(完整word)初三锐角三角函数与圆综合专题训练.docx
(完整)人教版九年级下册：圆和三角函数综合练习(含答案),推荐文档
圆与三角函数1．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE 与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）求证：CE2=EH?EA；（3）若⊙O的半径为5，sinA=，求BH的长．2．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上任一点（不与A，B重合），AB⊥CD于E，BF为⊙O的切线，OF∥AC，连结AF，FC，AF与CD交于点G，与⊙O交于点H，连结CH．（1）求证：FC是⊙O的切线；（2）求证：GC=GE；（3）若cos∠AOC=，⊙O的半径为r，求CH的长．3．已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD、BD，BD交AC于点F．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）延长AC到点P，使PF=PB，求证：PB是⊙O的切线；（3）如果AB=10，cos∠ABC=，求AD．4．如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB=∠DCE．（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若tan∠ACB=，BC=2，求⊙O的半径．5．如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF．（1）证明：∠E=∠C；（2）若∠E=55°，求∠BDF的度数；（3）设DE交AB于点G，若DF=4，cosB=，E是的中点，求EG?ED的值．6．AB，CD是⊙O的两条弦，直线AB，CD互相垂直，垂足为点E，连接AD，过点B作BF⊥AD，垂足为点F，直线BF交直线CD于点G．（1）如图1，当点E在⊙O外时，连接BC，求证：BE平分∠GBC；（2）如图2，当点E在⊙O内时，连接AC，AG，求证：AC=AG；（3）如图3，在（2）条件下，连接BO并延长交AD于点H，若BH平分∠ABF，AG=4，tan ∠D=，求线段AH的长．7．如图，已知AB是⊙O的直径，BP是⊙O的弦，弦CD⊥AB于点F，交BP于点G，E在CD的延长线上，EP=EG，（1）求证：直线EP为⊙O的切线；（2）点P在劣弧AC上运动，其他条件不变，若BG2=BF?BO．试证明BG=PG；（3）在满足（2）的条件下，已知⊙O的半径为3，sinB=．求弦CD的长．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AO是△ABC的角平分线．以O为圆心，OC为半径作⊙O．（1）求证：AB是⊙O的切线．（2）已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tanD=，求的值．（3）在（2）的条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长．9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．（1）求∠CDE的度数；（2）求证：DF是⊙O的切线；（3）若AC=2DE，求tan∠ABD的值．10．如图，已知在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC的外接圆，AD 是⊙O的直径，且交BP于点E．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG?AB=12，求AC的长；（3）在满足（2）的条件下，若AF：FD=1：2，GF=1，求⊙O的半径及sin∠ACE的值．11．已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜边AC交⊙O于点D，且AD=DC，延长CB交⊙O于点E．（1）图1的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由；（2）如图2，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．①若CF=CD时，求sin∠CAB的值；②若CF=aCD（a＞0）时，试猜想sin∠CAB的值．（用含a的代数式表示，直接写出结果）12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交斜边AB于点M，若H是AC的中点，连接MH．（1）求证：MH为⊙O的切线．（2）若MH=，tan∠ABC=，求⊙O的半径．（3）在（2）的条件下分别过点A、B作⊙O的切线，两切线交于点D，AD与⊙O相切于N 点，过N点作NQ⊥BC，垂足为E，且交⊙O于Q点，求线段NQ的长度．13．如图，⊙O的半径r=25，四边形ABCD内接于圆⊙O，AC⊥BD于点H，P为CA延长线上的一点，且∠PDA=∠ABD．（1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若tan∠ADB=，PA=AH，求BD的长；（3）在（2）的条件下，求四边形ABCD的面积．14．如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O与点E，F过点A作PO的垂线AB垂足为D，交⊙O与点B，延长BO与⊙O交与点C，连接AC，BF．（1）求证：PB与⊙O相切；（2）试探究线段EF，OD，OP之间的数量关系，并加以证明；（3）若AC=12，tan∠F=，求cos∠ACB的值．15．如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点G，OA⊥CD于点E，过点B的直线与CD的延长线交于点F，AC∥BF．（1）若∠FGB=∠FBG，求证：BF是⊙O的切线；（2）若tan∠F=，CD=a，请用a表示⊙O的半径；（3）求证：GF2﹣GB2=DF?GF．16．如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，垂足为E，点M在OC上，AM的延长线交⊙O于点G，交过C的直线于F，∠1=∠2，连结CB与DG交于点N．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）求证：△ACM∽△DCN；（3）若点M是CO的中点，⊙O的半径为4，cos∠BOC=，求BN的长．17．如图所示，在Rt△ABC与Rt△OCD中，∠ACB=∠DCO=90°，O为AB的中点．（1）求证：∠B=∠ACD．（2）已知点E在AB上，且BC2=AB?BE．（i）若tan∠ACD=，BC=10，求CE的长；（ii）试判定CD与以A为圆心、AE为半径的⊙A的位置关系，并请说明理由．18．如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点M，BE⊥CD于点E．（1）求证：∠BME=∠MAB；（2）求证：BM2=BE?AB；（3）若BE=，sin∠BAM=，求线段AM的长．19．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点M是上任意一点，AH=2，CH=4．（1）求⊙O的半径r的长度；（2）求sin∠CMD；（3）直线BM交直线CD于点E，直线MH交⊙O于点N，连接BN交CE于点F，求HE?HF 的值．20．已知AB、CD是⊙O的两条弦，直线AB、CD互相垂直，垂足为E，连接AC，过点B作BF⊥AC，垂足为F，直线BF交直线CD于点M．（1）如图1，当点E在⊙O内时，连接AD，AM，BD，求证：AD=AM；（2）如图2，当点E在⊙O外时，连接AD，AM，求证：AD=AM；（3）如图3，当点E在⊙O外时，∠ABF的平分线与AC交于点H，若tan∠C=，求tan∠ABH 的值．2018年01月10日金博初数2的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共25小题）1．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE 与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）求证：CE2=EH?EA；（3）若⊙O的半径为5，sinA=，求BH的长．【分析】（1）由圆周角定理和已知条件证出∠ODB=∠ABC，再证出∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，即可得出BD是⊙O的切线；（2）连接AC，由垂径定理得出，得出∠CAE=∠ECB，再由公共角∠CEA=∠HEC，证明△CEH∽△AEC，得出对应边成比例，即可得出结论；（3）连接BE，由圆周角定理得出∠AEB=90°，由三角函数求出BE，再根据勾股定理求出EA，得出BE=CE=6，由（2）的结论求出EH，然后根据勾股定理求出BH即可．【解答】（1）证明：∵∠ODB=∠AEC，∠AEC=∠ABC，∴∠ODB=∠ABC，∵OF⊥BC，∴∠BFD=90°，∴∠ODB+∠DBF=90°，∴∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，∴BD⊥OB，∴BD是⊙O的切线；（2）证明：连接AC，如图1所示：∵OF⊥BC，∴，∴∠CAE=∠ECB，∵∠CEA=∠HEC，∴△CEH∽△AEC，∴，∴CE2=EH?EA；（3）解：连接BE，如图2所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∵⊙O的半径为5，sin∠BAE=，∴AB=10，BE=AB?sin∠BAE=10×=6，∴EA===8，∵，∴BE=CE=6，∵CE2=EH?EA，∴EH==，在Rt△BEH中，BH===．【点评】本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、圆周角定理、圆心角、弧、弦之间的关系定理、勾股定理、三角函数、相似三角形的判定与性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要通过作辅助线证明三角形相似和运用三角函数、勾股定理才能得出结果．2．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上任一点（不与A，B重合），AB⊥CD于E，BF为⊙O的切线，OF∥AC，连结AF，FC，AF与CD交于点G，与⊙O交于点H，连结CH．（1）求证：FC是⊙O的切线；（2）求证：GC=GE；（3）若cos∠AOC=，⊙O的半径为r，求CH的长．【分析】（1）首先根据OF∥AC，OA=OC，判断出∠BOF=∠COF；然后根据全等三角形判定的方法，判断出△BOF≌△COF，推得∠OCF=∠OBF=90°，再根据点C在⊙O上，即可判断出FC 是⊙O的切线．（2）延长AC、BF交点为M．由△BOF≌△COF可知：BF=CF然后再证明：FM=CF，从而得到BF=MF，因为DC∥BM，所以△AEG∽△ABF，△AGC∽△AFM，然后依据相似三角形的性质可证GC=GE；（3）因为cos∠AOC=，OE=，AE=．由勾股定理可求得EC=．AC=．因为EG=GC，所以EG=．由（2）可知△AEG∽△ABF，可求得CF=BF=．在Rt△ABF中，由勾股定理可求得AF=3r．然后再证明△CFH∽△AFC，由相似三角形的性质可求得CH的长．【解答】（1）证明：∵OF∥AC，∴∠BOF=∠OAC，∠COF=∠OCA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠BOF=∠COF，在△BOF和△COF中，，∴△BOF≌△COF，∴∠OCF=∠OBF=90°，又∵点C在⊙O上，∴FC是⊙O的切线．（2）如下图：延长AC、BF交点为M．由（1）可知：△BOF≌△COF，∴∠OFB=∠CFO，BF=CF．∵AC∥OF，∴∠M=∠OFB，∠MCF=∠CFO．∴∠M=∠MCF．∴CF=MF．∴BF=FM．∵DC∥BM，∴△AEG∽△ABF，△AGC∽△AFM．∴，．∴又∵BF=FM，∴EG=GC．（3）如下图所示：∵cos∠AOC=，∴OE=，AE=．在Rt△EOC中，EC==．在Rt△AEC中，AC==．∵EG=GC，∴EG=．∵△AEG∽△ABF，∴，即．∴BF=．∴CF=．在Rt△ABF中，AF===3r．∵CF是⊙O的切线，AC为弦，∴∠HCF=∠HAC．又∵∠CFH=∠AFC，∴△CFH∽△AFC．∴，即：．∴CH=．【点评】本题主要考查的是圆的综合应用，同时还涉及了勾股定理，锐角三角形函数，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，证得BF=FM是解答本题的关键．3．已知：⊙O上两个定点A，B和两个动点C，D，AC与BD交于点E．（1）如图1，求证：EA?EC=EB?ED；（2）如图2，若=，AD是⊙O的直径，求证：AD?AC=2BD?BC；（3）如图3，若AC⊥BD，点O到AD的距离为2，求BC的长．【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得到角相等，从而证得三角形相似，于是得到结论；（2）如图2，连接CD，OB交AC于点F由B是弧AC的中点得到∠BAC=∠ADB=∠ACB，且AF=CF=0.5AC．证得△CBF∽△ABD．即可得到结论；（3）如图3，连接AO并延长交⊙O于F，连接DF得到AF为⊙O的直径于是得到∠ADF=90°，过O作OH⊥AD于H，根据三角形的中位线定理得到DF=2OH=4，通过△ABE∽△ADF，得到1=∠2，于是结论可得．【解答】（1）证明：∵∠EAD=∠EBC，∠BCE=∠ADE，∴△AED∽△BEC，∴，∴EA?EC=EB?ED；（2）证明：如图2，连接CD，OB交AC于点F∵B是弧AC的中点，∴∠BAC=∠ADB=∠ACB，且AF=CF=0.5AC．又∵AD为⊙O直径，∴∠ABD=90°，又∠CFB=90°．∴△CBF∽△DAB．∴，故CF?AD=BD?BC．∴AC?AD=2BD?BC；（3）解：如图3，连接AO并延长交⊙O于F，连接DF，∴AF为⊙O的直径，∴∠ADF=90°，过O作OH⊥AD于H，∴AH=DH，OH∥DF，∵AO=OF，∴DF=2OH=4，∵AC⊥BD，∴∠AEB=∠ADF=90°，∵∠ABD=∠F，∴△ABE∽△ADF，∴∠1=∠2，∴，∴BC=DF=4．【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．4．已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD、BD，BD交AC于点F．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）延长AC到点P，使PF=PB，求证：PB是⊙O的切线；（3）如果AB=10，cos∠ABC=，求AD．【分析】（1）先由OD∥BC，根据两直线平行内错角相等得出∠D=∠CBD，由OB=OD，根据等边对等角得出∠D=∠OBD，等量代换得到∠CBD=∠OBD，即BD平分∠ABC；（2）先由圆周角定理得出∠ACB=90°，根据直角三角形两锐角互余得到∠CFB+∠CBF=90°．再由PF=PB，根据等边对等角得出∠PBF=∠CFB，而由（1）知∠OBD=∠CBF，等量代换得到∠PBF+∠OBD=90°，即∠OBP=90°，根据切线的判定定理得出PB是⊙O的切线；（3）连结AD．在Rt△ABC中，由cos∠ABC===，求出BC=6，根据勾股定理得到AC==8．再由OD∥BC，得出△AOE∽△ABC，∠AED=∠OEC=180°﹣∠ACB=90°，根据相似三角形对应边成比例求出AE=4，OE=3，那么DE=OD﹣OE=2，然后在Rt△ADE中根据勾股定理求出AD==2．【解答】（1）证明：∵OD∥BC，∴∠D=∠CBD，∵OB=OD，∴∠D=∠OBD，∴∠CBD=∠OBD，∴BD平分∠ABC；（2）证明：∵⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，∴∠ACB=90°，∴∠CFB+∠CBF=90°．∵PF=PB，∴∠PBF=∠CFB，由（1）知∠OBD=∠CBF，∴∠PBF+∠OBD=90°，∴∠OBP=90°，∴PB是⊙O的切线；（3）解：连结AD．∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，∴cos∠ABC===，∴BC=6，AC==8．∵OD∥BC，∴△AOE∽△ABC，∠AED=∠OEC=180°﹣∠ACB=90°，∴==，==，∴AE=4，OE=3，∴DE=OD﹣OE=5﹣3=2，∴AD===2．【点评】本题是圆的综合题，其中涉及到平行线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、直角三角形两锐角互余的性质、切线的判定定理、锐角三角函数的定义、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，综合性较强，难度适中．本题中第（2）问要证某线是圆的切线，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线是常用的方法，需熟练掌握．5．如图1，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点E（BE＞EC），且BD=2．过点D作DF∥BC，交AB的延长线于点F．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若∠BAC=60°，DE=，求图中阴影部分的面积；（3）若=，DF+BF=8，如图2，求BF的长．【分析】（1）连结OD，如图1，由角平分线定义得∠BAD=∠CAD，则根据圆周角定理得到=，再根据垂径定理得OD⊥BC，由于BC∥EF，则OD⊥DF，于是根据切线的判定定理即可判断DF为⊙O的切线；（2）连结OB，OD交BC于P，作BH⊥DF于H，如图1，先证明△OBD为等边三角形得到∠ODB=60°，OB=BD=2，易得∠BDF=∠DBP=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系，在Rt△DBP中得到PD=BD=，PB=PD=3，接着在Rt△DEP中利用勾股定理计算出PE=2，由于OP⊥BC，则BP=CP=3，所以CE=1，然后利用△BDE∽△ACE，通过相似比可得到AE=，再证明△ABE∽△AFD，利用相似比可得DF=12，最后根据扇形面积公式，利用S阴影部分=S△BDF ﹣S弓形BD=S△BDF﹣（S扇形BOD﹣S△BOD）进行计算；（3）连结CD，如图2，由=可设AB=4x，AC=3x，设BF=y，由=得到CD=BD=2，先证明△BFD∽△CDA，利用相似比得到xy=4，再证明△FDB∽△FAD，利用相似比得到16﹣4y=xy，则16﹣4y=4，然后解方程易得BF=3．【解答】证明：（1）连结OD，如图1，∵AD平分∠BAC交⊙O于D，∴∠BAD=∠CAD，∴=，∴OD⊥BC，∵BC∥EF，∴OD⊥DF，∴DF为⊙O的切线；（2）连结OB，连结OD交BC于P，作BH⊥DF于H，如图1，∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC，∴∠BAD=30°，∴∠BOD=2∠BAD=60°，∴△OBD为等边三角形，∴∠ODB=60°，OB=BD=2，∴∠BDF=30°，∵BC∥DF，∴∠DBP=30°，在Rt△DBP中，PD=BD=，PB=PD=3，在Rt△DEP中，∵PD=，DE=，∴PE==2，∵OP⊥BC，∴BP=CP=3，∴CE=3﹣2=1，易证得△BDE∽△ACE，∴AE：BE=CE：DE，即AE：5=1：，∴AE=∵BE∥DF，∴△ABE∽△AFD，∴=，即=，解得DF=12，在Rt△BDH中，BH=BD=，∴S阴影部分=S△BDF﹣S弓形BD=S△BDF﹣（S扇形BOD﹣S△BOD）=?12?﹣+?（2）2=9﹣2π；（3）连结CD，如图2，由=可设AB=4x，AC=3x，设BF=y，∵=，∴CD=BD=2，∵∠F=∠ABC=∠ADC，∵∠FDB=∠DBC=∠DAC，∴△BFD∽△CDA，∴=，即=，∴xy=4，∵∠FDB=∠DBC=∠DAC=∠FAD，而∠DFB=∠AFD，∴△FDB∽△FAD，∴=，即=，整理得16﹣4y=xy，∴16﹣4y=4，解得y=3，即BF的长为3．【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、圆周角定理和切线的判定定理；会计算不规则几何图形的面积；会灵活运用相似三角形的判定与性质计算线段的长．6．如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB=∠DCE．（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若tan∠ACB=，BC=2，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OE．欲证直线CE与⊙O相切，只需证明∠CEO=90°，即OE⊥CE即可；（2）在直角三角形ABC中，根据三角函数的定义可以求得AB=，然后根据勾股定理求得AC=，同理知DE=1；方法一、在Rt△COE中，利用勾股定理可以求得CO2=OE2+CE2，即=r2+3，从而易得r的值；方法二、过点O作OM⊥AE于点M，在Rt△AMO中，根据三角函数的定义可以求得r的值．【解答】解：（1）直线CE与⊙O相切．…（1分）理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD，∠ACB=∠DAC；又∵∠ACB=∠DCE，∴∠DAC=∠DCE；连接OE，则∠DAC=∠AEO=∠DCE；∵∠DCE+∠DEC=90°∴∠AE0+∠DEC=90°∴∠OEC=90°，即OE⊥CE．又OE是⊙O的半径，∴直线CE与⊙O相切．…（5分）（2）∵tan∠ACB==，BC=2，∴AB=BC?tan∠ACB=，∴AC=；又∵∠ACB=∠DCE，∴tan∠DCE=tan∠ACB=，∴DE=DC?tan∠DCE=1；方法一：在Rt△CDE中，CE==，连接OE，设⊙O的半径为r，则在Rt△COE中，CO2=OE2+CE2，即=r2+3解得：r=方法二：AE=AD﹣DE=1，过点O作OM⊥AE于点M，则AM=AE=在Rt△AMO中，OA==÷=…（9分）【点评】本题考查了圆的综合题：圆的切线垂直于过切点的半径；利用勾股定理计算线段的长．7．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相较于点D，E，F，且BF=BC，⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD，FH．（1）求证：△ABC≌△EBF；（2）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）若AB=1，求HG?HB的值．【分析】（1）由垂直的定义可得∠EBF=∠ADF=90°，于是得到∠C=∠BFE，从而证得△ABC≌△EBF；（2）BD与⊙O相切，如图1，连接OB证得∠DBO=90°，即可得到BD与⊙O相切；（3）如图2，连接CF，HE，有等腰直角三角形的性质得到CF=BF，由于DF垂直平分AC，得到AF=CF=AB+BF=1+BF=BF，求得BF=，有勾股定理解出EF=，推出△EHF是等腰直角三角形，求得HF=EF=，通过△BHF∽△FHG，列比例式即可得到结论．【解答】（1）证明：∵∠ABC=90°，∴∠EBF=90°，∵DF⊥AC，∴∠ADF=90°，∴∠C+∠A=∠A+∠AFD=90°，∴∠C=∠BFE，在△ABC与△EBF中，，∴△ABC≌△EBF；（2）BD与⊙O相切，如图1，连接OB证明如下：∵OB=OF，∴∠OBF=∠OFB，∵∠ABC=90°，AD=CD，∴BD=CD，∴∠C=∠DBC，∵∠C=∠BFE，∴∠DBC=∠OBF，∵∠CBO+∠OBF=90°，∴∠DBC+∠CBO=90°，∴∠DBO=90°，∴BD与⊙O相切；（3）解：如图2，连接CF，HE，∵∠CBF=90°，BC=BF，∴CF=BF，∵DF垂直平分AC，∴AF=CF=AB+BF=1+BF=BF，∴BF=，∵△ABC≌△EBF，∴BE=AB=1，∴EF==，∵BH平分∠CBF，∴，∴EH=FH，∴△EHF是等腰直角三角形，∴HF=EF=，∵∠EFH=∠HBF=45°，∠BHF=∠BHF，∴△BHF∽△FHG，∴，∴HG?HB=HF2=2+．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，线段的垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握这些定理是解题的关键．8．如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF．（1）证明：∠E=∠C；（2）若∠E=55°，求∠BDF的度数；（3）设DE交AB于点G，若DF=4，cosB=，E是的中点，求EG?ED的值．【分析】（1）直接利用圆周角定理得出AD⊥BC，再利用线段垂直平分线的性质得出AB=AC，即可得出∠E=∠C；（2）利用圆内接四边形的性质得出∠AFD=180°﹣∠E，进而得出∠BDF=∠C+∠CFD，即可得出答案；（3）根据cosB=，得出AB的长，即可求出AE的长，再判断△AEG∽△DEA，求出EG?ED 的值．【解答】（1）证明：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵CD=BD，∴AD垂直平分BC，∴AB=AC，∴∠B=∠C，又∵∠B=∠E，∴∠E=∠C；（2）解：∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，∴∠AFD=180°﹣∠E，又∵∠CFD=180°﹣∠AFD，∴∠CFD=∠E=55°，又∵∠E=∠C=55°，∴∠BDF=∠C+∠CFD=110°；（3）解：连接OE，∵∠CFD=∠E=∠C，∴FD=CD=BD=4，在Rt△ABD中，cosB=，BD=4，∴AB=6，∵E是的中点，AB是⊙O的直径，∴∠AOE=90°，∵AO=OE=3，∴AE=3，∵E是的中点，∴∠ADE=∠EAB，∴△AEG∽△DEA，∴=，即EG?ED=AE2=18．【点评】此题主要考查了圆的综合题、圆周角定理以及相似三角形的判定与性质以及圆内接四边形的性质等知识，根据题意得出AE，AB的长是解题关键．9．AB，CD是⊙O的两条弦，直线AB，CD互相垂直，垂足为点E，连接AD，过点B作BF⊥AD，垂足为点F，直线BF交直线CD于点G．（1）如图1，当点E在⊙O外时，连接BC，求证：BE平分∠GBC；（2）如图2，当点E在⊙O内时，连接AC，AG，求证：AC=AG；（3）如图3，在（2）条件下，连接BO并延长交AD于点H，若BH平分∠ABF，AG=4，tan ∠D=，求线段AH的长．【分析】（1）利用圆内接四边形的性质得出∠D=∠EBC，进而利用互余的关系得出∠GBE=∠EBC，进而求出即可；（2）首先得出∠D=∠ABG，进而利用全等三角形的判定与性质得出△BCE≌△BGE（ASA），则CE=EG，再利用等腰三角形的性质求出即可；（3）首先求出CO的长，再求出tan∠ABH===，利用OP2+PB2=OB2，得出a的值进而求出答案．【解答】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D+∠ABC=180°，∵∠ABC+∠EBC=180°，∴∠D=∠EBC，∵GF⊥AD，AE⊥DG，∴∠A+∠ABF=90°，∠A+∠D=90°，∴∠ABF=∠D，∵∠ABF=∠GBE，∴∠GBE=∠EBC，即BE平分∠GBC；（2）证明：如图2，连接CB，∵AB⊥CD，BF⊥AD，∴∠D+∠BAD=90°，∠ABG+∠BAD=90°，∴∠D=∠ABG，∵∠D=∠ABC，∴∠ABC=∠ABG，∵AB⊥CD，∴∠CEB=∠GEB=90°，在△BCE和△BGE中，∴△BCE≌△BGE（ASA），∴CE=EG，∵AE⊥CG，∴AC=AG；（3）解：如图3，连接CO并延长交⊙O于M，连接AM，∵CM是⊙O的直径，∴∠MAC=90°，∵∠M=∠D，tanD=，∴tanM=，∴=，∵AG=4，AC=AG，∴AC=4，AM=3，∴MC==5，∴CO=，过点H作HN⊥AB，垂足为点N，∵tanD=，AE⊥DE，∴tan∠BAD=，∴=，设NH=3a，则AN=4a，∴AH==5a，∵HB平分∠ABF，NH⊥AB，HF⊥BF，∴HF=NH=3a，∴AF=8a，cos∠BAF===，∴AB==10a，∴NB=6a，∴tan∠ABH===，过点O作OP⊥AB垂足为点P，∴PB=AB=5a，tan∠ABH==，∴OP=a，∵OB=OC=，OP2+PB2=OB2，∴25a2+a2=，∴解得：a=，∴AH=5a=．【点评】此题主要考查了圆的综合以及勾股定理和锐角三角函数关系等、全等三角形的判定与性质知识，正确作出辅助线得出tan∠ABH==是解题关键．10．如图，已知AB是⊙O的直径，BP是⊙O的弦，弦CD⊥AB于点F，交BP于点G，E在CD的延长线上，EP=EG，（1）求证：直线EP为⊙O的切线；（2）点P在劣弧AC上运动，其他条件不变，若BG2=BF?BO．试证明BG=PG；（3）在满足（2）的条件下，已知⊙O的半径为3，sinB=．求弦CD的长．【分析】（1）连结OP，先由EP=EG，证出∠EPG=∠BGF，再由∠BFG=∠BGF+∠OBP=90°，推出∠EPG+∠OPB=90°来求证．（2）连结OG，由BG2=BF?BO，得出△BFG∽△BGO，得出∠BGO=∠BFG=90°，根据垂径定理可得出结论．（3）连结AC、BC、OG，由sinB=，求出OG，由（2）得出∠B=∠OGF，求出OF，再求出BF，FA，利用直角三角形来求斜边上的高，再乘以2得出CD长度．【解答】（1）证明：连结OP，∵EP=EG，∴∠EPG=∠EGP，又∵∠EGP=∠BGF，∴∠EPG=∠BGF，∵OP=OB，∴∠OPB=∠OBP，∵CD⊥AB，∴∠BFG=∠BGF+∠OBP=90°，∴∠EPG+∠OPB=90°，∴直线EP为⊙O的切线；（2）证明：如图，连结OG，OP，∵BG2=BF?BO，∴=，∴△BFG∽△BGO，∴∠BGO=∠BFG=90°，由垂径定理知：BG=PG；（3）解：如图，连结AC、BC、OG、OP，∵sinB=，∴=，∵OB=r=3，∴OG=，由（2）得∠EPG+∠OPB=90°，∠B+∠BGF=∠OGF+∠BGF=90°，∴∠B=∠OGF，∴sin∠OGF==∴OF=1，∴BF=BO﹣OF=3﹣1=2，FA=OF+OA=1+3=4，在Rt△BCA中，CF2=BF?FA，∴CF===2．∴CD=2CF=4．【点评】本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是通过作辅助线，找准角之间的关系，灵活运用直角三角形中的正弦值．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AO是△ABC的角平分线．以O为圆心，OC为半径作⊙O．（1）求证：AB是⊙O的切线．（2）已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tanD=，求的值．（3）在（2）的条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长．【分析】（1）由于题目没有说明直线AB与⊙O有交点，所以过点O作OF⊥AB于点F，然后证明OC=OF即可；（2）连接CE，先求证∠ACE=∠ODC，然后可知△ACE∽△ADC，所以，而tan∠D==；（3）由（2）可知，AC2=AE?AD，所以可求出AE和AC的长度，由（1）可知，△OFB∽△ABC，所以，然后利用勾股定理即可求得AB的长度．【解答】（1）如图，过点O作OF⊥AB于点F，∵AO平分∠CAB，OC⊥AC，OF⊥AB，∴OC=OF，∴AB是⊙O的切线；（2）如图，连接CE，∵ED是⊙O的直径，∴∠ECD=90°，∴∠ECO+∠OCD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACE+∠ECO=90°，∴∠ACE=∠OCD，∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∴∠ACE=∠ODC，∵∠CAE=∠CAE，∴△ACE∽△ADC，∴，∵tan∠D=，∴=，∴=；（3）由（2）可知：=，∴设AE=x，AC=2x，∵△ACE∽△ADC，∴，∴AC2=AE?AD，∴（2x）2=x（x+6），解得：x=2或x=0（不合题意，舍去），∴AE=2，AC=4，由（1）可知：AC=AF=4，∠OFB=∠ACB=90°，∵∠B=∠B，∴△OFB∽△ACB，∴=，设BF=a，∴BC=，∴BO=BC﹣OC=﹣3，在Rt△BOF中，BO2=OF2+BF2，∴（﹣3）2=32+a2，∴解得：a=或a=0（不合题意，舍去），∴AB=AF+BF=．【点评】本题考查圆的综合问题，解题的关键是证明△ACE∽△ADC．本题涉及勾股定理，解方程，圆的切线判定知识，内容比较综合，需要学生构造辅助线才能解决问题，对学生综合能力要求较高．12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．（1）求∠CDE的度数；（2）求证：DF是⊙O的切线；（3）若AC=2DE，求tan∠ABD的值．【分析】（1）直接利用圆周角定理得出∠CDE的度数；（2）直接利用直角三角形的性质结合等腰三角形的性质得出∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，进而得出答案；（3）利用相似三角形的性质结合勾股定理表示出AD，DC的长，再利用圆周角定理得出tan ∠ABD的值．【解答】（1）解：∵对角线AC为⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∴∠EDC=90°；（2）证明：连接DO，∵∠EDC=90°，F是EC的中点，∴DF=FC，∴∠FDC=∠FCD，∵OD=OC，∴∠OCD=∠ODC，∵∠OCF=90°，∴∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，∴DF是⊙O的切线；（3）解：方法一：设DE=1，则AC=2，由AC2=AD×AE∴20=AD（AD+1）∴AD=4或﹣5（舍去）∵DC2=AC2﹣AD2∴DC=2，∴tan∠ABD=tan∠ACD==2；方法二：如图所示：可得∠ABD=∠ACD，∵∠E+∠DCE=90°，∠DCA+∠DCE=90°，∴∠DCA=∠E，又∵∠ADC=∠CDE=90°，∴△CDE∽△ADC，∴=，∴DC2=AD?DE∵AC=2DE，∴设DE=x，则AC=2x，则AC2﹣AD2=AD?DE，期（2x）2﹣AD2=AD?x，整理得：AD2+AD?x﹣20x2=0，解得：AD=4x或﹣5x（负数舍去），则DC==2x，故tan∠ABD=tan∠ACD===2．【点评】此题主要考查了圆的综合以及切线的判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，根据题意表示出AD，DC的长是解题关键．。
中考数学锐角三角函数综合经典题及详细答案
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB 的延长线于切点为G，连接AG交CD于K．（1）求证：KE=GE；（2）若KG2=KD•GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若sinE=，AK=，求FG的长．【答案】（1）证明见解析；（2）AC∥EF，证明见解析；（3）FG= ．【解析】试题分析：（1）如图1，连接OG．根据切线性质及CD⊥AB，可以推出∠KGE=∠AKH=∠GKE，根据等角对等边得到KE=GE；（2）AC与EF平行，理由为：如图2所示，连接GD，由∠KGE=∠GKE，及KG2=KD•GE，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出△GKD与△EKG相似，又利用同弧所对的圆周角相等得到∠C=∠AGD，可推知∠E=∠C，从而得到AC∥EF；（3）如图3所示，连接OG，OC，先求出KE=GE，再求出圆的半径，根据勾股定理与垂径定理可以求解；然后在Rt△OGF中，解直角三角形即可求得FG的长度．试题解析：（1）如图1，连接OG．∵EG为切线，∴∠KGE+∠OGA=90°，∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG=90°，又∵OA=OG，∴∠OGA=∠OAG，∴∠KGE=∠AKH=∠GKE，∴KE=GE．（2）AC∥EF，理由为连接GD，如图2所示．∵KG2=KD•GE，即，∴，又∵∠KGE=∠GKE，∴△GKD∽△EGK，∴∠E=∠AGD，又∵∠C=∠AGD，∴∠E=∠C，∴AC∥EF；（3）连接OG，OC，如图3所示，∵EG为切线，∴∠KGE+∠OGA=90°，∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG=90°，又∵OA=OG，∴∠OGA=∠OAG，∴∠KGE=∠AKH=∠GKE，∴KE=GE．∵sinE=sin∠ACH=，设AH=3t，则AC=5t，CH=4t，∵KE=GE，AC∥EF，∴CK=AC=5t，∴HK=CK-CH=t．在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2+HK2=AK2，即（3t）2+t2=（2）2，解得t=．设⊙O半径为r，在Rt△OCH中，OC=r，OH=r-3t，CH=4t，由勾股定理得：OH2+CH2=OC2，即（r-3t）2+（4t）2=r2，解得r= t=．∵EF为切线，∴△OGF为直角三角形，在Rt△OGF中，OG=r=，tan∠OFG=tan∠CAH=，∴FG=【点睛】此题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，锐角三角函数定义，圆周角定理，平行线的判定，以及等腰三角形的判定，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．2．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆O的三等分点，过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E，过点D作DF⊥AB于点F，交⊙O于点H，连接DC，AC．（1）求证：∠AEC=90°；（2）试判断以点A，O，C，D为顶点的四边形的形状，并说明理由；（3）若DC=2，求DH的长．【答案】（1）证明见解析；（2）四边形AOCD为菱形；（3）DH=2．【解析】试题分析：（1）连接OC，根据EC与⊙O切点C，则∠OCE=90°，由题意得，∠DAC=∠CAB，即可证明AE∥OC，则∠AEC+∠OCE=180°，从而得出∠AEC=90°；（2）四边形AOCD为菱形．由（1）得，则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形，再由OA=OC，即可证明平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；（3）连接OD．根据四边形AOCD为菱形，得△OAD是等边三角形，则∠AOD=60°，再由DH⊥AB于点F，AB为直径，在Rt△OFD中，根据sin∠AOD=，求得DH的长．试题解析：（1）连接OC，∵EC与⊙O切点C，∴OC⊥EC，∴∠OCE=90°，∵点CD是半圆O的三等分点，∴，∴∠DAC=∠CAB，∵OA=OC，∴∠CAB=∠OCA，∴∠DAC=∠OCA，∴AE∥OC（内错角相等，两直线平行）∴∠AEC+∠OCE=180°，∴∠AEC=90°；（2）四边形AOCD为菱形．理由是：∵，∴∠DCA=∠CAB，∴CD∥OA，又∵AE∥OC，∴四边形AOCD是平行四边形，∵OA=OC，∴平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；（3）连接OD．∵四边形AOCD为菱形，∴OA=AD=DC=2，∵OA=OD，∴OA=OD=AD=2，∴△OAD是等边三角形，∴∠AOD=60°，∵DH⊥AB于点F，AB为直径，∴DH=2DF，在Rt△OFD中，sin∠AOD=，∴DF=ODsin∠AOD=2sin60°=，∴DH=2DF=2．考点：1.切线的性质2.等边三角形的判定与性质3.菱形的判定与性质4.解直角三角形．3．如图，PB为☉O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交☉O于点A，连接PA，AO.并延长AO交☉O于点E，与PB的延长线交于点D．(1)求证：PA是☉O的切线；(2)若=，且OC=4，求PA的长和tan D的值.【答案】（1）证明见解析；（2）PA =3，tan D=.【解析】试题分析: （1）连接OB，先由等腰三角形的三线合一的性质可得：OP是线段AB的垂直平分线，进而可得：PA=PB，然后证明△PAO≌△PBO，进而可得∠PBO=∠PAO，然后根据切线的性质可得∠PBO=90°，进而可得：∠PAO=90°，进而可证：PA是⊙O的切线；（2）连接BE，由，且OC=4，可求AC，OA的值，然后根据射影定理可求PC的值，从而可求OP的值，然后根据勾股定理可求AP的值．试题解析：（1）连接OB，则OA=OB，∵OP⊥AB，∴AC=BC，∴OP是AB的垂直平分线，∴PA=PB，在△PAO和△PBO中，∵，∴△PAO≌△PBO（SSS）∴∠PBO=∠PAO，PB=PA，∵PB为⊙O的切线，B为切点，∴∠PBO=90°，∴∠PAO=90°，即PA⊥OA，∴PA是⊙O的切线；（2）连接BE，∵，且OC=4，∴AC=6，∴AB=12，在Rt△ACO中，由勾股定理得：AO=，∴AE=2OA=4，OB=OA=2，在Rt△APO中，∵AC⊥OP，∴AC2=OC PC，解得：PC=9，∴OP=PC+OC=13，在Rt△APO中，由勾股定理得：AP==3.易证，所以,解得，则，在中，.考点：1.切线的判定与性质；2.相似三角形的判定与性质；3.解直角三角形．4．如图，某校数学兴趣小组为测量校园主教学楼AB的高度，由于教学楼底部不能直接到达，故兴趣小组在平地上选择一点C，用测角器测得主教学楼顶端A的仰角为30°，再向主教学楼的方向前进24米，到达点E处（C，E，B三点在同一直线上），又测得主教学楼顶端A 的仰角为60°，已知测角器CD 的高度为1.6米，请计算主教学楼AB 的高度．（3≈1.73，结果精确到0.1米）【答案】22.4m 【解析】 【分析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造等量关系，进而求解． 【详解】解：在Rt △AFG 中，tan ∠AFG =3， ∴FG =tan 3AG AFG =∠，在Rt △ACG 中，tan ∠ACG =AGCG， ∴CG =tan AGACG ∠=3AG ．又∵CG ﹣FG =24m ，即3AG ﹣3=24m ， ∴AG =123m ， ∴AB =123+1.6≈22.4m ．5．如图，在ABC △中，10AC BC ==，3cos 5C =,点P 是BC 边上一动点（不与点,A C 重合），以PA 长为半径的P 与边AB 的另一个交点为D ，过点D 作DE CB ⊥于点E .()1当P与边BC相切时，求P的半径；()2联结BP交DE于点F，设AP的长为x，PF的长为y，求y关于x的函数解析式，并直接写出x的取值范围；()3在()2的条件下，当以PE长为直径的Q与P相交于AC边上的点G时，求相交所得的公共弦的长.【答案】（1）409；（2）()25880010320x x xy xx-+=<<+；（3）1025-【解析】【分析】（1）设⊙P与边BC相切的切点为H，圆的半径为R，连接HP，则HP⊥BC，cosC=35，则sinC=45，sinC=HPCP=R10R-=45，即可求解；（2）PD∥BE，则EBPD＝BFPF，即：2248805x x x yx y--+-=，即可求解；（3）证明四边形PDBE为平行四边形，则AG=GP=BD，即：AB=DB+AD=AG+AD=45，即可求解．【详解】（1）设⊙P与边BC相切的切点为H，圆的半径为R，连接HP，则HP⊥BC，cosC=35，则sinC=35，sinC=HPCP=R10R-=45，解得：R=409；（2）在△ABC中，AC=BC=10，cosC=35，设AP=PD=x，∠A=∠ABC=β，过点B作BH⊥AC，则BH=ACsinC=8，同理可得：CH=6，HA=4，AB=45，则：tan∠CAB=2BP=()2284x+-=2880x x-+，DA=25x，则BD=45-25x，如下图所示，PA=PD，∴∠PAD=∠CAB=∠CBA=β，tanβ=2，则55EB=BDcosβ=（555x）525x，∴PD∥BE，∴EBPD＝BFPF，即：2248805x x x yx y--+=，整理得：y=)2x8x800x103x20-+<<+；（3）以EP为直径作圆Q如下图所示，两个圆交于点G，则PG=PQ，即两个圆的半径相等，则两圆另外一个交点为D，GD为相交所得的公共弦，∵点Q时弧GD的中点，∴DG⊥EP，∵AG是圆P的直径，∴∠GDA=90°，∴EP∥BD，由（2）知，PD∥BC，∴四边形PDBE为平行四边形，∴AG=EP=BD，∴AB=DB+AD=AG+AD=45，设圆的半径为r，在△ADG中，AD=2rcosβ=5，DG=5，AG=2r，5+2r=45，解得：2r=51，则：DG=5=10-25，相交所得的公共弦的长为10-25．【点睛】本题考查的是圆知识的综合运用，涉及到解直角三角形、勾股定理等知识，其中（3），要关键是根据题意正确画图，此题用大量的解直角三角形的内容，综合难度很大．6．关于三角函数有如下的公式：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ①cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ②tan（α+β）=③利用这些公式可将某些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如：tan105°=tan（45°+60°）==﹣（2+）．根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：如图，直升飞机在一建筑物CD上方A点处测得建筑物顶端D点的俯角α=60°，底端C点的俯角β=75°，此时直升飞机与建筑物CD的水平距离BC为42m，求建筑物CD的高．【答案】建筑物CD的高为84米．【解析】分析：如图，过点D作DE⊥AB于点E，由题意易得∠ACB=75°，∠ABC=90°，DE=BC=42m，∠ADE=60°，这样在Rt△ABC和在Rt△ADE中，结合题中所给关系式分别求出AB和AE的长，即可由CD=BE=AB-AE求得结果了.详解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，由题意可得∠ACB=75°，∠ABC=90°，DE=BC=42m，CD=BE，∠ADE=60°，∴在Rt△ABC和Rt△ADEAB=BC•tan75°=42tan75°=，AE=，∴CD=AB﹣AE=（米）.答：建筑物CD的高为84米.睛：读懂题意，把已知量和未知量转化到Rt△ABC和Rt△ADE中，这样利用直角三角形中边角间的关系结合题目中所给的“两角和的三角形函数公式”即可使问题得到解决.7．如图，某次中俄“海上联合”反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为30°．位于军舰A正上方1000米的反潜直升机B侧得潜艇C的俯角为68°．试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度．（结果保留整数．参考数据：sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，tan68°≈2.5，3≈1.7）【答案】潜艇C离开海平面的下潜深度约为308米【解析】试题分析：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则AD即为潜艇C的下潜深度，用锐角三角函数分别在Rt△ACD中表示出CD和在Rt△BCD中表示出BD，利用BD=AD+AB二者之间的关系列出方程求解．试题解析：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则AD即为潜艇C的下潜深度，根据题意得：∠ACD=30°，∠BCD=68°，设AD=x，则BD=BA+AD=1000+x，在Rt△ACD中，CD=tan AD ACD=tan30x= 3x在Rt△BCD中，BD=CD•tan68°，∴325+x=3x•t an68°解得：x≈100米，∴潜艇C离开海平面的下潜深度为100米．点睛：本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是作出辅助线，从题目中找出直角三角形并选择合适的边角关系求解．视频8．如图，在平行四边形ABCD中，平分，交于点，平分，交于点，与交于点，连接，.（1）求证：四边形是菱形；（2）若，，，求的值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】试题分析：（1）根据AE平分∠BAD、BF平分∠ABC及平行四边形的性质可得AF=AB=BE，从而可知ABEF为平行四边形，又邻边相等，可知为菱形（2）由菱形的性质可知AP的长及∠PAF=60°，过点P作PH⊥AD于H，即可得到PH、DH 的长，从而可求tan∠ADP试题解析：(1)∵AE平分∠BAD BF平分∠ABC∴∠BAE=∠EAF ∠ABF=∠EBF∵AD//BC∴∠EAF=∠AEB ∠AFB=∠EBF∴∠BAE=∠AEB ∠AFB=∠ABF∴AB=BE AB=AF∴AF=AB=BE∵AD//BC∴ABEF为平行四边形又AB=BE∴ABEF为菱形（2）作PH⊥AD于H由∠ABC=60°而已（1）可知∠PAF=60°，PA=2，则有PH=，AH=1，∴DH=AD-AH=5∴tan∠ADP=考点：1、平行四边形；2、菱形；3、直角三角形；4、三角函数9．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，且AC＝80，BD＝60．动点M、N分别以每秒1个单位的速度从点A、D同时出发，分别沿A→O→D和D→A运动，当点N到达点A时，M、N同时停止运动．设运动时间为t秒．(1)求菱形ABCD的周长；(2)记△DMN的面积为S，求S关于t的解析式，并求S的最大值；(3)当t=30秒时，在线段OD的垂直平分线上是否存在点P，使得∠DPO=∠DON？若存在，这样的点P有几个？并求出点P到线段OD的距离；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）在菱形ABCD中，∵AC⊥BD，AC=80，BD=60，∴。
初三九年级数学中考复习专题相似三角形、圆、锐角三角函数综合
相似三角形、圆、锐角三角函数综合1.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，CF⊥AF，且CF=CE．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若sin∠BAC=，求的值．2.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中点O为圆心，OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：BC=2CD•OE；（3）若cos∠BAD=，BE=，求OE的长．3.如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙O于点E，F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF．（1）求证：直线PA为⊙O的切线；（2）求证：EF＝4OD·OP；（3）若BC＝6，tan∠F＝，求cos∠ACB的值和线段PE的长．4.如图，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且AB＝AD＝AO．（1）求证：BD是⊙O的切线．（2）若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，且△BEF的面积为8，sin ∠BFA＝，求△ACF的面积．.5.如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，且满足=，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于D点，交AF的延长线于E点．（1）求证：AE⊥DE；（2）若tan∠CBA=，AE=3，求AF的长．6.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD，BD，CD．（1）求证：AD=CD；（2）若AB=10，cos∠ABC=，求tan∠DBC的值．7.如图1，AB为半圆的直径，O为圆心，C为圆弧上一点，AD垂直于过C点的切线，垂足为D，AB的延长线交直线CD于点E．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若AB=4，B为OE的中点，CF⊥AB，垂足为点F，求CF的长；（3）如图2，连接OD交AC于点G，若=，求sin∠E的值．8．如图，在平面直角坐标系中，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，点P是的中点，连接PA，PB，PC．（1）如图①，若∠BPC＝60°，求证：；（2）如图②，若，求的值．。
(完整版)锐角三角函数与圆综合训练题(含答案)
数学锐角三角函数与圆综合训练题1、如图，D 为。
O 上一点，点 C 在直径BA 的延长线上， /CDA=/CBD. (1)求证：CD 2=CA?CB; (2)求证：CD 是。
O 的切线； (3)过点B 作。
O 的切线交 CD 的延长线于点 E,若BC=12 , tan/CDA=W,求BE 的长. 3 解答： (1)证明：/ CDA= / CBD , /C=/C, AADC ^ADBC ,—=—,即 CD 2=CA ?CB ；DC BC(2)证明：如图，连接 OD.. AB 是。
的直径，Z ADB=90 °, Z1 + Z3=90°. • •• OA=OD ,，/2=/3, . . / 1 + /2=90°.又/CDA=/CBD,即 /4=/1, Z4+ Z 2=90 °,即 / CDO=90 °,• •• ODXOA.又・••OA 是。
的半径，，CD 是。
的切线； (3)解：如图，连接 OE.• •• EB 、CD 均为 OO 的切线，ED=EB , OE± DB / ABD+ / DBE=90 Z OEB+ Z DBE=90 °, . . / ABD= / OEB, • . / CDA= / OEB .而 tan/CDA=W,「tan/OEB =J25J,3 BE 3• •• RtACDO^RtACBE, ...旦旦!* j:8=8, CB BE BE 3在 RtACBE 中，设 BE=x ,「.(x+8) 2=x 2+122解得 x=5.即 BE 的长为2、如图，AD 是^ABC 的角平分线，以点 C 为圆心，CD 为半径作圆交 BC 的延长线于点E,交AD 于点F,交 AE 于点 M ,且 / B= / CAE , EF : FD=4 : 3. (1)求证：点F 是AD 的中点； (2)求 cos/ AED 的值；(3)如果BD=10 ,求半径 CD 的长.解 (1)证明：.「AD 是△ ABC 的角平分线，，/1 = /2,答： ・• / ADE= / 1 + /B, /DAE=/2+ /3,且/B= / 3, . . / ADE= / DAE . . ED=EA ,.「ED 为。
九年级数学锐角三角函数综合测试题
锐角三角函数综合测试题（时间：120分钟 满分：120分）一、选择题（每小题3分，共30分）1.把Rt △ABC 各边的长度都扩大3倍得Rt △A′B′C′，那么锐角A 、A′的余弦值的关系为（ ）A ．cosA=3cosA′ B3cosA=cosA′． C ．cosA=cosA′ D ．不能确定2.已知α为等边三角形的一个内角，则cos α等于（ ）A ．12BC D3.△ABC 中，，，则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰三角形4.（α+20°）=1，则锐角α的度数应是（ ）A ．40°B ．30°C ．20°D ．10°5.如图1，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为∠A ，关于∠A 的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（ ）A ．sinA 的值越大，梯子越陡B ．cosA 的值越大，梯子越陡C ．tanA 的值越小，梯子越陡D ．陡缓程度与∠A 的函数值无关6.在正方形网格中，∠AOB 如图2放置，则cos ∠AOB 的值为（ ）A B C ．12 D.27.如图3，∠ C=90°，∠ABC=30°，延长CB 至点D ，使AB=BD ，利用此图可求得tan75°等于（ ）A ．B ．C D8.如图4，在固定电线杆时，要求拉线AC 与地面成75°角，已知拉线AC 的长为8米，则电线杆上固定点C 距地面（ ）A ．8•sin75°米B ．8sin75米C ．8•tan75°米D ．8tan 75米9.如图5，在一次台球比赛中，某运动员必须推动桌面上位于E 点的白球，撞向桌边上的F 点，反弹后撞中对边G 点的红球，已知AD=350cm ，AF=250cm ，∠AFE=20°，则DG 等于（ ）A ．100sin20°B ．100cos20°C ．100tan70°D ．100tan20°★10.如图6，学校的保管室里，有一架5m 长的梯子斜靠在墙上，此时梯子与地面所成角为45°，如果梯子底端O 固定不动，顶端靠到对面墙上，此时梯子与地面所成的角为60°，则此保管室的宽度AB 为（ ）A ．B ．52C ．52D ．52附备用试题2个 直接给出答案在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA=15，则tanA 等于（ ）答案：AA ．BCD ．24 在Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA=125，周长为45，CD 是斜边AB 上的高，则CD 的长是（ ） A ．5613 B ．12613 C ．7613 D ．1712答案：B二、填空题（每小题3分，共24分）11.如图7，将三角板的直角顶点放置在直线AB 上的点O 处，使斜边CD ∥AB ，则∠ 的余弦值为______.12.已知Rt △ABC 的两直角边长分别为3和4，则较小锐角的正切值是______. 13.某人沿坡度为0.75的斜坡前进50m ，则他所在的位置比原来的位置升高______m.14.如图8，沿倾斜角为30°的山坡植树，要求相邻两棵树间的水平距离AC 为2m ，那么相邻两棵树的斜坡距离AB 约为______m （结果精确到0.1m ，）.15.如图9，乐乐在学校某建筑物的C点处测得旗杆顶部A点的仰角为30°，旗杆底部B点的俯角为45°．若旗杆底部B点到建筑物的水平距离BE=9米，旗杆台阶高1米，则旗杆顶点A离地面的高度为米（结果保留根号）．16.等腰三角形的周长为1，则底角等于______度.17.如图10，机器人从A点沿西南方向行了B点，观察到原点O在它的南偏东60°的方向上，则点A的坐标为______.★18.某市在“旧城改造”中，计划在市内一块如图11所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮售价为a元/平方米，则购买这种草皮至少需要______元.附备用试题2个直接给出答案如图，小明从A地沿北偏东30°方向走到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时小明离A地m．（答案：100）某中学修建一座图书楼，为改善安全性能，把楼梯的倾斜角由原来设计的45°改为30°，已知原来设计的楼梯长为4.5m，在楼梯高度不变的情况下，调整后的楼梯多占地面______m.（答案：三、解答题（共66分）19．（6-cos45°20．（7分）如图12，矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位示意图．请你参考图中数据，计算车位所占街道的宽度EF．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，结果精确到0.1m）21．（9分）如图13，四边形ABCD为正方形，E为BC上一点，将正方形折叠，使点A与点E重合，折痕为MN，若tan∠AEN=13，DC+CE=10.（1）求△ANE的面积；（2）求sin∠ENB的值.22．(8分) 一艘渔船在A处观测到东北方向有一小岛C，已知小岛C周围4.8海里范围内是水产养殖场.渔船沿北偏东30°方向航行10海里到达B处，在B处测得小岛C在北偏东60°方向，如图14所示.这时渔船改变航线向正东（即BD）方向航行，这艘渔船是否有进入养殖场的危险？23．（8分）如图15，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC、AC、AB三边的长分别为a、b、c，则sinA=ac，cosA=bc，tanA=ab.试探求sinA、cosA、tanA之间存在的一般关系，并说明理由.24．(9分) 如图16，由山脚下的一点A测得山顶D的仰角是45°，从A沿倾斜角为30°的山坡前进1500米到B，再次测得山顶D的仰角为60°，求山高CD.25. (9分)如图17，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆高度．已知小明的眼睛与地面的距离（AB）是1.7m，看旗杆顶部M的仰角为45°；小红的眼睛与地面的距离（CD）是1.5m，看旗杆顶部M的仰角为30°．两人相距28米且位于旗杆两侧（点B，N，D在同一条直线上）．请求出旗杆MN的高度． 1.4 1.7，结果保留整数）★26. (10分) 如图18，某一时刻太阳光从教室窗户射入室内，与地面的夹角∠BPC为30°，窗户的一部分在教室地面所形成的影长PE为3.5米，窗户的高度AF为2.5米.求窗外遮阳蓬外端一点D到窗户上椽的距离AD.(结果精确到0.1米)附备用试题2个 直接给出答案如图，一次函数的图象经过M 点，与x 轴交于A 点，与y 轴交于B 点，根据图中信息求：（1）这个函数的解析式；（2）tan ∠BAO ．解：（1）设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0),将点B(0,6),M(-1,4)代入，得604(1)k b k b =+=-+⎧⎨⎩， 解之，得k=2,b=6∴这个函数的解析式为y=2x+6.（2）令y=0,代入y=2x+6，得x= -3∴点A 的坐标(-3,0).∴tan ∠BAO=OB OA =63=2. 某大草原上有一条笔直的公路，在紧靠公路相距40千米的A 、B 两地，分别有甲、乙两个医疗站，如图，在A 地北偏东45°、B 地北偏西60°方向上有一牧民区C ．一天，甲医疗队接到牧民区的求救电话，立刻设计了两种救助方案，方案I ：从A 地开车沿公路到离牧民区C 最近的D 处，再开车穿越草地沿DC 方向到牧民区C ．方案II ：从A 地开车穿越草地沿AC 方向到牧民区C ． 已知汽车在公路上行驶的速度是在草地上行驶速度的3倍．（1）求牧民区到公路的最短距离CD ．（2）你认为甲医疗队设计的两种救助方案，哪一种方案比较合理？并说明理由．（结果精确到0.1 1.73 1.41）解:（1）设CD 为x 千米，由题意得，∠CBD=30°，∠CAD=45°∴AD=CD=x.在Rt △BCD 中，tan30°=x BD,∴∵AD+DB=AB=40，∴，解得x≈14. 7∴ 牧民区到公路的最短距离CD 为14.7千米．（2）设汽车在草地上行驶的速度为v ，则在公路上行驶的速度为3v ，在Rt △ADC 中，∠CAD=45°，∴方案I 用的时间134333AD CD AD CD CD t v v v v+=+==方案II 用的时间2AC t v ==∴ 2143CD t t v v -=-=4)3CD v∵ 4＞0 ，∴ 21t t -＞0，∴方案I 用的时间少，方案I 比较合理.供老师选配的题目：1.已知锐角A 满足关系式2sin 2A-7sinA+3=0，则sinA 的值为（ ）A ．12B ．3C ．12或3D ．42.如图1，已知⊙O 的半径为1，锐角△ABC 内接于⊙O ，BD ⊥AC 于点D ，OM ⊥AB 于点M ，则sin ∠CBD 的值等于（ ）A ．CD 的长B ．2CD 的长C ．OM 的长D ．2OM 的长3.如图2，在高2m ，坡角30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需______m.（精确到0.1m ）4.如图3，边长为1的菱形ABCD 中，∠DAB=60°．连结对角线AC ，以AC 为边作第二个菱形ACC 1D 1，使∠D 1AC=60°；连结AC 1，再以AC 1为边作第三个菱形AC 1C 2D 2，使∠D 2AC 1=60°；……，按此规律所作的第n 个菱形的边长为______．5.如图4（1），由直角三角形边角关系，可将三角形面积公式变形，得 ABC S △=12bc·sin ∠A ． ① 即三角形的面积等于两边之长与夹角正弦之积的一半．如图4（2），在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，∠ACD=α， ∠DCB=β．∵ ABC ADC BDC S S S =+△△△， 由公式①，得12AC·BC·sin(α+β)= 12AC·CD·sinα+12BC·CD·sinβ， 即 AC·BC·sin(α+β)= AC·CD·sinα+BC·CD·sinβ． ②你能利用直角三角形边角关系，消去②中的AC 、BC 、CD 吗？不能，说明理由；能，写出解决过程．（标★题为拔高题）（参考答案见第××版）锐角三角函数综合测试题参考答案一、选择题1.C2. A3.D4.D5.A6.A7.B 8．A 9.D10.C. 提示：如图1，在Rt △AOC 中，，在Rt △BOC中，BO=OD•cos60°=52，所以AB=AO+BO=52二、填空题11.12 12.3413.30 14.2.3 15. 10+ 16．30 17.（0） 18.150a. 提示：如图2，过点C 作CD ⊥BA 交BA 的延长线于D ，则在Rt △ADC 中，CD=AC•sin30°=15(米)，所以△ABC 的面积为12AB•CD=12×20×15=150(米2)，故购买这种草皮至少需要150a元.三、解答题19.-cos45°+2=32-1+2=52.20.解：在Rt△∠CDF中，CD=5.4，∠DCF=40°，∴DF=CD•sin40°≈5.4×0.64≈3.46.在Rt△∠ADE中，AD=2.2，∠ADE=∠DCF=40°，∴DE=AD•cos40°≈2.2×0.77≈1.69.∴EF=DF+DE≈5.15≈5.2.即车位所占街道的宽度为5.2m.21.解：（1）由折叠知NA=NE，∴∠AEN=∠EAN，∴tan∠EAB=tan∠AEN=13，∴BEAB=13.设BE=k，则AB=BC=CD=3k，∴CE=BC-BE=2k.∵DC+CE=10，∴3k+2k=10，解得k=2，∴AB=6，BE=2.在Rt△BNE中，∵NE2+BE2=NB2，∴AN2+BE2=NB2，即AN2+22=(6-AN)2，解得AN=83，∴S△ANE=12AN•BE=12×83×2=83.（2）∵NE=AN=83，∴sin∠ENB=BENE=283=34.22.解：如图3，过点C作CE⊥BD，垂足为E，∴CE∥GB∥FA.∴∠BCE=∠GBC=60°，∠ACE=∠FAC=45°.∴∠BCA=∠BCE-∠ACE=60°-45°=15°.又∠BAC=∠FAC-∠FAB=45°-30°=15°，∴∠BCA=∠BAC，∴BC=AB=10.在Rt△BCE中，CE=BC·cos∠BCE=BC·cos60°=10×12=5(海里).∵5海里＞4.8海里，∴渔船没有进入养殖场的危险.答：这艘渔船没有进入养殖场的危险.23.解：存在的一般关系有：（1）sin2A+cos2A=1；（2）tanA=sincosAA．证明如下：（1）∵ sinA=ac, cosA=bc, a2+b2=c2,∴ sin2A+cos2A=222222222a b a b cc c c c++===1．（2）∵ sinA=ac, cosA=bc,∴ tanA=ab=acbc=sincosAA．24.解：如图4，过点B作CD、AC的垂线，垂足分别为E、F.∵∠BAC=30°，AB=1500米，∴BF=EC=750米，.设FC=x米∵∠DBE=60°，∴米.又∵∠DAC=45°，∴AC=CD.即，解得x=750.∴CD=（.答：山高CD为（.25. 解：如图5，过点A 作AE ⊥MN 于E ，过点C 作CF ⊥MN 于F ， 则EF=AB-CD=1.7-1.5=0.2.在Rt △AEM 中，∠AEM=90°，∠MAE=45°∴AE=ME ，设AE=x ，则MF=x+0.2.在Rt △MFC 中，∠MFC=90°，∠MCF=30°，∴∵BN+ND=BD ，∴，解得x≈10.2.∴MN≈12答：旗杆高约为12米．26.解：如图6，过E 作EG ∥AC 交BP 于G ，∵EF ∥DP ，∴四边形BFEG 是平行四边形.在Rt △PEG 中，PE=3.5，∠P=30°，tan ∠EPG=EG EP ， ∴EG=EP•tan ∠EPG=3.5×tan30°≈2.02.又∵四边形BFEG 是平行四边形，∴BF=EG=2.02，∴AB=AF-BF=2.5-2.02=0.48.又∵AD ∥PE ，∴∠BDA=∠P=30°.在Rt △BAD 中，tan30°=AB AD ， ∴AD=tan30AB =0.48×（米）. ∴所求的距离AD 约为0.8米.供老师选配的题目：1.A2.C3.5.54.1n5. 解：能消去AC 、BC 、CD ，得到si n(α+β)= sinα·cosβ+cosα·sinβ．理由如下：在AC·BC·sin(α+β)= AC·CD·sinα+BC·CD·sinβ两边同除以AC·BC，得sin(α+β)= CDBC·sinα+CDAC·sinβ.∵CDBC=cosβ，CDAC=cosα，∴ sin(α+β)= sinα·cosβ+cosα·sinβ．。
(完整)人教版九年级下册：圆和三角函数综合练习(含答案),推荐文档.docx
人教版九年级下册：圆和三角函数综合练习（含答案）圆与三角函数1．已知，如图， AB 是⊙ O 的直径，点 C 为⊙ O 上一点， OF⊥BC 于点 F，交⊙ O 于点 E，AE 与 BC交于点 H，点 D 为 OE的延长线上一点，且∠ ODB=∠AEC．（1）求证： BD 是⊙ O 的切线；（）求证：22CE=EH?EA；（3）若⊙ O 的半径为 5，sinA= ，求 BH 的长．2．如图，已知 AB 是⊙ O 的直径， C 是⊙ O 上任一点（不与 A，B 重合），AB⊥CD于 E，BF为⊙O 的切线， OF∥AC，连结 AF， FC，AF 与 CD交于点 G，与⊙ O 交于点 H，连结 CH．（1）求证： FC是⊙ O 的切线；（2）求证： GC=GE；（3）若 cos∠ AOC= ，⊙ O 的半径为 r，求 CH的长．3．已知⊙ O 是以 AB 为直径的△ ABC的外接圆， OD∥BC 交⊙ O 于点 D，交 AC 于点 E，连接AD、 BD，BD 交 AC于点 F．（1）求证： BD 平分∠ ABC；（2）延长 AC到点 P，使 PF=PB，求证： PB是⊙ O 的切线；（3）如果 AB=10， cos∠ ABC= ，求 AD．4．如图，在矩形ABCD中，点 O 在对角线 AC 上，以 OA 的长为半径的圆O 与 AD、AC 分别交于点 E、F，且∠ ACB=∠ DCE．（1）判断直线 CE与⊙ O 的位置关系，并证明你的结论；（2）若 tan∠ ACB=，BC=2，求⊙ O的半径．5．如图， AB是⊙ O 的直径， D、 E为⊙ O 上位于 AB 异侧的两点，连接B D 并延长至点 C，使得CD=BD，连接 AC交⊙ O 于点 F，连接 AE、DE、DF．（1）证明：∠ E=∠ C；（2）若∠ E=55°，求∠ BDF的度数；（3）设 DE交 AB 于点 G，若 DF=4， cosB= ，E 是的中点，求EG?ED的值．6． AB，CD是⊙ O 的两条弦，直线 AB，CD互相垂直，垂足为点 E，连接 AD，过点 B 作 BF⊥AD，垂足为点 F，直线 BF 交直线 CD于点 G．（1）如图 1，当点 E 在⊙ O 外时，连接 BC，求证： BE平分∠ GBC；（2）如图 2，当点 E 在⊙ O 内时，连接 AC，AG，求证： AC=AG；（3）如图 3，在（ 2）条件下，连接 BO 并延长交 AD 于点 H，若 BH 平分∠ ABF，AG=4， tan ∠D= ，求线段 AH 的长．7．如图，已知 AB 是⊙ O 的直径， BP是⊙ O 的弦，弦 CD⊥AB 于点 F，交 BP 于点 G，E 在 CD的延长线上， EP=EG，（1）求证：直线 EP为⊙ O 的切线；（2）点 P 在劣弧 AC上运动，其他条件不变，若BG2 =BF?BO．试证明 BG=PG；（3）在满足（ 2）的条件下，已知⊙ O 的半径为 3，sinB=．求弦CD的长．8．如图，在 Rt△ ABC中，∠ ACB=90°，AO 是△ ABC的角平分线．以 O 为圆心， OC为半径作⊙O．（1）求证： AB 是⊙ O 的切线．（2）已知 AO 交⊙ O 于点 E，延长 AO 交⊙ O 于点 D，tanD=，求的值．（3）在（ 2）的条件下，设⊙ O 的半径为 3，求 AB 的长．9．如图，四边形 ABCD内接于⊙ O，对角线 AC 为⊙ O 的直径，过点 C 作 AC的垂线交 AD 的延长线于点 E，点 F 为 CE的中点，连接 DB，DC，DF．（1）求∠ CDE的度数；（2）求证： DF 是⊙ O 的切线；（3）若 AC=2DE，求 tan∠ABD 的值．10．如图，已知在△ ABP 中， C 是 BP 边上一点，∠ PAC=∠PBA，⊙ O 是△ ABC的外接圆，AD 是⊙ O 的直径，且交 BP于点 E．（1）求证： PA是⊙ O 的切线；（2）过点 C 作 CF⊥AD，垂足为点 F，延长 CF交 AB 于点 G，若 AG?AB=12，求 AC的长；（3）在满足（ 2）的条件下，若 AF：FD=1：2，GF=1，求⊙ O 的半径及 sin∠ACE的值．11．已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜边AC交⊙ O 于点 D，且 AD=DC，延长 CB交⊙ O 于点E．（1）图 1 的 A、B、C、D、E 五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由；（2）如图 2，过点 E 作⊙ O 的切线，交 AC的延长线于点 F．①若 CF=CD时，求 sin∠CAB的值；②若 CF=aCD（a＞0）时，试猜想 sin∠ CAB的值．（用含 a 的代数式表示，直接写出结果）12．如图，在 Rt△ABC中，∠ C=90°，以 BC为直径的⊙ O 交斜边 AB 于点 M，若 H 是 AC的中点，连接 MH．（1）求证： MH 为⊙ O 的切线．（2）若 MH=，tan∠ ABC=，求⊙ O的半径．（3）在（ 2）的条件下分别过点 A、 B 作⊙ O 的切线，两切线交于点 D，AD 与⊙ O 相切于 N 点，过 N 点作 NQ⊥BC，垂足为 E，且交⊙ O 于 Q 点，求线段 NQ 的长度．13．如图，⊙ O 的半径 r=25，四边形 ABCD内接于圆⊙ O，AC⊥ BD 于点 H，P 为 CA延长线上的一点，且∠ PDA=∠ ABD．（1）试判断 PD 与⊙ O 的位置关系，并说明理由；（2）若 tan∠ ADB= ，PA=AH，求 BD的长；（3）在（ 2）的条件下，求四边形ABCD的面积．14．如图， PA为⊙ O 的切线， A 为切点，直线 PO 交⊙ O 与点 E，F 过点 A 作 PO 的垂线 AB 垂足为 D，交⊙ O 与点 B，延长 BO 与⊙ O 交与点 C，连接 AC，BF．（1）求证： PB与⊙ O 相切；（2）试探究线段 EF，OD，OP 之间的数量关系，并加以证明；（3）若 AC=12，tan∠F= ，求 cos∠ ACB的值．15．如图，在⊙ O 中，弦 AB 与弦 CD相交于点 G， OA⊥ CD于点 E，过点 B 的直线与 CD的延长线交于点 F，AC∥BF．（1）若∠ FGB=∠ FBG，求证： BF 是⊙ O 的切线；（2）若 tan∠ F= ，CD=a，请用 a 表示⊙ O 的半径；（3）求证： GF2﹣GB2=DF?GF．16．如图，在⊙ O 中，直径 AB⊥CD，垂足为 E，点 M 在 OC上， AM 的延长线交⊙ O 于点 G，交过 C 的直线于 F，∠ 1=∠2，连结 CB与 DG 交于点 N．（1）求证： CF是⊙ O 的切线；（2）求证：△ ACM∽△ DCN；（3）若点 M 是 CO的中点，⊙ O 的半径为 4，cos∠BOC= ，求 BN 的长．17．如图所示，在 Rt△ABC与 Rt△OCD中，∠ ACB=∠DCO=90°，O 为 AB 的中点．（1）求证：∠ B=∠ACD．2．（2）已知点 E 在 AB 上，且 BC=AB?BE（i）若 tan∠ACD= ， BC=10，求 CE的长；（i i ）试判定 CD与以 A 为圆心、 AE 为半径的⊙ A 的位置关系，并请说明理由．18．如图， AB 为⊙ O 的直径，直线 CD 切⊙ O 于点 M，BE⊥ CD于点 E．（1）求证：∠ BME=∠ MAB；（2）求证： BM2=BE?AB；（3）若 BE=，sin∠BAM=，求线段AM的长．19．如图，线段 AB 是⊙ O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 H，点 M 是上任意一点，AH=2，CH=4．（1）求⊙ O 的半径 r 的长度；（2）求 sin∠CMD；（3）直线 BM 交直线 CD于点 E，直线 MH 交⊙ O 于点 N，连接 BN 交 CE于点 F，求 HE?HF 的值．20．已知 AB、CD 是⊙ O 的两条弦，直线 AB、CD 互相垂直，垂足为 E，连接 AC，过点 B 作BF⊥AC，垂足为 F，直线 BF交直线 CD于点 M ．（1）如图 1，当点 E 在⊙ O 内时，连接 AD，AM， BD，求证： AD=AM；（2）如图 2，当点 E 在⊙ O 外时，连接 AD，AM，求证： AD=AM；（3）如图 3，当点 E 在⊙ O 外时，∠ABF的平分线与 AC交于点 H，若 tan ∠C= ，求 tan∠ABH 的值．2018 年 01 月 10 日金博初数 2 的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共25 小题）1．已知，如图， AB 是⊙ O 的直径，点 C 为⊙ O 上一点， OF⊥BC 于点 F，交⊙ O 于点 E，AE 与 BC交于点 H，点 D 为 OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC．（1）求证： BD 是⊙ O 的切线；（）求证：22CE=EH?EA；（3）若⊙ O 的半径为 5，sinA= ，求 BH 的长．【分析】（ 1）由圆周角定理和已知条件证出∠ ODB=∠ ABC，再证出∠ ABC+∠ DBF=90°，即∠ OBD=90°，即可得出 BD 是⊙ O 的切线；（2）连接 AC，由垂径定理得出，得出∠ CAE=∠ECB，再由公共角∠ CEA=∠HEC，证明△CEH∽△ AEC，得出对应边成比例，即可得出结论；（3）连接 BE，由圆周角定理得出∠ AEB=90°，由三角函数求出 BE，再根据勾股定理求出 EA，得出 BE=CE=6，由（ 2）的结论求出 EH，然后根据勾股定理求出 BH 即可．【解答】（ 1）证明：∵∠ ODB=∠AEC，∠ AEC=∠ABC，∴∠ ODB=∠ ABC，∵OF⊥ BC，∴∠ BFD=90°，∴∠ ODB+∠ DBF=90°，∴∠ ABC+∠DBF=90°，即∠ OBD=90°，∴BD⊥ OB，∴BD 是⊙ O 的切线；（2）证明：连接 AC，如图 1 所示：∵OF⊥ BC，∴，∴∠ CAE=∠ECB，∵∠ CEA=∠HEC，∴△ CEH∽△ AEC，∴，∴2CE =EH?EA；（3）解：连接 BE，如图 2 所示：∵AB 是⊙ O 的直径，∴∠ AEB=90°，∵⊙ O 的半径为 5，sin∠BAE= ，∴AB=10， BE=AB?sin∠ BAE=10×=6，∴EA===8，∵，∴BE=CE=6，∵2CE =EH?EA，∴EH= =，在 Rt△ BEH中， BH===．【点评】本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、圆周角定理、圆心角、弧、弦之间的关系定理、勾股定理、三角函数、相似三角形的判定与性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（ 2）（3）中，需要通过作辅助线证明三角形相似和运用三角函数、勾股定理才能得出结果．2．如图，已知 AB 是⊙ O 的直径， C 是⊙ O 上任一点（不与 A，B 重合），AB⊥CD于 E，BF为⊙O 的切线， OF∥AC，连结 AF， FC，AF 与 CD交于点 G，与⊙ O 交于点 H，连结 CH．（1）求证： FC是⊙ O 的切线；（2）求证： GC=GE；（3）若 cos∠ AOC= ，⊙ O 的半径为 r，求 CH的长．【分析】（ 1）首先根据 OF∥AC， OA=OC，判断出∠ BOF=∠COF；然后根据全等三角形判定的方法，判断出△ BOF≌△ COF，推得∠ OCF=∠OBF=90°，再根据点 C 在⊙ O 上，即可判断出 FC 是⊙ O 的切线．（2）延长 AC、 BF交点为 M ．由△ BOF≌△ COF可知： BF=CF然后再证明： FM=CF，从而得到BF=MF，因为 DC∥BM，所以△ AEG∽△ ABF，△ AGC∽△ AFM，然后依据相似三角形的性质可证GC=GE；（3）因为 cos∠AOC= ，OE=，AE=．由勾股定理可求得EC=．AC=．因为EG=GC，所以 EG=．由（2）可知△ AEG∽△ ABF，可求得CF=BF=．在Rt△ ABF中，由勾股定理可求得 AF=3r．然后再证明△ CFH∽△ AFC，由相似三角形的性质可求得CH的长．【解答】（ 1）证明：∵ OF∥ AC，∴∠ BOF=∠OAC，∠ COF=∠OCA，∵OA=OC，∴∠ OAC=∠ OCA，∴∠ BOF=∠COF，在△ BOF和△ COF中，，∴△ BOF≌△ COF，∴∠ OCF=∠OBF=90°，又∵点 C 在⊙ O 上，∴FC是⊙ O 的切线．（2）如下图：延长 AC、BF 交点为 M．由（ 1）可知：△ BOF≌△ COF，∴∠ OFB=∠CFO，BF=CF．∵AC∥ OF，∴∠ M=∠OFB，∠ MCF=∠ CFO．∴∠ M=∠MCF．∴CF=MF．∴BF=FM．∵DC∥ BM，∴△ AEG∽△ ABF，△ AGC∽△ AFM．∴，．∴又∵ BF=FM，∴EG=GC．（3）如下图所示：∵c os∠AOC= ，∴OE= ，AE= ．在 Rt△ EOC中， EC==．在 Rt△ AEC中， AC==．∵EG=GC，∴EG=．∵△ AEG∽△ ABF，∴，即．∴BF=．∴CF=．在 Rt△ ABF中， AF===3r．∵CF是⊙ O 的切线， AC为弦，∴∠ HCF=∠HAC．又∵∠ CFH=∠ AFC，∴△ CFH∽△ AFC．∴，即：．∴CH=．【点评】本题主要考查的是圆的综合应用，同时还涉及了勾股定理，锐角三角形函数，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，证得BF=FM是解答本题的关键．3 ．已知：⊙ O上两个定点A ， B和两个动点 C ， D ， AC 与BD 交于点E．（1）如图 1，求证： EA?EC=EB?ED；（2）如图 2，若=，AD是⊙ O的直径，求证：AD?AC=2BD?BC；（3）如图 3，若 AC⊥BD，点 O 到 AD 的距离为 2，求 BC的长．【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得到角相等，从而证得三角形相似，于是得到结论；（2）如图 2，连接 CD，OB 交 AC 于点 F 由 B 是弧 AC 的中点得到∠ BAC=∠ADB=∠ ACB，且AF=CF=0.5AC．证得△ CBF∽△ ABD．即可得到结论；（3）如图 3，连接 AO 并延长交⊙ O 于 F，连接 DF 得到 AF 为⊙ O 的直径于是得到∠ ADF=90°，过 O 作 OH⊥AD 于 H，根据三角形的中位线定理得到 DF=2OH=4，通过△ ABE∽△ ADF，得到1=∠2，于是结论可得．【解答】（ 1）证明：∵∠ EAD=∠EBC，∠ BCE=∠ADE，∴△ AED∽△ BEC，∴，∴EA?EC=EB?ED；（2）证明：如图 2，连接 CD， OB 交 AC于点 F∵B 是弧 AC 的中点，∴∠ BAC=∠ADB=∠ ACB，且 AF=CF=0.5AC．又∵ AD 为⊙ O 直径，∴∠ ABD=90°，又∠ CFB=90°．∴△ CBF∽△ DAB．∴，故 CF?AD=BD?BC．∴AC?AD=2BD?BC；（3）解：如图 3，连接 AO 并延长交⊙ O 于 F，连接 DF，∴AF 为⊙ O 的直径，∴∠ ADF=90°，过O 作 OH⊥AD 于 H，∴AH=DH，OH∥DF，∵AO=OF，∴DF=2OH=4，∵AC⊥ BD，∴∠ AEB=∠ADF=90°，∵∠ ABD=∠ F，∴△ ABE∽△ ADF，∴∠ 1=∠2，∴，∴BC=DF=4．【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．4．已知⊙ O 是以 AB 为直径的△ ABC的外接圆， OD∥BC 交⊙ O 于点 D，交 AC 于点 E，连接AD、 BD，BD 交 AC于点 F．（1）求证： BD 平分∠ ABC；（2）延长 AC到点 P，使 PF=PB，求证： PB是⊙ O 的切线；（3）如果 AB=10， cos∠ ABC= ，求 AD．【分析】（1）先由 OD∥BC，根据两直线平行内错角相等得出∠ D=∠CBD，由 OB=OD，根据等边对等角得出∠ D=∠ OBD，等量代换得到∠ CBD=∠ OBD，即 BD 平分∠ ABC；（2）先由圆周角定理得出∠ ACB=90°，根据直角三角形两锐角互余得到∠ CFB+∠CBF=90°．再由 PF=PB，根据等边对等角得出∠ PBF=∠CFB，而由（ 1）知∠ OBD=∠ CBF，等量代换得到∠PBF+∠ OBD=90°，即∠ OBP=90°，根据切线的判定定理得出 PB是⊙ O 的切线；（ 3）连结AD．在 Rt△ ABC 中，由cos∠ABC= = =，求出BC=6，根据勾股定理得到AC==8．再由 OD∥ BC，得出△ AOE∽△ ABC，∠ AED=∠OEC=180°﹣∠ ACB=90°，根据相似三角形对应边成比例求出AE=4，OE=3，那么 DE=OD﹣ OE=2，然后在 Rt△ ADE中根据勾股定理求出 AD==2．【解答】（ 1）证明：∵ OD∥ BC，∴∠ D=∠CBD，∵OB=OD，∴∠ D=∠OBD，∴∠ CBD=∠OBD，∴BD 平分∠ ABC；（2）证明：∵⊙ O 是以 AB为直径的△ ABC的外接圆，∴∠ ACB=90°，∴∠ CFB+∠CBF=90°．∵PF=PB，∴∠ PBF=∠CFB，由（ 1）知∠ OBD=∠CBF，∴∠ PBF+∠OBD=90°，∴∠ OBP=90°，∴PB 是⊙ O 的切线；（3）解：连结 AD．∵在 Rt△ABC中，∠ ACB=90°，AB=10，∴c os∠ABC= = = ，∴BC=6，AC==8．∵OD∥BC，∴△ AOE∽△ ABC，∠ AED=∠OEC=180°﹣∠ ACB=90°，∴= =，= =，∴AE=4，OE=3，∴DE=OD﹣OE=5﹣3=2，∴AD===2．【点评】本题是圆的综合题，其中涉及到平行线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、直角三角形两锐角互余的性质、切线的判定定理、锐角三角函数的定义、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，综合性较强，难度适中．本题中第（ 2）问要证某线是圆的切线，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线是常用的方法，需熟练掌握．5．如图 1，△ ABC 内接于⊙ O，∠ BAC 的平分线交⊙ O 于点 D，交 BC 于点 E（BE＞ EC），且BD=2 ．过点 D 作 DF∥BC，交 AB 的延长线于点 F．（1）求证： DF 为⊙ O 的切线；（2）若∠ BAC=60°，DE=，求图中阴影部分的面积；（3）若=，DF+BF=8，如图2，求BF的长．【分析】（1）连结 OD，如图 1，由角平分线定义得∠ BAD=∠CAD，则根据圆周角定理得到=，再根据垂径定理得OD⊥ BC，由于BC∥EF，则 OD⊥DF，于是根据切线的判定定理即可判断DF为⊙ O 的切线；（2）连结 OB， OD 交 BC于 P，作 BH⊥DF 于 H，如图 1，先证明△ OBD为等边三角形得到∠ODB=60°， OB=BD=2，易得∠ BDF=∠DBP=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系，在Rt△DBP中得到 PD= BD=，PB= PD=3，接着在 Rt△DEP中利用勾股定理计算出PE=2，由于 OP⊥BC，则 BP=CP=3，所以 CE=1，然后利用△ BDE∽△ ACE，通过相似比可得到 AE=，再证明△ ABE∽△ AFD，利用相似比可得 DF=12，最后根据扇形面积公式，利用 S 阴影部分△ BDF=S﹣S 弓形BD=S△BDF﹣（ S 扇形BOD﹣ S△BOD）进行计算；（3）连结 CD，如图 2，由= 可设 AB=4x，AC=3x，设 BF=y，由 = 得到 CD=BD=2，先证明△ BFD∽△ CDA，利用相似比得到 xy=4，再证明△ FDB∽△ FAD，利用相似比得到 16﹣4y=xy，则 16﹣4y=4，然后解方程易得 BF=3．【解答】证明：（1）连结 OD，如图 1，∵AD 平分∠ BAC交⊙ O 于 D，∴∠ BAD=∠ CAD，∴= ，∴OD⊥BC，∵BC∥ EF，∴OD⊥DF，∴DF 为⊙ O 的切线；（2）连结 OB，连结 OD 交 BC于 P，作 BH⊥DF 于 H，如图 1，∵∠ BAC=60°，AD 平分∠ BAC，∴∠ BAD=30°，∴∠ BOD=2∠BAD=60°，∴△ OBD 为等边三角形，∴∠ ODB=60°，OB=BD=2，∴∠ BDF=30°，∵BC∥ DF，∴∠ DBP=30°，在Rt△ DBP中， PD= BD= ，PB= PD=3，在Rt△ DEP中，∵ PD= ，DE= ，∴PE==2，∵OP⊥BC，∴BP=CP=3，∴CE=3﹣2=1，易证得△ BDE∽△ ACE，∴AE： BE=CE：DE，即 AE：5=1：，∴AE=∵BE∥ DF，∴△ ABE∽△ AFD，∴=，即=，解得DF=12，在Rt△ BDH中， BH= BD= ，∴S 阴影部分 =S△BDF﹣S 弓形BD=S△BDF﹣（ S 扇形BOD﹣S△BOD）= ?12? ﹣+ ?（2）2=9 ﹣2π；（3）连结 CD，如图 2，由=可设AB=4x，AC=3x，设BF=y，∵= ，∴CD=BD=2，∵∠ F=∠ABC=∠ADC，∵∠ FDB=∠DBC=∠ DAC，∴△ BFD∽△ CDA，∴=，即=，∴x y=4，∵∠ FDB=∠DBC=∠ DAC=∠ FAD，而∠ DFB=∠AFD，∴△ FDB∽△ FAD，∴=，即=，整理得 16﹣ 4y=xy，∴16﹣ 4y=4，解得 y=3，即 BF的长为 3．【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、圆周角定理和切线的判定定理；会计算不规则几何图形的面积；会灵活运用相似三角形的判定与性质计算线段的长．6．如图，在矩形 ABCD中，点 O 在对角线 AC 上，以 OA 的长为半径的圆 O 与 AD、AC 分别交于点 E、F，且∠ ACB=∠ DCE．（1）判断直线 CE与⊙ O 的位置关系，并证明你的结论；（2）若 tan∠ ACB=，BC=2，求⊙ O的半径．【分析】（ 1）连接 OE．欲证直线 CE与⊙ O 相切，只需证明∠ CEO=90°，即 OE⊥CE即可；（2）在直角三角形ABC 中，根据三角函数的定义可以求得AB=，然后根据勾股定理求得AC= ，同理知 DE=1；方法一、在 Rt△COE中，利用勾股定理可以求得222，即2CO=OE+CE=r +3，从而易得r 的；方法二、点 O 作 OM⊥AE 于点 M ，在 Rt△AMO 中，根据三角函数的定可以求得r 的．【解答】解：（1）直 CE与⊙ O 相切．⋯（ 1 分）理由如下：∵四形 ABCD是矩形，∴BC∥ AD，∠ ACB=∠DAC；又∵∠ ACB=∠ DCE，∴∠ DAC=∠DCE；接 OE，∠ DAC=∠AEO=∠DCE；∵∠ DCE+∠DEC=90°∴∠ AE0+∠DEC=90°∴∠ OEC=90°，即 OE⊥ CE．又 OE是⊙ O 的半径，∴直 CE与⊙ O 相切．⋯（ 5 分）（2）∵ tan∠ACB= =，BC=2，∴AB=BC?tan∠ACB=，∴AC=；又∵∠ ACB=∠ DCE，∴t an ∠DCE=tan∠ACB= ，∴D E=DC?tan∠DCE=1；方法一：在 Rt△CDE中， CE==，222，即2接 OE，⊙ O 的半径 r，在 Rt△COE中， CO =OE+CE=r +3解得： r=方法二： AE=AD DE=1，点 O 作 OM⊥AE 于点 M ， AM= AE=在 Rt△ AMO 中， OA==÷=⋯（9分）【点】本考了的合：的切垂直于切点的半径；利用勾股定理算段的．7．如，在 Rt△ ABC中，∠ ABC=90°，AC 的垂直平分分与 AC，BC 及 AB 的延相于点 D， E，F，且 BF=BC，⊙ O 是△ BEF的外接，∠ EBF的平分交 EF于点 G，交⊙ O 于点H，接 BD， FH．（1）求：△ ABC≌△ EBF；（2）判断 BD 与⊙ O 的位置关系，并明理由；（3）若 AB=1，求 HG?HB的．【分析】（ 1）由垂直的定义可得∠ EBF=∠ ADF=90°，于是得到∠ C=∠BFE，从而证得△ABC≌△EBF；（2）BD 与⊙ O 相切，如图 1，连接 OB 证得∠ DBO=90°，即可得到 BD 与⊙ O 相切；（3）如图 2，连接 CF，HE，有等腰直角三角形的性质得到CF= BF，由于 DF垂直平分 AC，得到 AF=CF=AB+BF=1+BF= BF，求得 BF=，有勾股定理解出EF=，推出△ EHF 是等腰直角三角形，求得HF= EF=，通过△ BHF∽△ FHG，列比例式即可得到结论．【解答】（ 1）证明：∵∠ ABC=90°，∴∠ EBF=90°，∵DF⊥ AC，∴∠ ADF=90°，∴∠ C+∠A=∠ A+∠AFD=90°，∴∠ C=∠BFE，在△ ABC与△ EBF中，，∴△ ABC≌△ EBF；（2）BD 与⊙ O 相切，如图 1，连接 OB证明如下：∵ OB=OF，∴∠ OBF=∠OFB，∵∠ ABC=90°，AD=CD，∴BD=CD，∴∠ C=∠DBC，∵∠ C=∠BFE，∴∠ DBC=∠OBF，∵∠ CBO+∠ OBF=90°，∴∠ DBC+∠CBO=90°，∴∠ DBO=90°，∴BD 与⊙ O 相切；（3）解：如图 2，连接 CF，HE，∵∠ CBF=90°，BC=BF，∴CF=BF，∵DF 垂直平分 AC，∴AF=CF=AB+BF=1+BF=BF，∴BF=，∵△ ABC≌△ EBF，∴BE=AB=1，∴EF==，∵BH 平分∠ CBF，∴，∴EH=FH，∴△ EHF是等腰直角三角形，∴HF= EF=，∵∠ EFH=∠HBF=45°，∠ BHF=∠ BHF，∴△ BHF∽△ FHG，∴，∴HG?HB=HF2=2+．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，线段的垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握这些定理是解题的关键．8．如图， AB是⊙ O 的直径， D、 E为⊙ O 上位于 AB 异侧的两点，连接B D 并延长至点 C，使得CD=BD，连接 AC交⊙ O 于点 F，连接 AE、DE、DF．（1）证明：∠ E=∠ C；（2）若∠ E=55°，求∠ BDF的度数；（3）设 DE交 AB 于点 G，若 DF=4， cosB= ，E 是的中点，求EG?ED的值．【分析】（ 1）直接利用圆周角定理得出 AD⊥BC，再利用线段垂直平分线的性质得出 AB=AC，即可得出∠ E=∠ C；（2）利用圆内接四边形的性质得出∠ AFD=180°﹣∠ E，进而得出∠ BDF=∠ C+∠ CFD，即可得出答案；（3）根据 cosB= ，得出 AB 的长，即可求出 AE 的长，再判断△ AEG∽△ DEA，求出 EG?ED 的值．【解答】（ 1）证明：连接 AD，∵AB 是⊙ O 的直径，∴∠ ADB=90°，即 AD⊥ BC，∵CD=BD，∴AD 垂直平分 BC，∴AB=AC，∴∠ B=∠C，又∵∠ B=∠E，∴∠ E=∠C；（2）解：∵四边形 AEDF是⊙ O 的内接四边形，∴∠ AFD=180°﹣∠ E，又∵∠ CFD=180°﹣∠ AFD，∴∠ CFD=∠E=55°，又∵∠ E=∠C=55°，∴∠ BDF=∠C+∠CFD=110°；（3）解：连接 OE，∵∠ CFD=∠E=∠C，∴FD=CD=BD=4，在Rt△ ABD中， cosB= ，BD=4，∴AB=6，∵E 是的中点，AB是⊙ O的直径，∴∠ AOE=90°，∵AO=OE=3，∴AE=3，∵E 是的中点，∴∠ ADE=∠EAB，∴△ AEG∽△ DEA，∴=，即 EG?ED=AE2=18．【点评】此题主要考查了圆的综合题、圆周角定理以及相似三角形的判定与性质以及圆内接四边形的性质等知识，根据题意得出 AE， AB 的长是解题关键．9． AB，CD是⊙ O 的两条弦，直线 AB，CD互相垂直，垂足为点 E，连接 AD，过点 B 作 BF⊥AD，垂足为点 F，直线 BF 交直线 CD于点 G．（1）如图 1，当点 E 在⊙ O 外时，连接 BC，求证： BE平分∠ GBC；（2）如图 2，当点 E 在⊙ O 内时，连接 AC，AG，求证： AC=AG；（3）如图 3，在（ 2）条件下，连接 BO 并延长交 AD 于点 H，若 BH 平分∠ ABF，AG=4， tan ∠D= ，求线段 AH 的长．【分析】（ 1）利用圆内接四边形的性质得出∠ D=∠EBC，进而利用互余的关系得出∠ GBE=∠EBC，进而求出即可；（ 2）首先得出∠ D=∠ABG，进而利用全等三角形的判定与性质得出△BCE≌△ BGE（ASA），则 CE=EG，再利用等腰三角形的性质求出即可；（3）首先求出 CO的长，再求出tan∠ ABH= = =，利用OP2+PB2=OB2，得出a的值进而求出答案．【解答】（ 1）证明：如图 1，∵四边形 ABCD内接于⊙ O，∴∠ D+∠ABC=180°，∵∠ ABC+∠EBC=180°，∴∠ D=∠EBC，∵GF⊥ AD， AE⊥DG，∴∠ A+∠ABF=90°，∠ A+∠D=90°，∴∠ ABF=∠D，∵∠ ABF=∠GBE，∴∠ GBE=∠EBC，即BE平分∠ GBC；（2）证明：如图 2，连接 CB，∵AB⊥ CD， BF⊥AD，∴∠ D+∠BAD=90°，∠ ABG+∠ BAD=90°，∴∠ D=∠ABG，∵∠ D=∠ABC，∴∠ ABC=∠ABG，∵AB⊥ CD，∴∠ CEB=∠GEB=90°，在△ BCE和△ BGE中，∴△ BCE≌△ BGE（ASA），∴CE=EG，∵AE⊥ CG，∴AC=AG；（3）解：如图 3，连接 CO并延长交⊙ O 于 M，连接 AM，∵CM 是⊙ O 的直径，∴∠ MAC=90°，∵∠ M=∠D，tanD=，∴tanM=，∴= ，∵AG=4，AC=AG，∴AC=4，AM=3，∴MC==5，∴CO= ，过点 H 作 HN⊥AB，垂足为点 N，∵t anD= ， AE⊥DE，∴t an ∠BAD= ，∴= ，设NH=3a，则 AN=4a，∴AH==5a，∵HB 平分∠ ABF，NH⊥AB，HF⊥ BF，∴HF=NH=3a，∴AF=8a，cos∠ BAF= = = ，∴AB==10a，∴NB=6a，∴t an ∠ABH= = = ，过点 O 作 OP⊥AB 垂足为点 P，∴PB= AB=5a， tan∠ABH= =，∴OP= a，∵OB=OC= ， OP2+PB2=OB2，∴25a2+ a2=，∴解得： a=，∴AH=5a=．【点评】此题主要考查了圆的综合以及勾股定理和锐角三角函数关系等、全等三角形的判定与性质知识，正确作出辅助线得出 tan∠ ABH= = 是解题关键．10．如图，已知 AB 是⊙ O 的直径， BP 是⊙ O 的弦，弦 CD⊥AB 于点 F，交 BP 于点 G，E 在CD 的延长线上， EP=EG，（1）求证：直线 EP为⊙ O 的切线；（2）点 P 在劣弧 AC上运动，其他条件不变，若BG2 =BF?BO．试证明 BG=PG；（3）在满足（ 2）的条件下，已知⊙ O 的半径为 3，sinB=．求弦CD的长．【分析】（ 1）连结 OP，先由 EP=EG，证出∠ EPG=∠BGF，再由∠BFG=∠BGF+∠OBP=90°，推出∠ EPG+∠OPB=90°来求证．（2）连结 OG，由 BG2=BF?BO，得出△ BFG∽△ BGO，得出∠ BGO=∠ BFG=90°，根据垂径定理可得出结论．（3）连结 AC、 BC、OG，由 sinB=，求出OG，由（2）得出∠ B=∠OGF，求出OF，再求出BF，FA，利用直角三角形来求斜边上的高，再乘以 2 得出 CD长度．【解答】（ 1）证明：连结 OP，∵EP=EG，∴∠ EPG=∠EGP，又∵∠ EGP=∠ BGF，∴∠ EPG=∠BGF，∵OP=OB，∴∠ OPB=∠OBP，∵CD⊥ AB，∴∠ BFG=∠BGF+∠OBP=90°，∴∠ EPG+∠OPB=90°，∴直线 EP为⊙ O 的切线；（2）证明：如图，连结OG， OP，∵BG2=BF?BO，∴= ，∴△ BFG∽△ BGO，∴∠ BGO=∠ BFG=90°，由垂径定理知： BG=PG；（3）解：如图，连结AC、BC、OG、OP，∵s inB= ，∴= ，∵OB=r=3，∴OG=，由（ 2）得∠ EPG+∠OPB=90°，∠B+∠ BGF=∠ OGF+∠BGF=90°，∴∠ B=∠OGF，∴s in∠ OGF= =∴OF=1，∴BF=BO﹣ OF=3﹣1=2，FA=OF+OA=1+3=4，在Rt△ BCA中，2，CF=BF?FA∴CF===2．∴CD=2CF=4．【点评】本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是通过作辅助线，找准角之间的关系，灵活运用直角三角形中的正弦值．11．如图，在 Rt△ABC中，∠ ACB=90°，AO 是△ ABC的角平分线．以 O 为圆心， OC为半径作⊙O．（1）求证： AB 是⊙ O 的切线．（2）已知 AO 交⊙ O 于点 E，延长 AO 交⊙ O 于点 D，tanD=，求的值．（3）在（ 2）的条件下，设⊙ O 的半径为 3，求 AB 的长．【分析】（ 1）由于题目没有说明直线 AB 与⊙ O 有交点，所以过点 O 作 OF⊥AB 于点 F，然后证明 OC=OF即可；（2）连接 CE，先求证∠ ACE=∠ODC，然后可知△ ACE∽△ ADC，所以，而tan∠D==；（3）由（2）可知，AC2，所以可求出AE 和AC的长度，由（）可知，△∽△，=AE?AD1OFB ABC 所以，然后利用勾股定理即可求得AB 的长度．【解答】（ 1）如图，过点 O 作 OF⊥AB 于点 F，∵AO 平分∠ CAB，OC⊥ AC，OF⊥AB，∴OC=OF，∴AB 是⊙ O 的切线；（2）如图，连接 CE，∵ED 是⊙ O 的直径，∴∠ ECD=90°，∴∠ ECO+∠OCD=90°，∵∠ ACB=90°，∴∠ ACE+∠ECO=90°，∴∠ ACE=∠OCD，∵OC=OD，∴∠ OCD=∠ ODC，∴∠ ACE=∠ODC，∵∠ CAE=∠CAE，∴△ ACE∽△ ADC，∴，∵t an ∠D= ，∴ = ，∴ = ；（3）由（ 2）可知：=，∴设 AE=x， AC=2x，∵△ ACE∽△ ADC，∴，∴AC2=AE?AD，∴（ 2x）2=x（ x+6），解得： x=2 或 x=0（不合题意，舍去），∴AE=2，AC=4，由（ 1）可知： AC=AF=4，∠OFB=∠ACB=90°，∵∠ B=∠B，∴△ OFB∽△ ACB，∴= ，设BF=a，∴BC= ，∴BO=BC﹣ OC=﹣3，在Rt△ BOF中，BO2=OF2+BF2，∴（﹣3）2=32+a2，∴解得： a=或a=0（不合题意，舍去），∴AB=AF+BF=．【点评】本题考查圆的综合问题，解题的关键是证明△ ACE∽△ ADC．本题涉及勾股定理，解方程，圆的切线判定知识，内容比较综合，需要学生构造辅助线才能解决问题，对学生综合能力要求较高．12．如图，四边形 ABCD内接于⊙ O，对角线 AC为⊙ O 的直径，过点 C 作 AC 的垂线交 AD 的延长线于点 E，点 F 为 CE的中点，连接 DB，DC，DF．（1）求∠ CDE的度数；（2）求证： DF 是⊙ O 的切线；（3）若 AC=2DE，求 tan∠ABD 的值．【分析】（ 1）直接利用圆周角定理得出∠CDE的度数；（ 2）直接利用直角三角形的性质结合等腰三角形的性质得出∠ ODF=∠ ODC+∠FDC=∠OCD+ ∠DCF=90°，进而得出答案；（3）利用相似三角形的性质结合勾股定理表示出 AD，DC 的长，再利用圆周角定理得出 tan∠ABD 的值．【解答】（ 1）解：∵对角线AC 为⊙ O 的直径，∴∠ ADC=90°，∴∠ EDC=90°；（2）证明：连接 DO，∵∠ EDC=90°，F 是 EC的中点，∴DF=FC，∴∠ FDC=∠FCD，∵OD=OC，∴∠ OCD=∠ ODC，∵∠ OCF=90°，∴∠ ODF=∠ ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，∴DF 是⊙ O 的切线；（3）解：方法一：设DE=1，则 AC=2，由AC2=AD× AE∴20=AD（ AD+1）∴AD=4 或﹣ 5（舍去）∵DC2=AC2﹣ AD2∴DC=2，∴t an ∠ABD=tan∠ACD= =2；方法二：如图所示：可得∠ ABD=∠ ACD，∵∠ E+∠DCE=90°，∠ DCA+∠DCE=90°，∴∠ DCA=∠ E，又∵∠ ADC=∠CDE=90°，∴△ CDE∽△ ADC，∴= ，∴DC2=AD?DE∵AC=2DE，∴设 DE=x，则 AC=2x，则AC2﹣AD2=AD?DE，期（ 2 x）2﹣AD2=AD?x，整理得： AD2+AD?x﹣ 20x2=0，解得： AD=4x或﹣ 5x（负数舍去），则 DC==2x，故tan∠ABD=tan∠ACD= = =2．【点评】此题主要考查了圆的综合以及切线的判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，根据题意表示出 AD，DC的长是解题关键．。
(word版)锐角三角函数中考试题分类汇编含答案,文档
23、锐角三角函数要点一：锐角三角函数的根本概念一、选择题1.〔2021·漳州中考〕三角形在方格纸中的位置如下列图，那么tan 的值是〔〕3 4 3 D ．4A ．B ．C ．55341，那么sinB ＝〔〕2.〔2021·威海中考〕在△ABC 中，∠C ＝90°，tanA ＝3A ．10 2 3D ．3 10B ．3C ．101043.〔2021·齐齐哈尔中考〕如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，假设⊙O 的半径为3，AC2，那么sinB 的值是〔〕22 3 34A ．B ．C ．D ．32434.〔2021·湖州中考〕如图，在 Rt △ABC 中，AC BRt ，BC1，AB 2，那么以下结论正确的选项是〔〕A ．sinA3 1 33B ．tanAC ．cosBD ．tanB2225.〔2021·温州中考〕如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，CD 2 ，AC 3，那么sinB 的值是〔〕2 3 3 4A ．B ．C ．D ．3 2 436.〔2007·泰安中考〕如图，在△ABC 中， ACB 90o ，CDAB 于，假设AC 2 3，AB 32，那么tanBCD 的值为〔〕ADB C〔A 〕〔B 〕2〔C 〕6〔D 〕3233二、填空题7.〔2021·梧州中考〕在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6cm ，sinA3 ，那么AB 的长是cm ．58.〔2021·孝感中考〕如图，角的顶点为 O ，它的一边在 x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一点P 〔3，4〕，那么sin ．9.〔2021·庆阳中考〕如图，菱形ABCD 的边长为10cm ，DE ⊥AB ，sinA3 ，那么这个菱形5的面积=cm 2．三、解答题10.(2021河·北中考)如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为 O ，直径 AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD ∥AB ，且CD=24m ，OE ⊥CD 于点E ．已测得sin ∠DOE=12．13C EDABO〔1〕求半径 OD ；〔2〕根据需要，水面要以每小时m的速度下降，那么经过多长时间才能将水排干？11.〔2021·綦江中考〕如图，在矩形ABCD中，是BC边上的点，AE BC，DFAE，垂足为，连接DE．1〕求证：△ABE≌△DFA；2〕如果AD10，AB=6，求sinEDF的值．A DB FCE12.〔2021·宁夏中考〕如图，在△ABC中，∠=90°，sin=4，AB=15，求△ABC的周长5和tan的值．13.〔2021·肇庆中考〕在Rt△ABC中，∠C=90°，a=3，c=5，求sinA和tanA的值.14.〔2007·芜湖中考〕如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tanBcosDAC，(1)求证：AC=BD；12(2)假设sinC，BC=12，求AD的长．13要点三、解直角三角形在实际问题中的运用一、选择题1.〔2021·白银中考〕某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角〔梯子与地面的夹角〕不能大于60°，否那么就有危险，那么梯子的长至少为〔〕A．8米B．83米C．83米D．43米333.〔2021·益阳中考〕如图，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为〔〕A.5cos5C.5sin5 B. D.cos sin5米BAα4.〔2021·兰州中考〕如图，在平地上种植树木时，要求株距〔相邻两树间的水平距离〕为4m．如果在坡度为的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为〔〕A．5mB．6mC．7m D．8m二、填空题6.〔2021·沈阳中考〕如图，市政府准备修建一座高AB＝6m的过街天桥，天桥的坡面3，那么坡面AC的长度为m．AC与地面BC的夹角∠ACB的正弦值为57.〔2021·衡阳中考〕某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为25米，那么这个坡面的坡度为_________.10.(2021庆·阳中考)如图，一架梯子斜靠在墙上，假设梯子底端到墙的距离AC=3米，cosBAC 3，那么梯子长AB=米. 411.〔2007·湖州中考〕小明发现在教学楼走廊上有一拖把以15°的倾斜角斜靠在栏杆上，严重影响了同学们的行走平安。
(完整版)锐角三角函数与圆的综合应用(含答案)
锐角三角函数与圆的综合题1.如图，在ABC △中，AB AC =，以AB 为直径的O e 分别交AC 、BC 于点D 、E ，点F在AC 的延长线上，且12CBF CAB ∠=∠.⑴ 求证：直线BF 是O e 的切线；⑵ 若5AB =，sin CBF ∠BC 和BF 的长.2．如图，D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点，点 B 在⊙O 上， 且AB ＝AD ＝AO ．（1）求证：BD 是⊙O 的切线；（2）若E 是劣弧BC 上一点，AE 与BC 相交于点F ， △BEF 的面积为8，且cos ∠BF A ＝32，求△ACF3．如图，四边形ABCD 是平行四边形，以AB 为直径的⊙O 经过点D ，E 是⊙O 上一点，且∠AED =45︒． (1) 试判断CD 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； (2) 若⊙O 的半径为3，sin ∠ADE =65，求AE 的值．FE OA B C 4. 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，点E 在斜边AB 上，以AE 为直径的⊙O 与BC边相切于点D ，联结AD.（1）求证：AD 是∠BAC 的平分线； （2）若AC = 3，tan B =34，求⊙O 的半径.5．已知：如图，在矩形ABCD 中，点O 在对角线BD 上，以OD 的长为半径的⊙O 与AD ，BD 分别交于点E 、点F ，且∠ABE =∠DBC ．（1）判断直线BE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；（2）若33sin =∠ABE ，2=CD ，求⊙O 的半径．6．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的半圆O 交BC 于点D ，DE ⊥AC ，垂足为E ． （1）判断DE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； （2）如果⊙O 的直径为9，cos B ＝13 ，求DE 的长OF EDC B A7：如图，已知AB 为⊙O 的弦，C 为⊙O 上一点，∠C =∠BAD ，且BD ⊥AB 于B .（1）求证：AD 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为3，AB =4，求AD 的长.8：如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，点D 是»BC的中点，DP AC ,垂足为点P . （1）求证：PD 是⊙O 的切线.（2）若AC =6, cosA=35，求PD 的长.9.如图，⊙O 的直径AB 交弦CD 于点M ，且M 是CD 的中点.过点B 作BE ∥ CD ，交AC的延长线于点E .连接BC ．（1）求证：BE 为⊙O 的切线；（2）如果CD =6，tan ∠BCD=21，求⊙O 的直径的长．BABA10.如图，AB 是半⊙O 的直径，弦AC 与AB 成30°的角，CD AC =.（1）求证：CD 是半⊙O 的切线； （2）若2=OA ，求AC 的长.11.如图，点P 在半O e 的直径BA 的延长线上，2AB PA =，PC 切半O e 于点C ，连结BC .（1）求P ∠的正弦值；（2）若半O e 的半径为2，求BC 的长度.12.如图，△DEC 内接于⊙O ，AC 经过圆心O 交O e 于点B ，且AC ⊥DE ，垂足为F ，连结AD 、BE ，若1sin 2A =，∠BED=30°．（1）求证：AD 是⊙O 的切线； （2）DCE △是否是等边三角形？请说明理由；（3）若O e 的半径2R =，试求CE 的长．例 1：（1）证明: 如图, 连接AO 并延长交⊙O 于点E , 连接BE , 则∠ABE =90°.∴ ∠EAB +∠E =90°. ……………………1分 B CD EO F C∵ ∠E =∠C , ∠C =∠BAD ，∴ ∠EAB +∠BAD =90°.∴ AD 是⊙O 的切线. ……………………2分 （2）解：由（1）可知∠ABE =90°.∵ AE =2AO =6, AB =4,∴ 5222=-=AB AE BE . …………………………………………………3分∵ ∠E=∠C =∠BAD , BD ⊥AB , ∴ .cos cos E BAD ∠=∠ ……………4分 ∴.AEBE AD AB =.6524=AD 即∴ 5512=AD . ……………………5分 例2：（1）证明：如图：连接 OD ，AD .∵D 为弧BC 的中点，∴弧CD = 弧BD.∴1122PAB ∠=∠=∠. ∵122BOD ∠=∠，∴PAB BOD ∠=∠. ∴P A ∥DO . ………………………………1分 ∵D P ⊥AP ，∴∠P =90°.∴∠ODP =∠P =90°. 即 OD ⊥PD .∵点D 在⊙O 上，∴PD 是⊙O 的切线. ………………………………2分 （2）连结CB 交OD 于点E .∵AB 为⊙O 直径 ，∴∠ACB =∠ECP =90°. ∵∠ODP =∠P =90°，∴四边形PCED 为矩形.∴PD = CE ，∠CED = 90°.…………………………………………………3分 ∴O D ⊥CB.∴EB = CE. ……………………………4分 在R t △ABC 中，∠ACB = 90°，∴cos A = ABAC. ∵AC = 6 , cos A =53，∴AB = 10 . ∴BC = 8 .∴CE =PD =21BC = 4. ……………5分 例3.（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，M 是CD 的中点，∴CD ⊥AB . ……………………………………… 1分∴∠AMC ＝90°.∵BE ∥CD ，∴∠AMC ＝∠ABE .∴∠ABE ＝90°，即AB ⊥BE .又∵B 是⊙O 上的点，∴BE 是⊙O 的切线. ………………………………………… 2分（2）∵M 是CD 的中点，CD =6，∴CM =12CD =3. 在Rt △BCM 中，∵tan ∠BCD =BM CM =12,∴3BM =12,∴BM=32. …………… 3分又∵AB 是⊙O 的直径，∠ACB ＝90°. ∵CM ⊥AB 于M ，∴Rt △AMC ∽Rt △CMB .∴AM CMCM BM=,∴2CM AM BM =⋅. ∴2332AM =⋅.∴AM =6. …………………………… 4分∴AB =AM +BM =6+32=152. …………………… 5分，即：⊙O 的直径的长为152. 12PACOBDE4.（1）连结OC ∵OA =OC ，∠A =30°∴∠A =∠ACO =30°∴∠COD =60° 又∵AC =CD ，∴∠A =∠D =30°.∴∠OCD =180°－60°－30°=90° ∴CD 是半⊙O 的切线（2）连结BC ∵AB 是直径，∴∠ACB =90° 在Rt △ABC 中，∵cos A =ABACAC=ABcosA=4×3223=∴AC=32 5：（1）证明：如图，连接OC ．∵PC 切半O e 于点C ，90PCO ∴∠=︒．…………………1分∵2AB PA =，PA OA OB OC ∴===． 在Rt PCO △中，1sin 2OC P OP ∠==． ······························································分 （2）过点O 作OD BC ⊥于点D ，则2BC BD =． ············································· 3分1sin 2P ∠=Q ，30P ∴∠=︒，60POC ∴∠=︒．∵OC OB =，30B OCB ∴∠=∠=︒．在Rt OBD △中，2OB =，cos303BD OB ∴=︒=g ．----------------4分，23BC ∴=．6.（1）连接OD ．--------------------------------1分∵30BED ∠=o ，60AOD ∴∠=o ， ∵1sin 2A =∴∠A=30o ∴∠A+∠AOD=90o ∴∠ADO=90o ∴ AD 是⊙O 的切线．---------------------------2分 （2）DCE △是等边三角形．理由如下：BC Q 为O e 的直径且AC DE ⊥．»»CECD ∴=．CE CD ∴=．--------------------3分 BC Q 是O e 的直径，90BEC ∴∠=o ，30BED ∠=o Q ，60DEC ∴∠=o ，DCE ∴△是等边三角形．-----------------------4分（3）Q O e 的半径2R =． ∴直径4BC = ∵△DCE 是等边三角形，∴∠EDC=60o ∴∠EBC=60o 在Rt BEC △中，sin CEEBC BC∠=， sin 60CE BC ∴=o 34=⨯23=---------------------------------------------------5分 DC。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(1)求证：CD为⊙0的切线；
(2)若DC+DA=6，⊙0的直径为l0，求AB的长度.
8、（已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B
重合），连接PA、PB、PC、PD．
(1)如图①，当PA的长度等于▲时，∠PAB＝60°；
当PA的长度等于▲时，△PAD是等腰三角形；
中考数学锐角三角函数与圆综合训练题
1、如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，∠CDA=∠CBD．
（1）求证：CD2=CA ?CB；
（2）求证：CD是⊙O的切线；
（3）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC=12，tan∠CDA=，求BE的长．
2、如图，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，EF：FD=4：3．
- 4 -
12、 如 图 ， 以 线 段
?
AB为 直 径 的⊙O交 线 段AC于 点E， 点M是AE的 中 点 ，OM交AC于 点D，
BOE
60°，cosC
1，BC 2 3．
2ห้องสมุดไป่ตู้
（1）求
A的度数；
（2）求证：
是⊙
的切线；
M
EC
BCO
（3）求MD的长度．
D
A
B
O
13、如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.
19、如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的半圆O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：点D是BC的中点；
（2）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（3）如果⊙O的直径为9，cosB=，求DE的长．
20、如图，等腰三角形ABC中，AC=BC=10，AB=12．以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E．
（2）求证：BC是⊙O的切线；
（3）求MD的长度．
- 6 -
18、如图，已知Rt△ABC和Rt△EBC，∠B=90°．以边AC上的点O为圆心、OA为半径的⊙O与EC相切，D为切点，AD∥BC．
（1）用尺规确定并标出圆心O；（不写作法和证明，保留作图痕迹）
（2）求证：∠E=∠ACB；
（3）若AD=1，，求BC的长．
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）求sin∠E的值．
- 7 -
21、如图9，直线y=kx-1与x轴、y轴分别交与B、C两点，tan∠OCB=1.
2
（1）
求B点的坐标和k的值；
（2）
若点A（x，y）是第一象限内的直线
y=kx-1上的一个动点.当点A运动过程中，试写出△AOB的面积S与x
13
- 2 -
6、如图，△ABC中，以BC为直径的圆交AB于点D，∠ACD=∠ABC．
（1）求证：CA是圆的切线；
（2）若点E是BC上一点，已知BE=6，tan∠ABC =2，tan∠AEC=5，求圆的直径．
33
7、 如图右，已知直线PA交⊙0于A、B两点，AE是⊙0的直径．点C为⊙0上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD
2
B
F
O
D
A
C
E
第6题图
- 5 -
15、 如图3，直线AB经 过⊙O上的点C，并 且OAOB，CACB，⊙O交直线OB于E，D， 连接
EC，CD．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）试猜想BC，BD，BE三者之间的等量关系，并加以证明；
（3）若tanCED1，⊙O的半径为3，求OA的长．
2
16、已知：如图，
(2)如图②，以AB边所在直线为x轴、AD边所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系（点A即为原点
O），把△PAD、△PAB、△PBC的面积分别记为S1、S2、S3．P坐标为（a，b），试求2 S1S3－S22的最大
值，并求出此时a，b的值．
- 3 -
9、
10、（芜湖市）（本小题满分
12分）
⌒
M点作⊙O的切线MP交OA的延长线于P点，MD
如图，BD是⊙O的直径，OA⊥OB，M是劣弧AB上一点，过点
与OA交于N点．
（1）求证：PM＝PN；
（2）（2）若BD＝4，PA＝
3
2AO，过点B作BC∥MP交⊙O于C点，求BC的长．
11、（黄冈市）（6分）如图，点P为△ABC的内心，延长AP交△ABC的外接圆于D，在AC延长线上有一点E，满
足AD2＝AB·AE，求证：DE是⊙O的切线.
（1）求证：点F是AD的中点；
（2）求cos∠AED的值；
（3）如果BD=10，求半径CD的长．
- 1 -
3、如图11，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙O于点E，F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交
⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF．
（1）求证：直线PA为⊙O的切线；
（2）试探究线段
AB
是⊙O的直径，
AB
10
,
DC
切⊙O于点
C，AD
DC，
D，AD
交⊙O于点
E
．
垂足为
（1）求证：BC
EC;
D
4
（2）若cos BEC
C
,求DC的长．
5
E
A
O
B
17、如图，以线段AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点M是的中点，OM交AC于点D， ∠BOE=60°，
cosC=，BC=2．
（1）求∠A的度数；
（3） 在（2）的条件下，若sinE=3，AK=23，求FG的长．
5
5、如图11，AB是⊙O的弦，D是半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于F，且CE=CB。
（1）求证：BC⊙O是的切线；
（2）连接AF、BF，求∠ABF的度数；
（3）如果CD=15，BE=10，sinA=5，求⊙O的半径。
EF，OD，OP之间的等量关系，并加以证明；
A
（3）若BC＝6，tan∠F＝1
，求cos∠ACB的值和线段PE的长．
F
OD E
P
2
C
B
图11
4、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F．切点
为G，连接AG交CD于K．
（1）求证：KE=GE；
（2）若KG2=KD·GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）求证：BC= AB；
（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN·MC的值.
14、如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，AB为直径，
ABC=30°，CD是⊙O的切线，ED⊥AB于F，
(1)判断△DCE的形状；
(2)设⊙O的半径为1，且OF=
3 1，求证△DCE≌△OCB．