久的好奇心。
我们知道，函数的表示法有三种：列表法、图象法、解析法，以往的函数的学习大多只关注到图象的作用，这其实只是借助了图象的直观性，只是从一个角度看函数，是片面的。
本节课，力图让学生从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，并通过对比总结得到研究的方法，让学生去体会这种的研究方法,以便能将其迁移到其他函数的研究中去。
2.结合参加我校组织的两个课题《对话——反思——选择》和《新课程实施中同伴合作和师生互动研究》的研究，在本课的教学中我努力实践以下两点：⑴.在课堂活动中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式。
⑵.在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法。
函数及其图像知识点
《函数及其图像》知识点一、函数的概念、变量〔自变量、因变量〕、常量的概念。
①变量：在某一函数变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量。
②自变量：在某一函数变化过程中，主动变化的量的叫做自变量。
③因变量：在某一函数变化过程中，因为自变量的变化而被动变化的量叫做因变量。
此时，我们也称因变量是自变量的函数④常量：在某一函数变化中，始终保持不变的量，叫做常量。
练习：在函数r cπ2=中，自变量是 ，因变量是 ，常量是 ， 叫做的函数。
二、函数的三种表示方法：①解析法：②列表法：三、函数自变量的取值范围：平面直角坐标系。
水平的数轴叫做横轴〔x 轴〕，取向右为正方向；铅直的数轴叫做纵轴〔y 轴〕，取向上为正方向；两条数轴的交点O 叫做坐标原点。
x 轴和y 轴将坐标平面分成四个象限〔如图〕:五、平面内点的坐标：〔横坐标，纵坐标〕如图：过点P 作x 轴的垂线段，垂足在x 轴上表示的数是2，因此点P 的横坐标为 2 过点P 作y 轴的垂线段，垂足在y 轴上表示的数是3，因此点P 的纵坐标为 3 所以点P 的坐标为〔2 , 3〕 六、平面内特殊位置的点的坐标情况：〔连线〕第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 x 轴上 y 轴上 〔- ，-〕 〔- ，+〕 〔+ ，+〕 〔+ ，-〕 〔0 ，a 〕 (b , 0) 七、点的表示〔横坐标，纵坐标〕注意： ①不要丢了括号和中间的逗号；②表示的意思：当___x =时，___y =如点A 〔2，1〕 表示：当2x =时，1y =③注意x 轴上点的特征：(___,0)即纵坐标等于0;y 轴上点的特征：(0,___)即：横坐标等于0。
概括：坐标轴上的点的横坐标和纵坐标至少有一个为0。
八、对称点的坐标关系：⑴关于x 轴对称的点：横坐标 ，纵坐标 。
y xO 第四象限第三象限第二象限第一象限⑵关于y 轴对称的点：横坐标 ，纵坐标 。
⑶关于原点对称的点：横坐标 ，纵坐标 。
高中数学函数图象及其变换(动态图)
f ( x) x 2 x
2
知识点讲解
图像基本变换（翻折）
f ( x) y f ( x) y f ( x) f ( x)
f ( x) x2 2x
f ( x) 0 f ( x) 0
原图像x轴上侧不动，下侧的图像翻折到上侧
f ( x) x 2 2 x
f ( x) x2 2x
f ( x) x 2 2 x
知识点讲解
图像基本变换（对称）
y f ( x) y f ( x )
函数图像关于x轴对称
f ( x) x2 2x
f ( x) x 2 2 x
知识点讲解
图像基本变换（对称）
y f ( x) y f ( x)
图像与原图像关于y轴对称
y f ( x a)
f ( x
图像与原图像关于y轴对称
f ( x) sin( x)
2
) sin( x
2
)
知识点讲解
平移翻折变换
y f ( x) y f ( x a)(a 0) y f ( x a)
y sin x
知识点讲解
平移缩放变换（途径一） y f ( x) y f (kx a)(k , a 0)
纵坐标不变，横坐标变为原来的 倍 图像向左平移a个单位 y f ( x) k y f ( x a) 1
y f (kx a)
纵坐标不变，横坐标变为原来的
1 倍 2
2
) sin(2x
2
)
知识点讲解
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【答案】
C
3．(2014· 德州)如图 111，该图象中反 映的过程是：小强从家跑步去体育 场，在那里锻炼了一阵后，又去早 餐店吃早餐，然后散步走回家．其 中 x 表示时间， y 表示小强离家的距离． 根据图象提供的信息， 下列说法中错误的是 A．体育场离小强家 2.5 km B．小强在体育场锻炼了 15 min ( )
(0，0)
(3)对称点的坐标特征： 对称方式 点 P(a， b)的对 称点的坐标 坐标特征 关于 x 轴对称 (a，－b) 关于 y 轴对称 (－a，b) 关于原 点对称 (－a，－b)
横同纵反号 纵同横反号 坐标双反号
(4)各象限角平分线上的点的坐标特征： ①点 P(x ，y )在第一、三象限角平分线上⇔x ＝y (横 坐标与纵坐标相等)； ②点 P(x ， y )在第二、 四象限角平分线上 ⇔x ＝－y (横 坐标与纵坐标互为相反数)．
C．体育场离早餐店 4 km D．小强从早餐店回家的平均速度是 3 km/h 【答案】 C
4．(2014· 重庆)2014 年 5 月 10 日上午，小华同学接到通知，她的 作文通过了《我的中国梦》征文选拔，需尽快上交该作文的 电子文稿．接到通知后，小华立即在电脑上打字录入这篇文 稿，录入一段时间后因事暂停，过了一小会，小华继续录入 并加快了录入速度，直至录入完成．设从录入文稿开始所经 过的时间为 x，录入字数为 y，则下面能反映 y 与 x 的函数关 系的大致图象是 ( )
【解析】 由图象知：前 90 km 用了 1.5 h，后面的 80 km 用了 1 h， 所用 60 3 的时间为 ＝ (h)． 80 4 ∴当距离目的地还有 20 km 时， 一共行驶的时间为 1.5＋ ＝2.25(h)． 3 4
【解析】 由题意知：存水量 V 先随时间 t 的变化减小到原水池 水量的一半，又随着时间的变化增加到满水池水量，再又随时间 的变化减小到零，故符合题意的应是 A. 【答案】 A
5．(2014· 南通)如图 11－11①， 底面积为 30 cm2 的空圆柱形 容器内水平放置着由两个实 心圆柱组成的几何体，现向 容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度 h(cm) 与注水时间 t(s)之间的函数关系如图 1111②所示． 请根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)圆柱形容器的高为 cm，匀速注水的水流速度为
(5)平行于坐标轴的直线上点的坐标特征： ①平行于 x 轴的直线上，所有点的 ②平行于 y 轴的直线上，所有点的
6．点 P(x，y)坐标的几何意义：
纵 横
坐标相等． 坐标相等．
(1)点 P(x，y)到 x 轴的距离是
(2)点 P(x，y)到 y 轴的距离是
|y| ．
|x| ．
(3)点 P(x，y)到原点的距离是 x2＋y2．
3．研究一个实际问题时，首先从问题中抽象出特定的函数关系， 转化为“函数模型”，然后利用函数的性质得出结论，最后 把结论应用到实际问题中去，从而得到实际问题的结论．
【典例 1】
矩形的周长是 8 cm，设一边长为 x(cm)，另
一边长为 y(cm)．
【错解】 则 y＝4－x.
(2)图象如图 117 所示．
【解析】
根据分式的意义，得 x－1≠0，即 x≠1.
【答案】
x≠1
题型二
确定函数图象
分析两个变量之间的关系，学会用图象表示函数关 系，运用数形结合的思想进一步理解函数的意义．
【典例 2】 某蓄水池的横断面示意图如图 113 所示，分深水区 和浅水区，如果这个注满水的蓄水池以固定的流量把水全部 放出， 下面的图象能大致表示蓄水池水的深度 h 和放水时间 t 之间的关系的是 ( )
【答案】
C
题型一
确定自变量的取值范围
(1)若函数一边含自变量的式子是整式， 则自变量取全体实数； (2) 若函数一边含自变量的式子是分式，则自变量取使分母不为 0 的 全体实数；(3)若函数一边含自变量的式子是偶次根式，则自变量 只取使被开方数为非负数的全体实数； (4)若函数一边含自变量的 式子含有零指数或负整数指数幂，则自变量应是使底数不等于 0 的全体实数；(5)若函数一边含自变量的式子有多个条件限制，必 须先求出式子中各部分自变量的取值范围，然后再取其公共部 分，此类问题要特别注意，只能就已知的式子进行求解，而不能
进行化简变形，特别是不能轻易地乘或除以含自变量的因式．
【典例 1】
(2014· 资阳)函数 y＝1＋ x＋3中自变量 x 的 ．
取值范围是 【解析】
由被开方数是非负数，得
x＋3≥0，即 x≥－3.
【答案】
x≥－ 3
【类题演练 1】
(2012·南通)函数 y ＝
1 中，自变量 x x ＋5
的取值范围是__________．
︵ 【解析】 当蚂蚁从 O→A 时，s 从 0 逐渐变大；当蚂蚁在AB 上时，s 不变；当蚂蚁从 B→O 时，s 逐渐变小到 0.
【答案】 C
题型三
根据图象解决实际问题
认真阅读题干内容，分析图象提供的信息，由图象分 析变量的变化趋势，从而确定变量之间的关系，解决实际 问题．
【典例 3】
(2014· 金华)小明从家跑
x>0， 解得 故自变量 x<4.
x 的取值范围为 0<x<4.
(2)图象如图 118 所示．
★名师指津
作实际问题的函数图象时，若不注意自变量
的取值范围，往往会作出错误的图象．当图象有端点 时，要注意端点值是否能取到，能取到应画实心圆点， 取不到应画空心圆圈．
【典例 2】 如图 119 所示的球形容器上连结着两根导管，容 器中盛满了不溶于水且比空气重的某种气体，现在要用向 容器中注水的方法来排净里面的气体．若水从左导管匀速 地注入，气体从右导管排出，则容器内剩余气体的体积与 注水时间的函数关系的大致图象是 ( )
4．函数的三种表示方法： (1)解析法；(2)列表法；(3)图象法．
5．特殊点的坐标特征： (1)各象限内点的坐标的符号特征： 点 P(x，y) 所在的象限 横、纵坐标 符 号 一 x＞ 0 y＞0 二 x＜ 0 y＞0 三 x＜ 0 y＜0 四 x＞ 0 y＜0
(2)坐标轴上点的坐标特征： 点 P(x，y) 所在的位置 点 P 的坐标 x轴 (x，0) y轴 (0，y) 原 点
【答案】 A
5．(2014· 抚州)一天，小亮看到家中的塑料桶中有一个竖直放置 的玻璃杯，桶和玻璃杯的形状都是圆柱形，桶口的半径是杯 口半径的 2 倍， 其主视图如图 112 所示． 小亮决定做个试验： 把塑料桶和玻璃杯看做一个容器，对准玻璃杯口匀速注水， 注水过程中杯子始终竖直放置，则下列图象能大致反映容器 最高水位 h 与注水时间 t 之间关系的是 ( )
【解析】 由于上山时此人随时间的推移离山脚越来越远，在 山顶休息时与山脚的距离 h 保持不变，下山时离山脚越来越 近，故选 D.
【答案】
D
3．甲、乙两同学骑自行车从 A 地沿同一条路 到 B 地，已知乙比甲先出发，他们离出发 地的距离 s(km)和骑行时间 t(h)之间的函 数关系如图 1110 所示，有下列说法： ①他们都骑了 20 km；②乙在途中停留了 0.5h；③甲、乙 两人同时到达目的地；④甲、乙两人途中没有相遇过． 其中正确的说法是 A．①②
【错解】 选 B，理由：当水匀速地注入球形容器时，由于球 形的体积不均匀， 所以排出的体积在球体内的高度变化是先快 后慢再快，故选 B.
【析错】 上述错答的原因是忽略当水匀速地注入球形时，气 体从导管排出的体积也应是匀速变化的， 但空气在球体内的高 度变化是由于球体的体积不均匀而不匀速的， 而此题只求容器 内剩余气体的体积变化，而不是高度变化．
(1)由题意，得 2(x＋y)＝8，
【析错】
(1)上述解答错在没有根据题设条件讨论自变量 x
的取值范围．
(2)作函数图象时错将线段作成直线．
【纠错】 况，x，y (1)由题意，得 2(x＋y)＝8，则 y＝4－x，据实际情
x>0， x>0， 表示矩形的边长，则 即 y>0， 4－x>0，
【答案】
C
技 法 联 通
1．对函数概念的理解：(1)某一变化过程中有两个变量 x 和 y.在 具体问题中，常量和变量是相对的．(2)对于 x 的每一个确定 的值，y 都有唯一确定的值与其对应．
2．对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为 点的横坐标与纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形， 就是这个函数的图象．表示函数的方法有： (1) 函数表达式 法．(2)图象法．(3)列表法．
【纠错】 选 C，理由：当水匀速注入球形容器时，球体内剩 余气体的体积也应是匀速变化的，故选 C.
★名师指津 在解决函数图象的有关问题时， 有时易受到函数
图象直观形象的错误诱导，解此类题的关键是确定要研究 的对象以及它们之间的变化关系．
1．有下列点：(1，2)，(3，3)，(－1，－1)，(1.5，0)．其 中在函数 y＝2x－3 的图象上的有 A．1 个 C．3 个 B．2 个 D．4 个 ( )
(2014· 泸州 )“五一”期
间， 王老师一家自驾游去了离家 170 km 的某地，他们离家的距离 y(km)与汽车 行驶时间 x(h)之间的函数图象如图 116 所示．当他们离目的地还有 20 km 时， 汽车一共行驶的时间是 A．2 h C．2.25 h B．2.2 h D．2.4 h ( )
【解析】 把各点的坐标代入函数表达式 y＝2x－3，成立 的有(3，3)，(1.5，0)，故选 B.
【答案】
B
2．某人早上进行登山活动，从山脚登上山顶后，休息了一会 儿，然后沿原路返回．若用横轴表示时间 t，纵轴表示此人 与山脚的距离 h， 则下列四个图中能反映全程 h 与 t 之间函 数关系的是 ( )