二次函数与三角形

二次函数与三角形抛物线与三角形的结合是抛物线与平面几何结合生成综合性问题的一种重要形式，这类问题以抛物线为背景，探讨是否存在一些点，使其能构成某些特殊图形，有以下常见的形式：（1）抛物线上的点能否构成特殊的线段；（2）抛物线上的点能否构成特殊的角；（3）抛物线上的点能否构成特殊三角形；（4）抛物线上的点能否构成全等三角形、相似三角形；这类问题把抛物线性质和平面图形性质有机结合，需综合运用待定系数法、数形结合、分类讨论等思想方法。

1、如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）在第三象限内，F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为3，求点F的坐标；（3）点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形？直接写出所有符合条件的t值．2、如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在y的正半轴上，点B的坐标是（5，3），抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一个交点是点D，连接BD．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是抛物线对称轴上的一点，以M、B、D为顶点的三角形的面积是6，求点M的坐标；（3）点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿D→B匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→A→D匀速运动，当点P到达点B时，P、Q同时停止运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以D、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？请直接写出所有符合条件的值．3、已知函数23 22y kx x=-+（k是常数）⑴若该函数的图像与x 轴只有一个交点，求k 的值；⑵若点()1,M k 在某反比例函数的图像上，要使该反比例函数和二次函数2322y kx x =-+都是y 随x 的增大而增大，求k 应满足的条件以及x 的取值范围； ⑶设抛物线2322y kx x =-+与x 轴交于()()12,0,,0A x B x 两点，且12x x <，22121x x +=，在y 轴上，是否存在点P ，使△ABP 是直角三角形？若存在，求出点P 及△ABP 的面积；若不存在，请说明理由。

4、如图，抛物线y=ax 2﹣2ax+c （a ≠0）交x 轴于A 、B 两点，A 点坐标为（3，0），与y 轴交于点C （0，4），以OC 、OA 为边作矩形OADC 交抛物线于点G ．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴l在边OA（不包括O、A两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长；（3）在（2）的条件下，连结PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM的形状；若不存在，请说明理由．5.如图，直线33y x b=+经过点B(3-，2)，且与x轴交于点A．将抛物线213y x=沿x轴作左右平移，记平移后的抛物线为C，其顶点为P．（1）求∠BAO的度数；（2）抛物线C 与y 轴交于点E ，与直线AB 交于两点，其中一个交点为F ．当线段EF ∥x 轴时，求平移后的抛物线C 对应的函数关系式；（3）在抛物线213y x =平移过程中，将△PAB 沿直线AB 翻折得到△DAB ，点D 能否落在抛物线C 上？如能，求出此时抛物线C 顶点P 的坐标；如不能，说明理由．6．已知：如图，抛物线22-+=bx ax y 交x 轴于B A ，两点，交y 轴于点C ，OA OC =，△ABC 的面积为2．（1）求抛物线的解析式；（2）若平行于x 轴的动直线DE 从点C 开始，以每秒1个单位的速度沿y 轴正方向平移，且分别交y 轴、线段BC 于点、E 点D ，同时动点P 从点B 出发，在线段OB 上以每秒2个单位的速度向原点O 运动．当备用图点P 运动到点O 时，直线DE 与点P 都停止运动．联结DP ，设点P 的运动时间为t 秒．①当t 为何值时，OP ED 11+的值最小，并求出最小值； ②是否存在t 的值，使以D B P ,,为顶点的三角形与△ABC 相似．若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．7．平面直角坐标系xOy 中，抛物线244y ax ax a c =-++与x 轴交于点A 、点B ，与y 轴的正半轴交于点C ，点 A 的坐标为(1, 0)，OB=OC ，抛物线的顶点为D ．(1) 求此抛物线的解析式；(2) 若此抛物线的对称轴上的点P 满足∠APB=∠ACB ，求点P 的坐标；(3) Q 为线段BD 上一点，点A 关于∠AQB 的平分线的对称点为A '，若2=-QB QA ，求点Q 的坐标和此时△QAA 的面积．参考答案1、解：（1）∵y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴当y=0时，x=﹣3，即A点坐标为（﹣3，0），当x=0时，y=3，即B点坐标为（0，3），将A（﹣3，0），B（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，得，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；（2）如图1，设第三象限内的点F的坐标为（m，﹣m2﹣2m+3），则m＜0，﹣m2﹣2m+3＜0．∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，∴对称轴为直线x=﹣1，顶点D的坐标为（﹣1，4），设抛物线的对称轴与x轴交于点G，连接FG，则G（﹣1，0），AG=2．∵直线AB的解析式为y=x+3，∴当x=﹣1时，y=﹣1+3=2，∴E点坐标为（﹣1，2）．∵S△AEF=S△AEG+S△AFG﹣S△EFG=×2×2+×2×（m2+2m﹣3）﹣×2×（﹣1﹣m）=m2+3m，∴以A、E、F为顶点的三角形面积为3时，m2+3m=3，解得m1=，m2=（舍去），当m=时，﹣m2﹣2m+3=﹣m2﹣3m+m+3=﹣3+m+3=m=，∴点F的坐标为（，）；（3）设P点坐标为（﹣1，n）．∵B（0，3），C（1，0），∴BC2=12+32=10．分三种情况：①如图2，如果∠PBC=90°，那么PB2+BC2=PC2，即（0+1）2+（n﹣3）2+10=（1+1）2+（n﹣0）2，化简整理得6n=16，解得n=，∴P点坐标为（﹣1，），∵顶点D的坐标为（﹣1，4），∴PD=4﹣=，∵点P的速度为每秒1个单位长度，∴t1=；②如图3，如果∠BPC=90°，那么PB2+PC2=BC2，即（0+1）2+（n﹣3）2+（1+1）2+（n﹣0）2=10，化简整理得n2﹣3n+2=0，解得n=2或1，∴P点坐标为（﹣1，2）或（﹣1，1），∵顶点D的坐标为（﹣1，4），∴PD=4﹣2=2或PD=4﹣1=3，∵点P的速度为每秒1个单位长度，∴t2=2，t3=3；③如图4，如果∠BCP=90°，那么BC2+PC2=PB2，即10+（1+1）2+（n﹣0）2=（0+1）2+（n﹣3）2，化简整理得6n=﹣4，解得n=﹣，∴P点坐标为（﹣1，﹣），∵顶点D的坐标为（﹣1，4），∴PD=4+=，∵点P的速度为每秒1个单位长度，∴t4=；综上可知，当t为秒或2秒或3秒或秒时，以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形．2、解：（1）∵矩形ABCD，B（5，3），∴A（5，0），C（0，3）．∵点A（5，0），C（0，3）在抛物线y=x2+bx+c上，∴，解得：b=，c=3．∴抛物线的解析式为：y=x2x+3．（2）如答图1所示，∵y=x2x+3=（x﹣3）2﹣，∴抛物线的对称轴为直线x=3．如答图1所示，设对称轴与BD交于点G，与x轴交于点H，则H（3，0）．令y=0，即x2x+3=0，解得x=1或x=5．∴D（1，0），∴DH=2，AH=2，AD=4．∵tan∠ADB==，∴GH=DH•tan∠ADB=2×=，∴G（3，）．∵S△MBD=6，即S△MDG+S△MBG=6，∴MG•DH+MG•AH=6，即：MG×2+MG×2=6，解得：MG=3．∴点M的坐标为（3，）或（3，）．（3）在Rt△ABD中，AB=3，AD=4，则BD=5，∴sinB=，cosB=．以D、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，则：①若PD=PQ，如答图2所示：此时有PD=PQ=BQ=t，过点Q作QE⊥BD于点E，则BE=PE，BE=BQ•cosB=t，QE=BQ•sinB=t，∴DE=t+t=t．由勾股定理得：DQ2=DE2+QE2=AD2+AQ2，即（t）2+（t）2=42+（3﹣t）2，整理得：11t2+6t﹣25=0，解得：t=或t=﹣5（舍去），∴t=；②若PD=DQ，如答图3所示：此时PD=t，DQ=AB+AD﹣t=7﹣t，∴t=7﹣t，∴t=；③若PQ=DQ，如答图4所示：∵PD=t，∴BP=5﹣t；∵DQ=7﹣t，∴PQ=7﹣t，AQ=4﹣（7﹣t）=t﹣3．过点P作PF⊥AB于点F，则PF=PB•sinB=（5﹣t）×=4﹣t，BF=PB•cosB=（5﹣t）×=3﹣t．∴AF=AB﹣BF=3﹣（3﹣t）=t．过点P作PE⊥AD于点E，则PEAF为矩形，∴PE=AF=t，AE=PF=4﹣t，∴EQ=AQ﹣AE=（t﹣3）﹣（4﹣t）=t﹣7．在Rt△PQE中，由勾股定理得：EQ2+PE2=PQ2，即：（t﹣7）2+（t）2=（7﹣t）2，整理得：13t2﹣56t=0，解得：t=0（舍去）或t=．∴t=．综上所述，当t=，t=或t=时，以D、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形．3、解：(1)①当0k =时，函数322y x =-+的图像与x 轴只有一个交点………………2分 ②当0k ≠时，若函数2322y kx x =-+的图像与x 轴只有一个交点，则方程23202kx x -+=有两个相等的实数根，所以23(2)402k --⨯=，即23k =.综上所述，若函数的图像与x 轴只有一个交点，则k 的值为0或23………………..4分（2）设反比例函数为my x=，则1m k =，即m k =.所以，反比例函数为k y x=要使该反比例函数和二次函数都是y 随着x 的增大而增大，则0k <…..………….5分二次函数2231132()22y kx x k x k k =-+=--+的对称轴为1x k =，要使二次函数2322y kx x =-+是y 随着x 的增大而增大，在0k <的情况下，x 必须在对称轴的左边，即1x k<时，才能使得y 随着x 的增大而增大. …………………………………………..6分∴综上所述，要使该反比例函数和二次函数都是y 随着x 的增大而增大，0k <且1x k<……………………………………………………………………………….7分 (3)∵抛物线2322y kx x =-+与x 轴有两个交点，∴一元二次方程方程23202kx x -+=的判别式23(2)40,2k ∆=--⨯⨯>即23k <又∵121222122,3,2 1.x x k x x k x x ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩∴2340k k +-=，∴4-=k 或1=k .又23k <， ∴4k =-..……………………………………………............8分在y 轴上，设(0,)P b 是满足条件的点，则222221221()()()b x b x x x +++=-，212b x x =-，∴b =.∴46±=b . 4718322)(22212212=+⨯=++=-x x b x x .∴21x x -=……………………..9分∴21117642()22Rt ABP S x x b ∆=-⨯=⨯⨯=. ∴在y 轴上，存在点)46,0(),46,0(21-P P ,使ABP ∆是直角三角形，ABP ∆的面积为4216…………………………………………………………………………………………10分4、解：（1）∵抛物线y=ax 2﹣2ax+c （a ≠0）经过点A （3，0），点C （0，4）， ∴，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x 2+x+4； （2）设直线AC 的解析式为y=kx+b ， ∵A （3，0），点C （0，4）， ∴，解得，∴直线AC 的解析式为y=﹣x+4． ∵点M 的横坐标为m ，点M 在AC 上， ∴M 点的坐标为（m ，﹣m+4），∵点P 的横坐标为m ，点P 在抛物线y=﹣x 2+x+4上， ∴点P 的坐标为（m ，﹣m 2+m+4），∴PM=PE ﹣ME=（﹣m 2+m+4）﹣（﹣m+4）=﹣m 2+4m ， 即PM=﹣m 2+4m （0＜m ＜3）；（3）在（2）的条件下，连结PC ，在CD 上方的抛物线部分存在这样的点P ，使得以P 、C 、F 为顶点的三角形和△AEM 相似．理由如下：由题意，可得AE=3﹣m ，EM=﹣m+4，CF=m ，PF=﹣m 2+m+4﹣4=﹣m 2+m ．若以P 、C 、F 为顶点的三角形和△AEM 相似，分两种情况：①若△PFC ∽△AEM ，则PF ：AE=FC ：EM ， 即（﹣m 2+m ）：（3﹣m ）=m ：（﹣m+4）， ∵m ≠0且m ≠3， ∴m=．∵△PFC ∽△AEM ，∴∠PCF=∠AME ，∵∠AME=∠CMF ，∴∠PCF=∠CMF ． 在直角△CMF 中，∵∠CMF+∠MCF=90°， ∴∠PCF+∠MCF=90°，即∠PCM=90°， ∴△PCM 为直角三角形；②若△CFP ∽△AEM ，则CF ：AE=PF ：EM ， 即m ：（3﹣m ）=（﹣m 2+m ）：（﹣m+4）， ∵m ≠0且m ≠3， ∴m=1．∵△CFP ∽△AEM ，∴∠CPF=∠AME ， ∵∠AME=∠CMF ，∴∠CPF=∠CMF ． ∴CP=CM ，∴△PCM 为等腰三角形．综上所述，存在这样的点P 使△PFC 与△AEM 相似．此时m 的值为或1，△PCM 为直角三角形或等腰三角形．5. 解：(1)∵点B 在直线AB 上,求得b =3,∴直线AB ：333y x =+, ∴A （33-，0），即OA =33．作BH ⊥x 轴，垂足为H ．则BH =2，OH =3，AH =23． ∴3tan ,30BH BAO BAO AH∠==∴∠=︒．(2)设抛物线C 顶点P （t ，0），则抛物线C ：21()3y x t =-，∴E （0，213t ）∵EF ∥x 轴，∴点E 、F 关于抛物线C 的对称轴对称, ∴F （2t ，213t ）．∵点F 在直线AB 上, ∴33,3,323331212=-=∴+⨯=t t t t2121323,3,3 3.33t t t t ∴=+∴=-= ∴抛物线C 为2211(3)(33)33y x y x =+=-或.(3)假设点D 落在抛物线C 上，不妨设此时抛物线顶点P (t ，0)，则抛物线C :21()3y x t =-，AP =33+ t ，连接DP ，作DM ⊥x 轴，垂足为M ．由已知，得△PAB ≌△DAB ，又∠BAO ＝30°，∴△PAD 为等边三角形．PM =AM ＝1(33)2t +， 1tan 3(93).2DM DAM DM t AM ∴∠==∴=+， 11(33)(33),22OM OP PM t t t =+=-++=-111(33),0,(33),(93).222M t D t t ⎡⎤⎡⎤∴--∴--+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∵点D 落在抛物线C 上，∴22111(93)(33),27,3 3.232t t t t t ⎡⎤+=---=∴=±⎢⎥⎣⎦即当33t =-时，此时点P (33,0)-，点P 与点A 重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去．所以点P 为（33，0）∴当点D 落在抛物线C 上顶点P 为（33，0）.6. 解：（1）如图，由抛物线22-+=bx ax y 得：()2,0-C∴2==OC OA ∴()0,2A ∵△ABC 的面积为2∴2=AB ∴()0,4B ∴设抛物线的解析式为()()42--=x x a y ，代入点()2,0-C ∴抛物线的解析式为()()2234142412-+-=---=x x x x y ； （2）由题意：t CE =t PB 2=,t OP 24-=∵ED ∥BA可证CO CE OB ED = 即24CE ED =∴t CE ED 22== ① ()tt t t t t OP ED 21242424121112+-=-=-+=+ ∵当1=t 时t t 22+-有最大值1∴当1=t 时OPED 11+的值最小，最小值为1． ② 由题意可求：t CD 5=,52=CB ∴t BD 552-=∵∠PBD =∠ABC ∴以 D B P 、、为顶点的三角形与△ABC 相似有两种情况 当BC BD AB BP =时， 即5255222tt -=： 32=t 当BA BC BD BP =时， 即2525522=-tt ： 710=t ∴当32=t 或710=t 时，以D B P 、、为顶点的三角形与△ABC 相似．图9xyO 1DCBA7．解：（1）∵2244(2)y ax ax a c a x c=-++=-+，∴ 抛物线的对称轴为直线2x =． ∵ 抛物线244y ax ax a c=-++与x 轴交于点A 、点B ，点A 的坐标为(1,0)，∴ 点B 的坐标为(3,0)，OB ＝3．…………… 1分 可得该抛物线的解析式为(1)(3)y a x x =--．∵ OB=OC ，抛物线与y 轴的正半轴交于点C ，∴ OC=3，点C 的坐标为(0,3)．将点C 的坐标代入该解析式，解得a=1．∴ 此抛物线的解析式为243y x x =-+．（如图9）（2）作△ABC 的外接圆☉E ，设抛物线的对称轴与x 轴的交点为点F ，设☉E 与抛物线的对称轴位于x 轴上方的部分的交点为点1P，点1P 关于x 轴的对称点为点2P ，点1P 、点2P 均为所求点.（如图10）可知圆心E 必在AB 边的垂直平分线即抛物线的对称轴直线2x =上．∵ 1APB ∠、ACB ∠都是弧AB 所对的圆周角，∴ ACB B AP∠=∠1，且射线FE 上的其它点P 都不满足ACB APB ∠=∠． 由（1）可知 ∠OBC=45°，AB=2，OF=2．可得圆心E 也在BC 边的垂直平分线即直线y x =上． ∴ 点E 的坐标为(2,2)E ．∴ 由勾股定理得 5EA =．∴ 15EPEA ==． ∴ 点1P的坐标为1(2,25)P +．由对称性得点2P 的坐标为2(2,25)P --． ∴符合题意的点P 的坐标为1(2,25)P +、2(2,25)P --. 3）∵ 点B 、D 的坐标分别为(3,0)B 、(2,1)D -，BD 为3y x =-，直线BD 与x 轴所夹的锐角为45°． ∵ 点A 关于∠AQB 的平分线的对称点为A '，（如图11）若设AA '与∠AQB 的平分线的交点为M ，则有 QA QA '=，AM A M '=，AA QM '⊥，Q ，B ，A '三点在一条直线上．∵ 2QA QB -=.2''=-=-=QB QA QB QA BA作A N '⊥x 轴于点N ．∵ 点Q 在线段BD 上， Q ，B ，A '三点在一条直线上， ∴ sin451A N BA ''=⋅︒=，cos451BN BA '=⋅︒=．∴ 点A '的坐标为(4,1)A '．∵ 点Q 在线段BD 上，∴ 设点Q 的坐标为(,3)Q x x -，其中23x <<．∵ QA QA '=，∴ 由勾股定理得 2222(1)(3)(4)(31)x x x x -+-=-+--．114x =．经检验，114x =在23x <<的范围内．∴ 点Q 的坐标为111(,)44Q -． 此时1115()2(1)2244QAA A AB QAB A Q S S S AB y y '''∆∆∆=+=⋅⋅+=⨯⨯+=．… 8分图10x y O 1FP 2EP 1DCBA图11xyO QMA'DB AN。