圆与三角函数专题
圆与相似三角形、三角函数专题(含答案)
圆与相像三角形、解直角三角形及二次函数的综合种类一：圆与相像三角形的综合1．如图， BC 是⊙ A 的直径，△ DBE的各个极点均在⊙ A 上， BF⊥ DE于点 F.求证： BD·BE＝ BC·BF.2．如图，在 Rt△ ABC中，∠ ACB＝ 90°，以 AC为直径的⊙ O 与 AB 边交于点 D，过点 D 作⊙O 的切线，交 BC 于点 E.(1)求证：点 E 是边 BC的中点；求证：2＝BD·BA；(2)BC(3)当以点 O， D， E，C 为极点的四边形是正方形时，求证：△ABC是等腰直角三角形．解：(1) 连接 OD，∵ DE为切线，∴∠ EDC＋∠ ODC＝90° .∵∠ ACB＝90°，∴∠ ECD＋∠ OCD＝ 90° .又∵ OD＝ OC，∴∠ ODC＝∠ OCD，∴∠ EDC＝∠ ECD，∴ ED＝ EC.∵AC 为直径，∴∠ADC＝ 90°，∴∠ BDE＋∠ EDC＝ 90°，∠ B＋∠ECD＝ 90°，∴∠ B＝∠ BDE，∴ ED＝ EB，∴ EB＝EC，即点 E 为边 BC的中点(2)∵ AC为直径，∴∠ ADC＝∠ ACB＝90° .又∵∠ B＝∠ B，∴△ ABC∽△ CBD，∴ABBC＝ BCBD，∴B C2＝ BDBA(3)当四边形 ODEC为正方形时，∠ OCD＝ 45° .∵AC 为直径，∴∠ ADC＝ 90°，∴∠ CAD＝90°－∠ OCD＝ 90°－ 45°＝ 45°，∴ Rt△ ABC 为等腰直角三角形种类二：圆与解直角三角形的综合3．如图，在△ ABC中，以 AC 为直径作⊙ O 交 BC 于点 D，交 AB 于点 G，且 D 是 BC 的中点，DE⊥ AB，垂足为点 E，交 AC 的延伸线于点 F.(1)求证：直线EF是⊙ O 的切线；(2)已知 CF＝ 5， cosA＝25，求 BE 的长．解： (1)连接 OD.∵ CD＝DB，CO＝ OA，∴ OD 是△ ABC的中位线，∴OD∥ AB， AB＝2OD.∵ DE⊥ AB，∴ DE⊥OD，即 OD⊥ EF，∴直线 EF是⊙ O 的切线(2)∵ OD∥ AB，∴∠ COD＝∠ A，∴ cos∠ COD＝ cosA＝ 25.在 Rt△ DOF中，∵∠ ODF＝ 90°，∴ cos∠ FOD＝ ODOF＝ 25.设⊙ O 的半径为 r，则 rr ＋ 5＝ 25，解得 r＝ 103，∴ AB＝ 2OD＝ AC＝ 203.在 Rt△ AEF中，∵∠ AEF＝ 90°，∴ cosA＝ AEAF＝AE5＋ 203＝25，∴ AE＝ 143，∴ BE＝AB－ AE＝203－ 143＝ 24．(2015 ·资阳 )如图，在△ ABC中， BC是以 AB 为直径的⊙ O 的切线，且⊙ O 与 AC 订交于点D， E 为 BC 的中点，连接 DE.(1)求证： DE 是⊙ O 的切线；(2)连接 AE，若∠ C＝ 45°，求 sin∠ CAE的值．解： (1)连接 OD，BD，∵ OD＝ OB，∴∠ ODB＝∠ OBD.∵ AB 是直径，∴∠ ADB＝ 90°，∴∠ CDB＝ 90° .∵ E为 BC的中点，∴ DE＝BE，∴∠ EDB＝∠ EBD，∴∠ ODB＋∠ EDB＝∠ OBD＋∠ EBD，即∠ EDO＝∠ EBO.∵ BC 是以 AB 为直径的⊙ O 的切线，∴ AB⊥ BC，∴∠ EBO＝90°，∴∠ ODE＝ 90°，∴ DE 是⊙ O 的切线(2)过点 E 作 EF⊥ CD于点 F，设 EF＝ x，∵∠ C＝45°，∴△ CEF，△ABC 都是等腰直角三角形，∴CF＝ EF＝ x，∴ BE＝ CE＝ 2x，∴AB＝ BC＝ 22x.在 Rt△ ABE中， AE＝ AB2＋ BE2＝ 10x，∴ sin∠ CAE＝ EFAE＝ 10105．如图，△ ABC 内接于⊙ O，直径 BD 交 AC 于点 E，过点 O 作 FG⊥ AB，交 AC 于点 F，交 AB 于点 H，交⊙ O 于点 G.(1)求证： OF·DE＝ OE·2OH；(2)若⊙ O 的半径为12，且 OE∶OF∶ OD＝ 2∶3∶ 6，求暗影部分的面积． (结果保存根号 )解： (1)∵ BD 是直径，∴∠ DAB＝ 90° .∵ FG⊥ AB，∴ DA∥ FO，∴△FOE∽△ADE，∴FOAD＝OEDE，即OFDE＝OEAD.∵O 是BD 的中点， DA∥ OH，∴ AD＝ 2OH，∴ OFDE＝ OE2OH(2)∵⊙ O 的半径为12，且 OE∶ OF∶ OD＝2∶ 3∶ 6，∴ OE＝ 4， ED＝8，OF＝ 6，∴ OH＝ 6.在 Rt△OBH 中，OB＝ 2OH，∴∠ OBH＝ 30°，∴∠ BOH＝ 60°，∴ BH＝ BOsin60°＝ 12× 32＝ 63，∴ S 暗影＝ S 扇形 GOB－S△OHB＝60×π× 122360－ 12× 6×63＝ 24π－ 183种类三：圆与二次函数的综合6．如图，在平面直角坐标系中，已知 A(－ 4，0)， B(1，0)，且以 AB 为直径的圆交 y 轴的正半轴于点 C(0，2)，过点 C作圆的切线交 x 轴于点 D.(1)求过 A，B， C 三点的抛物线的分析式；(2)求点 D 的坐标；(3)设平行于 x 轴的直线交抛物线于E，F 两点，问：能否存在以线段EF为直径的圆，恰巧与x轴相切若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明原因．解： (1)y＝－ 12x2－ 32x＋2(2)以 AB 为直径的圆的圆心坐标为O′ (－32，0)，∴O′ C＝ 52， O′ O＝ 32.∵ CD为圆 O′的切线，∴O′ C⊥ CD，∴∠ O′CO＋∠ DCO＝ 90° .又∵∠CO′ O＋∠ O′ CO＝90°，∴∠ CO′ O＝∠DCO，∴△ O′ CO∽△ CDO，∴ O′ OOC＝ OCOD，∴322＝ 2OD，∴ OD＝ 83，∴点 D 的坐标为 (83，0)(3)存在．抛物线的对称轴为直线x＝－ 32，设满足条件的圆的半径为|r| ，则点 E 的坐标为 (－ 32＋ r， r)或 F(－ 32－r ， r)，而点 E 在抛物线y ＝－ 12x2－ 32x＋2 上，∴ r＝－ 12(－ 32＋ |r|)2 － 32(－ 32＋ |r|) ＋ 2，∴ r1＝－ 1＋ 292， r2＝－1－ 292(舍去 )．故存在以线段EF 为直径的圆，恰巧与x 轴相切，该圆的半径为－1＋ 2927．如图，抛物线y＝ax2＋ bx－ 3 与 x 轴交于 A， B 两点，与y 轴交于点C，经过 A，B， C 三点的圆的圆心抛物线的极点为M(1 ，m)恰幸亏此抛物线的对称轴上，E.⊙ M的半径为.设⊙ M与y 轴交于点D，(1)求 m 的值及抛物线的分析式；(2)设∠ DBC＝α，∠ CBE＝β，求 sin( α－β)的值；(3)研究坐标轴上能否存在点 P，使得以 P， A， C 为极点的三角形与△ BCE相像若存在，请指出点 P 的地点，并直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明原因．解： (1)由题意，可知 C(0，－ 3)，－ b2a＝1，∴抛物线的分析式为 y＝ ax2－ 2ax－ 3(a＞ 0)．过点 M 作 MN ⊥y 轴于点 N，连接 CM，则 MN ＝ 1， CM＝ 5，∴ CN＝ 2，于是 m＝－ 1.同理，可求得 B(3，0)，∴ a× 32－ 2a× 3－ 3＝0，解得 a＝ 1. ∴抛物线的分析式为 y＝ x2－ 2x－3(2)由 (1)得， A(－1 ，0)， E(1，－ 4)， D(0， 1)，∴△ BCE为直角三角形， BC＝32， CE＝ 2，∴OBOD＝31＝ 3， BCCE＝ 322＝3，∴ OBOD＝ BCCE，即 OBBC＝ ODCE，∴ Rt△BOD∽ Rt△BCE，得∠ CBE＝∠ OBD＝β，所以 sin(α－β )＝sin(∠ DBC－∠ OBD)＝ sin∠ OBC＝ COBC＝ 22(3)明显 Rt△ COA∽ Rt△ BCE，此时点 O(0， 0)．过点 A 作 AP2⊥ AC 交 y 轴的正半轴于点 P2，由 Rt△ CAP2∽Rt△ BCE，得 P2(0，13)．过点 C 作 CP3⊥ AC交 x 轴的正半轴于点 P3，由 Rt△P3CA∽ Rt△ BCE，得 P3(9，0)．故在座标轴上存在三个点 P1(0， 0)，P2(0， 13)，P3(9， 0)，使得以 P， A， C为极点的三角形与△ BCE相像。
单位圆上三角函数值的计算
单位圆上三角函数值的计算三角函数是一门与数学有关的学科，也是数学中的一种重要思想工具。
在三角函数中，常常会涉及单位圆。
单位圆是一个半径为1的圆，其圆心位于坐标系原点处。
在单位圆上，我们可以用三角函数计算出各种角度的正弦、余弦、正切值等。
一、单位圆上的正弦和余弦我们先来看正弦和余弦。
在单位圆上，任意一点(x,y)都可以表示为(x,√(1-x²))或(√(1-y²),y)的形式。
因为单位圆的方程式为x²+y²=1，所以当我们知道了x或y的值，就能算出另外一个未知的值。
因为正弦和余弦都是关于y和x的函数，所以对于一个三角形ABC，如果我们知道了其内角B的度数，就可以根据三角函数计算出BC与AB的比值，也就是正弦值sin(B)和余弦值cos(B)。
在单位圆上，如果一个角的终边与x轴正方向之间的夹角为α，则该角的正弦函数值为sin(α)，其余弦函数值为cos(α)。
因为半径为1，所以在单位圆上，正弦和余弦的取值范围都是[-1,1]。
当角度为0度时，终边就在x轴上，此时的正弦函数值和余弦函数值都为1。
当角度为90度时，终边就在y轴上，此时的正弦函数值为1，余弦函数值为0。
类似地，当角度为180度时，终边就在-x轴上，此时的正弦函数值和余弦函数值都为-1；当角度为270度时，终边就在-y轴上，此时的正弦函数值为-1，余弦函数值为0。
二、单位圆上的正切值类似于正弦和余弦函数，正切函数也是与单位圆有关的。
在单位圆上，如果一个角的终边与x轴正方向之间的夹角为α，则该角的正切函数值为tan(α)。
因为正切值的定义是一个比值，所以正切值没有像正弦或者余弦那样有固定的取值范围。
不过，在单位圆的第一象限和第三象限，正切值是正数，而在第二象限和第四象限，正切值是负数。
举个例子，假设终边角度为45度，则终边上的点为(√2/2,√2/2)。
这个点与x轴正方向之间的夹角为45度，所以其正切值为tan(45)=1。
中考热点：（一）构造三角形外接圆解四类难题；（二）圆+三角函数综合题型
中考热点：构造三角形外接圆解四类难题一、问题导读在解证几何题时，四点共圆已经被一些学生所了解或重视，然而作三角形的外接圆还没有被学生重视，使对许多几何题的证明难于入手．下面介绍作三角形外接圆这个辅助圆的思路和方法，以期待对你的学习有所帮助。
二、典例精析类型1 作三角形外接圆，求含有乘积式问题例1．已知AD是△ABC的角平分线，求证：ABAC＝AD+BDCD．【分析】作辅助圆，根据同弧所对的圆周角相等和角平分线证明相似得出比例式，再证△BAD∽△ECD，根据相似三角形的性质得出ADED＝BDDC，即可得出答案．【解答】证明：作△ABC的外接圆O，延长AD交⊙O于E，连接CE，∵AE平分∠BAC，∴∠BAD＝∠EAC，∵∠B＝∠E，∴△ABD∽△AEC，∴AB/AE=AD/AC，∴ABAC＝ADAE＝AD（AD+DE）＝AD2+ADED，∵∠B＝∠E，∠BAD＝∠DCE，∴△BAD∽△ECD，∴AD/CD=BD/ED，∴ADED＝BDDC，∴ABAC＝ADAE＝AD+BDDC．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，圆周角定理的应用，解此题的关键是推出△ABD∽△AEC 和△BAD∽△ECD，主要考查学生的推理能力．例2．如图，ABCD是圆内接四边形，AB、DC的延长线交于E，AD、BC的延长线交于F，EP、FQ切圆于P、Q两点，求证：EP+FQ＝EF．【分析】作辅助圆，构建四点共圆的四边形，利用切割线定理列式：EP2＝ECED，FQ2＝FCFB，得出结论．【解答】证明：作△BCE的外接圆，交EF于G，连接CG，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠FDC＝∠ABC，∵B、C、G、E四点共圆，∴∠ABC＝∠CGE，∴∠FDC＝∠ABC＝∠CGE，∴F、D、C、G四点共圆，由切割线定理得：EP＝ECED，FQ＝FCFB，EF＝（EG+GF）EF＝EGEF+GFEF＝ECED+FCFB，∴EP+FQ＝EF．【点评】本题考查了切割线定理和圆内接四边形的性质，本题运用了圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）；反之也成立；在证明线段的平方和时，一方面考虑利用勾股定理来求，另一方面考虑利用切割线定理列式得出．类型2 作三角形外接圆，利用圆中的角证明线段的和差倍半问题例3．四边形ABCD内接于圆，另一圆的圆心在边AB上且与其余三边相切，求证：AD+BC＝AB．【分析】先画图，设AB上的圆心为P，由等腰三角形的性质得，∠CMB＝∠PDC，则M，P，C，D四点共圆，从而得出∠AMD＝∠ADM，最后证得AD+BC＝AB．【解答】证明：设AB上的圆心为P，在AB上取一点M，使MB＝BC，连接MC，MD，PD，PC 等腰△CMB中，∠CMB＝∠MCB，∴∠CMB＝1/2（∠MCB+∠CMB）＝1/2（180°﹣∠B），＝1/2∠ADC （圆内接四边形ABCD的对角相加为180°），＝∠PDC （设圆P切AD于E，切DC于F，有PE＝PF，Rt△PDE和Rt△PDF中，一对儿直角边相等，且斜边是公共的，∴两Rt△全等，可得PD平分∠CDA），∴M，P，C，D四点共圆，∴∠AMD＝∠DCP＝1/2∠DCB （同理，可证PC平分∠DCB），＝1/2（180°﹣∠A）（ABCD的另一对儿对角和为180°，＝1/2（∠ADM+∠AMD），∴∠AMD＝∠ADM∴AD＝AM，∴AD+BC＝AM+MB＝AB．例4．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是底边BC上一点，E是线段AD上一点且∠BED＝2∠CED＝∠A．求证：BD＝2CD．【分析】首先作DO∥AB交AC于O，得出O为△EDC的外心，进而得出△ACE∽△ADF，即有AD/AC=AF/AE，即可得出△ADO∽△BAE，即可得出BD＝2CD．【解答】证明：作DO∥AB交AC于O．则由AB＝AC易知OD＝OC，且∠DOC＝∠BAC＝2∠CED，所以O为△EDC的外心，取F为△EDC的外接圆与AC的交点，连接DF，则OF＝OC＝OD，∠ACE＝∠ADF．所以△ACE∽△ADF，即有AD/AC=AF/AE．再由DO∥AB，∠ADO＝∠BAE，∠AOD＝180﹣∠DOC＝180°﹣∠A＝180°﹣∠BED＝∠AEB，所以△ADO∽△BAE，即得OD/AE=AD/AB=AF/AE.故AF＝OD＝OC＝1/2CF，从而AO＝2OC．由DO∥AB，得：BD＝2CD．类型3 作三角形的外接圆，利用圆中的角判断三角形的形状例5.已知：AD是△ABC的中线，若∠ABC+∠CAD＝90．试判断△ABC的形状．分析：作△ABC的外接圆．使分散的∠ABC．∠CAD集中在一起，从而知道中线AD在外接圆的直径上．根据圆中弦的定理，可判断△ABC的形状．解：作△ABC的外接圆．延长AD交外接圆于E．连结BE．∵∠EBC＝∠CAD，又∠ABC＋∠CAD＝90°，∴∠ABC＋∠EBC＝90°，即∠ABE＝90°．AE是△ABC的外接圆的直径．又AD是BC边上的中线．(1)当BC不是外接圆的直径时，即BC为弦，则 AD⊥BC，AD是BC边的中垂线．△ABC为等腰三角形．(2)当BC是外接圆的直径时，∠CAB＝90°，△ABC为直角三角形．例6. 设P、Q为线段BC 上两定点，且BP＝CQ．A为BC外一动点．当点A运动到使∠BAP＝∠CAQ时，△ABC是什么三角形？分析：作△ABC的外接圆，能把角等转化为弦等，构造全等三角形．证明：作△ABC的外接圆，延长AP、AQ分别交外接圆于E、F．连结BE、CF．∵∠BAP＝∠CAQ，即∠BAE＝∠CAF，∴BE=FC, 弧BE=弧CF,∴弧BF=弧CE, ∴∠EBP＝∠FCQ，又BP＝CQ，∴△BEP≌△CFQ．∠E＝∠F，在△ABE和△ACF中,∠E＝∠F，∠BAE＝∠CAF，BE＝CF．∴△ABE≌△ACF,AB＝AC, ∴△ABC是等腰三角形．类型4 作三角形的外接圆，解几何综合题例7.已知：A、B、C三点不在同一直线上．（1）若点A、B、C均在半径为R的⊙O上，i）如图①，当∠A＝45°，R＝1时，求∠BOC的度数和BC的长；ii）如图②，当∠A为锐角时，求证：sinA＝BC/2R；（2）若定长线段BC的两个端点分别在∠MAN的两边AM、AN（B、C均与A不重合）滑动，如图③，当∠MAN＝60°，BC＝2时，分别作BP⊥AM，CP⊥AN，交点为P，试探索在整个滑动过程中，P、A两点间的距离是否保持不变？请说明理由．【分析】（1）i）根据圆周角定理得出∠BOC＝2∠A＝90°，再利用勾股定理得出BC的长；ii）作直径CE，则∠E＝∠A，CE＝2R，利用sinA＝sinE＝BC/2R，得出即可；（2）首先证明点A、B、P、C都在⊙K上，再利用sin60°＝BC/AP，得出AP＝2/ sin60°＝4√3/3（定值）．【解答】（1）i）∵A、B、C均在⊙O上，∴∠BOC＝2∠A＝2×45°＝90°，∵OB＝OC＝1，∴BC＝√2，注：也可延长BO或过O点作BC的垂线构造直角三角形求得BC．ii）证法一：如图②，连接EB，作直径CE，则∠E＝∠A，CE＝2R，∴∠EBC＝90°∴sinA＝sinE＝BC/2R，证法二：如图③．连接OB、OC，作OH⊥BC于点H，则∠A＝1/2∠BOC＝∠BOH，BH＝1/2BC∴sinA＝sin∠BOH＝BH/OB=1/2BC/R=BC/2R，（2）如图④，连接AP，取AP的中点K，连接BK、CK，在Rt△APC中，CK＝1/2AP＝AK＝PK，同理得：BK＝AK＝PK，∴CK＝BK＝AK＝PK，∴点A、B、P、C都在⊙K上，∴由（1）ii）可知sin60°＝BC/AP∴AP＝2/ sin60°＝4√3/3（定值），故在整个滑动过程中，P、A两点间的距离不变．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及解直角三角形和四点共圆等知识，根据已知得出点A、B、P、C 都在⊙K上以及sin60°＝BC/AP是解题关键．中考热点：圆+三角函数综合题型一、问题导读“圆”这一部分知识，多年来都是中考的重点，锐角三角函数大家也不算陌生，那么当圆遇上三角函数又会出现什么呢？下面就和大家分享一下圆偶遇三角函数之后所发生的一个小片段吧！当然如果想了解具体发生了什么，首先得记住他们的暗号喔，通过下面问题的探讨，不难发现它们携手并进暗号呢。
三角函数和圆的知识点总结
三角函数和圆的知识点总结在圆的知识中，圆是一种简单的几何图形，它有着许多有趣的性质和应用，比如圆周率和圆的面积、弧长等。
下面我们将对三角函数和圆的知识点进行详细的总结。
一、三角函数1. 正弦函数正弦函数是一种周期性的函数，它的图像是一条波浪线。
正弦函数在几何学中常用来描述角的正弦值，它定义为一个直角三角形中对边与斜边的比值。
在代数学中，正弦函数可以用于描述周期性变化的现象，比如声音的波动、天体运动等。
正弦函数的性质包括：- 周期性：正弦函数的周期是2π，即f(x+2π) = f(x)。
- 增减性：在一个周期内，正弦函数是先增后减的。
- 奇函数：正弦函数是奇函数，即f(-x) = -f(x)。
2. 余弦函数余弦函数也是一种周期性的函数，它的图像是一条波浪线，但与正弦函数的波形相位差π/2。
余弦函数描述了一个角的余弦值，它定义为一个直角三角形中邻边与斜边的比值。
在代数学中，余弦函数可以描述一些对称变化的现象，比如振动、波动等。
余弦函数的性质包括：- 周期性：余弦函数的周期也是2π，即f(x+2π) = f(x)。
- 增减性：在一个周期内，余弦函数是先减后增的。
- 偶函数：余弦函数是偶函数，即f(-x) = f(x)。
3. 正切函数正切函数是斜率的函数，它描述了一个角的正切值，定义为一个直角三角形中对边与邻边的比值。
在几何学中，正切函数用于求解三角形的角度和边长；在物理学和工程学中，正切函数可以描述力和速度的关系。
正切函数的性质包括：- 周期性：正切函数的周期是π，即f(x+π) = f(x)。
- 增减性：在一个周期内，正切函数是先增后减或者先减后增的。
- 奇函数：正切函数是奇函数，即f(-x) = -f(x)。
4. 反正弦函数、反余弦函数、反正切函数除了正弦函数、余弦函数和正切函数之外，三角函数还有反函数，分别是反正弦函数arcsin(x)、反余弦函数arccos(x)、反正切函数arctan(x)。
圆和三角函数的知识点总结
圆和三角函数的知识点总结一、圆的基本概念1. 圆的定义圆是由平面上到一点距离等于定值的所有点的集合所构成的图形。
这个定值称为圆的半径，记作R。
圆的中心是到圆上任意一点的距离都等于半径的点。
2. 圆的性质（1）圆的直径是经过圆心并且两端点在圆上的线段，其长度等于半径的两倍，即2R。
（2）圆的周长是圆的边界长度，等于2πR。
（3）圆的面积是圆的内部面积，等于πR²。
3. 圆的相关公式（1）周长的计算公式：C = 2πR（2）面积的计算公式：A = πR²4. 圆的图形圆的图形一般用于图像的绘制、工程设计和数学证明等方面，其圆心和半径都是图形的重要参数。
二、三角函数的基本概念1. 三角函数的定义三角函数是一类反映角度和三角形边长关系的函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数等。
其中，最基本的三角函数是正弦函数和余弦函数。
2. 三角函数的性质（1）正弦函数的性质：周期性、奇偶性、单调性等。
（2）余弦函数的性质：周期性、偶偶性、单调性等。
（3）其他三角函数的性质：正切函数、余切函数、正割函数和余割函数的性质。
3. 三角函数的公式三角函数有一系列的常用公式，如和差公式、倍角公式、半角公式、和角公式等，这些公式能够简化三角函数的计算。
4. 三角函数的图形正弦函数和余弦函数的图形是三角函数中最为常见的图形，它们在数学和物理学中有着广泛的应用。
在图像上，正弦函数是一个周期函数，其图像呈现正弦波形；余弦函数也是一个周期函数，其图像呈现余弦波形。
三、圆和三角函数的关系1. 弧度制和角度制圆和三角函数之间的关系在很大程度上依赖于角度的度量方式。
弧度制是一种更为自然的角度度量方式，而角度制是较为常见的角度度量方式。
弧度制和角度制的关系为：1弧度= 180°/π度。
2. 弧长和扇形面积正弦函数和余弦函数的定义涉及到圆的弧长和扇形面积，它们与三角函数之间有着密切的关系。
课件10：1.2.2 单位圆与三角函数线
得 sin α=ON=MP,tan α=AT,又α= 的长,
所以 S△AOP= 1 ·OA·MP= 1 sin α,
2
2
1 S 扇形 AOP= ·
的长·OA= 1 ·
的长= 1 α,
2
2
2
S△AOT= 1 ·OA·AT= 1 tan α.
2
2
又因为 S△AOP<S 扇形 AOP<S△AOT,所以 sin α<α<tan 圆于 C、D 两点,连接 OC 与 OD,则 OC 与 OD 2
围成的区域(图②阴影部分)即为角α的终边的范围.故满足条件的角α
的集合为{α|2kπ+ 2π≤α≤2kπ+ 4π,k∈Z}.
3
3
方法技巧 利用三角函数线根据三角函数值的范围求角α的范围.
变式训练 2-1:角 x 在[0,2π]上满足 sin x≥ 1 ,则 x 的取值范围是( ) 2
(2)以A为原点建立y′轴与y轴同向,y′轴与α的终边(或其反向延长 线)相交于点T(或T′)(图②所示),则tan α=AT(或AT′).
我们把轴上向量 OM , ON 和 AT (或 AT )分别叫做α的 余弦线 、 正弦线 和 正切线 .
【拓展延伸】 理解三角函数线应注意的问题 对三角函数线的图形,要弄清以下几点: (1)三角函数线的位置:正弦线在y轴上,余弦线在x轴上,正切线在 过单位圆与x轴正方向的交点的切线上,三条有向线段中两条在 坐标轴上,一条与单位圆相切. (2)三角函数线的方向:正弦线与余弦线由原点指向垂足;正切线 由切点指向α终边(或其反向延长线)与切线的交点. (3)三角函数线的正负,即三条有向线段的正负:凡与x轴或与y轴同 向的为正值,反向的为负值.
三角函数圆的知识点总结
三角函数圆的知识点总结1. 正弦函数和余弦函数正弦函数和余弦函数是三角函数中最基本的两个函数之一。
它们的定义来自于单位圆。
单位圆是一个半径为1的圆，我们可以以圆心为原点建立直角坐标系，这样单位圆的边界就可以表示为坐标为$(\cos \theta, \sin \theta)$的点。
这里$\theta$表示与$x$轴正方向的夹角，即角度。
正弦函数$\sin \theta$在单位圆上对应点的纵坐标，而余弦函数$\cos \theta$在单位圆上对应点的横坐标。
这样，我们可以得到正弦函数和余弦函数的定义：$$\sin \theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}} = \frac{y}{r}$$$$\cos \theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}} = \frac{x}{r}$$其中$r$为单位圆的半径。
正弦函数和余弦函数的图像都是周期性的，周期为$2\pi$(或$360^{\circ}$)，并且它们都是偶函数。
正弦函数和余弦函数的图像都是连续的，且在定义域内都是单调递增的。
它们的最大值和最小值都是1和-1。
2. 正切函数正切函数是另一个基本的三角函数，定义为$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$。
可以从正弦函数和余弦函数的定义中得到正切函数的等价定义：$\tan \theta =\frac{y}{x}$。
正切函数的图像是周期性的，周期同样是$2\pi$(或$360^{\circ}$)。
它是一个奇函数，即$\tan (-\theta) = -\tan \theta$。
正切函数在定义域内有无穷多个间断点，因为$\cos \theta = 0$时，$\tan \theta$无定义。
在这些点处，正切函数的图像会有无限大的正向或负向趋向。
正切函数的图像在$(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$上是单调递增的，在$(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$上是单调递减的。
圆与三角函数(解析版)
九年级数学下册解法技巧思维培优专题16 圆与三角函数题型一 利用锐角三角函数值求有关线段的长【典例1】（2019•碑林区校级模拟）如图，已知△OAB 中，OA ＝OB ＝10，sin B =35，以点O 为圆心，12为直径的⊙O 交线段OA 于点C ，交直线OB 于点E 、D ，连接CD ，EC ． （1）求证：AB 为⊙O 的切线；（2）在（l ）的结论下，连接点E 和切点，交OA 于点F ，求CF 的长．【点拨】（1）过点O 作OG ⊥AB ，垂足为G ，由条件求出OG ，根据切线的判定方法判断即可；（2）先求出CE 长，证明OG ∥EC ，得到△FOG ∽△FCE ，根据相似三角形的性质定理得OF CF=OG CE，可得OF •CE ＝OG •CF ，设CF ＝x ，则可得关于x 的方程，解方程即可得解． 【解析】（1）证明：如图，过点O 作OG ⊥AB ，垂足为G ，∴∠OGA ＝∠OGB ＝90，∵OA ＝OB ，sin B =35=OGOB ， ∴OG =35×10=6，∵⊙O 的直径为12， ∴半径r 为6，∴OG ＝r ＝6，又OG ⊥AB ， ∴AB 为⊙O 的切线；（2）解：∵DE 为⊙O 的直径， ∴∠ECD ＝90°， ∵CD ∥AB ， ∴∠CDE ＝∠ABD ，∴sin∠CDE =CEDE =35， ∴CE 12=35，∴CE =365，∵OA ＝OB ，AG ＝BG ， ∴∠AOG ＝∠BOG ， ∵OE ＝OC ， ∴∠OEC ＝∠OCE ， ∵∠AOB ＝∠OEC +∠OCE ， ∴∠AOG ＝∠OCE ， ∴OG ∥EC ， ∴△FOG ∽△FCE ，∴OF CF=OG CE，∴OF •CE ＝OG •CF ，设CF ＝x ，则365×(6−x)=6x ，解得：x =3611． ∴CF =3611． 【典例2】（2019•碑林区校级一模）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 是AB 的中点，以AD 是直径的⊙O 交AC 于点E ，⊙O 的切线EF 交CD 于点F ， （1）求证：EF ⊥CD ；（2）若AC ＝10，cos A =56，求线段DF 的长．【点拨】（1）连接DE ，OE ，由条件知DA ＝DC ，∠AED ＝90°，则AE ＝EC ，可证明OE ∥DC ，得出∠EFC ＝90°；（2）可求出AE ＝5，求出DE ，在Rt △DEF 中，cos A ＝cos ∠DEF =56，可求出EF 长，则DF 长可求． 【解析】（1）证明：连接DE ，OE ， ∵∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点， ∴DA ＝DC ， ∵AD 是⊙O 的直径，∴∠AED＝90°，∴AE＝EC，∵OA＝OD，∴OE∥DC，∵EF是圆的切线，∴∠OEF＝90°，∴∠OEF＝∠EFC＝90°，∴EF⊥CD；（2）解：∵AC＝10，∴AE＝CE＝5，∵cos A=56=AEAD，∴AD＝6，∴DE=√AD2−AE2=√62−52=√11，在Rt△DEF中，cos A＝cos∠DEF=5 6，∴EF=56√11，∴DF=√DE2−EF2=√(√11)2−(56√11)2=116．【典例3】（2019•雨花区校级期中）已知：如图，在△OAB中，OA＝OB，⊙O经过线段AB的中点C与OB交于点D，且与BO的延长线交于点E，连接EC，CD．（1）求证：直线AB与⊙O相切；（2）若tan E=13，BD＝1，求⊙O半径的长度．【点拨】（1）根据等腰三角形的性质得出OC⊥AB，即可解答本题；（2）根据三角形的相似可以求得BE的长，从而可以得到OD的长．【解析】（1）证明：如图，连接OC．∵OA＝OB，C为AB的中点，∴OC⊥AB．∴AB是⊙O的切线；（2）解：∵ED是⊙O的直径，∴∠ECD＝90°．∴∠E+∠ODC＝90°．又∵∠BCD+∠OCD＝90°，∠OCD＝∠ODC，∴∠BCD＝∠E．又∵∠CBD＝∠EBC，∴△BCD ∽△BEC ．∴BC BE=BD BC=CD EC．∴BC 2＝BD •BE ．∵tan E =13，∴CD EC=13．∵△BCD ∽△BEC ，∴BC BE=BD BC=CD EC=13．∴BC ＝3BD ＝3，BE ＝3BC ＝9， ∴ED ＝BE ﹣BD ＝9﹣1＝8，∴OD =12ED ＝4， 即⊙O 半径的长度为4．题型二 利用圆中已知条件求锐角三角函数值【典例4】（2019•长春模拟）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ．（1）求证：直线DE 是⊙O 的切线；（2）若BC＝8，tan C=34，求tan∠DOE的值．【点拨】（1）连接OD，求出AC∥OD，求出OD⊥DE，根据切线的判定推出即可；（2）连接AD，求出BD＝CD＝4，AD＝3，求出OD＝2.5，解直角三角形求出DE，再求出答案即可．【解析】（1）证明：连结OD，∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴∠DEC＝90°，∴∠ODE＝∠DEC＝90°，∴OD⊥DE，∵OD 是半径， ∴DE 是⊙O 的切线；（2）解：连结AD ，∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°， ∵AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴BD =12BC =4， ∴tanB =AD BD， ∴AD ＝3，在Rt △ADB 中，由勾股定理得：AB =√32+42=5， ∴AO ＝BO ＝2.5，∴OD =12AB =52，在Rt △DEC 中，∵sinC =DEDC ， ∴35=DE 4，∴DE =125，∴tan∠DOE =DE DO =2425．【典例5】（2019•荆门）已知锐角△ABC的外接圆圆心为O，半径为R．（1）求证：ACsinB=2R；（2）若△ABC中∠A＝45°，∠B＝60°，AC=√3，求BC的长及sin C的值．【点拨】（1）如图1，连接AO并延长交⊙O于D，连接CD，于是得到∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，根据三角函数的定义即可得到结论；（2）由ACsinB =2R，同理可得：ACsinB=ABsinC=BCsinA=2R，于是得到2R=√3sin60°=2，即可得到BC＝2R•sin A＝2sin45°=√2，如图2，过C作CE⊥AB于E，解直角三角形即可得到结论．【解析】解：（1）如图1，连接AO并延长交⊙O于D，连接CD，则∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，∵sin∠ABC＝sin∠ADC=ACAD=AC2R，∴ACsinB=2R；（2）∵ACsinB=2R，同理可得：ACsinB =ABsinC=BCsinA=2R，∴2R=√3sin60°=2，∴BC＝2R•sin A＝2sin45°=√2，如图2，过C作CE⊥AB于E，∴BE＝BC•cos B=√2cos60°=√22，AE＝AC•cos45°=√62，∴AB＝AE+BE=√6+√22，∵AB＝2R•sin C，∴sin C=AB2R=√6+√24．【典例6】（2019•泗水县二模）【问题学习】小芸在小组学习时问小娟这样一个问题：已知α为锐角，且sinα=35，求sin2α的值．小娟是这样给小芸讲解的：如图①，在⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，所以∠ACB＝90°．设∠BAC＝a，则sin a=BCAB=35．易得∠BOC＝2α．设BC＝3x，则AB＝5x……【问题解决】（1）请按照小娟的思路，利用图①求出sin2a的值．（写出完整的解答过程）（2）已知，如图②，点M，N，P为O上的三点，且∠P＝β，sinβ=14，求sin2β的值．【点拨】（1）如图①，设∠BAC ＝a ，根据圆周角定理得到∠COB ＝2α，∠ACB ＝90°，利用正弦的定义得到sin a =BC AB =35．则设BC ＝3x ，AB ＝5x ，利用勾股定理得到AC ＝4x ，作CD ⊥AB 于D ，如图，根据面积法得CD =125x ，然后在Rt △COD 中利用正弦的定义可求出sin2α的值；（2）如图②，作直径NQ ，连接QN 、OM ，作MH ⊥NQ 于H ，根据圆周角定理得到∠NMQ ＝90°，∠MON ＝2∠P ，∠Q ＝∠P ＝β，利用sin Q ＝sin β=MN NQ =14，设MN ＝t ，则NQ ＝4t ，则MQ =√15t ，根据面积法得到MH =√154x ，然后在Rt △OMH 中利用正弦的定义求出sin ∠HOM 即可．【解析】解：（1）如图①，设∠BAC ＝a ，则∠COB ＝2α，∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°，在Rt △ACB 中，∵sin a =BC AB =35．∴设BC ＝3x ，AB ＝5x ，∴AC ＝4x ，作CD ⊥AB 于D ，如图，∵12CD •AB =12AC •BC ，∴CD =3x⋅4x 5x =125x ，在Rt △COD 中，sin ∠COD =CD OC =125x 52x=2425，即sin2α=1225； （2）如图②，作直径NQ ，连接QN 、OM ，作MH ⊥NQ 于H ，∵NQ 为直径，∴∠NMQ ＝90°，∵∠Q ＝∠P ＝β，∴sin Q ＝sin β=MN NQ =14，设MN ＝t ，则NQ ＝4t ，∴MQ =√(4t)2−t 2=√15t ，∵12MH •NQ =12MN •MQ ， ∴MH =x⋅√15x 4x=√154x ， 在Rt △OMH 中，sin ∠HOM =MH OM =√15x 42x =√158，∵∠MON ＝2∠P ，∴sin2β=√158．巩固练习1．（2019•海淀区期末）如图，AB 是⊙O 的弦，半径OE ⊥AB ，P 为AB 的延长线上一点，PC 与⊙O 相切于点C ，CE 与AB 交于点F ．（1）求证：PC ＝PF ；（2）连接OB ，BC ，若OB ∥PC ，BC ＝3√2，tan P =34，求FB 的长．【点拨】（1）连接OC ，根据切线的性质以及OE ⊥AB ，可知∠E +∠EF A ＝∠OCE +∠FCP ＝90°，从而可知∠EF A ＝∠FCP ，由对顶角的性质可知∠CFP ＝∠FCP ，所以PC ＝PF ；（2）过点B 作BG ⊥PC 于点G ，由于OB ∥PC ，且OB ＝OC ，BC ＝3√2，从而可知OB ＝3，易证四边形OBGC 是正方形，所以OB ＝CG ＝BG ＝3，所以BG PG =34，所以PG ＝4，由勾股定理可知：PB ＝5，所以FB ＝PF ﹣PB ＝7﹣5＝2．【解析】解：（1）连接OC ，∵PC 是⊙O 的切线，∴∠OCP ＝90°，∵OE ＝OC ，∴∠E ＝∠OCE ，∵OE ⊥AB ，∴∠E +∠EF A ＝∠OCE +∠FCP ＝90°，∴∠EF A ＝∠FCP ，∵∠EF A ＝∠CFP ，∴∠CFP ＝∠FCP ，∴PC ＝PF ；（2）过点B 作BG ⊥PC 于点G ，∵OB ∥PC ，∴∠COB ＝90°，∵OB ＝OC ，BC ＝3√2，∴OB ＝3，∵BG ⊥PC ，∴四边形OBGC 是正方形，∴OB ＝CG ＝BG ＝3，∵tan P =34，∴BG PG =34， ∴PG ＝4，∴由勾股定理可知：PB ＝5，∵PF ＝PC ＝7，∴FB ＝PF ﹣PB ＝7﹣5＝2．2．（2019•碑林区校级模拟）如图，在△ABC中，AC＝AB，以AB为直径的⊙O分别与BC．AC相交于点D，E，且，过D作DF⊥AC于F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若AD＝4，tan∠CDF=12，求⊙O的半径．【点拨】（1）连接OD，由等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠C，∠ODB＝∠ABC，得出∠ODB＝∠C，证出OD∥AC，因此OD⊥DF，即可得出DF是⊙O的切线；（2）由圆周角定理得出∠ADB＝90°＝∠DFC，证明△DFC∽△ADB，得出CFDF =BDAD，由三角函数得出BD AD =12，求出BD=12AD=12×4＝2，由勾股定理得出AB=√BD2+AD2=2√5，即可得出⊙O的半径．【解析】（1）证明：连接OD，如图所示：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠ABC，∴∠ODB ＝∠C ，∴OD ∥AC ，∵DF ⊥AC ，∴OD ⊥DF ，∴DF 是⊙O 的切线；（2）解：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°＝∠DFC ，∵∠ABC ＝∠C ，∴△DFC ∽△ADB ，∴CF DF =BD AD ，∵tan ∠CDF =CF DF =12，∴BD AD =12， ∴BD =12AD =12×4＝2， ∴AB =√BD 2+AD 2=√22+42=2√5，∴⊙O 的半径为√5．3．（2019•镇江）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，过AC 延长线上的点O 作OD ⊥AO ，交BC 的延长线于点D ，以O为圆心，OD长为半径的圆过点B．（1）求证：直线AB与⊙O相切；（2）若AB＝5，⊙O的半径为12，则tan∠BDO＝23．【点拨】（1）连接OB，由等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠ACB，∠OBD＝∠D，证出∠OBD+∠ABC ＝90°，得出AB⊥OB，即可得出结论；（2）由勾股定理得出OA=√AB2+OB2=13，得出OC＝OA﹣AC＝8，再由三角函数定义即可得出结果．【解析】（1）证明：连接OB，如图所示：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠ACB＝∠OCD，∴∠ABC＝∠OCD，∵OD⊥AO，∴∠COD＝90°，∴∠D+∠OCD＝90°，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠D，∴∠OBD +∠ABC ＝90°，即∠ABO ＝90°，∴AB ⊥OB ，∵点B 在圆O 上，∴直线AB 与⊙O 相切；（2）解：∵∠ABO ＝90°，∴OA =√AB 2+OB 2=√52+122=13，∵AC ＝AB ＝5，∴OC ＝OA ﹣AC ＝8，∴tan ∠BDO =OC OD =812=23；故答案为：23．4．（2019•思明区质检）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，⊙O 是△ABC 的外接圆，AE ⊥AB 交BC 于点D ，交⊙O 于点E ，F 在DA 的延长线上，且AF ＝AD ．若AF ＝3，tan ∠ABD =34，求⊙O 的直径．【点拨】如图，连接BE．利用等腰三角形“三线合一”的性质得到BF＝BD；然后根据圆周角定理推知∠FBA＝∠ABC＝∠C＝∠E，BE是⊙O的直径．利用锐角三角函数的定义可以来求BE的长度．【解析】解：如图，连接BE．∵AF＝AD，AB⊥EF，∴BF＝BD．∵AB＝AC，∴∠FBA＝∠ABC＝∠C＝∠E．∵tan∠ABD=3 4，∴tan∠E＝tan∠FBA=3 4．在Rt△ABF中，∠BAF＝90°．∵tan∠FBA=AFAB=34，AF＝3，∴AB＝4．∵∠BAE＝90°，∴BE是⊙O的直径．∵tan∠E＝tan∠FBA=34，AB＝4，∴设AB ＝3x ，AE ＝4x ，∴BE ＝5x ，∵3x ＝4，∴BE ＝5x =203，即⊙O 的直径是203．5．（2019•长宁区一模）如图，AB 是圆O 的一条弦，点O 在线段AC 上，AC ＝AB ，OC ＝3，sin A =35．求：（1）圆O 的半径长；（2）BC 的长．【点拨】（1）过点O 作OH ⊥AB ，垂足为点H ，设OH ＝3k ，AO ＝5k ，则AH =√AO 2−OH 2，得到AB ＝2AH ＝8k ，求得AC ＝AB ＝8k ，列方程即可得到结论；（2）过点C 作CG ⊥AB ，垂足为点G ，在 Rt △ACG 中，∠AGC ＝90°，解直角三角形即可得到结论．【解析】解：（1）过点O 作OH ⊥AB ，垂足为点H ，在Rt△OAH中中，∠OHA＝90°，∴sin A=OHAO=35，设OH＝3k，AO＝5k，则AH=2−OH2∵OH⊥AB，∴AB＝2AH＝8k，∴AC＝AB＝8k，∴8k＝5k+3，∴k＝1，∴AO＝5，即⊙O的半径长为5；（2）过点C作CG⊥AB，垂足为点G，在Rt△ACG中，∠AGC＝90°，∴sin A=CGAC=35，∵AC＝8，∴CG=245，AG=√AC2−CG2=325，BG=85，在Rt△CGB中，∠CGB＝90°，∴BC=√CG2+BG2=√(85)2+(245)2=8√105．6．（2019•武昌区模拟）如图1，△ABC 是等腰三角形，O 是底边BC 中点，腰AB 与⊙O 相切于点D（1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）如图2，连接CD ，若tan ∠BCD =√24，⊙O 的半径为√3，求BC 的长．【点拨】（1）连接OD ，作OF ⊥AC 于F ，如图，利用等腰三角形的性质得AO ⊥BC ，AO 平分∠BAC ，再根据切线的性质得OD ⊥AB ，然后利用角平分线的性质得到OF ＝OD ，从而根据切线的判定定理得到结论；（2）过D 作DF ⊥BC 于F ，连接OD ，根据三角函数的定义得到DF CF =√24，设DF =√2a ，OF ＝x ，则CF ＝4a ，OC ＝4a ﹣x 根据相似三角形的性质得到BF DF =DF FO ，根据勾股定理即可得到结论．【解析】（1）证明：连接OD ，OA ，作OF ⊥AC 于F ，如图，∵△ABC 为等腰三角形，O 是底边BC 的中点，∴AO ⊥BC ，AO 平分∠BAC ，∵AB 与⊙O 相切于点D ，∴OD ⊥AB ，而OF ⊥AC ，∴OF ＝OD ，∴AC 是⊙O 的切线；（2）过D 作DF ⊥BC 于F ，连接OD ，∵tan ∠BCD =√24，∴DF CF =√24， 设DF =√2a ，OF ＝x ，则CF ＝4a ，OC ＝4a ﹣x ， ∵O 是底边BC 中点，∴OB ＝OC ＝4a ﹣x ，∴BF ＝OB ﹣OF ＝4a ﹣2x ，∵OD ⊥AB ，∴∠BDO ＝90°，∴∠BDF +∠FDO ＝90°，∵DF ⊥BC ，∴∠DFB ＝∠OFD ＝90°，∠FDO +∠DOF ＝90°， ∴∠BDF ＝∠DOF ，∴△DFO ∽△BFD ，∴BF DF =DF FO ， ∴√2a =√2a x ， 解得：x 1＝x 2＝a ，∵⊙O的半径为√3，∴OD=√3，∵DF2+FO2＝DO2，∴（√2x）2+x2＝（√3）2，∴x1＝x2＝a＝1，∴OC＝4a﹣x＝3，∴BC＝2OC＝6．。
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第21题专练
课前练习：
南博汽车城销售某种型号的汽车，每辆进货价为25万元，市场调研表明：当销售价为29万元时，平均每周能售出8辆，而当销售价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆．如果设每辆汽车降价x 万元，每辆汽车的销售利润为y 万元．（销售利润=销售价﹣进货价）
(1)求y 与x 的函数关系式；在保证商家不亏本的前提下，写出x 的取值范围；
(2)假设这种汽车平均每周的销售利润为z 万元，试写出z 与x 之间的函数关系式；
(3)当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大，最大利润是多少？
1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BO 平分∠ABC 交AC 于点O ，以点O 为圆心，OC 长为半径作⊙O ，交AC 于点D ．
(1)判断直线AB 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
(2)若AD =2，tan ∠BOC =2，求⊙O 的半径．
2.在⊙O 中，AB ⌒=AC ⌒，点F 是AC 上一点，连接AO 并延长交BF 于E.
(1)如图1，若BF 是△ABC 高，求证：∠CBF=∠CAE ;
（2）如图2，若BF 是△ABC 内的角平分线，BC=10，COS ∠BCA=13,求AE 的长.
图2F E O C
B A 图1F E O
C B
3.如图，AB 是⊙O 的直径，C 是弧AB 的中点，弦CD 与AB 相交于E
(1) 若∠AOD ＝45°，求证：CE ＝2ED
(2) 若AE ＝EO ，求tan ∠AOD 的值
4.如图，P A 是⊙O 的切线，A 为切点，点B 、C 均在⊙O 上，且P A ＝PB
(1) 求证：PB 为⊙O 的切线
(2) 连AB ，若AB ＝6，tanC ＝2
3，求P A 的长
5.如图，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，AD 与过点C 的切线垂直，垂足为点D ，AD 交⊙O 于点E ．
(1) 求证：AC 平分∠DAB ； (2) 连接BE 交AC 于点F ，若cos ∠CAD ＝ 4 5 ，求AF FC
的值．
E O A D
C
6.已知⊙O为△ABC的外接圆，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交⊙O 于点D
(1) 如图1，求证：BD＝ED
(2) 如图2，AD为⊙O的直径．若BC＝6，sin∠BAC＝3
5
，求OE的长。