考研真题【1987-2002考研数(三)真题及解析】2002考研数三真题及解析
数3--02真题初步答案
2002年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上） (1)112a- 【考点】求数列极限.【解】ln “”里面为1∞“”型，凑成重要极限形式： (12)12211limln limln 1(12)(12)n a nan n n na n a n a --→∞→∞⎡⎤⎡⎤-+=+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦(12)11lim ln 112(12)n a n a n a -→∞⎡⎤=+⎢⎥--⎣⎦11ln 1212e a a==--. （2）2120(,)xxdy f x y dy ⎰⎰【考点】交换二次积分的积分次序.【解】画出与原题中二次积分的限所对应的积分区域1D 与2D ， 如图.将它们的并集记为D .于是111422104(,)(,)yydy f x y dx dy f x y dx +⎰⎰⎰(,)Df x y d σ=⎰⎰.再将后者化为先y 后x 的二次积分：2120(,)(,).xxDf x y d dy f x y dx σ=⎰⎰⎰⎰于是111422104(,)(,)yydy f x y dx dy f x y dx +=⎰⎰⎰2120(,)xxdy f x y dx ⎰⎰（3） 1-【考点】线性相关.【解】因122212123,304134a a A a a α-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪==+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭A α与α线性相关.有233411a a a a ++==，得 2334, 1.a a a +=+=- 或 ,A k αα=即231341a a a k a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，得2334a kaa k a k =⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，得 1.(1)a k =-=（4） 0.02-【考点】随机变量的协方差，01-分布.【解】22(,)X Y 的分布及其边缘分布为而22X Y 的分布为所以2222222222()0.5()0.60,(0.28cov ()()0.280.60.50.02E X E Y E X Y X Y E X Y E X E Y ====-=-⨯=-，）（，）（）答案应填0.02-.（5） 111ni i X n =-∑【考点】矩估计法与矩估计量. 【解】总体的一阶矩为数学期望()()1x E X xe dx θθθ+∞--==+⎰样本的一阶矩为样本均值11ni i X X n ==∑令111n i i X n θ=+=∑，解得 11ˆ1ni i X n θ==-∑.答案应填111ni i X n =-∑.二、选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.） （1）（B ）【考点】准确的掌握连续函数介值定理、罗尔定理与拉格朗日中值定理，理解可导与连续的关系.【解】方法1：论证法.由题设()f x 在开区间(,)a b 内可导，所以()f x 在(,)a b 内连续，因此，对于(,)a b 内的任意一点ξ，必有 lim ()().x f x f ξξ→=即有 lim[()()]0x f x f ξξ→-=.选（B ）.方法2：排斥法.(A)的反例：1(,]()1x a b f x x a ∈⎧=⎨-=⎩有()1,()1,()()10f a f b f a f b =-==-<，但()f x 在(,)a b 内无零点.（C ）与（D ）的反例，(1,1]()11xx f x x ∈-⎧=⎨=-⎩ (1)(1)1f f -==，但()1f x '=(当(1,1)x ∈-)，不满足罗尔中值定理，当然也不满足拉格朗日中值定理的结论. （2）（A ）【考点】求幂级数的收敛半径.【解】在补充假设1limn n n a a +→∞与1lim n n nbb +→∞ 存在的前提下，由于已知1nn n a x ∞=∑与1n n n b x ∞=∑13，故有 1limn n n a a +→∞1lim n n nb b +→∞=3 于是 212221122212911lim lim 595n n n n n n n n n na b a b a a b b +++→∞→∞+⎛⎫=⋅=⋅= ⎪⎝⎭,故题设的幂级数收敛半径为5，选（A ）. （3）（D ）【考点】齐次线性方程组有非零解（或仅有零解）的判别.【解】方法1：A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，则AB 是m 阶方阵，因()min((),())r AB r A r B ≤当m n >时，有()min((),())r AB r A r B n m ≤≤<. 方程组0Ax =必有零解，故应选（D ）.方法2：B 是n m ⨯矩阵, 当m n >时,方程组0Bx =必有非零解，即存在00x ≠，使得00Bx =，两边左乘A ，得00ABx =，即0ABx =有非零解，故选（D ）. （4）（B ）【考点】矩阵及其相似矩阵的特征值、特征向量.【解】方法1：由题设A αλα=，且T A A =. 设 ()1TP APB -=，则11TTT TTB P A PP AP--==1T T A P BP -=，1()T T A P BP ααλα-==两边左乘T P ，得()TTB P P αλα=故知1()TB P AP -=的对应于特征值λ的特征向量为TP α，即应选（B ）.方法2：逐个验算（A ），（B ），（C ），（D ）中哪个选项满足()1.TP AP ξλξ-=其中()111T TTT T T P APP A P P AP ---==对（A ），即令1P ξα-=，代入111()TT P AP P P αλα---≠ 对（B ），有1()()TT T T T P AP P P A P ααλα-==成立.故应选（B ）. （5）（C ）【考点】正态分布、2χ分布、F 分布.【解】方法1：根据题设条件，X 和Y 均服从(0,1)N .故2X 和2Y 都服从2(1)χ分布答案应选（C ）.方法2：题设条件只有X 和Y 服从(0,1)N ，没有X 与Y 的相互独立条件.因此，2X 与2Y 的独立条件不存在，选（B ）、（D ）项均不正确. 题中条件既没有X 与Y 独立，也没有(,)X Y 正态，这样就不能推出X Y +服从正态分布的选项（A ）.根据排除法，正确选项必为（C ）.三、（本题满分5分）【考点】求极限，洛必达法则，变限函数求导.【解】2200003arctan(1)arctan(1)limlim1(1cos )2xu x u x x t dt du t dt du x x x→→⎡⎤⎡⎤++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎰⎰⎰⎰等22002arctan(1)arctan(1)2limlim 332x x x t dt x xxx →→++⋅⎰洛洛2346ππ=⋅=.四、（本题满分7分）【考点】复合函数求全微分.【解】方法1：用微分形式不变性求全微分.123du f dx f dy f dz '''=++而(,)z z x y =由xyzxe ye ze -=所确定，两边求全微分，有()(),x y z d xe ye d ze -=x x y y z z xe dx e dx ye dy e dy ze dz e dz +--=+，解出 (1)(1),(10).(1)x y z e x dx e y dydz z e z +-+=+≠+设 代入du 中，1323(1)(1).(1)(1)x yz ze x e y duf f dx f f dy e z e z ⎡⎤⎡⎤++''''=++-⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦ 方法2：1323,u z u zf f f f x x y y∂∂∂∂''''=+=+∂∂∂∂ 又由xyzxe ye ze -=两边对x 求偏导数，有(),x x z z zxe e ze e x∂+=+∂ 得 x xz z z xe e x ze e ∂+=∂+，(10)z +≠设. 类似可得 y yz z z ye e y ze e∂+=-∂+， 代入,u ux y∂∂∂∂表达式中得 1323(),()x xy yz z z z u xe e u ye e f f f f x ze ey ze e∂+∂+''''=+⋅=-⋅∂+∂+， 再代入 u udu dx dy x y∂∂=+∂∂中，得du 如方法1.六、（本题满分7分）【考点】求空心的旋转体体积，求最值.【解】（1）()2225142(32)5aV x dx a ππ==-⎰ 22222420202a V a a x dy a a πππ=-=<<⎰g .（2）54124(32)5V V V a a ππ=+=-+ 34(1)0dVa a daπ=-命, 得1a =，当01a <<时0dV da >，当12a <<时0dVda<，因此1a =是V 的唯一极值点且是极大值点，所以是V 的最大值点，129max 5V π=.五 、（本题满分6分）【考点】求不定积分.【解】由题中要求()f x dx 及2(sin )sin x f x x =知，01x <<.命2sin u x =，则有sin x =arcsin x =()f u =()f x dx =sin 2sin cos cos ttt tdt t= ⎰sin t tdt =2⎰[]2cos sin t t t C =-++2C ⎡=+⎣.七、（本题满分7分）【考点】验证幂级数满足微分方程及初始条件，利用解微分方程求幂级数的和函数.【解】(1) 369331()113(3)!(3)!n nn x x x x x y x n n ∞==+++++=+∑L L +！6！9！, 33313111113()(1)(3)!(3)!(3)!(31)!nn n n n n n n x x nx x y x n n n n --∞∞∞∞===='⎛⎫''=+=== ⎪-⎝⎭∑∑∑∑, 321(32)!n n x y n -∞=''=-∑从而 1()()()1!nx n x y x y x y x e n ∞='''++=+=∑ 说明30()(3)!n n x y x n ∞==∑是微分方程xy y y e '''++=的解，并且满足初始条件(0)1,(0)0.y y '==（2）按常规办法，计算出微分方程xy y y e '''++=的通解，为2121[cossin ]223x x y e C x C x e -=++. 从中找出满足初始条件(0)1,(0)0y y '==的解.为此，将初始条件代入通解中，得到111,3C +=12110223C C -++=， 于是得到惟一的一组解：122,0.3C C ==从而得到满足微分方程x y y y e '''++=及初始条件(0)1,(0)0y y '==的解，只有一个，为22133x x y e x e -=+另一方面，由（1）已知30()(3)!n n x y x n ∞==∑也是微分方程xy y y e '''++=及初始条件(0)1,(0)0y y '==的解，由唯一性，所以级数321211().(3)!33xn x n x e x e x n ∞-=+=+-∞<<+∞∑八、（本题满分6分）【考点】证明积分中值定理的推广.【解】方法1：因为()f x 与()g x 在[],a b 上连续，所以存在 max[,]()M a b f x =，min[,]()m a b f x =， ()m f x M ≤≤.又()0g x >，故有 ()()()()mg x f x g x Mg x ≤≤()()()(),b b baaam g x dx f x g x dx M g x dx ≤≤⎰⎰⎰()().()babaf xg x dxm M g x dx≤≤⎰⎰由连续函数的介值定理知，存在[,]a b ξ∈，使()()()()babaf xg x dxf g x dxξ=⎰⎰即有()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰.方法2：因为()f x 与()g x 在[],a b 上连续,且()0g x >，故()()baf xg x dx ⎰与()bag x dx⎰都存在，且()0.bag x dx >⎰记()()()babaf xg x dxh g x dx=⎰⎰，于是()()()(),bbbaaaf xg x dxh g x dx hg x dx ==⎰⎰⎰即(())()0baf x hg x dx -=⎰.因此必存在(,)a b ξ∈使()f h ξ=.不然，则在(,)a b 内要么()f x h -恒为正，从而(())()0ba f x h g x dx ->⎰；要么()f x h -恒为负，从而(())()0baf x hg x dx -<⎰，均与(())()0baf x hg x dx -=⎰不符.由此推知存在(,)a b ξ∈使()f h ξ=，从而()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰.证毕.九、（本题满分8分）【考点】齐次线性方程组有非零解（仅有零解）的判别，齐次线性方程组的基础解系和通解.【解】方法1：对系数矩阵作初等行变换00A=0000a b b b a b b b b a b b b a a b b b a b b a a b b b b a b aa b ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭L L L LL L M M M M MM M M LL当(0)a b =≠时，()1,0r A AX ==的同解方程组为120n x x x +++=L其基础解系为[][][]1211,1,0,,0,1,0,1,0,,0,1,0,,0,1T TTn ξξξ-=-=-=-L L LL方程组的全部解为112211n n X k k k ξξξ--=+++L ，其中(1,2,1)i k i n =-L 是任意常数.当a b ≠时，则001100A 001010001001(1)110010101001ab b b a b b b b a a bb a a bb a a b a n b b b b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→---⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭+-⎛⎫⎪-⎪ ⎪→-⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭L L L L L L MM M M MM M M LL LL M M M M L故当a b ≠且(1)a n b ≠--时，(),0r A n AX ==仅有零解当(1)a n b =--时，0AX =的同解方程组是121310,0,0,n x x x x x x -+=⎧⎪-+=⎪⎨⎪⎪-+=⎩…… 其基础解系为[]1,1,,1Tξ=L ，方程组的全部解为X k ξ=，其中k 是任意常数.十、（本题满分8分）【考点】矩阵的特征值、正定矩阵 【解】（1）设λ是A 的任意特征值，α是A 的属于λ的特征向量，即,0,A αλαα=≠ ()1 两边左乘A ，得 ()222A A αλαλα==221+（）（）得 ()()2222A A αλλα+=+因220A A +=，0α≠，从而有220λλ+=，故A 的特征值λ的取值范围为0,2-. 因A 是实对称矩阵，必相似于对角阵Λ，且()()2r A r =Λ=故220A -⎡⎤⎢⎥Λ=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦: 即A 有特征值1232,0λλλ==-=.（2）A kE +是实对称矩阵，由（1）知A kE +的特征值为2,2,k k k --.A kE +正定200k k ->⎧⇔⎨>⎩ 故2k >时A kE +是正定矩阵.十一、（本题满分8分）【考点】二维离散型随机变量的概率分布，两个随机变量函数的分布，随机变量的方差，均匀分布.【解】(,)X Y 只有四个可能值(1,1),(1,1),(1,1)(1,1)----和.{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}1(2)11,11,11;2(2)41,11,10;11,11,111;211,11,11.4P X Y P U U P U P X Y P U U P P X Y P U U P U P X Y P U U P U ---=-=-=≤-≤=≤-==--=-==≤->=∅===-=>-≤=-<≤====>->=>=于是，(,)X Y 分布为（2）X Y +和2()X Y +的分布分别为和所以2224()0,()2442E X Y E X Y +=-+=+==.22()()[()]2D X Y E X Y E X Y +=+-+=.十二、（本题满分8分）【考点】随机变量函数的分布，指数分布.【解】指数分布的X 的分布参数为11,()5E X = 显然，min(,2)Y X =.对于0,()0y F y <=，对于1,()1y F y ≥=.当02y ≤<时{}{}{}5()min(,2)21.y F y P Y y P X y P X e -=≤=≤=≤=- 所以，Y 的分布函数为 50,0()1,021,2y y F y e y y -<⎧⎪⎪=-≤<⎨⎪≤⎪⎩。
1987考研数学(改革前不分数一二三)真题+答案
1987 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题参考解答
数 学（试卷Ⅰ）
一、填空题（每小题 3 分，满分 15 分. 只写答案不写解题过程）
(1) 与两直线
x 1
y
1
t
z 2 t
及
x 1 y 2 z 1 121
都平行，且过原点的平面方程是
1987 年 • 第 4 页
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1987 年数学试题参考解答
(3) 已知连续随机变量 X 的密度为 f (x) 1 ex2 2x1 ，则 X 的数学期望为
方差为 1 / 2 .
1 ；X 的
十一、（本题满分 6 分）
设随机变量 X，Y 相互独立，其概率密度函数分别为
十、填空题（每小题 2 分，满分 6 分）
(1) 在一次试验中事件 A 发生的概率为 p ，现进行 n 次独立试验，则 A 至少发生一次的概率
为 1 (1 p)n ；而事件 A 至多发生一次的概率为 [1 (n 1) p](1 p)n1 .
(2) 三个箱子，第一个箱子有 4 个黑球 1 个白球，第二个箱子中有 3 个白球 3 个黑球，第三 个箱子中有 3 个黑球 5 五个白球，现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取一个球，这个 球为白球的概率为 53/120 ，已知取出的是白球，此球属于第二箱的概率是 20 / 53 .
f13 )e y
ey
f1
f21 xey
f23
.
四、（本题满分 8 分）【 同数学Ⅰ、第四题 】
五、（本题满分 12 分）【 同数学Ⅰ、第五题 】
六、（本题满分 10 分）【 同数学Ⅰ、第六题 】
考研数三(1987-1997年)历年真题
六、(本题满分 6 分)
设函数 f (x) 在[0, ) 上连续、单调不减且 f (0) 0 ,试证函数
F
(
x)
1 x
x tn f (t)dt,
0
若x 0,
0,
若x 0,
在[0, ) 上连续且单调不减(其中 n 0 ).
七、(本题满分 6 分)
从点 P1(1, 0) 作 x 轴的垂线,交抛物线 y x2 于点 Q1(1,1) ；再从 Q1 作这条抛物线的切线与 x 轴交于 P2 ,然后又从 P2 作 x 轴的垂线,交抛物线于点 Q2 ,依次重复上述过程得到一系列的点 P1,Q1; P2,Q2; ; Pn,Qn; .
1 n
(D) 若级数 un 收敛,且 un vn (n 1, 2, ) ,则级数 vn 也收敛
n1
n1
(3) 设 n 阶矩阵 A 非奇异( n 2 ), A 是矩阵 A 的伴随矩阵,则
()
(A) ( A ) A n1 A (C) ( A ) A n2 A
2
PY 1 1 ,则下列各式中成立的是
2
()
(A) PX Y 1
2
(B) PX Y 1
(C) PX Y 0 1
4
(D) PXY 1 1
4
三、(本题满分 6 分) 在经济学中,称函数
Q(x)
A[
K
x
(1
) L x
1
]x
x2 y24t2
2
九、(本题满分 6 分)
设 A 为 n 阶非奇异矩阵, 为 n 维列向量, b 为常数.记分块矩阵
1987考研数三真题
七、已知某商品的需求量 x 对价格 p 的弹性 3 p3 ，而市场对该商品的最大需求量为 1（万件）.求需
求函数.
2x1 x2 4x3 3x4 4, 八、解线性方程组 3x1x1x3x2x4x313,,
7x1 7x3 3x4 3.
4 2 3
(A) f b f a f b aa b
()
(B) f b f x1 f b x1 x1 b (C) f x2 f x1 f x2 x1 x1 x2 (D) f x2 f a f x2 aa x2
1987 年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)试题
一、判断题（每题 2 分）
1
(1) lim e x . x0
(2) x4 sin xdx 0 .
() ()
(3)若级数 an 与 bn 均发散，则级数 an bn 必发散.
n 1
n1
n 1
九、设矩阵
A和
B
满足
AB
A+2B
，求矩阵
B
，其中
A
1
1
0
.
1 2 3
3 1 2
十、求矩阵A Nhomakorabea 0
1
4
的实特征值及对应的特征向量.
1 0 1
十一、
（1） 已知随机变量 X 的概率分布为 PX 1 0.2,PX 2 0.3,PX 3 0.5.，试写出 X 的 分布函数 F x .
（5）若两事件 A 和 B 同时出现的概率 P AB 0 ，则
2002年考研数学（三）真题及详细解析
2002 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) ⑴ 设常数12a ≠，则21lim ln[]________(12)nn n na n a →∞-+=-.【分析】将所求极限转换为1l n [1](12)l i m1n n an→∞+-，利用等价无穷小代换化简求解，或利用重要极限。
【详解】法一：11ln[1]211(12)(12)lim ln[]limlim 11(12)12nn n n n na n a n a n a an n→∞→∞→∞+-+--===-- 法二：11(12)12122111limln[]limln[1]limln (12)(12)12n a n a a n n n n na e n a n a a -⨯--→∞→∞→∞-+=+==--- ⑵ 交换积分次序：111422104(,)(,)________yydy f x y dx dy f x y dx +=⎰⎰⎰.【分析】写出对应的二重积分积分域D 的不等式，画出的草图后D ，便可写出先对y 后对的二次积x 分【详解】对应的积分区域12D D D =+，其中11(,)0,4D x y y y x ⎧=≤≤≤≤⎨⎩2111(,),422D x y y y x ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭画出的草图如D 右图所示，则也可表示为D 21(,)0,2D x y x x y x ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭故211114222104(,)(,)(,)xyyxdy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy +=⎰⎰⎰⎰⎰⑶ 设三阶矩阵122212304A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，三维列向量(,1,1)Ta α=。
已知与线性相A αα关，则______a =。
【分析】由与线性相关A αα知，存在常数使得k A k αα=，及对应坐标成比例，由此求出a【详解】由于122212123304134a a A a a α-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦由与线性相关A αα可得：233411aa a a ++==，从而1a =-。
1987考研数学一、二、三真题+答案 【无水印】
1987年全国硕士研究生入学统一考试数学试题参考解答数 学（试卷Ⅰ）一、填空题（每小题3分，满分15分. 只写答案不写解题过程）(1) 与两直线 112x y t z t =⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩及 121121x y z ++-==都平行，且过原点的平面方程是 50x y -+=(2) 当x =1/ln 2-；时，函数2xy x =取得极小值.(3) 由ln y x =与两直线(1)y e x =+-及0y =围成图形的面积= 3 / 2 (4) 设L 为取正向的圆周922=+y x ，则曲线积分dy x xdx y xy L)4()22(2-+-⎰的值是π18- .(5) 已知三维线性空间的一组基底)1,1,0(,)1,0,1(,)0,1,1(321===ααα，则向量α＝(2, 0, 0)在上述基底下的坐标是 ( 1 , 1 , -1 )二、（本题满分8分）求正的常数a 与b ，使式1sin 1lim220=+-⎰→dt ta t x bx x x 成立. 解：假若1b ≠，则根据洛必达法则有2200011lim lim(01sin cos x x x bx x b x →→==≠--⎰，与题设矛盾，于是1b =.此时2222100002111lim lim(lim(sin 1cos x x x x bx x x x →→→===--⎰，即1=，因此4a =.三、（本题满分7分）(1) 设函数,f g 连续可微，(,),()u f x xy v g x xy ==+，求,.u vx x∂∂∂∂ 解：1212()u x xy f f f y f x x x ∂∂∂''''=⋅+⋅=+⋅∂∂∂；()(1)v x xy g y g x x∂∂+''=⋅=+⋅∂∂.(2) 设矩阵A 和B 满足2AB A B =+，其中A =301110014⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求矩阵B .解：因2AB A B =+，故2AB B A -=，即(2)A E B A -=，故1(2)B A E A -=-=522432223--⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭.四、（本题满分8分）求微分方程26(9)1y y a y ''''''+++=的通解.其中常数0a >.解：由特征方程3222(9)0r r a r +++=，知其特征根根为12,30,3r r ai ==-±. 故对应齐次方程的通解为33123cos sin x x y C C e x C e x --=++ ，其中123,,C C C 为任意常数.设原方程的特解为*()y x Ax =，代入原方程可得A =219a+. 因此，原方程的通解为*33123()cos sin x x y x y y C C e x C e x --=+=+++219a+x . 五、选择题（每小题3分，满分12分） (1) 设常数0k >，则级数21)1(n nk n n+-∑∞= （C ）(A) 发散(B) 绝对收敛(C) 条件收敛(D) 收敛与发散与k 的值有关.(2) 设)(x f 为已知连续函数，⎰=t sdx tx f t I 0)(，0,0s t >>，则I 的值（D ）(A) 依赖于s 和t (B) 依赖于s 、t 、x(C) 依赖于t 和x , 不依赖于s (D) 依赖于s , 不依赖于t (3) 设1)()()(lim 2-=--→a x a f x f a x ，则在点x a =处(B)(A) ()f x 导数存在,0)(≠'a f (B) ()f x 取得极大值(C) ()f x 取得极小值(D) ()f x 的导数不存在.(4) 设A 为n 阶方阵, 且0≠=a A , 而*A 是A 的伴随矩阵，则*A =(C)(A) a(B) a/1(C) 1-n a (D) n a六、（本题满分10分） 求幂级数1121+∞=∑n n n x n 的收敛域，并求其和函数. 解：记112n n n u x n +=，有1112lim lim (1)22n nn n n n n n x u x n u n x +++→∞→∞=⋅=+，令12x <，知原级数在开区间(2,2)-内每一点都收敛.又当2x =-时，原级数=111111(2)2(1)2n n n n n n n ∞∞++==-=-∑∑，故由莱布尼兹判别法知其收敛；而当2x =时，原级数=11111122(1)2n n n n n n n ∞∞++===-∑∑，显然发散，故幂级数的收敛域为)2,2[-. 又记111111()()()22n n n n n x S x x x xS x n n ∞∞+=====∑∑，其中111()()2n n xS x n ∞==∑，有1111()()21/2n n x S x x ∞-='==-∑，于是102()2ln()1/22x dx S x x x ==--⎰，因此幂级数的和函数为2()2ln 2S x x x=-，[2,2)x ∈-.七、（本题满分10分） 计算曲面积分2(81)2(1)4SI x y dydz y dzdx yzdxdy =++--⎰⎰，其中s 是曲线 )31(01≤≤⎩⎨⎧=-=y x y z 绕Y 轴旋转一周所形成的曲面，它的法向量与Y 轴正向的夹角恒大于/2π．解：S 的方程为221y x z =++，记1S ：223,()y x z =+，知1S S +为封闭曲面，设其 方向取外侧，所围区域为Ω，则由高斯公式，有12(81)2(1)4S S I x y dydz y dzdx yzdxdy +=++--⎰⎰12(81)2(1)4S x y dydz y dzdx yzdxdy-++--⎰⎰12102(1)0S dv y dydz Ω=⋅---+⎰⎰⎰⎰⎰=3212(13)yz xD D dy dzdx dzdx --⎰⎰⎰⎰⎰31(1)16234y dy ππ=-+⋅⋅=⎰.八、（本题满分10分）设函数)(x f 在闭区间[0,1]上可微，对于[0,1]上的每个x ，函数的值都在开区间(0,1)内，且1)(≠'x f .证明 在(0,1)内有且仅有一个x ，使()f x x =．证：令()()h t f t t =-，知()h t 在闭区间[0,1]上连续，又由题设知0()1f x <<，于是 有(0)(0)00,(1)(1)10h f h f =->=-<. 故由零点定理，在(0,1)内有x ，使()f x x =.假若)(x f 在开区间(0,1)内有两个不同的点1x 和2x ，使得11()f x x =，22()f x x =， 不妨设12x x <，则易见)(x f 在闭区间[0,1]上连续，在(0,1)内可导，故由拉格朗日定理知，(0,1)ξ∃∈，使得2121()()()f x f x f x x ξ-'=-，即()1f ξ'=.此与1)(≠'x f 矛盾！故在(0,1)内使()f x x =的x 只能有一个.九、（本题满分8分）问,a b 为何值时，线性方程组123423423412340221(3)2321x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=⎧⎪++=⎪⎨-+--=⎪⎪+++=-⎩有唯一解？无解？有无穷多解？ 并求出无穷多解时的通解.解：对方程组的增广矩阵进行初等变换，得11110111100122101221()013200101321100010A A b a b a b a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪==→ ⎪ ⎪----+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭○1 当1≠a 时，系数行列式2(1)0A a =-≠，故由克拉姆法则，原方程组有唯一解； ○2 当1a =，且1b ≠-时， ()3,()2r A r A ==， ()()r A r A ≠，故原方程组无解；○3 当1a =，且1b =-时， ()()24r A r A ==<，故原方程组有无穷的解. 此时显然有 11110101110122101221()00000000000000000000A A b ---⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪=→→⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭可见其通解为：12(1,1,0,0)(1,2,1,0)(1,2,0,1)T T T x c c =-+-+-，其中12,c c 为任意常数.十、填空题（每小题2分，满分6分）(1) 在一次试验中事件A 发生的概率为p ，现进行n 次独立试验，则A 至少发生一次的概率为np )1(1--；而事件A 至多发生一次的概率为1)1]()1(1[---+n p p n .(2) 三个箱子，第一个箱子有4个黑球1个白球，第二个箱子中有3个白球3个黑球，第三个箱子中有3个黑球5五个白球，现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取一个球，这个 球为白球的概率为53/120，已知取出的是白球，此球属于第二箱的概率是20/53.(3) 已知连续随机变量X 的密度为1221)(-+-=x xe xf π，则X 的数学期望为 1 ；X 的方差为 1/2 .十一、（本题满分6分）设随机变量X ，Y 相互独立，其概率密度函数分别为⎩⎨⎧≤≤=它其0101)(x x f X ；⎩⎨⎧≤>=-00)(y y e y f y Y ，求随机变量Z =2X +Y 的概率密度函数()z f z .解：由题设，(,)X Y 的联合密度为01,0(,)()()0y X Y e x y f x y f x f y -⎧≤≤>==⎨⎩其 它， 故Z 的分布函数2()()(2)(,)z x y zF z P Z z P X Y z f x y dxdy +≤=≤=+≤=⎰⎰，○1 当0z <时，2()00z x y zF z dxdy +≤==⎰⎰，此时()00z f z '==；○2 当02z ≤≤时，200001()22z yzz z y y yz z F z dy e dx e dy ye dy ----==-⎰⎰⎰⎰，此时 011()()(1)22z y z z z f z F z e dy e -'===-⎰；○3 当2z >时，121220001()(1)1(1)2z x y x z zz F z dx e dy e dx e e -----==-=--⎰⎰⎰，此时 21()()(1)2zz z f z F z e e -'==-综上所述，Z =2X +Y 的概率密度函数为()z f z =122120(1)02(1)2zz z e z e e z ---<⎧⎪-≤≤⎨⎪->⎩数 学（试卷Ⅱ）一、（本题满分15分）【 同数学Ⅰ、第一题 】 二、（本题满分14分） (1)（6分）计算定积分2||2(||).x x x e dx --+⎰解：因||x xe-是奇函数，||||x x e -是偶函数，故 原式=22||202||226.x x x e dx xe dx e --==-⎰⎰(2)（8分）【 同数学Ⅰ、第二题 】三、（本题满分7分）设函数(,,),yz f u x y u xe ==，其中f 有二阶连续偏导数，求2.z x y∂∂∂解：121yz u f f f e f x x∂∂''''=⋅+=⋅+∂∂，2111312123()y y y y z f xe f e e f f xe f x y ∂'''''''''=⋅++⋅+⋅+∂∂. 四、（本题满分8分）【 同数学Ⅰ、第四题 】 五、（本题满分12分）【 同数学Ⅰ、第五题 】 六、（本题满分10分）【 同数学Ⅰ、第六题 】 七、（本题满分10分）【 同数学Ⅰ、第七题 】 八、（本题满分10分）【 同数学Ⅰ、第八题 】 九、（本题满分8分）【 同数学Ⅰ、第九题 】 十、（本题满分6分）设12,λλ为n 阶方阵A 的特征值，12λλ≠，而21,x x 分别为对应的特征向量，试证明：21x x +不是A 的特征向量.证：假若21x x +是A 的特征向量，设其对应的特征值为3λ，则有12312()()A x x x x λ+=+， 即123132Ax Ax x x λλ+=+. 又由题设条件知111Ax x λ=，222Ax x λ=，故有131232()()0x x λλλλ-+-=.因21,x x 是属于不同特征值的特征向量，所以21,x x 线性无关， 从而13λλ=，且13λλ=，此与12λλ≠矛盾！因此21x x +不是A 的特征向量.数 学（试卷Ⅲ）一、填空题（每小题2分，满分10分. 把答案填在题中横线上） (1) 设)1ln(ax y +=, 其中a 为非零常数，则22)1(,1ax a y ax ay +-=''+='.(2) 曲线y arctgx =在横坐标为1点处的切线方程是4221-+=πx y ； 法线方程是4/)8(2++-=πx y .(3) 积分中值定理的条件是()[,]f x a b 在闭区间上连续，结论是[,],()()()baa b f x dx f b a ξξ∃∈=-⎰使得(4) 32()1nn n lin e n -→∞-=+.(5)⎰='dx x f )(c x f +)(；⎰'badx x f )2(＝)2(21)2(21a f b f -. 二、（本题满分6分） 求极限 011lim()1x x xe →--解：200000111111lim()lim lim lim lim 1(1)222x x x x x x x x x x e x e x e x x e x e x x x →→→→→------=====--. 三、（本题满分7分）设⎩⎨⎧-=-=)cos 1(5)sin (5t y t t x ，求 22,.dy d y dx dx解：因5sin ,55cos dy dx t t dt dt ==-，5sin )sin 5(1cos 1cos dy t t dx t t ==--（0+），故t tdx dy cos 1sin -=， 且222sin 1()1cos 5(1cos )d y d t dtdx dt t dx t =⋅=---四、（本题满分8分） 计算定积分⎰1arcsin xdx x .解：2211121000111arcsin arcsin 2242x xdx x x π=-=-⎰⎰⎰，令sin x t =，有22120sin cos cos 4t tdt t ππ==⎰⎰，因此101arcsin 4248x xdx πππ=-⋅=⎰. 五、（本题满分8分）设D 是曲线sin 1y x =+与三条直线0x =,π=x ,0y =围成的曲边梯形.求D 绕x 轴旋 转一周所生成的旋转体的体积.解：223(sin 1)42V x dx ππππ=+=+⎰. 六、证明题（本题满分10分）(1)（5分）若()f x 在(,)a b 内可导，且导数)(x f '恒大于零，则()f x 在(,)a b 内单调增加. 证：12,(,)x x a b ∀∈，不妨设12x x <，则()f x 在12[,]x x 上连续，在12(,)x x 内可导，故由拉格朗日中值定理，12(,)(,)x x a b ξ∃∈⊂，使得2121()()()()f x f x f x x ξ'-=-. 由于)(x f '在(,)a b 内恒大于零，所以()0f ξ'>，又210x x ->，因此21()()0f x f x ->， 即21()()f x f x >，表明()f x 在(,)a b 内单调增加.(2)（5分）若()g x 在x c =处二阶导数存在，且0)(='c g ,0)(<''c g ，则()g c 为()g x 的一个极大值.证：因()()()lim 0x c g x g c g c x c →''-''=<-，而0)(='c g ，故()lim 0x c g x x c→'<-.由极限的保号性，0δ∃>，当(,)x c c δ∈-时，有()0g x x c '<-，即()0g x '>，从而()g x 在(,)c c δ-单增；当(,)x c c δ∈+时，有()0g x x c'<-，即()0g x '<，从而()g x 在(,)c c δ-单减.又由0)(='c g 知，x c =是()g x 的驻点，因此()g c 为()g x 的一个极大值.七、（本题满分10分）计算不定积分⎰+x b x a dx2222cos sin ( 其中,a b 为不全为零的非负数 )解：① 当0a =时，原式=22211sec tan xdx x c b b =+⎰；②当0b =时， 原式=22211c cot cs xdx x c a a=-+⎰；③当0ab ≠时，原式=22222(tan )sec 11arctan(tan )tan (tan )1ad x xdx a b x c a a x b ab ab bx b==+++⎰⎰.八、（本题满分15分） (1)（7分）求微分方程y x dxdyx-=，满足条件0|2==x y 的解． 解：原方程即11dy y dx x+=，故其通解为11211()()2dx dx xx y e e dx c x c x -⎰⎰=+=+⎰. 因0|2==x y ，所以1c =-.于是所求初值问题的解为xx y 12-=.(2)（8分）求微分方程 x e x y y y =+'+''2 的通解.解：由特征方程2210r r ++=，知其特征根根为1,21r =-.故对应齐次方程的通解为12()x y C C x e -=+ ，其中12,C C 为任意常数. 设原方程的特解为*()()x y x e ax b =+，代入原方程可得a =14，b =-14. 因此，原方程的通解为*212()()x y x y y C C x e -=+=++ 14(1)x x e -. 九、选择题（每小题4分，满分16分） (1).+∞<<∞=x e x x x f x-,sin )(cos 是（D ）（A ）有界函数（B ）单调函数（C ）周期函数 （D ）偶函数(2). 函数()sin f x x x -(D)（A ）当∞→x 时为无穷大 （B ）当∞→x 时有极限 （C ）在),(+∞-∞内有界 （D ）在),(+∞-∞内无界(3) 设()f x 在x a =处可导，则xx a f x a f x )()(lim--+→等于(B)（A ）)(a f ' （B ）)(2a f ' （C ）0（D ）)2(a f '(4) 【 同数学Ⅰ、第五（2）题 】十、（本题满分10分）在第一象限内，求曲线12+-=x y 上的一点，使该点处切线与所给曲线及两坐标围成的面积为最小，并求此最小面积.解：设切点的横坐标为a ，则切线方程为2(1)2()y a a x a --=--，即221y ax a =-++故所围面积2312201112(1)(1)224243a a a s a x dx a a +=+--+=++-⎰. 令0s '=得驻点a =.由于0a s ''>，故所求点的坐标为2)3，其最小值为a s =23.数 学（试卷Ⅳ）一、判断题（每小题答对得2分，答错得-1分，不答得0分，全题最低0分） (1) 10lim xx e →=∞（ ⨯ ） (2)4sin 0x xdx ππ-=⎰（ √ ）(3) 若级数1nn a∞=∑与1nn b∞=∑均发散，则级数1()nn n ab ∞=+∑必发散（ ⨯ ）(4) 假设D 是矩阵A 的r 阶子式，且含D 的一切1r +阶子式都等于0， 那么矩阵A 的一切1r +阶子式都等于0 （ √ ） (5) 连续型随机变量取任何给定实数值的概率都等于0（ √ ）二、选择题（每小题2分，满分10分.） (1) 下列函数在其定义域内连续的是(A)（A ） ()ln sin f x x x =+（B ）⎩⎨⎧>≤=0cos 0sin )(x xx xx f （C ）⎪⎩⎪⎨⎧>-=<+=010001)(x x x x x x f （D ）⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0001)(x x xx f (2) 若函数f(x)在区间(,)a b 内可导，21,x x 是区间内任意两点，且21x x <，则至少存一点ξ，使得（C ）(A) ()()()(),f b f a f b a a b ξξ'-=-<<. (B) 111()()()(),f b f x f b x x b ξξ'-=-<<.(C) 212112()()()(),f x f x f x x x x ξξ'-=-<<. (D) 222()()()(),f x f a f x a a x ξξ'-=-<<. (3) 下列广义积分收敛的是 （C ）（A ）dx xxe⎰∞+ln （B ）⎰∞+exx dx ln （C ）⎰+∞ex x dx 2)(ln （D ）⎰∞+exx dx ln (4) 设A 是n 阶方阵，其秩r < n ， 那么在A 的n 个行向量中(A)(A) 必有r 个行向量线性无关(B) 任意r 个行向量线性无关(C) 任意r 个行向量都构成极大线性无关向量组 (D) 任意一个行向量都可以由其它r 个行向量线性表示 (5) 若二事件A 和B 同时出现的概率P( A B ) = 0 , 则(C)(A) A 和B 互不相容（互斥） (B) AB 是不可能事件 (C) AB 未必是不可能事件(D) P (A )=0或P (B )=0三、计算下列各题（每小题4分，满分16分） (1) 求极限 xxx xe 10)1(lim +→.解：因 1ln(1)(1)x xe x xxxe e ++=， 而 ln(1)x x xe xe x+ （当0x →）， 故 000ln(1)lim lim lim 1x x x x x x xe xe e xx →→→+===， 从而 10lim(1)x xx xe e →+=.(2)已知1111ln 22++-+=x x y ， 求y '.解：1)1)y =-，y '=-=212xx +. (3) 已知 y x yx arctg z -+=，求dz .解：222()()()()()()1()1()x y x y dx dy x y dx dy d x y x y dz x y x y x y x y+-+-+---==++++--22ydx xdy x y -+=+(4)求不定积分dx ex⎰-12.解：t =，有1)t t t t t e tdt te e dt te e c c==-=-+=+⎰⎰⎰四、（本题满分10分）考虑函数sin y x = )2/0(π≤≤x ，问：(1) t 取何值时，图中阴影部分的面积1s 与2s 之和21s s s +=最小？(2 ) t 取何值时，21s s s +=最大？解：因10sin sin sin cos 1ts t t xdx t t t =-=+-⎰，22sin ()sin cos sin sin 22t s xdx t t t t t t πππ=--=+-⎰，故122sin 2cos sin 12s s s t t t t π=+=+--,(0)2t π≤≤.令0s '=，得s 在(0,)2π内的驻点4t π=.而()14s π=，()122s ππ=-，(0)1s =，因此 4t π=时，s 最小；0t =时，s 最大.五、（本题满分6分）将函数231)(2+-=x x x f 展成x 的级数，并指出收敛区间. 解：因111111()(2)(1)121212f x xx x x x x ==-=-⋅------，而011nn x x ∞==-∑，(1,1)x ∈-， 且0011()2212n n n n n x x x ∞∞====-∑∑，(2,2)x ∈-， 故1100111()(1)222nn n n n n n n f x x x x ∞∞∞+====+=+∑∑∑，其收敛区间为(1,1)-.六、（本题满分5分） 计算二重积分2x De dxdy ⎰⎰，其中D 是第一象限中由直线y x =和3x y =围成的封闭区域. 解：联立y x =和3x y =，可解得两曲线交点的横坐标 0x =和1x =，于是22231130()12xx x x Dxe e dxdy dx e dy x x e dx ==-=-⎰⎰⎰⎰⎰ 七、（本题满分6分）已知某商品的需求量x 对价格P 的弹性为 33p -=η，而市场对商品的最大需求量为1（万件），求需求函数.解：由弹性的定义，有33p dx p x dp =-，即23dxp dp x=-， 于是有 3px ce -=，c 为待定常数.由题意 0p =时，1x =，故1c =，因此3p x e -=.八、（本题满分8分）解线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=++-=-+-=-+-337713343424313214314321x x x x x x x x x x x x x 【123431820160x x k x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，k 为任意常数】 解：对方程组的增广矩阵进行初等行变换，有2143410103101130120831101000167073300000---⎛⎫⎛⎫⎪⎪---- ⎪ ⎪→→⎪⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭故原方程组与下方程组同解：132343826x x x x x =-⎧⎪=-+⎨⎪=⎩，令30x =，可得原方程组的特解(3,8,0,6)T β=-. 又显然原方程组的导出组与下方程组同解：1323420x x x x x =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，令31x =，可得导出组的基础解系(1,2,1,0)T η=-. 因此原方程组的通解为：1234(,,,)(3,8,0,6)(1,2,1,0)T T x x x x k =-+-，其中k 为任意常数.九、（本题满分7分）设矩阵A 和B 满足2AB A B =+，求矩阵B ，其中A =423110123⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.解：因2AB A B =+，故2AB B A -=，即(2)A E B A -=，故1(2)B A E A -=-=3862962129--⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭十、（本题满分6分） 求矩阵A =312014101--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的实特征值及对应的特征向量.解：令0E A λ-=，即2(1)(45)0λλλ-++=,可见矩阵A 只有一个实特征值1λ=.易见，线性方程组()0E A X λ-=的基础解系为(0,2,1)T ，故A 对应于实特征值1λ=的特征向量为(0,2,1)T k ，（其中k 为非零任意常数）.十一、（每小题4分，满分8分）(1) 已知随机变量X 的概率分布为(1)0.2,(2)0.3,(3)0.5P X P X P X ======，试写出X 的分布函数()F x .解：X 的分布函数为()F x =0,0.2,0.5,1,⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩332211≥<≤<≤<x x x x . (2) 已知随机变量Y 的概率密度为000)(2222<≥⎪⎩⎪⎨⎧=-y y e y f a y a y , 求随机变量YZ 1=的数学期望EZ .解：222222200111()()y y a a y EZ E f y dy edy dy Yy y a --+∞+∞+∞-∞===⋅==⎰⎰⎰. 十二、（本题满分8分）设有两箱同种零件.第一箱内装50件，其中10件一等品；第二箱内装有30件，其中18件一等品.现从两箱中随机挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件均不放回），试求:(1) 先取出的零件是一等品的概率p ；(2) 在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品的条件概率q . 解：设i B ={取出的零件为第i 箱中的}，j A ={第j 次取出的是一等品}，,1,2i j =， 显然12,B B 为正概完备事件组，故全概公式得(1) 11112121101182()()()()()2502305p P A P B P A B P B P A B ==+=⋅+⋅=； (2) 1211212122110911817276()()()()()25049230291421P A A P B P A A B P B P A A B ⨯⨯=+=⋅+⋅=⨯⨯， 于是，由贝叶斯公式得q =12211()690()0.48557()1421P A A q P A A P A ===≈.数 学（试卷Ⅴ）一、判断题（每小题答对得2分，答错得-1分，不答得0分，全题最低0分） (1) 【 同数学Ⅳ 第一（1）题 】 (2) 【 同数学Ⅳ 第一（2）题 】(3) 若函数()f x 在区间(,)a b 严格单增，则对区间(,)a b 内任何一点x 有()0f x '>. （ ⨯ ） (4) 若A 为n 阶方阵，k 为常数，而A 和kA 为A 和kA 的行列式，则kA k A =. （ ⨯ ） (5) 【 同数学Ⅳ 第一（5）题 】二、选择题（每小题2分，满分10分） (1) 【 同数学Ⅳ 第二（1）题 】 (2) 【 同数学Ⅳ 第二（2）题 】 (3) 【 同数学Ⅳ 第二（3）题 】 (4) 【 同数学Ⅳ 第二（4）题 】(5) 对于任二事件A 和B ，有()P A B -= (C)(A) ()()P A P B - (B) ()()()P A P B P AB -+ (C) ()()P A P AB - (D) )()()(B A P B P A P -- 三、计算下列各题（每小题4分，满分20分）(1) 求极限1ln(1)limx x arctgx→+∞+. 解：11ln(1)lim ln(1)0lim0lim /2x x x x x arctgx arctgx π→+∞→+∞→+∞++=== (2) 【 同数学Ⅳ 第三（2）题 】 (3) 【 同数学Ⅳ 第三（3）题 】 (4) 计算定积分dxex ⎰-12112解：t =，有111111021tt t te tdt tee dt e e ==-=-=⎰⎰⎰(5) 求不定积分⎰++5224x x xdx.解：22422221(1)11arctan 252(1)242xdx d x x c x x x ++==+++++⎰⎰. 四、（本题满分10分）考虑函数2y x =，10≤≤x ，问：(1) t 取何值时，图中阴影部分的面积(与数学Ⅳ第四题类似)1s 与2s 之和21s s s +=最小？ (2 ) t 取何值时，21s s s +=最大？解：132223212041(1)33tts s s t x dx x dx t t t t =+=-+--=-+⎰⎰，(01)t ≤≤令0s '=，得(0,1)内的驻点12t =. 而11()24s =，1(0)3s =，2(1)3s =，因此 12t =时，s 最小；1t =时，s 最大.五、（本题满分5分）【 同数学Ⅳ 第六题 】 六、（本题满分8分）设某产品的总成本函数为21()40032C x x x =++，而需求函数为xp 100=，其中x 为产量（假定等于需求量）,p 为价格. 试求：（1）边际成本； （2）边际收益； （3）边际利润； （4）收益的价格弹性. 解：（1）边际成本：()3MC C x x '==+；（2）收益函数：()R x p x =⋅=()MR R x'==；（3）利润函数：21()()()40032L x R x C x x x =-=--， 边际利润：()3ML L x x'==--；（4）收益的价格函数：2(100)()R x p==，收益的价格弹性：2222(100)1(100)p dR p R dp p =-⋅=-. 七、（本题满分8分）【 同数学Ⅳ 第八题 】 八、（本题满分7分）【 同数学Ⅳ 第九题 】 九、（本题满分6分）【 同数学Ⅳ 第十题 】十、（本题满分8分）已知随机变量X 的概率分布为(1)0.2,(2)0.3,(3)0.5P X P X P X ======， 试写出X 的分布函数()F x ，并求X 的数学期望与方差.解：X 的分布函数为()F x =0,0.2,0.5,1,⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩332211≥<≤<≤<x x x x ， 10.220.330.5 2.3EX =⨯+⨯+⨯=；222210.220.330.5 5.9EX =⨯+⨯+⨯=222() 5.9 2.30.61DX EX EX =-=-=十一、（本题满分8分）【 同数学Ⅳ 第十二题 】。
2002考研数学真题+答案
c
d
c a c a f (t )dt f (t )dt f (t )dt ， d b ab d b ab bc
2002 年 • 第 3 页
bc
cd
cd
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2002 年数学试题参考解答及评分标准
cd
当 ab cd 时，
ab
f (t )dt 0 ，由此得 I d b .
(1) 证明曲线积分 I 与路径 L 无关； (2) 当 ab cd 时，求 I 的值.
1 1 x 2 2 [1 y f ( xy)] f ( xy) 2 xyf ( xy) 2 [ y f ( xy) 1] 在 y y y x y 上半平面内处处成立，所以在上半平面内曲线积分 I 与路径无关.
D ( x, y) x 2 y 2 xy 75 ，小山的高度函数为 h( x, y) 75 x2 y2 xy ，
(1) 设 M ( x0 , y0 ) 为区域 D 上一点，问 h( x, y ) 在该点沿平面上什么方向导数最大？若 记此方向导数的最大值为 g ( x0 , y0 ) ，试写出 g ( x0 , y0 ) 的表达式. (2) 现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登 的起点，也就是说，要在 D 的边界线 x2 y2 xy 75 上找出使（1）中的 g ( x, y ) 达到最 大值的点.试确定攀登起点的位置. 解：(1) 由梯度的几何意义知， h( x, y ) 在点 M ( x0 , y0 ) 处沿梯度
x 0
1 ，故所求切线方程为 y x .
e
D
max{ x 2 , y 2 }
2002全国硕士研究生入学统一考试-数三真题、标准答案及解析
[ C]
【详解】 由于 X、Y 不一定相互独立,故（A） 、 （B） 、(D)不一定成立，只有（C）为正 确选项.
三 、 （本题满分 8 分）
求极限 lim
x →0
∫
x
0
[ ∫ arctan(1 + t )dt ]du
0
u2
x(1 − cos x)
【详解 1】
培训网： 北京市海淀区王庄路 1 号清华同方科技广场 B 座 609 -5电话： 62701055
： 81
( D ) ( P −1 ) α
T
.（4）设 A 是 n 阶实对称矩阵， P 是 n 阶可逆矩阵.已知 n 维列向量 α 是 A 的属于特征
32
有非零解，故应选[ D]
16
当 m > n 时， 有 r ( AB ) ≤ r ( A ) ≤ n < m 对应 ( AB ) x = 0 【详解】 AB 为 m × m 矩阵，
a＝________ 【答】 -1 【详解】 由题设，存在 k，使得 Αα
= kα ，即
故所求 a 为－1. （4） 设随机变量 X 和 Y 的联合概率分布为
P X 0 1
2 2
Y
工
0.07 0.08
2
作
−1
室
0
0.18 0.32
： 81
1
0.15 0.20
⎧a + 2 − 2 = ka, ⎪ 即 ⎨ 2a + 1 + 2 = k , 可得 a = −1, k = 1. ⎪3a + 4 = k , ⎩
所以 lim ln[
n →∞
【答】
∫
dx ∫ 2 f ( x, y )dy
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2002年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上)(1) 设常数12a ≠，则21lim ln .(12)nn n na n a →∞⎡⎤-+=⎢⎥-⎣⎦(2)交换积分次序：111422104(,)(,)yydy f x y dx dy f x y dx +=⎰⎰⎰.(3) 设三阶矩阵122212304A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，三维列向量(),1,1T a α=.已知A α与α线性相关，则 a =.(4)则2X 和2Y 的协方差22cov(,)X Y =.(5) 设总体X 的概率密度为(),,(;)0,x e x f x x θθθθ--⎧≥=⎨<⎩若若而12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本，则未知参数θ的矩估计量为二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上有定义，在开区间(,)a b 内可导，则 ( )(A)当()()0f a f b <时，存在(,)a b ξ∈，使()0f ξ=. (B)对任何(,)a b ξ∈，有lim[()()]0x f x f ξξ→-=.(C)当()()f a f b =时，存在(,)a b ξ∈，使()0f ξ'=. (D)存在(,)a b ξ∈，使()()()()f b f a f b a ξ'-=-.(2) 设幂级数1nn n a x ∞=∑与1nn n b x ∞=∑13，则幂级数221nn i na xb ∞=∑的收敛半径为 ( ) (A) 5 (B)(C) 13 (D)15(3) 设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，则线性方程组()0AB x = ( )(A)当n m >时仅有零解 (B)当n m >时必有非零解(C)当m n >时仅有零解 (D)当m n >时必有非零解(4) 设A 是n 阶实对称矩阵，P 是n 阶可逆矩阵，已知n 维列向量α是A 的属于特征值λ的 特征向量，则矩阵()1TP AP-属于特征值λ的特征向量是 ( )(A) 1P α- (B) TP α (C)P α (D)()1TP α-(5) 设随机变量X 和Y 都服从标准正态分布，则 ( )(A)X Y +服从正态分布 (B)22X Y +服从2χ分布(C)2X 和2Y 都服从2χ分布 (D)22/X Y 服从F 分布三、(本题满分5分)求极限 200arctan(1)lim(1cos )xu x t dt du x x →⎡⎤+⎢⎥⎣⎦-⎰⎰四、(本题满分7分)设函数(,,)u f x y z =有连续偏导数，且(,)z z x y =由方程xyzxe ye ze -=所确定，求du . 五、(本题满分6分)设2(sin ),sin x f x x =求()x dx . 六、(本题满分7分)设1D 是由抛物线22y x =和直线,2x a x ==及0y =所围成的平面区域；2D 是由抛物线22y x =和直线0y =,x a =所围成的平面区域，其中02a <<.(1)试求1D 绕x 轴旋转而成的旋转体体积1V ；2D 绕y 轴旋转而成的旋转体体积2V ； (2)问当a 为何值时，12V V +取得最大值？试求此最大值.七、(本题满分7分)(1)验证函数()()3693()13!6!9!3!nx x x x y x x n =+++++++-∞<<+∞满足微分方程x y y y e '''++=(2)利用(1)的结果求幂级数()303!nn x n ∞=∑的和函数.八、(本题满分6分)设函数(),()f x g x 在[,]a b 上连续，且()0g x >.利用闭区间上连续函数性质，证明存在一点[,]a b ξ∈，使()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰.九、(本题满分8分)设齐次线性方程组1231231230,0,0,n n n ax bx bx bx bx ax bx bx bx bx bx ax ++++=⎧⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩其中0,0,2a b n ≠≠≥，试讨论,a b 为何值时，方程组仅有零解、有无穷多组解？在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解.十、(本题满分8分)设A 为三阶实对称矩阵，且满足条件220A A +=，已知A 的秩()2r A = (1)求A 的全部特征值(2)当k 为何值时，矩阵A kE +为正定矩阵，其中E 为三阶单位矩阵. 十一、(本题满分8分)假设随机变量U 在区间[]2,2-上服从均匀分布，随机变量1,1-1,11,1;1,1;U U X Y U U -≤-≤⎧⎧==⎨⎨>->⎩⎩若若若若试求：(1)X 和Y 的联合概率分布；(2)()D X Y +. 十二、(本题满分8分)假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从指数分布，平均无故障工作的时间()E X 为5小时.设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数()F y .2002年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题 (1)【答案】112a- 【详解】ln “”里面为1∞“”型，通过凑成重要极限形式来求极限， 1(12)12211limln limln 1(12)(12)nn a an n n na n a n a -⋅-→∞→∞⎡⎤⎡⎤-+=+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦(12)11lim ln 112(12)n a n a n a -→∞⎡⎤=+⎢⎥--⎣⎦11ln 1212e a a==--．(2)【答案】2120(,)xxdx f x y dy ⎰⎰【详解】画出与原题中二次积分的限所对应的积分区域1D 与2D ，将它们的并集记为D ． 于是111422104(,)(,)yydy f x y dx dy f x y dx +⎰⎰⎰(,)Df x y d σ=⎰⎰．再将后者根据积分定义化为如下形式，即2102x y x x →→从，从，所以2120(,)(,).xxDf x y d dx f x y dy σ=⎰⎰⎰⎰(3)【答案】1- 【详解】122212123,304134a a A a a α-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪==+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭由于A α与α线性相关，(两个非零向量线性相关，则对应分量成比例)，所以有233411a a a a ++==，得 2334, 1.a a a +=+=- 或,(0)A k k αα=≠(两个非零向量线性相关，则其中一个可以由另一个线性表出)即 231341a a a k a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，得2334a ka a k a k =⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，得 1.(1)a k =-=(4)【答案】0.02-．【详解】2X 、2Y 和2X 2Y 都是01-分布，而01-分布的期望值恰为取1时的概率p ．由离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布表可得2X 的可能取值为0和1，且2Y 的可能取值也为0和1，且X 和Y 的边缘分布为{}00.070.180.150.4P X ==++=；{}10.080.320.200.6P X ==++=； {}10.070.080.15P Y =-=+=；{}00.180.320.5P Y ==+=； {}10.150.200.35P Y ==+=；故有{}{}220,00,00.18,P X Y P X Y ======X0 10.4 0.6Y 1- 0 10.15 0.5 0.35{}{}{}220,10,10,10.070.150.22,P X Y P X Y P X Y =====-+===+= {}{}221,01,00.32,P X Y P X Y ======{}{}{}221,11,11,10.080.200.28,P X Y P X Y P X Y =====-+===+=而边缘分布律：{}{}2000.4P X P X ====，{}{}2110.6P X P X ====， {}{}2000.5P Y P Y ====，{}{}{}21110.150.350.5P Y P Y P Y ===-+==+=所以，22(,)X Y 的联合分布及其边缘分布为由上表同理可求得22X Y 的分布律为所以由01-分布的期望值恰为取1时的概率p 得到：2222222222()0.5()0.60,(0.28cov ()()0.280.60.50.02E X E Y E X Y X Y E X Y E X E Y ====-=-⨯=-，）（，）（）(5)【答案】1X -．【详解】矩估计的实质在于用样本矩来估计相应的总体矩，此题中被估参数只有一个，故只需要用样本一阶原点矩(样本均值)来估计总体的一阶原点矩(期望) 期望 ()()()1x E X xf x dx xe dx θθθ+∞+∞---∞===+⎰⎰样本均值 11ni i X X n ==∑用样本均值估计期望有 EX X =，即 111ni i X n θ=+=∑，解得未知参数θ的矩估计量为 11ˆ11n i i X X n θ==-=-∑．二、选择题 (1)【答案】(B)【详解】方法1：论证法．由题设()f x 在开区间(,)a b 内可导，所以()f x 在(,)a b 内连续，因此，对于(,)a b 内的任意一点ξ，必有lim ()().x f x f ξξ→= 即有lim[()()]0x f x f ξξ→-=．故选(B)．方法2：排除法．(A)的反例：1(,]()1x a b f x x a ∈⎧=⎨-=⎩，有()1,()1,()()10f a f b f a f b =-==-<，但()f x 在(,)a b 内无零点．(C)与(D)的反例，(1,1]()11xx f x x ∈-⎧=⎨=-⎩ (1)(1)1f f -==，但()1f x '=(当(1,1)x ∈-)，不满足罗尔中值定理，当然也不满足拉格朗日中值定理的结论．故选(B)．(2)【答案】(D)【详解】方法1：A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，则AB 是m 阶方阵，因()min((),())r AB r A r B ≤．当m n >时，有()min((),())r AB r A r B n m ≤≤<．(系数矩阵的秩小于未知数的个数)方程组()0AB x =必有非零解，故应选(D)．方法2：B 是n m ⨯矩阵, 当m n >时,，则()r B n =，(系数矩阵的秩小于未知数的个数)方程组0Bx =必有非零解，即存在00x ≠，使得00Bx =，两边左乘A ，得00ABx =，即0ABx =有非零解，故选(D)．(3)【答案】(B)【详解】方法1：由题设根据特征值和特征向量的定义，A αλα=，A 是n 阶实对称矩阵，故TA A =．设()1TP APB -=，则111()TTT T T T T B P A P P AP P A P ---===上式左乘1T P-，右乘TP ，得111()()()T T T T T T P BP P P A P P ---=，即1T T A P BP -=，所以 1()T T A P BP ααλα-==两边左乘T P ，得 1()()T T T T P P BP P αλα-=得()T TB P P αλα=根据特征值和特征向量的定义，知1()TB P AP -=的对应于特征值λ的特征向量为T P α，即应选(B)．方法2：逐个验算(A)，(B)，(C)，(D)中哪个选项满足，由题设根据特征值和特征向量的定义，A αλα=，A 是n 阶实对称矩阵，故T A A =．设()1TP AP -属于特征值λ的特征向量为ξ，即()1TP APξλξ-=，其中()111TTTT T T P AP P A P P AP ---==对(A)，即令1P ξα-=，代入111()TT P AP P P αλα---≠对(B)，1()TT T P AP P α-1()TT T P A P P α-=1[())]T T TP A P P α-=TP A α=()T P λα=成立．故应选(B)．(4)【答案】C【分析】(i)2χ变量的典型模式是：222212n X X X χ=+++，其中i X 要求满足：i X 相互独立，(0,1)iX N ．称2χ为参数为n 的2χ变量．(ii) F 变量的典型模式是：12//X n F Y n =，其中,X Y 要求满足：X 与Y 相互独立，2212(),()Xn Yn χχ，称F 为参数为()12,n n 的F 变量．【详解】方法1：根据题设条件，X 和Y 均服从(0,1)N ．故2X 和2Y 都服从2(1)χ分布，答案应选(C)．方法2：题设条件只有X 和Y 服从(0,1)N ，没有X 与Y 的相互独立条件．因此，2X 与2Y的独立条件不存在，选(B)、(D)项均不正确．题中条件既没有X 与Y 独立，也没有(,)X Y 正态，这样就不能推出X Y +服从正态分布的选项(A)．根据排除法，正确选项必为(C)．三【详解】22000003arctan(1)arctan(1)limlim 1(1cos )2xu x u x x t dt du t dt du x x x→→⎡⎤⎡⎤++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎰⎰⎰⎰等 22arctan(1)lim32x x t dt x →+⎰洛洛20arctan(1)2lim 3x x x x →+⋅2346ππ=⋅=．四【详解】方法1：用一阶微分形式不变性求全微分．123du f dx f dy f dz '''=++(,)z z x y =由x y z xe ye ze -=所确定，两边求全微分，有()()()()()x y z x y z d xe ye d ze d xe d ye d ze -=⇒-= x x y y z z xe dx e dx ye dy e dy ze dz e dz ⇒+--=+，解出 (1)(1),(10).(1)x y z e x dx e y dydz z e z +-+=+≠+设 所以 du =123(1)(1)(1)x y z e x dx e y dyf dx f dy f e z +-+'''++⨯+1323(1)(1)(1)(1)x yz ze x e yf f dx f f dy e z e z ⎡⎤⎡⎤++''''=++-⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦ 方法2：1323,u z u zf f f f x x y y∂∂∂∂''''=+=+∂∂∂∂(根据多元函数偏导数的链式法则) 下面通过隐函数求导得到z x ∂∂，z y∂∂．由x y zxe ye ze -=两边对x 求偏导数，有 (),x x z z z xe e ze e x∂+=+∂ 得x xz zz xe e x ze e∂+=∂+，(10)z +≠设．类似可得，y y z z z ye e y ze e ∂+=-∂+，代入,u u x y ∂∂∂∂表达式 1323(),()x xy yz zz zu xe e u ye e f f f f x ze e y ze e ∂+∂+''''=+⋅=-⋅∂+∂+， 再代入 u udu dx dy x y∂∂=+∂∂中，得du 1323(1)(1)(1)(1)x yz ze x e yf f dx f f dy e z e z ⎡⎤⎡⎤++''''=++-⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦．五【详解】首先要从2(sin )sin xf x x=求出()f x ． 命2sin u x =，则有sin x =x =()f u =(通过换元求出函数的表达式)arcsin ()x f x dxx == sin 2sin cos cos ttt tdt t⎰(换元积分法) sin t tdt =2⎰[]2cossin t t t C=-++(分部积分法)2C ⎡=+⎣．六【分析】旋转体的体积公式：设有连续曲线:()()y f x a x b Γ=≤≤，()0f x ≥与直线,x a x b ==及x 轴围成平面图形绕x 轴旋转一周产生旋转体的体积2()baV f x dx π=⎰.【详解】(1) ()2225142(32)5aV xdx a ππ==-⎰22222420202a V a a x dy a a πππ=-=<<⎰．(2) 54124(32)5V V V a a ππ=+=-+ 根据一元函数最值的求法要求驻点，令34(1)0dVa a daπ=-=, 得1a =. 当01a <<时0dV da >，当12a <<时0dVda<，因此1a =是V 的唯一极值点且是极大值点，所以是V 的最大值点，129max 5V π=．七【解】(1) 369331()113(3)!(3)!nnn x x x x x y x n n ∞==+++++=+∑+！6！9！，由收敛半径的求法知收敛半径为∞，故由幂级数在收敛区间上逐项可导公式得3311()(1)(3)!(3)!nn n n x x y x n n ∞∞=='⎛⎫''=+= ⎪⎝⎭∑∑3113(3)!n n nx n -∞==∑311(31)!n n x n -∞==-∑，同理得 321(32)!n n x y n -∞=''=-∑从而 ()()()y x y x y x '''++32313111()()(1)(32)!(31)!(3)!n n nn n n x x x n n n --∞∞∞====+++--∑∑∑ 11!nn x n ∞==+∑(由x e 的麦克劳林展开式)x e =这说明，30()(3)!n n x y x n ∞==∑是微分方程xy y y e '''++=的解，并且满足初始条件310(0)1(3)!n n y n ∞==+∑1=，3110(0)(31)!n n y n -∞='=-∑0=. (2)微分方程xy y y e '''++=对应的齐次线性方程为0y y y '''++=，其特征方程为210λλ++=，其特征根为12-±，所以其通解为212[cossin ]22xy e C x C x -=+. 另外，该非齐次方程的特解形式为xy ce =，代入原非齐次方程得x x x xce ce ce e ++=，所以13c =.故微分方程xy y y e '''++=的通解为2121[sin ]3x x y e C x C x e -=++. 故22121211[cossin ][sin cos ]2222223x xx y e C x C x e C x x e --'=-⨯++-⨯++222112111(2(22222223x x x e C C x e C C x e --=-⨯-⨯-⨯-⨯+由初始条件(0)1,(0)0y y '==得0212100022211212111[00]331110(20(2022311223e C C e C e C C e C C e C C ---⎧=++=+⎪⎪⎪=-⨯--⨯-+⎨⎪⎪⎪=-++⎩解得11211311023C C ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩， 于是得到惟一的一组解：122,0.3C C ==从而得到满足微分方程x y y y e '''++=及初始条件(0)1,(0)0y y '==的解，只有一个，为221cos 323x x y e x e -=+另一方面，由(1)已知30()(3)!n n x y x n ∞==∑也是微分方程xy y y e '''++=及初始条件(0)1,(0)0y y '==的解，由微分方程解的唯一性，知321211cos ().(3)!323xn x n x e x e x n ∞-=+=+-∞<<+∞∑八【详解】方法1：因为()f x 与()g x 在[],a b 上连续，所以存在1x 2x 使得1[,]()max ()x a b f x M f x ∈==，2[,]()min ()x a b f x m f x ∈==，满足()m f x M ≤≤．又()0g x >，故根据不等式的性质()()()()mg x f x g x Mg x ≤≤根据定积分的不等式性质有()()()(),b b baaam g x dx f x g x dx M g x dx ≤≤⎰⎰⎰所以 ()().()babaf xg x dxm M g x dx≤≤⎰⎰由连续函数的介值定理知，存在[,]a b ξ∈，使()()()()babaf xg x dxf g x dxξ=⎰⎰即有()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰．方法2：因为()f x 与()g x 在[],a b 上连续，且()0g x >，故()()baf xg x dx ⎰与()bag x dx ⎰都存在，且()0.bag x dx >⎰记()()()babaf xg x dxh g x dx=⎰⎰，于是()()()(),bbbaaaf xg x dxh g x dx hg x dx ==⎰⎰⎰即(())()0baf x hg x dx -=⎰因此必存在(,)a b ξ∈使()f h ξ=．不然，则在(,)a b 内由连续函数的零点定理知要么()f x h -恒为正，从而根据积分的基本性质得(())()0ba f x h g x dx ->⎰；要么()f x h -恒为负，同理得(())()0baf x hg x dx -<⎰，均与(())()0baf x hg x dx -=⎰不符．由此推知存在(,)a b ξ∈使()f h ξ=，从而()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰．九【详解】方法1：对系数矩阵记为A 作初等行变换21311000000n a b b b a b b b b a b b b a a b A bb a b b a a b b b ba b a a b -- -⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭行行行行行行当(0)a b =≠时，()1,0r A AX ==的同解方程组为120n x x x +++=，基础解系中含有1n -个(未知数的个数-系数矩阵的秩)线性无关的解向量，取23,,...,n x x x 为自由未知量，分别取231,0,...,0n x x x ===，230,1,...,0n x x x ===，…,230,0,...,1n x x x ===得方程组1n -个线性无关的解[][][]1211,1,0,,0,1,0,1,0,,0,,1,0,,0,1T T Tn ξξξ-=-=-=-，为基础解系，方程组0AX =的全部解为112211n n X k k k ξξξ--=+++，其中(1,2,1)i k i n =-是任意常数．当a b ≠时，000000ab b b b a a bA b a a bb a a b ⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪→-- ⎪⎪⎪--⎝⎭23110010101001a b a b n a b a b bb ---⎛⎫⎪- ⎪ ⎪→- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭行/()行/()行/() 12131(1)000110010101001bb n ba n b-⨯-⨯-⨯+-⎛⎫⎪-⎪ ⎪→- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭行行行行行行 当a b ≠且(1)a n b ≠--时，(1)0A a n b =+-≠，(),0r A n AX ==仅有零解. 当(1)a n b =--时，()1,0r A n AX =-=的同解方程组是121310,0,0,n x x x x x x -+=⎧⎪-+=⎪⎨⎪⎪-+=⎩…… 基础解系中含有1个线性无关的解向量，取1x 为自由未知量，取11x =，得方程组1个非零解[]1,1,,1Tξ=，即其基础解系，故方程组的全部解为X k ξ=，其中k 是任意常数．方法2：方程组的系数行列式a b b bb a b b A b b abb b ba=(1)(1)2...(1)1(1)a n b b bb a n ba b b n a n b b ab a n b b ba+-+-+-+-把第，，列加到第列111[(1)]11b bb a bb an b b ab b ba +-提取第列的公因子 1210003-1[(1)]000-1000bbb a b an ba bna b--+---第行第行第行第行第行第行1[(1)]()n a n b a b -=+--(1)当a b ≠且(1)a n b ≠--时，0A ≠，()r A n =方程组只有零解． (2)当(0)a b =≠时，a a a a a a a a A a a a a a a aa ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦21000031000010000a a aa n ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦第行第行第行第行第行第行111100001100000000a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦第行 方程组的同解方程组为120n x x x +++=基础解系中含有1n -个(未知数的个数-系数矩阵的秩)线性无关的解向量，取23,,...,n x x x 为自由未知量，分别取231,0,...,0n x x x ===，230,1,...,0n x x x ===，…, 230,0,...,1n x x x ===得方程组1n -个线性无关的解[][][]1211,1,0,,0,1,0,1,0,,0,,1,0,,0,1T T Tn ξξξ-=-=-=-，为基础解系，方程组0AX =的全部解为112211n n X k k k ξξξ--=+++，其中(1,2,1)i k i n =-是任意常数．(1)当(1)(0)a n b b =--≠时，(1)(1)(1)(1)n bb b bbn b b b A b b n bb b b b n b -⎛⎫⎪- ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭1,2,...,11111111111111111n bn n nn ⨯-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪→- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭行分别111121003100100n n n n nn n n -⎛⎫-⎪-⎪- ⎪- ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭行行行行行行 111111002,...,101011001n n n -⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⨯⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭行分别000011002,...,10101001n ⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭把第行都依次加到第1行 ()1r A n =-，其同解方程组是121310,0,0,n x x x x x x -=⎧⎪-=⎪⎨⎪⎪-=⎩…… 基础解系中含有1个线性无关的解向量，取1x 为自由未知量，取11x =，得方程组1个非零解[]1,1,,1Tξ=，即其基础解系，故方程组的全部解为X k ξ=，其中k 是任意常数．十【详解】(1) 设λ是A 的任意特征值，α是A 的属于λ的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有 ,0,A αλαα=≠ ①两边左乘A ，得 2A αA λαλλα==2λα= ②②+2*①得 ()()2222A Aαλλα+=+因220A A +=，0α≠，从而上式()()22220A Aαλλα+=+=，所以有220λλ+=，故A 的特征值λ的取值范围为0,2-．因为A 是实对称矩阵，所以必相似于对角阵Λ，且Λ的主对角线上元素由A 的特征值组成，且()()2r A r =Λ=，故A 的特征值中有且只有一个0.(若没有0，则222-⎡⎤⎢⎥Λ=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，故()()3r A r =Λ=与已知矛盾；若有两个0，则200-⎡⎤⎢⎥Λ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，故()()1r A r =Λ=与已知矛盾；若三个全为0，则000⎡⎤⎢⎥Λ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，故()()0r A r =Λ=与已知矛盾). 故220A -⎡⎤⎢⎥Λ=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦即A 有特征值1232,0λλλ==-=．(2)A kE +是实对称矩阵，A 有特征值1232,0λλλ==-=，知A kE +的特征值为2,2,k k k --．因为矩阵正定的充要条件是它的所有的特征值均大于零，故A kE +正定200k k ->⎧⇔⎨>⎩2k k >⎧⇔⎨>⎩2k ⇔> 故2k >时A kE +是正定矩阵．十一【分析】(,)X Y 有四个可能值，可以逐个求出．在计算过程中要注意到取值与U 的值有关．U 的分布为均匀分布，计算概率不用积分都行，可以直接看所占区间的长度比例即可．【详解】(,)X Y 只有四个可能值(1,1),(1,1),(1,1)(1,1)----和．依照题意，有{}{}{}1(2)11,11,11;2(2)4P X Y P U U P U ---=-=-=≤-≤=≤-==--{}{}{}1,11,10;P X Y P U U P =-==≤->=∅= {}{}{}11,11,111;2P X Y P U U P U ==-=>-≤=-<≤={}{}{}11,11,11.4P X Y P U U P U ===>->=>=于是，(,)X Y 分布为(2) 因为22()()[()]D X Y E X Y E X Y +=+-+，所以我们应该知道X Y +和2()X Y +的分布律．对离散型随机变量，X Y +的取值可能有2,0,2;-2()X Y +的取值可能有0和4；{}{}121,1,4P X Y P X Y +=-==-=-={}{}{}1101,11,10,22P X Y P X Y P X Y +====-+=-==+= {}{}121,1,4P X Y P X Y +=====(){}{}2100,2P X Y P X Y +==+==(){}{}{}214222P X Y P X Y P X Y +==+=-++==．X Y +和2()X Y +的分布律分别为和所以由离散型随机变量的数学期望计算公式有：{}1()nk k k E X x P X x ==⋅=∑所以有，2224()0,()2442E X Y E X Y +=-+=+==． 22()()[()]2D X Y E X Y E X Y +=+-+=十二【详解】首先找出随机变量Y 的表达式． Y 由X 和2(小时)来确定，所以min(,2)Y X =．指数分布的X 的分布参数为 11,()5E X λ==其密度函数为：1510()500x X ex f x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩其中0λ>是参数由分布函数的定义：{}{}()min(,2)F y P Y y P X y =≤=≤(1) 当0y <时，()0Y F y =(因为{}min ,2Y X =，其中X 和2都大于0，那么小于0是不可能事件)(2) 当2y ≥时，()1Y F y =(因为{}min ,2Y X =最大也就取到2，所以小于等于2是一定发生的，是必然事件)(3) 当02y ≤<时, {}{}{}()min(,2)F y P Y y P X y P X y =≤=≤=≤115501()15x y yyX f x dx e dx e ---∞===-⎰⎰所以1500()10212y Y y F y e y y -<⎧⎪⎪=-≤<⎨⎪≥⎪⎩。