分段函数的单调性
分段函数的特性
分段函数的特性
分段函数的特性是指函数在一定的区间内有不同的特性。
分段函数具有以下特性：
1.连续性：在分段函数中，对于任意两个区间，该函数都是连续的。
2.可导性：在分段函数中，可以对每个单独的区间求导，以求出其斜率。
3.极大极小值：在分段函数中，可以找到函数的极大值和极小值，但其极值不一定在函数的每个区间中。
4.单调性：在分段函数中，每个单独的区间都是单调的，不同的区间的单调性可能不同。
5.多次导数：在分段函数中，可以计算函数的多次导数，以求出其形式。
6.泰勒级数：在分段函数中，可以对函数求取泰勒级数，以计算函数的值。
7.积分：在分段函数中，可以对函数求取积分，以计算函数的定积分或不定积分。
8.可微函数性：在分段函数中，可以将不同的函数进行可微函数处理，以计算整个函数的定性和定量特性。
9.函数表：在分段函数中，可以用函数表来表示函数的曲线，以便于直观表达和分析。
10.函数图形：在分段函数中，可以通过作图的方式表示函数的曲线，从而可视化地探究函数的特性。
微课《分段函数的单调性》ppt课件
（2）相邻两段函数中，自变量取值小 的一段函数的最小值（或下边界）大 于等于自变量取值大的一段函数的最 大值（或上边界）。
例题分析
a , x1 例若函数f（x） 是R上的增函数， a ) x2, x1 ( 4 2 求实数a的取值范围。 变式：把次题中的增函数改为减函数，求a的范围。
x
分段函数的单调性
分段函数的单调性规律：
1.分段函数在其定义域内是增函数必 须满足的条件：
（1）每一段都是增函数； （2）相邻两段函数中，自变量取值小 的一段函数的最大值（或上边界）小 于等于自变量取值大的一段函数的最 小值（或下边界）。
分段函数的单调性规律：
2.分段函数在其定义域内是减函数必 须满足的条件： （1）每一段都是减函数；
巩固练习
（a 2）x-2a（x 1） (1)已知f（x） 是R上的增函数， x（x 1） log a 求实数a的取值范围。 Nhomakorabea（x 0）
x
a (2)已知f（x） 是R上的减函数， （a -3）x 4 a（x 0） 求实数a的取值范围。
高中数学破题致胜微方法(函数的单调性)：分段函数的单调性
我们知道，分段函数在每一段上解析式不同，这类函数是否也能够具有单调性呢？又应该如何判断其单调区间呢？我们一起来深入探究。
先看例题：例：求函数()|4|2f x x x x =-+的单调区间解：题目中出现了绝对值，首先我们应该化简函数：222,4()6,4x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩ 如图，函数被红色直线x =4分为两段在每一段上，分别求出函数的单调区间当2()2,4f x x x x =-≥时，对称轴为x =1，所以当x ≥4时，函数单调递增当2()6,4f x x x x =-+<时，对称轴为x =3，所以当x <3时，函数单调递增，当(3,4)x ∈ 时函数单调递增。
所以：原函数的(-,3),(4,)∞+∞单调递增区间是，(3,4)单调递减区间是规律整理：分段函数的单调性： “”在每考察分段函数一段上考虑函的单调区间，数的单调性多个单调区间用逗号（“和”）求出相应的单调区间再总结，注意联结，不能用并集（“或”）。
练：若函数(2)1,1()log ,1aa x x f x x x --≤⎧=⎨>⎩在)∞+∞(-，上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ）解：如果函数在R 上递增，则对于函数的每一段，都必须是增函数； 且还要注意分段点处的函数值（即1左边的值应该≤1右边的值）。
根据上述分析，有：20121log 1a a a a ->⎧⎪>⎨⎪--≤⎩解得23a <≤如下图，a=3的情形：如下图：23a <≤的情形：总结：分段函数递增（减）的条件：函数12(),()(),f x x af x f x x a ≤⎧=⎨>⎩在R 上单调递增，则12121()(,],2()(,)(),)3(.f f a x a f x a f a -∞+∞≤（）在单调递增（）在单调递增（）函数12(),()(),f x x af x f x x a ≤⎧=⎨>⎩在R 上单调递减，则12121()(,],2()(,)(),)3(.f f a x a f x a f a -∞+∞≥（）在单调递减（）在单调递减（）练习：1.已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩ 是R 上的减函数，则a 的取值范围是_________2.若函数()||2f x x x a x =-+在R 上单调递增，求实数a 的取值范围______答案：2.函数转化为()2,()()2,x x a x x af x x a x x x a -+≥⎧=⎨-+<⎩整理得分段函数：22(2),()(2),x a x x af x x a x x a ⎧+-≥⎪=⎨-++<⎪⎩若函数在R 上单调递增，需要同时满足：2222a aa a+⎧≥⎪⎪⎨-⎪≤⎪⎩ 解得：22a -≤≤所以a 的取值范围为：(2,2)a ∈-。
分段函数的单调性问题
【规避策略】
1.弄清分段函数的单调性的特点
对于分段函数的单调性,一要保证各段上同增(减),二要保证上、下段 间端点值间的大小关系. 2.熟练掌握分段函数单调性的图象解法 画出这个分段函数的图象,结合函数图象、性质进行直观判断.
【自我矫正】选B.
由题意f(x)在R上单调递增,
a 1， 则有 4 a 0， 2 a (4 ) 2 a， 2
分段函数的单调性问题
【典例】(2015·金华模拟)f(x)=
增函数,则实数a的取值范围是 A.(1,+∞) B.[4,8) (
a x , x 1, 是R上的单调递 a (4 )x 2, x 1 2
) D.(1,8)
C.(知道错在哪里吗? 提示:上述解题过程错在忽视在定义域两段区间分界点上的函数值的 大小而导致实数a的范围扩大.
解得4≤a<8.
第2讲分段函数及函数的单调性
第二讲分段函数及函数的单调性一.分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数无论分成几段，都是一个函数，不要误解为是“由几个函数组成”．求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论．常见的命题类型有：(1)分段函数的函数求值问题；(2)分段函数的自变量求值问题；(3)分段函数与函数性质、方程、不等式问题．二.函数的单调性1.单调性的定义增函数减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I ：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x1， x2定义当 x1<x2 时，都有 f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x) 在区间 D 上是当 x1<x2 时，都有f(x1 )>f(x2) ，那么就说函数f(x) 在区间 D 上是___________ ________图象描述自左向右看图象是 __________ 自左向右看图象是_________单调区间的定义如果函数 y＝ f(x)在区间 D 上是增函数或减函数，那么就说函数y＝ f(x)在这一区间具有(严格的 )_______ ，区间 D 叫做函数 y＝ f(x) 的___________.2．函数的最值前提设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数M 满足条件①对于任意的 x∈ I，都有 f(x)≤M ；①对于任意 x∈ I ，都有 f(x)≥M；②存在 x0∈ I ，使得 f(x0)＝ M ②存在 x0∈I ，使得 f(x0)＝ M结论M 为函数 y＝ f(x)的最大值M 为函数 y＝ f(x)的最小值三.题型详解题型一分段函数的函数求值（域）问题1.已知函数 f(x)＝ log 2x ， x>0 ，1 的值是 ________．x 则 f f 3 ＋ 1，x ≤ 0， 422. 若函数 ??(??) = ?? + 1, ??≤1=（ ） lg??, ??> ，则 ??(??(10))1 A ． lg101B ．2C ． 1D ．03.设定义在 N 上的函数 f （ x ）满足 f （ n ） = n 13 (n 2000), f [ f ( n 18)] (n 2000), 试求 f （ 2002）的值 .1， x>1，4.设函数 f(x)＝ x则 f(f(2)) ＝ ________，函数 f(x)的值域是________．－ x － 2， x ≤ 1，题型二 分段函数的自变量求值问题1x 2， x ∈ [0，＋∞ ，1．已知 f(x)＝ π，若 f(a)＝ 1，则 a ＝________.2|sin x|， x ∈ － ， 022x－ 2，x ≤0， 且 f(a)＝－ 2，则 f(7 － a)＝ ()2.已知函数f(x)＝－ log 3x ， x>0 ，3 57A ．－log37B ．－ 4C ．－ 4D ．－ 4a －1 x ＋1， x ≤ 1， 3.已知函数f(x)＝a x － 1， x>1，若 f(1)＝ 1，则 f(3)＝________.2题型三 分段函数与函数性质、方程、不等式问题．x 2＋ 2ax ， x ≥ 2，1.已知函数f(x)＝2 x ＋ 1， x<2，若 f(f(1))>3 a 2，则 a 的取值范围是________．2.已知函数 f（ x ）=x 2 ( x 2),则 f （ lg30 －lg3 ）=___________________ ； 2 ( x 2), 不等式 xf （ x － 1）＜ 10 的解集是 ___________________.题型四 .常见函数的单调性一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性、单调区间。
分段函数的单调性
分段函数的单调性在数学中，分段函数是指由不同的函数段组成的函数。
每个函数段的定义域是不一样的，一般是非连续的。
分段函数在实际应用中比较常见，如渐进函数、分段函数曲线、阶梯函数等，因此理解和掌握分段函数的性质对于我们解决实际问题非常重要。
其中，分段函数的单调性是分析分段函数的一种重要方法，本文将介绍分段函数的单调性及其相关知识。
一、分段函数分段函数可以看做是由多个函数组成的函数。
设函数f(x)在区间[a,b]上的定义域为D，如果D可以被分成n个互不重叠的区间I1,I2,...,In，并且在每个区间Ii上，函数f(x)可以表示为与一些和f(x)有相同定义域的函数ui(x)的和，即f(x)=u1(x)，x∈I1u2(x)，x∈I2...un(x)，x∈In则称f(x)是在区间[a,b]上的分段函数，每个ui(x)被称为f(x)的一个函数段。
二、单调性的定义单调性是指一个函数在其定义域上的单调关系，即函数值的增减关系。
我们说函数f(x)在区间[a,b]上单调递增，就是指对于任意的x1,x2∈[a,b]，若x1<x2，则有f(x1)≤f(x2)。
同理，我们说函数f(x)在区间[a,b]上单调递减，就是指对于任意的x1,x2∈[a,b]，若x1<x2，则有f(x1)≥f(x2)。
在实际应用中，我们需要掌握如何分析分段函数的单调性，以解决一些与实际问题相关的计算问题。
三、单调性的判断方法我们通常采用以下方法来判断分段函数的单调性。
1.求一阶导数对于分段函数f(x)，如果它在每个函数段上都可导，则其导函数f'(x)也是分段函数，且f(x)单调递增/递减，当且仅当f'(x)在对应区间上满足：在x∈(a,b)内，若f'(x)>0，则f(x)在(x1,x2)上单调递增；在x∈(a,b)内，若f'(x)<0，则f(x)在(x1,x2)上单调递减。
2.分类讨论对于分段函数f(x)，我们也可以通过分类讨论的方法来判断其单调性。
(完整)2.15 分段函数专题讲义
高三总复习—-分段函数专题分段函数的定义:分段函数;对于自变量x 的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数。
它是一个函数，而不是几个函数：分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集。
知识点梳理一、定义：分段函数是指自变量在不同范围内，有不同对应法则的函数. 二、注意：1、分段函数是一个函数，而不是几个函数;2、分段函数的定义域是自变量各段取值的并集；3、分段函数的值域是各段函数值的并集。
4、解决分段函数的方法:先分后合 三、涉及的内容及相应的常用方法：1、求解析式： 利用分段中递推关系，如平移、周期、对称关系,已知其中一段的解析式，得到整个定义域的解析式；2、求值、解不等式：注意只有自变量在相应的区间段才可以代入对应的解析式。
不能确定时常需要分情况讨论;3、单调性： 各段单调(如递增）+连接处不等关系.(如()()()12,(,],[,)f x x a f x f x x a ∈-∞⎧⎪=⎨∈+∞⎪⎩在R 上是增函数，则()()()()1212(,)[,)f x a f x a f a f a ⎧-∞↑⎪⎪+∞↑⎨⎪≤⎪⎩①在上②在上③)；4、奇偶性： 分段讨论，各段均符合相同的定义中的恒等式,才有奇偶性,否则为非奇非偶函数；A5、图像性质或变换等： 作图、赋值等,注意变量的范围限制；6、最值： 求各段的最值或者上下界再进行比较；7、图像： 分类讨论，如零点分段法得到各段解析式再作图； 例题讲解：题型一、分段函数的图像。
1.作出函数()1y x x =+的图象2. 函数ln |1|xy e x =--的图象大致是 （ ）题型二、分段函数的奇偶性 1、判断函数(1)(0),()(1)(0).x x x f x x x x -<⎧=⎨+>⎩的奇偶性2、已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当20,()2 3.x f x x x >=-+时求f （x ）的解析式。
函数基本性质题型及解题技巧
函数基本性质题型及解题技巧函数基本性质题型及解题技巧一、函数解析式的求法：1.配凑法：将关系式配凑成括号内的形式。
例如，已知$f(x+)=\frac{x^2}{2}$，求解析式$f(x)$。
解：因为$f(x+)=\frac{x^2}{2}=(x+)^2-2$，所以$f(x)=x^2-2$，$x\in(-\infty,-2]\cup[2,\infty)$。
2.换元法：令括号内的部分等于$t$，然后解出$x$，带入得到关于$t$的解析式，最后再换回$x$。
例如，已知$f(x+1)=x+2x$，求$f(x)$的解析式。
解：令$t=x+1$，则$x=(t-1)^2$，$(t\geq1)$，因此$f(t)=(t-1)^2+2(t-1)=t^2-1$。
所以$f(x)=x^2-1$，$(x\geq1)$。
3.待定系数法：根据已知函数类型，设相应的函数解析式，然后根据已知条件算出相应系数。
例如，已知$f(x)$是二次函数，且$f(0)=2$，$f(x+1)-f(x)=x-1$，求$f(x)$。
解：设$f(x)=ax^2+bx+c$，由$f(0)=2$得$c=2$，由$f(x+1)-f(x)=x-1$，得恒等式$2ax+a+b=x-1$，解得$a=\frac{1}{2}$，$b=-\frac{1}{2}$。
因此，所求函数的解析式为$f(x)=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x+2$。
4.消元法（方程组法）：若函数方程中同时出现$f(x)$与$f(-x)$，则一般用$x$代之或用$-x$代之，构造另一个方程，然后联立解方程组得到$f(x)$。
例如，已知$3f(x)+2f(-x)=x+3$，求$f(x)$。
解：因为$3f(x)+2f(-x)=x+3$，令$x=-x$得$3f(-x)+2f(x)=-x+3$，消去$f(-x)$得$f(x)=\frac{x}{5}+\frac{3}{5}$。
二、绝对值图像的画法：5.对于函数$y=ax^2+b|x|+c$，找出$x=0$的点和两个对称轴上的点，然后将它们连起来。
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分段函数的单调性
一、单选题(共10道，每道10分)
1.若是上的增函数，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
2.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
3.已知是上的单调递增函数，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
4.若函数是上的减函数，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5.若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7.已知函数满足：对任意实数，当时，总有
，那么实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.已知函数，若，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
9.已知函数，若，则实数x的取值范围是( )
A. B.
C. D.
10.已知，若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.。