行波法求解振动方程
第七章 行波法(一)
第七章 行波法
利用初值条件确定函数 F，G
u( x,0) ( x)
ut ( x,0) ( x)
F ( x) G ( x) ( x)
a[ F ( x) G( x)] ( x)
x
a[F ( x) G( x)] C ( )d
x0
其中
x
x1
x2
内，因此该三角区域称为
决定区域。
结论：达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两列波速 为a波的叠加，故称为行波法。
第七章 行波法
影响区域、依赖区间、决定区域
波动是以一定的速度 a 向两个方向传播的。
如果在初始时刻 t＝0，扰动仅仅在有限区间 [ x1 , x2 ] 上存在，则经过时间 t 后，扰动传到的范围为
x1 at x x2 at
第七章 行波法
无界弦振动的初值问题
2 2u 2 u x 2 a 2 x t u ( x, 0) ( x), u ( x, 0) ( x) t
第七章 行波法
2. 行波法的基本思想
这种方法是针对波动方程提出的。由于波动现象的普
1 过 x1 作斜率为 的直线 x x1 at a 1 过 x2 作斜率为 的直线 x x2 at a t 则 它们与区间 [ x1 , x2 ]
一起围成的三角形区域 中的任意一点 ( x, t ) 的 依赖区间都落在区间 [ x1 , x2 ]
x x1 at
x x2 at
遍性，对如何认识和解决波动问题，一直是物理学家和数 学家们长期探索的课题。 （1）波函数可写成位置和时间函数的分离形式，且波函数
是由无穷多个谐波分量叠加而成的，由此提出了分离变量
第七章-行波法
的物理意义
u2 f2 ( x)
u2 f 2 ( x a / 2)
a
a 2
u2
a
3a 2
u2
x
x
t 1
t 2
u2 f 2 ( x a)
u2 f 2 ( x 2a)
0
u2
2a
x
a
3a
x
随着时间 t 的推移，u2 f2 ( x at ) 的图形以速度 a 向 x 轴正方向移动，所以表示一
(t x / a) (t x / a)
(t x / a)
1 1 ( )d 2a x at 2a 1 2a
x at
x at
x at
0
1 1 ( )d ( )d 2a x at 2a
0 x at
0
x at
0
1 ( )d ( )d 2a x at
数学物理方程与特殊函数
第7章 - 行波法
2 关键步骤： 通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐次 二阶偏微分方程。 3 适用范围： 无界域内波动方程，等…
由一维波动方程建立通解公式，然后得到Cauchy问题解的表达式
数学物理方程与特殊函数
（一）波动方程的达朗贝尔公式
A. 变量代换
第7章 - 行波法
x
1 1 1 f1 ( x) ( x) ( )d [ f1 ( x0 ) f 2 ( x0 )] 2 a x0 2
1 1 1 f 2 ( x) ( x) ( )d [ f1 ( x0 ) f 2 ( x0 )] 2 a x0 2
x
数学物理方程与特殊函数
波动方程和行波法
f ( x0 , y0 , z0 , t )
其中 f ( x0 , y0 , z0 , t ) 为已知函数。
35
第二类边界条件（Neuman 边界条件）：
规定所研究物理量在边界外法线方向 n 上的
方向导数的数值.
u f n
u f ( x0 , y0 , z0 ) ， n ( x0 , y0 , z0 )
36
第三类边界条件（混合边界条件 也叫 Robin边界条件 ）：规定所研究物理量及其
外法向导数的线性组合在边界上的值
u Hun
( x0 , y0 , z0 )
f ( x0 , y0 , z0 , t )
u f H :常系数 u n
37
以上三类边界条件当 f 0 时，分别称为 第一、二、三类齐次边界条件。
22
应用微积分中值定理:
ux ( x dx, t ) T1ux ( x, t ) uxx dx
dy f ' ( x)dx
ux ( x dx, t ) T1ux ( x, t ) uxx dx
x Fdx dxutt
Tuxx dx Fdx dxutt
39
2 a u tt u xx 0 在这一点无意义.如果,将
l 分成 x x0 ，x x0 两段分别考虑，
在各段上,弦振动方程有意义，但它是一 根弦的两段，并不是各自振动的。从数学
上来讲，不可能在两端上分别列出定解问
题。两段可作为一个整体来研究，两段的 振动是相互关联的。
40
u
F（0,t）
15
即整根弦由相互牵连的质点组成，对每个
第十章波动方程的达朗贝尔解
第十章波动方程的达朗贝尔解(9)一、内容摘要1．行波法达朗贝尔公式行波法是以自变量的线性组合作变量代换，对方程进行求解的一种方法，它对波动方程类型的问题求解十分有。
一维无界弦自由振动（即无外力）定解问题为：()()()()()()()20,,0,0,,0.tt xx t u a u x t u x x x u x x x ϕψ⎧-=-∞<<∞≥⎪=-∞<<∞⎨⎪=-∞<<∞⎩ 可以证明，原问题具有如下形式的通解：()(),u x t f x t α=+将该通解代入泛定方程得到该方程的附加方程：220a α-=； 且解为a α=±。
原方程的通解可以表示为:()()()12,u x t f x at f x at =++-．原方程满足初始条件的特解可以表示为:()()()()11,[]+''22x at x at u x t x at x at x dx aϕϕψ+-=++-⎰，这个式子就是达朗贝尔公式()(),x x ϕψ为任意二次可微函数.达朗贝尔解可以理解为扰动在弦上总是以行波的形式沿相反的两个方向传播出去，因此该解发又称为行波法或传播波法。
2．行波法要点行波法始原于研究行进波，其解题要领为：（1）引入变量代换，将方程化为变量可积的形式，从而求得其通解；（2）用定解条件确定通解中的任意函数（或常数），从而求得其特解。
由于大多偏微分方程的通解难以求得，用定解条件定任意常数或函数也绝非易事，故行波法有较大局限性，但对于研究波动问题而言，有它的特殊优点。
二、习题1．求解初值问题（1）()()()()()2,,,0,;,0cos ,,0 2.,.tt xx t u a u x t u x x u x x ⎧=∈-∞∞∈∞⎪⎨==∈-∞∞⎪⎩．（2）()()()()(),0,,,.tt xx u u x t u x x x u x x x ϕψ=-∞<<∞>⎧⎪⎨-==⎪⎩．（3）()()()()22,,,0,;1,00,,0.1+tt xx t u a u x t u x u x x ⎧=∈-∞∞∈∞⎪⎨==⎪⎩． （4）()()()()()()2,,,0,;,0,,0'.tt xx t u a u x t u x x u x a x ϕϕ⎧=∈-∞∞∈∞⎪⎨==-⎪⎩．2．验证()()(),3u x y x y x y ϕψ=-++是偏微分方程230xx xy yy u u u +-=的解，其中,ϕψ是充分光滑的任意函数。
数学物理方法之行波法与达朗贝尔公式
数学物理方法泰山医学院于承斌cbyu@第十四章行波法与达朗贝尔公式14.1 二阶线性偏微分方程的通解对于给定的偏微分方程，一般不能简单的确定通解，但对简单的标准形式的方程或一个标准形式进一步化简后，有的可以得到通解。
例14.1.1 求偏微分方程的通解为:板书讲解P280例14.1.2 求偏微分方程的通解为:板书讲解P28114.2 二阶线性偏微分方程的行波解通解法中有一种特殊的解法――行波法, 即以自变量的线性组合作变量代换，进行求解的一种方法，它对波动方程类型的求解十分有效.1.简单的含实系数的二阶线性偏微分方程为了方便起见，我们首先讨论如下的含实常系数的简单二阶线性偏微分方程xx xy yy au bu cu ++=(14.2.1)方程中的系数,,a b c 为实常数．,,a b c (,)x y （说明：这里我们用了小写字母表示它是实常数，而不是的函数）假设方程的行波解具有下列形式(,)()u x y F y x λ=+代入方程即得2()()()0a F y x b F y x cF y x λλλλλ′′′′′′+++++=需要求方程的非零解，故20a b c λλ++=(14.2.2)''()0F y x λ+≠上述方程变为(i) 240b ac ∆=−>12(,)()()u x y F y x G y x λλ=+++(14.2.3)240b ac ∆=−=(ii) 122b aλλ==−对应于抛物型方程，式(14.2.2)有相等的实根11(,)()()u x y F y x xG y x λλ=+++(14.2.4)对应于双曲型方程，式(14.2.2)有两个不同的实根12,λλ240b ac ∆=−<12i ,i λαβλαβ=+=−(iii) ，对应于椭圆型方程，式（14.2.4），则有两个虚根12(,)()()[()i ][()i ]u x y F y x G y x F y x x G y x x λλαβαβ=+++=++++−(14.2.5)2. 更为一般的含实常系数的偏微分方程如果方程具有更一般的形式222220u u u u u a b c d e fu x x y y x y ∂∂∂∂∂+++++=∂∂∂∂∂∂(14.2.6)其中,,,,,a b c d e f 均为实常数．我们可以令(14.2.7)代入方程（14.2.6）得(14.2.8)(,)mx ny u x y e+=220am bmn cn dm en f +++++=12()()12(,)mx n m y mx n m y u x y c ec e ++=+14.2.92(i) 40,b ac −>双曲型，上述方程有两个不同的实根，则1(),n m 2()n m 2(ii) 40,b ac −=抛物型，上述方程有相等的实根，则12()()n m n m =(14.2.11)2(iii) 40,b ac −<椭圆型，上述方程有两个共轭虚根，则12()(),()()n m i m n m i m αβαβ=+=−[()()][()()]12(,)mx m i m y mx m i m yu x y c e c e αβαβ+++−=+(14.2.10)（注明：上式中的第二项乘以x 是为了保证两根线性独立）12()()12(,)mx n m y mx n m yu x y c e c xe ++=+例题14.2.1 14.2.2 14.2.3 14.2.4 讲解本节以行波解法为依据，介绍求解定解问题的达朗贝尔公式.14.3.1 达朗贝尔公式设有一维无界弦自由振动（即无强迫力）定解问题为14．3 达朗贝尔公式2,0(14.3.1)0(,0)()(.0)()tt xx t x t u a u u x x u x x ϕψ−∞<<+∞>−===容易得知偏微分方程的判别式240a ∆=>，该方程为双曲型．由22a λ−=12 , a aλλ==−泛定方程（14.3.1）的通解为12(,)()()u x t F x at F x at =++−(14.3.2)其中12,F F 是任意两个连续二次可微函数．我们使用初始条件可确定12,F F 函数．注：本问题由于涉及无界弦问题，故没有边界条件，只有初始条件。
数学物理方程03_波动方程初始问题的求解【OK】
数学物理方程
将上述初始条件代入达朗贝尔公式，即可得到：
x at x 1 1 [ ( x at ) ( x at )] ( s ) ds , t 2 a x at 2 a u ( x, t ) 1 [ ( x at ) (at x)] 1 x at ( s )ds, t x 2 2 a at x a
( x at ) 代表以速度a 沿x 轴负向传播的波
1
1 x at b. 只有初始速度时： u ( x, t ) ( )d x at 2a
u( x, t ) 1 ( x at ) 1 ( x at )
1 ( ) 为 ( ) 的积分原函数。
结论：达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两列波速
第 3章
波动方程初始问题的求解
——行波法 （达朗贝尔公式） （特征线积分法）
1
数学物理方程
达朗贝尔公式（行波法）[一维问题]
通解法中有一种特殊的解法―行波法, 即以自变量的 线性组合作变量代换，进行求解的一种方法，它对波动方 程类型的求解十分有效. 1 基本思想： 先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定特解。 这一思想与常微分方程的解法是一样的。 2 关键步骤： 通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐次二阶 偏微分方程。
代入通解得： u( x, t ) [ ( x at ) ( x at )]
x at
x at
( s)ds
达朗贝尔公式
(3.1.2) 5
数学物理方程
（4）达朗贝尔公式的意义： a. 只有初始位移时，u ( x, t ) ( x at ) ( x at ) 2 ( x at ) 代表以速度a 沿x 轴正向传播的波
波动方程和行波法
13
3. 研究建立方程 ① 如图，选弦绷紧时（不振动）直线为 x 轴
u
F
T2
2
1 s
T1
0 A x xx B x
14
② 弦离开平衡位置的位移记为 u( x, t),
为表征物理量。 ③因弦的振动是机械振动，基本规律为：
F ma, 然而弦不是质点，故 Fma
u H u n(x 0 ,y 0 ,z 0 ) f(x 0 ,y 0 ,z 0 ,t)
uu fH:常系数
n
37
以上三类边界条件当 f 0 时，分别称为 第一、二、三类齐次边界条件。
38
4、其它条件
⑴ 衔接条件 由于一些原因，在所研究的区域里出
现跃变点，泛定方程在该点失去意义。如
波动方程（弦），如果有横向力F ( t )集中地
作用于 x 0 点，这就成了弦的折点。在点 x 0
斜率 u x 的左极限 ux(x00,t)不同于右极限
ux(x00,t)，因而 u x x不存在,
39
utta2uxx0在这一点无意义.如果,将
l 分成 x x0 ，x x0 两段分别考虑， 在各段上,弦振动方程有意义，但它是一
根弦的两段，并不是各自振动的。从数学
xF dxdxutt
T u x x d x F d x d x u tt
uttTuxxF
23
即
utt a2uxxf
—— 弦的强迫横振动方程
其中:
a2 T
，
f
F
量纲分析：T:MLT2 ， : ML1
24
∴
T MLT2
: ML1
L2T2
数学物理方程第三章 行波法
(1.7)
f 1 ( ), f 2 ( )是待定的任意二次连续 可微函数 .
u( x,0) f 1 ( x) f 2 ( x) ( x)
u ( x) - x (1.2) t t 0
x
1 f ( x ) f ( x ) ( )d 1 2 u( x ,0) a0 af 1( x ) af 2( x ) ( x ) t x 1 1 x f 1 ( x ) ( x ) ( )d 1 2 2a 0 f 1 ( x ) f 2 ( x ) ( )d
第三章 行波法
• • • • • 主要内容 掌握一维弦振动的解 掌握类比方法求三维、二维问题的解 了解偏微分方程的分类 会求偏微分方程的特征线
§1 弦振动的初值问题
无限长均匀细杆的振动问题，就可以表达成如下形式
2 2u 2 u x , t 0 (1.1) 2 a 2 x t u ( x ) - x (1.2) u(0, x ) ( x ), t t 0
(1.8)
（1.8）称作达朗贝尔公式。这种求解方法也称达朗贝尔解法或行波法（特征线法）。 这种方法对一般的偏微分方程来说是十分困难的。因此只适合波动方程定解问题的求解。
1.2 达朗贝尔公式的物理意义
达朗贝尔公式的物理意义
u( x, t ) f 1 ( x at) f 2 ( x at) (1.7) 先考察 u2 ( x, t ) f 2 ( x at) 的意义
2 2u u 2 a 波 动 方 程 ， 双 曲 型 方 .程 2 2 t x 2 u u 2 a 热 传 导 方 程 ， 抛 物 型程 方. 2 t x
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2016年9月4日 22:09
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